Taisnas līnijas slīpuma leņķa pieskare pret asi. Funkcijas atvasinājums. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Matemātikā viens no parametriem, kas raksturo taisnes pozīciju Dekarta koordinātu plaknē, ir slīpumsšī taisnā līnija. Šis parametrs raksturo taisnes slīpumu pret x asi. Lai saprastu, kā atrast slīpumu, vispirms atcerieties taisnes vienādojuma vispārējo formu XY koordinātu sistēmā.

Kopumā jebkuru līniju var attēlot ar izteiksmi ax+by=c, kur a, b un c ir patvaļīgi reāli skaitļi, bet obligāti a 2 + b 2 ≠ 0.

Ar vienkāršu pārveidojumu palīdzību šādu vienādojumu var novest formā y=kx+d, kurā k un d ir reāli skaitļi. Skaitlis k ir slīpums, un šāda veida taisnas līnijas vienādojumu sauc par vienādojumu ar slīpumu. Izrādās, ka, lai atrastu slīpumu, jums vienkārši jāatved sākotnējais vienādojums iepriekš minētajā formā. Lai labāk izprastu, apsveriet konkrētu piemēru:

Uzdevums: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 36x - 18y = 108

Risinājums: pārveidosim sākotnējo vienādojumu.

Atbilde: Vēlamais šīs līnijas slīpums ir 2.

Ja vienādojuma pārveidošanas laikā mēs ieguvām izteiksmi ar tipu x = const un rezultātā nevaram attēlot y kā funkciju no x, tad mums ir darīšana ar taisni, kas ir paralēla X asij. šāda taisne ir vienāda ar bezgalību.

Līnijām, kas izteiktas ar vienādojumu, piemēram, y = const, slīpums ir nulle. Tas ir raksturīgi taisnām līnijām, kas ir paralēlas x asij. Piemēram:

Uzdevums: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Risinājums: sākotnējā vienādojumā mēs iegūstam vispārīgu formu

24x + 12g - 12g + 28 = 4

No iegūtās izteiksmes nav iespējams izteikt y, tāpēc šīs taisnes slīpums ir vienāds ar bezgalību, un pati taisne būs paralēla Y asij.

ģeometriskā sajūta

Lai labāk saprastu, apskatīsim attēlu:

Attēlā redzams y = kx tipa funkcijas grafiks. Vienkāršošanas labad ņemam koeficientu c = 0. Trijstūrī OAB malas BA attiecība pret AO būs vienāda ar slīpumu k. Tajā pašā laikā attiecība VA / AO ir tangenss akūts leņķisα in taisnleņķa trīsstūris OAV. Izrādās, ka taisnes slīpums ir vienāds ar leņķa pieskari, ko šī taisne veido ar koordinātu režģa x asi.

Atrisinot uzdevumu, kā atrast taisnas līnijas slīpumu, mēs atrodam leņķa tangensu starp to un koordinātu režģa x asi. Robežgadījumi, kad apskatāmā līnija ir paralēla koordinātu asīm, apstiprina iepriekš minēto. Patiešām, taisnei, kas aprakstīta ar vienādojumu y=const, leņķis starp to un abscisu asi nulle. Nulles leņķa tangenss arī ir nulle, un slīpums arī ir nulle.

Taisnēm, kas ir perpendikulāras x asij un aprakstītas ar vienādojumu x=const, leņķis starp tām un x asi ir 90 grādi. Pieskares pareizā leņķī ir vienāds ar bezgalību, un līdzīgu taisnu līniju slīpums ir vienāds ar bezgalību, kas apstiprina iepriekš rakstīto.

Pieskares slīpums

Izplatīts, praksē bieži sastopams uzdevums ir arī atrast funkcijas grafika pieskares slīpumu kādā punktā. Pieskares ir taisna līnija, tāpēc arī tai ir attiecināms slīpuma jēdziens.

