Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide beträgt 6 Seiten. Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide

Die Volumenberechnung räumlicher Figuren ist eine der wichtigen Aufgaben der Stereometrie. In diesem Artikel werden wir uns mit der Bestimmung des Volumens eines solchen Polyeders als Pyramide befassen und auch ein regelmäßiges Sechseck angeben.

Pyramide sechseckig

Lassen Sie uns zunächst überlegen, was die Figur ist, die in dem Artikel besprochen wird.

Stellen wir uns ein beliebiges Sechseck vor, dessen Seiten nicht notwendigerweise gleich sind. Angenommen, wir haben einen Punkt im Raum gewählt, der nicht in der Ebene des Sechsecks liegt. Indem wir alle Ecken des letzteren mit dem ausgewählten Punkt verbinden, erhalten wir eine Pyramide. Im Bild unten sind zwei verschiedene Pyramiden mit sechseckiger Grundfläche dargestellt.

Es ist zu sehen, dass die Figur neben dem Sechseck aus sechs Dreiecken besteht, deren Verbindungspunkt als Scheitelpunkt bezeichnet wird. Der Unterschied zwischen den abgebildeten Pyramiden besteht darin, dass die Höhe h der rechten die sechseckige Grundfläche nicht in ihrem geometrischen Zentrum schneidet, während die Höhe der linken Figur genau in dieses Zentrum fällt. Dank dieses Kriteriums wurde die linke Pyramide als gerade und die rechte als geneigt bezeichnet.

Da die Basis der linken Figur in der Abbildung durch ein Sechseck mit gleichen Seiten und Winkeln gebildet wird, wird es als richtig bezeichnet. Weiter im Artikel werden wir nur über diese Pyramide sprechen.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, gilt folgende Formel:

Hier ist h die Länge der Höhe der Figur, S o ist die Fläche ihrer Basis. Lassen Sie uns diesen Ausdruck verwenden, um das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide zu bestimmen.

Da der betrachteten Figur ein gleichseitiges Sechseck zugrunde liegt, lässt sich mit folgendem allgemeinen Ausdruck für ein n-Eck dessen Fläche berechnen:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Hier ist n eine ganze Zahl gleich der Anzahl der Seiten (Ecken) des Polygons, a ist die Länge seiner Seite, die Kotangensfunktion wird anhand der entsprechenden Tabellen berechnet.

Wenden wir den Ausdruck für n = 6 an, erhalten wir:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Jetzt bleibt es, diesen Ausdruck in zu ersetzen allgemeine Formel für Band V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Um das Volumen der betrachteten Pyramide zu berechnen, müssen daher ihre beiden linearen Parameter bekannt sein: die Seitenlänge der Basis und die Höhe der Figur.

Beispiel Problemlösung

Lassen Sie uns zeigen, wie der erhaltene Ausdruck für V 6 verwendet werden kann, um das folgende Problem zu lösen.

Es ist bekannt, dass das richtige Volumen 100 cm 3 beträgt. Es ist notwendig, die Seite der Basis und die Höhe der Figur zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass sie durch die folgende Gleichheit miteinander verbunden sind:

Da in der Volumenformel nur a und h enthalten sind, kann jeder dieser Parameter durch den anderen ersetzt werden. Setzen wir zum Beispiel a ein, erhalten wir:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Um den Wert der Höhe der Figur zu finden, muss die Wurzel des dritten Grades aus dem Volumen gezogen werden, was der Längendimension entspricht. Wir ersetzen den Volumenwert V 6 der Pyramide aus der Bedingung des Problems, wir erhalten die Höhe:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Da die Seite der Basis gemäß der Bedingung des Problems doppelt so groß ist wie der gefundene Wert, erhalten wir den Wert dafür:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volumen Sechseckige Pyramide kann nicht nur durch die Höhe der Figur und den Wert der Seite ihrer Basis gefunden werden. Es reicht aus, zwei verschiedene lineare Parameter der Pyramide zu kennen, um sie zu berechnen, zum Beispiel das Apothem und die Länge der Seitenkante.

