Uglovi koji su uvijek jednaki nazivaju se. Prošireni, tupi, vertikalni i neprošireni: vrste uglova geometrije

Ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije različite zrake koje izlaze iz jedne tačke. U ovom slučaju, ove zrake se nazivaju stranicama ugla. Tačka koja je početak zraka naziva se vrh ugla. Na slici se vidi ugao sa vrhom u tački O, i stranke k i m.

Na stranama ugla su označene tačke A i C. Ovaj ugao se može označiti kao ugao AOC. U sredini mora biti naziv tačke u kojoj se nalazi ugaoni vrh. Postoje i druge oznake, ugao O ili ugao km. U geometriji se umjesto riječi ugao često ispisuje posebna ikona.

Okretni i neokretni ugao

Ako obje strane ugla leže na istoj pravoj liniji, onda se takav ugao naziva raspoređeno ugao. To jest, jedna strana ugla je nastavak druge strane ugla. Na slici ispod prikazan je ugao O.

Treba napomenuti da bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Ako ugao nije proširen, tada se jedan od dijelova naziva unutrašnja regija ugla, a drugi je vanjski dio ovog ugla. Na slici ispod prikazan je nespljošten ugao i označeni vanjski i unutrašnji dijelovi ovog ugla.

U slučaju razvijenog ugla, bilo koji od dva dijela na koje dijeli ravan može se smatrati vanjskim područjem ugla. Možemo govoriti o položaju tačke u odnosu na ugao. Tačka može ležati izvan ugla (u vanjskom dijelu), može biti na jednoj od njegovih strana ili može ležati unutar ugla (u unutrašnjem području).

Na slici ispod, tačka A leži izvan ugla O, tačka B leži na jednoj strani ugla, a tačka C leži unutar ugla.

Merenje ugla

Za mjerenje uglova postoji uređaj koji se zove kutomjer. Jedinica za ugao je stepen. Treba napomenuti da svaki ugao ima određenu mjeru stepena, koja je veća od nule.

U zavisnosti od stepen mera uglovi su podijeljeni u nekoliko grupa.

Učenici su upoznati sa pojmom ugla u osnovna škola. Ali kao geometrijsku figuru sa određenim svojstvima, počinju je učiti od 7. razreda iz geometrije. izgleda, prilično jednostavan oblikšta se može reći o njoj. Ali, stječući nova znanja, školarci sve više razumiju da o njoj možete naučiti prilično zanimljive činjenice.

U kontaktu sa

Kada se proučavaju

Školski predmet geometrije podijeljen je u dva dijela: planimetrija i geometrija tijela. Svako od njih ima veliku pažnju. dato uglovima:

• U planimetriji je dat njihov osnovni koncept, odvija se upoznavanje s njihovim tipovima u veličini. Osobine svake vrste trokuta se detaljnije proučavaju. Pojavljuju se nove definicije za učenike - to su geometrijski oblici koji nastaju na presjeku dvije prave jedne s drugima i sjecištu nekoliko linija sekante.
• U stereometriji se proučavaju prostorni uglovi - diedarski i triedarski.

Pažnja! Ovaj članak govori o svim vrstama i svojstvima uglova u planimetriji.

Definicija i mjerenje

Počevši da učim, prvo odredi, šta je ugao u planimetriji.

Ako uzmemo određenu tačku na ravnini i iz nje nacrtamo dvije proizvoljne zrake, dobićemo geometrijsku figuru - ugao, koji se sastoji od sljedećih elemenata:

• vertex - označena tačka iz koje su izvučene zrake veliko slovo latinica;
• strane su poluprave povučene odozgo.

Svi elementi koji formiraju figuru koju razmatramo dijele ravan na dva dela:

• unutrašnji - u planimetriji ne prelazi 180 stepeni;
• vanjski.

Princip mjerenja uglova u planimetriji objasnjeno intuitivno. Za početak, učenici se upoznaju sa konceptom razvijenog ugla.

Bitan! Kaže se da je ugao razvijen ako poluprave koje izlaze iz njegovog vrha čine pravu liniju. Neokrenuti ugao su svi ostali slučajevi.

Ako se podijeli na 180 jednakih dijelova, tada je uobičajeno smatrati mjeru jednog dijela jednakim 10. U ovom slučaju kažu da se mjerenje vrši u stepenima, a mjera stepena takve figure je 180 stepeni.

Glavni tipovi

Tipovi uglova su podeljeni prema kriterijumima kao što su stepen stepena, priroda njihovog formiranja i kategorije predstavljene u nastavku.

Po veličini

S obzirom na veličinu, uglovi se dijele na:

• deployed;
• ravno;
• tup;
• ljuto.

Koji se ugao naziva raspoređenim je predstavljen gore. Hajde da definišemo pojam prave linije.

