>> Matriser

4.1 Matriser. Matrisoperationer

En rektangulär matris med storleken mxn är en samling mxn-tal arrangerade i en rektangulär tabell som innehåller m rader och n kolumner. Vi kommer att skriva det i formuläret

eller förkortade som A = (a i j) (i = ; j = ), siffror a i j , kallas dess element; det första indexet pekar på radnumret, det andra indexet på kolumnnumret. A = (a i j) och B = (b i j) av samma storlek kallas lika om deras element på samma ställen är parvis lika, det vill säga A = B om a i j = b i j .

En matris som består av en rad eller en kolumn kallas en -rad respektive kolumnvektor. Kolumnvektorer och radvektorer kallas helt enkelt vektorer.

En matris som består av ett nummer identifieras med detta nummer. A med storleken mxn, vars alla element är lika med noll, kallas noll och betecknas med 0. Element med samma index kallas element i huvuddiagonalen. Om antalet rader är lika med antalet kolumner, dvs m = n, sägs matrisen vara kvadrat av ordningen n. Kvadratiska matriser där endast elementen i huvuddiagonalen inte är noll kallas diagonala matriser och skrivs på följande sätt:

.

Om alla element a i i i diagonalen är lika med 1, kallas det enhet och betecknas med bokstaven E:

.

En kvadratisk matris kallas triangulär om alla element ovanför (eller under) huvuddiagonalen är lika med noll. En transponering är en transformation där rader och kolumner byts om samtidigt som deras nummer bibehålls. Transponering indikeras med ett T överst.

Om vi ​​i (4.1) ordnar om rader med kolumner, får vi

,

som kommer att transponeras med avseende på A. I synnerhet resulterar transponering av en kolumnvektor i en radvektor och vice versa.

Produkten av A med talet b är en matris vars element erhålls från motsvarande element i A genom att multiplicera med talet b: b A = (b a i j).

Summan av A = (a i j) och B = (b i j) av samma storlek är C = (c i j) av samma storlek, vars element bestäms av formeln c i j = a i j + b i j .

Produkten AB definieras utifrån antagandet att antalet kolumner i A är lika med antalet rader i B.

Produkten av AB, där A = (a i j) och B = (b j k), där i = , j= , k= , givet i en viss ordning AB, är C = (c i k), vars element bestäms av följande regel:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Med andra ord, elementet i produkten AB definieras enligt följande: elementet i den i:te raden och den k:te kolumnen C är lika med summan av produkterna av elementen i den i:te raden A med motsvarande element i den k:te kolumnen B.

Exempel 2.1. Hitta produkten av AB och .

Beslut. Vi har: A med storlek 2x3, B med storlek 3x3, då finns produkten AB = C och elementen i C är lika

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, och produkten BA existerar inte.

Exempel 2.2. Tabellen visar antalet enheter av produkter som dagligen skickas från mejerierna 1 och 2 till butikerna M 1, M 2 och M 3, och leveransen av en produktionsenhet från varje mejeri till butik M 1 kostar 50 den. enheter, i butiken M 2 - 70 och i M 3 - 130 den. enheter Beräkna de dagliga transportkostnaderna för varje anläggning.

mejeri

Beslut. Beteckna med A matrisen som ges till oss i villkoret, och med
B - en matris som kännetecknar kostnaden för att leverera en produktionsenhet till butiker, dvs.

,

Då ser transportkostnadsmatrisen ut så här:

.

Så, den första anläggningen spenderar 4750 den dagligen på transport. enheter, den andra - 3680 den.un.

Exempel 2.3. Syföretaget tillverkar vinterrockar, halvsäsongsrockar och regnrockar. Den planerade produktionen för ett decennium kännetecknas av vektorn X = (10, 15, 23). Fyra typer av tyger används: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tabellen visar tygförbrukningen (i meter) för varje produkt. Vektorn C = (40, 35, 24, 16) anger kostnaden för en meter tyg av varje typ, och vektorn P = (5, 3, 2, 2) - kostnaden för att transportera en meter tyg av varje typ.

