Միատեսակ արագացված շարժման վերլուծական նկարագրություն. Միատեսակ արագացված շարժումով շարժման բանաձևի ստացում. Հետագիծ

Մեզ համար ամենակարեւորն այն է, որ կարողանանք հաշվել մարմնի տեղաշարժը, քանի որ, իմանալով տեղաշարժը, կարող ենք գտնել նաև մարմնի կոորդինատները, և դա մեխանիկայի հիմնական խնդիրն է։ Ինչպես հաշվարկել տեղաշարժը միատեսակ արագացված շարժում?

Տեղաշարժի որոշման բանաձևը ամենահեշտն է ստացվում, եթե օգտագործեք գրաֆիկական մեթոդը:

§ 9-ում մենք տեսանք, որ ուղղագիծ միատեսակ շարժումով մարմնի տեղաշարժը թվայինորեն հավասար է արագության գրաֆիկի տակ գտնվող գործչի (ուղղանկյունի) մակերեսին: Արդյո՞ք սա ճիշտ է միատեսակ արագացված շարժման դեպքում:

X կոորդինատային առանցքի երկայնքով մարմնի հավասարաչափ արագացված շարժման դեպքում արագությունը ժամանակի ընթացքում հաստատուն չի մնում, այլ ժամանակի հետ փոխվում է՝ համաձայն բանաձևերի.

Հետևաբար, արագության գծապատկերներն ունեն Նկար 40-ում ներկայացված ձևը: Այս նկարի 1-ին տողը համապատասխանում է «դրական» արագացումով շարժմանը (արագությունը մեծանում է), տող 2-ը համապատասխանում է «բացասական» արագացումով շարժմանը (արագությունը նվազում է): Երկու գրաֆիկներն էլ վերաբերում են այն դեպքին, երբ մարմնի տվյալ պահին արագություն է եղել

Մենք ընտրում ենք մի փոքր հատված միատեսակ արագացված շարժման արագության գրաֆիկի վրա (նկ. 41) և իջեցնում a կետերից և առանցքի ուղղահայաց հատվածին: Առանցքի հատվածի երկարությունը թվայինորեն հավասար է այն փոքր ժամանակային միջակայքին, որի ընթացքում արագությունը փոխվել է իր արժեքից a կետում դեպի իր արժեքը կետում Բաժնի տակ գրաֆիկան պարզվել է, որ նեղ շերտ է

Եթե ​​հատվածին թվայինորեն հավասար ժամանակային միջակայքը բավական փոքր է, ապա այս ընթացքում արագության փոփոխությունը նույնպես փոքր է։ Այս ժամանակահատվածում շարժումը կարելի է համարել միատեսակ, և այնուհետև ժապավենը քիչ կտարբերվի ուղղանկյունից: Հետևաբար, ժապավենի մակերեսը թվայինորեն հավասար է մարմնի տեղաշարժին հատվածին համապատասխան ժամանակում

Բայց արագության գրաֆիկի տակ գտնվող գործչի ամբողջ տարածքը կարելի է բաժանել նման նեղ շերտերի: Հետևաբար, բոլոր ժամանակների համար տեղաշարժը թվայինորեն հավասար է տրապիզոնի մակերեսին: Տրապիզոնի մակերեսը, ինչպես հայտնի է երկրաչափությունից, հավասար է նրա հիմքերի և բարձրության գումարի կեսի արտադրյալին: Մեր դեպքում տրապիզոնի հիմքերից մեկի երկարությունը թվայինորեն հավասար է մյուսի երկարությանը - V: Նրա բարձրությունը թվայինորեն հավասար է, հետևում է, որ տեղաշարժը հավասար է.

Փոխարենը, մենք փոխարինում ենք (1a) արտահայտությունը այս բանաձևով, այնուհետև

Թվականը տերմինի բաժանելով համարիչը հայտարարի վրա՝ ստանում ենք.

Արտահայտությունը (16) փոխարինելով (2) բանաձևով, մենք ստանում ենք (տես Նկար 42).

Բանաձևը (2ա) օգտագործվում է, երբ արագացման վեկտորն ուղղված է նույն ուղղությամբ, ինչ կոորդինատային առանցքը, և բանաձևը (26), երբ արագացման վեկտորի ուղղությունը հակառակ է այս առանցքի ուղղությանը:

Եթե ​​սկզբնական արագությունը զրոյական է (նկ. 43), իսկ արագացման վեկտորն ուղղված է կոորդինատային առանցքի երկայնքով, ապա (2ա) բանաձևից հետևում է.

Եթե ​​արագացման վեկտորի ուղղությունը հակառակ է կոորդինատային առանցքի ուղղությանը, ապա (26) բանաձևից հետևում է.

(«-» նշանն այստեղ նշանակում է, որ տեղաշարժի վեկտորը, ինչպես նաև արագացման վեկտորը, ուղղված են ընտրված կոորդինատային առանցքին հակառակ):

Հիշեցնենք, որ (2ա) և (26) բանաձևերում մեծությունները և կարող են լինել և՛ դրական, և՛ բացասական՝ սրանք վեկտորների կանխատեսումներ են և

Այժմ, երբ մենք ստացել ենք տեղաշարժը հաշվելու բանաձևերը, մեզ համար հեշտ է ստանալ մարմնի կոորդինատների հաշվարկման բանաձևը։ Մենք տեսանք (տես § 8), որ մարմնի կոորդինատը ժամանակի ինչ-որ պահի գտնելու համար անհրաժեշտ է նախնական կոորդինատին ավելացնել մարմնի տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա.