Može se dobiti dijeljenjem raspoređenog na dva jednaka dijela. U ovom slučaju, lako je odgovoriti na pitanje: pravi ugao, koliko je to stepeni?

Podelite 180 stepeni sa 2 da dobijete pravi ugao je 90 stepeni. Ovo je divna figura, jer su mnoge činjenice u geometriji povezane s njom.

Također ima svoje karakteristike u oznaci. Da bi se na slici prikazao pravi ugao, on nije označen lukom, već kvadratom.

Uglovi koji se dobiju dijeljenjem proizvoljne zrake prave se nazivaju oštri. Prema logici stvari, proizilazi da je oštar ugao manji od pravog ugla, ali se njegova mjera razlikuje od 0 stepeni. To jest, ima vrijednost od 0 do 90 stepeni.

Tup ugao je veći od pravog ugla, ali manji od pravog ugla. Njena mera stepena varira od 90 do 180 stepeni.

Ovaj element se može podijeliti na različite vrste uzeti u obzir brojke, isključujući prošireni.

Bez obzira na to kako je nerotirani ugao prekinut, uvijek se koristi osnovni aksiom planimetrije - "glavno svojstvo mjerenja".

At dijeljenje ugla jednim snopom ili nekoliko, stepen stepena date figure je jednak zbiru mera uglova na koje je podeljena.

Na nivou 7. razreda tu se završavaju vrste uglova po njihovoj veličini. Ali da bi se povećala erudicija, može se dodati da postoje i druge varijante koje imaju stepen stepena veću od 180 stepeni.Zovu se konveksne.

Slike na preseku linija

Sljedeće vrste uglova sa kojima se učenici upoznaju su elementi koji nastaju kada se dvije prave seku. Figure koje su postavljene jedna naspram druge nazivaju se vertikalne. Njih razlikovna karakteristika- jednaki su.

Elementi koji su susjedni istoj liniji nazivaju se susjedni. Teorema o preslikavanju njihovog svojstva to kaže Susjedni uglovi iznose 180 stepeni.

Elementi u trouglu

Ako posmatramo figuru kao element u trokutu, onda se uglovi dijele na unutrašnje i vanjske. Trougao je omeđen sa tri segmenta i sastoji se od tri vrha. Uglovi koji se nalaze unutar trougla na svakom vrhu, naziva internim.

Ako uzmemo bilo koji unutrašnji element na bilo kojem vrhu i produžimo bilo koju stranu, tada se ugao koji je formiran i koji je u susjedstvu unutarnjeg naziva vanjskim. Ovaj par elemenata ima sljedeće svojstvo: njihov zbir je 180 stepeni.

Presjek dvije prave linije

Raskrsnica linija

Kada se dvije prave seku, formiraju se i uglovi, koji su obično raspoređeni u parovima. Svaki par elemenata ima svoje ime. izgleda ovako:

• unutrašnja poprečna: ∟4 i ∟6, ∟3 i ∟5;
• unutrašnje jednostrano: ∟4 i ∟5, ∟3 i ∟6;
• odgovaraju: ∟1 i ∟5, ∟2 i ∟6, ∟4 i ∟8, ∟3 i ∟7.

Kada sekansa siječe dva

U ovom članku ćemo sveobuhvatno analizirati jedan od glavnih geometrijskih oblika - ugao. Počnimo s pomoćnim pojmovima i definicijama koje će nas dovesti do definicije ugla. Nakon toga dajemo prihvaćene metode za označavanje uglova. Zatim ćemo se detaljno pozabaviti procesom mjerenja uglova. U zaključku ćemo pokazati kako možete označiti uglove na crtežu. Svu teoriju smo obezbijedili potrebnim crtežima i grafičkim ilustracijama za bolje pamćenje gradiva.

Navigacija po stranici.

Definicija ugla.

Ugao je jedna od najvažnijih figura u geometriji. Definicija ugla je data kroz definiciju zraka. Zauzvrat, ideja zraka se ne može dobiti bez poznavanja takvih geometrijskih figura kao što su tačka, ravna linija i ravnina. Stoga, prije upoznavanja sa definicijom ugla, preporučujemo da osvježite teoriju iz odjeljaka i.

Dakle, počećemo od pojmova tačke, prave linije na ravni i ravni.

Hajde da prvo damo definiciju zraka.

Neka nam je data neka prava linija na ravni. Označimo ga slovom a. Neka je O neka tačka prave a . Tačka O dijeli pravu a na dva dijela. Svaki od ovih dijelova zajedno sa tačkom O naziva se greda, a tačka O se zove početak grede. Također možete čuti da se zraka zove poludirektan.