	Tygförbrukning
Vinterkappa
Demirock

1. Hur många meter av varje typ av tyg kommer att krävas för att slutföra planen?

2. Hitta kostnaden för tyget som används för att skräddarsy varje typ av produkt.

3. Bestäm kostnaden för allt tyg som behövs för att slutföra planen.

Beslut. Låt oss beteckna med A matrisen som ges till oss i tillståndet, dvs.

,

sedan, för att hitta antalet meter tyg som behövs för att slutföra planen, måste du multiplicera vektorn X med matrisen A:

Kostnaden för tyget som spenderas på att skräddarsy en produkt av varje typ hittas genom att multiplicera matrisen A och vektorn C T:

.

Kostnaden för allt tyg som behövs för att slutföra planen kommer att bestämmas av formeln:

Slutligen, med hänsyn till transportkostnaderna, kommer hela beloppet att vara lika med kostnaden för tyget, d.v.s. 9472 den. enheter, plus värde

X A P T =
.

Så, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (den. enheter).

DEFINITION AV EN MATRIX. TYPER AV MATRISER

Matrisstorlek m× n kallas helheten m n nummer ordnade i en rektangulär tabell av m linjer och n kolumner. Denna tabell är vanligtvis omgiven inom parentes. Till exempel kan matrisen se ut så här:

För korthetens skull kan matrisen betecknas med en enda stor bokstav, t.ex. MEN eller PÅ.

I allmänhet en matris av storlek m× n skriv så här

.

De tal som utgör en matris kallas matriselement. Det är bekvämt att förse matriselement med två index aij: Den första anger radnumret och den andra anger kolumnnumret. Till exempel, en 23– elementet är i den andra raden, den tredje kolumnen.

Om antalet rader i en matris är lika med antalet kolumner, så kallas matrisen fyrkant, och numret på dess rader eller kolumner kallas i ordning matriser. I exemplen ovan är den andra matrisen kvadratisk - dess ordning är 3 och den fjärde matrisen - dess ordning är 1.

En matris där antalet rader inte är lika med antalet kolumner anropas rektangulär. I exemplen är detta den första matrisen och den tredje.

Det finns också matriser som bara har en rad eller en kolumn.

En matris med bara en rad kallas matris - rad(eller sträng) och en matris som bara har en kolumn, matris - kolumn.

En matris där alla element är lika med noll kallas null och betecknas med (0), eller helt enkelt 0. Till exempel,

.

huvuddiagonal En kvadratisk matris är diagonalen som går från det övre vänstra till det nedre högra hörnet.

En kvadratisk matris där alla element under huvuddiagonalen är lika med noll kallas triangulär matris.

.

En kvadratisk matris där alla element, utom kanske de på huvuddiagonalen, är lika med noll, kallas diagonal matris. Till exempel eller.

En diagonalmatris där alla diagonala poster är lika med en anropas enda matris och betecknas med bokstaven E. Till exempel har 3:e ordningens identitetsmatris formen .

ÅTGÄRDER PÅ MATRISER

Matrisjämlikhet. Två matriser A och B sägs vara lika om de har samma antal rader och kolumner och deras motsvarande element är lika aij = b ij. Så om och , då A=B, om a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 och a 22 = b 22.

införlivande. Tänk på en godtycklig matris A från m linjer och n kolumner. Det kan associeras med följande matris B från n linjer och m kolumner, där varje rad är en kolumn i matrisen A med samma nummer (därav är varje kolumn en rad i matrisen A med samma nummer). Så om , då .

Denna matris B kallad införlivats matris A, och övergången från A till B införlivande.

Transponering är alltså en omkastning av rollerna för rader och kolumner i en matris. Matris transponerad till matris A, vanligtvis betecknad Ett T.

Kommunikation mellan matrisen A och dess transponerade kan skrivas som .

Till exempel. Hitta matrisen transponerad till den givna.

Matristillägg. Låt matriser A och B bestå av samma antal rader och samma antal kolumner, d.v.s. ha samma storlekar. Sedan för att lägga till matriserna A och B måste matrisera element A lägga till matriselement B står på samma ställen. Alltså summan av två matriser A och B kallas matris C, som bestäms av regeln, t.ex.

