Tangens kąta nachylenia linii prostej do osi. Pochodna funkcji. Geometryczne znaczenie pochodnej

W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie linii prostej na kartezjańskiej płaszczyźnie współrzędnych jest nachylenie ta prosta linia. Ten parametr charakteryzuje nachylenie linii prostej do osi x. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.

Ogólnie rzecz biorąc, każdą linię można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale koniecznie a 2 + b 2 ≠ 0.

Za pomocą prostych przekształceń takie równanie można sprowadzić do postaci y=kx+d, w której k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego rodzaju nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy sprowadzić pierwotne równanie do powyższej postaci. Dla lepszego zrozumienia rozważ konkretny przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podane równaniem 36x - 18y = 108

Rozwiązanie: Przekształćmy oryginalne równanie.

Odpowiedź: Pożądane nachylenie tej linii to 2.

Jeżeli podczas przekształcenia równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const iw rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Nachylenie taka linia jest równa nieskończoności.

W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi x. Na przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rozwiązanie: Sprowadzamy oryginalne równanie do ogólnej postaci

24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4

Nie można wyrazić y z wynikowego wyrażenia, dlatego nachylenie tej linii prostej jest równe nieskończoności, a sama linia prosta będzie równoległa do osi Y.

zmysł geometryczny

Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na obrazek:

Na rysunku widzimy wykres funkcji typu y = kx. Dla uproszczenia przyjmiemy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy nachyleniu k. W tym samym czasie stosunek VA / AO jest tangensem kąt ostryα w trójkąt prostokątny OAV. Okazuje się, że nachylenie prostej jest równe stycznej kąta, jaki tworzy ta prosta z osią x siatki współrzędnych.

Rozwiązując problem, jak znaleźć nachylenie prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią x siatki współrzędnych. Przypadki brzegowe, gdy rozważana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla linii prostej opisanej równaniem y=const, kąt między nią a osią odciętych zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero, a nachylenie również wynosi zero.

Dla linii prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią x wynosi 90 stopni. Tangens prosty kąt jest równe nieskończoności, a nachylenie podobnych linii prostych jest równe nieskończoności, co potwierdza to, co zostało napisane powyżej.

Nachylenie styczne

Częstym, często spotykanym w praktyce zadaniem jest również znalezienie w pewnym momencie nachylenia stycznej do wykresu funkcji. Styczna jest linią prostą, dlatego pojęcie nachylenia ma również zastosowanie do niej.

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, musimy przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodna dowolnej funkcji w pewnym punkcie jest stałą liczbowo równą stycznej kąta, który tworzy się między styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji i osi odciętej. Okazuje się, że aby określić nachylenie stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej pierwotnej funkcji w tym punkcie k \u003d f "(x 0). Rozważmy przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xex x przy x = 0,1.

Rozwiązanie: Znajdź pochodną pierwotnej funkcji w postaci ogólnej

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Odpowiedź: Pożądane nachylenie w punkcie x \u003d 0,1 wynosi 4,831

Kontynuacja tematu równania linii prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu linii prostej z lekcji algebry. Ten artykuł zawiera ogólne informacje na temat równania linii prostej ze spadkiem. Rozważ definicje, zdobądź samo równanie, ujawnij związek z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązywania problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed napisaniem takiego równania należy określić kąt nachylenia prostej do osi O x wraz z ich nachyleniem. Załóżmy, że na płaszczyźnie dany jest kartezjański układ współrzędnych O x.

Definicja 1

Kąt nachylenia prostej do osi O x, znajduje się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od kierunku dodatniego O x do linii prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Gdy linia jest równoległa do Oxa lub występuje w niej koincydencja, kąt nachylenia wynosi 0. Wtedy kąt nachylenia danej prostej α jest określony na przedziale [ 0 , π) .

Definicja 2

Nachylenie linii prostej jest tangensem nachylenia danej linii.

Standardowa notacja to k. Z definicji otrzymujemy, że k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Wołu, mówi się, że nachylenie nie istnieje, ponieważ prowadzi do nieskończoności.

Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i na odwrót. Rysunek przedstawia różne warianty położenia kąta prostego względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.

Aby znaleźć ten kąt, należy zastosować definicję współczynnika nachylenia i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.

