Derivat av multiplikatorer. Derivat av summan och skillnaden av funktioner. Derivatan av summan är lika med summan av derivatorna

Om vi ​​följer definitionen är derivatan av en funktion vid en punkt gränsen för ökningsförhållandet för funktionen Δ y till ökningen av argumentet Δ x:

Allt verkar vara klart. Men försök att beräkna med denna formel, säg derivatan av funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Om du gör allt per definition, kommer du helt enkelt att somna efter ett par sidor med beräkningar. Därför finns det enklare och mer effektiva sätt.

Till att börja med noterar vi att de så kallade elementära funktionerna kan särskiljas från alla olika funktioner. Det är relativt enkla uttryck, vars derivator länge har beräknats och lagts in i tabellen. Sådana funktioner är lätta nog att komma ihåg, tillsammans med deras derivator.

Derivater av elementära funktioner

Elementära funktioner är allt som listas nedan. Derivaterna av dessa funktioner måste vara kända utantill. Dessutom är det inte svårt att memorera dem - det är därför de är elementära.

Så, derivatorna av elementära funktioner:

Om en elementär funktion multipliceras med en godtycklig konstant, beräknas också derivatan av den nya funktionen enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

I allmänhet kan konstanter tas ur derivatans tecken. Till exempel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Uppenbarligen kan elementära funktioner läggas till varandra, multipliceras, delas och mycket mer. Så kommer nya funktioner att dyka upp, inte längre särskilt elementära, men också differentierbara enligt vissa regler. Dessa regler diskuteras nedan.

Derivat av summa och skillnad

Låt funktionerna f(x) och g(x), vars derivat är kända för oss. Du kan till exempel ta de elementära funktionerna som diskuterats ovan. Sedan kan du hitta derivatan av summan och skillnaden av dessa funktioner:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så derivatan av summan (skillnaden) av två funktioner är lika med summan (skillnaden) av derivatorna. Det kan finnas fler termer. Till exempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strängt taget finns det inget begrepp om "subtraktion" i algebra. Det finns ett koncept av "negativt element". Därför skillnaden f − g kan skrivas om som en summa f+ (−1) g, och då återstår bara en formel - derivatan av summan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungera f(x) är summan av två elementära funktioner, så:

f ’(x) = (x 2+ synd x)’ = (x 2)' + (synd x)’ = 2x+ cosx;

Vi argumenterar på liknande sätt för funktionen g(x). Bara det finns redan tre termer (ur algebras synvinkel):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av en produkt

Matematik är en logisk vetenskap, så många tror att om derivatan av summan är lika med summan av derivatorna, så är derivatan av produkten strejk"\u003e lika med produkten av derivat. Men fikon till dig! Derivaten av produkten beräknas med en helt annan formel. Nämligen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formeln är enkel, men glöms ofta bort. Och inte bara skolbarn, utan också studenter. Resultatet är felaktigt lösta problem.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungera f(x) är en produkt av två elementära funktioner, så allt är enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungera g(x) den första multiplikatorn är lite mer komplicerad, men det allmänna schemat ändras inte från detta. Uppenbarligen den första multiplikatorn av funktionen g(x) är ett polynom, och dess derivata är derivatan av summan. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observera att i det sista steget faktoriseras derivatan. Formellt är detta inte nödvändigt, men de flesta derivator beräknas inte på egen hand, utan för att utforska funktionen. Detta betyder att ytterligare kommer derivatan att likställas med noll, dess tecken kommer att upptäckas, och så vidare. För ett sådant fall är det bättre att ha ett uttryck uppdelat i faktorer.

Om det finns två funktioner f(x) och g(x), och g(x) ≠ 0 på uppsättningen av intresse för oss, vi kan definiera en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). För en sådan funktion kan du också hitta derivatan:

Inte svag, eller hur? Var kom minuset ifrån? Varför g 2? Men så här! Detta är en av de mest komplexa formlerna - du kan inte räkna ut det utan en flaska. Därför är det bättre att studera det med specifika exempel.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner:

Det finns elementära funktioner i täljaren och nämnaren för varje bråk, så allt vi behöver är formeln för derivatan av kvoten:

Av tradition räknar vi in ​​täljaren i faktorer - detta kommer att förenkla svaret avsevärt:

En komplex funktion är inte nödvändigtvis en formel som är en halv kilometer lång. Det räcker till exempel att ta funktionen f(x) = synd x och byt ut variabeln x säg på x 2+ln x. Det visar sig f(x) = synd ( x 2+ln x) är en komplex funktion. Hon har också ett derivat, men det fungerar inte att hitta det enligt reglerna som diskuterats ovan.

Hur man är? I sådana fall hjälper ersättningen av en variabel och formeln för derivatan av en komplex funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', om x ersätts av t(x).

