Bevor Sie Fragen zu dieser geometrischen Figur und ihren Eigenschaften untersuchen, müssen Sie einige Begriffe verstehen. Wenn jemand von der Pyramide hört, stellt er sich riesige Gebäude in Ägypten vor. So sehen die einfachsten aus. Aber sie passieren verschiedene Typen und Formen, was bedeutet, dass die Berechnungsformel für geometrische Formen anders sein wird.

Pyramide - geometrische Figur, bezeichnet und repräsentiert mehrere Gesichter. Tatsächlich ist dies dasselbe Polyeder, an dessen Basis ein Polygon liegt, und an den Seiten befinden sich Dreiecke, die an einem Punkt verbunden sind - dem Scheitelpunkt. Die Figur besteht aus zwei Haupttypen:

• Korrekt;
• gekürzt.

Im ersten Fall ist die Basis ein regelmäßiges Vieleck. Hier sind alle Seitenflächen gleich zwischen sich und der Figur selbst wird das Auge eines Perfektionisten erfreuen.

Im zweiten Fall gibt es zwei Basen - eine große ganz unten und eine kleine oben, die die Form der Hauptbasis wiederholen. Mit anderen Worten, ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit einem Abschnitt, der parallel zur Basis ausgebildet ist.

Begriffe und Notation

Grundbegriffe:

• Regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck Eine Figur mit drei gleichen Winkeln und gleichen Seiten. In diesem Fall betragen alle Winkel 60 Grad. Die Figur ist die einfachste der regulären Polyeder. Wenn diese Figur an der Basis liegt, wird ein solches Polyeder ein regelmäßiges Dreieck genannt. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, wird die Pyramide eine regelmäßige viereckige Pyramide genannt.
• Scheitel- der höchste Punkt, an dem sich die Kanten treffen. Die Höhe der Spitze wird durch eine gerade Linie gebildet, die von der Spitze zur Basis der Pyramide verläuft.
• Kante ist eine der Ebenen des Polygons. Es kann im Falle einer dreieckigen Pyramide die Form eines Dreiecks oder z. B. die Form eines Trapezes haben Pyramidenstumpf.
• Kreuzung- eine flache Figur, die durch Dissektion entstanden ist. Nicht zu verwechseln mit einem Schnitt, da ein Schnitt auch anzeigt, was sich hinter dem Schnitt verbirgt.
• Apothema- ein Segment, das von der Spitze der Pyramide bis zu ihrer Basis gezogen wird. Es ist auch die Höhe des Gesichts, wo sich der zweite Höhenpunkt befindet. Diese Definition gilt nur für ein reguläres Polyeder. Wenn es sich beispielsweise nicht um einen Pyramidenstumpf handelt, ist das Gesicht ein Dreieck. In diesem Fall wird die Höhe dieses Dreiecks zu einem Apothem.

Flächenformeln

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide jeder Typ kann auf verschiedene Arten erfolgen. Wenn die Figur nicht symmetrisch ist und ein Polygon mit unterschiedlichen Seiten ist, ist es in diesem Fall einfacher zu berechnen gesamtes Gebiet Oberflächen durch die Erfassung aller Oberflächen. Mit anderen Worten, Sie müssen die Fläche jedes Gesichts berechnen und addieren.

Je nachdem, welche Parameter bekannt sind, können Formeln zur Berechnung eines Quadrats, eines Trapezes, eines beliebigen Vierecks usw. erforderlich sein. Die Formeln selbst verschiedene Anlässe wird auch anders sein.

Bei einer regelmäßigen Figur ist das Auffinden des Bereichs viel einfacher. Es reicht aus, nur ein paar Schlüsselparameter zu kennen. In den meisten Fällen sind Berechnungen genau für solche Zahlen erforderlich. Daher werden im Folgenden die entsprechenden Formeln angegeben. Andernfalls müssten Sie alles auf mehrere Seiten malen, was nur verwirrt und verwirrt.

