Funkcijas grafika pieskares vienādojuma vispārīgs skats. Funkcijas grafika pieskares vienādojums un normālvienādojums

To demonstrē video pamācība "Funkciju diagrammas pieskares vienādojums". izglītojošs materiāls apgūt tēmu. Video apmācības laikā teorētiskais materiāls, kas nepieciešami funkcijas grafika pieskares vienādojuma jēdziena veidošanai dotajā punktā, aprakstīts šādas pieskares atrašanas algoritms, uzdevumu risināšanas piemēri, izmantojot pētīto teorētisko materiālu.

Video pamācībā tiek izmantotas metodes, kas uzlabo materiāla redzamību. Skatā tiek ievietoti zīmējumi, diagrammas, sniegti svarīgi balss komentāri, izmantota animācija, krāsu izcelšana un citi rīki.

Video nodarbība sākas ar stundas tēmas izklāstu un kādas funkcijas y=f(x) grafika pieskares attēlu punktā M(a;f(a)). Ir zināms, ka slīpums grafikam noteiktā punktā uzvilktā tangensa ir vienāda ar funkcijas f΄(a) atvasinājumu noteiktā punktā. Arī no algebras gaitas ir zināms taisnes vienādojums y=kx+m. Shematiski parādīts pieskares vienādojuma atrašanas punktā uzdevuma risinājums, kas reducējas uz koeficientu k, m atrašanu. Zinot funkcijas grafikam piederošā punkta koordinātas, m var atrast, koordinātu vērtību aizvietojot vienādojumā ar tangensu f(a)=ka+m. No tā atrodam m=f(a)-ka. Tādējādi, zinot atvasinājuma vērtību dotajā punktā un punkta koordinātas, mēs varam attēlot pieskares vienādojumu šādā veidā y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Tālāk ir sniegts pieskares vienādojuma sastādīšanas piemērs, ievērojot shēmu. Dota funkcija y=x 2 , x=-2. Pieņemot a=-2, mēs atrodam funkcijas vērtību šajā punktā f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Nosakām funkcijas f΄(х)=2х atvasinājumu. Šajā brīdī atvasinājums ir vienāds ar f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Lai sastādītu vienādojumu, tiek atrasti visi koeficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, tātad pieskares vienādojums y=4+(-4)(x+2). Vienkāršojot vienādojumu, mēs iegūstam y \u003d -4-4x.

Nākamajā piemērā ir ierosināts formulēt pieskares vienādojumu funkcijas y=tgx grafika sākumā. Šajā punktā a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Tātad pieskares vienādojums izskatās šādi: y=x.

Kā vispārinājums, funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas process kādā brīdī tiek formalizēts kā algoritms, kas sastāv no 4 soļiem:

• Saskares punkta abscisai ievada apzīmējumu;
• f(a) tiek aprēķināts;
• Tiek noteikts F΄(х) un aprēķināts f΄(a). Atrastās vērtības a, f(a), f΄(a) tiek aizvietotas tangenses vienādojuma y=f(a)+f΄(a)(x-a) formulā.

1. piemērā aplūkota funkcijas y \u003d 1 / x grafika pieskares vienādojuma apkopošana punktā x \u003d 1. Problēmas risināšanai mēs izmantojam algoritmu. Šai funkcijai punktā a=1, funkcijas f(a)=-1 vērtība. Funkcijas f΄(х)=1/х 2 atvasinājums. Punktā a=1 atvasinājums f΄(a)= f΄(1)=1. Izmantojot iegūtos datus, tiek sastādīts pieskares y \u003d -1 + (x-1) vai y \u003d x-2 vienādojums.

