Lös med Cramers metod online med en detaljerad lösning. Linjära ekvationer. Lösa linjära ekvationssystem. Cramers metod. System av linjära algebraiska ekvationer
För att bemästra detta stycke måste du kunna öppna kvalificeringarna "två och två" och "tre och tre". Om kvalificeringarna är dåliga, vänligen studera lektionen Hur beräknar man determinanten?
Vi betraktar först Cramers regel i detalj för ett system med två linjära ekvationer i två okända. Varför då? ”Det enklaste systemet kan trots allt lösas med skolmetoden, genom terminsvis tillägg!
Faktum är att även om ibland, men det finns en sådan uppgift - att lösa ett system med två linjära ekvationer med två okända med hjälp av Cramers formler. För det andra kommer ett enklare exempel att hjälpa dig att förstå hur du använder Cramers regel för ett mer komplext fall - ett system med tre ekvationer med tre okända.
Dessutom finns det linjära ekvationssystem med två variabler, som det är lämpligt att lösa exakt enligt Cramers regel!
Tänk på ekvationssystemet
I det första steget beräknar vi determinanten , den kallas den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet.
Gauss metod.
Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter:
och
I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med den latinska bokstaven.
Rötterna till ekvationen hittas av formlerna:
,
Exempel 7
Lös ett system av linjära ekvationer 
Beslut: Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Kommat är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik, jag tog detta system från ett ekonometriskt problem.
Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du säkert att få fruktansvärda fancy fraktioner som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se bara hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk visas här.
Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.
;
;
Svar: ,
Båda rötterna har oändliga svansar och finns ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.
Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses enligt färdiga formler, men det finns en varning. När du använder denna metod, obligatorisk Uppgiftens fragment är följande fragment: "så systemet har en unik lösning". Annars kan recensenten straffa dig för att du inte respekterar Cramers teorem.
Det kommer inte att vara överflödigt att kontrollera, vilket är bekvämt att utföra på en kalkylator: vi ersätter de ungefärliga värdena på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör siffror som är på höger sida erhållas.
Exempel 8
Uttryck ditt svar i vanliga oegentliga bråk. Gör en kontroll.
Detta är ett exempel på en oberoende lösning (exempel på findesign och svar i slutet av lektionen).
Vi övergår till övervägandet av Cramers regel för ett system med tre ekvationer med tre okända: 
Vi hittar den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet: 
Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet kommer Cramers regel inte att hjälpa, du måste använda Gauss-metoden.
Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare tre determinanter: 
, 
, 
Och slutligen beräknas svaret med formlerna: 
Som du kan se är fallet "tre av tre" i grunden inte annorlunda än fallet "två och två", kolumnen med fria termer "går" sekventiellt från vänster till höger längs kolumnerna för huvuddeterminanten.
Exempel 9
Lös systemet med Cramers formler. 
Beslut: Låt oss lösa systemet med Cramers formler. 
, så systemet har en unik lösning.
Svar: 
.
Egentligen finns det inget speciellt att kommentera här igen, med tanke på att beslutet fattas efter färdiga formler. Men det finns ett par anteckningar.
Det händer att som ett resultat av beräkningar erhålls "dåliga" irreducerbara fraktioner, till exempel: .
Jag rekommenderar följande "behandlings"-algoritm. Om det inte finns någon dator till hands gör vi så här:
1) Det kan vara fel i beräkningarna. Så snart du stöter på ett "dåligt" skott måste du omedelbart kontrollera om är villkoret korrekt omskrivet. Om villkoret skrivs om utan fel, måste du räkna om determinanterna med hjälp av expansionen i en annan rad (kolumn).
2) Om inga fel hittades som ett resultat av kontrollen, har troligen ett stavfel gjorts i uppdragets skick. Lös i det här fallet lugnt och FÖRSIKTIGT uppgiften till slutet, och sedan se till att kolla och upprätta den på ren kopia efter beslutet. Naturligtvis är det en obehaglig uppgift att kontrollera ett bråksvar, men det kommer att vara ett avväpnande argument för läraren, som, ja, verkligen gillar att sätta ett minus för någon dålig sak som. Hur man hanterar bråk beskrivs i svaret för exempel 8.
Om du har en dator till hands, använd sedan ett automatiserat program för att kontrollera den, som kan laddas ner gratis i början av lektionen. Förresten, det är mest fördelaktigt att använda programmet direkt (även innan du startar lösningen), du kommer omedelbart att se det mellanliggande steget där du gjorde ett misstag! Samma kalkylator beräknar automatiskt systemets lösning med hjälp av matrismetoden.
Andra anmärkningen. Från tid till annan finns det system i ekvationerna där vissa variabler saknas, till exempel: 
Här i den första ekvationen finns det ingen variabel, i den andra finns det ingen variabel. I sådana fall är det mycket viktigt att korrekt och NOGA skriva ner huvuddeterminanten: 
– Nollor sätts i stället för saknade variabler.
