Från det motsatta hörnet) och dela den resulterande produkten med två. I form ser det ut så här:

S = ½ * a * h,

var:
S är arean av triangeln,
a är längden på dess sida,
h är höjden sänkt till denna sida.

Sidolängd och höjd ska presenteras i samma enheter. I det här fallet kommer arean av triangeln att visa sig i motsvarande "" enheter.

Exempel.
På en av sidorna av en 20 cm lång skalentriangel sänks en vinkelrät från motsatt vertex 10 cm lång.
Arean av triangeln krävs.
Beslut.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Om du känner till längden på två sidor av en skalentriangel och vinkeln mellan dem, använd formeln:

S = ½ * a * b * sinγ,

där: a, b är längden på två godtyckliga sidor, och γ är vinkeln mellan dem.

I praktiken till exempel vid mätning tomter, är användningen av ovanstående formler ibland svår, eftersom det kräver ytterligare konstruktioner och mätning av vinklar.

Om du vet längden på alla tre sidorna av en skalentriangel, använd Herons formel:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c är längderna på triangelns sidor,
р – semi-perimeter: p = (a+b+c)/2.

Om radien för cirkeln inskriven i triangeln, förutom längderna på alla sidor, är känd, använd följande kompakta formel:

där: r är radien för den inskrivna cirkeln (p är halvperimetern).

För att beräkna arean av en skalenlig triangel av den omskrivna cirkeln och längden på dess sidor, använd formeln:

där: R är radien för den omskrivna cirkeln.

Om längden på en av triangelns sidor och tre vinklar är känd (i princip räcker två - värdet på den tredje beräknas från likheten mellan summan av triangelns tre vinklar - 180º), använd sedan formeln:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

där α är värdet på vinkeln motsatt sidan a;
β, γ är värdena för de återstående två vinklarna i triangeln.

Behovet av att hitta olika element, inklusive område triangel, dök upp många århundraden före vår tideräkning bland astronomer Antikens Grekland. Fyrkant triangel kan beräknas olika sätt med olika formler. Beräkningsmetoden beror på vilka element triangel känd.

Instruktion

Om vi ​​från villkoret känner till värdena för de två sidorna b, c och vinkeln som bildas av dem?, då området triangel ABC hittas med formeln:
S = (bcsin?)/2.

Om vi ​​från villkoret känner till värdena för de två sidorna a, b och vinkeln som inte bildas av dem?, då området triangel ABC hittas enligt följande:
Hitta vinkeln?, synd? = bsin? / a, längre fram i tabellen bestämmer vi själva vinkeln.
Hitta en vinkel? = 180°-?-?.
Hitta själva området S = (absin?)/2.

Om vi ​​från villkoret känner till värdena på endast tre sidor triangel a, b och c, sedan området triangel ABC hittas med formeln:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , där p är halvperimetern p = (a+b+c)/2

Om vi ​​från problemets tillstånd vet höjden triangel h och sidan till vilken denna höjd sänks, sedan området triangel ABC enligt formel:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Om vi ​​känner till sidornas värden triangel a, b, c och radien för det omskrivna nära det givna triangel R, sedan området för detta triangel ABC bestäms av formeln:
S = abc/4R.
Om tre sidor a, b, c och radien för den inskrivna i är kända, då arean triangel ABC hittas med formeln:
S = pr, där p är halvperimetern, p = (a+b+c)/2.

Om ABC är liksidig, så hittas arean med formeln:
S = (a^2v3)/4.
Om triangeln ABC är likbent, så bestäms arean av formeln:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, där c är triangel.
Om triangeln ABC är en rätvinklig triangel, så bestäms arean av formeln:
S = ab/2, där a och b är ben triangel.
Om triangeln ABC är en rätvinklig likbent triangel, så bestäms arean av formeln:
S = c^2/4 = a^2/2, där c är hypotenusan triangel, a=b - ben.

Relaterade videoklipp

Källor:

• hur man mäter arean av en triangel

Tips 3: Hur man hittar arean av en triangel om du känner till vinkeln

Att bara känna till en parameter (värdet på vinkeln) är inte tillräckligt för att hitta arean tre fyrkant . Om det finns några ytterligare dimensioner kan du för att bestämma arean välja en av formlerna där vinkelvärdet också används som en av de kända variablerna. Några av de mest använda formlerna listas nedan.

