Ett av de mest intressanta ämnena inom geometri från skolkursen är "Quadangles" (årskurs 8). Vilka typer av sådana figurer finns, vilka speciella egenskaper har de? Vad är unikt med fyrhörningar med nittio graders hörn? Låt oss titta på allt detta.

Vilken geometrisk figur kallas en fyrhörning

Polygoner, som består av fyra sidor och följaktligen av fyra hörn (hörn), kallas fyrhörningar i euklidisk geometri.

Historien om namnet på denna typ av figurer är intressant. På det ryska språket bildas substantivet "fyrkantigt" från frasen "fyra hörn" (precis som "triangel" - tre hörn, "femhörn" - fem hörn, etc.).

Men på latin (genom vilken många geometriska termer kom till de flesta språk i världen) kallas det fyrsidig. Detta ord bildas av siffran quadri (fyra) och substantivet latus (sida). Så vi kan dra slutsatsen att bland de gamla hänvisades denna polygon endast till som "fyrsidig".

Förresten, ett sådant namn (med betoning på närvaron av fyra sidor snarare än hörn i figurer av denna typ) har bevarats på vissa moderna språk. Till exempel på engelska - quadrilateral och på franska - quadrilatère.

Samtidigt, i de flesta slaviska språk, identifieras den övervägda typen av figurer fortfarande av antalet vinklar och inte sidor. Till exempel på slovakiska (štvoruholník), på bulgariska ("chetirigalnik"), på vitryska ("chatyrokhkutnik"), på ukrainska ("chotirikutnik"), på tjeckiska (čtyřúhelník), men på polska kallas fyrkanten med antalet sidor - czworoboczny.

Vilka typer av fyrkanter studeras i skolans läroplan

I modern geometri finns det 4 typer av polygoner med fyra sidor.

Men på grund av de för komplexa egenskaperna hos några av dem, i geometrilektioner, introduceras skolbarn för endast två typer.

• Parallellogram. De motsatta sidorna av en sådan fyrhörning är parvis parallella med varandra och är följaktligen också lika i par.
• Trapes (trapez eller trapets). Denna fyrhörning består av två motsatta sidor parallella med varandra. Det andra paret av sidor har dock inte denna funktion.

Typer av fyrhörningar som inte studeras i skolans geometrikurs

Utöver ovanstående finns det ytterligare två typer av fyrhörningar som skolbarn inte introduceras för i geometrilektioner på grund av deras speciella komplexitet.

• Deltoid (drake)- en figur där vart och ett av två par intilliggande sidor är lika långa med varandra. En sådan fyrhörning fick sitt namn på grund av det faktum att den i utseende ganska starkt liknar bokstaven i det grekiska alfabetet - "delta".
• Antiparallelogram- den här figuren är lika komplex som dess namn. I den är två motsatta sidor lika, men samtidigt är de inte parallella med varandra. Dessutom skär de långa motsatta sidorna av denna fyrhörning varandra, liksom förlängningarna av de andra två, kortare sidorna.

Typer av parallellogram

Efter att ha tagit itu med huvudtyperna av fyrkanter är det värt att uppmärksamma dess underarter. Så alla parallellogram är i sin tur också indelade i fyra grupper.

• Klassisk parallellogram.
• Romb (romb)- en fyrkantig figur med lika sidor. Dess diagonaler skär varandra i räta vinklar och delar romben i fyra lika räta trianglar.
• Rektangel. Namnet talar för sig självt. Eftersom det är en fyrhörning med räta vinklar (var och en av dem är lika med nittio grader). Dess motsatta sidor är inte bara parallella med varandra, utan också lika.
• Fyrkantig (fyrkantig). Liksom en rektangel är den en fyrhörning med räta vinklar, men den har alla sidor lika med varandra. Denna figur är nära en romb. Så man kan hävda att en kvadrat är en korsning mellan en romb och en rektangel.

Rektangel Specialegenskaper

Med tanke på figurer där var och en av vinklarna mellan sidorna är lika med nittio grader, är det värt att bo närmare på rektangeln. Så, vilka speciella egenskaper har den som skiljer den från andra parallellogram?

För att hävda att det aktuella parallellogrammet är en rektangel måste dess diagonaler vara lika med varandra och var och en av vinklarna måste vara räta. Dessutom måste kvadraten på dess diagonaler motsvara summan av kvadraterna på två intilliggande sidor av denna figur. Med andra ord består den klassiska rektangeln av två rätvinkliga trianglar, och i dem fungerar, som bekant, diagonalen för den aktuella fyrhörningen som hypotenusan.