(For) եթե արագացման վեկտորն ուղղված է կոորդինատային առանցքի նույն ուղղությամբ, և

եթե արագացման վեկտորի ուղղությունը հակառակ է կոորդինատային առանցքի ուղղությանը.

Սրանք այն բանաձևերն են, որոնք թույլ են տալիս ցանկացած պահի գտնել մարմնի դիրքը ուղիղ միատեսակ արագացված շարժման մեջ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է իմանալ մարմնի սկզբնական կոորդինատը, նրա սկզբնական արագությունը և արագացումը a.

Առաջադրանք 1. 72 կմ/ժ արագությամբ շարժվող ավտոմեքենայի վարորդը տեսել է կարմիր լուսացույց և սեղմել արգելակները։ Դրանից հետո մեքենան սկսել է դանդաղել՝ շարժվելով արագացումով

Որքա՞ն է մեքենայի անցած ճանապարհը արգելակումը սկսելուց հետո վայրկյանների ընթացքում: Որքա՞ն ճանապարհ կանցնի մեքենան մինչև լրիվ կանգառը:

Որոշում. Կոորդինատների ծագման համար մենք ընտրում ենք ճանապարհի այն կետը, որտեղ մեքենան սկսեց դանդաղեցնել: Եկեք կոորդինատների առանցքն ուղղենք մեքենայի շարժման ուղղությամբ (նկ. 44) և ժամանակի հղումը վերաբերենք այն պահին, երբ վարորդը սեղմել է արգելակը: Մեքենայի արագությունն ուղղված է X առանցքի նույն ուղղությամբ, իսկ մեքենայի արագացումը հակառակ է այս առանցքի ուղղությանը: Հետևաբար, արագության պրոյեկցիան X առանցքի վրա դրական է, իսկ արագացման պրոյեկցիան բացասական է, և մեքենայի կոորդինատը պետք է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը (36).

Փոխարինելով այս բանաձևի արժեքները

Հիմա եկեք պարզենք, թե մեքենան ինչքան ճանապարհ կանցնի մինչև լրիվ կանգ առնելը: Դա անելու համար մենք պետք է իմանանք շարժման ժամանակը: Այն կարելի է գտնել բանաձևի միջոցով

Քանի որ այն պահին, երբ մեքենան կանգնում է, նրա արագությունը զրոյական է, ուրեմն

Հեռավորությունը, որը կանցնի մեքենան մինչև լրիվ կանգառը, հավասար է տվյալ պահին մեքենայի կոորդինատին

Առաջադրանք 2. Որոշե՛ք մարմնի տեղաշարժը, որի արագության գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 45-ում։ Մարմնի արագացումը ա.

Որոշում. Քանի որ սկզբում մարմնի արագության մոդուլը նվազում է ժամանակի հետ, արագացման վեկտորն ուղղված է հակառակ ուղղությամբ: Տեղաշարժը հաշվարկելու համար մենք կարող ենք օգտագործել բանաձևը

Գրաֆիկից երևում է, որ շարժման ժամանակը հետևյալն է.

Ստացված պատասխանը ցույց է տալիս, որ նկար 45-ում պատկերված գրաֆիկը համապատասխանում է մարմնի շարժմանը սկզբում մեկ ուղղությամբ, իսկ հետո նույն հեռավորությանը հակառակ ուղղությամբ, ինչի արդյունքում մարմինը գտնվում է սկզբնակետում։ Նման գրաֆիկը, օրինակ, կարող է վերաբերել ուղղահայաց դեպի վեր նետված մարմնի շարժմանը:

Խնդիր 3. Մարմինն ուղիղ գծով շարժվում է միատեսակ արագացումով a. Գտե՛ք մարմնի անցած տարածությունների տարբերությունը երկու հաջորդական հավասար ժամանակամիջոցներում, այսինքն.

Որոշում. Վերցնենք այն ուղիղ գիծը, որով մարմինը շարժվում է որպես X առանցք։Եթե A կետում (նկ. 46) մարմնի արագությունը հավասար էր, ապա նրա շարժումը ժամանակի մեջ հավասար է.

B կետում մարմինն ուներ արագություն, և դրա տեղաշարժը հաջորդ ժամանակահատվածում կազմում է.

2. Նկար 47-ում ներկայացված են երեք մարմինների շարժման արագության գրաֆիկները: Ո՞րն է այս մարմինների շարժման բնույթը: Ի՞նչ կարելի է ասել մարմինների արագությունների մասին A և B կետերին համապատասխանող ժամանակի պահերին: Որոշի՛ր այս մարմինների արագացումները և գրի՛ր շարժման հավասարումները (արագության և տեղաշարժի բանաձևերը)։

3. Օգտագործելով 48-րդ նկարում ներկայացված երեք մարմինների արագությունների գրաֆիկները, կատարե՛ք հետևյալ առաջադրանքները. ա) Որոշե՛ք այս մարմինների արագացումները. բ) գրել համար

յուրաքանչյուր մարմնի արագության կախվածության բանաձևը ժամանակից. գ) ինչո՞վ են նման 2-րդ և 3-րդ գրաֆիկներին համապատասխան շարժումները և ինչո՞վ են դրանք տարբերվում:

4. Նկար 49-ում ներկայացված են երեք մարմինների շարժման արագության գրաֆիկները: Համաձայն այս գրաֆիկների. 6)գտե՛ք մարմինների շարժման արագացումները.գ)գրե՛ք յուրաքանչյուր մարմնի շարժման հավասարումները.