Decyzja

Z warunku mamy, że α = 120 °. Z definicji musisz obliczyć nachylenie. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3 .

Odpowiedź: k = - 3 .

Jeżeli współczynnik kątowy jest znany, ale konieczne jest wyznaczenie kąta nachylenia do osi x, to należy wziąć pod uwagę wartość współczynnika kątowego. Jeśli k > 0, to kąt prosty jest ostry i znajduje się go wzorem α = a r c t g k . Jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Przykład 2

Określ kąt nachylenia danej prostej do O x o nachyleniu równym 3.

Decyzja

Z warunku mamy, że nachylenie jest dodatnie, co oznacza, że ​​kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Odpowiedź: α = a r c t g 3 .

Przykład 3

Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3 .

Decyzja

Jeśli przyjmiemy literę k jako oznaczenie nachylenia, to α jest kątem nachylenia do danej prostej w kierunku dodatnim O x. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Odpowiedź: 5 pi 6 .

Równanie o postaci y \u003d k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest pewną liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem linii prostej z nachyleniem. Równanie jest typowe dla każdej linii prostej, która nie jest równoległa do osi O y.

Jeśli rozważymy szczegółowo linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, którą daje równanie o nachyleniu, które wygląda jak y = k · x + b . W tym przypadku oznacza to, że współrzędne dowolnego punktu na linii odpowiadają równaniu. Jeśli podstawimy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1) do równania y \u003d k x + b, to w tym przypadku linia przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do linia.

Przykład 4

Dana linia prosta o nachyleniu y = 1 3 x - 1 . Oblicz, czy punkty M 1 (3 , 0) i M 2 (2 , - 2) należą do danej prostej.

Decyzja

Należy podstawić do podanego równania współrzędne punktu M 1 (3, 0), wtedy otrzymujemy 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Równość jest prawdziwa, więc punkt należy do prostej.

Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), to otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Możemy wywnioskować, że punkt M 2 nie należy do prostej.

Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.

Wiadomo, że prosta określona jest równaniem y = k · x + b przechodząca przez M 1 (0 , b) , podstawienie dało równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b . Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej o nachyleniu y = k · x + b na płaszczyźnie definiuje linię prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi Ox, gdzie k = t g α .

Rozważmy na przykład linię prostą zdefiniowaną przy użyciu nachylenia określonego w postaci y = 3 · x - 1 . Otrzymujemy, że linia prosta przejdzie przez punkt o współrzędnej 0, - 1 o nachyleniu α = a r c t g 3 = π 3 radiany wzdłuż dodatniego kierunku osi Ox. Z tego widać, że współczynnik wynosi 3.

Równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez dany punkt

Konieczne jest rozwiązanie problemu, w którym konieczne jest otrzymanie równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1 , y 1 ).

Równość y 1 = k · x + b można uznać za poprawną, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1 , y 1 ). Aby usunąć liczbę b, konieczne jest odjęcie równania ze współczynnikiem nachylenia z lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1). Ta równość nazywana jest równaniem linii prostej o danym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1 ).

Przykład 5

Ułóż równanie linii prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o nachyleniu równym - 2.

Decyzja

Pod warunkiem mamy to x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w ten sposób y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .

Przykład 6

Napisz równanie linii prostej o nachyleniu przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5) równoległych do linii prostej y \u003d 2 x - 2.

Decyzja

Warunkiem jest, że równoległe linie mają pokrywające się kąty nachylenia, stąd współczynniki nachylenia są równe. Aby znaleźć stok z podane równanie, należy przypomnieć jej podstawową formułę y = 2 x - 2, stąd wynika, że ​​k = 2 . Układamy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Odpowiedź: y = 2 x - 1 .

Przejście od równania linii prostej ze spadkiem do innych typów równań linii prostej i odwrotnie

Takie równanie nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ ma niezbyt wygodną notację. Aby to zrobić, musi być przedstawiony w innej formie. Na przykład równanie postaci y = k · x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego prostej lub współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się przedstawiać równania innego rodzaju.