Probleme mit Pyramiden. In diesem Artikel werden wir weiterhin Probleme mit Pyramiden betrachten. Sie lassen sich keiner Aufgabenklasse oder Aufgabenart zuordnen und geben allgemeine (Algorithmen-)Empfehlungen zur Lösung. Hier werden nur die restlichen Aufgaben gesammelt, die vorher nicht berücksichtigt wurden.

Ich werde die Theorie auflisten, die vor dem Lösen aufgefrischt werden muss: Pyramiden, Ähnlichkeitseigenschaften von Figuren und Körpern, Eigenschaften regelmäßiger Pyramiden, der Satz des Pythagoras, die Dreiecksflächenformel (es ist die zweite). Betrachten Sie die Aufgaben:

Aus Dreieckige Pyramide, dessen Volumen 80 beträgt, wird die dreieckige Pyramide von einer Ebene abgeschnitten, die durch die Spitze der Pyramide und die Mittellinie der Basis verläuft. Finden Sie das Volumen der abgeschnittenen dreieckigen Pyramide.

Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Basis und ihrer Höhe:

Diese Pyramiden (Original und beschnitten) haben eine gemeinsame Höhe, so dass ihre Volumina wie die Flächen ihrer Basis in Beziehung stehen. Mittellinie schneidet vom ursprünglichen Dreieck ein Dreieck ab, dessen Fläche viermal kleiner ist, das heißt:

Mehr dazu können Sie hier sehen.

Dies bedeutet, dass das Volumen der abgeschnittenen Pyramide viermal kleiner ist.

Es werden also 20.

Antwort: 20

* Bei einem ähnlichen Problem wird die Formel für die Fläche eines Dreiecks verwendet.

Das Volumen einer dreieckigen Pyramide beträgt 15. Die Ebene geht durch die Seite der Basis dieser Pyramide und schneidet die gegenüberliegende Seitenkante an einem Punkt, der sie im Verhältnis 1: 2 teilt, von der Spitze der Pyramide aus gezählt. Finden Sie das größte Volumen der Pyramiden, in die die Ebene die ursprüngliche Pyramide teilt.

Bauen wir eine Pyramide, markieren Sie die Eckpunkte.Markieren Sie einen Punkt E auf der Kante AS, so dass AE doppelt so groß ist wie ES (unter der Bedingung, dass ES sich auf AE wie 1 zu 2 bezieht), und konstruieren Sie die angegebene Ebene, die durch die Kante AC und den Punkt E verläuft:

Lassen Sie uns das Volumen analysieren, welche Pyramide größer sein wird: EABC oder SEBC?

* Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Basis und ihrer Höhe:

Wenn wir die beiden resultierenden Pyramiden betrachten und in beiden die EBC-Fläche als Basis nehmen, dann wird offensichtlich, dass das Volumen der AEBC-Pyramide größer sein wird als das Volumen der SEBC-Pyramide. Wieso den?

Der Abstand von Punkt A zur EBC-Ebene ist größer als der Abstand von Punkt S. Und dieser Abstand spielt für uns die Rolle der Höhe.

Finden wir also das Volumen der EABC-Pyramide.

Das Volumen der Anfangspyramide ist uns gegeben, die Basis der SABC- und EABC-Pyramiden ist gemeinsam. Wenn wir das Höhenverhältnis feststellen, können wir leicht das Volumen bestimmen.

Aus dem Verhältnis der Segmente ES und AE folgt, dass AE gleich zwei Drittel von ES ist. Die Höhen der Pyramiden SABC und EABC stehen im gleichen Verhältnis -die Höhe der Pyramide EABC wird gleich 2/3 der Höhe der Pyramide SABC sein.

Also wenn

Dass

Antwort: 10

Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist 6. Die Seite der Basis ist 1. Finde die Seitenkante.