5. Թռիչքի ժամանակ ինքնաթիռը թռիչքուղին անցնում է 15 վայրկյանում և վայրէջքից թռիչքի պահին ունի 100 մ/վ արագություն։ Որքա՞ն արագ էր շարժվում ինքնաթիռը և որքան երկար էր թռիչքուղին:

6. Մեքենան կանգնեց լուսացույցի մոտ։ Կանաչ ազդանշանը վառվելուց հետո այն սկսում է արագացումով շարժվել և շարժվում է այսպես, մինչև արագությունը հավասարվի 16 մ/վրկ-ի, որից հետո շարունակում է շարժվել հաստատուն արագությամբ։ Որքա՞ն հեռավորության վրա կլինի մեքենան լուսացույցից կանաչ ազդանշանի հայտնվելուց 15 վայրկյան հետո:

7. 1000 մ/վ արագությամբ արկը 10 րոպեում ճեղքում է բեղանի պատը, այնուհետև ունենում է 200 մ/վ արագություն։ Համարելով, որ արկի շարժումը պատի հաստության մեջ հավասարաչափ արագացված է, գտե՛ք պատի հաստությունը։

8. Հրթիռը շարժվում է արագացումով և ժամանակի ինչ-որ պահի հասնում է 900 մ/վ արագության։ Ո՞ր ճանապարհն է նա գնալու հաջորդ

9. Որքա՞ն հեռու կլինի Երկրից տիեզերանավՄեկնարկից 30 րոպե անց, եթե նա անընդհատ առաջ շարժվեր արագացումով

Միատեսակ շարժում- սա շարժում է հաստատուն արագությամբ, այսինքն, երբ արագությունը չի փոխվում (v \u003d const) և չկա արագացում կամ դանդաղում (a \u003d 0):

Ուղղագիծ շարժումշարժում է ուղիղ գծով, այսինքն՝ հետագիծ ուղղագիծ շարժումուղիղ գիծ է։

շարժում է, որի ժամանակ մարմինը կատարում է նույն շարժումները ժամանակի ցանկացած հավասար ընդմիջումներով: Օրինակ, եթե որոշ ժամանակային միջակայք բաժանենք մեկ վայրկյանի հատվածների, ապա միատեսակ շարժումով մարմինը կտեղափոխվի նույն հեռավորությունը ժամանակի այս հատվածներից յուրաքանչյուրի համար:

Միատեսակ ուղղագիծ շարժման արագությունը կախված չէ ժամանակից և հետագծի յուրաքանչյուր կետում ուղղված է այնպես, ինչպես մարմնի շարժումը: Այսինքն՝ տեղաշարժի վեկտորը ուղղությամբ համընկնում է արագության վեկտորի հետ։ Որտեղ Միջին արագությունըցանկացած ժամանակահատվածի համար հավասար է ակնթարթային արագությանը.

Միատեսակ ուղղագիծ շարժման արագությունֆիզիկական վեկտորային մեծություն է, որը հավասար է մարմնի ցանկացած ժամանակաշրջանի տեղաշարժի հարաբերությանը այս t միջակայքի արժեքին.

V (վեկտոր) = s (վեկտոր) / տ

Այսպիսով, միատեսակ ուղղագիծ շարժման արագությունը ցույց է տալիս, թե ինչ շարժում է կատարում նյութական կետը ժամանակի միավորի վրա։

շարժվումմիատեսակ ուղղագիծ շարժումով որոշվում է բանաձևով.

s(վեկտոր) = V(վեկտոր) t

Անցած հեռավորությունըուղղագիծ շարժման մեջ հավասար է տեղաշարժի մոդուլին: Եթե ​​OX առանցքի դրական ուղղությունը համընկնում է շարժման ուղղության հետ, ապա արագության պրոյեկցիան OX առանցքի վրա հավասար է արագությանը և դրական է.

v x = v, այսինքն v > 0

OX առանցքի վրա տեղաշարժի նախագծումը հավասար է.

s \u003d vt \u003d x - x 0

որտեղ x 0-ը մարմնի սկզբնական կոորդինատն է, x-ը մարմնի վերջնական կոորդինատն է (կամ մարմնի կոորդինատը ցանկացած պահի)

Շարժման հավասարում, այսինքն՝ մարմնի կոորդինատի կախվածությունը x = x(t) ժամանակից ստանում է ձև.

Եթե ​​OX առանցքի դրական ուղղությունը հակառակ է մարմնի շարժման ուղղությանը, ապա մարմնի արագության պրոյեկցիան OX առանցքի վրա բացասական է, արագությունը փոքր է զրոյից (v.< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

4. Հավասար-փոփոխական շարժում.