Exempel. Hitta summan av matriser:

Det är lätt att kontrollera att matrisaddition följer följande lagar: kommutativ A+B=B+A och associativ ( A+B)+C=A+(B+C).

Multiplicera en matris med ett tal. Att multiplicera en matris A per nummer k behöver varje element i matrisen A multiplicera med det talet. Alltså matrisprodukten A per nummer k det finns en ny matris, som bestäms av regeln eller .

För alla siffror a och b och matriser A och B jämställdhet uppfylls:

Exempel.

Matrismultiplikation. Denna operation utförs enligt en speciell lag. Först och främst noterar vi att storlekarna på matrisfaktorerna måste vara konsekventa. Du kan bara multiplicera de matriser vars antal kolumner i den första matrisen matchar antalet rader i den andra matrisen (dvs. längden på den första raden är lika med höjden på den andra kolumnen). arbete matriser A inte en matris B kallas den nya matrisen C=AB, vars delar är sammansatta enligt följande:

Således, till exempel, för att få produkten (dvs i matrisen C) elementet i 1:a raden och 3:e kolumnen från 13, måste du ta den första raden i den första matrisen, den tredje kolumnen i den andra, och sedan multiplicera radelementen med motsvarande kolumnelement och lägga till de resulterande produkterna. Och andra element i produktmatrisen erhålls med en liknande produkt av raderna i den första matrisen vid kolumnerna i den andra matrisen.

I allmänhet, om vi multiplicerar matrisen A = (aij) storlek m× n till matris B = (bij) storlek n× sid, då får vi matrisen C storlek m× sid, vars element beräknas enligt följande: element c ij erhålls som ett resultat av produkten av grundämnen i raden i matrisen A på relevanta delar j-th kolumn i matrisen B och deras summering.

Av denna regel följer att man alltid kan multiplicera två kvadratiska matriser av samma ordning, som ett resultat får vi en kvadratisk matris av samma ordning. I synnerhet kan en kvadratisk matris alltid multipliceras med sig själv, d.v.s. göra upp.

Ett annat viktigt fall är multiplikationen av en matrisrad med en matriskolumn, och bredden på den första måste vara lika med höjden på den andra, som ett resultat får vi en matris av första ordningen (dvs ett element). Verkligen,

.

Exempel.

Dessa enkla exempel visar alltså att matriser generellt sett inte pendlar med varandra, d.v.s. A∙B ≠ B∙A . Därför, när du multiplicerar matriser, måste du noggrant övervaka ordningen på faktorerna.

Det kan verifieras att matrismultiplikation följer de associativa och distributiva lagarna, dvs. (AB)C=A(BC) och (A+B)C=AC+BC.

Det är också lätt att kontrollera det när man multiplicerar en kvadratisk matris A till identitetsmatrisen E av samma ordning får vi återigen matrisen A, dessutom AE=EA=A.

Följande märkliga faktum kan noteras. Som bekant är produkten av 2 icke-nolltal inte lika med 0. För matriser är det kanske inte fallet, d.v.s. produkten av 2 matriser som inte är noll kan vara lika med nollmatrisen.

till exempel, om , då

.

KONCEPTET BESTÄMARE

Låt en andra ordningens matris ges - en kvadratisk matris som består av två rader och två kolumner .

Andra ordningens determinant motsvarande denna matris är numret som erhålls enligt följande: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Determinanten betecknas med symbolen .

Så för att hitta andra ordningens determinant måste du subtrahera produkten av elementen längs den andra diagonalen från produkten av elementen i huvuddiagonalen.

Exempel. Beräkna andra ordningens determinanter.

På liknande sätt kan vi betrakta en matris av tredje ordningen och motsvarande determinant.

Tredje ordningens bestämningsfaktor, som motsvarar en given kvadratisk matris av tredje ordningen, är ett tal betecknat och erhållet enligt följande:

.

Således ger denna formel expansionen av tredje ordningens determinant i termer av elementen i den första raden en 11, en 12, en 13 och reducerar beräkningen av tredje ordningens determinant till beräkningen av andra ordningens determinanter.