Som regel är situationen med förståelsen av denna formel ännu mer sorglig än med derivatan av kvoten. Därför är det också bättre att förklara det med specifika exempel, med en detaljerad beskrivning av varje steg.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2+ln x)

Observera att om i funktionen f(x) istället för uttryck 2 x+ 3 blir lätt x, då får vi en elementär funktion f(x) = e x. Därför gör vi ett byte: låt 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi letar efter derivatan av en komplex funktion med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Och nu - uppmärksamhet! Utföra en omvänd substitution: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Låt oss nu titta på funktionen g(x). Behöver så klart bytas ut. x 2+ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synd t)’ · t' = cos t · t ’

Omvänd ersättning: t = x 2+ln x. Sedan:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Det är allt! Som framgår av det sista uttrycket har hela problemet reducerats till att beräkna derivatan av summan.

Svar:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) för ( x 2+ln x).

Mycket ofta i mina lektioner, istället för termen "derivat", använder jag ordet "stroke". Till exempel är summans streck lika med summan av strecken. Är det tydligare? Ja det är bra.

Således kommer beräkningen av derivatan till att bli av med just dessa slag enligt reglerna som diskuterats ovan. Som ett sista exempel, låt oss återgå till derivatan med en rationell exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Få vet det i rollen n kan mycket väl vara ett bråktal. Till exempel är roten x 0,5 . Men vad händer om det finns något knepigt under roten? Återigen kommer en komplex funktion att visa sig - de gillar att ge sådana konstruktioner i prov och tentor.

Uppgift. Hitta derivatan av en funktion:

Låt oss först skriva om roten som en potens med en rationell exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu gör vi ett byte: låt x 2 + 8x − 7 = t. Vi hittar derivatan med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vi gör en omvänd substitution: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Till sist, tillbaka till rötterna:

Kalkylatorn beräknar derivatan av alla elementära funktioner, vilket ger en detaljerad lösning. Differentieringsvariabeln bestäms automatiskt.

Funktionsderivataär ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Sådana problem ledde till uppkomsten av derivatan, som till exempel att beräkna den momentana hastigheten för en punkt vid ett ögonblick, om banan är känd beroende på tid, problemet med att hitta en tangent till en funktion i en punkt .

Oftast definieras derivatan av en funktion som gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, om det finns.

Definition. Låt funktionen definieras i något område av punkten. Då kallas derivatan av funktionen vid punkten för gränsen, om den finns

Hur beräknar man derivatan av en funktion?

För att lära sig att särskilja funktioner måste man lära sig och förstå differentieringsregler och lär dig hur du använder derivattabell.

Differentieringsregler

Låta och vara godtyckliga differentierbara funktioner för en reell variabel och vara någon reell konstant. Sedan

är regeln för att differentiera produkten av funktioner

är regeln för differentiering av kvotfunktioner

0 height=33 width=370 style="vertical-align: -12px;"> — differentiering av en funktion med en variabel exponent

- regeln om differentiering av en komplex funktion

äreln

Derivat av en funktion online

Vår kalkylator beräknar snabbt och exakt derivatan av alla funktioner online. Programmet kommer inte att göra misstag när man beräknar derivatan och hjälper till att undvika långa och tråkiga beräkningar. Online-kalkylatorn kommer också att vara användbar i de fall det finns ett behov av att kontrollera din lösning för korrektheten, och om den är felaktig, snabbt hitta felet.

Det är absolut omöjligt att lösa fysiska problem eller exempel i matematik utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivatan är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel åt detta grundläggande ämne. Vad är en derivata, vad är dess fysiska och geometriska betydelse, hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?

Geometrisk och fysisk betydelse av derivatan

Låt det finnas en funktion f(x) , ges i något intervall (a,b) . Punkterna x och x0 tillhör detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Argumentförändring - skillnad mellan dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. Förändringen eller ökningen av en funktion är skillnaden mellan funktionens värden vid två punkter. Derivatdefinition:

Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.

Annars kan det skrivas så här:

Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Men vilken:

derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.

Den fysiska betydelsen av derivatan: tidsderivatan av banan är lika med hastigheten för den rätlinjiga rörelsen.

Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en privat väg. x=f(t) och tid t . Medelhastighet under en viss tidsperiod:

För att ta reda på rörelsehastigheten åt gången t0 du måste beräkna gränsen:

Regel ett: ta ut konstanten

Konstanten kan tas ut ur derivatans tecken. Dessutom måste det göras. När du löser exempel i matematik, ta som regel - om du kan förenkla uttrycket, se till att förenkla .

Exempel. Låt oss beräkna derivatan:

Regel två: derivata av summan av funktioner

Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.

Vi kommer inte att ge ett bevis för denna sats, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.

Hitta derivatan av en funktion:

Regel tre: derivatan av produkten av funktioner

Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:

Exempel: hitta derivatan av en funktion:

Beslut:

Här är det viktigt att säga om beräkningen av derivator av komplexa funktioner. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet med derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

I exemplet ovan möter vi uttrycket:

I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, betraktar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet, och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

Regel fyra: Derivatan av kvoten av två funktioner

Formel för att bestämma derivatan av en kvot av två funktioner:

Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så var varning: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.

Om du har frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. På kort tid hjälper vi dig att lösa den svåraste kontrollen och hantera uppgifter, även om du aldrig tidigare sysslat med beräkning av derivat.