Kako izdvojiti kvadrat. Kvadratni korijen. Radnje s kvadratnim korijenima. Modul. Poređenje kvadratnih korijena

Obračun (ili ekstrakcija) kvadratni korijen može se proizvesti na više načina, ali se ne može reći da su svi vrlo jednostavni. Lakše je, naravno, pribjeći pomoći kalkulatora. Ali ako to nije moguće (ili želite razumjeti suštinu kvadratnog korijena), mogu vam savjetovati da idete na sljedeći način, njegov algoritam je sljedeći:

Ako nemate snage, želje ili strpljenja za ovako dugačke proračune, možete pribjeći grubom odabiru, njegov plus je što je nevjerovatno brz i, uz dužnu domišljatost, precizan. primjer:

Kada sam bio u školi (ranih 60-ih), učili su nas da uzimamo kvadratni korijen bilo kojeg broja. Tehnika je jednostavna, spolja slična podjela stupacaquot ;, ali da to navedemo ovdje, trebat će pola sata vremena i 4-5 hiljada znakova teksta. Ali zašto ti treba? Imate li telefon ili neki drugi gedžet, postoji kalkulator u nm. U svakom kompjuteru postoji kalkulator. Lično, više volim da ovu vrstu proračuna radim u Excel-u.

Često je u školi potrebno pronaći kvadratni korijen različiti brojevi. Ali ako smo za to navikli stalno koristiti kalkulator, tada neće biti takve prilike na ispitima, pa morate naučiti kako tražiti korijen bez pomoći kalkulatora. I to je u principu moguće učiniti.

Algoritam je:

Prvo pogledajte posljednju cifru svog broja:

Na primjer,

Sada morate približno odrediti vrijednost za korijen iz krajnje lijeve grupe

U slučaju kada broj ima više od dvije grupe, tada morate pronaći korijen ovako:

Ali sljedeći broj bi trebao biti upravo najveći, morate ga pokupiti ovako:

Sada treba da formiramo novi broj A dodavanjem ostatka koji je gore dobijen, sledeću grupu.

U našim primjerima:

Kolona najna, a kada je potrebno više od petnaest karaktera, onda najčešće miruju kompjuteri i telefoni sa kalkulatorima. Ostaje provjeriti hoće li opis metodologije trajati 4-5 hiljada znakova.

Bermirajte bilo koji broj, od zareza brojimo parove cifara desno i lijevo

Na primjer, 1234567890.098765432100

Par cifara je kao dvocifreni broj. Korijen dvocifrene vrijednosti je jedan prema jedan. Odaberemo jednovrijednu, čiji je kvadrat manji od prvog para znamenki. U našem slučaju to je 3.

Kao i kod dijeljenja kolonom, ispod prvog para ispisujemo ovaj kvadrat i oduzimamo od prvog para. Rezultat je podvučen. 12 - 9 = 3. Dodajte drugi par cifara ovoj razlici (bit će 334). Lijevo od broja berma, udvostručena vrijednost onog dijela rezultata koji je već pronađen dopunjena je cifrom (imamo 2 * 6 = 6), tako da kada se pomnoži sa neprimljenim brojem, to čini ne prelazi broj sa drugim parom cifara. Dobili smo da je pronađena brojka pet. Ponovo nalazimo razliku (9), rušimo sljedeći par cifara koji dobijemo 956, ponovo ispisujemo udvostručeni dio rezultata (70), ponovo ga dopunjavamo željenim brojem, i tako sve dok se ne zaustavi. Ili na potrebnu tačnost proračuna.

Prvo, da biste izračunali kvadratni korijen, morate dobro poznavati tablicu množenja. Većina jednostavni primjeri je 25 (5 sa 5 = 25) i tako dalje. Ako uzmete brojeve složenije, onda možete koristiti ovaj sto, gdje su jedinice horizontalne, a desetice vertikalne.