Exempel. Beräkna tredje ordningens determinant.

På liknande sätt kan man introducera begreppen determinanter för fjärde, femte, etc. order, sänker deras ordning genom att expandera över elementen i den första raden, medan tecknen "+" och "-" för termerna växlar.

Så till skillnad från matrisen, som är en tabell med tal, är determinanten ett tal som tilldelas matrisen på ett visst sätt.

Linjär algebra 1

Matriser 1

Matrisoperationer 2

Matrisdeterminanter 6

Invers matris 13

Matrix rank 16

Linjärt oberoende 21

Linjära ekvationssystem 24

Metoder för att lösa linjära ekvationssystem 27

Invers matrismetod 27

Metod för att lösa system av linjära ekvationer med en kvadratisk matris med hjälp av Cramers formler 29

Gauss-metoden (metod för successiv eliminering av variabler) 31

Linjära algebramatriser

Matris storlek mxn är en rektangulär tabell med tal som innehåller m rader och n kolumner. De tal som utgör en matris kallas matriselement.

Matriser betecknas vanligtvis med stora latinska bokstäver och element med samma, men gemener med dubbel indexering.

Tänk till exempel en 2 x 3 matris A:

Denna matris har två rader (m= 2) och tre kolumner (n= 3), d.v.s. den består av sex element a ij , där i är radnumret, j är kolumnnumret. I det här fallet tar det värden från 1 till 2 och från ett till tre (skriven
). Nämligen a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Matriser A och B av samma storlek (mxn) kallas likvärdig, om de sammanfaller element för element, d. v. s. a ij =b ij för
, dvs. för valfri ii och j (du kan skriva i, j).

radmatrisär en matris med en rad, och kolumnmatrisär en matris med en kolumn.

Till exempel,
är en radmatris, och
.

kvadratisk matris n:e ordningen är en matris, antalet rader är lika med antalet kolumner och är lika med n.

Till exempel,
är en kvadratisk matris av andra ordningen.

Diagonal matriselement är element vars radnummer är lika med kolumnnumret (a ij ,i=j). Dessa element bildas huvuddiagonal matriser. I föregående exempel bildar elementen a 11 = 3 och a 22 = 5 huvuddiagonalen.

Diagonal matrisär en kvadratisk matris där alla off-diagonala element är lika med noll. Till exempel,
är en diagonal matris av tredje ordningen. Om alla diagonala element är lika med ett, kallas matrisen enda(vanligtvis betecknad med bokstaven E). Till exempel,
är identitetsmatrisen av tredje ordningen.

Matrisen kallas null om alla dess element är lika med noll.

Den kvadratiska matrisen kallas triangulär om alla dess element under (eller över) är huvuddiagonalen lika med noll. Till exempel,
är en triangulär matris av tredje ordningen.

Matrisoperationer

Du kan utföra följande operationer på matriser:

1. Multiplicera en matris med ett tal. Produkten av matrisen A med talet  är matrisen B = A, vars element är b ij = a ij för alla ii och j.

Till exempel om
, då
.

2. Matristillägg. Summan av två matriser A och B av samma storlek m x n är matrisen C \u003d A + B, vars element är med ij \u003d a ij + b ij för i,j.

Till exempel om
sedan

.

Observera att genom de tidigare operationerna kan vi fastställa matrissubtraktion samma storlek: skillnad A-B \u003d A + (-1) * B.

3. Matrismultiplikation. Produkten av en matris A med storleken mxn med en matris B med storleken nxp är en sådan matris C, vars varje element med ij är lika med summan av produkterna av elementen i den i:te raden av matris A och motsvarande element i den j:te kolumnen i matris B, dvs.
.

Till exempel om

, då kommer storleken på produktmatrisen att vara 2 x 3, och den kommer att se ut så här:

I det här fallet sägs matris A vara förenlig med matris B.

Baserat på operationen av multiplikation för kvadratmatriser definieras operationen exponentiering. En heltal positiv potens Am (m > 1) av en kvadratisk matris A är produkten av m matriser lika med A, dvs.