Միատեսակ ուղղագիծ շարժումՍա ոչ միատեսակ շարժման հատուկ դեպք է:

Անհավասար շարժում- սա շարժում է, որի ժամանակ մարմինը (նյութական կետը) անհավասար շարժումներ է կատարում ժամանակի հավասար ընդմիջումներով: Օրինակ, քաղաքային ավտոբուսը շարժվում է անհավասարաչափ, քանի որ նրա շարժումը հիմնականում բաղկացած է արագացումից և դանդաղումից:

Հավասար փոփոխական շարժում- սա շարժում է, որի դեպքում մարմնի (նյութական կետի) արագությունը փոխվում է նույն կերպ ցանկացած հավասար ժամանակային ընդմիջումներով:

Միատեսակ շարժման մեջ մարմնի արագացումմնում է անփոփոխ մեծությամբ և ուղղությամբ (a = const):

Միատեսակ շարժումը կարող է միատեսակ արագանալ կամ դանդաղեցնել:

Միատեսակ արագացված շարժում- սա դրական արագացումով մարմնի (նյութական կետի) շարժումն է, այսինքն՝ նման շարժումով մարմինը արագանում է մշտական ​​արագացմամբ։ Միատեսակ արագացված շարժման դեպքում մարմնի արագության մոդուլը ժամանակի հետ մեծանում է, արագացման ուղղությունը համընկնում է շարժման արագության ուղղության հետ։

Միատեսակ դանդաղ շարժում- սա մարմնի (նյութական կետի) շարժումն է բացասական արագացումով, այսինքն՝ նման շարժումով մարմինը միատեսակ դանդաղում է։ Միատեսակ դանդաղ շարժման դեպքում արագության և արագացման վեկտորները հակադիր են, իսկ արագության մոդուլը ժամանակի ընթացքում նվազում է:

Մեխանիկայի մեջ ցանկացած ուղղագիծ շարժում արագացվում է, ուստի դանդաղ շարժումը արագացված շարժումից տարբերվում է միայն արագացման վեկտորի պրոյեկցիայի նշանով կոորդինատային համակարգի ընտրված առանցքի վրա։

Փոփոխական շարժման միջին արագությունորոշվում է մարմնի շարժումը բաժանելով այն ժամանակի վրա, որի ընթացքում կատարվել է այդ շարժումը: Միջին արագության միավորը մ/վ է։

Ակնթարթային արագությունմարմնի (նյութական կետի) արագությունն է այս պահինժամանակը կամ հետագծի տվյալ կետում, այսինքն՝ այն սահմանը, որին միջին արագությունը ձգտում է Δt ժամանակային միջակայքի անսահման նվազմամբ.

V=lim(^t-0) ^s/^t

Ակնթարթային արագության վեկտորՄիատեսակ շարժումը կարելի է գտնել որպես տեղաշարժի վեկտորի առաջին ածանցյալ ժամանակի նկատմամբ.

V(վեկտոր) = s'(վեկտոր)

Արագության վեկտորի պրոյեկցիա OX առանցքի վրա.

սա կոորդինատի ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ (արագության վեկտորի կանխատեսումները այլ կոորդինատային առանցքների վրա նույնպես ստացվում են):

Արագացում- սա այն արժեքն է, որը որոշում է մարմնի արագության փոփոխության արագությունը, այսինքն՝ այն սահմանը, որին հակված է արագության փոփոխությունը՝ Δt ժամանակային միջակայքի անսահման նվազմամբ.

a(վեկտոր) = lim(t-0) ^v(վեկտոր)/^t

Միատեսակ շարժման արագացման վեկտորկարելի է գտնել որպես արագության վեկտորի առաջին ածանցյալ ժամանակի նկատմամբ կամ որպես տեղաշարժի վեկտորի երկրորդ ածանցյալ ժամանակի նկատմամբ.

a(վեկտոր) = v(վեկտոր)" = s(վեկտոր)"

Հաշվի առնելով, որ 0-ը մարմնի արագությունն է ժամանակի սկզբնական պահին (սկզբնական արագություն), մարմնի արագությունն է ժամանակի տվյալ պահին (վերջնական արագություն), t-ն այն ժամանակային միջակայքն է, որի ընթացքում տեղի է ունեցել արագության փոփոխություն, արագացման բանաձևկլինի հետևյալը.

a(վեկտոր) = v(վեկտոր)-v0(վեկտոր)/t

Այստեղից միատեսակ արագության բանաձևցանկացած պահի.

v(վեկտոր) = v 0 (վեկտոր) + a(վեկտոր)t

Եթե ​​մարմինը ուղղագիծ շարժվում է OX առանցքի երկայնքով ուղիղ գծային դեկարտյան կոորդինատային համակարգի ուղղությամբ, որը համընկնում է մարմնի հետագծի հետ, ապա արագության վեկտորի պրոյեկցիան այս առանցքի վրա որոշվում է բանաձևով.

v x = v 0x ± a x t

«-» (մինուս) նշանը արագացման վեկտորի պրոյեկցիայի դիմաց վերաբերում է միատեսակ դանդաղ շարժմանը: Նմանապես գրված են արագության վեկտորի այլ կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումների հավասարումները:

Քանի որ արագացումը հաստատուն է (a \u003d կոնստ) միատեսակ փոփոխական շարժումով, արագացման գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է 0t առանցքին (ժամանակի առանցք, Նկար 1.15):

Բրինձ. 1.15. Մարմնի արագացման կախվածությունը ժամանակից.