Förresten, det är rationellt att öppna determinanter med nollor i raden (kolumnen) där noll finns, eftersom det finns märkbart färre beräkningar.
Exempel 10
Lös systemet med Cramers formler. 
Detta är ett exempel för självlösning (avsluta prov och svar i slutet av lektionen).
För fallet med ett system med 4 ekvationer med 4 okända, är Cramers formler skrivna enligt liknande principer. Du kan se ett levande exempel i lektionen Determinant Properties. Minska ordningen på determinanten - fem fjärde ordningens determinanter är ganska lösbara. Även om uppgiften redan påminner mycket om en professorssko på bröstet på en lycklig student.
Lösning av systemet med den inversa matrisen
Den omvända matrismetoden är i huvudsak ett specialfall matrisekvation(Se exempel nr 3 i den angivna lektionen).
För att studera detta avsnitt måste du kunna expandera determinanterna, hitta den inversa matrisen och utföra matrismultiplikation. Relevanta länkar kommer att ges när förklaringen fortskrider.
Exempel 11
Lös systemet med matrismetoden
Beslut: Vi skriver systemet i matrisform:
, var 
Titta på ekvationssystemet och matriserna. Enligt vilken princip vi skriver in element i matriser tror jag alla förstår. Den enda kommentaren: om några variabler saknades i ekvationerna, så måste nollor sättas på motsvarande ställen i matrisen.
Vi hittar den inversa matrisen med formeln:
, där är den transponerade matrisen av algebraiska komplement till motsvarande element i matrisen.
Låt oss först ta itu med determinanten:
Här utökas determinanten med den första raden.
Uppmärksamhet! Om , så existerar inte den inversa matrisen, och det är omöjligt att lösa systemet med matrismetoden. I detta fall löses systemet genom eliminering av okända (Gauss-metoden).
Nu måste du beräkna 9 minderåriga och skriva in dem i matrisen av minderåriga 
Referens: Det är användbart att veta innebörden av dubbla sänkningar i linjär algebra. Den första siffran är radnumret där elementet finns. Den andra siffran är numret på kolumnen där elementet finns: 
Det vill säga, en dubbel sänkning indikerar att elementet är i första raden, tredje kolumnen, medan till exempel elementet är i 3:e raden, 2:a kolumnen
Under lösningen är det bättre att beskriva beräkningen av minderåriga i detalj, även om de med en viss erfarenhet kan justeras för att räkna med fel muntligen.
I den första delen behandlade vi lite teoretiskt material, substitutionsmetoden, samt metoden för term-för-term-addition av systemekvationer. Till alla som kom till sidan genom denna sida rekommenderar jag att ni läser första delen. Kanske kommer en del besökare att tycka att materialet är för enkelt, men i samband med att lösa linjära ekvationssystem gjorde jag ett antal mycket viktiga kommentarer och slutsatser angående lösningen av matematiska problem i allmänhet.
Och nu ska vi analysera Cramers regel, såväl som lösningen av ett system av linjära ekvationer med hjälp av den inversa matrisen (matrismetoden). Allt material presenteras enkelt, i detalj och tydligt, nästan alla läsare kommer att kunna lära sig hur man löser system med ovanstående metoder.
Vi betraktar först Cramers regel i detalj för ett system med två linjära ekvationer i två okända. Varför då? ”Det enklaste systemet kan trots allt lösas med skolmetoden, genom terminsvis tillägg!
Faktum är att även om ibland, men det finns en sådan uppgift - att lösa ett system med två linjära ekvationer med två okända med hjälp av Cramers formler. För det andra kommer ett enklare exempel att hjälpa dig att förstå hur du använder Cramers regel för ett mer komplext fall - ett system med tre ekvationer med tre okända.
Dessutom finns det linjära ekvationssystem med två variabler, som det är lämpligt att lösa exakt enligt Cramers regel!
Tänk på ekvationssystemet
I det första steget beräknar vi determinanten , den kallas den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet.
Gauss metod.
Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter:
och
I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med den latinska bokstaven.
Rötterna till ekvationen hittas av formlerna:
,
Exempel 7
Lös ett system av linjära ekvationer 
Beslut: Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Kommat är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik, jag tog detta system från ett ekonometriskt problem.
Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du säkert att få fruktansvärda fancy fraktioner som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se bara hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk visas här.
Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.
;
;
Svar: ,
Båda rötterna har oändliga svansar och finns ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.
Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses enligt färdiga formler, men det finns en varning. När du använder denna metod, obligatorisk Uppgiftens fragment är följande fragment: "så systemet har en unik lösning". Annars kan recensenten straffa dig för att du inte respekterar Cramers teorem.
Det kommer inte att vara överflödigt att kontrollera, vilket är bekvämt att utföra på en kalkylator: vi ersätter de ungefärliga värdena på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör siffror som är på höger sida erhållas.
Exempel 8
Uttryck ditt svar i vanliga oegentliga bråk. Gör en kontroll.
Detta är ett exempel på en oberoende lösning (exempel på findesign och svar i slutet av lektionen).