Radi kratkoće i praktičnosti, uvedena je sljedeća oznaka za zrake: zraka se označava ili malim latiničnim slovom (na primjer, zrakom p ili zrakom k), ili sa dva velika sa latiničnim slovima, od kojih prvi odgovara početku zraka, a drugi označava neku tačku ove zrake (na primjer, zraka OA ili zraka CD ). Pokažimo sliku i oznaku zraka na crtežu.

Sada možemo dati prvu definiciju ugla.

Definicija.

Injekcija- ovo je ravna geometrijska figura (to jest, koja u potpunosti leži u određenoj ravni), koja se sastoji od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim porijeklom. Svaki od zraka se zove ugaona strana, zajednički početak strana ugla se zove gornji ugao.

Moguće je da strane ugla čine pravu liniju. Ovaj ugao ima svoje ime.

Definicija.

Ako obje strane ugla leže na istoj pravoj, onda se ugao naziva raspoređeno.

Predstavljamo vam grafičku ilustraciju razvijenog ugla.

Simbol ugla se koristi za označavanje ugla. Ako su stranice ugla označene malim latiničnim slovima (na primjer, jedna strana ugla je k, a druga h), tada se za označavanje ovog ugla nakon ikone ugla ispisuju slova koja odgovaraju stranicama red, a redosled snimanja nije bitan (odnosno ili). Ako su strane ugla označene sa dva velika latinična slova (na primer, jedna strana ugla OA, a druga strana ugla OB), onda se ugao označava na sledeći način: iza znaka ugla su tri slova napisano koje sudjeluju u označavanju stranica kuta, i slovo koje odgovara vrhu kuta, smještenom u sredini (u našem slučaju, kut će biti označen kao ili ). Ako vrh ugla nije vrh nekog drugog ugla, onda se takav ugao može označiti slovom koje odgovara vrhu ugla (na primjer, ). Ponekad možete vidjeti da su uglovi na crtežima označeni brojevima (1, 2, itd.), ovi uglovi su označeni kao i tako dalje. Radi jasnoće, predstavljamo sliku na kojoj su uglovi prikazani i naznačeni.

Bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Štaviše, ako ugao nije razvijen, tada se naziva jedan dio ravnine područje unutrašnjeg ugla, i drugi vanjski kut. Sljedeća slika objašnjava koji dio ravnine odgovara unutrašnjosti ugla, a koji vanjski.

Bilo koji od dva dijela na koje spljošteni ugao dijeli ravan može se smatrati unutrašnjošću spljoštenog ugla.

Definicija unutrašnjosti ugla vodi nas do druge definicije ugla.

Definicija.

Injekcija- ovo je geometrijska figura, koja se sastoji od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem i odgovarajućim unutrašnjim područjem ugla.

Treba napomenuti da je druga definicija ugla stroža od prve, jer sadrži više uslova. Međutim, ne treba odbaciti prvu definiciju ugla, niti odvojeno razmatrati prvu i drugu definiciju ugla. Hajde da objasnimo ovu tačku. Kada mi pričamo o uglu kao geometrijskoj figuri, onda se pod uglom podrazumeva figura sastavljena od dve zrake sa zajedničkim poreklom. Ako je potrebno izvršiti bilo kakvu radnju s ovim uglom (na primjer, mjerenje ugla), tada bi ugao već trebalo shvatiti kao dvije zrake sa zajedničkim ishodištem i unutrašnjim područjem (inače bi nastala dvostruka situacija zbog prisustvo unutrašnjeg i spoljašnjeg regiona ugla).

Dajemo više definicija susjednih i vertikalnih uglova.

Definicija.

Susedni uglovi- to su dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravi ugao.

Iz definicije proizilazi da se susjedni uglovi međusobno nadopunjuju do pravog ugla.

Definicija.

Vertikalni uglovi su dva ugla u kojima su stranice jednog ugla produžeci stranica drugog.

Na slici su prikazani vertikalni uglovi.

Očigledno, dvije linije koje se seku čine četiri para susjednih uglova i dva para vertikalnih uglova.

Poređenje uglova.

U ovom pasusu članka bavićemo se definicijama jednakih i nejednakih uglova, a takođe i u slučaju nejednakih uglova objasnićemo koji se ugao smatra velikim, a koji manjim.

Podsjetimo da se dvije geometrijske figure nazivaju jednakima ako se mogu preklopiti.

Neka nam budu data dva ugla. Hajde da damo obrazloženje koje će nam pomoći da dobijemo odgovor na pitanje: „Jesu li ova dva ugla jednaka ili ne“?

Očigledno, uvijek možemo uskladiti vrhove dva ugla, kao i jednu stranu prvog ugla sa bilo kojom stranom drugog ugla. Kombinirajmo stranu prvog ugla sa stranom drugog ugla tako da preostale strane uglova budu na istoj strani ravne linije na kojoj leže kombinovane strane uglova. Zatim, ako su druge dvije strane uglova poravnate, onda se uglovi pozivaju jednaka.