Արագություն՝ ընդդեմ ժամանակիգծային ֆունկցիա է, որի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է (նկ. 1.16):

Բրինձ. 1.16. Մարմնի արագության կախվածությունը ժամանակից.

Արագության գրաֆիկը ժամանակի համեմատ(նկ. 1.16) ցույց է տալիս, որ

Այս դեպքում տեղաշարժը թվայինորեն հավասար է 0abc նկարի մակերեսին (նկ. 1.16):

Տրապիզոնի մակերեսը նրա հիմքերի երկարությունների գումարի կեսն է՝ բարձրության վրա։ 0abc trapezoid-ի հիմքերը թվայինորեն հավասար են.

Տրապիզոնի բարձրությունը տ. Այսպիսով, trapezoid-ի մակերեսը և, հետևաբար, տեղաշարժի նախագծումը OX առանցքի վրա հավասար է.

Միատեսակ դանդաղ շարժման դեպքում արագացման պրոյեկցիան բացասական է, իսկ տեղաշարժի պրոյեկցիայի բանաձեւում արագացման դիմաց դրվում է «–» (մինուս) նշանը։

Տեղափոխման պրոյեկցիան որոշելու ընդհանուր բանաձևը հետևյալն է.

Տարբեր արագացումների ժամանակ մարմնի արագության կախվածության գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 1.17. Ժամանակից տեղաշարժի կախվածության գրաֆիկը v0 = 0-ում ներկայացված է նկ. 1.18.

Բրինձ. 1.17. Մարմնի արագության կախվածությունը ժամանակից տարբեր իմաստներարագացում.

Բրինձ. 1.18. Մարմնի տեղաշարժի կախվածությունը ժամանակից.

Մարմնի արագությունը տրված ժամանակում t 1 հավասար է գրաֆիկին շոշափողի և ժամանակի առանցքի միջև թեքության անկյան շոշափմանը v \u003d tg α, իսկ շարժումը որոշվում է բանաձևով.

Եթե ​​մարմնի շարժման ժամանակը անհայտ է, ապա կարող եք օգտագործել մեկ այլ տեղաշարժման բանաձև՝ լուծելով երկու հավասարումների համակարգ.

Քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևըկօգնի մեզ ստանալ տեղաշարժի նախագծման բանաձևը.

Քանի որ մարմնի կոորդինատը ժամանակի ցանկացած պահի որոշվում է սկզբնական կոորդինատի և տեղաշարժի նախագծման գումարով, ապա. մարմնի շարժման հավասարումըկունենա հետևյալ տեսքը.

x(t) կոորդինատի գրաֆիկը նույնպես պարաբոլա է (ինչպես տեղաշարժման գրաֆիկը), բայց պարաբոլայի գագաթը հիմնականում չի համընկնում սկզբնավորման հետ։ x-ի համար< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Բերենք մի բանաձև, որով կարելի է հաշվարկել ուղիղ գծով շարժվող և միատեսակ արագացված մարմնի տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան ցանկացած ժամանակաշրջանում։ Դա անելու համար եկեք դիմենք Նկար 14-ին: Ինչպես Նկար 14-ում, ա-ում, այնպես էլ Նկար 14-ում, բ-ում AC հատվածը մշտական ​​արագացումով a (նախնական արագությամբ) շարժվող մարմնի արագության վեկտորի նախագծման գրաֆիկ է. v 0):

Բրինձ. 14. Ուղիղ գծով շարժվող և միատեսակ արագացված մարմնի տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան թվայինորեն հավասար է գրաֆիկի տակ գտնվող S մակերեսին.

Հիշեցնենք, որ մարմնի ուղղագիծ միատեսակ շարժումով այս մարմնի կողմից կատարված տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը որոշվում է նույն բանաձևով, ինչ ուղղանկյունի մակերեսը, որը պարփակված է արագության վեկտորի նախագծման գրաֆիկի տակ (տես Նկար 6): Հետևաբար, տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը թվայինորեն հավասար է այս ուղղանկյունի մակերեսին:

Եկեք ապացուցենք, որ ուղղագիծ միատեսակ արագացված շարժման դեպքում տեղաշարժի վեկտորի s x պրոյեկցիան կարող է որոշվել նույն բանաձևով, ինչ AC գրաֆիկի, Ot առանցքի և OA և BC հատվածների միջև պարփակված պատկերի մակերեսը։ , այսինքն, այս դեպքում, տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը թվայինորեն հավասար է արագության գրաֆիկի տակ գտնվող գործչի մակերեսին: Դա անելու համար Ot առանցքի վրա (տե՛ս նկ. 14, ա) ընտրում ենք փոքր ժամանակային ընդմիջում db: d և b կետերից մենք ուղղահայացներ ենք գծում Ot առանցքի վրա, մինչև դրանք հատվեն արագության վեկտորի նախագծման գրաֆիկի հետ a և c կետերում:

Այսպիսով, db հատվածին համապատասխանող ժամանակի ընթացքում մարմնի արագությունը փոխվում է v ax-ից դեպի v cx։

Բավականաչափ կարճ ժամանակահատվածում արագության վեկտորի նախագծումը շատ փոքր է փոխվում: Հետևաբար, այս ժամանակահատվածում մարմնի շարժումը քիչ է տարբերվում համազգեստից, այսինքն՝ հաստատուն արագությամբ շարժումից։