Lai noskaidrotu, kā atrast pieskares slīpumu, mums būs jāatgādina atvasinājuma jēdziens. Jebkuras funkcijas atvasinājums kādā punktā ir konstante, kas skaitliski vienāda ar leņķa tangensu, kas veidojas starp pieskari norādītajā šīs funkcijas grafika punktā un abscisu asi. Izrādās, ka, lai noteiktu pieskares slīpumu punktā x 0, mums ir jāaprēķina sākotnējās funkcijas atvasinājuma vērtība šajā punktā k \u003d f "(x 0). Apskatīsim piemēru:

Uzdevums: Atrast funkcijas y = 12x 2 + 2xe x pieskares slīpumu pie x = 0,1.

Risinājums: atrodiet sākotnējās funkcijas atvasinājumu vispārīgā formā

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atbilde: Vēlamais slīpums punktā x \u003d 0,1 ir 4,831

Tēmas turpinājums par taisnes vienādojumu plaknē ir balstīts uz taisnes izpēti no algebras stundām. Šajā rakstā ir sniegta vispārīga informācija par taisnas līnijas un slīpuma vienādojuma tēmu. Apsveriet definīcijas, iegūstiet pašu vienādojumu, atklājiet saistību ar cita veida vienādojumiem. Viss tiks apspriests problēmu risināšanas piemēros.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirms šāda vienādojuma rakstīšanas ir jādefinē taisnas līnijas slīpuma leņķis pret O x asi ar to slīpumu. Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma O x.

1. definīcija

Taisnas līnijas slīpuma leņķis pret asi O x, kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā O x y uz plaknes, tas ir leņķis, ko mēra no pozitīvā virziena O x līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Ja līnija ir paralēla Vērsim vai tajā notiek sakritība, slīpuma leņķis ir 0. Tad uz intervāla [0, π) tiek noteikts dotās taisnes slīpuma leņķis α.

2. definīcija

Taisnas līnijas slīpums ir dotās taisnes slīpuma tangenss.

Standarta apzīmējums ir k. No definīcijas iegūstam, ka k = t g α . Ja līnija ir paralēla Vērsim, tiek teikts, ka slīpums neeksistē, jo tas iet līdz bezgalībai.

Slīpums ir pozitīvs, kad funkcijas grafiks palielinās un otrādi. Attēlā parādītas dažādas pareizā leņķa atrašanās vietas variācijas attiecībā pret koordinātu sistēmu ar koeficienta vērtību.

Lai atrastu šo leņķi, ir jāpiemēro slīpuma koeficienta definīcija un jāaprēķina slīpuma leņķa tangenss plaknē.

Lēmums

No nosacījuma mēs iegūstam, ka α = 120 °. Pēc definīcijas jums jāaprēķina slīpums. Atradīsim to pēc formulas k = t g α = 120 = - 3 .

Atbilde: k = - 3 .

Ja ir zināms leņķa koeficients, bet ir jāatrod slīpuma leņķis pret x asi, tad jāņem vērā leņķa koeficienta vērtība. Ja k > 0, tad taisnais leņķis ir akūts un atrodams pēc formulas α = a r c t g k . Ja k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2. piemērs

Nosakiet dotās taisnes slīpuma leņķi pret O x ar slīpumu, kas vienāds ar 3.

Lēmums

No nosacījuma, ka slīpums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka slīpuma leņķis pret O x ir mazāks par 90 grādiem. Aprēķinus veic pēc formulas α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Atbilde: α = a r c t g 3 .

3. piemērs

Atrodiet taisnes slīpuma leņķi pret O x asi, ja slīpums = - 1 3 .

Lēmums

Ja par slīpuma apzīmējumu ņemam burtu k, tad α ir slīpuma leņķis pret doto taisni pozitīvā virzienā O x. Tādējādi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Atbilde: 5 pi 6.

Formas y \u003d k x + b vienādojumu, kur k ir slīpums un b ir kāds reāls skaitlis, sauc par taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu. Vienādojums ir tipisks jebkurai taisnei, kas nav paralēla O y asij.