Tu je dobar način kako pronaći korijen broja bez pomoći kalkulatora. Da biste to učinili, trebat će vam ravnalo i kompas. Suština je da na ravnalu pronađete vrijednost koju imate ispod korijena. Na primjer, stavite oznaku blizu 9. Vaš zadatak je podijeliti ovaj broj na jednak broj segmenata, odnosno na dva reda od po 4,5 cm i na paran segment. Lako je pretpostaviti da ćete na kraju dobiti 3 segmenta od 3 centimetra.

Metoda nije laka i veliki brojevi nije prikladno, ali se smatra bez kalkulatora.

bez pomoći kalkulatora učila se metoda vađenja kvadratnog korijena Sovjetska vremena u školi u 8.razredu.

Da biste to učinili, morate razbiti višecifreni broj s desna na lijevo na lica od 2 cifre :

Prva znamenka korijena je cijeli korijen lijeve strane, u ovom slučaju 5.

Oduzmite 5 na kvadrat od 31, 31-25=6 i dodajte sljedeće lice na šest, imamo 678.

Sljedeća cifra x je odabrana da udvostruči pet tako da

10x*x je bio maksimum, ali manje od 678.

x=6 jer je 106*6=636,

sada izračunamo 678 - 636 = 42 i dodamo sljedeće lice 92, imamo 4292.

Opet tražimo maksimum x, tako da je 112x*x lt; 4292.

Odgovor: korijen je 563

Tako da možete nastaviti koliko god želite.

U nekim slučajevima možete pokušati proširiti korijenski broj na dva ili više kvadratnih faktora.

Također je korisno zapamtiti tablicu (ili barem neki njen dio) - kvadrate prirodnih brojeva od 10 do 99.



Predlažem varijantu izvlačenja kvadratnog korijena u kolonu koju sam ja izmislio. Razlikuje se od poznatih, osim po izboru brojeva. Ali kako sam kasnije saznao, ovu metodu već postojao mnogo godina prije mog rođenja. Veliki Isak Njutn to je opisao u svojoj knjizi Opšta aritmetika ili knjizi o aritmetičkoj sintezi i analizi. Stoga ovdje predstavljam svoju viziju i obrazloženje za algoritam Newtonove metode. Ne morate pamtiti algoritam. Možete jednostavno koristiti dijagram na slici kao vizualnu pomoć ako je potrebno.







Uz pomoć tabela ne možete izračunati, već pronaći kvadratne korijene samo iz brojeva koji se nalaze u tablicama. Najlakši način za izračunavanje korijena nije samo kvadrat, već i drugi stepeni, metodom uzastopnih aproksimacija. Na primjer, izračunamo kvadratni korijen od 10739, zamijenimo posljednje tri cifre nulama i izvučemo korijen od 10000, dobijemo 100 sa nedostatkom, pa uzmemo broj 102 i kvadriramo ga, dobijemo 10404, što je također manje od navedenog, opet uzimamo 103*103=10609 s nedostatkom, uzimamo 103,5 * 103,5 = 10712,25, uzmemo još više 103,6 * 103,6 = 10732, uzimamo 103,5 * 103,5 = 10732, uzimamo 103,7 u 103, što je već 103. višak. Možete uzeti kvadratni korijen od 10739 da bude približno jednak 103,6. Tačnije 10739=103,629... . . Slično, izračunavamo kubni korijen, prvo od 10000 dobijemo otprilike 25 * 25 * 25 = 15625, što je višak, uzimamo 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, uzmemo nešto više od 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, što je vrlo blizu datom.

root n stepen prirodnog broja a broj je pozvan nčiji je th stepen jednak a. Korijen se označava na sljedeći način: . Simbol √ se poziva korijenski znak ili znak radikala, broj a - korijenski broj, n - korijenski eksponent.

Poziva se radnja kojom se nalazi korijen datog stepena vađenje korena.

Budući da, prema definiciji koncepta korijena n th stepen

onda vađenje korena- radnja, suprotna podizanju na stepen, uz pomoć koje se za dati stepen i za dati eksponent nalazi baza stepena.

Kvadratni korijen

Kvadratni korijen broja a je broj čiji je kvadrat a.

Operacija kojom se izračunava kvadratni korijen naziva se uzimanje kvadratnog korijena.

