Kvadratni qanday chiqarish kerak. Kvadrat ildiz. Kvadrat ildizlar bilan amallar. Modul. Kvadrat ildizlarni solishtirish

Hisoblash (yoki qazib olish) kvadrat ildiz bir necha usulda ishlab chiqarilishi mumkin, lekin ularning barchasini juda oddiy deb bo'lmaydi. Albatta, kalkulyator yordamiga murojaat qilish osonroq. Ammo buning iloji bo'lmasa (yoki kvadrat ildizning mohiyatini tushunmoqchi bo'lsangiz), men sizga quyidagi yo'ldan borishni maslahat beraman, uning algoritmi quyidagicha:

Agar sizda bunday uzoq hisob-kitoblar uchun kuchingiz, xohishingiz yoki sabr-toqatingiz bo'lmasa, siz qo'pol tanlovga murojaat qilishingiz mumkin, uning ortiqcha tomoni shundaki, u juda tez va kerakli zukkolik bilan aniq. Misol:

Men maktabda bo'lganimda (60-yillarning boshlarida) bizga istalgan sonning kvadrat ildizini olishni o'rgatishgan. Texnika oddiy, tashqi ko'rinishidan ustun bo'linishiga o'xshaydi, lekin uni bu erda bayon qilish uchun yarim soat vaqt va 4-5 ming belgidan iborat matn kerak bo'ladi. Lekin nima uchun bu sizga kerak? Telefoningiz yoki boshqa gadjetingiz bormi, nm da kalkulyator bor. Har bir kompyuterda kalkulyator mavjud. Shaxsan men Excelda bunday hisob-kitob qilishni afzal ko'raman.

Ko'pincha maktabda kvadrat ildizlarni topish talab qilinadi turli raqamlar. Ammo agar biz buning uchun har doim kalkulyatordan foydalanishga odatlangan bo'lsak, imtihonlarda bunday imkoniyat bo'lmaydi, shuning uchun siz kalkulyator yordamisiz ildizni qanday izlashni o'rganishingiz kerak. Va printsipial jihatdan buni qilish mumkin.

Algoritm bu:

Avval raqamingizning oxirgi raqamiga qarang:

Misol uchun,

Endi siz eng chap guruhdan ildiz uchun taxminan qiymatni aniqlashingiz kerak

Agar raqam ikkitadan ortiq guruhga ega bo'lsa, unda siz quyidagi kabi ildizni topishingiz kerak:

Ammo keyingi raqam eng katta bo'lishi kerak, siz uni shunday olishingiz kerak:

Endi biz yuqorida olingan qoldiqga keyingi guruhni qo'shib, yangi A raqamini shakllantirishimiz kerak.

Bizning misollarimizda:

Najna ustuni va o'n beshdan ortiq belgi kerak bo'lganda, kompyuterlar va kalkulyatorli telefonlar ko'pincha dam oladi. Uslubning tavsifi 4-5 ming belgini oladimi yoki yo'qligini tekshirish qoladi.

Har qanday raqamni berm, verguldan o'ngga va chapga raqamlar juftligini hisoblaymiz

Masalan, 1234567890.098765432100

Bir juft raqam ikki xonali raqamga o'xshaydi. Ikki raqamli raqamning ildizi birga birdir. Biz bitta qiymatni tanlaymiz, uning kvadrati birinchi juft raqamlardan kamroq. Bizning holatlarimizda bu 3.

Ustunga bo'linganda bo'lgani kabi, birinchi juftlik ostida biz bu kvadratni yozamiz va birinchi juftlikdan ayiramiz. Natija tagiga chizilgan. 12 - 9 = 3. Bu farqga ikkinchi raqam juftini qo'shing (u 334 bo'ladi). Bermalar sonining chap tomonida, natijaning allaqachon topilgan qismining ikki barobar qiymati raqam bilan to'ldiriladi (bizda 2 * 6 = 6), shunday qilib, olinmagan raqamga ko'paytirilganda, u shunday bo'ladi. raqamlarning ikkinchi juftligi bilan raqamdan oshmasligi kerak. Biz topilgan raqam besh ekanligini tushunamiz. Yana (9) farqni topamiz, 956 ni olgan keyingi raqamlar juftini yo'q qilamiz, natijaning ikkilangan qismini yana yozamiz (70), yana kerakli raqam bilan to'ldiramiz va u to'xtaguncha davom etamiz. Yoki hisob-kitoblarning kerakli aniqligiga.

