Värdet av derivatan av funktionen vid punkten är lika med. Hitta värdet på derivatan av funktionen vid punkten x0

11.10.2019

Det är absolut omöjligt att lösa fysiska problem eller exempel i matematik utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivatan är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel åt detta grundläggande ämne. Vad är en derivata, vad är dess fysiska och geometriska betydelse, hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?

Geometrisk och fysisk betydelse av derivatan

Låt det finnas en funktion f(x) , ges i något intervall (a,b) . Punkterna x och x0 tillhör detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Argumentförändring - skillnad mellan dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. Förändringen eller ökningen av en funktion är skillnaden mellan funktionens värden vid två punkter. Derivatdefinition:

Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.

Annars kan det skrivas så här:

Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Men vilken:

derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.

fysisk mening derivat: tidsderivatan av banan är lika med hastigheten för den rätlinjiga rörelsen.

Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en privat väg. x=f(t) och tid t . medelhastighet under en viss tid:

För att ta reda på rörelsehastigheten åt gången t0 du måste beräkna gränsen:

Regel ett: ta ut konstanten

Konstanten kan tas ut ur derivatans tecken. Dessutom måste det göras. När du löser exempel i matematik, ta som regel - om du kan förenkla uttrycket, se till att förenkla .

Exempel. Låt oss beräkna derivatan:

Regel två: derivata av summan av funktioner

Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.

Vi kommer inte att ge ett bevis för denna sats, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.

Hitta derivatan av en funktion:

Regel tre: derivatan av produkten av funktioner

Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:

Exempel: hitta derivatan av en funktion:

Beslut:

Här är det viktigt att säga om beräkningen av derivator av komplexa funktioner. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet med derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

I exemplet ovan möter vi uttrycket:

I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, betraktar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet, och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

Regel fyra: Derivatan av kvoten av två funktioner

Formel för att bestämma derivatan av en kvot av två funktioner:

Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så var varning: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.

Om du har frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. Bakom kortsiktigt vi hjälper dig att lösa det svåraste testet och ta itu med uppgifter, även om du aldrig har sysslat med beräkning av derivat tidigare.

Operationen att hitta en derivata kallas differentiering.

Som ett resultat av att lösa problem med att hitta derivator av de enklaste (och inte särskilt enkla) funktionerna genom att definiera derivatan som gränsen för förhållandet mellan ökningen och ökningen av argumentet, dök en tabell med derivator och exakt definierade regler för differentiering upp . Isaac Newton (1643-1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var de första som arbetade med att hitta derivator.

Därför, i vår tid, för att hitta derivatan av någon funktion, är det inte nödvändigt att beräkna den ovan nämnda gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, utan behöver bara använda tabellen av derivat och reglerna för differentiering. Följande algoritm är lämplig för att hitta derivatan.

För att hitta derivatan, behöver du ett uttryck under strecktecknet bryta ner enkla funktioner och bestämma vilka åtgärder (produkt, summa, kvot) dessa funktioner är relaterade. Vidare hittar vi derivatorna av elementära funktioner i tabellen över derivator och formlerna för derivatorna av produkten, summan och kvoten - i differentieringsreglerna. Tabellen över derivat och differentieringsregler ges efter de två första exemplen.

Exempel 1 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Från reglerna för differentiering får vi reda på att derivatan av summan av funktioner är summan av derivator av funktioner, d.v.s.

Från tabellen med derivator får vi reda på att derivatan av "X" är lika med ett, och derivatan av sinus är cosinus. Vi ersätter dessa värden i summan av derivator och hittar den derivata som krävs av problemets tillstånd:

Exempel 2 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi differentierar som en derivata av summan, där den andra termen med en konstant faktor kan tas ur derivatans tecken:

Om det fortfarande finns frågor om var något kommer ifrån blir de som regel tydliga efter att ha läst derivattabellen och de enklaste reglerna för differentiering. Vi ska till dem just nu.

