Gradmått för en vinkel. Radianmåttet för en vinkel. Konvertera grader till radianer och vice versa

29.09.2019

I den här artikeln kommer vi att fastställa ett förhållande mellan de grundläggande enheterna för vinkelmätning - grader och radianer. Denna anslutning kommer så småningom att tillåta oss att utföra konvertera grader till radianer och vice versa. Så att dessa processer inte orsakar svårigheter kommer vi att få en formel för att konvertera grader till radianer och en formel för att konvertera från radianer till grader, varefter vi kommer att analysera i detalj lösningarna i exemplen.

Sidnavigering.

Samband mellan grader och radianer

Sambandet mellan grader och radianer kommer att fastställas om både graden och radianmåttet för en vinkel är kända (grad och radianmått för en vinkel finns i avsnittet).

Låt oss ta centrala hörnet, baserat på diametern av en cirkel med radien r . Vi kan beräkna måttet på denna vinkel i radianer: för detta måste vi dividera längden på bågen med längden på cirkelns radie. Denna vinkel motsvarar längden på bågen, halv omkrets, dvs. Om vi delar denna längd med längden på radien r får vi radianmåttet på vinkeln vi har tagit. Så vår vinkel är rad. Å andra sidan är denna vinkel expanderad, den är lika med 180 grader. Därför är pi radianer 180 grader.

Så det uttrycks med formeln π radianer = 180 grader, dvs. .

Formler för omvandling av grader till radianer och radianer till grader

Från likheten i formen, som vi fick i föregående stycke, är det lätt att härleda formler för att konvertera radianer till grader och grader till radianer.

Om vi delar båda sidor av ekvationen med pi får vi en formel som uttrycker en radian i grader: . Denna formel betyder att gradmåttet för en vinkel på en radian är 180/π. Om vi byter vänster och höger del av likheten, dividerar vi båda delarna med 180, då får vi en formel av formen . Det uttrycker en grad i radianer.

För att tillfredsställa vår nyfikenhet, beräknar vi det ungefärliga värdet av en vinkel på en radian i grader och värdet på en vinkel på en grad i radianer. För att göra detta, ta värdet av talet pi exakt till tio tusendelar, ersätt det i formlerna och , och gör beräkningarna. Vi har och . Så en radian är ungefär 57 grader och en grad är 0,0175 radianer.

Slutligen, från de erhållna relationerna och låt oss gå vidare till formlerna för att konvertera radianer till grader och vice versa, och även överväga exempel på tillämpningen av dessa formler.

Formeln för att konvertera radianer till grader ser ut som: . Således, om värdet på vinkeln i radianer är känt, multiplicera det med 180 och dividera med pi, får vi värdet på denna vinkel i grader.

Exempel.

Givet en vinkel på 3,2 radianer. Vad är måttet på denna vinkel i grader?

Beslut.

Vi använder formeln för att konvertera från radianer till grader, det har vi

Svar:

Formel för omvandling av grader till radianer har formen . Det vill säga, om värdet på vinkeln i grader är känt, multiplicera det med pi och dividera med 180, får vi värdet på denna vinkel i radianer. Låt oss överväga ett exempel på en lösning.

Vinklar mäts i grader eller radianer. Det är viktigt att förstå sambandet mellan dessa måttenheter. Genom att förstå detta förhållande kan du arbeta med vinklar och göra övergången från grader till radianer och vice versa. I den här artikeln härleder vi en formel för att konvertera grader till radianer och radianer till grader, samt analyserar några exempel från praktiken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Samband mellan grader och radianer

För att fastställa ett samband mellan grader och radianer måste du känna till graden och radianmåttet för en vinkel. Låt oss till exempel ta en central vinkel som är beroende av diametern på en cirkel med radien r. För att beräkna radianmåttet för denna vinkel måste du dividera längden på bågen med längden på cirkelns radie. Den betraktade vinkeln motsvarar längden på bågen lika med halva längden av cirkeln π · r . Dividera längden på bågen med radien och få radianmåttet på vinkeln: π · r r = π rad.

Så vinkeln i fråga är π radianer. Å andra sidan är det en rak vinkel lika med 180°. Därför 180° = π rad.

Förhållande mellan grader och radianer

Förhållandet mellan radianer och grader uttrycks med formeln

π radianer = 180°

Formler för omvandling av radianer till grader och vice versa

Från formeln som erhållits ovan kan andra formler härledas för att omvandla vinklar från radianer till grader och från grader till radianer.

Uttryck en radian i grader. För att göra detta delar vi de vänstra och högra delarna av radien med pi.

1 rad \u003d 180 π ° - gradmåttet för en vinkel i 1 radian är 180 π.

Du kan också uttrycka en grad i radianer.

1° = π 180 r a d

Du kan göra ungefärliga beräkningar av vinkelvärden i radianer och vice versa. För att göra detta tar vi värdena för talet π upp till tio tusendelar och ersätter dem i de resulterande formlerna.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Det är alltså cirka 57 grader i en radian.