Bei einer regelmäßigen Pyramide wird die Spitze in die Mitte der Basis projiziert.Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen:

Wir können die Seitenkante von finden rechtwinkliges Dreieck SOC. Dazu müssen Sie SO und OS kennen.

SO ist die Höhe der Pyramide, wir können sie mit der Volumenformel berechnen:

Berechnen Sie die Fläche der Basis. dies ist ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seite gleich 1. Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks ist gleich der Fläche von sechs gleichseitigen Dreiecken mit derselben Seite, mehr dazu (Punkt 6), also:

Meint

OS \u003d BC \u003d 1, da in einem regelmäßigen Sechseck das Segment, das seine Mitte mit dem Scheitelpunkt verbindet, gleich der Seite dieses Sechsecks ist.

Also nach dem Satz des Pythagoras:

Antwort: 7

VolumenDie Größe eines Tetraeders ist 200. Finden Sie das Volumen eines Polyeders, dessen Ecken die Mittelpunkte der Kanten dieses Tetraeders sind.

Das Volumen des angegebenen Polyeders ist gleich der Differenz Volumen des anfänglichen Tetraeders V 0 und vier gleicher Tetraeder, die jeweils durch Abschneiden durch eine Ebene erhalten werden, die durch die Mittelpunkte von Kanten verläuft, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben:

Lassen Sie uns definieren, was ist gleich dem Volumen Tetraeder abschneiden.

Beachten Sie, dass das ursprüngliche Tetraeder und das "abgeschnittene" Tetraeder ähnliche Körper sind. Es ist bekannt, dass das Verhältnis der Volumina ähnlicher Körper k 3 ist, wobei k der Ähnlichkeitskoeffizient ist. In diesem Fall ist es gleich 2 (da alle linearen Abmessungen des ursprünglichen Tetraeders doppelt so groß sind wie die entsprechenden Abmessungen des geschnittenen):

Berechnen Sie das Volumen des abgeschnittenen Tetraeders:

Somit ist das gewünschte Volumen gleich:

Antwort: 100

Die Oberfläche eines Tetraeders ist 120. Finden Sie die Oberfläche eines Polyeders, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Kanten dieses Tetraeders sind.

Erster Weg:

Die gewünschte Fläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken mit einer Seite, die halb so groß ist wie die Kante des ursprünglichen Tetraeders. Die Oberfläche des ursprünglichen Tetraeders besteht aus 16 solcher Dreiecke (4 Dreiecke auf jeder der 4 Flächen des Tetraeders), sodass die erforderliche Fläche gleich der Hälfte der Oberfläche dieses Tetraeders und gleich 60 ist.

Zweiter Weg:

Da die Oberfläche des Tetraeders bekannt ist, können wir seine Kante finden, dann die Länge der Kante des Polyeders bestimmen und dann seine Oberfläche berechnen.

Pyramiden sind: dreieckig, viereckig usw., je nachdem, was die Basis ist - ein Dreieck, ein Viereck usw.
Die Pyramide heißt richtig ( Abb.286,b), wenn erstens seine Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und zweitens die Höhe durch den Mittelpunkt dieses Vielecks geht.
Andernfalls heißt die Pyramide unregelmäßig ( Abb. 286, in). In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seitenkanten gleich (wie geneigt mit gleichen Vorsprüngen). Daher alle Seitenflächen Richtige Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke.
Analyse der Elemente einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide und deren Darstellung in einer komplexen Zeichnung ( Abb.287) .

a) Komplexe Zeichnung einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Die Basis der Pyramide befindet sich auf der Ebene P 1 ; zwei Seiten der Basis der Pyramide sind parallel zur Projektionsebene П 2 .
b) Basis ABCDEF - ein Sechseck in der Projektionsebene П 1 .
c) Seitenfläche ASF - ein Dreieck, das sich in einer Ebene in allgemeiner Position befindet.
d) Seitenfläche FSE - ein Dreieck, das sich in der Profilprojektionsebene befindet.
e) Die Kante SE ist ein Segment in allgemeiner Position.
f) Edge SA - Frontalsegment.
g) Die Spitze S der Pyramide ist ein Punkt im Raum.
Auf der ( Abb.288 und Abb.289) werden Beispiele für sequentielle grafische Operationen gegeben, wenn eine komplexe Zeichnung und visuelle Bilder (Axonometrie) von Pyramiden durchgeführt werden.