Grundformel zur Berechnung Seitenfläche Richtige Pyramide wird so aussehen:

S \u003d ½ Pa (P ist der Umfang der Basis und das Apothem)

Betrachten wir eines der Beispiele. Das Polyeder hat eine Basis mit Segmenten A1, A2, A3, A4, A5, und sie sind alle gleich 10 cm. Lassen Sie das Apothem gleich 5 cm sein. Zuerst müssen Sie den Umfang finden. Da alle fünf Flächen der Basis gleich sind, kann sie wie folgt ermittelt werden: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm Als nächstes wenden wir die Grundformel an: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm im Quadrat .

Seitenfläche korrigieren Dreieckige Pyramide am einfachsten zu berechnen. Die Formel sieht so aus:

S =½* ab *3, wobei a der Apothem ist, b die Facette der Basis ist. Der Faktor drei bedeutet hier die Anzahl der Flächen der Basis, und der erste Teil ist die Fläche der Seitenfläche. Betrachten Sie ein Beispiel. Bei einer Figur mit einem Apothem von 5 cm und einer Grundfläche von 8 cm berechnen wir: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm im Quadrat.

Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes es ist etwas schwieriger zu berechnen. Die Formel sieht folgendermaßen aus: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, wobei p_01 und p_02 die Umfänge der Basen und das Apothem sind. Betrachten Sie ein Beispiel. Angenommen, für eine viereckige Figur betragen die Seitenabmessungen der Basen 3 und 6 cm, das Apothem 4 cm.

Hier sollten Sie zunächst die Umfänge der Basen finden: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Es bleibt übrig, die Werte in die Hauptformel einzusetzen und zu erhalten: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm im Quadrat.

Somit ist es möglich, die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide beliebiger Komplexität zu finden. Achten Sie darauf, nicht zu verwechseln diese Berechnungen mit gesamtes Gebiet das ganze Polyeder. Und wenn Sie dies noch tun müssen, reicht es aus, die Fläche der größten Basis des Polyeders zu berechnen und zur Fläche der Seitenfläche des Polyeders hinzuzufügen.

Video

Um Informationen darüber zu konsolidieren, wie Sie die seitliche Oberfläche verschiedener Pyramiden finden, hilft Ihnen dieses Video.

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Die Oberfläche der Pyramide. In diesem Artikel werden wir mit Ihnen Probleme mit regulären Pyramiden betrachten. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine regelmäßige Pyramide eine Pyramide ist, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist, die Spitze der Pyramide wird in die Mitte dieses Polygons projiziert.

Die Seitenfläche einer solchen Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck.Die Höhe dieses Dreiecks, gezeichnet von der Spitze einer regelmäßigen Pyramide, wird Apothem genannt, SF ist ein Apothem:

Bei der unten vorgestellten Art von Problemen ist es erforderlich, die Oberfläche der gesamten Pyramide oder die Fläche ihrer Seitenfläche zu finden. Der Blog hat bereits mehrere Probleme mit regulären Pyramiden betrachtet, bei denen die Frage nach dem Finden von Elementen (Höhe, Basiskante, Seitenkante) aufgeworfen wurde.

BEIM USE-Zuweisungen In der Regel werden regelmäßige dreieckige, viereckige und sechseckige Pyramiden betrachtet. Ich habe keine Probleme mit regelmäßigen fünfeckigen und siebeneckigen Pyramiden gesehen.

Die Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche ist einfach - Sie müssen die Summe der Fläche der Basis der Pyramide und der Fläche ihrer Seitenfläche finden:

Betrachten Sie die Aufgaben:

Die Seiten der Basis sind korrekt viereckige Pyramide sind 72, Seitenkanten sind 164. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

Die Oberfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der Seitenfläche und der Basis:

*Die Seitenfläche besteht aus vier flächengleichen Dreiecken. Die Basis der Pyramide ist ein Quadrat.

Die Fläche der Seite der Pyramide kann berechnet werden mit:

Somit ist die Oberfläche der Pyramide:

Antwort: 28224

Die Seiten der Basis sind korrekt Sechseckige Pyramide sind 22, die Seitenkanten sind 61. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide.

Die Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Seitenfläche dieser Pyramide besteht aus sechs Flächen gleicher Dreiecke mit den Seiten 61,61 und 22:

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Heron-Formel:

Die Seitenfläche ist also:

Antwort: 3240

*In den oben vorgestellten Aufgaben könnte die Fläche der Seitenfläche mit einer anderen Dreiecksformel ermittelt werden, aber dafür müssen Sie das Apothem berechnen.