1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

En grad innehåller 0,0175 radianer.

Formeln för att konvertera radianer till grader

x ra d = x 180 π°

För att omvandla en vinkel från radianer till grader, multiplicera vinkeln i radianer med 180 och dividera med pi.

Exempel på omvandling av grader till radianer och radianer till grader

Tänk på ett exempel.

Exempel 1: Konvertering från radianer till grader

Låt α = 3, 2 rad. Du måste veta gradmåttet för denna vinkel.

Låt oss titta på bilden. Vektorn \(AB \) "väntade" relativt punkten \(A \) med en viss mängd. Så måttet på denna rotation i förhållande till den ursprungliga positionen kommer att vara vinkel \(\alfa \).

Vad mer behöver du veta om begreppet vinkel? Jo, vinkelenheter såklart!

Vinkel, både i geometri och trigonometri, kan mätas i grader och radianer.

En vinkel i \(1()^\circ \) (en grad) är en central vinkel i en cirkel baserad på en cirkelbåge lika med \(\dfrac(1)(360) \) delen av cirkeln.

Så hela cirkeln är uppbyggd av \(360 \) "bitar" av cirkelbågar, eller så är vinkeln som beskrivs av cirkeln \(360()^\cirkel \) .

Det vill säga, figuren ovan visar vinkeln \(\beta \) lika med \(50()^\circ \) , det vill säga denna vinkel är baserad på en cirkelbåge av storleken \(\dfrac(50)(360) ) \) av omkretsen.

En vinkel i \(1 \) radianer är en central vinkel i en cirkel, baserad på en cirkelbåge, vars längd är lika med cirkelns radie.

Så, figuren visar vinkeln \(\gamma \) lika med \(1 \) radian, det vill säga denna vinkel är baserad på en cirkelbåge, vars längd är lika med cirkelns radie (längden \ (AB \) är lika med längden \(BB"\) eller radien \(r \) är lika med längden på bågen \(l \) ) Således beräknas längden på bågen med formeln:

\(l=\theta \cdot r \) , där \(\theta \) är den centrala vinkeln i radianer.

Tja, när du vet detta, kan du svara på hur många radianer som innehåller en vinkel som beskrivs av en cirkel? Ja, för detta måste du komma ihåg formeln för en cirkels omkrets. Här är hon:

\(L=2\pi \cdot r\)

Nåväl, låt oss nu korrelera dessa två formler och få att vinkeln som beskrivs av cirkeln är \(2\pi \) . Det vill säga, när vi korrelerar värdet i grader och radianer får vi att \(2\pi =360()^\cirkel \) . Följaktligen \(\pi =180()^\circ \) . Som du kan se, till skillnad från "grader", utelämnas ordet "radian", eftersom måttenheten vanligtvis framgår av sammanhanget.

Trigonometriska funktionerär elementära funktioner vars argument är injektion. Via trigonometriska funktioner beskriver förhållandet mellan parterna och skarpa hörn i en rätvinklig triangel. Tillämpningsområdena för trigonometriska funktioner är extremt olika. Så till exempel kan alla periodiska processer representeras som summan av trigonometriska funktioner (Fourier-serien). Dessa funktioner dyker ofta upp när man löser differential- och funktionsekvationer.

Trigonometriska funktioner inkluderar följande 6 funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangens, sekant och cosecant. För var och en av dessa funktioner finns en invers trigonometrisk funktion.

Den geometriska definitionen av trigonometriska funktioner introduceras bekvämt med hjälp av enhetscirkel. Bilden nedan visar en cirkel med en radie r= 1. En punkt markeras på cirkeln M(x,y). Vinkel mellan radievektor OM och positiv axelriktning Oxe lika α .

sinus vinkel α y poäng M(x,y) till radien r: synd α = y/r. I den mån som r= 1, då är sinus lika med ordinatan för punkten M(x,y).

cosinus vinkel α x poäng M(x,y) till radien r: cos α = x/r = x

tangent vinkel α kallas förhållandet mellan ordinatan y poäng M(x,y) till sin abskiss x:solbränna α = y/x, x ≠ 0

Cotangens vinkel α kallas förhållandet mellan abskissan x poäng M(x,y) till sin ordinata y: katt α = x/y, y ≠ 0

Sekant vinkel α är radieförhållandet r till abskissan x poäng M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Cosecant vinkel α är radieförhållandet r till ordinatan y poäng M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

I en enda projektionscirkel x, y poäng M(x,y) och radie r bildar en rätvinklig triangel där x, yär ben, och r− hypotenusa. Därför formuleras ovanstående definitioner av trigonometriska funktioner som tillämpas på en rätvinklig triangel enligt följande: sinus vinkel α är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan. cosinus vinkel α är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan. tangent vinkel α kallas det motsatta benet till det intilliggande. Cotangens vinkel α kallas det intilliggande benet till det motsatta.