Tecken på trapetsens mittlinje. Trapetsens medianlinje

Konceptet med trapetsens mittlinje

Låt oss först komma ihåg vilken figur som kallas en trapets.

Definition 1

En trapets är en fyrhörning där två sidor är parallella och de andra två inte är parallella.

I det här fallet kallas parallella sidor för trapetsens baser, och inte parallella - trapetsens sidor.

Definition 2

Mittlinjen i en trapets är ett linjesegment som förbinder mittpunkterna på trapetsens sidor.

Trapets mittlinjesats

Vi introducerar nu satsen på mittlinjen av en trapets och bevisar den med vektormetoden.

Sats 1

Trapetsets medianlinje är parallell med baserna och lika med hälften av deras summa.

Bevis.

Låt oss ges en trapets $ABCD$ med baserna $AD\ och\ BC$. Och låt $MN$ vara mittlinjen för denna trapets (Fig. 1).

Figur 1. Trapetsets mittlinje

Låt oss bevisa att $MN||AD\ och\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Betrakta vektorn $\overrightarrow(MN)$. Därefter använder vi polygonregeln för vektoraddition. Å ena sidan får vi det

På andra sidan

Lägger vi till de två sista likheterna får vi

Eftersom $M$ och $N$ är mittpunkterna på trapetsens sidor, har vi

Vi får:

Därav

Från samma likhet (eftersom $\overrightarrow(BC)$ och $\overrightarrow(AD)$ är samriktade, och därför kolinjära), får vi att $MN||AD$.

Teoremet har bevisats.

Exempel på uppgifter om begreppet mittlinje i en trapets

Exempel 1

Sidorna på trapetsen är $15\cm$ respektive $17\cm$. Omkretsen av trapetsen är $52\cm$. Hitta längden på trapetsens mittlinje.

Beslut.

Beteckna trapetsens mittlinje med $n$.

Summan av sidorna är

Därför, eftersom omkretsen är $52\ cm$, är summan av baserna

Därför får vi genom sats 1

Svar:$10\cm$.

Exempel 2

Ändarna på cirkelns diameter är $9$ cm respektive $5$ cm från dess tangent. Hitta diametern på denna cirkel.

Beslut.

Låt oss få en cirkel med centrum $O$ och diameter $AB$. Rita tangenten $l$ och konstruera avstånden $AD=9\ cm$ och $BC=5\ cm$. Låt oss rita radien $OH$ (Fig. 2).

Figur 2.

Eftersom $AD$ och $BC$ är avstånden till tangenten, då $AD\bot l$ och $BC\bot l$ och eftersom $OH$ är radien, då $OH\bot l$, därav $OH | \left|AD\right||BC$. Av allt detta får vi att $ABCD$ är en trapets, och $OH$ är dess mittlinje. Genom sats 1 får vi

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Personlig information avser data som kan användas för att identifiera viss person eller kontakt med honom.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika information inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan även använda personlig information för interna ändamål såsom revision, dataanalys och olika studier för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och för att ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det behövs - i enlighet med lagen, rättsligt förfarande, i rättstvister, och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta denne.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Trapetsets område. Hälsningar! I den här publikationen kommer vi att överväga denna formel. Varför är det som det är och hur kan du förstå det? Om det finns en förståelse behöver du inte lära dig den. Om du bara vill se den här formeln och vad som är brådskande kan du genast scrolla ner på sidan))

Nu i detalj och i ordning.

En trapets är en fyrhörning, två sidor av denna fyrhörning är parallella, de andra två är det inte. De som inte är parallella är trapetsets baser. De andra två kallas sidor.

Om sidorna är lika, kallas trapetsen likbent. Om en av sidorna är vinkelrät mot baserna, kallas en sådan trapets rektangulär.

I den klassiska formen är trapetsen avbildad enligt följande - den större basen är längst ner respektive den mindre är överst. Men ingen förbjuder att avbilda det och vice versa. Här är skisserna:

Nästa viktiga koncept.

Medianlinjen för en trapets är ett segment som förbinder sidornas mittpunkter. Medianlinjen är parallell med trapetsens baser och är lika med deras halvsumma.

Låt oss nu gräva djupare. Varför exakt?

Tänk på en trapets med baser a och b och med mittlinjen l, och utför några ytterligare konstruktioner: rita raka linjer genom baserna och vinkelräta genom ändarna av mittlinjen tills de korsar baserna:

*Bokstavsbeteckningar på hörn och andra punkter skrivs inte in avsiktligt för att undvika onödiga beteckningar.

Titta, trianglarna 1 och 2 är lika enligt det andra tecknet på likhet av trianglar, trianglarna 3 och 4 är lika. Från trianglarnas likhet följer elementens jämlikhet, nämligen benen (de anges i blått respektive rött).