Instruktion

Om, förutom vinkeln (γ) som bildas av de två sidorna tre fyrkant längden på dessa sidor (A och B) är då också kända fyrkant(S) siffror kan definieras som halva produkten av sidolängderna och sinus för denna kända vinkel: S=½×A×B×sin(γ).

Area av en triangel - formler och exempel på problemlösning

Nedan finns formler för att hitta arean av en godtycklig triangel som är lämpliga för att hitta arean av vilken triangel som helst, oavsett dess egenskaper, vinklar eller dimensioner. Formlerna presenteras i form av en bild, här är förklaringar för tillämpningen eller motivering av deras riktighet. En separat figur visar också överensstämmelsen mellan bokstavssymbolerna i formlerna och de grafiska symbolerna i ritningen.

Notera . Om triangeln har speciella egenskaper (likbent, rektangulär, liksidig), kan du använda formlerna nedan, samt ytterligare speciella formler som endast är sanna för trianglar med dessa egenskaper:

• "Formler för arean av en liksidig triangel"

Formler för triangelarea

Förklaringar till formler:
a, b, c- längderna på sidorna i triangeln vars area vi vill hitta
r- radien för cirkeln inskriven i triangeln
R- radien för den omskrivna cirkeln runt triangeln
h- triangelns höjd, sänkt åt sidan
sid- semiperimeter av en triangel, 1/2 summan av dess sidor (omkrets)
α - vinkeln motsatt sida a av triangeln
β - vinkeln motsatt sida b av triangeln
γ - vinkeln motsatt sida c av triangeln
h a, h b , h c- triangelns höjd, sänkt till sidan a, b, c

Observera att ovanstående notation motsvarar figuren ovan, så att när du löser ett verkligt geometriproblem skulle det vara lättare för dig att visuellt ersätta in rätt ställen formler korrekta värden.

• Arean av triangeln är hälften av produkten av höjden på en triangel och längden på sidan på vilken denna höjd sänks(Formel 1). Riktigheten av denna formel kan förstås logiskt. Höjden sänkt till basen kommer att dela en godtycklig triangel i två rektangulära. Om vi ​​kompletterar var och en av dem till en rektangel med dimensionerna b och h, så kommer uppenbarligen arean av dessa trianglar att vara lika med exakt hälften av rektangelns area (Spr = bh)
• Arean av triangeln är hälften av produkten av dess två sidor och sinus av vinkeln mellan dem(Formel 2) (se ett exempel på att lösa ett problem med denna formel nedan). Trots att det verkar annorlunda än det föregående kan det lätt omvandlas till det. Om vi ​​sänker höjden från vinkel B till sida b visar det sig att produkten av sida a och sinus av vinkeln γ, enligt egenskaperna hos sinus i en rätvinklig triangel, är lika med höjden av triangeln ritad av oss, vilket ger oss den föregående formeln
• Arean av en godtycklig triangel kan hittas genom arbete halva radien av en cirkel som är inskriven i den med summan av längderna på alla dess sidor(Formel 3), med andra ord, du måste multiplicera triangelns halva omkrets med radien av den inskrivna cirkeln (det är lättare att komma ihåg på detta sätt)
• Arean av en godtycklig triangel kan hittas genom att dividera produkten av alla dess sidor med 4 radier av cirkeln omskriven runt den (formel 4)
• Formel 5 är att hitta arean av en triangel i termer av längden på dess sidor och dess halvomkrets (halva summan av alla dess sidor)
• Herons formel(6) är en representation av samma formel utan att använda begreppet en semiperimeter, endast genom längderna på sidorna
• Arean av en godtycklig triangel är lika med produkten av kvadraten på sidan av triangeln och sinusen för vinklarna intill denna sida dividerat med den dubbla sinusen för vinkeln motsatt denna sida (formel 7)
• Arean av en godtycklig triangel kan hittas som produkten av två kvadrater av en cirkel omskrivna runt den och sinusen för var och en av dess vinklar. (Formel 8)
• Om längden på en sida och storleken på de två vinklarna intill den är kända, kan arean av triangeln hittas som kvadraten på denna sida, dividerat med den dubbla summan av kotangenserna för dessa vinklar (Formel 9)
• Om bara längden på var och en av höjderna i en triangel är känd (formel 10), är arean av en sådan triangel omvänt proportionell mot längderna på dessa höjder, som med Herons formel
• Formel 11 låter dig räkna arean av en triangel enligt koordinaterna för dess hörn, som ges som (x;y) värden för var och en av hörnen. Observera att det resulterande värdet måste tas modulo, eftersom koordinaterna för enskilda (eller till och med alla) hörn kan vara i området för negativa värden