Ja detalizēti apsveram taisnu līniju plaknē fiksētā koordinātu sistēmā, ko dod vienādojums ar slīpumu, kas izskatās kā y \u003d k x + b. Šajā gadījumā tas nozīmē, ka jebkura līnijas punkta koordinātas atbilst vienādojumam. Ja punkta M koordinātas M 1 (x 1, y 1) aizstājam vienādojumā y \u003d k x + b, tad šajā gadījumā līnija iet caur šo punktu, pretējā gadījumā punkts nepieder pie punkta. līnija.

4. piemērs

Dota taisne ar slīpumu y = 1 3 x - 1 . Aprēķināt, vai punkti M 1 (3 , 0) un M 2 (2 , - 2) pieder dotajai taisnei.

Lēmums

Nepieciešams dotajā vienādojumā aizvietot punkta M 1 (3, 0) koordinātas, tad iegūstam 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Vienādība ir patiesa, tāpēc punkts pieder līnijai.

Ja aizvietojam punkta M 2 koordinātas (2, - 2), tad iegūstam nepareizu formas vienādību - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Varam secināt, ka punkts M 2 nepieder pie taisnes.

Atbilde: M 1 pieder līnijai, bet M 2 nepieder.

Ir zināms, ka taisne tiek definēta ar vienādojumu y = k · x + b, kas iet caur M 1 (0 , b) , aizstāšana radīja vienādību formā b = k · 0 + b ⇔ b = b . No tā varam secināt, ka taisnes vienādojums ar slīpumu y = k · x + b uz plaknes definē taisni, kas iet caur punktu 0, b. Tas veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, kur k = t g α .

Apsveriet, piemēram, taisnu līniju, kas definēta, izmantojot slīpumu, kas dots formā y = 3 · x - 1 . Iegūstam, ka taisne iet caur punktu ar koordinātu 0, - 1 ar slīpumu α = a r c t g 3 = π 3 radiāni pa O x ass pozitīvo virzienu. No tā var redzēt, ka koeficients ir 3.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

Nepieciešams atrisināt uzdevumu, kur nepieciešams iegūt taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) .

Vienādību y 1 = k · x + b var uzskatīt par derīgu, jo taisne iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1) . Lai noņemtu skaitli b, no kreisās un labās puses ir jāatņem vienādojums ar slīpuma koeficientu. No tā izriet, ka y - y 1 = k · (x - x 1) . Šo vienādību sauc par vienādojumu taisnei ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur punkta M 1 (x 1, y 1) koordinātām.

5. piemērs

Sastādiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (4, - 1), ar slīpumu, kas vienāds ar - 2.

Lēmums

Pēc nosacījuma mums ir x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. No šejienes taisnes vienādojums tiks uzrakstīts šādi: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x +7.

Atbilde: y = - 2 x + 7 .

6. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (3, 5) paralēli taisnei y \u003d 2 x - 2.

Lēmums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka paralēlām līnijām ir sakrītoši slīpuma leņķi, tāpēc slīpuma koeficienti ir vienādi. Lai atrastu slīpumu no dots vienādojums, ir jāatgādina tās pamatformula y = 2 x - 2, no tā izriet, ka k = 2 . Mēs sastādām vienādojumu ar slīpuma koeficientu un iegūstam:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atbilde: y = 2 x - 1 .

Pāreja no taisnas līnijas vienādojuma ar slīpumu uz cita veida taisnes vienādojumiem un otrādi

Šāds vienādojums ne vienmēr ir piemērojams problēmu risināšanai, jo tam ir ne pārāk ērts apzīmējums. Lai to izdarītu, tas ir jāiesniedz citā formā. Piemēram, vienādojums formā y = k · x + b neļauj pierakstīt taisnes virziena vektora koordinātas vai normālvektora koordinātas. Lai to izdarītu, jums jāiemācās attēlot cita veida vienādojumus.

Mēs varam iegūt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu plaknē, izmantojot taisnes ar slīpumu vienādojumu. Mēs iegūstam x - x 1 a x = y - y 1 a y . Nepieciešams pārvietot terminu b uz kreiso pusi un dalīt ar iegūtās nevienādības izteiksmi. Tad iegūstam vienādojumu formā y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Taisnes līnijas ar slīpumu vienādojums ir kļuvis par dotās taisnes kanonisko vienādojumu.