Նման շերտերի կարելի է բաժանել OASV գործչի ամբողջ տարածքը, որը տրապիզոիդ է: Հետևաբար, sx տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը OB հատվածին համապատասխանող ժամանակային միջակայքի համար թվայինորեն հավասար է OASV trapezoid-ի S տարածքին և որոշվում է նույն բանաձևով, ինչ այս տարածքը:

Համաձայն կանոնի դպրոցական դասընթացներերկրաչափություն, trapezoid-ի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի գումարի և բարձրության կեսի արտադրյալին: Նկար 14, b-ը ցույց է տալիս, որ OASV trapezoid-ի հիմքերը OA = v 0x և BC = v x հատվածներն են, իսկ բարձրությունը OB = t հատվածն է: Հետևաբար,

Քանի որ v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, ապա մենք կարող ենք գրել.

Այսպիսով, մենք ստացել ենք միատեսակ արագացված շարժման ժամանակ տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան հաշվարկելու բանաձև։

Նույն բանաձևով հաշվարկվում է նաև տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան, երբ մարմինը շարժվում է արագության նվազող մոդուլով, միայն այս դեպքում արագության և արագացման վեկտորները կուղղվեն հակառակ ուղղություններով, ուստի դրանց կանխատեսումները կունենան տարբեր նշաններ:

Հարցեր

1. Օգտագործելով Նկար 14-ը, ապացուցեք, որ տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը հավասարաչափ արագացված շարժման ժամանակ թվայինորեն հավասար է OASV գործչի մակերեսին:
2. Գրե՛ք հավասարում մարմնի տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան որոշելու համար նրա ուղղագիծ հավասարաչափ արագացված շարժման ժամանակ:

Վարժություն 7

Փորձենք դուրս բերել մի բանաձև՝ գտնելու մարմնի տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան, որը շարժվում է ուղիղ գծով և հավասարաչափ արագանում է ցանկացած ժամանակահատվածում։

Դա անելու համար անդրադառնանք ժամանակին ուղղագիծ հավասարաչափ արագացված շարժման արագության պրոյեկցիայի կախվածության գրաֆիկին։

Ուղղագիծ հավասարաչափ արագացված շարժման արագության նախագծման գրաֆիկը ժամանակին

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս որոշ մարմնի արագության նախագծման գրաֆիկ, որի հետ շարժվում է սկզբնական արագությունը V0 և հաստատուն արագացում ա.

Եթե ​​մենք ունենայինք միատեսակ ուղղագիծ շարժում, ապա տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան հաշվարկելու համար անհրաժեշտ կլիներ հաշվարկել արագության վեկտորի նախագծման գրաֆիկի տակ գտնվող գործչի տարածքը:

Այժմ մենք ապացուցում ենք, որ հավասարաչափ արագացված ուղղագիծ շարժման դեպքում Sx տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան կորոշվի նույն կերպ։ Այսինքն, տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը հավասար կլինի արագության վեկտորի նախագծման գրաֆիկի տակ գտնվող գործչի մակերեսին:

Գտեք պատկերի տարածքը, որը սահմանափակված է ot առանցքով, AO և BC հատվածներով, ինչպես նաև AC հատվածով:

Եկեք մի փոքր ժամանակային ընդմիջում հատկացնենք db առանցքի վրա: Եկեք այս կետերով գծենք ժամանակի առանցքի ուղղահայացներ, մինչև դրանք հատվեն արագության նախագծման գրաֆիկի հետ: Նշեք a և c հատման կետերը: Այս ժամանակահատվածում մարմնի արագությունը Vax-ից կփոխվի Vbx:

Եթե ​​այս ինտերվալը վերցնենք բավական փոքր, ապա կարող ենք ենթադրել, որ արագությունը գործնականում մնում է անփոփոխ, և, հետևաբար, գործ կունենանք այս ընդմիջումով միատեսակ ուղղագիծ շարժման հետ:

Այնուհետև ac հատվածը կարող ենք համարել հորիզոնական, իսկ abcd-ը՝ ուղղանկյուն: Abcd մակերեսը թվայինորեն հավասար կլինի տեղաշարժի վեկտորի նախագծմանը, db ժամանակային միջակայքի ընթացքում: Մենք կարող ենք OACB գործչի ամբողջ տարածքը բաժանել նման փոքր ժամանակային ընդմիջումների:

Այսինքն, մենք ստացել ենք, որ Sx տեղաշարժի վեկտորի նախագծումը OB հատվածին համապատասխան ժամանակային միջակայքի համար թվայինորեն հավասար կլինի OACB trapezoid-ի S տարածքին և կորոշվի նույն բանաձևով, ինչ այս տարածքը:

Հետևաբար,

• S=((V0x+Vx)/2)*t.

Քանի որ Vx=V0x+ax*t և S=Sx, ստացված բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը.

• Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.

Մենք ստացել ենք բանաձև, որով կարող ենք հաշվարկել տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան միատեսակ արագացված շարժման ժամանակ։

Միատեսակ դանդաղ շարժման դեպքում բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը.