Vi betonar att addition (subtraktion) och multiplikation av matriser inte definieras för två matriser, utan endast för de som uppfyller vissa krav på sin dimension. För att hitta summan eller skillnaden mellan matriser måste deras storlek vara densamma. För att hitta produkten av matriser måste antalet kolumner i den första av dem matcha antalet rader i den andra (sådana matriser kallas gick med på).

Låt oss överväga några egenskaper hos de övervägda operationerna, som är analoga med egenskaperna för operationer på siffror.

1) Kommutativ (förskjutning) lag för addition:

A + B = B + A

2) Associativ (associativ) lag för addition:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributiv (distributiv) lag för multiplikation med avseende på addition:

(A + B) = A + B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Associativ (associativ) multiplikationslag:

 (AB) \u003d ( A) B \u003d A ( B)

A(BC) = (AB)C

Vi betonar att den kommutativa multiplikationslagen för matriser i det allmänna fallet INTE är uppfylld, d.v.s. AB BA. Dessutom innebär förekomsten av AB inte nödvändigtvis existensen av BA (matriserna kanske inte är konsekventa, och då definieras deras produkt inte alls, som i exemplet ovan med matrismultiplikation). Men även om båda verken finns är de oftast olika.

I ett särskilt fall har produkten av valfri kvadratmatris A och en identitetsmatris av samma ordning en kommutativ lag, och denna produkt är lika med A (multiplikation med en identitetsmatris här liknar multiplikation med ett när man multiplicerar tal):

AE = EA = A

Verkligen,

Låt oss betona ytterligare en skillnad mellan matrismultiplikation och talmultiplikation. Produkten av tal kan vara lika med noll om och endast om minst en av dem är lika med noll. Detta kan inte sägas om matriser, d.v.s. produkten av matriser som inte är noll kan vara lika med nollmatrisen. Till exempel,

Låt oss fortsätta övervägandet av operationer på matriser.

4. Matristransponeringär en övergångsoperation från en matris A med storleken mxn till en matris A T med storleken nxm, där rader och kolumner byts om:

%.

Egenskaper för införlivandet:

1) Det följer av definitionen att om matrisen transponeras två gånger kommer vi att återgå till den ursprungliga matrisen: (AT) T = A.

2) Konstantfaktorn kan tas ur transponeringstecknet: (А) T =А T .

3) Transposition är distributiv med avseende på matrismultiplikation och addition: (AB) T =B TA T och (A+B) T =B T +AT .

Den här guiden hjälper dig att lära dig hur du gör matrisoperationer: addition (subtraktion) av matriser, transponering av en matris, multiplikation av matriser, hitta inversen av en matris. Allt material presenteras i en enkel och tillgänglig form, relevanta exempel ges, så även en oförberedd person kan lära sig hur man utför åtgärder med matriser. För självkontroll och självtest kan du ladda ner en matrisräknare gratis >>>.

Jag ska försöka minimera teoretiska beräkningar, på vissa ställen är förklaringar "på fingrarna" och användning av ovetenskapliga termer möjliga. Älskare av solid teori, snälla engagera dig inte i kritik, vår uppgift är lära sig att arbeta med matriser.

För SUPERSNABBA förberedelser på ämnet (vem "bränner") finns en intensiv pdf-kurs Matris, determinant och offset!

En matris är en rektangulär tabell av vissa element. Som element vi kommer att överväga siffror, det vill säga numeriska matriser. ELEMENTär en term. Det är önskvärt att komma ihåg termen, det kommer ofta att förekomma, det är ingen slump att jag använde fetstil för att lyfta fram det.

Beteckning: matriser betecknas vanligtvis med stora latinska bokstäver

Exempel: Tänk på en två-av-tre-matris:

Denna matris består av sex element:

Alla tal (element) inuti matrisen existerar på egen hand, det vill säga det är ingen fråga om någon subtraktion:

Det är bara en tabell (uppsättning) med siffror!

Vi kommer också att hålla med ordna inte om nummer, om inte annat anges i förklaringen. Varje nummer har sin egen plats, och du kan inte blanda dem!