7. piemērs

Novietojiet taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu y = - 3 x + 12 kanoniskā formā.

Lēmums

Mēs aprēķinām un attēlojam taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma veidā. Mēs iegūstam formas vienādojumu:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atbilde: x 1 = y - 12 - 3.

Taisnes vispārīgo vienādojumu visvieglāk iegūt no y = k x + b, bet tam ir nepieciešamas transformācijas: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Pāreja tiek veikta no vispārējais vienādojums tieši uz cita veida vienādojumiem.

8. piemērs

Dots taisnes formas y = 1 7 x - 2 vienādojums. Uzziniet, vai vektors ar koordinātām a → = (- 1 , 7) ir normāls taisnes vektors?

Lēmums

Lai to atrisinātu, ir jāpārslēdzas uz citu šī vienādojuma formu, šim nolūkam mēs rakstām:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficienti mainīgo lielumu priekšā ir taisnes normālā vektora koordinātas. Rakstīsim šādi n → = 1 7 , - 1 , tātad 1 7 x - y - 2 = 0 . Ir skaidrs, ka vektors a → = (- 1 , 7) ir kolineārs vektoram n → = 1 7 , - 1 , jo mums ir godīga sakarība a → = - 7 · n → . No tā izriet, ka sākotnējais vektors a → = - 1 , 7 ir taisnes 1 7 x - y - 2 = 0 normāls vektors , kas nozīmē , ka tas tiek uzskatīts par taisnes y = 1 7 x - 2 normālu vektoru .

Atbilde: Ir

Atrisināsim problēmu apgriezti šai problēmai.

Nepieciešams pārcelties no vispārējs skats vienādojums A x + B y + C = 0, kur B ≠ 0, uz slīpuma vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu y. Iegūstam A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultātā tiek iegūts vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar - A B .

9. piemērs

Dots taisnes vienādojums formā 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Iegūstiet vienādojumu noteiktai līnijai ar slīpumu.

Lēmums

Pamatojoties uz nosacījumu, ir jāatrisina y, tad iegūstam formas vienādojumu:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atbilde: y = 1 6 x + 1 4 .

Līdzīgā veidā tiek atrisināts vienādojums ar formu x a + y b \u003d 1, ko sauc par taisnes vienādojumu segmentos vai kanoniskā forma x - x 1 a x = y - y 1 a y . Tas ir jāatrisina attiecībā pret y, tikai tad iegūstam vienādojumu ar slīpumu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanonisko vienādojumu var reducēt līdz formai ar slīpumu. Priekš šī:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

10. piemērs

Ir taisne, kas dota ar vienādojumu x 2 + y - 3 = 1 . Izveidojiet vienādojuma formu ar slīpumu.

Lēmums.

Pamatojoties uz nosacījumu, ir nepieciešams pārveidot, tad iegūstam vienādojumu formā _formula_. Lai iegūtu nepieciešamo slīpuma vienādojumu, abas vienādojuma puses jāreizina ar -3. Pārveidojot, mēs iegūstam:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atbilde: y = 3 2 x - 3 .

11. piemērs

Formas x - 2 2 \u003d y + 1 5 taisnās līnijas vienādojums tiek nogādāts formā ar slīpumu.

Lēmums

Nepieciešams aprēķināt izteiksmi x - 2 2 = y + 1 5 kā proporciju. Mēs iegūstam, ka 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tagad jums tas ir pilnībā jāiespējo šim nolūkam:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atbilde: y = 5 2 x - 6 .

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, taisnes formas x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametriskie vienādojumi ir jāsamazina līdz taisnes kanoniskajam vienādojumam, tikai pēc tam varat pāriet uz vienādojums ar slīpumu.