Możemy otrzymać równanie kanoniczne linii prostej w płaszczyźnie za pomocą równania linii prostej ze spadkiem. Otrzymujemy x - x 1 a x = y - y 1 a y . Należy przesunąć wyraz b na lewą stronę i podzielić przez wyrażenie powstałej nierówności. Następnie otrzymujemy równanie postaci y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Równanie linii prostej ze spadkiem stało się równaniem kanonicznym danej linii prostej.

Przykład 7

Doprowadź równanie linii prostej o nachyleniu y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.

Decyzja

Obliczamy i przedstawiamy w postaci kanonicznego równania linii prostej. Otrzymujemy równanie postaci:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.

Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k x + b, ale wymaga to przekształceń: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Przejście odbywa się z ogólne równanie bezpośrednio do równań innego rodzaju.

Przykład 8

Podano równanie prostej postaci y = 1 7 x - 2. Dowiedz się, czy wektor o współrzędnych a → = (-1 , 7) jest normalnym wektorem linii prostej?

Decyzja

Aby go rozwiązać, konieczne jest przejście do innej postaci tego równania, w tym celu piszemy:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego prostej. Zapiszmy to tak n → = 1 7 , - 1 , stąd 1 7 x - y - 2 = 0 . Jasne jest, że wektor a → = (- 1 , 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7 , -1 , ponieważ mamy sprawiedliwą relację a → = -7 · n → . Wynika z tego, że oryginalny wektor a → = -1 , 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0 , co oznacza , że jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 17 x - 2 .

Odpowiedź: jest

Rozwiążmy problem odwrotny do tego.

Musisz się przenieść z ogólny widok równanie A x + B y + C = 0 , gdzie B ≠ 0 , do równania nachylenia. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym -A B .

Przykład 9

Podano równanie prostej postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Pobierz równanie danej linii z nachyleniem.

Decyzja

Na podstawie warunku konieczne jest rozwiązanie dla y, wtedy otrzymujemy równanie postaci:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 16 x + 1 4 .

Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .

Równanie postaci x a + y b \u003d 1 rozwiązuje się w podobny sposób, który nazywa się równaniem linii prostej w odcinkach lub Forma kanoniczna x - x 1 a x = y - y 1 a y . Trzeba to rozwiązać względem y, dopiero wtedy otrzymujemy równanie o nachyleniu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Równanie kanoniczne można zredukować do postaci ze spadkiem. Dla tego:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1

Przykład 10

Istnieje linia prosta określona równaniem x 2 + y - 3 = 1 . Sprowadź do postaci równania ze spadkiem.

Decyzja.

Na podstawie warunku konieczne jest przekształcenie, wtedy otrzymujemy równanie postaci _wzór_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby uzyskać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając, otrzymujemy:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .

Przykład 11

Równanie linii prostej postaci x - 2 2 \u003d y + 1 5 jest doprowadzane do postaci ze spadkiem.

Decyzja

Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 w proporcji. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Teraz musisz go w pełni włączyć, w tym celu:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .

Aby rozwiązać takie zadania, równania parametryczne linii prostej postaci x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ należy zredukować do kanonicznego równania linii prostej, dopiero potem można przejść do równanie ze spadkiem.

Przykład 12

Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest podane równaniami parametrycznymi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Decyzja

Musisz przejść z widoku parametrycznego do nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z podanego równania parametrycznego:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Teraz konieczne jest rozwiązanie tej równości względem y, aby uzyskać równanie prostej o nachyleniu. Aby to zrobić, piszemy w ten sposób:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Wynika z tego, że nachylenie prostej jest równe 2. Jest to zapisane jako k = 2 .

Odpowiedź: k = 2 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Współczynnik nachylenia jest prosty. W tym artykule rozważymy zadania związane z płaszczyzną współrzędnych zawarte w egzaminie z matematyki. Są to zadania dla:

- wyznaczenie nachylenia linii prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które przechodzi;
- wyznaczenie odciętej lub rzędnej punktu przecięcia dwóch linii na płaszczyźnie.

Czym jest odcięta i rzędna punktu została opisana w tej sekcji. W nim rozważaliśmy już kilka problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Co należy rozumieć dla rodzaju rozważanych zadań? Trochę teorii.

Równanie prostej na płaszczyźnie współrzędnych ma postać:

gdzie k – to jest nachylenie linii prostej.

Następna chwila! Nachylenie linii prostej równy tangens kąt nachylenia linii prostej. Jest to kąt między podaną linią a osiąoh.

Leży między 0 a 180 stopni.

To znaczy, jeśli sprowadzimy równanie prostej do postaci tak = kx + b, to dalej zawsze możemy wyznaczyć współczynnik k (współczynnik nachylenia).

Ponadto, jeśli możemy określić tangens nachylenia linii prostej na podstawie warunku, wówczas znajdziemy jej nachylenie.

Kolejny teoretyczny moment!Równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty.Formuła wygląda tak:

Rozważ problemy (podobne do tych z otwarty bank zadania):

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–6; 0) i (0; 6).

W tym problemie najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania tego problemu jest znalezienie tangensa kąta między osią x a daną linią prostą. Wiadomo, że jest równy współczynnikowi kątowemu. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez linię prostą oraz osie x i y:

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem odnogi przeciwległej do odnogi sąsiedniej:

* Obie nogi są równe sześciu (to są ich długości).

Na pewno, to zadanie można rozwiązać za pomocą wzoru na znalezienie równania prostej przechodzącej przez dwa podane punkty. Ale będzie to dłuższa ścieżka rozwiązania.

Odpowiedź 1

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (5;0) i (0;5).

Nasze punkty mają współrzędne (5;0) i (0;5). Znaczy,

Przenieśmy formułę do formy tak = kx + b

Otrzymaliśmy współczynnik kątowy k = – 1.

Odpowiedź 1

Prosty a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;6) i (8;0). Prosty b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;10) i jest równoległa do prostej a b z osią wół.

W tym zadaniu możesz znaleźć równanie linii prostej a, określ dla niego nachylenie. Linia prosta b nachylenie będzie takie samo, ponieważ są one równoległe. Następnie możesz znaleźć równanie linii prostej b. A następnie, podstawiając do niej wartość y = 0, znajdź odciętą. ALE!

W takim przypadku łatwiej jest użyć właściwości podobieństwa trójkąta.

Trójkąty prostokątne utworzone przez podane (równoległe) linie współrzędnych są podobne, co oznacza, że ​​stosunki ich odpowiednich boków są sobie równe.

Pożądana odcięta to 40/3.

Odpowiedź: 40/3

Prosty a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;8) i (–12;0). Prosty b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0; -12) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej b z osią wół.

W przypadku tego problemu najbardziej racjonalnym sposobem jego rozwiązania jest użycie właściwości podobieństwa trójkątów. Ale rozwiążemy to w inny sposób.

Znamy punkty, przez które przechodzi linia a. Możemy napisać równanie prostej. Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty to:

Zgodnie z warunkiem punkty mają współrzędne (0;8) i (–12;0). Znaczy,

Przypomnijmy sobie tak = kx + b:

Mam ten róg k = 2/3.

*Współczynnik kątowy można znaleźć poprzez styczną kąta w trójkącie prostokątnym z ramionami 8 i 12.

Wiemy, że równoległe linie mają równe nachylenia. Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkt (0;-12) ma postać:

Znajdź wartość b możemy podstawić odciętą i rzędną do równania:

Tak więc linia wygląda tak:

Teraz, aby znaleźć pożądaną odciętą punktu przecięcia linii z osią x, musisz zastąpić y \u003d 0:

Odpowiedź: 18

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi oj oraz linię prostą przechodzącą przez punkt B(10;12) oraz linię równoległą przechodzącą przez początek i punkt A(10;24).

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (0;0) i (10;24).

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty to:

Nasze punkty mają współrzędne (0;0) i (10;24). Znaczy,

Przypomnijmy sobie tak = kx + b

Nachylenia linii równoległych są równe. Stąd równanie prostej przechodzącej przez punkt B (10; 12) ma postać:

Oznaczający b znajdujemy zastępując współrzędne punktu B (10; 12) do tego równania:

Otrzymaliśmy równanie prostej:

Aby znaleźć rzędną punktu przecięcia tej prostej z osią OU należy podstawić do znalezionego równania X= 0:

* Najłatwiejsze rozwiązanie. Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy tę linię w dół wzdłuż osi OU do punktu (10;12). Przesunięcie następuje o 12 jednostek, czyli punkt A(10;24) „przeszedł” do punktu B(10;12), a punkt O(0;0) „przeszedł” do punktu (0;-12). Więc wynikowa linia przetnie oś OU w punkcie (0;–12).

Pożądana rzędna to -12.

Odpowiedź: -12

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostej podanej przez równanie

3x + 2 lata = 6, z osią Oy.

Współrzędna punktu przecięcia danej prostej z osią OU ma postać (0; w). Podstaw odciętą do równania X= 0 i znajdź rzędną:

Rzędna punktu przecięcia prostej z osią OU równa się 3.

* System jest rozwiązywany:

Odpowiedź: 3

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostych podanych przez równania

3x + 2 lata = 6 oraz y = - x.

Gdy podane są dwie proste, a pytanie dotyczy znalezienia współrzędnych punktu przecięcia tych prostych, układ tych równań jest rozwiązany:

W pierwszym równaniu podstawiamy - X zamiast w:

Rzędna to minus sześć.

Odpowiedź: – 6

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–2; 0) i (0; 2).

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2;0) i (0;2).

Linia a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;4) i (6;0). Linia b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;8) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej b z osią x.

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi y i prostej przechodzącej przez punkt B (6;4) oraz linii równoległej przechodzącej przez początek i punkt A (6;8).

1. Należy wyraźnie zrozumieć, że nachylenie linii prostej jest równe stycznej nachylenia linii prostej. Pomoże Ci to w rozwiązaniu wielu tego typu problemów.

2. Należy zrozumieć wzór na znalezienie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Za jego pomocą zawsze można znaleźć równanie prostej, jeśli podane są współrzędne dwóch jej punktów.

3. Pamiętaj, że nachylenia linii równoległych są równe.

4. Jak rozumiesz, w niektórych problemach wygodnie jest używać znaku podobieństwa trójkątów. Problemy rozwiązywane są praktycznie ustnie.

5. Zadania, w których podane są dwie linie i wymagane jest znalezienie odciętej lub rzędnej ich punktu przecięcia, można rozwiązać graficznie. Oznacza to, że zbuduj je na płaszczyźnie współrzędnych (na arkuszu w komórce) i wizualnie określ punkt przecięcia. *Ale ta metoda nie zawsze ma zastosowanie.

6. I ostatni. Jeśli podano linię prostą i współrzędne punktów jej przecięcia z osiami współrzędnych, to w takich problemach wygodnie jest znaleźć współczynnik kątowy, znajdując styczną kąta w utworzonym trójkącie prostokątnym. Jak „zobaczyć” ten trójkąt dla różnych układów linii na płaszczyźnie schematycznie pokazano poniżej:

>> Kąt nachylenia linii od 0 do 90 stopni<<

>> Kąt linii prostej od 90 do 180 stopni<<

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksandrze.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Pochodna funkcji to jeden z najtrudniejszych tematów w szkolnym programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, czym jest pochodna.

Ten artykuł w prosty i jasny sposób wyjaśnia, czym jest pochodna i dlaczego jest potrzebna.. Nie będziemy teraz dążyć do matematycznego rygoru prezentacji. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie znaczenia.

Zapamiętajmy definicję:

Pochodna to szybkość zmiany funkcji.

Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który z nich rośnie najszybciej?

Odpowiedź jest oczywista – trzecia. Ma najwyższą stopę zmiany, czyli największą pochodną.

Oto kolejny przykład.

Kostia, Grisha i Matvey dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku:

Możesz od razu zobaczyć wszystko na wykresie, prawda? Dochody Kostii wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Grishy również wzrosły, ale tylko trochę. A dochód Mateusza spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale tempo zmiany funkcji, tj. pochodna, - różne. Co do Matveya, pochodna jego dochodu jest na ogół ujemna.

Intuicyjnie możemy łatwo oszacować tempo zmian funkcji. Ale jak to robimy?

To, na co naprawdę patrzymy, to to, jak stromo rośnie (lub spada) wykres funkcji. Innymi słowy, jak szybko zmienia się y z x. Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różną wartość pochodnej - to znaczy może zmieniać się szybciej lub wolniej.

Pochodna funkcji jest oznaczona przez .

Pokażmy, jak znaleźć za pomocą wykresu.

Narysowany jest wykres jakiejś funkcji. Wskaż na to punkt odciętą. Narysuj styczną do wykresu funkcji w tym miejscu. Chcemy ocenić, jak stromo rośnie wykres funkcji. Przydatną wartością tego jest tangens nachylenia stycznej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji w tym punkcie.

Uwaga - jako kąt nachylenia stycznej przyjmujemy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi.

Czasami uczniowie pytają, jaka jest styczna do wykresu funkcji. Jest to linia prosta, która ma jedyny wspólny punkt z wykresem w tej sekcji, co więcej, jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu.

Znajdźmy . Pamiętamy, że styczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równa stosunkowi odnogi przeciwległej do sąsiedniej. Z trójkąta:

Znaleźliśmy pochodną, ​​korzystając z wykresu, nie znając nawet wzoru funkcji. Takie zadania często znajdują się na egzaminie z matematyki pod numerem.

Jest jeszcze jedna ważna korelacja. Przypomnijmy, że linię prostą daje równanie

Wielkość w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. Jest równy tangensowi kąta nachylenia linii prostej do osi.

.

Rozumiemy to

Zapamiętajmy tę formułę. Wyraża geometryczne znaczenie pochodnej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej narysowanej na wykresie funkcji w tym punkcie.

Innymi słowy, pochodna jest równa tangensowi nachylenia stycznej.

Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja może mieć różne pochodne w różnych punktach. Zobaczmy, jak pochodna jest związana z zachowaniem funkcji.

Narysujmy wykres jakiejś funkcji. Niech ta funkcja wzrasta w niektórych obszarach, a maleje w innych w różnym tempie. I niech ta funkcja ma punkty maksymalne i minimalne.

W pewnym momencie funkcja się zwiększa. Styczna do wykresu, narysowana w punkcie, tworzy kąt ostry; z dodatnim kierunkiem osi. Więc pochodna jest dodatnia w tym punkcie.

W tym momencie nasza funkcja maleje. Styczna w tym miejscu tworzy kąt rozwarty; z dodatnim kierunkiem osi. Ponieważ tangens kąta rozwartego jest ujemny, pochodna w tym punkcie jest ujemna.

Oto, co się dzieje:

Jeśli funkcja rośnie, jej pochodna jest dodatnia.

Jeśli maleje, jego pochodna jest ujemna.

A co się stanie na maksymalnym i minimalnym punkcie? Widzimy, że w punkcie (punkt maksymalny) i (punkt minimalny) styczna jest pozioma. Dlatego tangens nachylenia stycznej w tych punktach wynosi zero, a pochodna również wynosi zero.

Punkt jest punktem maksymalnym. W tym momencie wzrost funkcji zostaje zastąpiony spadkiem. W konsekwencji znak pochodnej zmienia się w punkcie z „plus” na „minus”.

W punkcie - punkcie minimalnym - pochodna również jest równa zeru, ale jej znak zmienia się z "minus" na "plus".

Wniosek: za pomocą pochodnej możesz dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje o zachowaniu funkcji.

Jeśli pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie.

Jeśli pochodna jest ujemna, funkcja maleje.

W punkcie maksymalnym pochodna wynosi zero i zmienia znak z plusa na minus.

W punkcie minimalnym pochodna również wynosi zero i zmienia znak z minus na plus.

Wyniki te zapisujemy w formie tabeli:

Zróbmy dwa małe wyjaśnienia. Jedna z nich będzie Ci potrzebna podczas rozwiązywania problemu. Kolejny - w pierwszym roku, z poważniejszym badaniem funkcji i pochodnych.

Możliwy jest przypadek, gdy pochodna funkcji w pewnym momencie jest równa zeru, ale funkcja nie ma w tym punkcie ani maksimum, ani minimum. To tak zwane :

W pewnym momencie styczna do wykresu jest pozioma, a pochodna wynosi zero. Jednak przed punktem funkcja wzrosła - a po punkcie nadal rośnie. Znak pochodnej nie zmienia się – pozostał dodatni, jak był.

Zdarza się też, że w punkcie maksimum lub minimum pochodna nie istnieje. Na wykresie odpowiada to ostrej przerwie, kiedy nie da się narysować stycznej w danym punkcie.

Ale jak znaleźć pochodną, ​​jeśli funkcja jest podana nie przez wykres, ale przez formułę? W tym przypadku ma zastosowanie