27155. Finden Sie die Oberfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, deren Basisseiten 6 und deren Höhe 4 ist.

Um die Oberfläche einer Pyramide zu finden, müssen wir die Fläche der Grundfläche und die Fläche der Seitenfläche kennen:

Die Fläche der Basis beträgt 36, da es sich um ein Quadrat mit einer Seite von 6 handelt.

Die Seitenfläche besteht aus vier Flächen, die sind gleiche Dreiecke. Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu finden, müssen Sie seine Basis und Höhe (Apothem) kennen:

* Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus der Basis und der zu dieser Basis gezogenen Höhe.

Die Basis ist bekannt, sie ist gleich sechs. Finden wir die Höhe. Prüfen rechtwinkliges Dreieck(hervorgehoben in Gelb):

Ein Bein ist gleich 4, da dies die Höhe der Pyramide ist, das andere ist gleich 3, da es halb Basisrippen. Wir können die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras finden:

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ist also:

Somit ist die Oberfläche der gesamten Pyramide:

Antwort: 96

27069. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide sind 10, die Seitenkanten sind 13. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

27070. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind 10, die Seitenkanten sind 13. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide.

Es gibt auch Formeln für die Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide. In einer regelmäßigen Pyramide ist die Basis eine orthogonale Projektion der Seitenfläche, daher:

P- Umfang der Basis, l- Apothem der Pyramide

*Diese Formel basiert auf der Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Wenn Sie mehr darüber erfahren möchten, wie diese Formeln abgeleitet werden, verpassen Sie es nicht, folgen Sie der Veröffentlichung von Artikeln.Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

- Dies ist eine polyedrische Figur, an deren Basis ein Polygon liegt, und die verbleibenden Flächen werden durch Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt dargestellt.

Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, spricht man von einer Pyramide viereckig, wenn das Dreieck ist dreieckig. Die Höhe der Pyramide wird von ihrer Spitze senkrecht zur Basis gezeichnet. Wird auch verwendet, um die Fläche zu berechnen Apothema ist die Höhe der Seitenfläche, die von ihrem Scheitel abgesenkt ist.
Die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen ihrer Seitenflächen, die einander gleich sind. Diese Berechnungsmethode wird jedoch sehr selten angewendet. Grundsätzlich wird die Fläche der Pyramide durch den Umfang der Basis und des Apothems berechnet:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Seitenfläche einer Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit der Basis ABCDE und der Spitze F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Lassen Sie uns den Umfang finden. Da alle Flächen der Basis gleich sind, ist der Umfang des Fünfecks gleich:
Jetzt können Sie den Seitenbereich der Pyramide finden:

Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Eine regelmäßige Dreieckspyramide besteht aus einer Grundfläche, in der ein regelmäßiges Dreieck liegt, und drei flächengleichen Seitenflächen.
Die Formel für die Seitenfläche einer regelmäßigen Dreieckspyramide lässt sich berechnen verschiedene Wege. Sie können die übliche Formel zur Berechnung des Umfangs und des Apothems anwenden oder die Fläche des Knochengesichts ermitteln und mit drei multiplizieren. Da die Fläche der Pyramide ein Dreieck ist, wenden wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks an. Es erfordert ein Apothem und die Länge der Basis. Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit einem Apothem a = 4 cm und einer Grundfläche b = 2 cm: Finde die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Finden Sie zuerst die Fläche einer der Seitenflächen. In diesem Fall wird es sein:
Ersetzen Sie die Werte in der Formel:
Da in einer regelmäßigen Pyramide alle Seiten gleich sind, ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide gleich der Summe der Flächen der drei Flächen. Bzw:

Die Fläche des Pyramidenstumpfes

Gekürzt Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer Pyramide und ihrem Schnitt parallel zur Basis besteht.
Die Formel für die Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes ist sehr einfach. Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und dem Apothem:

Kurz zu den wichtigsten

Fläche (2019)

Oberfläche des Prismas

Gibt es eine allgemeine Formel? Nein, im Allgemeinen, nein. Sie müssen nur die Flächen der Seitenflächen finden und zusammenfassen.