Vi övergår till övervägandet av Cramers regel för ett system med tre ekvationer med tre okända:
Vi hittar den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet:
Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet kommer Cramers regel inte att hjälpa, du måste använda Gauss-metoden.
Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare tre determinanter: 
, 
, 
Och slutligen beräknas svaret med formlerna: 
Som du kan se är fallet "tre av tre" i grunden inte annorlunda än fallet "två och två", kolumnen med fria termer "går" sekventiellt från vänster till höger längs kolumnerna för huvuddeterminanten.
Exempel 9
Lös systemet med Cramers formler. 
Beslut: Låt oss lösa systemet med Cramers formler. 
, så systemet har en unik lösning.
Svar: 
.
Egentligen finns det inget speciellt att kommentera här igen, med tanke på att beslutet fattas efter färdiga formler. Men det finns ett par anteckningar.
Det händer att som ett resultat av beräkningar erhålls "dåliga" irreducerbara fraktioner, till exempel: .
Jag rekommenderar följande "behandlings"-algoritm. Om det inte finns någon dator till hands gör vi så här:
1) Det kan vara fel i beräkningarna. Så snart du stöter på ett "dåligt" skott måste du omedelbart kontrollera om är villkoret korrekt omskrivet. Om villkoret skrivs om utan fel, måste du räkna om determinanterna med hjälp av expansionen i en annan rad (kolumn).
2) Om inga fel hittades som ett resultat av kontrollen, har troligen ett stavfel gjorts i uppdragets skick. Lös i det här fallet lugnt och FÖRSIKTIGT uppgiften till slutet, och sedan se till att kolla och upprätta den på ren kopia efter beslutet. Naturligtvis är det en obehaglig uppgift att kontrollera ett bråksvar, men det kommer att vara ett avväpnande argument för läraren, som, ja, verkligen gillar att sätta ett minus för någon dålig sak som. Hur man hanterar bråk beskrivs i svaret för exempel 8.
Om du har en dator till hands, använd sedan ett automatiserat program för att kontrollera den, som kan laddas ner gratis i början av lektionen. Förresten, det är mest fördelaktigt att använda programmet direkt (även innan du startar lösningen), du kommer omedelbart att se det mellanliggande steget där du gjorde ett misstag! Samma kalkylator beräknar automatiskt systemets lösning med hjälp av matrismetoden.
Andra anmärkningen. Från tid till annan finns det system i ekvationerna där vissa variabler saknas, till exempel: 
Här i den första ekvationen finns det ingen variabel, i den andra finns det ingen variabel. I sådana fall är det mycket viktigt att korrekt och NOGA skriva ner huvuddeterminanten: – Nollor sätts i stället för saknade variabler.
Förresten, det är rationellt att öppna determinanter med nollor i raden (kolumnen) där noll finns, eftersom det finns märkbart färre beräkningar.
Exempel 10
Lös systemet med Cramers formler. 
Detta är ett exempel för självlösning (avsluta prov och svar i slutet av lektionen).
För fallet med ett system med 4 ekvationer med 4 okända, är Cramers formler skrivna enligt liknande principer. Du kan se ett levande exempel i lektionen Determinant Properties. Minska ordningen på determinanten - fem fjärde ordningens determinanter är ganska lösbara. Även om uppgiften redan påminner mycket om en professorssko på bröstet på en lycklig student.
Lösning av systemet med den inversa matrisen
Den omvända matrismetoden är i huvudsak ett specialfall matrisekvation(Se exempel nr 3 i den angivna lektionen).
För att studera detta avsnitt måste du kunna expandera determinanterna, hitta den inversa matrisen och utföra matrismultiplikation. Relevanta länkar kommer att ges när förklaringen fortskrider.
Exempel 11
Lös systemet med matrismetoden 
Beslut: Vi skriver systemet i matrisform:
, var
Titta på ekvationssystemet och matriserna. Enligt vilken princip vi skriver in element i matriser tror jag alla förstår. Den enda kommentaren: om några variabler saknades i ekvationerna, så måste nollor sättas på motsvarande ställen i matrisen.
Vi hittar den inversa matrisen med formeln:
, där är den transponerade matrisen av algebraiska komplement till motsvarande element i matrisen.
Låt oss först ta itu med determinanten:
Här utökas determinanten med den första raden.
Uppmärksamhet! Om , så existerar inte den inversa matrisen, och det är omöjligt att lösa systemet med matrismetoden. I detta fall löses systemet genom eliminering av okända (Gauss-metoden).