Gegeben:
1. Die Basis befindet sich auf der Ebene P 1.
2. Eine der Seiten der Basis ist parallel zur x 12-Achse.
I. Integrierte Zeichnung.
Ich, ein. Wir entwerfen die Basis der Pyramide - ein Polygon, gemäß dieser Bedingung, das in der Ebene П 1 liegt.
Wir entwerfen einen Scheitelpunkt - einen Punkt im Raum. Die Höhe des Punktes S ist gleich der Höhe der Pyramide. Die horizontale Projektion S 1 des Punktes S befindet sich in der Mitte der Projektion der Basis der Pyramide (durch Bedingung).
Ich, B. Wir gestalten die Kanten der Pyramidensegmente; Dazu verbinden wir die direkten Projektionen der Basisecken ABCDE mit den entsprechenden Projektionen der Spitze der Pyramide S. Die Frontalprojektionen S 2 C 2 und S 2 D 2 der Kanten der Pyramide sind durch gestrichelte Linien dargestellt, als unsichtbar, geschlossen durch die Flächen der Pyramide (SBA und SAE).
ich, c. Die horizontale Projektion K 1 des Punktes K auf die Seitenfläche SBA ist gegeben, es ist erforderlich, ihre frontale Projektion zu finden. Dazu zeichnen wir eine Hilfsgerade S 1 F 1 durch die Punkte S 1 und K 1, finden ihre Frontalprojektion und bestimmen darauf mit einer vertikalen Kommunikationslinie den Ort der gewünschten Frontalprojektion K 2 von Punkt K .
II. Die Entwicklung der Oberfläche der Pyramide ist eine flache Figur, die aus Seitenflächen besteht - identischen gleichschenkligen Dreiecken, von denen eine Seite gleich der Seite der Basis ist und die anderen zwei - zu den Seitenkanten und aus einem regelmäßigen Vieleck - die Basis.
Die natürlichen Abmessungen der Seiten des Sockels zeigen sich in seiner horizontalen Projektion. Die natürlichen Abmessungen der Rippen auf den Vorsprüngen wurden nicht offenbart.
Hypotenuse S 2 ¯A 2 ( Abb.288, 1 , b) eines rechtwinkligen Dreiecks S 2 O 2 ¯A 2, bei dem das große Bein gleich der Höhe S 2 O 2 der Pyramide und das kleine gleich der horizontalen Projektion der Kante S 1 A 1 ist natürliche Größe des Pyramidenrandes. Der Sweep sollte in der folgenden Reihenfolge erstellt werden:
a) Von einem beliebigen Punkt S (Scheitel) zeichnen wir einen Bogen mit einem Radius R, der gleich der Kante der Pyramide ist;
b) Legen Sie auf dem gezeichneten Bogen fünf Sehnen der Größe R 1 beiseite, die der Seite der Basis entsprechen.
c) Verbinde die Punkte D, C, B, A, E, D in Reihe miteinander und mit dem Punkt S mit geraden Linien, wir erhalten fünf Gleichschenkel gleiche Dreiecke, die die Entwicklung der Seitenfläche dieser Pyramide bilden, entlang der Kante SD geschnitten;
d) Wir befestigen an jeder Fläche die Basis der Pyramide - ein Fünfeck, beispielsweise mit der Triangulationsmethode, an der Fläche DSE.
Der Punkt K wird mit Hilfe einer Hilfsgeraden unter Verwendung der Größe B 1 F 1 , genommen auf der horizontalen Projektion, und der Größe A 2 K 2 , genommen auf der tatsächlichen Größe der Rippe, auf den Sweep übertragen.
III. Visuelle Darstellung der Pyramide in Isometrie.
III, ein. Wir stellen die Basis der Pyramide unter Verwendung der Koordinaten gemäß ( Abb.288, 1 , a).
Wir stellen die Spitze der Pyramide unter Verwendung der Koordinaten von ( Abb.288, 1 , a).