Die Formel kann für geschrieben werden gerades Prisma:

Wo ist der Umfang der Basis.

Aber immer noch viel einfacher in jedem konkreten Fall alle Bereiche zusammenzählen, als zusätzliche Formeln auswendig lernen. Betrachten wir zum Beispiel volle Oberfläche regelmäßiges sechseckiges Prisma.

Alle Seitenflächen sind Rechtecke. Meint.

Dies wurde bereits bei der Berechnung des Volumens berücksichtigt.

Also bekommen wir:

Oberfläche der Pyramide

Auch für die Pyramide gilt die allgemeine Regel:

Lassen Sie uns nun die Oberfläche der beliebtesten Pyramiden berechnen.

Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Die Seite der Basis sei gleich und die Seitenkante gleich. Ich muss und finden.

Erinnere dich jetzt daran

Das ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks.

Und erinnern wir uns, wie man diesen Bereich findet. Wir verwenden die Flächenformel:

Wir haben "" - das und "" - das auch, eh.

Jetzt lass uns finden.

Mit der grundlegenden Flächenformel und dem Satz des Pythagoras finden wir

Beachtung: Wenn Sie ein regelmäßiges Tetraeder haben (dh), lautet die Formel:

Fläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Die Seite der Basis sei gleich und die Seitenkante gleich.

An der Basis ist ein Quadrat, und daher.

Es bleibt der Bereich der Seitenfläche zu finden

Fläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide.

Lassen Sie die Seite der Basis gleich sein und die Seitenkante.

Wie findet man? Ein Sechseck besteht aus genau sechs identischen regelmäßigen Dreiecken. Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks haben wir bei der Berechnung der Fläche einer regelmäßigen Dreieckspyramide bereits gesucht, hier verwenden wir die gefundene Formel.

Nun, wir haben den Bereich der Seitenfläche schon zweimal gesucht

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Typische geometrische Probleme in der Ebene und im dreidimensionalen Raum sind die Probleme der Flächenbestimmung von Flächen verschiedene Figuren. In diesem Artikel stellen wir die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide vor.

Was ist eine Pyramide?

Lassen Sie uns eine streng geometrische Definition einer Pyramide geben. Angenommen, es gibt ein Polygon mit n Seiten und n Ecken. Wir wählen einen beliebigen Punkt im Raum, der nicht in der Ebene des angegebenen n-Ecks liegt, und verbinden ihn mit jedem Eckpunkt des Polygons. Wir erhalten eine Figur mit einem gewissen Volumen, die als n-gonale Pyramide bezeichnet wird. Lassen Sie uns zum Beispiel in der Abbildung unten zeigen, wie eine fünfeckige Pyramide aussieht.

Zwei wichtige Elemente jeder Pyramide sind ihre Basis (n-Eck) und ihre Spitze. Diese Elemente sind durch n Dreiecke miteinander verbunden, die im Allgemeinen nicht gleich sind. Die von oben nach unten fallende Senkrechte wird als Höhe der Figur bezeichnet. Wenn es die Basis im geometrischen Zentrum schneidet (fällt mit dem Massenmittelpunkt des Polygons zusammen), wird eine solche Pyramide als gerade Linie bezeichnet. Wenn zusätzlich zu dieser Bedingung die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, dann heißt die gesamte Pyramide regelmäßig. Die folgende Abbildung zeigt, wie regelmäßige Pyramiden mit dreieckiger, viereckiger, fünfeckiger und sechseckiger Basis aussehen.

Die Oberfläche der Pyramide

Bevor man sich der Frage nach dem Flächeninhalt der Seitenfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide zuwendet, sollte man sich näher mit dem Begriff der Fläche selbst befassen.

Wie oben erwähnt und in den Figuren gezeigt, wird jede Pyramide durch einen Satz von Flächen oder Seiten gebildet. Eine Seite ist die Basis und n Seiten sind Dreiecke. Die Oberfläche der ganzen Figur ist die Summe der Flächen jeder ihrer Seiten.