Tabell över derivator av enkla funktioner

1. Derivata av en konstant (tal). Valfritt tal (1, 2, 5, 200...) som finns i funktionsuttrycket. Alltid noll. Detta är mycket viktigt att komma ihåg, eftersom det krävs väldigt ofta
2. Derivata av den oberoende variabeln. Oftast "x". Alltid lika med ett. Detta är också viktigt att komma ihåg
3. Derivat av examen. När du löser problem måste du konvertera icke-kvadratrötter till en potens.
4. Derivata av en variabel i potensen -1
5. Derivat roten ur
6. Sinusderivat
7. Cosinusderivat
8. Tangentderivat
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av bågekosinus
12. Derivata av bågtangens
13. Derivata av den inversa tangenten
14. Derivata av naturlig logaritm
15. Derivata av en logaritmisk funktion
16. Exponentens derivata
17. Derivata av exponentialfunktion

Differentieringsregler

1. Derivata av summan eller skillnaden
2. Derivat av en produkt
2a. Derivat av ett uttryck multiplicerat med en konstant faktor
3. Derivat av kvoten
4. Derivata av en komplex funktion

Regel 1Om funktioner

är differentierbara vid något tillfälle, sedan vid samma punkt funktionerna

och

de där. derivatan av den algebraiska summan av funktioner är lika med den algebraiska summan av derivatorna av dessa funktioner.

Följd. Om två differentierbara funktioner skiljer sig åt med en konstant, är deras derivator det, dvs.

Regel 2Om funktioner

är differentierbara någon gång, då är deras produkt också differentierbar vid samma punkt

och

de där. derivatan av produkten av två funktioner är lika med summan av produkterna av var och en av dessa funktioner och derivatan av den andra.

Konsekvens 1. Den konstanta faktorn kan tas ur derivatans tecken:

Konsekvens 2. Derivatan av produkten av flera differentierbara funktioner är lika med summan av produkterna av derivatan av var och en av faktorerna och alla de andra.

Till exempel, för tre multiplikatorer:

Regel 3Om funktioner

differentierbar någon gång och , då är deras kvot vid denna tidpunkt också differentierbar.u/v, och

de där. derivatan av en kvot av två funktioner är lika med en bråkdel vars täljare är skillnaden mellan produkterna av nämnaren och derivatan av täljaren och täljaren och derivatan av nämnaren, och nämnaren är kvadraten på den tidigare täljaren .

Var man kan leta på andra sidor

När man hittar produktens derivata och kvoten i verkliga problem är det alltid nödvändigt att tillämpa flera differentieringsregler samtidigt, så fler exempel på dessa derivat finns i artikeln."Derivatet av en produkt och en kvot".

Kommentar. Du ska inte blanda ihop en konstant (det vill säga ett tal) som en term i summan och som en konstant faktor! När det gäller en term är dess derivata lika med noll, och i fallet med en konstant faktor tas den ur derivatans tecken. Detta är typiskt misstag, som inträffar på inledande skede lära sig derivator, men eftersom de löser flera en-tvåkomponentsexempel gör den genomsnittliga eleven inte längre detta misstag.

Och om du, när du särskiljer en produkt eller en kvot, har en term u"v, vart i u- ett tal, till exempel 2 eller 5, det vill säga en konstant, då kommer derivatan av detta tal att vara lika med noll och därför kommer hela termen att vara lika med noll (ett sådant fall analyseras i exempel 10) .

Ett annat vanligt misstag är den mekaniska lösningen av derivatan av en komplex funktion som derivatan av en enkel funktion. Så derivata av en komplex funktionär hängiven separat artikel. Men först ska vi lära oss att hitta derivator av enkla funktioner.

Längs vägen kan du inte klara dig utan omvandlingar av uttryck. För att göra detta kan du behöva öppna i nya Windows-manualer Handlingar med krafter och rötter och Åtgärder med bråk .

Om du letar efter lösningar på derivator med potenser och rötter, det vill säga när funktionen ser ut som , följ sedan lektionen "Derivat av summan av bråk med potenser och rötter".

Om du har en uppgift som , då är du inne på lektionen "Derivater av enkla trigonometriska funktioner".