Det sista av de uppräknade tecknen på denna figur är också dess speciella egenskap. Förutom detta finns det andra. Till exempel det faktum att alla sidor av den studerade fyrhörningen med räta vinklar är samtidigt dess höjder.

Dessutom, om en cirkel ritas runt en rektangel, kommer dess diameter att vara lika med diagonalen på den inskrivna figuren.

Bland andra egenskaper hos denna fyrhörning, att den är platt och inte existerar i icke-euklidisk geometri. Detta beror på det faktum att det i ett sådant system inte finns några fyrkantiga figurer, vars vinklar är lika med trehundrasextio grader.

Square och dess funktioner

Efter att ha behandlat tecknen och egenskaperna hos en rektangel är det värt att uppmärksamma den andra fyrhörningen som är känd för vetenskapen med räta vinklar (detta är en kvadrat).

Eftersom den i själva verket är samma rektangel, men med lika sidor, har denna figur alla sina egenskaper. Men till skillnad från det är torget närvarande i icke-euklidisk geometri.

Dessutom har denna figur andra särdrag. Till exempel det faktum att diagonalerna på en kvadrat inte bara är lika med varandra, utan också skär varandra i rät vinkel. Liksom en romb består alltså en kvadrat av fyra rätvinkliga trianglar, i vilka den är indelad med diagonaler.

Dessutom är denna figur den mest symmetriska bland alla fyrhörningar.

Vad är summan av vinklarna för en fyrhörning

Med tanke på egenskaperna hos euklidiska geometrifyrkanter är det värt att uppmärksamma deras vinklar.

Så, i var och en av ovanstående figurer, oavsett om den har räta vinklar eller inte, är deras totala summa alltid densamma - trehundrasextio grader. Detta är en unik utmärkande egenskap hos denna typ av figur.

Omkrets av fyrhörningar

Efter att ha räknat ut vad summan av vinklarna för en fyrhörning är och andra speciella egenskaper hos figurer av denna typ, är det värt att veta vilka formler som bäst används för att beräkna deras omkrets och area.

För att bestämma omkretsen av en fyrhörning behöver du bara lägga till längden på alla dess sidor.

Till exempel, i KLMN-figuren, kan dess omkrets beräknas med formeln: P \u003d KL + LM + MN + KN. Om du byter ut siffrorna här får du: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

I fallet när figuren i fråga är en romb eller en kvadrat, för att hitta omkretsen, kan du förenkla formeln genom att helt enkelt multiplicera längden på en av dess sidor med fyra: P \u003d KL x 4. Till exempel: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Area fyrsidiga formler

Efter att ha listat ut hur man hittar omkretsen av en figur med fyra hörn och sidor, är det värt att överväga de mest populära och enkla sätten att hitta sitt område.

Andra egenskaper hos fyrhörningar: inskrivna och omskrivna cirklar

Efter att ha övervägt egenskaperna och egenskaperna hos en fyrhörning som en figur av euklidisk geometri, är det värt att uppmärksamma förmågan att beskriva runt eller skriva in cirklar inuti den:

• Om summan av de motsatta vinklarna i figuren är hundraåttio grader vardera och är parvis lika med varandra, kan en cirkel fritt beskrivas runt en sådan fyrhörning.
• Enligt Ptolemaios teorem, om en cirkel är omskriven utanför en polygon med fyra sidor, så är produkten av dess diagonaler lika med summan av produkterna av motsatta sidor av den givna figuren. Således kommer formeln att se ut så här: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Om du konstruerar en fyrhörning där summan av motsatta sidor är lika med varandra, kan en cirkel inskrivas i den.

Efter att ha tagit reda på vad en fyrhörning är, vilka typer av den finns, vilka av dem har bara räta vinklar mellan sidorna och vilka egenskaper de har, är det värt att komma ihåg allt detta material. I synnerhet formlerna för att hitta omkretsen och arean för de övervägda polygonerna. När allt kommer omkring är figurer av denna form en av de vanligaste, och denna kunskap kan vara användbar för beräkningar i verkliga livet.

Definition. Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella.

Fast egendom. I ett parallellogram är motsatta sidor lika och motsatta vinklar lika.

Fast egendom. Diagonalerna i ett parallellogram delas av skärningspunkten.

1 tecken på ett parallellogram. Om två sidor av en fyrhörning är lika och parallella, så är fyrhörningen ett parallellogram.

2 tecken på ett parallellogram. Om de motsatta sidorna av en fyrhörning är lika i par, är fyrhörningen ett parallellogram.

3 tecken på ett parallellogram. Om diagonalerna i en fyrhörning skär varandra och skärningspunkten är tvådelad, så är denna fyrhörning ett parallellogram.