III, geb. Wir stellen die Seitenkanten der Pyramide dar und verbinden die Spitze mit den Spitzen der Basis. Die Kante S"D" und die Seiten der Basis C"D" und D"E" sind mit gestrichelten Linien als unsichtbar dargestellt, geschlossen durch die Flächen der Pyramide C"S"B", B"S"A" und A"S"E".
III, z. Wir bestimmen den Punkt auf der Oberfläche der Pyramide K mit den Maßen y F und x K. Für das dimetrische Bild der Pyramide sollte die gleiche Reihenfolge befolgt werden.
Bild einer unregelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben:
1. Die Basis befindet sich auf der Ebene P 1.
2. Seite BC der Basis ist senkrecht zur X-Achse.
I. Integrierte Zeichnung
Ich, ein. Wir entwerfen die Basis der Pyramide - ein gleichschenkliges Dreieck, das in der Ebene P 1 liegt, und die Spitze S - einen im Raum befindlichen Punkt, dessen Höhe gleich der Höhe der Pyramide ist.
Ich, B. Wir entwerfen die Kanten der Pyramidensegmente, für die wir die gleichnamigen Projektionen der Eckpunkte der Basis mit den gleichnamigen Projektionen der Spitze der Pyramide mit geraden Linien verbinden. Wir stellen die horizontale Projektion der Seite der Basis des Flugzeugs mit einer gestrichelten Linie als unsichtbare dar, die durch zwei Flächen der Pyramide ABS, ACS geschlossen ist.
ich, c. Auf der Frontalprojektion A 2 C 2 S 2 der Seitenfläche ist die Projektion D 2 des Punktes D gegeben. Es ist erforderlich, seine horizontale Projektion zu finden. Dazu zeichnen wir durch den Punkt D 2 eine Hilfsgerade parallel zur x 12-Achse - die Frontalprojektion der Horizontalen, dann finden wir ihre horizontale Projektion und bestimmen darauf mithilfe einer vertikalen Kommunikationslinie den Ort von die gewünschte horizontale Projektion D 1 des Punktes D.
II. Bau einer Pyramidenschleife.
Die natürlichen Abmessungen der Seiten des Sockels werden in der horizontalen Projektion sichtbar. Die natürliche Größe der Rippe AS zeigt sich in der Frontalprojektion; es gibt keine natürliche Größe der Rippen BS und CS in den Projektionen, die Größe dieser Rippen wird sichtbar, indem sie um die i-Achse gedreht werden, senkrecht zu der Ebene P1, die durch die Spitze der Pyramide S verläuft. Die neue Frontalprojektion ¯C 2 S 2 ist der natürliche Wert der Kante CS .
Die Reihenfolge der Konstruktion einer Entwicklung der Oberfläche der Pyramide:
a) Zeichnen Sie ein gleichschenkliges Dreieck - Gesicht CSB, dessen Basis gleich der Seite der Basis der Pyramide CB ist, und Seiten- natürliche Größe der Rippe SC;
b) Wir fügen zwei Dreiecke zu den Seiten SC und SB des konstruierten Dreiecks hinzu - die Flächen der Pyramide CSA und BSA und zur Basis CB des konstruierten Dreiecks - die Basis der CBA-Pyramide, als Ergebnis erhalten wir eine vollständige Entfaltung der Oberfläche dieser Pyramide.
Der Punkt D wird in der folgenden Reihenfolge in die Abwicklung übertragen: Zuerst eine horizontale Linie auf der Abwicklung der ASC-Seitenfläche mit dem Maß R 1 zeichnen und dann die Lage des Punktes D auf der horizontalen Linie mit dem Maß R 2 bestimmen .
III. Eine visuelle Darstellung der dimetrischen Frontalprojektion der Pyramide
III, ein. Wir stellen die Basis A "B" C und die Spitze S "der Pyramide dar, indem wir die Koordinaten gemäß (