Ako se druge dvije strane uglova ne podudaraju, onda se uglovi nazivaju nejednako, i manji ugao se smatra dijelom drugog ( veliki je ugao koji u potpunosti sadrži drugi ugao).

Očigledno, dva ravna ugla su jednaka. Takođe je očigledno da je razvijeni ugao veći od bilo kog nerazvijenog ugla.

Merenje ugla.

Merenje ugla se zasniva na poređenju izmerenog ugla sa uglom uzetim kao jedinicom mere. Proces mjerenja uglova izgleda ovako: počevši od jedne od strana mjerenog ugla, njegovo unutrašnje područje se uzastopno popunjava pojedinačnim uglovima, čvrsto ih slažući jedan na drugi. Istovremeno se pamti broj naslaganih uglova, što daje meru izmerenog ugla.

Zapravo, bilo koji ugao se može uzeti kao jedinica mjere za uglove. Međutim, postoje mnoge općeprihvaćene jedinice za mjerenje uglova koje se odnose na različite oblasti nauke i tehnologije, koje su dobile posebna imena.

Jedna od jedinica za mjerenje uglova je stepen.

Definicija.

jedan stepen je ugao jednak stoosamdesetom dijelu ispravljenog ugla.

Stepen je označen simbolom "", dakle, jedan stepen je označen kao.

Dakle, u razvijenom uglu, možemo uklopiti 180 uglova u jedan stepen. Izgledat će kao pola okrugle pite izrezane na 180 jednakih komada. Vrlo važno: "komadi pite" čvrsto pristaju jedan uz drugi (odnosno, strane uglova su poravnate), pri čemu je strana prvog ugla poravnata sa jednom stranom spljoštenog ugla, a strana zadnjeg ugla jedinice poklopila s drugom stranom spljoštenog ugla.

Prilikom mjerenja uglova utvrđuje se koliko puta stepen (ili druga mjerna jedinica uglova) stane u izmjereni ugao dok se unutrašnja površina izmjerenog ugla potpuno ne pokrije. Kao što smo već videli, u razvijenom uglu stepen se uklapa tačno 180 puta. Ispod su primjeri uglova u kojima se ugao od jednog stepena uklapa tačno 30 puta (takav ugao je šestina pravog ugla) i tačno 90 puta (pola pravog ugla).

Da biste izmjerili uglove manje od jednog stepena (ili druge mjerne jedinice uglova) iu slučajevima kada se ugao ne može izmjeriti cijelim brojem stupnjeva (uzete mjerne jedinice), morate koristiti dijelove stepena (dijelove uzetih mjerne jedinice). Pojedini dijelovi diplome dobili su posebna imena. Najčešći su takozvani minuti i sekunde.

Definicija.

Minuta je jedna šezdesetina stepena.

Definicija.

Sekunda je šezdeseti dio minute.

Drugim riječima, postoji šezdeset sekundi u minuti i šezdeset minuta (3600 sekundi) u stepenu. Simbol "" se koristi za označavanje minuta, a simbol "" se koristi za označavanje sekundi (ne brkati sa znakovima izvoda i drugog izvoda). Zatim, sa uvedenim definicijama i notacijom, imamo , a ugao u koji 17 stepeni 3 minuta i 59 sekundi stane može se označiti kao .

Definicija.

Stepen mjera ugla naziva se pozitivan broj, koji pokazuje koliko puta se stepen i njegovi dijelovi uklapaju u dati ugao.

Na primjer, stepen stepena ispravljenog ugla je sto osamdeset, a stepen stepena ugla je .

Za mjerenje uglova postoje posebni mjerni instrumenti, od kojih je najpoznatiji kutomjer.

Ako su poznate i oznaka ugla (na primjer) i njegova mjera stepena (neka 110), tada koristite kratku notaciju oblika i recite: "Ugao AOB je sto deset stepeni."

Iz definicija ugla i stepena mere ugla sledi da se u geometriji mera ugla u stepenima izražava realnim brojem iz intervala (0, 180] (u trigonometriji uglovi sa proizvoljnom stepenom mere se smatraju, nazivaju se).Ugao od devedeset stepeni ima poseban naziv, zove se pravi ugao. Ugao manji od 90 stepeni se naziva oštar ugao. Ugao veći od devedeset stepeni se naziva tupi ugao. Dakle, mera oštrog ugla u stepenima izražava se brojem iz intervala (0, 90), mera tupog ugla - brojem iz intervala (90, 180), pravi ugao je jednak devedeset stepeni. Dajemo ilustracije oštrog ugla, tupog ugla i pravi ugao.