Nu måste du beräkna 9 minderåriga och skriva in dem i matrisen av minderåriga
Referens: Det är användbart att veta innebörden av dubbla sänkningar i linjär algebra. Den första siffran är radnumret där elementet finns. Den andra siffran är numret på kolumnen där elementet finns:
Det vill säga, en dubbel sänkning indikerar att elementet är i första raden, tredje kolumnen, medan till exempel elementet är i 3:e raden, 2:a kolumnen
Gabriel Kramer - schweizisk matematiker, student och vän till Johann Bernoulli, en av grundarna av linjär algebra. Cramer betraktade ett system av ett godtyckligt antal linjära ekvationer med en kvadratisk matris. Han presenterade systemets lösning i form av en kolumn av bråk med en gemensam nämnare - matrisens determinant. Cramers metod bygger på användningen av determinanter för att lösa linjära ekvationssystem, vilket avsevärt kan påskynda lösningsprocessen. Denna metod kan användas för att lösa ett system med så många linjära ekvationer som det finns okända i varje ekvation. Huvudsaken är att systemets determinant inte är lika med "0", då kan Cramer-metoden användas i lösningen, om "0" - denna metod kan inte användas. Denna metod kan också användas för att lösa linjära ekvationssystem med en unik lösning.
Cramers teorem. Om systemets determinant är icke-noll, har systemet med linjära ekvationer en enda lösning, och det okända är lika med förhållandet mellan determinanterna. Nämnaren innehåller systemets determinant, och täljaren innehåller determinanten som erhålls från systemets determinant genom att ersätta koefficienterna med det okända med fria termer. Detta teorem gäller för ett system av linjära ekvationer av vilken ordning som helst.
Anta att vi får en SLAE så här:
\[\vänster\(\begin(matris) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matris)\höger.\]
Enligt Cramers teorem får vi:
Svar: \
Var kan jag lösa ekvationen med Cramers metod med en onlinelösare?
Du kan lösa ekvationen på vår hemsida https: // site. Gratis onlinelösare låter dig lösa en onlineekvation av vilken komplexitet som helst på några sekunder. Allt du behöver göra är att bara skriva in dina data i lösaren. Du kan också se videoinstruktionen och lära dig hur du löser ekvationen på vår hemsida. Och om du har några frågor kan du ställa dem i vår Vkontakte-grupp http://vk.com/pocketteacher. Gå med i vår grupp, vi hjälper dig alltid.
Låt systemet med linjära ekvationer innehålla lika många ekvationer som antalet oberoende variabler, d.v.s. har formen
Sådana system av linjära ekvationer kallas kvadratiska. Determinanten som består av koefficienterna för systemets oberoende variabler (1.5) kallas systemets huvuddeterminant. Vi kommer att beteckna det med den grekiska bokstaven D. Således,
. (1.6)
Om i huvuddeterminanten en godtycklig ( j th) kolumn, ersätt den med kolumnen med fria medlemmar i systemet (1.5), då kan vi få fler n hjälpdeterminanter:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Cramers regel att lösa kvadratiska system av linjära ekvationer är som följer. Om huvuddeterminanten D för systemet (1.5) inte är noll, har systemet en unik lösning, som kan hittas med formlerna:
(1.8)
Exempel 1.5. Lös ekvationssystemet med Cramers metod
.
Låt oss beräkna huvuddeterminanten för systemet:
Sedan D¹0 har systemet en unik lösning som kan hittas med formler (1.8):
Således,
Matrisåtgärder
1. Multiplikation av en matris med ett tal. Operationen att multiplicera en matris med ett tal definieras enligt följande.
2. För att multiplicera en matris med ett tal, måste du multiplicera alla dess element med detta tal. d.v.s
. (1.9)
Exempel 1.6. 
.
Matristillägg.
Denna operation introduceras endast för matriser av samma ordning.
För att lägga till två matriser är det nödvändigt att lägga till motsvarande element i den andra matrisen till elementen i en matris:
(1.10)
Operationen av matrisaddition har egenskaperna associativitet och kommutativitet.
Exempel 1.7. 
.
Matrismultiplikation.
Om antalet matriskolumner MEN matchar antalet matrisrader PÅ, för sådana matriser introduceras multiplikationsoperationen:
2 
Alltså när man multiplicerar matrisen MEN mått m´ n till matris PÅ mått n´ k vi får en matris Med mått m´ k. I det här fallet, elementen i matrisen Med beräknas enligt följande formler:
Problem 1.8. Hitta, om möjligt, produkten av matriser AB och BA:
Beslut. 1) Att hitta ett arbete AB, du behöver matrisrader A multiplicera med matriskolumner B:
2) Konstverk BA existerar inte, eftersom antalet kolumner i matrisen B matchar inte antalet matrisrader A.
Invers matris. Lösa linjära ekvationssystem på ett matrissätt
Matris A- 1 kallas inversen av en kvadratisk matris MEN om jämställdheten gäller:
vart igenom jag betecknar identitetsmatrisen av samma ordning som matrisen MEN:
.
För att en kvadratisk matris ska ha en invers är det nödvändigt och tillräckligt att dess determinant inte är noll. Den omvända matrisen hittas av formeln:
, (1.13)
var A ij- algebraiska tillägg till element aij matriser MEN(observera att algebraiska tillägg till raderna i matrisen MENär arrangerade i den inversa matrisen i form av motsvarande kolumner).