Izdvajanje kvadratnog korijena- suprotna akcija kvadriranja (ili podizanja broja na drugi stepen). Kada kvadrirate broj, morate pronaći njegov kvadrat. Prilikom vađenja kvadratnog korijena, kvadrat broja je poznat, potrebno je iz njega pronaći sam broj.

Stoga, da biste provjerili ispravnost poduzete radnje, možete podići pronađeni korijen na drugi stupanj, a ako je stupanj jednak broju korijena, onda je korijen ispravno pronađen.

Razmislite o izdvajanju kvadratnog korijena i njegovoj provjeri na primjeru. Izračunavamo ili (korijenski eksponent sa vrijednošću 2 obično se ne piše, budući da je 2 najmanji eksponent i treba imati na umu da ako nema eksponenta iznad predznaka korijena, tada se podrazumijeva eksponent 2), za to nam je potrebno da pronađemo broj, kada se podigne na drugi stepen će biti 49. Očigledno, ovaj broj je 7, pošto

7 7 = 7 2 = 49.

Izračunavanje kvadratnog korijena

Ako je dati broj 100 ili manji, tada se njegov kvadratni korijen može izračunati pomoću tablice množenja. Na primjer, kvadratni korijen od 25 je 5 jer je 5 x 5 = 25.

Sada razmislite o načinu pronalaženja kvadratnog korijena bilo kojeg broja bez korištenja kalkulatora. Na primjer, uzmimo broj 4489 i počnemo računati korak po korak.

1. Odredimo od kojih cifara treba da se sastoji željeni koren. Budući da je 10 2 = 10 10 = 100, i 100 2 = 100 100 = 10 000, postaje jasno da željeni korijen mora biti veći od 10 i manji od 100, tj. sastoji se od desetica i jedinica.
2. Pronađite broj desetica korijena. Množenjem desetica proizvodi se stotine, naš broj je 44, tako da korijen mora sadržavati toliko desetica da kvadrat desetica daje otprilike 44 stotine. Stoga bi u korijenu trebalo biti 6 desetica, jer je 60 2 = 3600 i 70 2 = 4900 (ovo je previše). Tako smo otkrili da naš korijen sadrži 6 desetica i nekoliko jedinica, budući da je u rasponu od 60 do 70.
3. Tablica množenja će pomoći u određivanju broja jedinica u korijenu. Gledajući broj 4489, vidimo da je zadnja cifra u njemu 9. Sada gledamo u tablicu množenja i vidimo da se 9 jedinica može dobiti samo kvadriranjem brojeva 3 i 7. Dakle, korijen broja će biti 63 ili 67.
4. Brojeve koje smo dobili 63 i 67 provjeravamo kvadrirajući ih: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Učenici uvijek pitaju: „Zašto ne mogu koristiti kalkulator na ispitu iz matematike? Kako izvući kvadratni korijen broja bez kalkulatora? Pokušajmo odgovoriti na ovo pitanje.

Kako izvući kvadratni korijen broja bez pomoći kalkulatora?

Akcija ekstrakcija kvadratnog korijena suprotno od kvadrature.

√81= 9 9 2 =81

Ako uzmemo kvadratni korijen pozitivnog broja i kvadriramo rezultat, dobićemo isti broj.

Iz malih brojeva koji su tačni kvadrati prirodnih brojeva, na primjer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kvadratni korijeni se mogu izvući usmeno. Obično u školi uče tablicu kvadrata prirodnih brojeva do dvadeset. Poznavajući ovu tabelu, lako je izvući kvadratne korijene iz brojeva 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz brojeva većih od 400 možete izvući koristeći metodu odabira koristeći nekoliko savjeta. Pokušajmo na primjeru da razmotrimo ovu metodu.

primjer: Izdvojite korijen broja 676.

Primjećujemo da je 20 2 = 400 i 30 2 = 900, što znači 20< √676 < 900.

Tačni kvadrati prirodnih brojeva završavaju se sa 0; jedan; 4; 5; 6; devet.
Broj 6 je dat sa 4 2 i 6 2 .
Dakle, ako je korijen uzet iz 676, onda je to ili 24 ili 26.

