Arean av ett parallellogram om sidorna är kända. Omkrets och area av ett parallellogram

Uppgift 4.

En av diagonalerna i ett parallellogram med längden 4√6 gör en vinkel på 60° med basen, och den andra diagonalen gör en vinkel på 45° med samma bas. Hitta den andra diagonalen.

Beslut.

1. AO = 2√6.

2. Tillämpa sinussatsen på triangeln AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Svar: 12.

Uppgift 5.

För ett parallellogram med sidorna 5√2 och 7√2 är den mindre vinkeln mellan diagonalerna lika med parallellogrammets mindre vinkel. Hitta summan av diagonalernas längder.

Beslut.

Låt d 1, d 2 vara parallellogrammets diagonaler och vinkeln mellan diagonalerna och parallellogrammets mindre vinkel vara φ.

1. Låt oss räkna två olika
sätt på sitt område.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Vi får likheten 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f eller

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Med hjälp av förhållandet mellan parallellogrammets sidor och diagonaler skriver vi likheten

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Låt oss skapa ett system:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Multiplicera den andra ekvationen i systemet med 2 och lägg till den till den första.

Vi får (d 1 + d 2) 2 = 576. Därav Id 1 + d 2 I = 24.

Eftersom d 1, d 2 är längden på parallellogrammets diagonaler, då är d 1 + d 2 = 24.

Svar: 24.

Uppgift 6.

Sidorna på parallellogrammet är 4 och 6. Den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna är 45 o. Hitta parallellogrammets area.

Beslut.

1. Från triangeln AOB, med hjälp av cosinussatsen, skriver vi förhållandet mellan parallellogrammets sida och diagonalerna.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. På liknande sätt skriver vi relationen för triangeln AOD.

Det tar vi hänsyn till<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Vi får ekvationen d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Vi har ett system
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Subtraherar vi den första från den andra ekvationen får vi 2d 1 d 2 √2 = 80 eller

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Notera: I detta och i det föregående problemet finns det inget behov av att lösa systemet helt, eftersom vi i detta problem behöver produkten av diagonaler för att beräkna arean.

Svar: 10.

Uppgift 7.

Arean av parallellogrammet är 96 och dess sidor är 8 och 15. Hitta kvadraten på den mindre diagonalen.

Beslut.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Låt oss göra en substitution i formeln.

Vi får 96 = 8 15 sin VAD. Därav synd VAD = 4/5.

2. Hitta cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Beroende på problemets tillstånd hittar vi längden på den mindre diagonalen. Diagonal BD blir mindre om vinkeln BAD är spetsig. Då cos BAD = 3/5.

3. Från triangeln ABD, med hjälp av cosinussatsen, hittar vi kvadraten på diagonalen BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Svar: 145.

Har du några frågor? Vet du inte hur man löser ett geometriproblem?
För att få hjälp av en handledare – anmäl dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Parallellogram Det kallas en fyrhörning vars motsatta sidor är parallella med varandra. Huvuduppgifterna i skolan i detta ämne är att beräkna arean av ett parallellogram, dess omkrets, höjd, diagonaler. Dessa kvantiteter och formler för deras beräkning kommer att ges nedan.

Parallelogramegenskaper

Motsatta sidor av ett parallellogram och motsatta vinklar är lika med varandra:
AB=CD, BC=AD ,

Diagonalerna för ett parallellogram i skärningspunkten är uppdelade i två lika delar:

AO=OC, OB=OD.

Vinklar intill endera sidan (intilliggande vinklar) summerar till 180 grader.

Var och en av diagonalerna i ett parallellogram delar upp det i två trianglar med lika yta och geometriska dimensioner.

En annan anmärkningsvärd egenskap som ofta används för att lösa problem är att summan av kvadraterna på diagonalerna i ett parallellogram är lika med summan av kvadraterna på alla sidor:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Huvuddragen hos parallellogram:

1. En fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella är ett parallellogram.
2. En fyrhörning med lika motsatta sidor är ett parallellogram.
3. En fyrhörning med lika och parallella motsatta sidor är ett parallellogram.
4. Om diagonalerna på fyrhörningen vid skärningspunkten är delade på mitten, är detta ett parallellogram.
5. En fyrhörning vars motsatta vinklar är lika parvis är ett parallellogram

Bisektorer av ett parallellogram

Bisektorer av motsatta vinklar i ett parallellogram kan vara parallella eller sammanfalla.

Bisektorer av intilliggande vinklar (intill en sida) skär varandra i räta vinklar (vinkelrät).

Parallelogramhöjd

Parallelogramhöjd- detta är ett segment som ritas från en vinkel vinkelrät mot basen. Av detta följer att två höjder kan ritas från varje vinkel.

Formel för parallellogramyta

Parallelogramområdeär lika med produkten av en sida och höjden till den. Areaformeln är följande

Den andra formeln är inte mindre populär i beräkningar och definieras enligt följande: arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor med sinus av vinkeln mellan dem

Baserat på ovanstående formler kommer du att veta hur man beräknar arean av ett parallellogram.