Exempel 1.9. Hitta invers matris A- 1 till matris
.
Vi hittar den inversa matrisen med formeln (1.13), vilket för fallet n= 3 ser ut som:
.
Låt oss hitta det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Eftersom determinanten för den ursprungliga matrisen skiljer sig från noll, existerar den inversa matrisen.
1) Hitta algebraiska tillägg A ij:
För att underlätta för att hitta den inversa matrisen placerade vi de algebraiska tilläggen till raderna i den ursprungliga matrisen i motsvarande kolumner.
Från de erhållna algebraiska tilläggen komponerar vi en ny matris och dividerar den med determinanten det A. Således kommer vi att få den inversa matrisen:
Kvadratiska system av linjära ekvationer med en huvuddeterminant som inte är noll kan lösas med hjälp av en invers matris. För detta skrivs system (1.5) i matrisform:
var 
Multiplicera båda sidor av likhet (1,14) till vänster med A- 1 får vi lösningen av systemet:
, var
För att hitta en lösning på ett kvadratiskt system måste du alltså hitta den inversa matrisen till systemets huvudmatris och multiplicera den till höger med kolumnmatrisen med fria termer.
Problem 1.10. Lös ett system av linjära ekvationer
med hjälp av en invers matris.
Beslut. Vi skriver systemet i matrisform: ,
var 
är systemets huvudmatris, är kolumnen av okända och är kolumnen med fria termer. Eftersom systemets huvudsakliga bestämningsfaktor 
, sedan systemets huvudmatris MEN har en invers matris MEN-ett . För att hitta den inversa matrisen MEN-1 , beräkna de algebraiska komplementen till alla element i matrisen MEN:
Från de erhållna talen komponerar vi en matris (desutom algebraiska tillägg till matrisens rader MEN skriv i lämpliga kolumner) och dividera det med determinanten D. Vi har alltså hittat den inversa matrisen:
Lösningen av systemet hittas av formeln (1.15):
Således,
Lösa system av linjära ekvationer genom vanliga Jordan-undantag
Låt ett godtyckligt (inte nödvändigtvis kvadratiskt) system av linjära ekvationer ges:
(1.16)
Det krävs att man hittar en lösning på systemet, d.v.s. en sådan uppsättning variabler som uppfyller alla systemets likheter (1.16). I det allmänna fallet kan systemet (1.16) inte bara ha en lösning utan också ett oändligt antal lösningar. Det kanske inte heller har några lösningar alls.
När man löser sådana problem används den välkända metoden att eliminera okända från skolkursen, som också kallas metoden för vanliga jordanska elimineringar. Kärnan i denna metod ligger i det faktum att i en av systemekvationerna (1.16) uttrycks en av variablerna i termer av andra variabler. Sedan ersätts denna variabel i andra ekvationer i systemet. Resultatet är ett system som innehåller en ekvation och en mindre variabel än det ursprungliga systemet. Ekvationen från vilken variabeln uttrycktes kommer ihåg.
Denna process upprepas tills en sista ekvation finns kvar i systemet. I processen att eliminera okända, kan vissa ekvationer förvandlas till sanna identiteter, till exempel. Sådana ekvationer är uteslutna från systemet, eftersom de är giltiga för alla värden på variablerna och därför inte påverkar systemets lösning. Om, i processen att eliminera okända, åtminstone en ekvation blir en likhet som inte kan uppfyllas för några värden på variablerna (till exempel ), så drar vi slutsatsen att systemet inte har någon lösning.
Om det inte uppstod inkonsekventa ekvationer under loppet av lösningen, hittas en av de återstående variablerna i den från den sista ekvationen. Om bara en variabel finns kvar i den sista ekvationen så uttrycks den som ett tal. Om andra variabler finns kvar i den sista ekvationen anses de vara parametrar, och variabeln som uttrycks genom dem kommer att vara en funktion av dessa parametrar. Sedan görs det så kallade "omvända draget". Den hittade variabeln ersätts i den senast memorerade ekvationen och den andra variabeln hittas. Sedan ersätts de två hittade variablerna i den näst sista memorerade ekvationen och den tredje variabeln hittas, och så vidare, upp till den första memorerade ekvationen.
Som ett resultat får vi lösningen på systemet. Denna lösning kommer att vara den enda om de hittade variablerna är tal. Om den första hittade variabeln, och sedan alla andra beror på parametrarna, kommer systemet att ha ett oändligt antal lösningar (varje uppsättning parametrar motsvarar en ny lösning). Formler som gör det möjligt att hitta en lösning till systemet beroende på en viss uppsättning parametrar kallas systemets allmänna lösning.
Exempel 1.11.
x
Efter att ha memorerat den första ekvationen 
och med liknande termer i den andra och tredje ekvationen, kommer vi fram till systemet:
uttrycka y från den andra ekvationen och ersätt den med den första ekvationen:
Kom ihåg den andra ekvationen, och från den första hittar vi z:
Genom att göra det omvända draget hittar vi successivt y och z. För att göra detta, ersätter vi först i den sista memorerade ekvationen , från vilken vi hittar y:
.