2. piemērā jāatrod funkcijas y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 grafika pieskares vienādojums. Galvenais nosacījums ir pieskares un taisnes y \u003d -2x + 1 paralēlisms. Pirmkārt, mēs atrodam pieskares slīpumu, kas vienāds ar taisnes y \u003d -2x + 1 slīpumu. Tā kā f΄(a)=-2 šai taisnei, tad k=-2 vēlamajai tangensei. Mēs atrodam funkcijas (x 3 + 3x 2 -2x-2) atvasinājumu ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Zinot, ka f΄(a)=-2, atrodam punkta koordinātas 3а 2 +6а-2=-2. Atrisinot vienādojumu, mēs iegūstam 1 \u003d 0 un 2 \u003d -2. Izmantojot atrastās koordinātas, jūs varat atrast pieskares vienādojumu, izmantojot labi zināmu algoritmu. Funkcijas vērtību atrodam punktos f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Atvasinājuma vērtība punktā f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Aizvietojot atrastās vērtības tangenses vienādojumā, pirmajam punktam iegūstam a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, bet otrajam punktam a 2 \u003d -2 pieskares vienādojumu y \u003d -2x- 22.

3. piemērā ir aprakstīta pieskares vienādojuma formulēšana tā zīmēšanai funkcijas y=√x grafika punktā (0;3). Lēmums tiek pieņemts pēc zināmā algoritma. Skārienpunktam ir koordinātes x=a, kur a>0. Funkcijas vērtība punktā f(a)=√x. Funkcijas atvasinājums f΄(х)=1/2√х, tātad dotajā punktā f΄(а)=1/2√а. Aizvietojot visas iegūtās vērtības tangentes vienādojumā, mēs iegūstam y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Pārveidojot vienādojumu, iegūstam y=x/2√a+√a/2. Zinot, ka pieskare iet caur punktu (0; 3), mēs atrodam a vērtību. Atrodiet a no 3=√a/2. Tādējādi √a=6, a=36. Mēs atrodam pieskares vienādojumu y \u003d x / 12 + 3. Attēlā parādīts aplūkojamās funkcijas grafiks un konstruētā vēlamā tangensa.

Studentiem tiek atgādināts aptuvenās vienādības Δy=≈f΄(x)Δxun f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ņemot x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, iegūstam f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), tātad f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

4. piemērā ir jāatrod izteiksmes 2.003 aptuvenā vērtība 6 . Tā kā ir jāatrod funkcijas f (x) \u003d x 6 vērtība punktā x \u003d 2,003, mēs varam izmantot labi zināmo formulu, ņemot f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Atvasinājums punktā f΄(2)=192. Tāpēc 2,003 6 ≈65-192 0,003. Pēc izteiksmes aprēķināšanas iegūstam 2,003 6 ≈64,576.

Video nodarbību "Funkcijas grafika pieskares vienādojums" ieteicams izmantot tradicionālajā matemātikas stundā skolā. Tālmācības skolotājam video materiāls palīdzēs skaidrāk izskaidrot tēmu. Videoklipu skolēni var ieteikt pašpārdomāšanai, ja nepieciešams, lai padziļinātu izpratni par mācību priekšmetu.

TEKSTA INTERPRETĀCIJA:

Mēs zinām, ka, ja punkts M (a; f (a)) (em ar koordinātām a un eff no a) pieder funkcijas y \u003d f (x) grafikam un ja šajā punktā var uzvilkt pieskari. funkcijas grafiks, kas nav perpendikulārs abscisei, tad pieskares slīpums ir f "(a) (ef gājiens no a).

Ir dota funkcija y = f(x) un punkts M (a; f(a)), un ir arī zināms, ka eksistē f´(a). Sastādām dotās funkcijas grafika pieskares vienādojumu in dots punkts. Šim vienādojumam, tāpat kā jebkuras taisnes, kas nav paralēla y asij vienādojumam, ir forma y = kx + m (y ir vienāds ar ka x plus em), tāpēc uzdevums ir atrast koeficientu vērtības. k un m (ka un em)

Slīpums k \u003d f "(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā taisne iet caur punktu M (a; f (a)). Tas nozīmē, ka, ja mēs aizstājam koordinātas punktu M taisnes vienādojumā, iegūstam pareizo vienādību : f(a) = ka+m, no kurienes konstatējam, ka m = f(a) - ka.

Atliek atrastās koeficientu ki un m vērtības aizstāt taisnes vienādojumā:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y ir vienāds ar eff no plus ef gājiena no reizinājuma ar x mīnus a).

Esam ieguvuši funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojumu punktā x=a.