Definition. En trapets är en fyrhörning där två sidor är parallella och de andra två sidorna inte är parallella. Parallella sidor kallas grunder.

Trapets kallas likbent (likbent) om dess sidor är lika. I en likbent trapets är vinklarna vid baserna lika.

rektangulär.

trapetsens mittlinje. Mittlinjen är parallell med baserna och lika med deras halvsumma.

Rektangel

Definition.

Fast egendom. Diagonalerna i en rektangel är lika.

Rektangel tecken. Om diagonalerna i ett parallellogram är lika, är parallellogrammet en rektangel.

Definition.

Fast egendom. Diagonalerna på en romb är ömsesidigt vinkelräta och delar dess vinklar.

Definition.

En kvadrat är en speciell typ av rektangel, och även en speciell typ av romb. Därför har den alla sina egenskaper.

Egenskaper:
1. Alla hörn av torget är rätt

Quadrangles alla regler

Nyckelord:
fyrhörning, konvex, vinklarumma, area av en fyrhörning

fyrsidig en figur kallas, som består av fyra punkter och fyra segment som förbinder dem i serie. I det här fallet bör inga tre av dessa punkter ligga på en rak linje, och segmenten som förbinder dem ska inte skära varandra.

• Fyrhörningens hörn kallas angränsande om de är ändarna på en av dess sidor.
• Vertices som inte är grannar , kallad motsatt .
• Linjesegment som förbinder motsatta hörn av en fyrhörning kallas diagonaler .
• Sidorna på en fyrhörning som kommer från samma vertex kallas angränsande partier.
• Sidor som inte har ett gemensamt slut kallas motsatt partier.
• Fyrhörningen kallas konvex , om den är belägen i ett halvplan relativt den räta linjen som innehåller någon av dess sidor.

Typer av fyrhörningar

1. Parallellogram En fyrhörning med motsatta sidor parallella
   • Rektangel ett parallellogram med alla räta vinklar
   • Romb - ett parallellogram med alla sidor lika
   • Fyrkant - en rektangel med alla sidor lika
2. Trapets - en fyrhörning där två sidor är parallella och de andra två sidorna inte är parallella
3. Deltoid En fyrhörning vars två par intilliggande sidor är lika

Fyrkanter

fyrsidig en figur kallas, som består av fyra punkter och fyra segment som förbinder dem i serie. I det här fallet ligger inga tre av dessa punkter på samma räta linje, och segmenten som förbinder dem skär inte varandra.

motsatt. motsatt.

Typer av fyrhörningar

Parallellogram

Parallellogram kallas en fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella.

Parallelogramegenskaper

• motsatta sidor är lika;
• motsatta vinklar är lika;
• summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på alla sidor:

Parallelogramfunktioner

Trapets En fyrhörning kallas, där två motsatta sidor är parallella och de andra två inte är parallella.

De parallella sidorna av en trapets kallas dess grunder och de icke-parallella sidorna sidor. Segmentet som förbinder sidornas mittpunkter kallas mittlinje.

Trapets kallas likbent(eller likbent) om dess sidor är lika.

En trapets med en rät vinkel kallas rektangulär.

Trapetsegenskaper

Tecken på en trapets

Rektangel

Rektangel Ett parallellogram kallas om alla vinklar är räta.

Rektangelegenskaper

Rektangelfunktioner

Ett parallellogram är en rektangel om:

1. Ett av dess hörn är rätt.
2. Dess diagonaler är lika.

Romb Ett parallellogram kallas om alla sidor är lika.

Rhombus egenskaper

• alla egenskaper hos ett parallellogram;
• diagonalerna är vinkelräta;

Tecken på en romb

Fyrkant En rektangel kallas där alla sidor är lika.

Fyrkantiga fastigheter

• alla hörn av torget är rätt;
• kvadratens diagonaler är lika, ömsesidigt vinkelräta, skärningspunkten är delad på mitten och kvadratens hörn är delad på mitten.

Fyrkantiga skyltar

Grundläggande formler

S=d 1 d 2 synd

Parallellogram
a och b- angränsande parter; - vinkeln mellan dem; h a - höjd till sida a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 synd

Trapets
a och b- grunder; h- avståndet mellan dem; l- mittlinje .

Rektangel

S=d 1 d 2 synd

S = a 2 synd

S=d 1 d 2

Fyrkant
d- diagonal.

www.univer.omsk.su

Egenskaper hos fyrhörningar. Typer av fyrhörningar. Egenskaper för godtyckliga fyrhörningar. Parallelogramegenskaper. Rhombus egenskaper. Rektangelegenskaper. Fyrkantiga fastigheter. trapetsegenskaper. Ungefär 7-9 årskurs (13-15 år)

Egenskaper hos fyrhörningar. Typer av fyrhörningar. Egenskaper för godtyckliga fyrhörningar.
Parallelogramegenskaper. Rhombus egenskaper. Rektangelegenskaper. Fyrkantiga fastigheter. trapetsegenskaper.