Հետագիծ(ուշ լատիներեն հետագծերից - նկատի ունենալով շարժումը) - սա այն գիծն է, որով շարժվում է մարմինը (նյութական կետ): Շարժման հետագիծը կարող է լինել ուղիղ (մարմինը շարժվում է մեկ ուղղությամբ) և կորագիծ, այսինքն մեխանիկական շարժումկարող է լինել ուղիղ կամ կոր:

Ուղղագիծ հետագիծայս կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծ է: Օրինակ՝ կարելի է ենթադրել, որ առանց շրջադարձերի հարթ ճանապարհի վրա մեքենայի հետագիծը ուղիղ գիծ է։

Curvilinear շարժում- սա մարմինների շարժումն է շրջանագծի, էլիպսի, պարաբոլայի կամ հիպերբոլայի մեջ: Կորագիծ շարժման օրինակ է շարժվող մեքենայի անիվի վրա կետի շարժումը կամ մեքենայի շարժումը շրջադարձով։

Շարժումը կարող է բարդ լինել: Օրինակ՝ ուղու սկզբում մարմնի շարժման հետագիծը կարող է լինել ուղղագիծ, ապա կորագիծ։ Օրինակ, ճանապարհի սկզբում մեքենան շարժվում է ուղիղ ճանապարհով, այնուհետև ճանապարհը սկսում է «քամել», իսկ մեքենան սկսում է թեքվել:

Ճանապարհ

Ճանապարհճանապարհի երկարությունն է։ Ճանապարհը սկալյար է և ներս միջազգային համակարգ SI միավորները չափվում են մետրերով (մ): Ճանապարհի հաշվարկը կատարվում է ֆիզիկայի բազմաթիվ խնդիրներում։ Որոշ օրինակներ կքննարկվեն ավելի ուշ այս ձեռնարկում:

Տեղաշարժման վեկտոր

Տեղաշարժման վեկտոր(կամ պարզապես շարժվում) ուղղված գծային հատված է, որը կապում է մարմնի սկզբնական դիրքը նրա հետագա դիրքի հետ (նկ. 1.1): Տեղաշարժը վեկտորային մեծություն է: Տեղաշարժման վեկտորն ուղղվում է շարժման սկզբնական կետից մինչև վերջնակետ:

Տեղաշարժման վեկտորային մոդուլ(այսինքն՝ շարժման սկզբի և վերջի կետերը միացնող հատվածի երկարությունը) կարող է հավասար լինել անցած տարածությանը կամ պակաս, քան անցած տարածությունը։ Բայց երբեք տեղաշարժի վեկտորի մոդուլը չի ​​կարող ավելի մեծ լինել, քան անցած հեռավորությունը:

Տեղաշարժման վեկտորի մոդուլը հավասար է անցած տարածությանը, երբ ուղին համընկնում է հետագծի հետ (տես բաժինները և), օրինակ, եթե մեքենան ուղիղ ճանապարհով շարժվում է A կետից B կետ: Տեղաշարժման վեկտորի մոդուլը փոքր է անցած տարածությունից, երբ նյութական կետը շարժվում է կոր ճանապարհով (նկ. 1.1):

Բրինձ. 1.1. Տեղաշարժման վեկտորը և անցած հեռավորությունը:

Նկ. 1.1:

Մեկ այլ օրինակ. Եթե ​​մեքենան մեկ անգամ շրջանագծի մեջ անցնի, ապա ստացվում է, որ շարժման մեկնարկային կետը կհամընկնի շարժման վերջնակետի հետ, այնուհետև տեղաշարժի վեկտորը կլինի. զրո, իսկ անցած տարածությունը հավասար կլինի շրջանագծի շրջագծին։ Այսպիսով, ճանապարհն ու շարժումն են երկու տարբեր հասկացություններ.

Վեկտորի ավելացման կանոն

Տեղաշարժման վեկտորները երկրաչափորեն գումարվում են ըստ վեկտորի գումարման կանոնի (եռանկյունի կանոն կամ զուգահեռագծի կանոն, տես նկ. 1.2):

Բրինձ. 1.2. Տեղաշարժման վեկտորների ավելացում.

Նկար 1.2-ում ներկայացված են S1 և S2 վեկտորների ավելացման կանոնները.

ա) Հավելում ըստ եռանկյան կանոնի
բ) Հավելում ըստ զուգահեռագծի կանոնի

Տեղաշարժման վեկտորի կանխատեսումներ

Ֆիզիկայի խնդիրներ լուծելիս հաճախ օգտագործվում են տեղաշարժի վեկտորի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա: Տեղաշարժման վեկտորի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա կարող են արտահայտվել նրա վերջի և սկզբի կոորդինատների տարբերությամբ: Օրինակ, եթե նյութական կետը տեղափոխվել է A կետից B կետ, ապա տեղաշարժի վեկտորը (տես նկ. 1.3):

Մենք ընտրում ենք OX առանցքը, որպեսզի վեկտորը ընկած լինի այս առանցքի հետ նույն հարթության վրա: Եկեք ուղղահայացները գցենք A և B կետերից (տեղաշարժման վեկտորի սկզբի և վերջի կետերից) մինչև OX առանցքի հատումը: Այսպիսով, մենք ստանում ենք A և B կետերի կանխատեսումները X առանցքի վրա: Նշանակենք A և B կետերի պրոյեկցիաները, համապատասխանաբար, A x և B x: A x B x հատվածի երկարությունը OX առանցքի վրա - սա է տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիա x առանցքի վրա, այսինքն