Notera. Följande är exempel på att lösa problem i geometri för att hitta arean av en triangel. Om du behöver lösa ett problem inom geometri, liknande det som inte finns här - skriv om det i forumet. I lösningar istället för symbolen " Roten ur" funktionen sqrt() kan användas, där sqrt är kvadratrotsymbolen och det radikala uttrycket anges inom parentes.Ibland kan symbolen användas för enkla radikala uttryck √

Uppgift. Hitta arean som ges två sidor och vinkeln mellan dem

Triangelns sidor är 5 och 6 cm. Vinkeln mellan dem är 60 grader. Hitta arean av en triangel.

Beslut.

För att lösa detta problem använder vi formel nummer två från den teoretiska delen av lektionen.
Arean av en triangel kan hittas genom längden av två sidor och sinus för vinkeln mellan dem och kommer att vara lika med
S=1/2 ab sin y

Eftersom vi har alla nödvändiga data för lösningen (enligt formeln), kan vi bara ersätta värdena från problemets tillstånd till formeln:
S=1/2*5*6*sin60

I värdetabellen trigonometriska funktioner hitta och ersätt i uttrycket värdet på sinus 60 grader. Det kommer att vara lika med roten av tre och två.
S = 15 √3 / 2

Svar: 7,5 √3 (beroende på lärarens krav är det förmodligen möjligt att lämna 15 √3/2)

Uppgift. Hitta arean av en liksidig triangel

Hitta arean av en liksidig triangel med en sida på 3 cm.

Beslut .

Arean av en triangel kan hittas med Herons formel:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Eftersom a \u003d b \u003d c kommer formeln för arean av en liksidig triangel att ha formen:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Svar: 9 √3 / 4.

Uppgift. Ändring i area vid ändring av längden på sidorna

Hur många gånger kommer arean av en triangel att öka om sidorna fyrdubblas?

Beslut.

Eftersom vi inte känner till dimensionerna på triangelns sidor, för att lösa problemet kommer vi att anta att längderna på sidorna är lika med godtyckliga tal a, b, c. Sedan, för att svara på frågan om problemet, hittar vi arean av denna triangel, och sedan hittar vi arean av en triangel vars sidor är fyra gånger större. Förhållandet mellan arean av dessa trianglar kommer att ge oss svaret på problemet.

Därefter ger vi en textförklaring av lösningen av problemet i steg. Men i slutet presenteras samma lösning i en grafisk form som är mer bekväm för uppfattningen. De som vill kan genast släppa lösningen.

För att lösa använder vi Heron-formeln (se ovan i den teoretiska delen av lektionen). Det ser ut så här:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se första raden på bilden nedan)

Längden på sidorna i en godtycklig triangel ges av variablerna a, b, c.
Om sidorna ökas med 4 gånger, kommer arean av den nya triangeln c att vara:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(se den andra raden i bilden nedan)

Som du kan se är 4 en vanlig faktor som kan tas ur parentes från alla fyra uttrycken enligt generella regler matematik.
Sedan

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - på bildens tredje rad
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - fjärde raden

Från talet 256 är kvadratroten perfekt extraherad, så vi tar ut den under roten
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se den femte raden i figuren nedan)

För att svara på frågan som ställs i problemet räcker det för oss att dela arean av den resulterande triangeln med arean av den ursprungliga.
Vi bestämmer ytkvoterna genom att dela upp uttrycken i varandra och reducera den resulterande fraktionen.