Steg för steg exempel - hur man hittar derivatan

Exempel 3 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi bestämmer delarna av funktionsuttrycket: hela uttrycket representerar produkten, och dess faktorer är summor, i den andra av vilka en av termerna innehåller en konstant faktor. Vi tillämpar produktdifferentieringsregeln: derivatan av produkten av två funktioner är lika med summan av produkterna för var och en av dessa funktioner och derivatan av den andra:

Därefter tillämpar vi regeln om differentiering av summan: derivatan av den algebraiska summan av funktioner är lika med den algebraiska summan av derivatorna av dessa funktioner. I vårt fall, i varje summa, den andra termen med ett minustecken. I varje summa ser vi både en oberoende variabel, vars derivata är lika med en, och en konstant (tal), vars derivata är lika med noll. Så, "x" förvandlas till ett och minus 5 - till noll. I det andra uttrycket multipliceras "x" med 2, så vi multiplicerar två med samma enhet som derivatan av "x". Vi får följande värden på derivat:

Vi ersätter de hittade derivatorna i summan av produkter och erhåller derivatan av hela funktionen som krävs av problemets tillstånd:

Exempel 4 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi måste hitta derivatan av kvoten. Vi tillämpar formeln för att differentiera en kvot: derivatan av en kvot av två funktioner är lika med en bråkdel vars täljare är skillnaden mellan produkterna av nämnaren och derivatan av täljaren och täljaren och derivatan av nämnaren, och nämnaren är kvadraten på den tidigare täljaren. Vi får:

Vi har redan hittat derivatan av faktorerna i täljaren i exempel 2. Låt oss inte heller glömma att produkten, som är den andra faktorn i täljaren, tas med ett minustecken i det aktuella exemplet:

Om du letar efter lösningar på sådana problem där du behöver hitta derivatan av en funktion, där det finns en kontinuerlig hög med rötter och grader, som t.ex. då välkommen till klassen "Derivatan av summan av bråk med potenser och rötter" .

Om du behöver lära dig mer om derivator av sinus, cosinus, tangenter och andra trigonometriska funktioner, det vill säga när funktionen ser ut , då har du en lektion "Derivater av enkla trigonometriska funktioner" .

Exempel 5 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. I denna funktion ser vi en produkt, vars en av faktorerna är kvadratroten av den oberoende variabeln, med den derivata som vi bekantade oss med i tabellen över derivator. Enligt produktdifferentieringsregeln och tabellvärdet för derivatan av kvadratroten får vi:

Exempel 6 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. I denna funktion ser vi kvoten, vars utdelning är kvadratroten av den oberoende variabeln. Enligt regeln om differentiering av kvoten, som vi upprepade och tillämpade i exempel 4, och tabellvärdet för derivatan av kvadratroten, får vi:

För att bli av med bråket i täljaren, multiplicera täljaren och nämnaren med .

Exempel 1

Referens: Följande sätt att notera en funktion är likvärdiga: I vissa uppgifter är det bekvämt att beteckna funktionen som en "spelare" och i vissa som "ef från x".

Först hittar vi derivatan:

Exempel 2

Beräkna derivatan av en funktion vid en punkt

, , full funktionsstudie och så vidare.

Exempel 3

Beräkna derivatan av funktionen vid punkten . Låt oss först hitta derivatan:

Tja, det är en helt annan sak. Beräkna värdet på derivatan vid punkten:

I händelse av att du inte förstår hur derivatan hittades, gå tillbaka till de två första lektionerna i ämnet. Om det finns svårigheter (missförstånd) med bågtangensen och dess betydelser, nödvändigtvis studie metodiskt material Grafer och egenskaper hos elementära funktioner- det allra sista stycket. För det finns fortfarande tillräckligt med arktangenter för studentåldern.

Exempel 4

Beräkna derivatan av funktionen vid punkten .

Ekvationen för tangenten till grafen för funktionen

För att konsolidera föregående stycke, överväg problemet med att hitta tangenten till funktionsgrafik vid denna tidpunkt. Vi mötte den här uppgiften i skolan, och den finns också i högre matematik.

Tänk på ett "demonstration" elementärt exempel.