Sedan ersätter vi och in i den första memorerade ekvationen varifrån vi hittar x:
Problem 1.12. Lös ett system av linjära ekvationer genom att eliminera okända:
. (1.17)
Beslut. Låt oss uttrycka variabeln från den första ekvationen x och ersätt det i den andra och tredje ekvationen:
.
Kom ihåg den första ekvationen 
I detta system motsäger den första och andra ekvationen varandra. Verkligen uttrycka y 
, får vi att 14 = 17. Denna likhet är inte uppfylld, för några värden av variablerna x, y, och z. Följaktligen är systemet (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen lösning.
Läsare uppmanas att självständigt verifiera att huvuddeterminanten för det ursprungliga systemet (1.17) är lika med noll.
Betrakta ett system som skiljer sig från system (1.17) med endast en fri term.
Problem 1.13. Lös ett system av linjära ekvationer genom att eliminera okända:
. (1.18)
Beslut. Som tidigare uttrycker vi variabeln från den första ekvationen x och ersätt det i den andra och tredje ekvationen:
.
Kom ihåg den första ekvationen och vi presenterar liknande termer i de andra och tredje ekvationerna. Vi kommer fram till systemet:
uttrycka y från den första ekvationen och ersätter den med den andra ekvationen , får vi identiteten 14 = 14, vilket inte påverkar systemets lösning, och därför kan det uteslutas från systemet.
I den senast memorerade likheten, variabeln z kommer att betraktas som en parameter. Vi tror . Sedan
Ersättning y och z in i den första memorerade jämlikheten och hitta x:
.
System (1.18) har alltså en oändlig uppsättning lösningar, och vilken lösning som helst kan hittas med formler (1.19) genom att välja ett godtyckligt värde på parametern t:
(1.19)
Således är lösningarna för systemet, till exempel, följande uppsättningar av variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formler (1.19) uttrycker den allmänna (vilken som helst) lösning av systemet (1.18) ).
I fallet när det ursprungliga systemet (1.16) har ett tillräckligt stort antal ekvationer och okända, verkar den angivna metoden för vanliga Jordan-eliminationer besvärlig. Det är det dock inte. Det räcker att härleda algoritmen för omräkning av systemets koefficienter i ett steg i en allmän form och formalisera lösningen av problemet i form av speciella Jordan-tabeller.
Låt ett system av linjära former (ekvationer) ges:
, (1.20)
var xj- oberoende (önskade) variabler, aij- konstanta koefficienter
(jag = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Rätt delar av systemet y i (jag = 1, 2,…, m) kan vara både variabler (beroende) och konstanter. Det krävs att hitta lösningar på detta system genom att eliminera okända.
Låt oss överväga följande operation, hädanefter kallad "ett steg av vanliga Jordanienundantag". Från en godtycklig ( r th) likhet, vi uttrycker en godtycklig variabel ( x s) och ersätter i alla andra jämlikheter. Naturligtvis är detta endast möjligt om en rs¹ 0. Koefficient en rs kallas det upplösande (ibland vägledande eller huvudsakliga) elementet.
Vi kommer att få följande system:
. (1.21)
Från s systemlikhet (1.21), kommer vi därefter att hitta variabeln x s(efter att andra variabler har hittats). S Den e raden kommer ihåg och exkluderas därefter från systemet. Det återstående systemet kommer att innehålla en ekvation och en mindre oberoende variabel än det ursprungliga systemet.
Låt oss beräkna koefficienterna för det resulterande systemet (1.21) i termer av koefficienterna för det ursprungliga systemet (1.20). Låt oss börja med r ekvationen, som efter att ha uttryckt variabeln x s genom resten av variablerna kommer att se ut så här:
Alltså de nya koefficienterna r ekvationen beräknas med följande formler:
(1.23)
Låt oss nu beräkna de nya koefficienterna b ij(i¹ r) av en godtycklig ekvation. För att göra detta ersätter vi variabeln uttryckt i (1.22) x s i i systemets ekvation (1.20):
Efter att ha tagit med liknande termer får vi:
(1.24)
Från likhet (1.24) får vi formler med vilka de återstående koefficienterna för systemet (1.21) beräknas (med undantag för r ekvationen):
(1.25)
Omvandlingen av system med linjära ekvationer med metoden för vanliga jordanska elimineringar presenteras i form av tabeller (matriser). Dessa tabeller kallas "Jordan tables".
Således är problem (1.20) associerat med följande Jordan-tabell:
Tabell 1.1
| x 1 | x 2 | … | xj | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | ett i 1 | ett i 2 | aij | a är | en in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | ett r 1 | ett r 2 | en rj | en rs | ett rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | en m 1 | en m 2 | en mj | en ms | amn |
Jordan tabell 1.1 innehåller den vänstra rubrikkolumnen, där de högra delarna av systemet (1.20) skrivs, och den översta rubriken, där de oberoende variablerna skrivs.