Instruktion

Fester och hörn anses vara grundläggande element a. En triangel är helt definierad av något av dess följande grundelement: antingen tre sidor, eller en sida och två vinklar, eller två sidor och en vinkel mellan dem. För tillvaron triangel definieras av tre sidor a, b, c, är det nödvändigt och tillräckligt att ojämlikheterna, kallade ojämlikheter triangel:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

För att bygga triangel på tre sidor a, b, c är det nödvändigt från punkten C i segmentet CB=a hur man ritar en cirkel med radie b med en kompass. Rita sedan, på liknande sätt, en cirkel från punkt B med en radie lika med sidan c. Deras skärningspunkt A är den tredje spetsen av den önskade triangel ABC, där AB=c, CB=a, CA=b - sidor triangel. Problemet har, om sidorna a, b, c, uppfyller ojämlikheterna triangel som anges i steg 1.

Området S konstruerat på detta sätt triangel ABC med kända parter a, b, c, beräknas med Herons formel:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
där a, b, c är sidor triangel, p är semiperimetern.
p = (a+b+c)/2

Om triangeln är liksidig, det vill säga alla dess sidor är lika (a=b=c). Area triangel beräknas med formeln:
S=(a^2 v3)/4

Om triangeln är rätvinklig, det vill säga en av dess vinklar är 90 °, och sidorna som bildar den är ben, är den tredje sidan hypotenusan. I detta fall fyrkantär lika med produkten av benen dividerat med två.
S=ab/2

Att hitta fyrkant triangel, kan du använda en av de många formlerna. Välj formeln beroende på vilken data som redan är känd.

Du kommer behöva

• kunskap om formler för att hitta arean av en triangel

Instruktion

Om du känner till värdet på en av sidorna och värdet på höjden sänkt till denna sida från det motsatta hörnet, kan du hitta arean genom att använda följande: S = a*h/2, där S är arean av ​triangeln, a är en av triangelns sidor, och h - höjd, till sida a.

Det finns ett känt sätt att bestämma arean av en triangel om tre av dess sidor är kända. Hon är Herons formel. För att förenkla inspelningen införs ett mellanvärde - en semi-perimeter: p \u003d (a + b + c) / 2, där a, b, c - . Då är Herons formel som följer: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ exponentiering.

Anta att du känner till en av sidorna i en triangel och tre vinklar. Då är det lätt att hitta arean av triangeln: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), där β är vinkeln motsatt sida a, och α och γ är vinklar intill sidan.

Relaterade videoklipp

notera

Den mest generella formeln som är lämplig för alla fall är Herons formel.

Källor:

Tips 3: Hur man hittar arean av en triangel givet tre sidor

Att hitta arean av en triangel är en av de vanligaste uppgifterna skolplanimetri. Att känna till de tre sidorna av en triangel är tillräckligt för att bestämma arean av en triangel. I speciella fall och liksidiga trianglar räcker det att känna till längden på två respektive en sida.

Du kommer behöva

• sidolängder av trianglar, Herons formel, cosinussats

Instruktion

Herons formel för arean av en triangel är följande: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Om du målar halvperimetern p så får du: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Du kan också härleda en formel för arean av en triangel från överväganden, till exempel genom att tillämpa cosinussatsen.

Enligt cosinuslagen är AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Med den introducerade notationen kan dessa också ha formen: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Därför cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Arean av en triangel hittas också av formeln S = a*c*sin(ABC)/2 genom två sidor och vinkeln mellan dem. Sinus för vinkel ABC kan uttryckas i termer av det med hjälp av den grundläggande trigonometrisk identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Genom att ersätta sinus i formeln för området och måla det, kan du komma till formeln för arean av triangeln ABC.

Relaterade videoklipp

För reparationsarbete kan behöva mätas fyrkant väggar. Det är lättare att beräkna den nödvändiga mängden färg eller tapeter. För mått är det bäst att använda ett måttband eller centimeterband. Mätningar bör tas efter väggar har anpassats.

Du kommer behöva

• -roulett;
• -stege.

Instruktion

Att räkna fyrkant väggar måste du veta exakt höjd tak, samt att mäta längden längs golvet. Detta görs på följande sätt: ta en centimeter, lägg den över sockeln. Vanligtvis räcker inte en centimeter för hela längden, så fixa den i hörnet och linda sedan av den till maximal längd. Vid det här laget sätter du ett märke med en penna, skriv ner resultatet och utför ytterligare mätning på samma sätt, med början från kl. sista punkten mått.