Skriv en ekvation för tangenten till grafen för funktionen i punkten med abskissan. Jag kommer omedelbart att ge en färdig grafisk lösning på problemet (i praktiken är detta inte nödvändigt i de flesta fall):

En rigorös definition av en tangent ges av definitioner av derivatan av en funktion, men tills vi behärskar teknisk del fråga. Säkert förstår nästan alla intuitivt vad en tangent är. Om du förklarar "på fingrarna", så är tangenten till grafen för funktionen hetero, som gäller grafen för funktionen i det enda punkt. I detta fall är alla närliggande punkter på den räta linjen placerade så nära grafen för funktionen som möjligt.

Som tillämpat på vårt fall: vid , tangenten (standardnotation) vidrör grafen för funktionen vid en enda punkt.

Och vår uppgift är att hitta ekvationen för en rät linje.

Derivata av en funktion vid en punkt

Hur hittar man derivatan av en funktion vid en punkt? Två uppenbara punkter med denna uppgift följer av formuleringen:

1) Det är nödvändigt att hitta derivatan.

2) Det är nödvändigt att beräkna värdet av derivatan vid en given punkt.

Exempel 1

Beräkna derivatan av en funktion vid en punkt

Hjälp: Följande sätt att notera en funktion är likvärdiga:

I vissa uppgifter är det bekvämt att beteckna funktionen som en "spelare" och i vissa som "ef från x".

Först hittar vi derivatan:

Jag hoppas att många redan har anpassat sig för att hitta sådana derivat oralt.

I det andra steget beräknar vi värdet på derivatan vid punkten:

Ett litet uppvärmningsexempel för en oberoende lösning:

Exempel 2

Beräkna derivatan av en funktion vid en punkt

Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Behovet av att hitta derivatan vid en punkt uppstår i följande uppgifter: konstruera en tangent till grafen för en funktion (nästa stycke), studie av en funktion för ett extremum , studie av funktionen för grafens böjning , full funktionsstudie och så vidare.

Men uppgiften i fråga inträffar i kontrollarbete och av sig själv. Och som regel, i sådana fall, ges funktionen ganska komplicerad. Överväg i detta avseende ytterligare två exempel.

Exempel 3

Beräkna derivatan av en funktion vid punkt.
Låt oss först hitta derivatan:

I princip hittas derivatan och det erforderliga värdet kan ersättas. Men jag vill egentligen inte göra någonting. Uttrycket är mycket långt och värdet på "x" är bråktal. Därför försöker vi förenkla vårt derivat så mycket som möjligt. I det här fallet, låt oss försöka reducera de tre sista termerna till en gemensam nämnare: vid punkt.

Det här är ett gör-det-själv-exempel.

Hur hittar man värdet på derivatan av funktionen F(x) vid Ho-punkten? Hur löser man det generellt?

Om formeln är given, hitta derivatan och ersätt X-noll istället för X. räkna
Om en vi pratar o b-8 ANVÄND, graf, då måste du hitta tangensen för vinkeln (skärp eller trubbig), som bildar en tangent till X-axeln (med hjälp av den mentala konstruktionen av en rätvinklig triangel och bestämning av vinkelns tangent)

Timur adilkhodzhaev

Först måste du bestämma dig för skylten. Om punkten x0 är i den nedre delen av koordinatplanet, kommer tecknet i svaret att vara minus, och om det är högre, då +.
För det andra behöver du veta vad som är tange i en rektangulär rektangel. Och detta är förhållandet mellan den motsatta sidan (benet) och den intilliggande sidan (även benet). Det brukar finnas några svarta märken på tavlan. Av dessa märken gör du rät triangel och hitta tanges.

Hur hittar man värdet på derivatan av funktionen f x i punkten x0?

det finns ingen specifik fråga - för 3 år sedan

I det allmänna fallet, för att hitta värdet av derivatan av en funktion med avseende på någon variabel vid någon punkt, är det nödvändigt att differentiera den givna funktionen med avseende på denna variabel. I ditt fall, med variabeln X. I det resulterande uttrycket, istället för X, sätt värdet av x vid den punkt för vilken du behöver hitta värdet på derivatan, dvs. i ditt fall, ersätt noll X och beräkna det resulterande uttrycket.