Parallelogram omkrets

Formeln för att beräkna omkretsen av ett parallellogram är

det vill säga omkretsen är två gånger summan av sidorna. Uppgifter på ett parallellogram kommer att övervägas i närliggande material, men för nu, studera formlerna. De flesta uppgifterna för att beräkna sidorna, diagonalerna i ett parallellogram är ganska enkla och handlar om att känna till sinussatsen och Pythagoras sats.

Notera. Detta är en del av lektionen med problem i geometri (parallellogramavsnittet). Om du behöver lösa ett problem inom geometri, som inte finns här - skriv om det i forumet. För att beteckna åtgärden att extrahera en kvadratrot för att lösa problem, används symbolen √ eller sqrt () och det radikala uttrycket anges inom parentes.

Teoretiskt material

Förklaringar till formlerna för att hitta arean av ett parallellogram:

1. Arean av ett parallellogram är lika med produkten av längden på en av dess sidor och höjden på den sidan.
2. Arean av ett parallellogram är lika med produkten av dess två intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem
3. Arean av ett parallellogram är lika med hälften av produkten av dess diagonaler och sinus av vinkeln mellan dem

Problem för att hitta arean av ett parallellogram

Beslut.
Låt oss beteckna den mindre höjden på parallellogrammet ABCD, sänkt från punkten B till den större basen AD som BK.
Hitta värdet på benet i en rätvinklig triangel ABK som bildas av en mindre höjd, en mindre sida och en del av en större bas. Enligt Pythagoras sats:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Låt oss förlänga den övre basen av parallellogrammet BC och släppa höjden AN på den från dess nedre bas. AN = BK som sidor av rektangel ANBK. I den resulterande rätvinkliga triangeln ANC finner vi benet NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Låt oss nu hitta den större basen BC för parallellogram ABCD.
BC=NC-NB
Vi tar då hänsyn till att NB = AK som rektangelns sidor
BC=12 - 1=11

Arean av ett parallellogram är lika med produkten av basen och höjden till denna bas.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Svar: 99 cm2.

Uppgift

Beslut.
Låt oss släppa ytterligare en vinkelrät DK på diagonalen AC.
Följaktligen är trianglarna AOB och DKC, COB och AKD parvis kongruenta. En av sidorna är parallellogrammets motsatta sida, en av vinklarna är en rät, eftersom den är vinkelrät mot diagonalen, och en av de återstående vinklarna är det inre korset som ligger för parallellogrammets och sekantens parallella sidor av diagonalen.

Således är parallellogrammets area lika med arean av de angivna trianglarna. d.v.s
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Arean av en rätvinklig triangel är hälften av produkten av benen. Var
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Svar: 56 cm2.

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som är nödvändiga för att lyckas med provet i matematik med 60-65 poäng. Helt alla uppgifter 1-13 i Profilen ANVÄNDNING i matematik. Även lämplig för att klara Basic USE i matematik. Om du vill klara provet med 90-100 poäng behöver du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs inför tentamen för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av provet i matematik (de första 12 uppgifterna) och uppgift 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Examination, och varken en hundrapoängsstudent eller en humanist kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba lösningar, fällor och provets hemligheter. Alla relevanta uppgifter i del 1 från Bank of FIPI-uppgifter har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven i USE-2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals tentamensuppgifter. Textproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg problemlösningsalgoritmer. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av USE-uppgifter. Stereometri. Listiga trick för att lösa, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från grunden - till uppgift 13. Förstå istället för att proppa. Visuell förklaring av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. Bas för att lösa komplexa problem i den andra delen av tentamen.

Liksom i euklidisk geometri är punkten och linjen huvudelementen i teorin om plan, så parallellogrammet är en av nyckelfigurerna för konvexa fyrhörningar. Från den, som trådar från en boll, flyter begreppen "rektangel", "fyrkantig", "rombus" och andra geometriska storheter.

I kontakt med

Definition av ett parallellogram

konvex fyrhörning, som består av segment, av vilka varje par är parallella, är känt inom geometrin som ett parallellogram.

Hur ett klassiskt parallellogram ser ut är en fyrhörning ABCD. Sidorna kallas baserna (AB, BC, CD och AD), den vinkelräta som dras från valfri vertex till den motsatta sidan av denna vertex kallas höjden (BE och BF), linjerna AC och BD är diagonalerna.

Uppmärksamhet! Kvadrat, romb och rektangel är specialfall av parallellogram.

Sidor och vinklar: förhållandefunktioner

Viktiga egenskaper, i stort, förutbestämd av själva beteckningen, de bevisas av satsen. Dessa egenskaper är följande:

1. Sidor som är motsatta är identiska i par.
2. Vinklar som är motsatta varandra är lika i par.

Bevis: överväg ∆ABC och ∆ADC, som erhålls genom att dividera fyrhörningen ABCD med linjen AC. ∠BCA=∠CAD och ∠BAC=∠ACD, eftersom AC är gemensamt för dem (vertikala vinklar för BC||AD respektive AB||CD). Av detta följer: ∆ABC = ∆ADC (det andra kriteriet för trianglars likhet).