Iz principa mjerenja uglova proizilazi da su stepenove mjere jednakih uglova iste, stepen mjera većeg ugla veća od stepena mjere manjeg, a stepen mjera ugla koji se sastoji od više uglova. jednak je zbiru stepena mera komponentnih uglova. Na slici ispod prikazan je ugao AOB, koji se sastoji od uglova AOC, COD i DOB, dok .

dakle, zbir susednih uglova je sto osamdeset stepeni, budući da formiraju pravi ugao.

Iz ove tvrdnje slijedi da . Zaista, ako su uglovi AOB i COD vertikalni, onda su uglovi AOB i BOC susedni, a uglovi COD i BOC su takođe susedni, dakle važe jednakosti i iz kojih sledi jednakost.

Zajedno sa stepenom naziva se i zgodna jedinica za mjerenje uglova radian. Radijanska mjera se široko koristi u trigonometriji. Hajde da definišemo radijan.

Definicija.

Jedan radijanski ugao- Ovo centralni ugao, što odgovara dužini luka, jednakoj dužini polumjera odgovarajućeg kruga.

Dajemo grafičku ilustraciju ugla od jednog radijana. Na crtežu je dužina poluprečnika OA (kao i poluprečnik OB) jednaka dužini luka AB, pa je po definiciji ugao AOB jednak jednom radijanu.

Skraćenica "rad" koristi se za označavanje radijana. Na primjer, pisanje 5 rad znači 5 radijana. Međutim, u pisanoj formi, oznaka "rad" se često izostavlja. Na primjer, kada je napisano da je ugao jednak pi, to znači pi rad.

Posebno treba napomenuti da vrijednost ugla, izražena u radijanima, ne ovisi o dužini polumjera kruga. To je zbog činjenice da su figure omeđene datim kutom i luk kruga sa središtem na vrhu datog ugla slični jedni drugima.

Mjerenje uglova u radijanima može se obaviti na isti način kao i mjerenje uglova u stepenima: saznajte koliko puta ugao od jednog radijana (i njegovi dijelovi) stane u dati ugao. I možete izračunati dužinu luka odgovarajućeg centralni ugao, zatim ga podijelite dužinom polumjera.

Za potrebe prakse korisno je znati u kakvom su međusobnom odnosu mjere stepena i radijana, budući da se dosta toga mora izvesti. U ovom članku je uspostavljena veza između stepena i radijanske mjere ugla, te su dati primjeri pretvaranja stupnjeva u radijane i obrnuto.

Označavanje uglova na crtežu.

Na crtežima, radi praktičnosti i jasnoće, uglovi se mogu označiti lukovima, koji se obično crtaju u unutrašnjem dijelu ugla s jedne strane ugla na drugu. Jednaki uglovi označi sa istim brojem lukova, nejednakih uglova - različit iznos lukovi. Pravi uglovi na crtežu su označeni simbolom oblika "", koji je prikazan u unutrašnjem delu pravog ugla od jedne do druge strane ugla.

Ako na crtežu morate označiti mnogo različitih uglova (obično više od tri), tada je pri označavanju uglova, pored običnih lukova, dozvoljeno koristiti i lukove neke posebne vrste. Na primjer, možete prikazati nazubljene lukove ili nešto slično.

Treba napomenuti da se ne biste trebali zanositi označavanjem uglova na crtežima i ne zatrpavati crteže. Preporučujemo označavanje samo onih uglova koji su neophodni u procesu rješavanja ili dokazivanja.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za 7-11 razred obrazovnih ustanova.

Počnimo tako što ćemo definisati šta je ugao. Prvo, to je Drugo, formiraju ga dvije zrake, koje se nazivaju strane ugla. Treće, potonji izlaze iz jedne tačke, koja se zove vrh ugla. Na osnovu ovih znakova možemo dati definiciju: ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije zrake (stranice) koje izlaze iz jedne tačke (temena).

Klasificirani su po stupnjevima, po lokaciji u odnosu jedan prema drugom i u odnosu na krug. Počnimo s vrstama uglova prema njihovoj veličini.

Ima ih nekoliko varijanti. Pogledajmo pobliže svaku vrstu.

Postoje samo četiri glavne vrste uglova - pravi, tupi, oštar i razvijeni ugao.

Pravo

izgleda ovako:

Njegova mjera stepena je uvijek 90 o, drugim riječima, pravi ugao je ugao od 90 stepeni. Imaju ih samo četverouglovi kao što su kvadrat i pravougaonik.

Blunt

izgleda ovako:

Mera stepena je uvek veća od 90 stepeni, ali manja od 180 stepeni. Može se pojaviti u četvorouglovima kao što su romb, proizvoljni paralelogram, u poligonima.