Matrisen i fråga har två rader:

och tre kolumner:

STANDARD: när man pratar om matrisens dimensioner, alltså i början ange antalet rader och först då - antalet kolumner. Vi har precis brutit ner matrisen två gånger tre.

Om antalet rader och kolumner i en matris är detsamma, anropas matrisen fyrkant, Till exempel: är en tre-av-tre-matris.

Om matrisen har en kolumn eller en rad, kallas sådana matriser också vektorer.

Faktum är att vi känner till begreppet matris sedan skolan, betrakta till exempel en punkt med koordinaterna "x" och "y": . I huvudsak skrivs koordinaterna för en punkt in i en en-av-två-matris. Förresten, här är ett exempel för dig varför siffrornas ordning spelar roll: och är två helt olika punkter på planet.

Låt oss nu gå vidare till studien. matrisoperationer:

1) Åtgärd ett. Ta bort ett minus från en matris (Introducera ett minus i en matris).

Tillbaka till vår matris . Som du säkert har märkt finns det för många negativa tal i denna matris. Detta är väldigt obekvämt när det gäller att utföra olika åtgärder med matrisen, det är obekvämt att skriva så många minus, och det ser bara fult ut i designen.

Låt oss flytta minus utanför matrisen genom att ändra tecknet för VARJE element i matrisen:

Vid noll ändras som ni förstår inte tecknet, noll – det är också noll i Afrika.

Omvänt exempel: . Ser fult ut.

Vi inför ett minus i matrisen genom att ändra tecknet för VARJE element i matrisen:

Tja, det är mycket snyggare. Och, viktigast av allt, det kommer att vara LÄTTARE att utföra alla åtgärder med matrisen. Eftersom det finns ett sådant matematiskt folktecken: ju fler minus - desto mer förvirring och fel.

2) Åtgärd två. Multiplicera en matris med ett tal.

Exempel:

Det är enkelt, för att multiplicera en matris med ett tal behöver du alla multiplicera matriselementet med det givna talet. I det här fallet tre.

Ett annat användbart exempel:

– multiplikation av en matris med en bråkdel

Låt oss först titta på vad vi ska göra BEHÖVS INTE:

Det är INTE NÖDVÄNDIGT att ange en bråkdel i matrisen, för det första gör det bara ytterligare åtgärder med matrisen svåra, och för det andra gör det det svårt för läraren att kontrollera lösningen (särskilt om - uppgiftens slutliga svar).

Och speciellt, BEHÖVS INTE dividera varje element i matrisen med minus sju:

Från artikeln Matematik för dummies eller var man ska börja, kommer vi ihåg att decimalbråk med kommatecken i högre matematik på alla möjliga sätt försöker undvika.

Den enda saken önskvärd att göra i det här exemplet är att infoga ett minus i matrisen:

Men om ALLT matriselementen dividerades med 7 spårlöst, då skulle det vara möjligt (och nödvändigt!) att dela.

Exempel:

I det här fallet kan du BEHÖVER multiplicera alla element i matrisen med , eftersom alla tal i matrisen är delbara med 2 spårlöst.

Notera: i teorin om högre matematik finns det inget skolbegrepp om "division". Istället för frasen "detta är dividerat med detta" kan du alltid säga "detta multipliceras med en bråkdel." Det vill säga division är ett specialfall av multiplikation.

3) Åtgärd tre. Matristransponering.

För att transponera en matris måste du skriva in dess rader i kolumnerna i den transponerade matrisen.

Exempel:

Transponera matris

Det finns bara en rad här och enligt regeln måste den skrivas i en kolumn:

är den transponerade matrisen.

Den transponerade matrisen betecknas vanligtvis med en upphöjd eller ett streck längst upp till höger.

Steg för steg exempel:

Transponera matris

Först skriver vi om den första raden till den första kolumnen:

Sedan skriver vi om den andra raden till den andra kolumnen:

Och slutligen skriver vi om den tredje raden till den tredje kolumnen:

Redo. Grovt sett betyder att transponera att vända matrisen på sidan.

4) Åtgärd fyra. Summan (skillnaden) av matriser.