De återstående elementen i tabellen bildar huvudmatrisen av systemkoefficienter (1.20). Om vi multiplicerar matrisen MEN till matrisen som består av elementen i den övre rubrikraden, då får vi matrisen som består av elementen i den vänstra rubrikkolumnen. Det vill säga, i huvudsak är Jordan-tabellen en matrisform för att skriva ett system av linjära ekvationer: . I det här fallet motsvarar följande Jordan-tabell systemet (1.21):
Tabell 1.2
| x 1 | x 2 | … | xj | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b är | b in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
Tillåtande element en rs vi kommer att markera i fetstil. Kom ihåg att för att kunna implementera ett steg av Jordaniens undantag måste lösningselementet vara icke-noll. En tabellrad som innehåller ett tillåtande element kallas en tillåtande rad. Kolumnen som innehåller aktiveringselementet kallas för aktiveringskolumnen. När du flyttar från en given tabell till nästa tabell, en variabel ( x s) från den översta rubrikraden i tabellen flyttas till den vänstra rubrikkolumnen och, omvänt, en av de fria medlemmarna i systemet ( y r) flyttas från den vänstra rubrikkolumnen i tabellen till den översta rubrikraden.
Låt oss beskriva algoritmen för omräkning av koefficienterna i förbigående från Jordan-tabellen (1.1) till tabellen (1.2), som följer av formlerna (1.23) och (1.25).
1. Aktiveringselementet ersätts med det omvända talet:
2. De återstående elementen i den tillåtande linjen delas med det tillåtande elementet och byter tecken till motsatsen: 
3. De återstående elementen i aktiveringskolumnen är uppdelade i aktiveringselementet: 
4. Element som inte ingår i den lösa raden och den lösa kolumnen räknas om enligt formlerna: 
Den sista formeln är lätt att komma ihåg om du märker att de element som utgör bråket 
, är i korsningen i-åh och r-th rader och j th och s-th kolumner (lösande rad, lösande kolumn och raden och kolumnen i skärningspunkten mellan vilken elementet som ska omräknas finns). Mer exakt, när man memorerar formeln 
du kan använda följande diagram:
Utför det första steget av de jordanska undantagen, vilket element i Tabell 1.3 som helst i kolumnerna x 1 ,…, x 5 (alla specificerade element är inte lika med noll). Du bör inte bara välja aktiveringselementet i den sista kolumnen, eftersom måste hitta oberoende variabler x 1 ,…, x 5 . Vi väljer till exempel koefficienten 1 med en variabel x 3 i den tredje raden i tabell 1.3 (aktiveringselementet visas i fet stil). När du flyttar till tabell 1.4 ska variabeln x 3:orna från den översta rubrikraden byts ut mot konstanten 0 i den vänstra rubrikkolumnen (tredje raden). Samtidigt är variabeln x 3 uttrycks i termer av de återstående variablerna.
sträng x 3 (Tabell 1.4) kan, efter att ha kommit ihåg det, exkluderas från Tabell 1.4. Tabell 1.4 exkluderar även den tredje kolumnen med en nolla i den övre rubrikraden. Poängen är att oavsett koefficienterna för denna kolumn b i 3 alla termer som motsvarar den i varje ekvation 0 b i 3 system kommer att vara lika med noll. Därför kan dessa koefficienter inte beräknas. Eliminera en variabel x 3 och kommer ihåg en av ekvationerna, kommer vi fram till ett system som motsvarar tabell 1.4 (med linjen överstruken x 3). Att välja i tabell 1.4 som ett lösande element b 14 = -5, gå till tabell 1.5. I tabell 1.5 minns vi den första raden och exkluderar den från tabellen tillsammans med den fjärde kolumnen (med noll överst).
Tabell 1.5 Tabell 1.6
Från den sista tabellen 1.7 finner vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Genom att sekventiellt ersätta de redan hittade variablerna i de memorerade raderna hittar vi de återstående variablerna:
Systemet har alltså ett oändligt antal lösningar. variabel x 5 , kan du tilldela godtyckliga värden. Denna variabel fungerar som en parameter x 5 = t. Vi bevisade systemets kompatibilitet och hittade dess allmänna lösning:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Ge parameter t olika värden får vi ett oändligt antal lösningar på det ursprungliga systemet. Så till exempel är lösningen av systemet följande uppsättning variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Cramers metod bygger på användningen av determinanter för att lösa linjära ekvationssystem. Detta påskyndar lösningsprocessen avsevärt.
Cramers metod kan användas för att lösa ett system med lika många linjära ekvationer som det finns okända i varje ekvation. Om systemets determinant inte är lika med noll kan Cramers metod användas i lösningen, om den är lika med noll så kan den inte. Dessutom kan Cramers metod användas för att lösa system av linjära ekvationer som har en unik lösning.
Definition. Determinanten, sammansatt av koefficienterna för de okända, kallas systemets determinant och betecknas med (delta).
Determinanter
erhålls genom att ersätta koefficienterna vid motsvarande okända med fria termer:
;
.
Cramers teorem. Om systemets determinant är icke-noll, har systemet med linjära ekvationer en enda lösning, och det okända är lika med förhållandet mellan determinanterna. Nämnaren är systemets determinant, och täljaren är den determinant som erhålls från systemets determinant genom att ersätta koefficienterna med det okända med fria termer. Detta teorem gäller för ett system av linjära ekvationer av vilken ordning som helst.
Exempel 1 Lös systemet med linjära ekvationer:
Enligt Cramers teorem vi har:
Så, lösningen av system (2):
online-kalkylator, Cramers lösningsmetod.
Tre fall för att lösa linjära ekvationssystem
Som framgår av Cramers satser, när man löser ett system av linjära ekvationer, kan tre fall inträffa:
Första fallet: systemet med linjära ekvationer har en unik lösning
(systemet är konsekvent och definitivt)
Andra fallet: systemet med linjära ekvationer har ett oändligt antal lösningar
(systemet är konsekvent och obestämt)
** 
,
de där. koefficienterna för de okända och de fria termerna är proportionella.
Tredje fallet: systemet med linjära ekvationer har inga lösningar
(system inkonsekvent)
Systemet alltså m linjära ekvationer med n variabler kallas oförenlig om det inte har några lösningar, och gemensam om den har minst en lösning. Ett gemensamt ekvationssystem som bara har en lösning kallas vissa, och mer än en osäker.
Exempel på att lösa system av linjära ekvationer med Cramermetoden
Låt systemet
.
Baserat på Cramers teorem
………….
,
var 
-
systemidentifierare. De återstående determinanterna erhålls genom att ersätta kolumnen med koefficienterna för motsvarande variabel (okänd) med fria medlemmar:
Exempel 2
Därför är systemet definitivt. För att hitta lösningen beräknar vi determinanterna
Med Cramers formler finner vi:
Så, (1; 0; -1) är den enda lösningen på systemet.
För att kontrollera lösningarna för ekvationssystem 3 X 3 och 4 X 4 kan du använda online-kalkylatorn, Cramers lösningsmetod.
Om det inte finns några variabler i systemet av linjära ekvationer i en eller flera ekvationer, så är i determinanten de element som motsvarar dem lika med noll! Detta är nästa exempel.
Exempel 3 Lös systemet med linjära ekvationer med Cramers metod:
.
Beslut. Vi finner bestämningsfaktorn för systemet:
Titta noga på ekvationssystemet och på systemets determinant och upprepa svaret på frågan i vilka fall ett eller flera element i determinanten är lika med noll. Så determinanten är inte lika med noll, därför är systemet definitivt. För att hitta lösningen beräknar vi determinanterna för de okända
Med Cramers formler finner vi:
Så, systemets lösning är (2; -1; 1).
För att kontrollera lösningarna för ekvationssystem 3 X 3 och 4 X 4 kan du använda online-kalkylatorn, Cramers lösningsmetod.
Förstasidan
Vi fortsätter att tillsammans lösa system med Cramermetoden
Som redan nämnts, om systemets determinant är lika med noll, och determinanterna för de okända inte är lika med noll, är systemet inkonsekvent, det vill säga det har inga lösningar. Låt oss illustrera med följande exempel.
Exempel 6 Lös systemet med linjära ekvationer med Cramers metod:
Beslut. Vi finner bestämningsfaktorn för systemet:
Systemets determinant är lika med noll, därför är systemet med linjära ekvationer antingen inkonsekvent och bestämt, eller inkonsekvent, det vill säga det har inga lösningar. För att förtydliga, beräknar vi bestämningsfaktorerna för de okända
Determinanterna för de okända är inte lika med noll, därför är systemet inkonsekvent, det vill säga det har inga lösningar.
För att kontrollera lösningarna för ekvationssystem 3 X 3 och 4 X 4 kan du använda online-kalkylatorn, Cramers lösningsmetod.
I problem med linjära ekvationssystem finns det även sådana där det, förutom bokstäverna som betecknar variabler, även finns andra bokstäver. Dessa bokstäver står för någon siffra, oftast en riktig siffra. I praktiken leder sådana ekvationer och ekvationssystem till problem med att hitta de allmänna egenskaperna för alla fenomen och objekt. Det vill säga du uppfann något nytt material eller apparat, och för att beskriva dess egenskaper, som är vanliga oavsett storlek eller antal kopior, behöver du lösa ett system med linjära ekvationer, där det istället för några koefficienter för variabler finns bokstäver. Du behöver inte leta långt efter exempel.
Nästa exempel gäller ett liknande problem, bara antalet ekvationer, variabler och bokstäver som anger ett reellt tal ökar.
Exempel 8 Lös systemet med linjära ekvationer med Cramers metod:
Beslut. Vi finner bestämningsfaktorn för systemet:
Att hitta determinanter för okända