Tja, din önskan att förstå denna fråga, enligt min mening, förtjänar utan tvekan +, vilket jag uttryckte med gott samvete.

En sådan formulering av problemet med att hitta derivatan ställs ofta för att fixera materialet på den geometriska betydelsen av derivatan. En graf för en viss funktion föreslås, helt godtycklig och inte given av en ekvation, och det krävs för att hitta värdet på derivatan (inte själva derivatan!) vid den angivna punkten X0. För att göra detta konstrueras en tangent till den givna funktionen och punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna hittas. Sedan ritas ekvationen för denna tangent upp i formen y=kx+b.

I denna ekvation kommer koefficienten k och att vara värdet på derivatan. det återstår bara att hitta värdet på koefficienten b. För att göra detta hittar vi värdet på y vid x \u003d o, låt det vara lika med 3 - detta är värdet på koefficienten b. Vi ersätter värdena på X0 och Y0 i den ursprungliga ekvationen och hittar k - vårt värde på derivatan vid denna punkt.

Om vi följer definitionen så är derivatan av en funktion vid en punkt gränsen för ökningsförhållandet för funktionen Δ y till ökningen av argumentet Δ x:

Allt verkar vara klart. Men försök att beräkna med denna formel, säg derivatan av funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Om du gör allt per definition, kommer du helt enkelt att somna efter ett par sidor med beräkningar. Därför finns det enklare och mer effektiva sätt.

Till att börja med noterar vi att de så kallade elementära funktionerna kan särskiljas från alla olika funktioner. Det är relativt enkla uttryck, vars derivator länge har beräknats och lagts in i tabellen. Sådana funktioner är lätta nog att komma ihåg, tillsammans med deras derivator.

Derivater av elementära funktioner

Elementära funktioner är allt som listas nedan. Derivaterna av dessa funktioner måste vara kända utantill. Dessutom är det inte svårt att memorera dem - det är därför de är elementära.

Så, derivatorna av elementära funktioner:

namn	Fungera	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, noll!)
Examen med rationell exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	− synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturlig logaritm	f(x) = log x	1/x
Godtycklig logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponentiell funktion	f(x) = e x	e x(Inget förändrat)

Om en elementär funktion multipliceras med en godtycklig konstant, beräknas också derivatan av den nya funktionen enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

I allmänhet kan konstanter tas ur derivatans tecken. Till exempel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Uppenbarligen kan elementära funktioner läggas till varandra, multipliceras, delas och mycket mer. Så kommer nya funktioner att dyka upp, inte längre särskilt elementära, men också differentierbara enligt vissa regler. Dessa regler diskuteras nedan.

Derivat av summa och skillnad

Låt funktionerna f(x) och g(x), vars derivat är kända för oss. Du kan till exempel ta de elementära funktionerna som diskuterats ovan. Sedan kan du hitta derivatan av summan och skillnaden av dessa funktioner:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Så derivatan av summan (skillnaden) av två funktioner är lika med summan (skillnaden) av derivatorna. Det kan finnas fler termer. Till exempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strängt taget finns det inget begrepp om "subtraktion" i algebra. Det finns ett koncept av "negativt element". Därför skillnaden f − g kan skrivas om som en summa f+ (−1) g, och då återstår bara en formel - derivatan av summan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungera f(x) är summan av två elementära funktioner, så:

f ’(x) = (x 2+ synd x)’ = (x 2)' + (synd x)’ = 2x+ cosx;

Vi argumenterar på liknande sätt för funktionen g(x). Bara det finns redan tre termer (ur algebras synvinkel):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av en produkt

Matematik är en logisk vetenskap, så många tror att om derivatan av summan är lika med summan av derivatorna, så är derivatan av produkten strejk"\u003e lika med produkten av derivat. Men fikon till dig! Derivaten av produkten beräknas med en helt annan formel. Nämligen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formeln är enkel, men glöms ofta bort. Och inte bara skolbarn, utan också studenter. Resultatet är felaktigt lösta problem.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungera f(x) är en produkt av två elementära funktioner, så allt är enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungera g(x) den första multiplikatorn är lite mer komplicerad, men allmän ordning detta förändras inte. Uppenbarligen den första multiplikatorn av funktionen g(x) är ett polynom, och dess derivata är derivatan av summan. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observera att i det sista steget faktoriseras derivatan. Formellt är detta inte nödvändigt, men de flesta derivator beräknas inte på egen hand, utan för att utforska funktionen. Detta betyder att ytterligare kommer derivatan att likställas med noll, dess tecken kommer att upptäckas, och så vidare. För ett sådant fall är det bättre att ha ett uttryck uppdelat i faktorer.