Es ist bequem, die Oberfläche am Beispiel einer sich entfaltenden Figur zu studieren. Ein Scan für eine regelmäßige viereckige Pyramide ist in den folgenden Abbildungen dargestellt.

Wir sehen, dass seine Oberfläche gleich der Summe von vier Flächen identischer gleichschenkliger Dreiecke und der Fläche eines Quadrats ist.

Die Gesamtfläche aller Dreiecke, die die Seiten der Figur bilden, wird als Fläche der Seitenfläche bezeichnet. Als nächstes zeigen wir, wie man es für eine regelmäßige viereckige Pyramide berechnet.

Seitenfläche einer rechteckigen regelmäßigen Pyramide

Um die Seitenfläche der angegebenen Figur zu berechnen, wenden wir uns wieder dem obigen Sweep zu. Angenommen, wir kennen die Seite der quadratischen Grundfläche. Lassen Sie es uns mit dem Symbol a bezeichnen. Es ist ersichtlich, dass jedes der vier identischen Dreiecke eine Basis der Länge a hat. Um ihre Gesamtfläche zu berechnen, müssen Sie diesen Wert für ein Dreieck kennen. Aus dem Verlauf der Geometrie ist bekannt, dass die Fläche des Dreiecks S t gleich dem Produkt aus der Basis und der Höhe ist, die halbiert werden sollte. Also:

Wobei h b die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks zur Basis a ist. Für eine Pyramide ist diese Höhe das Apothem. Nun bleibt noch, den resultierenden Ausdruck mit 4 zu multiplizieren, um die Fläche S b der Seitenfläche für die betreffende Pyramide zu erhalten:

Sb = 4*St = 2*hb*a.

Diese Formel enthält zwei Parameter: das Apothem und die Seite der Basis. Wenn letzteres in den meisten Problemstellungen bekannt ist, dann muss ersteres unter Kenntnis anderer Größen berechnet werden. Hier sind die Formeln zur Berechnung von Apotema h b für zwei Fälle:

• wenn die Länge der Seitenrippe bekannt ist;
• wenn die Höhe der Pyramide bekannt ist.

Wenn wir die Länge der Seitenkante (der Seite eines gleichschenkligen Dreiecks) mit dem Symbol L bezeichnen, dann wird das Apotema h b durch die Formel bestimmt:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Dieser Ausdruck ist das Ergebnis der Anwendung des Satzes des Pythagoras für das Seitenflächendreieck.

Wenn die Höhe h der Pyramide bekannt ist, kann das Apotema h b wie folgt berechnet werden:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Es ist auch nicht schwierig, diesen Ausdruck zu erhalten, wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Pyramide betrachten, die durch die Beine h und a / 2 und die Hypotenuse h b gebildet wird.

Wir zeigen, wie man diese Formeln anwendet, indem wir zwei lösen interessante Aufgaben.

Problem mit bekannter Oberfläche

Es ist bekannt, dass die Fläche der Seitenfläche eines Vierecks 108 cm 2 beträgt. Es ist notwendig, den Wert der Länge seines Apothems h zu berechnen, wenn die Höhe der Pyramide 7 cm beträgt.

Wir schreiben die Formel für die Fläche S b der Mantelfläche durch die Höhe. Wir haben:

Sb = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Hier haben wir einfach die entsprechende Apotema-Formel in den Ausdruck für S b eingesetzt. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Um den Wert von a zu finden, nehmen wir eine Änderung der Variablen vor:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Jetzt ersetzen bekannte Werte und löse die quadratische Gleichung:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Wir haben nur die positive Wurzel dieser Gleichung geschrieben. Dann sind die Seiten der Basis der Pyramide gleich:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Um die Länge des Apotemas zu erhalten, verwenden Sie einfach die Formel:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Seitenfläche der Cheopspyramide

Lassen Sie uns den Wert der Seitenfläche für den größten bestimmen Ägyptische Pyramide. Es ist bekannt, dass an seiner Basis ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 230,363 Metern liegt. Die Höhe des Bauwerks betrug ursprünglich 146,5 Meter. Setzen Sie diese Zahlen in die entsprechende Formel für S b ein, erhalten wir:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Der gefundene Wert ist etwas größer als die Fläche von 17 Fußballfeldern.