Začinjeno

izgleda ovako:

Mera stepena oštrog ugla je uvek manja od 90°. Javlja se u svim četverokutima, osim u kvadratu i proizvoljnom paralelogramu.

raspoređeno

Prošireni ugao izgleda ovako:

Ne javlja se u poligonima, ali nije ništa manje važno od svih ostalih. Pravi ugao je geometrijska figura čija je mjera stepena uvijek 180º. Možete graditi na njemu crtanjem jedne ili više zraka iz njegovog vrha u bilo kojem smjeru.

Postoji nekoliko drugih sekundarnih tipova uglova. Ne izučavaju se u školama, ali je potrebno znati barem o njihovom postojanju. Postoji samo pet sekundarnih tipova uglova:

1. Nula

izgleda ovako:

Već sam naziv ugla govori o njegovoj veličini. Njegova unutrašnja površina je 0 o, a stranice leže jedna na drugu kao što je prikazano na slici.

2. Kosi

Kosi može biti ravan, tup, oštar i razvijen ugao. Njegov glavni uslov je da ne bude jednak 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveksna

Konveksni su nulti, pravi, tupi, oštri i razvijeni uglovi. Kao što ste već shvatili, mjera stepena konveksnog ugla je od 0 o do 180 o.

4. Nekonveksna

Nekonveksni su uglovi sa stepenom od 181 o do 359 o uključujući.

5. Pun

Potpuni ugao je 360 ​​stepeni.

To su sve vrste uglova prema njihovoj veličini. Sada razmotrite njihove tipove prema lokaciji u ravnini u odnosu jedan na drugi.

1. Dodatni

To su dva oštra ugla koji čine jednu pravu liniju, tj. njihov zbir je 90 o.

2. Povezano

Susjedni uglovi nastaju ako se zrak povuče u bilo kojem smjeru kroz raspoređeni, tačnije, kroz njegov vrh. Njihov zbir je 180 o.

3. Vertikalno

Vertikalni uglovi nastaju kada se dve prave seku. Njihove mjere stepena su jednake.

Sada pređimo na vrste uglova koji se nalaze u odnosu na krug. Ima ih samo dva: centralna i upisana.

1. Central

Centralni ugao je onaj sa vrhom u centru kružnice. Njegova mjera stepena jednaka je mjeri stepena manjeg luka savijenog stranicama.

2. Upisano

Upisani ugao je onaj čiji vrh leži na kružnici i čije stranice ga sijeku. Njegova mjera stepena jednaka je polovini luka na kojem počiva.

Sve je u uglovima. Sada znate da pored najpoznatijih - oštrih, tupih, ravnih i raspoređenih - u geometriji postoje mnoge druge vrste njih.

Ugao je glavna geometrijska figura, koju ćemo analizirati kroz cijelu temu. Definicije, metode postavljanja, označavanje i mjerenje ugla. Hajde da analiziramo principe odabira uglova na crtežima. Cijela teorija je ilustrovana i ima veliki broj vizuelni crteži.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Injekcija- jednostavna važna figura u geometriji. Ugao direktno zavisi od definicije zraka, koji se zauzvrat sastoji od osnovnih pojmova tačke, prave i ravni. Za temeljno proučavanje, potrebno je da se udubite u teme prava linija u ravni - potrebne informacije i avion - potrebne informacije.

Koncept ugla počinje pojmovima tačke, ravni i prave linije prikazane na ovoj ravni.

Definicija 2

Zadata je prava a na ravni. Označimo neku tačku O na njoj. Prava je podijeljena tačkom na dva dijela, od kojih svaki ima ime zraka, a tačka O je start beam.

Drugim riječima, greda ili polucrta - to je dio prave koji se sastoji od tačaka date prave, smještene na istoj strani u odnosu na početnu tačku, odnosno tačku O.

Označavanje grede je dozvoljeno u dvije varijacije: jedno malo ili dva velika slova latinice. Kada se označava sa dva slova, greda ima ime koje se sastoji od dva slova. Pogledajmo pobliže crtež.

Pređimo na koncept definiranja ugla.

Definicija 3

Injekcija- ovo je lik koji se nalazi u datoj ravni, formiran od dvije neusklađene zrake koje imaju zajedničko porijeklo. bočni ugao je greda vertex- zajednički početak stranaka.

Postoji slučaj kada strane ugla mogu djelovati kao prava linija.

Definicija 4

Kada se obje strane ugla nalaze na istoj pravoj ili njegove stranice služe kao dodatne poluprave jedne prave, tada se takav ugao naziva raspoređeno.

Slika ispod prikazuje spljošteni ugao.

Tačka na pravoj liniji je vrh ugla. Najčešće se označava tačkom O.

Ugao u matematici označava se znakom "∠". Kada su stranice ugla označene malom latinicom, tada se za ispravnu definiciju ugla slova pišu u nizu, odnosno prema stranicama. Ako su dvije stranice označene k i h, tada se ugao označava kao ∠ k h ili ∠ h k .