Om det finns två funktioner f(x) och g(x), och g(x) ≠ 0 på uppsättningen av intresse för oss, vi kan definiera en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). För en sådan funktion kan du också hitta derivatan:

Inte svag, eller hur? Var kom minuset ifrån? Varför g 2? Men så här! Detta är en av de mest komplexa formlerna - du kan inte räkna ut det utan en flaska. Därför är det bättre att studera det med specifika exempel.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner:

Det finns elementära funktioner i täljaren och nämnaren för varje bråk, så allt vi behöver är formeln för derivatan av kvoten:

Av tradition räknar vi in täljaren i faktorer - detta kommer att förenkla svaret avsevärt:

En komplex funktion är inte nödvändigtvis en formel som är en halv kilometer lång. Det räcker till exempel att ta funktionen f(x) = synd x och byt ut variabeln x säg på x 2+ln x. Det visar sig f(x) = synd ( x 2+ln x) är en komplex funktion. Hon har också ett derivat, men det fungerar inte att hitta det enligt reglerna som diskuterats ovan.

Hur man är? I sådana fall hjälper ersättningen av en variabel och formeln för derivatan av en komplex funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', om x ersätts av t(x).

Som regel är situationen med förståelsen av denna formel ännu mer sorglig än med derivatan av kvoten. Därför är det också bättre att förklara det med specifika exempel, med detaljerad beskrivning varje steg.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2+ln x)

Observera att om i funktionen f(x) istället för uttryck 2 x+ 3 blir lätt x, då får vi en elementär funktion f(x) = e x. Därför gör vi ett byte: låt 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi letar efter derivatan av en komplex funktion med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Och nu - uppmärksamhet! Utföra en omvänd substitution: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Låt oss nu titta på funktionen g(x). Behöver så klart bytas ut. x 2+ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synd t)’ · t' = cos t · t ’

Omvänd ersättning: t = x 2+ln x. Sedan:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Det är allt! Som framgår av det sista uttrycket har hela problemet reducerats till att beräkna derivatan av summan.

Svar:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Mycket ofta i mina lektioner, istället för termen "derivat", använder jag ordet "stroke". Till exempel ett streck från summan är lika med summan slag. Är det tydligare? Ja det är bra.

Således kommer beräkningen av derivatan till att bli av med just dessa slag enligt reglerna som diskuterats ovan. Som ett sista exempel, låt oss återgå till derivatan med en rationell exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Få vet det i rollen n kan mycket väl agera bråktal. Till exempel är roten x 0,5 . Men vad händer om det finns något knepigt under roten? Återigen kommer en komplex funktion att visa sig - de gillar att ge sådana konstruktioner i prov och tentor.

Uppgift. Hitta derivatan av en funktion:

Låt oss först skriva om roten som en potens med en rationell exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu gör vi ett byte: låt x 2 + 8x − 7 = t. Vi hittar derivatan med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vi gör en omvänd substitution: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Till sist, tillbaka till rötterna:

Derivata av en funktion av en variabel.

Introduktion.

Verklig metodiska utvecklingar designad för studenter vid fakulteten för industri- och anläggningsteknik. De sammanställs i förhållande till programmet för matematikkursen i avsnittet "Differentialkalkyl för funktioner för en variabel."

Utvecklingen representerar en enda metodologisk guide, som inkluderar: kort teoretisk information; "typiska" uppgifter och övningar med detaljerade lösningar och förklaringar till dessa lösningar; kontrollalternativ.