Standardtak i typiska - 2 meter 80 centimeter, 3 meter och 3 meter 20 centimeter, beroende på hus. Om huset byggdes före 50-talet är sannolikt den faktiska höjden något lägre än vad som anges. Om du räknar fyrkant för reparationsarbete, då skadar inte en liten marginal - överväg baserat på standarden. Om du fortfarande behöver veta den verkliga höjden - ta mått. Principen liknar att mäta längd, men du behöver en stege.

Multiplicera de resulterande siffrorna - detta är fyrkant din väggar. Sant, för målningsarbete eller för att det är nödvändigt att subtrahera fyrkant dörr- och fönsteröppningar. För att göra detta, lägg en centimeter längs öppningen. Om en vi pratar om dörren som du i efterhand ska byta, utför sedan med dörrkarmen borttagen, endast med tanke på fyrkant själva öppningen. Fönsterytan beräknas längs omkretsen av dess ram. Efter fyrkant fönster och dörröppning beräknade, subtrahera resultatet från den totala arean av rummet som erhållits.

Observera att mätningar av rummets längd och bredd utförs tillsammans, det är lättare att fixa en centimeter eller ett måttband och följaktligen få ett mer exakt resultat. Ta samma mått flera gånger för att se till att siffrorna du får är korrekta.

Relaterade videoklipp

Att hitta volymen på en triangel är verkligen en icke-trivial uppgift. Faktum är att en triangel är en tvådimensionell figur, d.v.s. den ligger helt i ett plan, vilket betyder att den helt enkelt inte har någon volym. Naturligtvis kan du inte hitta något som inte finns. Men låt oss inte ge upp! Vi kan göra följande antagande - volymen av en tvådimensionell figur, detta är dess område. Vi letar efter arean av triangeln.

Du kommer behöva

• pappersark, penna, linjal, miniräknare

Instruktion

Rita på ett pappersark med linjal och penna. Genom att noggrant undersöka triangeln kan du försäkra dig om att den verkligen inte har det, eftersom den är ritad på ett plan. Märk sidorna av triangeln: låt en sida vara sida "a", den andra sidan "b" och den tredje sidan "c". Märk triangelns hörn med bokstäverna "A", "B" och "C".

Mät valfri sida av triangeln med en linjal och skriv ner resultatet. Efter det, återställ vinkelrät till den uppmätta sidan från motsatt vertex, en sådan vinkelrät kommer att vara triangelns höjd. I fallet som visas i figuren återställs vinkelrät "h" till sidan "c" från vertex "A". Mät den resulterande höjden med en linjal och registrera resultatet av mätningen.

Det kan hända att du har svårt att återställa den exakta vinkelrät. I det här fallet bör du använda en annan formel. Mät alla sidor av triangeln med en linjal. Efter det, beräkna halva omkretsen av triangeln "p" genom att lägga till de resulterande längderna på sidorna och dela deras summa på mitten. Med värdet av halvperimetern till ditt förfogande kan du använda Heron-formeln. För att göra detta måste du ta kvadratroten av följande: p(p-a)(p-b)(p-c).

Du har fått önskat område av triangeln. Problemet med att hitta volymen av en triangel har inte lösts, men som nämnts ovan är volymen inte . Du kan hitta volym som i huvudsak är en triangel i 3D-världen. Om vi ​​föreställer oss att vår ursprungliga triangel har blivit en tredimensionell pyramid, kommer volymen av en sådan pyramid att vara produkten av längden på dess bas och arean av triangeln vi fick.

notera

Beräkningar blir mer exakta ju mer noggrant du gör mätningar.

Källor:

• Allt-till-alla-kalkylator - Referensportal
• triangelvolym 2019

De tre punkter som unikt definierar en triangel i det kartesiska koordinatsystemet är dess hörn. Genom att känna till deras position i förhållande till var och en av koordinataxlarna kan du beräkna alla parametrar för denna platta figur, inklusive den som begränsas av dess omkrets fyrkant. Detta kan göras på flera sätt.