S x = A x B x

ԿԱՐԵՎՈՐ!
Հիշեցում նրանց համար, ովքեր լավ չգիտեն մաթեմատիկա. մի շփոթեք վեկտորը որևէ առանցքի վրա վեկտորի պրոյեկցիայի հետ (օրինակ՝ S x): Վեկտորը միշտ նշվում է տառով կամ մի քանի տառով, որի վերևում գտնվող սլաքը կա: Որոշ էլեկտրոնային փաստաթղթերում սլաքը դրված չէ, քանի որ դա կարող է դժվարություններ առաջացնել ստեղծելիս էլեկտրոնային փաստաթուղթ. Նման դեպքերում առաջնորդվեք հոդվածի բովանդակությամբ, որտեղ տառի կողքին կարելի է գրել «վեկտոր» բառը, կամ ինչ-որ այլ կերպ ձեզ ցույց են տալիս, որ սա վեկտոր է, այլ ոչ թե պարզապես հատված։

Բրինձ. 1.3. Տեղաշարժման վեկտորի պրոյեկցիա.

Տեղափոխման վեկտորի նախագծումը OX առանցքի վրա հավասար է վեկտորի վերջի և սկզբի կոորդինատների տարբերությանը, այսինքն.

S x \u003d x - x 0

OY և OZ առանցքների վրա տեղաշարժի վեկտորի կանխատեսումները սահմանվում և գրվում են նույն կերպ.

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Այստեղ x 0, y 0, z 0 սկզբնական կոորդինատներն են կամ մարմնի սկզբնական դիրքի կոորդինատները (նյութական կետ); x, y, z - մարմնի (նյութական կետ) հետագա դիրքի վերջնական կոորդինատները կամ կոորդինատները:

Տեղափոխման վեկտորի պրոյեկցիան համարվում է դրական, եթե վեկտորի ուղղությունը և կոորդինատային առանցքի ուղղությունը համընկնում են (ինչպես նկար 1.3-ում): Եթե ​​վեկտորի ուղղությունը և կոորդինատային առանցքի ուղղությունը չեն համընկնում (հակառակ), ապա վեկտորի պրոյեկցիան բացասական է (նկ. 1.4):

Եթե ​​տեղաշարժի վեկտորը զուգահեռ է առանցքին, ապա դրա պրոյեկցիայի մոդուլը հավասար է հենց Վեկտորի մոդուլին։ Եթե ​​տեղաշարժի վեկտորը ուղղահայաց է առանցքին, ապա դրա պրոյեկցիայի մոդուլը զրո է (նկ. 1.4):

Բրինձ. 1.4. Տեղափոխման վեկտորի պրոյեկցիայի մոդուլներ.

Մեծության հետագա և սկզբնական արժեքների տարբերությունը կոչվում է այդ քանակի փոփոխություն: Այսինքն՝ տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա հավասար է համապատասխան կոորդինատի փոփոխությանը։ Օրինակ, այն դեպքի համար, երբ մարմինը շարժվում է X առանցքին ուղղահայաց (նկ. 1.4), ստացվում է, որ մարմինը ՉԻ ՇԱՐԺՈՒՄ X առանցքի նկատմամբ։ Այսինքն՝ X առանցքի երկայնքով մարմնի տեղաշարժը զրո է։

Դիտարկենք հարթության վրա մարմնի շարժման օրինակ: Մարմնի սկզբնական դիրքը A կետն է՝ x 0 և y 0 կոորդինատներով, այսինքն՝ A (x 0, y 0): Մարմնի վերջնական դիրքը B կետն է՝ x և y կոորդինատներով, այսինքն՝ B (x, y): Գտեք մարմնի տեղաշարժի մոդուլը:

A և B կետերից իջեցնում ենք OX և OY կոորդինատային առանցքների ուղղահայացները (նկ. 1.5):

Բրինձ. 1.5. Մարմնի շարժումը հարթության վրա.

Սահմանենք տեղաշարժի վեկտորի կանխատեսումները OX և OY առանցքների վրա.

S x = x – x 0 S y = y – y 0

Նկ. 1.5 երևում է, որ ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Այստեղից բխում է, որ խնդիրը լուծելիս կարելի է օգտվել Պյութագորասի թեորեմ, որով կարող եք գտնել տեղաշարժի վեկտորի մոդուլը, քանի որ

AC = s x CB = s y

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն

S 2 \u003d S x 2 + S y 2

Որտե՞ղ կարող եք գտնել տեղաշարժի վեկտորի մոդուլը, այսինքն՝ մարմնի ճանապարհի երկարությունը A կետից B կետ.

Եվ վերջապես, ես առաջարկում եմ համախմբել ձեր գիտելիքները և ձեր հայեցողությամբ հաշվարկել մի քանի օրինակ: Դա անելու համար կոորդինատների դաշտերում մուտքագրեք ցանկացած թվեր և սեղմեք ՀԱՇՎԵԼ կոճակը: Ձեր զննարկիչը պետք է աջակցի JavaScript-ի սկրիպտների (սկրիպտների) կատարումը, իսկ սկրիպտների կատարումը պետք է թույլատրվի ձեր դիտարկիչի կարգավորումներում, հակառակ դեպքում հաշվարկը չի կատարվի: Իրական թվերում ամբողջ և կոտորակային մասերը պետք է բաժանվեն կետով, օրինակ՝ 10,5։