Nu uppmärksamhet! Om vi ​​mentalt "klipper av" de blå och röda segmenten från den nedre basen, kommer vi att ha ett segment (detta är sidan av rektangeln) som är lika med mittlinjen. Vidare, om vi "limmar" de avskurna blå och röda segmenten på trapetsens övre bas, kommer vi också att få ett segment (detta är också rektangelns sida) som är lika med trapetsens mittlinje.

Jag fattar? Det visar sig att summan av baserna kommer att vara lika med trapetsens två medianer:

Se en annan förklaring

Låt oss göra följande - bygg en rät linje som går genom den nedre basen av trapetsen och en rät linje som kommer att passera genom punkterna A och B:

Vi får trianglar 1 och 2, de är lika i sidovinklar och intilliggande vinklar (det andra tecknet på trianglars likhet). Detta betyder att det resulterande segmentet (i skissen är det markerat i blått) är lika med trapetsens övre bas.

Tänk nu på en triangel:

*Medianlinjen för denna trapets och triangelns medianlinje sammanfaller.

Det är känt att triangeln är lika med hälften av basen parallell med den, det vill säga:

Okej jag förstår. Nu om området för trapetsen.

Formel för trapetsarea:

De säger: arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av dess baser och höjd.

Det vill säga, det visar sig att det är lika med produkten av mittlinjen och höjden:

Du har säkert redan märkt att detta är uppenbart. Geometriskt kan detta uttryckas på följande sätt: om vi mentalt skär av trianglarna 2 och 4 från trapetsen och sätter dem på trianglarna 1 respektive 3:

Då får vi en rektangel i area lika med arean vår trapets. Arean av denna rektangel kommer att vara lika med produkten av mittlinjen och höjden, det vill säga vi kan skriva:

Men poängen här är naturligtvis inte skriftligt, utan förståelse.

Ladda ner (visa) materialet i artikeln i *pdf-format

Det är allt. Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander.

En fyrhörning med bara två parallella sidor kallas trapets.

De parallella sidorna av en trapets kallas dess grunder, och de sidor som inte är parallella kallas sidor. Om sidorna är lika, är en sådan trapets likbent. Avståndet mellan baserna kallas trapetsens höjd.

Mellanlinjen av trapets

Medianlinjen är ett segment som förbinder mittpunkterna på trapetsens sidor. Mittlinjen för en trapets är parallell med dess baser.

Sats:

Om en linje som skär ena sidans mittpunkt är parallell med baserna på en trapets, så delar den den andra laterala sidan trapets.

Sats:

Längden på mittlinjen är lika med det aritmetiska medelvärdet av längderna på dess baser

MN mittlinje, AB och CD - baser, AD och BC - sidor

MN=(AB+DC)/2

Sats:

Längden på mittlinjen av en trapets är lika med det aritmetiska medelvärdet av längderna på dess baser.

Huvuduppgiften: Bevisa att mittlinjen på en trapets delar ett segment vars ändar ligger i mitten av trapetsens baser.

Triangelns mittlinje

Linjesegmentet som förbinder mittpunkterna på de två sidorna av en triangel kallas triangelns mittlinje. Den är parallell med den tredje sidan och dess längd är hälften av den tredje sidans längd.
Sats: Om en linje som skär mittpunkten på en sida av en triangel är parallell med den andra sidan av den givna triangeln, så delar den den tredje sidan.

AM = MC och BN = NC =>

Tillämpa egenskaper för triangel och trapets

Uppdelningen av ett segment i ett visst antal lika delar.
Uppgift: Dela upp segment AB i 5 lika delar.
Beslut:
Låt p vara en slumpmässig stråle vars ursprung är punkt A och som inte ligger på linjen AB. Vi avsätter sekventiellt 5 lika stora segment på p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Vi kopplar A 5 till B och drar linjer genom A 4 , A 3 , A 2 och A 1 som är parallella med A 5 B. De skär AB vid B 4 , B 3 , B 2 respektive B 1. Dessa punkter delar segment AB i 5 lika delar. Från trapetsen BB 3 A 3 A 5 ser vi faktiskt att BB 4 = B 4 B 3 . På samma sätt, från trapetsen B 4 B 2 A 2 A 4 får vi B 4 B 3 = B 3 B 2

Medan från trapetsen B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Sedan av B 2 AA 2 följer att B 2 B 1 = B 1 A. Sammanfattningsvis får vi:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Det är tydligt att för att dela upp segmentet AB i ytterligare ett antal lika delar måste vi projicera samma antal lika segment på strålen p. Och fortsätt sedan på det sätt som beskrivits ovan.