Instruktion

Använd Herons formel för att beräkna arean triangel. Det handlar om dimensionerna på de tre sidorna av figuren, så börja beräkningarna med. Längden på varje sida måste vara lika med roten av summan av kvadraterna av längderna av dess projektioner på koordinataxlarna. Om vi ​​betecknar koordinaterna A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) och C(X₃,Y₃,Z₃) kan längderna på deras sidor uttryckas på följande sätt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

För att förenkla beräkningarna, ange en hjälpvariabel - semi-perimetern (P). Från det är detta halva summan av längderna på alla sidor: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Som du kanske minns från skolans läroplan i geometri är en triangel en figur som bildas av tre segment som är förbundna med tre punkter som inte ligger på en rät linje. Triangeln bildar tre vinklar, därav namnet på figuren. Definitionen kan vara annorlunda. En triangel kan också kallas en polygon med tre hörn, svaret blir lika sant. Trianglar delas in efter antalet lika sidor och storleken på vinklarna i figurerna. Så särskilj sådana trianglar som likbenta, liksidiga och skalenliga, såväl som rektangulära, spetsvinklade respektive trubbvinklade.

Det finns många formler för att beräkna arean av en triangel. Välj hur du ska hitta arean av en triangel, dvs. vilken formel du ska använda, bara du. Men det är värt att notera bara några av notationen som används i många formler för att beräkna arean av en triangel. Så kom ihåg:

S är arean av triangeln,

a, b, c är triangelns sidor,

h är triangelns höjd,

R är radien för den omskrivna cirkeln,

p är halvperimetern.

Här är de grundläggande notationerna som kan komma väl till pass om du helt har glömt bort geometrins förlopp. De mest förståeliga och inte komplicerade alternativen för att beräkna det okända och mystiska området i triangeln kommer att ges nedan. Det är inte svårt och kommer väl till pass både för ditt hushållsbehov och för att hjälpa dina barn. Låt oss komma ihåg hur man beräknar arean av en triangel lika lätt som att skala päron:

I vårt fall är arean av triangeln: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 cm2. Kom ihåg att arean mäts i kvadratcentimeter (sqcm).

Rätt triangel och dess area.

En rätvinklig triangel är en triangel med en vinkel lika med 90 grader (kallas därför en rätvinklig triangel). En rät vinkel bildas av två vinkelräta linjer (i fallet med en triangel, två vinkelräta segment). I en rätvinklig triangel kan det bara finnas en rät vinkel, eftersom summan av alla vinklar i en triangel är 180 grader. Det visar sig att 2 andra vinklar ska dela de återstående 90 graderna mellan sig, till exempel 70 och 20, 45 och 45 osv. Så du kom ihåg det viktigaste, det återstår att ta reda på hur man hittar området rät triangel. Föreställ dig att vi har en sådan rätvinklig triangel framför oss, och vi måste hitta dess area S.

1. Det enklaste sättet att bestämma arean av en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av följande formel:

I vårt fall är arean av en rätvinklig triangel: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.

I princip är det inte längre nödvändigt att verifiera arean av en triangel på andra sätt, eftersom i vardagen kommer det väl till pass och bara den här hjälper. Men det finns också alternativ för att mäta arean av en triangel genom spetsiga vinklar.

2. För andra beräkningsmetoder måste du ha en tabell med cosinus, sinus och tangenter. Bedöm själv, här är några alternativ för att beräkna arean av en rätvinklig triangel som du fortfarande kan använda:

Vi bestämde oss för att använda den första formeln och med små fläckar (vi ritade in en anteckningsbok och använde gammal linjal och en gradskiva), men vi fick rätt beräkning:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Vi fick sådana resultat 3,6=3,7, men med hänsyn till cellförskjutningen kan vi förlåta denna nyans.

Likbent triangel och dess area.

Om du står inför uppgiften att beräkna formeln för en likbent triangel, är det enklaste sättet att använda den huvudsakliga och, som anses vara den klassiska formeln för arean av en triangel.