Summan av matriser är en enkel operation.
INTE ALLA MATRIXER KAN VIKAS. För att utföra addition (subtraktion) av matriser är det nödvändigt att de har SAMMA STORLEK.

Till exempel, om en två-till-två-matris ges, kan den bara läggas till en två-till-två-matris och ingen annan!

Exempel:

Lägg till matriser och

För att lägga till matriser måste du lägga till deras motsvarande element:

För skillnaden mellan matriser är regeln liknande, det är nödvändigt att hitta skillnaden mellan motsvarande element.

Exempel:

Hitta skillnaden mellan matriser ,

Och hur löser man det här exemplet lättare för att inte bli förvirrad? Det är tillrådligt att bli av med onödiga minus, för detta kommer vi att lägga till ett minus till matrisen:

Notera: i teorin om högre matematik finns det inget skolbegrepp om "subtraktion". Istället för frasen "subtrahera detta från detta", kan du alltid säga "lägg till ett negativt tal till detta". Det vill säga att subtraktion är ett specialfall av addition.

5) Åtgärd fem. Matrismultiplikation.

Vilka matriser kan multipliceras?

För att en matris ska multipliceras med en matris, så att antalet kolumner i matrisen är lika med antalet rader i matrisen.

Exempel:
Är det möjligt att multiplicera en matris med en matris?

Så du kan multiplicera matrisens data.

Men om matriserna omarrangeras, är multiplikation i detta fall inte längre möjlig!

Därför är multiplikation omöjlig:

Det är inte ovanligt med uppgifter med ett trick, när en elev blir ombedd att multiplicera matriser, vars multiplikation uppenbarligen är omöjlig.

Det bör noteras att det i vissa fall är möjligt att multiplicera matriser på båda sätten.
Till exempel för matriser, och både multiplikation och multiplikation är möjliga

Så, tjänster för att lösa matriser online:

Matristjänst låter dig utföra elementära transformationer av matriser.
Om du har en uppgift att utföra en mer komplex transformation, bör den här tjänsten användas som en konstruktör.

Exempel. Matrisdata A och B, behöver hitta C = A -1 * B + B T ,

1. Du bör först hitta invers matrisA1 = A-1, använder tjänsten för att hitta den inversa matrisen;
2. Vidare, efter att ha hittat matrisen A1 gör det matrismultiplikationA2 = A1 * B, använda tjänsten för matrismultiplikation;
3. Vi gör det matristransponeringA3 = B T (tjänst för att hitta den transponerade matrisen);
4. Och den sista - hitta summan av matriser Med = A2 + A3(tjänst för att beräkna summan av matriser) - och vi får svar med den mest detaljerade lösningen!;

Produkt av matriser

Detta är en onlinetjänst två steg:

• Ange den första faktormatrisen A
• Ange andra faktormatris eller kolumnvektor B

Multiplikation av en matris med en vektor

Multiplikationen av en matris med en vektor kan hittas med hjälp av tjänsten Matrismultiplikation
(Den första faktorn kommer att vara den givna matrisen, den andra faktorn kommer att vara kolumnen som består av elementen i den givna vektorn)

Detta är en onlinetjänst två steg:

• Ange matris A, för vilken du måste hitta den inversa matrisen
• Få ett svar med en detaljerad lösning för att hitta den inversa matrisen

Matrisdeterminant

Detta är en onlinetjänst ett steg:

• Ange matris A, för vilken du måste hitta determinanten för matrisen

Matristransponering

Här kan du följa matristransponeringsalgoritmen och lära dig hur du själv löser sådana problem.
Detta är en onlinetjänst ett steg:

• Ange matris A, som behöver införlivas

Matrix rang

Detta är en onlinetjänst ett steg:

• Ange matris A, för vilken du måste hitta rangen

Matrisegenvärden och matrisegenvektorer

Detta är en onlinetjänst ett steg:

• Ange matris A, för vilka du behöver hitta egenvektorer och egenvärden (egenvärden)

Matrisexponentiering

Detta är en onlinetjänst två steg:

• Ange matris A, som kommer att höjas till makten
• Ange ett heltal q- grad