Ostaje provjeriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odgovor: √676 = 26 .

Više primjer: √6889 .

Od 80 2 = 6400 i 90 2 = 8100, zatim 80< √6889 < 90.
Broj 9 je dat sa 3 2 i 7 2, tada je √6889 ili 83 ili 87.

Provjerite: 83 2 = 6889.

odgovor: √6889 = 83 .

Ako vam je teško riješiti metodom selekcije, tada možete faktorizirati korijenski izraz.

Na primjer, nađi √893025.

Razložimo broj 893025 na faktore, zapamtite, uradili ste to u šestom razredu.

Dobijamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Više primjer: √20736. Razložimo na faktore broj 20736:

Dobijamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naravno, faktoring zahtijeva poznavanje kriterija djeljivosti i vještine faktoringa.

I konačno, postoji pravilo kvadratnog korijena. Pogledajmo ovo pravilo na primjeru.

Izračunaj √279841.

Da bismo izdvojili korijen višecifrenog cijelog broja, podijelimo ga s desna na lijevo na lica koja sadrže po 2 cifre (može biti jedna cifra u lijevom krajnjem licu). Napiši ovako 27'98'41

Da bismo dobili prvu znamenku korijena (5), izvlačimo kvadratni korijen najvećeg tačnog kvadrata koji se nalazi u prvom lijevom licu (27).
Tada se kvadrat prve cifre korijena (25) oduzima od prvog lica, a sljedeće lice (98) se pripisuje (ruši) razlici.
Lijevo od primljenog broja 298 upisuju dvocifren korijen (10), dijele s njim broj svih desetica prethodno dobijenog broja (29/2 ≈ 2), doživljavaju količnik (102 ∙ 2 = 204 ne smije biti više od 298) i pisati (2) iza prve cifre korijena.
Tada se rezultujući količnik 204 oduzima od 298, a sljedeća faseta (41) se pripisuje (demolira) razlici (94).
Lijevo od rezultirajućeg broja 9441 pišu dvostruki proizvod cifara korijena (52 ∙ 2 = 104), podijele sa ovim umnoškom broj svih desetica broja 9441 (944/104 ≈ 9), iskustvo količnik (1049 ∙ 9 = 9441) bi trebao biti 9441 i zapisati ga (9) iza druge cifre korijena.

Dobili smo odgovor √279841 = 529.

Slično ekstrakt korijeni decimala. Samo radikalni broj mora biti podijeljen na lica tako da zarez bude između lica.

Primjer. Pronađite vrijednost √0,00956484.

Samo to morate zapamtiti ako decimalni Ima neparan broj decimalna mjesta, tačan kvadratni korijen se ne izvlači iz njega.

Dakle, sada ste vidjeli tri načina za izdvajanje korijena. Odaberite onaj koji vam najviše odgovara i vježbajte. Da biste naučili kako riješiti probleme, morate ih riješiti. A ako imate bilo kakvih pitanja, .

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Činjenica 1.
\(\bullet\) Ne uzimajte neke negativan broj\(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) kvadratni korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\), pri kvadriranju dobijamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizilazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uslov za postojanje kvadratnog korijena i treba ih zapamtiti!
Podsjetimo da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Šta je \(\sqrt(25)\) ? Znamo da je \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Pošto po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, \(-5\) nije prikladan, stoga \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se korijen izraz.
\(\bullet\) Na osnovu definicije, izrazi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brza izračunavanja bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Činjenica 3.
Šta se može učiniti s kvadratnim korijenima?
\(\metak\) Zbir ili razlika kvadratni korijeni NIJE JEDNAKO kvadratnom korijenu zbira ili razlike, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada u početku morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a zatim ih zbrojite. dakle, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći pri sabiranju \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz dalje ne pretvara i ostaje takav kakav jeste. Na primjer, u zbiru \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) - ovo je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) ne može biti pretvoren na bilo koji način, Zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nadalje, ovaj izraz se, nažalost, ne može ni na koji način pojednostaviti.\(\bullet\) Proizvod/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uslovom da oba dijela jednakosti imaju smisla)
primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva rastavljanjem na faktore.
Razmotrimo primjer. Pronađite \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , onda \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (pošto je zbir njegovih cifara 9 i djeljiv je sa 9), dakle, \(441:9=49\) , odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Tako smo dobili: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (skraćenica za izraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda \ Imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Žašto je to? Objasnimo primjerom 1). Kao što ste već shvatili, ne možemo nekako pretvoriti broj \(\sqrt2\) . Zamislite da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa drugo do \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\) ). A znamo da je ovo jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .

Činjenica 4.
\(\bullet\) Često se kaže “ne može izvući korijen” kada nije moguće riješiti se znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti nekog broja. Na primjer, možete ukorijeniti broj \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali izdvojiti korijen iz broja \(3\) , odnosno pronaći \(\sqrt3\) , nemoguće je, jer ne postoji takav broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi sa takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itd. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno jednak \(2) ,7\) ) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. I zajedno sve racionalno i sve iracionalni brojevi formiraju skup tzv skup realnih (realnih) brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da su svi brojevi koji su ovog trenutka znamo da se zovu realni brojevi.

Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od tačke \(a\) do \(0\) na realnom linija. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) su jednaki 3, jer su udaljenosti od tačaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, onda \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, onda \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul "jede" minus, a pozitivne brojeve, kao i broj \(0\), modul ostavlja nepromijenjen.
ALI ovo pravilo se odnosi samo na brojeve. Ako imate nepoznatu \(x\) (ili neku drugu nepoznatu) pod znakom modula, na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo da li je pozitivna, jednaka nuli ili negativna, onda osloboditi se modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje takav: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\]Često se pravi sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) ista stvar. Ovo je tačno samo kada je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda to nije istina. Dovoljno je razmotriti takav primjer. Uzmimo broj \(-1\) umjesto \(a\). Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (jer je nemoguće pod znakom korijena staviti negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pažnju na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Pošto je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , onda je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se izvuče korijen iz broja koji je u nekom stepenu, ovaj stepen se prepolovi.
primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije postavljen, ispada da je korijen broja jednak \(-25) \) ; ali se sjećamo , što, po definiciji korijena, to ne može biti: kada izvlačimo korijen, uvijek bismo trebali dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pošto bilo koji broj na paran stepen nije negativan)

Činjenica 6.
Kako uporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Tačno za kvadratne korijene: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aprimjer:
1) uporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo transformiramo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, pošto \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva je \(\sqrt(50)\) ?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Uporedite \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Pretpostavimo \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\početi(poravnano) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat oba dijela))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netačnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila pogrešna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njen predznak. Množenje/dijeljenje oba dijela nejednakosti pozitivnim brojem također ne utiče na njen predznak, ali množenje/dijeljenje sa negativnim brojem obrće predznak nejednakosti!
Obje strane jednačine/nejednačine mogu se kvadrirati SAMO AKO su obje strane nenegativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednakosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Obratite pažnju na to \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada upoređujete brojeve! \(\bullet\) Da biste iz nekog velikog broja koji nije u tabeli kvadrata izvukli korijen (ako je izvučen) prvo morate odrediti između kojih se "stotina" nalazi, pa između kojih "desetica", a zatim odredi posljednju cifru ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmite \(\sqrt(28224)\) . Znamo da je \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) i tako dalje. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) je između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se „desetica“ nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\) ). Također iz tabele kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Stoga je broj \(\sqrt(28224)\) između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju cifru. Prisjetimo se koji jednocifreni brojevi pri kvadriranju daju na kraju \ (4 \) ? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će se završiti sa 2 ili 8. Provjerimo ovo. Pronađite \(162^2\) i \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stoga \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Da bi se ispit iz matematike na adekvatan način riješio, prije svega, potrebno je proučiti teorijski materijal koji uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena lako i razumljivo za učenike bilo kojeg nivoa obuke, zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno učiti teoriju u matematici, ne samo za one koji polažu ispit?

1. Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog materijala iz matematike korisno je za sve koji žele dobiti odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. Upravo to se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Zato što razvija intelekt. Proučavajući priručne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, čovjek uči da razmišlja i razmišlja logično, da pravilno i jasno formuliše misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije, izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.