Kada postoji oznaka velikim slovima, tada, respektivno, strane ugla imaju nazive O A i O B. U ovom slučaju, ugao ima naziv od tri slova latinice, ispisana u nizu, u sredini sa vrhom - ∠ A O B i ∠ B O A . Postoji oznaka u obliku brojeva kada uglovi nemaju imena ili slova. Ispod je slika gdje Različiti putevi uglovi su označeni.

Ugao dijeli ravan na dva dijela. Ako ugao nije razvijen, tada jedan dio ravni ima ime područje unutrašnjeg ugla, drugi - područje vanjskog ugla. Ispod je slika koja objašnjava koji su dijelovi ravni vanjski, a koji unutrašnji.

Kada se na ravni podijeli pravim uglom, bilo koji njegov dio smatra se unutrašnjošću pravog ugla.

Unutrašnja površina ugla je element koji služi za drugu definiciju ugla.

Definicija 5

kutak naziva se geometrijska figura koja se sastoji od dvije nepodudarne zrake, koje imaju zajedničko porijeklo i odgovarajuću unutrašnju površinu ugla.

Ova definicija je rigoroznija od prethodne, jer ima više uslova. Nije preporučljivo razmatrati obje definicije odvojeno, jer je ugao geometrijska figura transformirana pomoću dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke. Kada je potrebno izvršiti radnje sa uglom, tada definicija znači prisustvo dva zraka sa zajedničkim ishodištem i unutrašnjom regijom.

Definicija 6

Dva ugla se zovu povezani, ako postoji zajednička stranica, a druge dvije su komplementarne poluprave ili čine pravi ugao.

Slika pokazuje da se susjedni uglovi međusobno nadopunjuju, budući da su nastavak jedan drugog.

Definicija 7

Dva ugla se zovu vertikalno, ako su strane jedne komplementarne poluprave druge ili su produžeci stranica druge. Slika ispod prikazuje sliku okomitih uglova.

Prilikom ukrštanja linija dobijaju se 4 para susjednih i 2 para vertikalnih uglova. Ispod je prikazano na slici.

U članku su prikazane definicije jednakih i nejednakih uglova. Analiziraćemo koji se ugao smatra velikim, koji manji i druga svojstva ugla. Dvije figure se smatraju jednakim ako se, kada su postavljene, potpuno poklapaju. Isto svojstvo vrijedi i za poređenje uglova.

Zadana dva ugla. Potrebno je doći do zaključka da li su ovi uglovi jednaki ili ne.

Poznato je da se vrhovi dva ugla i strana prvog ugla preklapaju sa bilo kojom drugom stranom drugog. Odnosno, u slučaju potpune podudarnosti, kada se uglovi preklapaju, stranice datih uglova će se potpuno poklopiti, uglovi jednaka.

Može biti da se pri superponiranju strane ne mogu kombinirati, a zatim uglovi nejednak, manji od kojih se sastoji od drugog, i više uključuje potpuno drugi ugao. Ispod su nejednaki uglovi koji nisu poravnati kada su superponirani.

Razvijeni uglovi su jednaki.

Mjerenje uglova počinje mjerenjem stranice mjerenog ugla i njegovog unutrašnjeg područja, ispunjavajući ga jediničnim uglovima, apliciraju jedni na druge. Potrebno je izbrojati broj naslaganih uglova, oni unaprijed određuju mjeru izmjerenog ugla.

Jedinica za ugao se može izraziti u bilo kojem mjerljivom kutu. Postoje općeprihvaćene mjerne jedinice koje se koriste u nauci i tehnologiji. Specijalizirani su za druge naslove.

Najčešći koncept stepen.

Definicija 8

jedan stepen naziva se ugao koji ima sto osamdeseti deo ispravljenog ugla.

Standardna notacija za stepen je "°", tada je jedan stepen 1°. Dakle, pravi ugao se sastoji od 180 takvih uglova, koji se sastoje od jednog stepena. Svi dostupni uglovi su čvrsto naslagani jedan uz drugi, a strane prethodnog su poravnate sa sljedećim.

Poznato je da je broj stepeni u uglu ista mjera ugla. Razvijeni kutak u svom sastavu ima 180 naslaganih uglova. Na slici ispod prikazani su primjeri gdje je kut položen 30 puta, odnosno jedna šestina proširenog, i 90 puta, odnosno polovina.

Minute i sekunde koriste se za precizno određivanje mjerenja ugla. Koriste se kada vrijednost ugla nije oznaka cijelog broja. Takvi dijelovi diplome vam omogućavaju da izvršite preciznije proračune.

Definicija 9

minuta zove se jedna šezdesetina stepena.