12. piemērs

Atrodiet taisnes slīpumu, ja to nosaka parametru vienādojumi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Lēmums

Jums ir jāpāriet no parametriskā skata uz slīpumu. Lai to izdarītu, no dotā parametriskā vienādojuma atrodam kanonisko vienādojumu:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Tagad ir jāatrisina šī vienādība attiecībā pret y, lai iegūtu taisnes ar slīpumu vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs rakstām šādi:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

No tā izriet, ka taisnes slīpums ir vienāds ar 2. Tas ir uzrakstīts kā k = 2 .

Atbilde: k = 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Slīpuma koeficients ir taisns. Šajā rakstā mēs apskatīsim uzdevumus, kas saistīti ar matemātikas eksāmenā iekļauto koordinātu plakni. Šie ir uzdevumi:

- taisnas līnijas slīpuma noteikšana, kad ir zināmi divi punkti, caur kuriem tā iet;
- divu plaknes līniju krustošanās punkta abscisu vai ordinātu noteikšana.

Kas ir punkta abscisa un ordinātas, tika aprakstīts šajā sadaļā. Tajā mēs jau esam apsvēruši vairākas problēmas, kas saistītas ar koordinātu plakni. Kas ir jāsaprot aplūkojamo uzdevumu veidam? Mazliet teorijas.

Taisnas līnijas vienādojumam koordinātu plaknē ir šāda forma:

kur k – tas ir taisnes slīpums.

Nākamais brīdis! Taisnas līnijas slīpums vienāds ar tangensu taisnas līnijas slīpuma leņķis. Tas ir leņķis starp doto līniju un asiak.

Tas ir no 0 līdz 180 grādiem.

Tas ir, ja mēs reducējam taisnas līnijas vienādojumu līdz formai y = kx + b, tad tālāk vienmēr varam noteikt koeficientu k (slīpuma koeficients).

Turklāt, ja mēs varam noteikt taisnes slīpuma tangensu, pamatojoties uz nosacījumu, tad mēs atradīsim tās slīpumu.

Nākamais teorētiskais brīdis!Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem.Formula izskatās šādi:

Apsveriet problēmas (līdzīgas tām, kas radušās atvērta banka uzdevumi):

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (–6; 0) un (0; 6).

Šajā uzdevumā racionālākais veids, kā to atrisināt, ir atrast pieskares leņķim starp x asi un doto taisni. Ir zināms, ka tas ir vienāds ar leņķa koeficientu. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri, ko veido taisna līnija un x un y asis:

Leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecība:

* Abas kājas ir vienādas ar sešām (tādi ir to garumi).

noteikti, šo uzdevumu var atrisināt, izmantojot formulu, lai atrastu vienādojumu taisnei, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Bet tas būs garāks risinājuma ceļš.

Atbilde: 1

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (5;0) un (0;5).

Mūsu punktiem ir koordinātas (5;0) un (0;5). nozīmē,

Pievedīsim formulu formā y = kx + b

Mēs saņēmām šo leņķa koeficientu k = – 1.

Atbilde: -1

Taisni a iet caur punktiem ar koordinātām (0;6) un (8;0). Taisni b iet caur punktu ar koordinātām (0;10) un ir paralēla taisnei a b ar asi vērsis.

Šajā uzdevumā jūs varat atrast taisnas līnijas vienādojumu a, nosakiet tam slīpumu. Taisne b slīpums būs vienāds, jo tie ir paralēli. Tālāk jūs varat atrast taisnas līnijas vienādojumu b. Un tad, aizstājot tajā vērtību y = 0, atrodiet abscisu. BET!

Šajā gadījumā ir vieglāk izmantot trīsstūra līdzības īpašību.

Dotās (paralēlās) koordinātu taisnes veidotie taisnstūri ir līdzīgi, kas nozīmē, ka to attiecīgo malu attiecības ir vienādas.

Vēlamā abscisa ir 40/3.

Atbilde: 40/3

Taisni a iet caur punktiem ar koordinātām (0;8) un (–12;0). Taisni b iet caur punktu ar koordinātām (0; -12) un ir paralēla taisnei a. Atrodiet līnijas krustošanās punkta abscisu b ar asi vērsis.

Šai problēmai racionālākais veids, kā to atrisināt, ir izmantot trīsstūru līdzības īpašību. Bet mēs to atrisināsim savādāk.

Mēs zinām punktus, caur kuriem līnija iet a. Mēs varam uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu. Formula taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem, ir:

Pēc nosacījuma punktiem ir koordinātas (0;8) un (–12;0). nozīmē,

Ņemsim pie prāta y = kx + b:

Dabūju to stūrīti k = 2/3.

*Leņķa koeficientu var atrast caur leņķa tangensu taisnleņķa trijstūrī ar 8. un 12. kājām.

Mēs zinām, ka paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi. Tātad taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu (0;-12), ir šāda forma:

Atrodi vērtību b mēs varam aizstāt abscisu un ordinēt vienādojumā:

Tātad līnija izskatās šādi:

Tagad, lai atrastu vēlamo līnijas un x asi krustošanās punkta abscisu, jāaizstāj y \u003d 0:

Atbilde: 18

Atrodiet ass krustošanās punkta ordinātas oi un taisne, kas iet caur punktu B(10;12), un paralēla līnija, kas iet caur sākuma punktu un punktu A(10;24).

Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0;0) un (10;24).

Formula taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem, ir:

Mūsu punktiem ir koordinātas (0;0) un (10;24). nozīmē,

Ņemsim pie prāta y = kx + b

Paralēlo līniju slīpumi ir vienādi. Tādējādi taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu B (10; 12), ir šāda forma:

Nozīme b aizvietojot punkta B koordinātas (10; 12) šajā vienādojumā, mēs atrodam:

Mēs saņēmām taisnas līnijas vienādojumu:

Lai atrastu šīs taisnes krustošanās punkta ordinātu ar asi OU ir jāaizvieto atrastajā vienādojumā X= 0:

* Vieglākais risinājums. Ar paralēlās tulkošanas palīdzību mēs nobīdām šo līniju uz leju pa asi OU uz punktu (10;12). Nobīde notiek par 12 vienībām, tas ir, punkts A(10;24) "nokārtots" uz punktu B(10;12), un punkts O(0;0) "nodots" uz punktu (0;–12). Tātad iegūtā līnija krustos ar asi OU punktā (0;–12).

Vēlamā ordināta ir -12.

Atbilde: -12

Atrodiet vienādojuma dotās taisnes krustošanās punkta ordinātas

3x + 2 g = 6, ar asi Oy.

Dotās taisnes krustošanās punkta koordināte ar asi OU ir forma (0; plkst). Aizvietojiet abscisu vienādojumā X= 0 un atrodiet ordinātu:

Taisnes ar asi krustošanās punkta ordināta OU vienāds ar 3.

* Sistēma tiek atrisināta:

Atbilde: 3

Atrodiet vienādojumu doto taisnes krustošanās punkta ordinātas

3x + 2y = 6 un y = - x.

Kad ir dotas divas taisnes un jautājums ir par šo līniju krustošanās punkta koordināšu atrašanu, šo vienādojumu sistēma tiek atrisināta:

Pirmajā vienādojumā mēs aizstājam - X tā vietā plkst:

Ordinātas ir mīnus sešas.

Atbilde: – 6

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (–2; 0) un (0; 2).

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (2;0) un (0;2).

Taisne a iet caur punktiem ar koordinātām (0;4) un (6;0). Taisne b iet caur punktu ar koordinātām (0;8) un ir paralēla taisnei a. Atrodiet taisnes b un x-ass krustošanās punkta abscisu.

Atrodiet y ass un taisnes, kas iet caur punktu B (6;4), un paralēlās taisnes, kas iet caur sākuma punktu un punktu A (6;8), krustošanās punkta ordinātas.

1. Ir skaidri jāsaprot, ka taisnes slīpums ir vienāds ar taisnes slīpuma pieskari. Tas palīdzēs jums atrisināt daudzas šāda veida problēmas.

2. Ir jāsaprot formula taisnes, kas iet caur diviem dotiem punktiem, atrašanai. Ar tās palīdzību jūs vienmēr varat atrast taisnas līnijas vienādojumu, ja ir norādītas divu tās punktu koordinātas.

3. Atcerieties, ka paralēlo līniju slīpumi ir vienādi.

4. Kā jūs saprotat, dažos uzdevumos ir ērti izmantot trīsstūru līdzības zīmi. Problēmas tiek risinātas praktiski mutiski.

5. Uzdevumus, kuros ir dotas divas taisnes un jāatrod to krustpunkta abscises vai ordinātas, var atrisināt grafiski. Tas ir, izveidojiet tos koordinātu plaknē (uz lapas šūnā) un vizuāli nosakiet krustošanās punktu. *Bet šī metode ne vienmēr ir piemērojama.

6. Un pēdējais. Ja ir dota taisne un tās krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm, tad šādos uzdevumos ir ērti atrast leņķa koeficientu, atrodot leņķa tangensu izveidotajā taisnleņķa trijstūrī. Tālāk shematiski parādīts, kā "redzēt" šo trīsstūri dažādiem līniju izvietojumiem plaknē:

>> Līnijas slīpuma leņķis no 0 līdz 90 grādiem<<

>> Taisnas līnijas leņķis no 90 līdz 180 grādiem<<

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Funkcijas atvasinājums ir viena no grūtākajām tēmām skolas mācību programmā. Ne katrs absolvents atbildēs uz jautājumu, kas ir atvasinājums.

Šajā rakstā vienkārši un skaidri paskaidrots, kas ir atvasinājums un kāpēc tas ir vajadzīgs.. Mēs tagad necentīsimies pēc prezentācijas matemātiskas stingrības. Vissvarīgākais ir saprast nozīmi.

Atcerēsimies definīciju:

Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums.

Attēlā parādīti trīs funkciju grafiki. Kurš, tavuprāt, aug visstraujāk?

Atbilde ir acīmredzama - trešā. Tam ir vislielākais izmaiņu ātrums, tas ir, lielākais atvasinājums.

Šeit ir vēl viens piemērs.

Kostja, Griša un Matvejs ieguva darbu vienlaikus. Apskatīsim, kā gada laikā mainījās viņu ienākumi:

Jūs varat redzēt visu diagrammā uzreiz, vai ne? Kostjas ienākumi sešu mēnešu laikā ir vairāk nekā dubultojušies. Un Grišas ienākumi arī pieauga, bet tikai nedaudz. Un Metjū ienākumi samazinājās līdz nullei. Sākuma nosacījumi ir vienādi, bet funkcijas maiņas ātrums, t.i. atvasinājums, - savādāk. Kas attiecas uz Matveju, viņa ienākumu atvasinājums kopumā ir negatīvs.

Intuitīvi mēs varam viegli novērtēt funkcijas izmaiņu ātrumu. Bet kā mēs to darām?

Tas, ko mēs patiešām skatāmies, ir tas, cik strauji funkcijas grafiks iet uz augšu (vai uz leju). Citiem vārdiem sakot, cik ātri y mainās ar x. Acīmredzot vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt atšķirīga atvasinājuma vērtība – tas ir, tā var mainīties ātrāk vai lēnāk.

Funkcijas atvasinājumu apzīmē ar .

Parādīsim, kā atrast, izmantojot grafiku.

Tiek uzzīmēts kādas funkcijas grafiks. Paņemiet punktu uz tā ar abscisu. Šajā punktā uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam. Mēs vēlamies novērtēt, cik strauji iet uz augšu funkcijas grafiks. Ērta vērtība tam ir pieskares slīpuma tangenss.

Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.

Lūdzu, ņemiet vērā - kā pieskares slīpuma leņķi mēs ņemam leņķi starp pieskares un ass pozitīvo virzienu.

Dažreiz skolēni jautā, kāda ir funkcijas grafika pieskare. Šī ir taisna līnija, kurai ir vienīgais kopīgais punkts ar grafiku šajā sadaļā, turklāt, kā parādīts mūsu attēlā. Tas izskatās kā pieskares aplim.

Atradīsim. Mēs atceramies, ka taisnleņķa trijstūrī akūtā leņķa pieskare ir vienāda ar pretējās kājas attiecību pret blakus esošo. No trīsstūra:

Mēs atradām atvasinājumu, izmantojot grafiku, pat nezinot funkcijas formulu. Šādi uzdevumi bieži atrodami matemātikas eksāmenā zem numura.

Ir vēl viena svarīga korelācija. Atgādiniet, ka taisnu līniju nosaka vienādojums

Daudzumu šajā vienādojumā sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar taisnās līnijas slīpuma leņķa pieskares asi.

.

Mēs to sapratām

Atcerēsimies šo formulu. Tas izsaka atvasinājuma ģeometrisko nozīmi.

Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkts uz funkcijas grafiku šajā punktā.

Citiem vārdiem sakot, atvasinājums ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu.

Mēs jau teicām, ka vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt dažādi atvasinājumi. Apskatīsim, kā atvasinājums ir saistīts ar funkcijas uzvedību.

Uzzīmēsim kādas funkcijas grafiku. Ļaujiet šai funkcijai dažos apgabalos palielināties, bet citos samazināties un ar atšķirīgu ātrumu. Un lai šai funkcijai ir maksimālais un minimālais punkts.

Kādā brīdī funkcija palielinās. Punktā uzzīmētā grafika pieskare veido akūtu leņķi; ar pozitīvu ass virzienu. Tātad atvasinājums punktā ir pozitīvs.

Šobrīd mūsu funkcija samazinās. Pieskare šajā punktā veido neasu leņķi; ar pozitīvu ass virzienu. Tā kā strupā leņķa pieskare ir negatīva, atvasinājums punktā ir negatīvs.

Lūk, kas notiek:

Ja funkcija palielinās, tās atvasinājums ir pozitīvs.

Ja tas samazinās, tā atvasinājums ir negatīvs.

Un kas notiks pie maksimālajiem un minimālajiem punktiem? Mēs redzam, ka (maksimālajā punktā) un (minimālajā punktā) pieskare ir horizontāla. Tāpēc pieskares slīpuma tangensa šajos punktos ir nulle, un atvasinājums arī ir nulle.

Punkts ir maksimālais punkts. Šajā brīdī funkcijas palielināšana tiek aizstāta ar samazinājumu. Līdz ar to atvasinājuma zīme punktā mainās no "plus" uz "mīnus".

Punktā - minimālajā punktā - atvasinājums arī ir vienāds ar nulli, bet tā zīme mainās no "mīnus" uz "plus".

Secinājums: ar atvasinājuma palīdzību var uzzināt visu, kas mūs interesē par funkcijas uzvedību.

Ja atvasinājums ir pozitīvs, tad funkcija pieaug.

Ja atvasinājums ir negatīvs, tad funkcija samazinās.

Maksimālajā punktā atvasinājums ir nulle un maina zīmi no plusa uz mīnusu.

Minimālajā punktā atvasinājums arī ir nulle un maina zīmi no mīnusa uz plusu.

Mēs ierakstām šos secinājumus tabulas veidā:

Veiksim divus nelielus precizējumus. Atrisinot problēmu, jums būs nepieciešams viens no tiem. Cits - pirmajā kursā ar nopietnāku funkciju un atvasinājumu izpēti.

Ir iespējams gadījums, kad funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, bet funkcijai šajā punktā nav ne maksimuma, ne minimuma. Šis tā sauktais :

Punktā grafika pieskare ir horizontāla, un atvasinājums ir nulle. Tomēr pirms punkta funkcija palielinājās - un pēc punkta tā turpina palielināties. Atvasinājuma zīme nemainās – tā ir palikusi pozitīva tāda, kāda bija.

Gadās arī tā, ka maksimuma vai minimuma punktā atvasinājums neeksistē. Grafikā tas atbilst straujam pārtraukumam, kad noteiktā punktā nav iespējams uzzīmēt pieskari.

Bet kā atrast atvasinājumu, ja funkcija ir dota nevis pēc grafika, bet ar formulu? Šajā gadījumā tas attiecas