Datum: 2015-01-19

Wenn Sie brauchen Schritt-für-Schritt-Anleitung wie man eine Pyramide baut, dann bitte ich um unsere Lektion. Bewerten Sie zunächst, ob Ihre Pyramide genauso entfaltet ist wie in Abbildung 1.

Wenn Sie es um 90 Grad gedreht haben, dann ist die in der Abbildung als „bekannte reale Werte“ markierte Kante in Ihrem Fall auf dem Profilvorsprung zu finden, den Sie bauen müssen. In meinem Fall ist dies nicht erforderlich, wir haben bereits alle zum Bau notwendigen Mengen. Es ist wichtig nicht zu vergessen, dass in dieser Zeichnung nur die Ränder SA und SD auf der Frontalprojektion in voller Größe dargestellt sind. Alle anderen werden mit Längenverzerrung projiziert. Zusätzlich werden in der Draufsicht auch alle Seiten des Sechsecks in voller Größe projiziert. Lassen Sie uns auf dieser Grundlage beginnen.

1. Für mehr Schönheit zeichnen wir die erste Linie horizontal (Abbildung 1). Dann zeichnen wir einen weiten Bogen mit Radius R=a, d.h. mit einem Radius gleich der Länge der Seitenkante der Pyramide. Wir erhalten Punkt A. Daraus machen wir mit einem Kompass eine Kerbe auf dem Bogen mit einem Radius r \u003d b (die Länge der Seite der Basis der Pyramide). Kommen wir zu Punkt B. Wir haben bereits die erste Seite der Pyramide!

2. Von Punkt B aus machen wir eine weitere Kerbe mit demselben Radius - wir erhalten Punkt C und verbinden ihn mit den Punkten B und S, um die zweite Seitenfläche der Pyramide zu erhalten (Abbildung 2).

3. Wenn Sie diese Schritte so oft wiederholen (es hängt alles davon ab, wie viele Seiten Ihre Pyramide hat), erhalten Sie einen solchen Fächer (Abbildung 3). Mit der richtigen Konstruktion sollten Sie alle Punkte der Basis erhalten und die extremen sollten wiederholt werden.

4. Dies ist nicht immer erforderlich, aber dennoch erforderlich: Fügen Sie die Basis der Pyramide zur Entwicklung der Seitenfläche hinzu. Ich glaube, dass jeder, der bis hierher gelesen hat, weiß, wie man ein Sechs-Acht-Fünfeck zeichnet (wie man ein Fünfeck zeichnet, wird in der Lektion ausführlich beschrieben). Die Schwierigkeit liegt darin, dass die Figur eingezeichnet werden muss richtiger Ort und im rechten Winkel. Zeichnen Sie eine Achse durch die Mitte eines beliebigen Gesichts. Vom Schnittpunkt mit der Linie der Basis zeichnen wir den Abstand m auf, wie in Abbildung 4 gezeigt.


Zeichnen wir eine Senkrechte durch diesen Punkt, erhalten wir die Achsen des zukünftigen Sechsecks. Aus dem resultierenden Zentrum zeichnen wir einen Kreis, wie Sie es beim Erstellen einer Draufsicht getan haben. Bitte beachten Sie, dass der Kreis durch zwei Punkte der Seitenfläche gehen muss (in meinem Fall sind dies F und A)

5. Abbildung 5 zeigt die entfaltete Endansicht des hexagonalen Prismas.


Damit ist der Bau der Pyramidenschleife abgeschlossen. Erstellen Sie Ihre Sweeps, lernen Sie, Lösungen zu finden, seien Sie ätzend und geben Sie niemals auf. Danke für's vorbeikommen. Vergessen Sie nicht, uns Ihren Freunden zu empfehlen :) Alles Gute!

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