Men först, innan vi hittar arean av en likbent triangel, kommer vi att ta reda på vilken typ av figur det är. En likbent triangel är en triangel vars två sidor är lika långa. Dessa två sidor kallas sidorna, den tredje sidan kallas basen. Blanda inte ihop en likbent triangel med en liksidig, d.v.s. en liksidig triangel med alla tre sidor lika. I en sådan triangel finns det inga speciella tendenser till vinklarna, eller snarare till deras storlek. Vinklarna vid basen i en likbent triangel är dock lika, men skiljer sig från vinkeln mellan lika sidor. Så, du känner redan till den första och huvudformeln, det återstår att ta reda på vilka andra formler som är kända för att bestämma arean av en likbent triangel:

En triangel är en geometrisk figur som består av tre linjer som möts i punkter som inte ligger på samma linje. Linjernas kopplingspunkter är triangelns hörn, som är betecknade med latinska bokstäver(till exempel A, B, C). De sammanbindande raka linjerna i en triangel kallas segment, som också vanligtvis betecknas med latinska bokstäver. Det finns följande typer av trianglar:

• Rektangulär.
• trubbig.
• Akutvinklad.
• Mångsidig.
• Liksidig.
• Likbent.

Allmänna formler för att beräkna arean av en triangel

Formel för triangelarea för längd och höjd

S=a*h/2,
där a är längden på sidan av triangeln vars area ska hittas, h är längden på höjden som dras till basen.

Herons formel

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
där √ är kvadratroten, p är triangelns halvperimeter, a,b,c är längden på varje sida av triangeln. Halvperimetern för en triangel kan beräknas med formeln p=(a+b+c)/2.

Formeln för arean av en triangel när det gäller segmentets vinkel och längd

S = (a*b*sin(α))/2,
var b,c är längden på triangelns sidor, sin (α) är sinus för vinkeln mellan de två sidorna.

Formeln för arean av en triangel givet radien för den inskrivna cirkeln och tre sidor

S=p*r,
där p är halvperimetern av triangeln vars area ska hittas, r är radien för cirkeln inskriven i denna triangel.

Formeln för arean av en triangel givet tre sidor och radien av en cirkel omskriven runt den

S= (a*b*c)/4*R,
där a,b,c är längden på varje sida av triangeln, R är radien för den omskrivna cirkeln runt triangeln.

Formeln för arean av en triangel i kartesiska koordinater för punkter

De kartesiska koordinaterna för punkter är koordinater i xOy-systemet, där x är abskissan och y är ordinatan. Det kartesiska koordinatsystemet xOy på planet kallas de ömsesidigt vinkelräta numeriska axlarna Ox och Oy med en gemensam referenspunkt i punkt O. Om koordinaterna för punkterna på detta plan ges i formen A (x1, y1), B (x2) , y2) och C (x3, y3 ), då kan du beräkna arean av en triangel med hjälp av följande formel, som erhålls från korsprodukten av två vektorer.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
där || står för modul.

Hur man hittar arean av en rätvinklig triangel

En rätvinklig triangel är en triangel som har en vinkel på 90 grader. En triangel kan bara ha en sådan vinkel.

Formeln för arean av en rätvinklig triangel på två ben

S=a*b/2,
där a,b är längden på benen. Benen kallas sidorna som gränsar till rät vinkel.

Formeln för arean av en rätvinklig triangel givet hypotenusan och den spetsiga vinkeln

S = a*b*sin(α)/ 2,
där a, b är benen i triangeln och sin(α) är sinus för vinkeln där linjerna a, b skär varandra.

Formeln för arean av en rätvinklig triangel efter ben och motsatt vinkel

S = a*b/2*tg(β),
där a, b är benen i triangeln, tg(β) är tangenten till vinkeln med vilken benen a, b är sammankopplade.

Hur man beräknar arean av en likbent triangel

En likbent triangel är en som har två lika sidor. Dessa sidor kallas sidorna och den andra sidan är basen. Du kan använda en av följande formler för att beräkna arean av en likbent triangel.

Den grundläggande formeln för att beräkna arean av en likbent triangel

S=h*c/2,
där c är triangelns bas, h är triangelns höjd sänkt till basen.

Formel för en likbent triangel på laterala sidan och basen

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
där c är basen av triangeln, a är värdet på en av sidorna av den likbenta triangeln.

Hur man hittar arean av en liksidig triangel

En liksidig triangel är en triangel där alla sidor är lika. För att beräkna arean av en liksidig triangel kan du använda följande formel:
S = (√3*a*a)/4,
där a är längden på sidan av en liksidig triangel.

Ovanstående formler låter dig beräkna den erforderliga arean av triangeln. Det är viktigt att komma ihåg att för att kunna beräkna avståndet mellan trianglar måste man ta hänsyn till typen av triangel och tillgängliga data som kan användas för beräkningen.