U predgovoru svom prvom izdanju, U carstvu domišljatosti (1908), E. I. Ignatiev piše: Rezultati su pouzdani samo kada je uvod u oblast matematičkog znanja napravljen na lak i prijatan način, na predmetima i primjerima svakodnevnih i svakodnevnih situacija, odabranim sa odgovarajućom duhovitošću i zabavom.

U predgovoru izdanja iz 1911. godine “Uloga pamćenja u matematici”, E.I. Ignatiev piše "...u matematici ne treba pamtiti formule, već proces mišljenja."

Da biste izdvojili kvadratni korijen, postoje tablice kvadrata za dvocifrene brojeve, možete rastaviti broj na proste faktore i izvući kvadratni korijen iz proizvoda. Tablica kvadrata nije dovoljna, izdvajanje korijena faktoringom je dugotrajan zadatak, koji također ne dovodi uvijek do željenog rezultata. Pokušajte izvući kvadratni korijen broja 209764? Dekompozicija na proste faktore daje proizvod 2 * 2 * 52441. Probom i greškom, odabirom - to se, naravno, može učiniti ako ste sigurni da je to cijeli broj. Način na koji želim da predložim omogućava vam da uzmete kvadratni koren u svakom slučaju.

Jednom u institutu (Permski državni pedagoški institut) upoznali smo se s ovom metodom, o kojoj sada želim govoriti. Nikada nisam razmišljao da li ova metoda ima dokaz, pa sam sada morao sam da izvedem neke dokaze.

Osnova ove metode je sastav broja =.

=&, tj. &2=596334.

1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64)

2. Izvlačimo kvadratni korijen prve grupe lijevo ( - broj 2). Tako dobijamo prvu cifru broja &.

3. Pronađite kvadrat prve znamenke (2 2 \u003d 4).

4. Pronađite razliku između prve grupe i kvadrata prve cifre (5-4=1).

5. Rušimo sljedeće dvije cifre (dobili smo broj 196).

6. Udvostručimo prvu pronađenu figuru, zapišemo je lijevo iza crte (2*2=4).

7. Sada morate pronaći drugu cifru broja &: udvostručena prva cifra koju smo pronašli postaje cifra desetica broja, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebate dobiti broj manji od 196 ( ovo je broj 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 je druga znamenka &.

8. Pronađite razliku (196-176=20).

9. Rušimo sljedeću grupu (dobijamo broj 2033).

10. Udvostručite broj 24, dobijamo 48.

11,48 desetica u broju, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebalo bi da dobijemo broj manji od 2033 (484 * 4 = 1936). Broj jedinica koje smo pronašli (4) je treća znamenka broja &.

Dokaz sam dao za slučajeve:

1. Izdvajanje kvadratnog korijena trocifrenog broja;

2. Izdvajanje kvadratnog korijena četverocifrenog broja.

Približne metode za vađenje kvadratnog korijena (bez korištenja kalkulatora).

1. Stari Babilonci su koristili sljedeću metodu da pronađu približnu vrijednost kvadratnog korijena njihovog x broja. Predstavili su broj x kao zbir a 2 + b, pri čemu je a 2 najbliži x tačan kvadrat prirodnog broja a (a 2 ? x), i koristili su formulu . (1)

Koristeći formulu (1), izvlačimo kvadratni korijen, na primjer, iz broja 28:

Rezultat vađenja korijena od 28 pomoću MK 5.2915026.

Kao što vidite, babilonska metoda daje dobru aproksimaciju tačne vrijednosti korijena.

2. Isak Newton je razvio metodu za vađenje kvadratnog korijena, koja datira još od Herona od Aleksandrije (oko 100. godine nove ere). Ova metoda (poznata kao Newtonova metoda) je sljedeća.

Neka bude a 1- prva aproksimacija broja (kao 1, možete uzeti vrijednosti kvadratnog korijena prirodnog broja - tačan kvadrat koji ne prelazi X) .

Sljedeća, preciznija aproksimacija a 2 brojevi pronađen po formuli .