Typer av fyrhörningar:

• Parallellogramär en fyrhörning vars motsatta sidor är parallella

• Rombär ett parallellogram med alla sidor lika.

• Rektangelär ett parallellogram med alla räta vinklar.

• Fyrkantär en rektangel med alla sidor lika.

Egenskaper för godtyckliga fyrhörningar:

Parallelogramegenskaper:

Rhombus egenskaper:

Rektangelegenskaper:

Kvadratiska egenskaper:

Trapess egenskaper:

Konsultverksamhet och teknisk
webbplatssupport: Zavarka Team

Quadrangles alla regler

Icke-euklidisk geometri, geometri som liknar geometri Euklid genom att den definierar figurernas rörelse, men skiljer sig från den euklidiska geometrin genom att ett av dess fem postulat (andra eller femte) ersätts av dess negation. Förnekandet av ett av de euklidiska postulaten (1825) var en betydande händelse i tankehistorien, för det fungerade som det första steget mot relativitetsteorin.

Euklids andra postulat säger det vilket linjesegment som helst kan förlängas på obestämd tid. Euklid trodde tydligen att detta postulat också innehöll påståendet att den räta linjen har oändlig längd. dock i "elliptisk" geometri är varje rät linje ändlig och, som en cirkel, sluten.

Det femte postulatet säger att om en linje skär två givna linjer på ett sådant sätt att de två inre vinklarna på ena sidan av den är mindre än två räta vinklar sammanlagt, så kommer dessa två linjer, om de sträcks ut i oändlighet, skära varandra på den sida där summan av dessa vinklar är mindre än summan av två räta linjer. Men i "hyperbolisk" geometri kan det finnas en linje CB (se fig.), vinkelrät i punkt C mot en given linje r och skär en annan linje s i en spetsig vinkel i punkt B, men ändå, de oändliga linjerna r och s kommer aldrig att skära varandra.

Av dessa reviderade postulat följde att summan av vinklarna i en triangel, lika med 180° i euklidisk geometri, är större än 180° i elliptisk geometri och mindre än 180° i hyperbolisk geometri.

Fyrsidig

Fyrsidigär en polygon som innehåller fyra hörn och fyra sidor.

Fyrsidig, en geometrisk figur - en polygon med fyra hörn, såväl som vilket föremål som helst, en enhet av denna form.

Två icke intilliggande sidor av en fyrhörning kallas motsatt. Två hörn som inte är angränsande kallas också motsatt.

Fyrkantar är konvexa (som ABCD) och
icke-konvex (AiB1C1D1).

Typer av fyrhörningar

• Parallellogram- en fyrhörning där alla motsatta sidor är parallella;
• Rektangel- en fyrhörning med alla räta vinklar;
• Romb- en fyrhörning där alla sidor är lika;
• Fyrkant- en fyrhörning där alla vinklar är räta och alla sidor är lika;
• Trapets- en fyrhörning med två motsatta sidor parallella;
• Deltoid En fyrhörning vars två par intilliggande sidor är lika.

Parallellogram

Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella.

Parallelogram (av grekiskan parallellos - parallell och gram - linje) d.v.s. ligga på parallella linjer. Specialfall av ett parallellogram är en rektangel, en kvadrat och en romb.

• motsatta sidor är lika;
• motsatta vinklar är lika;
• diagonalerna för skärningspunkten är uppdelade i hälften;
• summan av vinklarna intill en sida är 180°;
• summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på alla sidor.

En fyrhörning är ett parallellogram om:

1. Dess två motsatta sidor är lika och parallella.
2. Motstående sidor är lika i par.
3. Motsatta vinklar är lika i par.
4. Diagonalerna för skärningspunkten är uppdelade på mitten.

Rektangel

En rektangel är ett parallellogram med alla räta vinklar.

• motsatta sidor är lika;
• motsatta vinklar är lika;
• diagonalerna för skärningspunkten är uppdelade i hälften;
• summan av vinklarna intill en sida är 180°;
• diagonalerna är lika.

Ett parallellogram är en rektangel om:

1. Ett av dess hörn är rätt.
2. Dess diagonaler är lika.

En romb är ett parallellogram där alla sidor är lika.

• motsatta sidor är lika;
• motsatta vinklar är lika;
• diagonalerna för skärningspunkten är uppdelade i hälften;
• summan av vinklarna intill en sida är 180°;
• summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på alla sidor;
• diagonalerna är vinkelräta;
• diagonalerna är bisektorerna för dess vinklar.

Ett parallellogram är en romb om:

1. Dess två intilliggande sidor är lika.
2. Dess diagonaler är vinkelräta.
3. En av diagonalerna är bisektrisen av dess vinkel.

En kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika.

• alla hörn av torget är rätt;
• kvadratens diagonaler är lika, ömsesidigt vinkelräta, skärningspunkten är delad på mitten och kvadratens hörn är delad på mitten.

1. En rektangel är en kvadrat om den har någon egenskap hos en romb.

En trapets är en fyrhörning där två motsatta sidor är parallella och de andra två inte är parallella.

De parallella sidorna av en trapets kallas dess baser, och de icke-parallella sidorna kallas dess sidor. Segmentet som förbinder sidornas mittpunkter kallas mittlinjen.

En trapets kallas likbent (eller likbent) om dess sidor är lika.

En trapets med en rät vinkel kallas en rätvinklig trapets.

• dess mittlinje är parallell med baserna och lika med deras halvsumma;
• om trapetsen är likbent, så är dess diagonaler lika och vinklarna vid basen lika;
• om trapetsen är likbent, kan en cirkel beskrivas runt den;
• om summan av baserna är lika med summan av sidorna, kan en cirkel inskrivas i den.

1. En fyrhörning är en trapets om dess parallella sidor inte är lika

Deltoid En fyrhörning med två par sidor av samma längd. Till skillnad från ett parallellogram är två par intilliggande sidor inte lika, utan två par intilliggande sidor. Deltoiden är formad som en drake.

• Vinklarna mellan sidor med olika längd är lika.
• Deltoidens diagonaler (eller deras förlängningar) skär varandra i räta vinklar.
• En cirkel kan inskrivas i vilken konvex deltoid som helst, förutom detta, om deltoiden inte är en romb, så finns det en annan cirkel som rör förlängningarna av alla fyra sidorna. För en icke-konvex deltoid kan man konstruera en cirkel som tangerar två större sidor och förlängningar av två mindre sidor, och en cirkel som tangerar två mindre sidor och förlängningar av två större sidor.

• Om vinkeln mellan deltoidens ojämna sidor är en rak linje, kan en cirkel inskrivas i den (den beskrivna deltoiden).
• Om ett par motsatta sidor av en deltoid är lika, då är en sådan deltoid en romb.
• Om ett par av motsatta sidor och båda diagonalerna på en deltoid är lika, är deltoiden en kvadrat. En inskriven deltoid med lika diagonaler är också en kvadrat.

Framväxten av geometri går tillbaka till antiken och berodde på de praktiska behoven av mänsklig aktivitet (behovet av att mäta land, mäta volymen av olika kroppar, etc.).

Den enklaste geometriska informationen och begreppen var kända i det gamla Egypten. Under denna period formulerades geometriska påståenden i form av regler som gavs utan bevis.

Från 700-talet f.Kr e. till 1:a århundradet e.Kr e. geometri som vetenskap utvecklades snabbt i antikens Grekland. Under denna period ägde inte bara ackumulering av olika geometrisk information rum, utan också metodiken för att bevisa geometriska påståenden utarbetades, och de första försöken gjordes att formulera de grundläggande primära bestämmelserna (axiomen) för geometri, från vilka många olika geometriska påståenden härleds av rent logiska resonemang. Nivån på utvecklingen av geometri i det antika Grekland återspeglas i arbetet med Euklids "Beginings".

I denna bok gjordes för första gången ett försök att ge en systematisk konstruktion av planimetri utifrån grundläggande odefinierade geometriska begrepp och axiom (postulat).

En speciell plats i matematikens historia upptas av Euklids femte postulat (axiomet för parallella linjer). Under lång tid försökte matematiker utan framgång härleda det femte postulatet från resten av Euklids postulat, och först i mitten av 1800-talet, tack vare studierna av N. I. Lobachevsky, B. Riemann och J. Boyai, blev det klart att det femte postulatet kan inte härledas från resten, och systemet av axiom, som föreslagits av Euklid, är inte det enda möjliga.

Euklids "Element" hade en enorm inverkan på utvecklingen av matematik. I mer än två tusen år var denna bok inte bara en lärobok i geometri, utan fungerade också som en utgångspunkt för många matematiska studier, som ett resultat av vilka nya oberoende grenar av matematiken uppstod.

Den systematiska konstruktionen av geometri utförs vanligtvis enligt följande plan:

jag. De huvudsakliga geometriska begreppen listas, vilka introduceras utan definitioner.

II. En formulering av geometrins axiom ges.

III. Utifrån axiom och geometriska grundbegrepp formuleras andra geometriska begrepp och satser.

1. Ursprunget till namnet Icke-euklidisk geometri?
2. Vilka former kallas fyrhörningar?
3. Egenskaper för ett parallellogram?
4. Typer av fyrhörningar?

Lista över använda källor

1. A.G. Tsypkin. Handbok i matematik
2. ”United state examen 2006. Matematik. Utbildnings- och träningsmaterial för förberedelse av studenter / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Lösa de viktigaste konkurrensproblemen i matematik i samlingen redigerad av M. I. Scanavi"

Jobbar på lektionen

Du kan ställa en fråga om modern utbildning, uttrycka en idé eller lösa ett akut problem på Utbildningsforum där ett pedagogiskt råd av nytänkande och handling möts internationellt. Att ha skapat blogg, Du kommer inte bara att förbättra din status som kompetent lärare, utan också ge ett betydande bidrag till utvecklingen av framtidens skola. Education Leaders Guildöppnar dörren för topprankade specialister och inbjuder dig att samarbeta i riktning mot att skapa de bästa skolorna i världen.

Populär:

• Artikel 282. Anstiftan till hat eller fiendskap samt förnedring av mänsklig värdighet
• FöSå beräknar man företagsfastighetsskatt Beräkningsformuläret för förskottsbetalningar har ändrats. Från och med rapporteringen för första halvåret 2017, beräkningen av bolagsfastighetsskatt […]
• Ekologins lagar Under mer än 100 år av omfattande studier av befolkningar och samhällen har en enorm mängd fakta samlats. Bland dem - ett stort antal, vilket återspeglar slumpmässiga eller oregelbundna fenomen och processer. Men inte […]
• Pensionsmöjligheter i det obligatoriska pensionsförsäkringssystemet Fram till slutet av 2015 kunde medborgare födda 1967 och yngre välja om de skulle fortsätta bygga pension […]
• Order från Jordbruksministeriet 549 Registrerad hos Ryska federationens justitieministerium den 5 mars 2009 N 13476 RYSKA FEDERATIONENS JORDBRUKSMINISTERIE daterad den 16 december 2008 N 532 OM GODKÄNNANDE AV KLASSIFICERINGEN AV HÅRDAZURERING OCH […]
• Öka pensioner för barn med funktionshinder från 1 januari 2018 Pensionsskydd för medborgarna är en skyldighet som åligger staten. Detta anges i landets lagar - i konstitutionen. Bland de funktionshindrade som behöver […]
• Regel för intern ordning för JSC RZD JSC "RUSSIAN RAILWAYS" BESTÄLLNING av den 26 juli 2012 N 87 OM GODKÄNNANDE AV DE INTERNA ARBETSFÖRESKRIFTERNA FÖR REGIONALA TJÄNSTER (DEPARTEMENT) FÖR UTVECKLING AV PASSAGERAR- OCH PASSAGERARKOMMUNIKATIONER.
• Lagen om 3 stadier av comte Positivism som en filosofisk rörelse utgår från föreställningen att huvuddelen av kunskap om världen, människan och samhället erhålls inom specialvetenskaper, att "positiv" vetenskap bör överge försök […]

Med fyra hörn och fyra sidor. En fyrhörning bildas av en sluten polylinje, bestående av fyra länkar, och den del av planet som är inuti polylinjen.

Beteckningen på en fyrhörning består av bokstäverna vid dess hörn, och namnger dem i ordning. Till exempel säger eller skriver de: fyrhörning ABCD :

I en fyrhörning ABCD poäng A, B, C och D- Det här fyrsidiga hörn, segment AB, före Kristus, CD och DA - sidor.

Vertices som hör till samma sida kallas angränsande, hörn som inte är angränsande kallas motsatt:

I en fyrhörning ABCD toppar A och B, B och C, C och D, D och Aär intilliggande, och hörnen A och C, B och D- mitt emot. Vinklar som ligger vid intilliggande hörn kallas också angränsande, och vid motsatta hörn - motsatta.

Sidorna på en fyrhörning kan också delas i par i angränsande och motsatta sidor: sidor som har en gemensam vertex kallas angränsande(eller relaterad), sidor som inte har gemensamma hörn - motsatt:

Fester AB och före Kristus, före Kristus och CD, CD och DA, DA och ABär intilliggande, och sidorna AB och DC, AD och före Kristus- mitt emot.

Om motsatta hörn är förbundna med ett segment, kommer ett sådant segment att anropas diagonalen på fyrhörningen. Med tanke på att det bara finns två par motsatta hörn i fyrhörningen, kan det bara finnas två diagonaler:

Segment AC och BD- diagonaler.

Tänk på huvudtyperna av konvexa fyrhörningar:

• Trapets- en fyrhörning där ett par motsatta sidor är parallella med varandra och det andra paret inte är parallella.
  • Likbent trapets- en trapets vars sidor är lika.
  • Rektangulär trapets En trapets med en av de räta vinklarna.
• Parallellogram En fyrhörning där båda paren av motsatta sidor är parallella med varandra.
  • Rektangel Ett parallellogram där alla vinklar är lika.
  • Romb Ett parallellogram med alla sidor lika.
  • Fyrkant Ett parallellogram med lika sidor och vinklar. Både en rektangel och en romb kan vara en kvadrat.

Hörnegenskaper hos konvexa fyrhörningar

Alla konvexa fyrhörningar har följande två egenskaper:

1. Alla inre vinkel mindre än 180°.
2. Summan av de inre vinklarna är 360°.

Lektionens ämne

• Definition av en fyrhörning.

Lektionens mål

• Utbildning - upprepning, generalisering och testning av kunskap om ämnet: "Quadrangles"; utveckling av grundläggande färdigheter.
• Utveckla - att utveckla elevernas uppmärksamhet, uthållighet, uthållighet, logiskt tänkande, matematiskt tal.
• Utbildning - genom lektionen att odla en uppmärksam attityd mot varandra, att ingjuta förmågan att lyssna på kamrater, ömsesidig hjälp, oberoende.

Lektionens mål

• Att bilda färdigheter i att bygga en fyrhörning med hjälp av en skala och en rittriangel.
• Kontrollera elevernas förmåga att lösa problem.

Lektionsplanering

1. Historik referens. Icke-euklidisk geometri.
2. Fyrsidig.
3. Typer av fyrhörningar.

Icke-euklidisk geometri

Icke-euklidisk geometri, geometri som liknar geometri Euklid genom att den definierar figurernas rörelse, men skiljer sig från den euklidiska geometrin genom att ett av dess fem postulat (andra eller femte) ersätts av dess negation. Förnekandet av ett av de euklidiska postulaten (1825) var en betydande händelse i tankehistorien, för det fungerade som det första steget mot relativitetsteorin.

Euklids andra postulat säger det vilket linjesegment som helst kan förlängas på obestämd tid. Euklid trodde tydligen att detta postulat också innehöll påståendet att den räta linjen har oändlig längd. dock i "elliptisk" geometri är varje rät linje ändlig och, som en cirkel, sluten.

Det femte postulatet säger att om en linje skär två givna linjer på ett sådant sätt att de två inre vinklarna på ena sidan av den är mindre än två räta vinklar sammanlagt, så kommer dessa två linjer, om de sträcks ut i oändlighet, skära varandra på den sida där summan av dessa vinklar är mindre än summan av två räta linjer. Men i "hyperbolisk" geometri kan det finnas en linje CB (se fig.), vinkelrät i punkt C mot en given linje r och skär en annan linje s i en spetsig vinkel i punkt B, men ändå, de oändliga linjerna r och s kommer aldrig att skära varandra.

Av dessa reviderade postulat följde att summan av vinklarna i en triangel, lika med 180° i euklidisk geometri, är större än 180° i elliptisk geometri och mindre än 180° i hyperbolisk geometri.

Fyrsidig

Ämnen > Matematik > Matematik Årskurs 8

En konvex fyrhörning är en figur som består av fyra sidor som är förbundna med varandra vid hörnen och bildar fyra vinklar tillsammans med sidorna, medan själva fyrhörningen alltid är i samma plan relativt den räta linje som en av dess sidor ligger på. Med andra ord är hela figuren på ena sidan av någon av dess sidor.

I kontakt med

Som du kan se är definitionen ganska lätt att komma ihåg.

Grundläggande egenskaper och typer

Nästan alla figurer som vi känner till, bestående av fyra hörn och sidor, kan hänföras till konvexa fyrhörningar. Följande kan särskiljas:

1. parallellogram;
2. fyrkant;
3. rektangel;
4. trapetsoid;
5. romb.

Alla dessa figurer förenas inte bara av det faktum att de är fyrkantiga, utan också av det faktum att de också är konvexa. Titta bara på diagrammet:

Figuren visar en konvex trapets. Här kan du se att trapetsen är på samma plan eller på ena sidan av segmentet. Om du utför liknande åtgärder kan du ta reda på att trapetsen är konvex när det gäller alla andra sidor.

Är ett parallellogram en konvex fyrhörning?

Ovan är en bild av ett parallellogram. Som framgår av figuren, parallellogram är också konvext. Om man tittar på figuren med avseende på linjerna som segmenten AB, BC, CD och AD ligger på så blir det tydligt att det alltid är på samma plan från dessa linjer. Huvuddragen i ett parallellogram är att dess sidor är parvis parallella och lika på samma sätt som motstående vinklar är lika med varandra.

Föreställ dig nu en kvadrat eller en rektangel. Enligt deras huvudegenskaper är de också parallellogram, det vill säga alla deras sidor är anordnade i par parallellt. Endast i fallet med en rektangel kan längden på sidorna vara olika, och vinklarna är räta (lika med 90 grader), en kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika och vinklarna också är räta, medan längderna av sidorna och vinklarna på ett parallellogram kan vara olika.

Som ett resultat, summan av alla fyra hörnen av fyrhörningen måste vara lika med 360 grader. Det enklaste sättet att bestämma detta är med en rektangel: alla fyra hörn av rektangeln är rätta, det vill säga lika med 90 grader. Summan av dessa 90 graders vinklar ger 360 grader, med andra ord, lägger man till 90 grader 4 gånger får man önskat resultat.

Egenskapen för diagonalerna i en konvex fyrhörning

Diagonalerna på en konvex fyrhörning skär varandra. Faktum är att detta fenomen kan observeras visuellt, titta bara på figuren:

Bilden till vänster visar en icke-konvex fyrhörning eller fyrhörning. Som du önskar. Som du kan se skär diagonalerna inte varandra, åtminstone inte alla. Till höger är en konvex fyrhörning. Här observeras redan diagonalernas egenskap att skära varandra. Samma egenskap kan betraktas som ett tecken på konvexiteten hos fyrhörningen.

Andra egenskaper och tecken på konvexitet hos en fyrhörning

Specifikt, enligt denna term, är det mycket svårt att nämna några specifika egenskaper och funktioner. Det är lättare att isolera enligt olika typer av fyrhörningar av denna typ. Du kan börja med ett parallellogram. Vi vet redan att detta är en fyrkantig figur, vars sidor är parvis parallella och lika. Samtidigt ingår också egenskapen hos parallellogrammets diagonaler att skära varandra, liksom tecknet på själva figurens konvexitet: parallellogrammet är alltid i samma plan och på ena sidan relativt till någon av dess sidor.

Så, huvuddragen och egenskaperna är kända:

1. summan av vinklarna för en fyrhörning är 360 grader;
2. figurernas diagonaler skär varandra vid en punkt.

Rektangel. Denna figur har alla samma egenskaper och egenskaper som ett parallellogram, men alla dess vinklar är lika med 90 grader. Därav namnet rektangel.

Kvadratisk, samma parallellogram, men dess hörn är rätta, som en rektangel. På grund av detta kallas en kvadrat sällan en rektangel. Men det främsta utmärkande kännetecknet för en kvadrat, utöver de som redan är listade ovan, är att alla fyra sidorna är lika.

Trapets är en mycket intressant figur.. Detta är också en fyrhörning och även konvex. I den här artikeln har trapetsen redan ansetts använda exemplet på en ritning. Det är tydligt att hon också är konvex. Huvudskillnaden, och följaktligen ett tecken på en trapets, är att dess sidor kan absolut inte vara lika med varandra i längd, såväl som dess vinklar i värde. I det här fallet förblir figuren alltid på samma plan med avseende på någon av de raka linjerna som förbinder två av dess hörn längs segmenten som bildar figuren.

Rhombus är en lika intressant figur. Dels kan en romb betraktas som en kvadrat. Ett tecken på en romb är det faktum att dess diagonaler inte bara korsar varandra utan också delar rombens hörn på mitten, och diagonalerna själva skär varandra i räta vinklar, det vill säga de är vinkelräta. Om längderna på rombens sidor är lika, delas diagonalerna också på mitten i skärningspunkten.

Deltoider eller konvexa romboider (rombusar) kan ha olika sidolängder. Men samtidigt är både de huvudsakliga egenskaperna och egenskaperna hos själva romben och konvexitetens egenskaper och egenskaper fortfarande bevarade. Det vill säga, vi kan observera att diagonalerna delar hörnen och skär varandra i räta vinklar.

Dagens uppgift var att överväga och förstå vad konvexa fyrhörningar är, vad de är och deras huvuddrag och egenskaper. Uppmärksamhet! Det är värt att återigen komma ihåg att summan av vinklarna för en konvex fyrhörning är 360 grader. Omkretsen av figurer är till exempel lika med summan av längderna av alla segment som bildar figuren. Formlerna för att beräkna omkretsen och arean av fyrhörningar kommer att diskuteras i följande artiklar.

Typer av konvexa fyrhörningar