Definicija 10

sekunda zove jednu šezdesetu minuta.

Jedan stepen sadrži 3600 sekundi. Minute označavaju """, a sekunde """. Označavanje se odvija:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

a oznaka za ugao od 17 stepeni 3 minuta i 59 sekundi je 17° 3 "59"".

Definicija 11

Navedimo primjer mjerenja stepena kuta jednakog 17 ° 3 "59" ". Unos ima drugi oblik 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Za precizno mjerenje uglova koristite ovo mjerni uređaj kao kutomjer. Prilikom označavanja ugla ∠ A O B i njegove mjere stepena od 110 stepeni, koristi se prikladnija notacija ∠ A O B \u003d 110 °, koja glasi "Ugao A O B jednak je 110 stepeni."

U geometriji se koristi mera ugla iz intervala (0 , 180 ], a u trigonometriji se mera proizvoljnog stepena naziva uglovi okretanja. Vrijednost uglova se uvijek izražava kao realan broj. Pravi ugao je ugao koji ima 90 stepeni. Oštar ugao je ugao koji je manji od 90 stepeni, i tup- više.

Oštar ugao se meri u intervalu (0, 90) , a tupi ugao - (90, 180) . Tri vrste uglova su jasno prikazane ispod.

Bilo koja mjera stepena bilo kojeg ugla ima istu vrijednost. Veći ugao, odnosno, ima veću mjeru stepena od manjeg. Mera stepena jednog ugla je zbir svih dostupnih stepenskih mera unutrašnjih uglova. Na slici ispod prikazan je ugao AOB, koji se sastoji od uglova AOC, COD i DOB. Detaljno, to izgleda ovako: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Na osnovu ovoga se može zaključiti da suma sve susjedni uglovi je 180 stepeni jer svi oni čine prošireni ugao.

Iz ovoga slijedi da bilo koji vertikalni uglovi su jednaki. Ako ovo razmotrimo na primjeru, dobijamo da su ugao A O B i C O D vertikalni (na crtežu), tada se parovi uglova A O B i B O C, C O D i B O C smatraju susjednim. U tom slučaju, jednakost ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° zajedno sa ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° se smatra jedinstveno tačnom. Otuda imamo da je ∠ A O B = ∠ C O D . Ispod je primjer slike i oznake vertikalnih hvataljki.

Osim stepeni, minuta i sekundi, koristi se još jedna mjerna jedinica. To se zove radian. Najčešće se može naći u trigonometriji pri označavanju uglova poligona. Ono što se zove radijan.

Definicija 12

Jedan radijanski ugao zove se centralni ugao, koji ima poluprečnik kružnice jednak dužini luka.

Na slici je radijan prikazan kao kružnica, u kojoj se nalazi centar, označen tačkom, sa dve tačke na krugu povezane i pretvorene u poluprečnike O A i O B. Po definiciji, ovaj trougao A O B je jednakostraničan, što znači da je dužina luka A B jednaka dužinama poluprečnika O B i Oh A.

Oznaka ugla se uzima kao "rad". To jest, unos u 5 radijana je skraćen kao 5 rad. Ponekad možete pronaći oznaku koja ima ime pi. Radijani ne ovise o dužini datog kruga, jer figure imaju neku vrstu ograničenja uz pomoć ugla i njegovog luka sa centrom koji se nalazi na vrhu datog ugla. Smatraju se sličnima.

Radijani imaju isto značenje kao i stepeni, samo što je razlika u njihovoj veličini. Da biste to odredili, potrebno je izračunatu dužinu luka središnjeg ugla podijeliti dužinom njegovog polumjera.

U praksi koriste pretvoriti stepene u radijane i radijane u stepeni radi lakšeg rješavanja problema. Navedeni članak sadrži informacije o povezanosti mjere stepena i radijana, gdje možete detaljno proučiti prijevode iz stepena u radijan i obrnuto.

Za vizuelno i praktično prikazivanje lukova, uglova, crteža se koriste. Nije uvijek moguće ispravno prikazati i označiti određeni ugao, luk ili ime. Jednaki uglovi imaju oznaku u obliku istog broja lukova, a nejednaki u obliku različitih. Na crtežu je prikazana ispravna oznaka oštrih, jednakih i nejednakih uglova.

Kada je potrebno označiti više od 3 ugla, koriste se posebne oznake luka, kao što su valoviti ili nazubljeni. Nije toliko bitno. Na slici ispod prikazana je njihova oznaka.

Označavanje uglova treba biti jednostavno kako ne bi ometalo druge vrijednosti. Prilikom rješavanja problema preporučuje se odabir samo uglova potrebnih za rješavanje kako ne biste zatrpali cijeli crtež. To neće ometati rješenje i dokaz, a također će dati estetski izgled crtežu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter