Obszar równoległoboku, jeśli znane są boki. Obwód i powierzchnia równoległoboku

Zadanie 4.

Jedna z przekątnych równoległoboku o długości 4√6 tworzy z podstawą kąt 60°, a druga przekątna tworzy z tą samą podstawą kąt 45°. Znajdź drugą przekątną.

Decyzja.

1. AO = 2√6.

2. Zastosuj twierdzenie sinus do trójkąta AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45o = OD/sin 60o.

OD = (2√6sin 60o) / sin 45o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odpowiedź: 12.

Zadanie 5.

W przypadku równoległoboku o bokach 5√2 i 7√2 mniejszy kąt między przekątnymi jest równy mniejszemu kątowi równoległoboku. Znajdź sumę długości przekątnych.

Decyzja.

Niech d 1, d 2 będą przekątnymi równoległoboku, a kąt między przekątnymi a mniejszym kątem równoległoboku będzie równy φ.

1. Policzmy dwa różne
sposoby jego obszaru.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Otrzymujemy równość 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f lub

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Korzystając ze stosunku boków i przekątnych równoległoboku, zapisujemy równość

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Zróbmy system:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnóż drugie równanie układu przez 2 i dodaj je do pierwszego.

Otrzymujemy (d 1 + d 2) 2 = 576. Stąd Id 1 + d 2 I = 24.

Ponieważ d 1, d 2 są długościami przekątnych równoległoboku, a następnie d 1 + d 2 = 24.

Odpowiedź: 24.

Zadanie 6.

Boki równoległoboku to 4 i 6. Kąt ostry między przekątnymi wynosi 45 stopni. Znajdź obszar równoległoboku.

Decyzja.

1. Z trójkąta AOB, korzystając z twierdzenia cosinusa, wypiszemy zależność między bokiem równoległoboku a przekątnymi.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Podobnie piszemy relację dla trójkąta AOD.

Bierzemy pod uwagę, że<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Otrzymujemy równanie d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Mamy system
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Odejmując pierwsze od drugiego równania, otrzymujemy 2d 1 d 2 √2 = 80 lub

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Notatka: W tym i poprzednim zadaniu nie ma potrzeby całkowitego rozwiązywania układu, przewidując, że w tym zadaniu do obliczenia pola potrzebny jest iloczyn przekątnych.

Odpowiedź: 10.

Zadanie 7.

Powierzchnia równoległoboku wynosi 96, a jego boki to 8 i 15. Znajdź kwadrat o mniejszej przekątnej.

Decyzja.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Zróbmy podstawienie we wzorze.

Otrzymujemy 96 = 8 15 grzech VAD. Stąd grzech VAD = 4/5.

2. Znajdź cos ZŁE. grzech 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ZŁE = 1. cos 2 ZŁE = 9/25.

W zależności od stanu problemu znajdujemy długość mniejszej przekątnej. Przekątna BD będzie mniejsza, jeśli kąt BAD jest ostry. Wtedy cos ZŁY = 3 / 5.

3. Z trójkąta ABD, korzystając z twierdzenia cosinusów, znajdujemy kwadrat przekątnej BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos ZŁE.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Odpowiedź: 145.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązać problem z geometrią?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Równoległobok Nazywa się to czworobokiem, którego przeciwległe boki są do siebie równoległe. Główne zadania w szkole na ten temat to obliczenie powierzchni równoległoboku, jego obwodu, wysokości, przekątnych. Te ilości i wzory do ich obliczania zostaną podane poniżej.

Właściwości równoległoboku

Przeciwne boki równoległoboku i przeciwne kąty są sobie równe:
AB=CD, BC=AD ,

Przekątne równoległoboku w punkcie przecięcia są podzielone na dwie równe części:

AO=OC, OB=OD.

Kąty przylegające do obu stron (kąty sąsiednie) sumują się do 180 stopni.

Każda z przekątnych równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty o równej powierzchni i wymiarach geometrycznych.

Inną niezwykłą właściwością często wykorzystywaną w rozwiązywaniu problemów jest to, że suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów wszystkich boków:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Główne cechy równoległoboków:

1. Czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe, jest równoległobokiem.
2. Czworokąt z równymi przeciwległymi bokami to równoległobok.
3. Czworokąt o równych i równoległych przeciwległych bokach jest równoległobokiem.
4. Jeśli przekątne czworokąta w punkcie przecięcia są podzielone na pół, to jest to równoległobok.
5. Czworokąt, którego przeciwne kąty są równe parami, to równoległobok

Dwusieczne równoległoboku

Dwusieczne przeciwnych kątów w równoległoboku mogą być równoległe lub pokrywać się.

Dwusieczne kątów sąsiednich (przylegających do tej samej strony) przecinają się pod kątem prostym (prostopadle).

Wysokość równoległoboku

Wysokość równoległoboku- jest to odcinek rysowany pod kątem prostopadłym do podstawy. Wynika z tego, że z każdego kąta można wyciągnąć dwie wysokości.

Wzór na obszar równoległoboku

Obszar równoległoboku jest równa iloczynowi boku i narysowanej do niego wysokości. Wzór na obszar jest następujący

Druga formuła jest nie mniej popularna w obliczeniach i jest zdefiniowana w następujący sposób: powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków przez sinus kąta między nimi

Na podstawie powyższych wzorów będziesz wiedział, jak obliczyć powierzchnię równoległoboku.

Obwód równoległoboku

Wzór na obliczenie obwodu równoległoboku to

oznacza to, że obwód jest dwukrotnością sumy boków. Zadania na równoległoboku będą brane pod uwagę w sąsiednich materiałach, ale na razie przestudiuj formuły. Większość zadań obliczania boków, przekątnych równoległoboku jest dość prosta i sprowadza się do znajomości twierdzenia sinus i twierdzenia Pitagorasa.

Notatka. To jest część lekcji z problemami z geometrii (sekcja równoległoboczna). Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. Aby oznaczyć czynność wyodrębniania pierwiastka kwadratowego w rozwiązywaniu problemów, używany jest symbol √ lub sqrt (), a radykalne wyrażenie jest wskazane w nawiasach.

Materiał teoretyczny

Wyjaśnienia do wzorów znajdowania obszaru równoległoboku:

1. Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi długości jednego z jego boków i wysokości na tym boku.
2. Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi jego dwóch sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi
3. Powierzchnia równoległoboku jest równa połowie iloczynu jego przekątnych i sinusa kąta między nimi

Problemy ze znalezieniem obszaru równoległoboku

Decyzja.
Mniejszą wysokość równoległoboku ABCD, obniżoną z punktu B do większej podstawy AD oznaczmy jako BK.
Znajdź wartość ramienia trójkąta prostokątnego ABK utworzonego przez mniejszą wysokość, mniejszy bok i część większej podstawy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Wydłużmy górną podstawę równoległoboku BC i zrzućmy na nią wysokość AN z dolnej podstawy. AN = BK jako boki prostokąta ANBK. W powstałym trójkącie prostokątnym ANC znajdujemy odnogę NC.
AN2 + NC2 = AC2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Teraz znajdźmy większą podstawę BC równoległoboku ABCD.
BC=NC-NB
Bierzemy pod uwagę, że NB = AK jako boki prostokąta, to
BC=12 - 1=11

Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi podstawy i wysokości do tej podstawy.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Odpowiedź: 99 cm2.

Zadanie

Decyzja.
Zrzućmy jeszcze jeden prostopadły DK na przekątną AC.
W związku z tym trójkąty AOB i DKC, COB i AKD są przystające parami. Jeden z boków jest przeciwną stroną równoległoboku, jeden z kątów jest prawy, ponieważ jest prostopadły do ​​przekątnej, a jeden z pozostałych kątów to wewnętrzny krzyż leżący dla równoległych boków równoległoboku i siecznej przekątnej.

W ten sposób powierzchnia równoległoboku jest równa powierzchni wskazanych trójkątów. Tj
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Powierzchnia trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu nóg. Gdzie
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Odpowiedź: 56 cm2.

Kurs wideo „Get an A” zawiera wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania egzaminu z matematyki o 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z profilu USE w matematyce. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Sprytne sztuczki do rozwiązywania, przydatne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Baza do rozwiązywania złożonych problemów II części egzaminu.

Podobnie jak w geometrii euklidesowej punkt i prosta są głównymi elementami teorii płaszczyzn, tak równoległobok jest jedną z kluczowych figur czworokątów wypukłych. Z niego, jak nici z kuli, wypływają pojęcia „prostokąta”, „kwadratu”, „rombu” i innych wielkości geometrycznych.

W kontakcie z

Definicja równoległoboku

wypukły czworobok, składający się z segmentów, z których każda para jest równoległa, jest znany w geometrii jako równoległobok.

Klasyczny równoległobok wygląda jak czworokąt ABCD. Boki nazywane są podstawami (AB, BC, CD i AD), prostopadła poprowadzona od dowolnego wierzchołka do przeciwnej strony tego wierzchołka nazywana jest wysokością (BE i BF), a linie AC i BD to przekątne.

Uwaga! Kwadrat, romb i prostokąt to szczególne przypadki równoległoboku.

Boki i kąty: cechy proporcji

Kluczowe właściwości, ogólnie rzecz biorąc, z góry określone przez samo oznaczenie, są one udowadniane przez twierdzenie. Te cechy są następujące:

1. Boki przeciwległe są identyczne w parach.
2. Kąty przeciwległe do siebie są równe parami.

Dowód: rozważ ∆ABC i ∆ADC, które otrzymuje się dzieląc czworokąt ABCD przez linię AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, ponieważ AC jest dla nich wspólny (kąty pionowe odpowiednio dla BC||AD i AB||CD). Wynika z tego: ∆ABC = ∆ADC (drugie kryterium równości trójkątów).

Odcinki AB i BC w ∆ABC odpowiadają parami liniom CD i AD w ∆ADC, co oznacza, że ​​są identyczne: AB = CD, BC = AD. Zatem ∠B odpowiada ∠D i są one równe. Ponieważ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, które również są identyczne parami, to ∠A = ∠C. Nieruchomość została sprawdzona.