Ytterligare övningar i slutet av varje stycke. En sådan utvecklingsstruktur gör dem lämpliga för självständig behärskning av avsnittet med minsta möjliga hjälp från läraren.

§ett. Definition av ett derivat.

Mekanisk och geometrisk betydelse

derivat.

Begreppet en derivata är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys, det uppstod redan på 1600-talet. Bildandet av begreppet en derivata är historiskt förknippad med två problem: problemet med hastigheten för variabel rörelse och problemet med en tangent till en kurva.

Dessa uppgifter, trots deras olika innehåll, leda till samma matematiska operation som måste utföras på en funktion. Denna operation har fått ett speciellt namn i matematik. Det kallas operationen att differentiera en funktion. Resultatet av en differentieringsoperation kallas en derivata.

Så, derivatan av funktionen y=f(x) i punkten x0 är gränsen (om den finns) för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet
på
.

Derivaten betecknas vanligtvis enligt följande:
.

Så per definition

Symbolerna används också för att beteckna derivatan
.

Den mekaniska betydelsen av derivatan.

Om s=s(t) är lagen för rätlinjig rörelse för en materiell punkt, då
är hastigheten för denna punkt vid tidpunkten t.

Den geometriska betydelsen av derivatan.

Om funktionen y=f(x) har en derivata i en punkt , då backe tangent till grafen för en funktion vid en punkt
lika
.

Exempel.

Hitta derivatan av en funktion
vid punkten =2:

1) Låt oss ge en poäng =2 steg
. Lägg märke till att.

2) Hitta ökningen av funktionen vid punkten =2:

3) Komponera förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet:

Låt oss hitta gränsen för relationen vid
:

Således,
.

§ 2. Derivat av vissa

de enklaste funktionerna.

Eleven behöver lära sig att beräkna derivator av specifika funktioner: y=x,y= och i allmänhet y= .

Hitta derivatan av funktionen y=x.

de där. (x)′=1.

Låt oss hitta derivatan av funktionen

Derivat

Låt vara
sedan

Det är lätt att lägga märke till ett mönster i uttrycken för derivator av en potensfunktion
vid n=1,2,3.

Därav,

. (1)

Denna formel är giltig för alla verkliga n.

I synnerhet, med hjälp av formel (1), har vi:

;

Exempel.

Hitta derivatan av en funktion

Denna funktion är ett specialfall av en funktion av formuläret

på
.

Med formel (1) har vi

Derivator av funktionerna y=sin x och y=cos x.

Låt y=sinx.

Dividera med ∆x, vi får

Vi har passerat till gränsen som ∆x→0

Låt y=cosx .

Går vi till gränsen som ∆x→0, får vi

;
. (2)

§3. Grundläggande regler för differentiering.

Tänk på reglerna för differentiering.

Sats1 . Om funktionerna u=u(x) och v=v(x) är differentierbara vid en given punkt x, är deras summa också differentierbar vid denna punkt, och derivatan av summan är lika med summan av derivattermerna: (u+v)"=u"+v".(3 )

Bevis: betrakta funktionen y=f(x)=u(x)+v(x).

Inkrementet ∆x för argumentet x motsvarar ökningarna ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) för funktionerna u och v. Då kommer funktionen y att ökas

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Därav,

Så, (u+v)"=u"+v".

Sats2. Om funktionerna u=u(x) och v=v(x) är differentierbara vid en given punkt x, så är deras produkt även differentierbar vid samma punkt. I detta fall hittas produktens derivata av följande formel : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Bevis: Låt y=uv, där u och v är några differentierbara funktioner av x. Låt x ökas med ∆x; då kommer u att ökas med ∆u, v kommer att ökas med ∆v och y kommer att ökas med ∆y.

Vi har y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), eller

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Därför är ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Härifrån

Om vi går till gränsen som ∆x→0 och tar hänsyn till att u och v inte är beroende av ∆x, har vi

Sats 3. Derivatan av en kvot av två funktioner är lika med ett bråk, vars nämnare är lika med kvadraten på divisorn, och täljaren är skillnaden mellan produkten av derivatan av divisorn och produkten av divisorn. utdelning genom delarens derivat, dvs.

Om en
sedan
(5)