Ja, teiksim, y \u003d x 2 un x \u003d -2 (t.i., a \u003d -2), tad f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, tātad f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (tad eff no a ir vienāds ar četriem, eff pirmskaitlis no x ir vienāds ar divi x, kas nozīmē ef gājienu no vienāds ar mīnus četri)

Aizvietojot vienādojumā atrastās vērtības a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, mēs iegūstam: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , t.i., y \u003d -4x -4.

(y vienāds mīnus četri x mīnus četri)

Sastādiet funkcijas y \u003d tgx (y) grafika pieskares vienādojumu vienāds ar tangensu x) izcelsmē. Mums ir: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , tātad f"(0) = l. Aizvietojot vienādojumā atrastās vērtības a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, iegūstam: y=x.

Mēs vispārinām soļus, lai atrastu pieskares vienādojumu funkcijas grafikam punktā x, izmantojot algoritmu.

ALGORITMS FUNKCIJAS VIENĀDOJUMA SASTĀVĪŠANAI, kas pieskaras GRAFIKAI y \u003d f (x):

1) Apzīmējiet saskares punkta abscisu ar burtu a.

2) Aprēķināt f(a).

3) Atrodiet f´(x) un aprēķiniet f´(a).

4) Aizvietojiet atrastos skaitļus a, f(a), f´(a) formulā y= f(a)+ f"(a) (x- a).

1. piemērs. Uzrakstiet funkcijas y \u003d - grafika pieskares vienādojumu

punkts x = 1.

Lēmums. Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to šajā piemērā

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Formulā aizstājiet trīs atrastos skaitļus: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1. Mēs iegūstam: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Atbilde: y = x-2.

Piemērs 2. Dota funkcija y = x 3 +3x 2 -2x-2. Uzrakstiet pieskares vienādojumu funkcijas y \u003d f (x) grafikam paralēli taisnei y \u003d -2x +1.

Izmantojot pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemam vērā, ka šajā piemērā f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, bet pieskāriena punkta abscisa šeit nav norādīta.

Sāksim runāt šādi. Vēlamajai tangensei jābūt paralēlai taisnei y \u003d -2x + 1. Un paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi. Tādējādi pieskares slīpums ir vienāds ar dotās taisnes slīpumu: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f ´ (a) \u003d -2.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

No vienādojuma f "(a) \u003d -2, t.i. 3а 2 +6а-2\u003d -2 mēs atrodam 1 \u003d 0, 2 \u003d -2. Tas nozīmē, ka ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 0, otra punktā ar abscisu -2.

Tagad jūs varat rīkoties saskaņā ar algoritmu.

1) a 1 \u003d 0 un 2 = -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Formulā aizstājot vērtības a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2, mēs iegūstam:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Formulā aizstājot vērtības a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2, mēs iegūstam:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Atbilde: y=-2x-2, y=-2x+2.

3. piemērs. No punkta (0; 3) uzzīmējiet funkcijas y \u003d grafikam pieskari. Lēmums. Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā f(x) = . Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskāriena punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu.

1) Lai x = a ir saskares punkta abscise; skaidrs, ka a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Vērtību a, f(a) = , f "(a) = aizstāšana formulā

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), mēs iegūstam:

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 3). Aizvietojot vienādojumā vērtības x = 0, y = 3, mēs iegūstam: 3 = , un tad =6, a =36.

Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskāriena punkta abscisu. Aizvietojot vienādojumā vērtību a =36, iegūstam: y=+3

Uz att. 1. attēlā parādīta aplūkotā piemēra ģeometriskā ilustrācija: tiek uzzīmēts funkcijas y \u003d grafiks, tiek novilkta taisna līnija y \u003d +3.

Atbilde: y = +3.

Mēs zinām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums punktā x, aptuvenā vienādība ir patiesa: Δyf´(x)Δx

vai, sīkāk, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef no x plus delta x mīnus ef no x ir aptuveni vienāds ar ef pirmizrādi no x līdz delta x).

Turpmākās argumentācijas ērtībai mēs mainām apzīmējumu:

x vietā mēs rakstīsim a,

x + Δx vietā rakstīsim x

Δx vietā rakstīsim x-a.

Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef no x ir aptuveni vienāds ar eff no plus ef gājiena no a, reizināts ar starpību starp x un a).