Charakterystyka przekątnych figury

Główna cecha te równoległoboki: punkt przecięcia przecina je na pół.

Dowód: niech m. E będzie punktem przecięcia przekątnych AC i BD figury ABCD. Tworzą one dwa współmierne trójkąty - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD, ponieważ są przeciwne. Zgodnie z liniami i siecznymi, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Zgodnie z drugim znakiem równości ∆ABE = ∆CDE. Oznacza to, że elementy ∆ABE i ∆CDE to: AE = CE, BE = DE, a ponadto są współmiernymi częściami AC i BD. Nieruchomość została sprawdzona.

Cechy sąsiednich narożników

Na sąsiednich bokach suma kątów wynosi 180°, ponieważ leżą po tej samej stronie linii równoległych i siecznej. Dla czworoboku ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Właściwości dwusiecznej:

1. , opuszczone na bok, są prostopadłe;
2. przeciwległe wierzchołki mają równoległe dwusieczne;
3. trójkąt uzyskany przez narysowanie dwusiecznej będzie równoramienny.

Wyznaczanie cech charakterystycznych równoległoboku za pomocą twierdzenia

Cechy tej figury wynikają z jej głównego twierdzenia, które brzmi następująco: czworokąt jest uważany za równoległobok w przypadku przecięcia jego przekątnych, a ten punkt dzieli je na równe odcinki.

Dowód: Niech proste AC i BD czworokąta ABCD przecinają się w t. E. Ponieważ ∠AED = ∠BEC i AE+CE=AC BE+DE=BD, to ∆AED = ∆BEC (przez pierwszy znak równości trójkątów). Oznacza to, że ∠EAD = ∠EBC. Są to również wewnętrzne kąty przecięcia siecznej AC dla linii AD i BC. Zatem z definicji równoległości - AD || PNE. Podobna właściwość linii BC i CD jest również wyprowadzona. Twierdzenie zostało udowodnione.

Obliczanie powierzchni figury

Powierzchnia tej figury znaleźć na kilka sposobów jeden z najprostszych: pomnożenie wysokości i podstawy, do której jest narysowany.

Dowód: Narysuj prostopadłe BE i CF z wierzchołków B i C. ∆ABE i ∆DCF są równe, ponieważ AB = CD i BE = CF. ABCD jest równe prostokątowi EBCF, ponieważ składają się one również z proporcjonalnych liczb: SABE i S EBCD oraz S DCF i S EBCD. Wynika z tego, że powierzchnia tej figury geometrycznej jest taka sama jak prostokąta:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Aby określić ogólny wzór na powierzchnię równoległoboku, oznaczamy wysokość jako hb, i z boku b. Odpowiednio:

Inne sposoby na znalezienie obszaru

Obliczenia powierzchni przez boki równoległoboku i kąt, którą tworzą, jest drugą znaną metodą.

,

Spr-ma - obszar;

a i b to jego boki

α - kąt między segmentami a i b.

Ta metoda jest praktycznie oparta na pierwszej, ale na wypadek, gdyby była nieznana. zawsze odcina trójkąt prostokątny, którego parametry znajdują się na podstawie tożsamości trygonometrycznych, tj. . Przekształcając stosunek, otrzymujemy . W równaniu pierwszej metody zastępujemy wysokość tym iloczynem i uzyskujemy dowód słuszności tego wzoru.

Poprzez przekątne równoległoboku i kąta, które tworzą, gdy się przecinają, możesz również znaleźć obszar.

Dowód: AC i BD przecinające się z czterech trójkątów: ABE, BEC, CDE i AED. Ich suma jest równa powierzchni tego czworoboku.

Pole powierzchni każdego z nich ∆ można znaleźć z wyrażenia , gdzie a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Ponieważ , w obliczeniach używana jest pojedyncza wartość sinusa. Tj . Ponieważ AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , wzór na pole powierzchni redukuje się do:

.

Zastosowanie w algebrze wektorowej

Cechy części składowych tego czworokąta znalazły zastosowanie w algebrze wektorowej, a mianowicie: dodawanie dwóch wektorów. Zasada równoległoboku mówi, że jeśli dane wektoryorazniesą współliniowe, to ich suma będzie równa przekątnej tej figury, której podstawy odpowiadają tym wektorom.

Dowód: z arbitralnie wybranego początku - czyli. - budujemy wektory i . Następnie budujemy równoległobok OASV, w którym segmenty OA i OB są bokami. W ten sposób system operacyjny leży na wektorze lub sumie.

Wzory do obliczania parametrów równoległoboku

Tożsamości są podawane pod następującymi warunkami:

1. a i b, α - boki i kąt między nimi;
2. d 1 i d 2 , γ - przekątne iw punkcie ich przecięcia;
3. h a i h b - wysokości obniżone do boków a i b;

Parametr	Formuła
Znajdowanie stron
wzdłuż przekątnych i cosinusa kąta między nimi
po przekątnej i na boki
przez wysokość i przeciwległy wierzchołek
Znalezienie długości przekątnych
po bokach i wielkości blatu między nimi