Segment AB och BC i ∆ABC motsvarar parvis raderna CD och AD i ∆ADC, vilket betyder att de är identiska: AB = CD, BC = AD. Alltså, ∠B motsvarar ∠D och de är lika. Eftersom ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, som också är identiska i par, så är ∠A = ∠C. Fastigheten är bevisad.

Egenskaper för figurens diagonaler

Huvud funktion dessa parallellogramlinjer: skärningspunkten halverar dem.

Bevis: låt m. E vara skärningspunkten för diagonalerna AC och BD i figuren ABCD. De bildar två motsvarande trianglar - ∆ABE och ∆CDE.

AB=CD eftersom de är motsatta. Enligt linjer och sekanter, ∠ABE = ∠CDE och ∠BAE = ∠DCE.

Enligt det andra tecknet på likhet är ∆ABE = ∆CDE. Det betyder att elementen ∆ABE och ∆CDE är: AE = CE, BE = DE och dessutom är de motsvarande delar av AC och BD. Fastigheten är bevisad.

Funktioner i intilliggande hörn

På intilliggande sidor är summan av vinklarna 180°, eftersom de ligger på samma sida av de parallella linjerna och sekanten. För fyrhörning ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoregenskaper:

1. , tappade åt ena sidan, är vinkelräta;
2. motsatta hörn har parallella bisektrar;
3. triangeln som erhålls genom att rita bisektrisen kommer att vara likbent.

Bestämma de karakteristiska egenskaperna för ett parallellogram genom satsen

Funktionerna i denna figur följer av dess huvudsats, som lyder som följer: fyrhörning anses vara ett parallellogram i händelse av att dess diagonaler skär varandra, och denna punkt delar upp dem i lika stora segment.

Bevis: Låt linjerna AC och BD på fyrhörningen ABCD skära varandra i t. E. Eftersom ∠AED = ∠BEC och AE+CE=AC BE+DE=BD, då är ∆AED = ∆BEC (med det första tecknet på likhet i trianglar). Det vill säga ∠EAD = ∠ECB. De är också de inre korsningsvinklarna för sekanten AC för linjer AD och BC. Således, per definition av parallellism - AD || FÖRE KRISTUS. En liknande egenskap för linjerna BC och CD härleds också. Teoremet har bevisats.

Beräkna arean av en figur

Arean av denna figur hittas på flera sätt en av de enklaste: multiplicera höjden och basen till vilken den dras.

Bevis: Rita vinkelräta BE och CF från hörn B och C. ∆ABE och ∆DCF är lika eftersom AB = CD och BE = CF. ABCD är lika med rektangeln EBCF, eftersom de också består av proportionella siffror: S ABE och S EBCD, samt S DCF och S EBCD. Det följer att arean för denna geometriska figur är densamma som en rektangel:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

För att bestämma den allmänna formeln för arean av ett parallellogram betecknar vi höjden som hb, och sidan b. Respektive:

Andra sätt att hitta område

Areaberäkningar genom parallellogrammets sidor och vinkeln, som de bildar, är den andra kända metoden.

,

Spr-ma - område;

a och b är dess sidor

α - vinkel mellan segmenten a och b.

Denna metod är praktiskt taget baserad på den första, men om den är okänd. skär alltid av en rätvinklig triangel vars parametrar hittas av trigonometriska identiteter, dvs. Omvandling av förhållandet får vi . I ekvationen för den första metoden ersätter vi höjden med denna produkt och får ett bevis på giltigheten av denna formel.

Genom diagonalerna av ett parallellogram och en vinkel, som de skapar när de skär varandra kan du också hitta området.

Bevis: AC och BD som skär varandra bildar fyra trianglar: ABE, BEC, CDE och AED. Deras summa är lika med arean av denna fyrhörning.

Arean för var och en av dessa ∆ kan hittas från uttrycket , där a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Sedan används ett enda värde på sinus i beräkningarna. Dvs. Eftersom AE+CE=AC= d 1 och BE+DE=BD= d 2 reduceras areaformeln till:

.

Tillämpning i vektoralgebra

Funktionerna hos de ingående delarna av denna fyrkant har funnit tillämpning i vektoralgebra, nämligen: tillägget av två vektorer. Parallellogramregeln säger det om givna vektorerochinteär kolinjära, kommer deras summa att vara lika med diagonalen för denna figur, vars baser motsvarar dessa vektorer.

Bevis: från en godtyckligt vald början - alltså. - vi bygger vektorer och . Därefter bygger vi ett parallellogram OASV, där segmenten OA och OB är sidor. Således ligger OS på vektorn eller summan.

Formler för att beräkna parametrarna för ett parallellogram

Identiteterna anges under följande villkor:

1. a och b, α - sidor och vinkeln mellan dem;
2. d 1 och d 2 , γ - diagonaler och vid deras skärningspunkt;
3. h a och h b - höjder sänkta till sidorna a och b;

Parameter	Formel
Hitta sidor
längs diagonalerna och cosinus för vinkeln mellan dem
diagonalt och i sidled
genom höjd och motsatt vertex
Hitta längden på diagonalerna
på sidorna och storleken på toppen mellan dem