4. piemērs. Atrodiet aptuvenu vērtību skaitliskā izteiksme 2,003 6 .

Lēmums. Tas ir par par funkcijas y \u003d x 6 vērtības atrašanu punktā x \u003d 2,003. Izmantosim formulu f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ņemot vērā, ka šajā piemērā f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x \u003d 2,003, f "(x) \u003d 6x 5 un līdz ar to f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

Rezultātā mēs iegūstam:

2,003 6 64+192 0,003, t.i. 2,003 6 = 64,576.

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam:

2,003 6 = 64,5781643...

Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.

Parādot atvasinājuma zīmes saistību ar funkcijas monotonitātes raksturu.

Lūdzu, rīkojieties īpaši uzmanīgi. Paskaties, grafiks KAS tev ir dots! Funkcija vai tās atvasinājums

Dots atvasinājuma grafiks, tad mūs interesē tikai funkciju zīmes un nulles. Nekādi "kūli" un "iedobumi" mūs principā neinteresē!

1. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kur funkcijas atvasinājums ir negatīvs.

Lēmums:

Attēlā samazinošās funkcijas apgabali ir izcelti ar krāsu:

Šajās samazinošās funkcijas zonās ietilpst 4 veselu skaitļu vērtības.

2. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kur funkcijas grafika pieskare ir paralēla vai sakrīt ar taisni.

Lēmums:

Tā kā funkcijas grafika pieskares ir paralēla (vai sakrīt) ar taisni (vai, kas ir vienāda, ), kurai ir slīpums , nulle, tad pieskarei ir slīpums .

Tas savukārt nozīmē, ka pieskare ir paralēla asij, jo slīpums ir pieskares slīpuma leņķa pieskare pret asi.

Tāpēc grafikā atrodam ekstremālos punktus (maksimālos un minimālos punktus), - tieši tajos grafa pieskares funkcijas būs paralēlas asij.

Ir 4 šādi punkti.

3. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kur funkcijas grafika pieskare ir paralēla vai sakrīt ar taisni.

Lēmums:

Tā kā funkcijas grafika pieskare ir paralēla (vai sakrīt) ar taisni, kurai ir slīpums, tad pieskarei ir slīpums.

Tas savukārt nozīmē, ka saskares punktos.

Tāpēc mēs aplūkojam, cik daudz punktu grafikā ir ordinātas, kas vienādas ar .

Kā redzat, šādi punkti ir četri.

4. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kur funkcijas atvasinājums ir 0.

Lēmums:

Ekstrēma punktos atvasinājums ir nulle. Mums ir 4 no tiem:

5. uzdevums.

Attēlā parādīts funkciju grafiks un vienpadsmit punkti uz x ass:. Cik no šiem punktiem funkcijas atvasinājums ir negatīvs?

Lēmums:

Samazinošas funkcijas intervālos ņem tās atvasinājumu negatīvas vērtības. Un funkcija punktos samazinās. Ir 4 šādi punkti.

6. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet funkcijas galējo punktu summu.

Lēmums:

ekstremālie punkti ir maksimālie punkti (-3, -1, 1) un minimālie punkti (-2, 0, 3).

Ekstrēmo punktu summa: -3-1+1-2+0+3=-2.

7. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus. Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.

Lēmums:

Attēlā ir izcelti intervāli, kuros funkcijas atvasinājums nav negatīvs.

Mazajā pieauguma intervālā nav veselu skaitļu punktu, pieauguma intervālā ir četras veselas vērtības: , , un .

Viņu summa:

8. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu.

Lēmums:

Attēlā ir izcelti visi intervāli, kuros atvasinājums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka pati funkcija šajos intervālos palielinās.

Lielākās no tām garums ir 6.

9. uzdevums.

Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Kurā segmenta punktā tam ir vislielākā vērtība.

Lēmums:

Mēs skatāmies, kā grafiks uzvedas segmentā, proti, mūs interesē tikai atvasināta zīme .

Atvasinājuma zīme uz ir mīnus, jo grafiks uz šī segmenta atrodas zem ass.

Darba veids: 7

Stāvoklis

Taisne y=3x+2 ir pieskares funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir mazāka par nulli.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Lai x_0 ir funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafika punkta abscisa, caur kuru iet šī grafika pieskare.

Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, t.i., y"(x_0)=-24x_0+b=3. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan tangenss, t.i. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gadījumi)

Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir mazāki par nulli, tāpēc x_0=-1, tad b=3+24x_0=-21.

Atbilde

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Taisne y=-3x+4 ir paralēla funkcijas y=-x^2+5x-7 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Taisnes slīpums līdz funkcijas y=-x^2+5x-7 grafikam patvaļīgā punktā x_0 ir y"(x_0). Bet y"=-2x+5, tātad y"(x_0)=- 2x_0+5. Leņķiskais nosacījumā norādītais taisnes y=-3x+4 koeficients ir -3.Paralēlām līnijām ir vienādi slīpuma koeficienti.Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka =-2x_0 +5=-3.

Mēs iegūstam: x_0 = 4.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. Profila līmenis". Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Rādīt risinājumu

Lēmums

No attēla mēs nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(-6; 2) un B(-1; 1). Ar C(-6; 1) apzīmē taisnes x=-6 un y=1 krustošanās punktu, bet ar \alpha leņķi ABC (attēlā redzams, ka tas ir ass). Tad taisne AB veido neasu leņķi \pi -\alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.

Kā zināms, tg(\pi -\alpha) būs funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība punktā x_0. ievērojiet, tas tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. No šejienes, izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Taisne y=-2x-4 ir pieskares funkcijas y=16x^2+bx+12 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir lielāka par nulli.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Lai x_0 ir funkcijas y=16x^2+bx+12 diagrammas punkta abscisa, caur kuru

ir pieskares šim grafikam.

Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, t.i., y "(x_0)=32x_0+b=-2. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan pieskares, t.i., 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(gadījumi)

Atrisinot sistēmu, iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1 vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir lielāki par nulli, tāpēc x_0=1, tad b=-2-32x_0=-34.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Attēlā parādīts intervālā (-2; 8) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet punktu skaitu, kur funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei y=6.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Līnija y=6 ir paralēla Ox asij. Tāpēc mēs atrodam tādus punktus, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Šajā diagrammā šādi punkti ir ekstremālie punkti (maksimālie vai minimālie punkti). Kā redzat, ir 4 galējie punkti.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Taisne y=4x-6 ir paralēla funkcijas y=x^2-4x+9 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Funkcijas y \u003d x ^ 2-4x + 9 grafika pieskares slīpums patvaļīgā punktā x_0 ir y "(x_0). Bet y" \u003d 2x-4, kas nozīmē y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Nosacījumā norādītās pieskares y \u003d 4x-7 slīpums ir vienāds ar 4. Paralēlajām līnijām ir vienādi slīpumi. Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka 2x_0-4 \u003d 4. Iegūstam : x_0 \u003d 4.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x_0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x_0.

Rādīt risinājumu

Lēmums

No attēla nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(1; 1) un B(5; 4). Ar C(5; 1) apzīmē taisnes x=5 un y=1 krustpunktu, bet ar \alpha – leņķi BAC (attēlā redzams, ka tas ir ass). Tad līnija AB veido leņķi \alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.

Y \u003d f (x) un, ja šajā brīdī funkcijas grafikam var uzzīmēt pieskari, kas nav perpendikulāra x asij, tad pieskares slīpums ir f "(a). Mēs jau esam izmantojuši šos vairākus Piemēram, 33. paragrāfā tika noteikts, ka funkcijas y \u003d sin x (sinusoīds) grafiks sākuma punktā veido 45° leņķi ar abscisu asi (precīzāk, grafika pieskare izcelsme veido 45° leņķi ar x ass pozitīvo virzienu), un 5. piemērā no § 33 punktiem tika atrasti dotajā grafikā. funkcijas, kurā pieskare ir paralēla x asij. 33. § 2. piemērā tika sastādīts vienādojums funkcijas y \u003d x 2 grafika pieskarei punktā x \u003d 1 (precīzāk, punktā (1; 1), bet biežāk tikai ir norādīta abscisu vērtība, pieņemot, ka, ja abscisu vērtība ir zināma, tad ordinātu vērtību var atrast no vienādojuma y = f(x)). Šajā sadaļā mēs izstrādāsim algoritmu jebkuras funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanai.

Ir dota funkcija y \u003d f (x) un punkts M (a; f (a)), un ir arī zināms, ka eksistē f "(a). Sastādām pieskares vienādojumu grafikam dotā funkcija dotajā punktā. Šis vienādojums ir kā jebkuras taisnes vienādojums, kas nav paralēls y asij, ir formā y = kx + m, tāpēc uzdevums ir atrast koeficientu k vērtības un m.

Ar slīpumu k nav problēmu: mēs zinām, ka k \u003d f "(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā līnija iet caur punktu M (a; f (a)). Tas nozīmē, ka, ja mēs aizvietojam koordinātas punktus M taisnes vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību: f (a) \u003d ka + m, no kurienes mēs atklājam, ka m \u003d f (a) - ka.
Atliek aizstāt atrastās vaļu koeficientu vērtības vienādojums taisni:

Mēs esam ieguvuši funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskares vienādojumu punktā x \u003d a.
Ja, teiksim,
Aizvietojot (1) vienādojumā atrastās vērtības a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, mēs iegūstam: y \u003d 1 + 2 (x-f), t.i., y \u003d 2x -1.
Salīdziniet šo rezultātu ar to, kas iegūts 33. § 2. piemērā. Protams, notika tas pats.
Sastādām pieskares vienādojumu funkcijas y \u003d tg x grafikam sākuma punktā. Mums ir: tātad cos x f "(0) = 1. Aizvietojot atrastās vērtības a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 vienādojumā (1), mēs iegūstam: y \u003d x .
Tāpēc mēs zīmējām tangentoīdu § 15 (sk. 62. att.) caur koordinātu sākumpunktu 45 ° leņķī pret abscisu asi.
Ar to atrisināšanu pietiek vienkārši piemēri, mēs faktiski izmantojām noteiktu algoritmu, kas ir iegults formulā (1). Padarīsim šo algoritmu skaidru.

ALGORITMS FUNKCIJAS GRAFIKAS TANGENTES VIENĀDOTĀJUMA SASTĀVĪŠANAI \u003d f (x)

1) Apzīmējiet saskares punkta abscisu ar burtu a.
2) Aprēķiniet 1 (a).
3) Atrodiet f "(x) un aprēķiniet f" (a).
4) Atrastos skaitļus a, f(a), (a) aizstājiet formulā (1).

1. piemērs Uzrakstiet vienādojumu pieskarei funkcijas grafikam punktā x = 1.
Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to šajā piemērā

Uz att. 126 parāda hiperbolu, ir izveidota taisne y \u003d 2x.
Zīmējums apstiprina iepriekš minētos aprēķinus: tiešām, līnija y \u003d 2-x pieskaras hiperbolai punktā (1; 1).

Atbilde: y \u003d 2-x.
2. piemērs Uzzīmējiet funkcijas grafika pieskari tā, lai tā būtu paralēla taisnei y \u003d 4x - 5.
Precizēsim problēmas formulējumu. Prasība "uzzīmēt pieskari" parasti nozīmē "izveidot pieskares vienādojumu". Tas ir loģiski, jo, ja cilvēks varēja sastādīt vienādojumu pieskarei, tad viņam, visticamāk, nebūs grūtības konstruēt taisnu līniju koordinātu plaknē atbilstoši tās vienādojumam.
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā, bet atšķirībā no iepriekšējā piemēra šeit ir neskaidrības: pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta.
Sāksim runāt šādi. Vēlamajai pieskarei jābūt paralēlai taisnei y \u003d 4x-5. Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to slīpumi ir vienādi. Tas nozīmē, ka pieskares slīpumam jābūt vienādam ar dotās taisnes slīpumu: Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f "(a) \u003d 4.
Mums ir:
No vienādojuma Tātad ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 2, otra punktā ar abscisu -2.
Tagad jūs varat rīkoties saskaņā ar algoritmu.

3. piemērs No punkta (0; 1) uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu.

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 1). Aizvietojot vienādojumā (2) vērtības x = 0, y = 1, mēs iegūstam:
Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskāriena punkta abscisu. Aizvietojot vērtību a \u003d 4 vienādojumā (2), mēs iegūstam:

Uz att. 127 parāda aplūkotā piemēra ģeometrisku ilustrāciju: funkcijas grafiku

32. paragrāfā mēs atzīmējām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums fiksētā punktā x, aptuvenā vienādība ir spēkā:

Turpmākās argumentācijas ērtībai mēs mainām apzīmējumu: x vietā rakstīsim a, tā vietā rakstīsim x un attiecīgi rakstīsim x-a. Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

Tagad apskatiet att. 128. Funkcijas y \u003d f (x) grafikam punktā M (a; f (a)) uzzīmēta pieskare. Atzīmēts punkts x uz x ass tuvu a. Ir skaidrs, ka f(x) ir funkcijas grafika ordināta norādītajā punktā x. Un kas ir f (a) + f "(a) (x-a)? Šī ir pieskares ordināta, kas atbilst tam pašam punktam x - skatiet formulu (1). Ko nozīmē aptuvenā vienādība (3)? aprēķiniet funkcijas aptuveno vērtību, tiek ņemta pieskares ordinātu vērtība.

4. piemērs Atrodiet skaitliskās izteiksmes aptuveno vērtību 1.02 7 .
Mēs runājam par funkcijas y \u003d x 7 vērtības atrašanu punktā x \u003d 1,02. Mēs izmantojam formulu (3), ņemot vērā to šajā piemērā
Rezultātā mēs iegūstam:

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam: 1,02 7 = 1,148685667...
Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.
Atbilde: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkoviča algebra 10. klase

Kalendāra tematiskā plānošana matemātikā, video matemātikā tiešsaistē, matemātika skolā lejupielādēt

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, lietas, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli grafikas, tabulas, shēmas humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības

Dota funkcija f, kurai kādā punktā x 0 ir galīgs atvasinājums f (x 0). Tad taisni, kas iet caur punktu (x 0; f (x 0)) un kuras slīpums ir f '(x 0), sauc par tangensu.

Bet kas notiek, ja atvasinājums punktā x 0 nepastāv? Ir divas iespējas:

1. Grafa pieskares arī nepastāv. Klasiskais piemērs ir funkcija y = |x | punktā (0; 0).
2. Pieskares kļūst vertikāla. Tas attiecas, piemēram, uz funkciju y = arcsin x punktā (1; π /2).

Pieskares vienādojums

Jebkura nevertikāla taisne tiek dota ar vienādojumu formā y = kx + b, kur k ir slīpums. Pieskares nav izņēmums, un, lai sastādītu tā vienādojumu kādā punktā x 0, pietiek zināt funkcijas un atvasinājuma vērtību šajā punktā.

Tātad, dosim funkciju y \u003d f (x), kurai segmentā ir atvasinājums y \u003d f '(x). Tad jebkurā punktā x 0 ∈ (a; b) šīs funkcijas grafikam var uzvilkt tangensu, kas iegūta ar vienādojumu:

y \u003d f'(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Šeit f ’(x 0) ir atvasinājuma vērtība punktā x 0, un f (x 0) ir pašas funkcijas vērtība.

Uzdevums. Dota funkcija y = x 3 . Uzrakstiet šīs funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā x 0 = 2.

Pieskares vienādojums: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Punkts x 0 = 2 mums ir dots, bet būs jāaprēķina vērtības f (x 0) un f '(x 0).

Vispirms noskaidrosim funkcijas vērtību. Šeit viss ir vienkārši: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Tagad atradīsim atvasinājumu: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Aizvietotājs atvasinājumā x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tātad mēs iegūstam: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Šis ir pieskares vienādojums.

Uzdevums. Sastādiet funkcijas f (x) \u003d 2sin x + 5 grafika pieskares vienādojumu punktā x 0 \u003d π / 2.

Šoreiz mēs sīkāk neaprakstīsim katru darbību – norādīsim tikai galvenos soļus. Mums ir:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Pieskares vienādojums:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Pēdējā gadījumā līnija izrādījās horizontāla, jo tā slīpums k = 0. Tur nav nekā slikta - mēs vienkārši uzdūrāmies uz ekstrēma punktu.