Birinchidan, kvadrat ildizni hisoblash uchun siz ko'paytirish jadvalini yaxshi bilishingiz kerak. Ko'pchilik oddiy misollar 25 (5 ga 5 = 25) va hokazo. Agar siz raqamlarni murakkabroq olsangiz, undan foydalanishingiz mumkin bu jadval, bu erda birliklar gorizontal va o'nliklar vertikaldir.



U yerda yaxshi yo'l sonning ildizini kalkulyatorlar yordamisiz qanday topish mumkin. Buning uchun sizga o'lchagich va kompas kerak bo'ladi. Xulosa shuki, siz o'lchagichda ildiz ostidagi qiymatni topasiz. Misol uchun, 9 ga yaqin belgi qo'ying. Sizning vazifangiz bu raqamni teng miqdordagi segmentlarga, ya'ni har biri 4,5 sm bo'lgan ikkita chiziqqa va teng segmentga bo'lishdir. Oxir-oqibat siz 3 santimetrli 3 ta segmentni olishingizni taxmin qilish oson.

Usul oson emas va katta raqamlar mos emas, lekin u kalkulyatorsiz hisoblanadi.

Kalkulyator yordamida kvadrat ildizni chiqarish usuli o'rgatilgan Sovet davri maktabda 8-sinfda.

Buni amalga oshirish uchun siz o'ngdan chapga ko'p xonali raqamni 2 raqamdan iborat yuzlarga bo'lishingiz kerak :

Ildizning birinchi raqami chap tomonning butun ildizidir, bu holda 5.

31, 31-25=6 dan 5 kvadratni ayirib, oltitaga keyingi yuzni qo'shing, bizda 678 bor.

Keyingi x raqami beshni ikki barobarga chiqarish uchun tanlangan

10x*x maksimal, lekin 678 dan kam edi.

x=6, chunki 106*6=636,

endi biz 678 - 636 = 42 ni hisoblaymiz va keyingi yuzni 92 qo'shamiz, bizda 4292 bor.

Yana biz maksimal x ni qidiramiz, 112x*x lt; 4292.

Javob: ildiz 563

Shunday qilib, siz xohlagancha davom etishingiz mumkin.

Ba'zi hollarda siz ildiz raqamini ikki yoki undan ortiq kvadrat omillarga kengaytirishga harakat qilishingiz mumkin.

Jadvalni (yoki hech bo'lmaganda uning bir qismini) - 10 dan 99 gacha bo'lgan natural sonlarning kvadratlarini eslab qolish ham foydalidir.



Men ixtiro qilgan ustunga kvadrat ildizni chiqarish variantini taklif qilaman. Raqamlarni tanlashdan tashqari, taniqli bo'lganlardan farq qiladi. Ammo keyinroq bilganimdek, bu usul Men tug'ilishimdan ko'p yillar oldin allaqachon mavjud edi. Buyuk Isaak Nyuton buni o'zining "Umumiy arifmetika" kitobida yoki arifmetik sintez va analiz kitobida tasvirlab bergan. Shunday qilib, men Nyuton usulining algoritmi uchun o'z qarashlarimni va mantiqiy asosimni taqdim etaman. Algoritmni yodlash shart emas. Agar kerak bo'lsa, rasmdagi diagrammani vizual yordam sifatida ishlatishingiz mumkin.







Jadvallar yordamida siz hisoblay olmaysiz, lekin kvadrat ildizlarni faqat jadvaldagi raqamlardan topasiz. Ildizlarni hisoblashning eng oson usuli - bu nafaqat kvadrat, balki ketma-ket yaqinlashish usuli bilan boshqa darajalar. Masalan, biz 10739 ning kvadrat ildizini hisoblaymiz, oxirgi uchta raqamni nolga almashtiramiz va 10000 ning ildizini chiqaramiz, biz 100 ni kamchilik bilan olamiz, shuning uchun biz 102 raqamini olamiz va uning kvadratini olamiz, biz 10404 ni olamiz, bu ham kamroq. ko'rsatilganidan ko'ra, biz yana 103*103=10609 ni kamchiligimiz bilan olamiz, biz 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25 ni olamiz, bundan ham ko'proq 103,6 * 103,6 \u003d 10732 ni olamiz, biz allaqachon * 10107,3da * 10107,3d ni olamiz. ortiqcha. Taxminan 103,6 ga teng bo'lish uchun 10739 kvadrat ildizini olishingiz mumkin. Aniqrog'i 10739=103,629... . . Xuddi shunday, biz kub ildizini hisoblaymiz, birinchi navbatda 10000 dan biz taxminan 25 * 25 * 25 = 15625 ni olamiz, bu ortiqcha, biz 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648 ni olamiz, biz 22.06 * 22.06 dan bir oz ko'proq olamiz. * 22.06 = 10735, bu berilganga juda yaqin.

ildiz n natural sonning th darajasi a raqam chaqiriladi n kuchi kimga teng a. Ildiz quyidagicha belgilanadi: . √ belgisi chaqiriladi ildiz belgisi yoki radikalning belgisi, raqam a - ildiz raqami, n - ildiz darajasi.

Berilgan darajaning ildizi topiladigan harakat deyiladi ildiz chiqarish.

Chunki, ildiz tushunchasining ta'rifiga ko'ra n th daraja

keyin ildiz chiqarish- harakat, kuchga ko'tarishga qarama-qarshi bo'lib, uning yordamida berilgan daraja va berilgan ko'rsatkich uchun daraja asosi topiladi.

Kvadrat ildiz

Raqamning kvadrat ildizi a kvadrati bo'lgan sondir a.

Kvadrat ildizni hisoblash operatsiyasi kvadrat ildiz olish deb ataladi.

Kvadrat ildizni ajratib olish- kvadratga solishning teskari harakati (yoki sonni ikkinchi darajaga ko'tarish). Raqamni kvadratga solishda siz uning kvadratini topishingiz kerak. Kvadrat ildizni chiqarishda sonning kvadrati ma'lum, undan raqamning o'zini topish talab qilinadi.

Shuning uchun, bajarilgan harakatning to'g'riligini tekshirish uchun siz topilgan ildizni ikkinchi darajaga ko'tarishingiz mumkin va agar daraja ildiz raqamiga teng bo'lsa, unda ildiz to'g'ri topilgan.

Kvadrat ildizni ajratib olishni va uni misol bilan tekshirishni ko'rib chiqing. Biz hisoblaymiz yoki (qiymati 2 bo'lgan ildiz darajasi odatda yozilmaydi, chunki 2 eng kichik ko'rsatkichdir va esda tutish kerakki, agar ildiz belgisidan yuqori ko'rsatkich bo'lmasa, u holda 2 ko'rsatkichi nazarda tutiladi), buning uchun bizga kerak raqamni topish uchun ikkinchi darajaga ko'tarilganda daraja 49 bo'ladi. Shubhasiz, bu raqam 7 ga teng, chunki

7 7 = 7 2 = 49.

Kvadrat ildizni hisoblash

Agar berilgan raqam 100 yoki undan kam bo'lsa, uning kvadrat ildizini ko'paytirish jadvali yordamida hisoblash mumkin. Masalan, 25 ning kvadrat ildizi 5 ga teng, chunki 5 x 5 = 25.

Endi har qanday sonning kvadrat ildizini kalkulyatordan foydalanmasdan topish usulini ko'rib chiqing. Misol uchun, 4489 raqamini olaylik va bosqichma-bosqich hisoblashni boshlaymiz.

1. Keling, kerakli ildiz qaysi raqamlardan iborat bo'lishi kerakligini aniqlaylik. 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 va 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000 bo'lgani uchun, kerakli ildiz 10 dan katta va 100 dan kam bo'lishi kerakligi aniq bo'ladi, ya'ni. oʻnlik va birlikdan iborat.
2. Ildizning o'nlab sonini toping. O'nliklarni ko'paytirganda yuzlar hosil bo'ladi, bizning raqamimiz 44, shuning uchun ildizda shunchalik ko'p o'nliklar bo'lishi kerakki, o'nliklarning kvadrati taxminan 44 yuzlikni beradi. Shuning uchun, ildizda 6 o'nlik bo'lishi kerak, chunki 60 2 \u003d 3600 va 70 2 \u003d 4900 (bu juda ko'p). Shunday qilib, biz ildizimiz 60 dan 70 gacha bo'lganligi sababli 6 o'nlik va bir nechta o'z ichiga olganligini aniqladik.
3. Ko'paytirish jadvali ildizdagi birliklar sonini aniqlashga yordam beradi. 4489 raqamiga qarasak, undagi oxirgi raqam 9 ekanligini ko'ramiz. Endi biz ko'paytirish jadvaliga qaraymiz va 9 birlikni faqat 3 va 7 raqamlarini kvadratga olish orqali olish mumkinligini ko'ramiz. Demak, sonning ildizi 63 bo'ladi. yoki 67.
4. Biz 63 va 67 raqamlarini kvadratga solish orqali tekshiramiz: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Talabalar doimo so'rashadi: “Nega men matematika imtihonida kalkulyatordan foydalana olmayman? Kalkulyatorsiz raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin? Keling, bu savolga javob berishga harakat qilaylik.

Kalkulyator yordamisiz raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin?

Harakat kvadrat ildizni ajratib olish kvadratga solishning teskarisi.

√81= 9 9 2 =81

Agar musbat sonning kvadrat ildizini olsak va natijani kvadratga aylantirsak, biz bir xil sonni olamiz.

Natural sonlarning aniq kvadratlari bo'lgan kichik sonlardan, masalan, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kvadrat ildizlarni og'zaki ravishda ajratib olish mumkin. Odatda maktabda ular yigirmagacha natural sonlar kvadratlari jadvalini o'rgatishadi. Ushbu jadvalni bilgan holda, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 raqamlaridan kvadrat ildizlarni ajratib olish oson. 400 dan katta raqamlardan siz ba'zi maslahatlar yordamida tanlash usuli yordamida chiqarib olishingiz mumkin. Keling, ushbu usulni ko'rib chiqish uchun bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol: 676 raqamining ildizini chiqaring.

Biz 20 2 \u003d 400 va 30 2 \u003d 900 ekanligini e'tiborga olamiz, bu 20 ni bildiradi.< √676 < 900.

Natural sonlarning aniq kvadratlari 0 bilan tugaydi; bitta; 4; 5; 6; to'qqiz.
6 raqami 4 2 va 6 2 bilan berilgan.
Shunday qilib, agar ildiz 676 dan olingan bo'lsa, u 24 yoki 26 bo'ladi.

Tekshirish uchun qoladi: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Javob: √676 = 26 .

Ko'proq misol: √6889 .

80 2 \u003d 6400 va 90 2 \u003d 8100 dan beri, keyin 80< √6889 < 90.
9 raqami 3 2 va 7 2 bilan berilgan, keyin √6889 83 yoki 87 bo'ladi.

Tekshiring: 83 2 = 6889.

Javob: √6889 = 83 .

Agar tanlov usuli bilan yechish qiyin bo'lsa, unda siz ildiz ifodasini faktorlarga ajratishingiz mumkin.

Misol uchun, √893025 ni toping.

Keling, 893025 sonini faktorlarga ajratamiz, esda tuting, siz buni oltinchi sinfda qilgansiz.

Biz olamiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Ko'proq misol: √20736. 20736 sonini faktorlarga ajratamiz:

Biz √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 ni olamiz.

Albatta, faktoring bo'linish mezonlari va faktoring ko'nikmalarini bilishni talab qiladi.

Va nihoyat, bor kvadrat ildiz qoidasi. Keling, ushbu qoidani misol bilan ko'rib chiqaylik.

√279841 ni hisoblang.

Ko'p xonali butun sonning ildizini olish uchun biz uni o'ngdan chapga har birida 2 ta raqamdan iborat yuzlarga ajratamiz (chap ekstremal yuzda bitta raqam bo'lishi mumkin). 27'98'41 shunday yozing

Ildizning birinchi raqamini (5) olish uchun biz birinchi chap yuzdagi (27) eng katta aniq kvadratning kvadrat ildizini chiqaramiz.
Keyin ildizning birinchi raqamining kvadrati (25) birinchi yuzdan ayiriladi va keyingi yuz (98) farqga tegishli (buziladi).
Qabul qilingan 298 raqamining chap tomonida ular ildizning ikki raqamini (10) yozadilar, unga ilgari olingan sonning barcha o'ntaliklari soniga bo'linadilar (29/2 ≈ 2), qismni boshdan kechiradilar (102 ∙ 2 = 204 298 dan oshmasligi kerak va ildizning birinchi raqamidan keyin (2) yozing.
Keyin hosil bo'lgan 204 bo'lak 298 dan ayiriladi va keyingi faset (41) farqga (94) tegishli (buziladi).
Olingan 9441 raqamining chap tomonida ular ildiz raqamlarining ikki barobar ko'paytmasini yozadilar (52 ∙ 2 = 104), ushbu mahsulotga 9441 (944/104 ≈ 9) sonining barcha o'nliklari sonini bo'linadi, tajriba. qism (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 bo'lishi kerak va uni ildizning ikkinchi raqamidan keyin (9) yozing.

Biz javob oldik √279841 = 529.

Xuddi shunday ekstrakti o'nliklarning ildizlari. Vergul yuzlar orasida bo'lishi uchun faqat radikal raqam yuzlarga bo'linishi kerak.

Misol. √0,00956484 qiymatini toping.

Faqat buni eslab qolishingiz kerak, agar kasr Unda bor toq raqam kasrlar, undan aniq kvadrat ildiz chiqarilmaydi.

Shunday qilib, endi siz ildizni olishning uchta usulini ko'rdingiz. Sizga eng mos keladiganini tanlang va mashq qiling. Muammolarni qanday hal qilishni o'rganish uchun siz ularni hal qilishingiz kerak. Va agar sizda biron bir savol bo'lsa, .

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.

1-fakt.
\(\ bullet\) Bir oz olmang manfiy raqam\(a\) (ya'ni \(a\geqslant 0\) ). Keyin (arifmetik) kvadrat ildiz\(a\) raqamidan shunday manfiy bo'lmagan \(b\) son chaqiriladi, uning kvadratiga aylanganda \(a\) raqamini olamiz: \[\sqrt a=b\quad \matn(bir xil )\quad a=b^2\] Ta'rifdan kelib chiqadiki \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ushbu cheklovlar kvadrat ildizning mavjudligi uchun muhim shartdir va esda tutish kerak!
Eslatib o'tamiz, har qanday raqam kvadratga aylantirilganda manfiy bo'lmagan natija beradi. Ya'ni, \(100^2=10000\geqslant 0\) va \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\ bullet\) \(\sqrt(25)\) nima? Biz bilamizki, \(5^2=25\) va \((-5)^2=25\) . Ta'rif bo'yicha biz manfiy bo'lmagan sonni topishimiz kerak, \(-5\) mos emas, shuning uchun \(\sqrt(25)=5\) (chunki \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) qiymatini topish \(a\) sonining kvadrat ildizini olish, \(a\) soni esa ildiz ifodasi deb ataladi.
\(\bullet\) Ta'rifga asoslanib, \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) va h.k. ifodalar. mantiqsiz.

2-fakt.
Tez hisob-kitoblar uchun \(1\) dan \(20\) gacha bo'lgan natural sonlar kvadratlari jadvalini o'rganish foydali bo'ladi: \[\begin(massiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiv)\]

3-fakt.
Kvadrat ildizlar bilan nima qilish mumkin?
\(\ o'q \) Yig'indi yoki farq kvadrat ildizlar Yig'indi yoki farqning kvadrat ildiziga TENG EMAS, ya'ni. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Shunday qilib, agar siz hisoblashingiz kerak bo'lsa, masalan, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , unda dastlab \(\sqrt(25)\) va \(\sqrt) qiymatlarini topishingiz kerak. (49)\ ) va keyin ularni qo'shing. Demak, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Agar \(\sqrt a+\sqrt b\) qo'shilganda \(\sqrt a\) yoki \(\sqrt b\) qiymatlarini topib bo'lmasa, bunday ifoda keyinchalik o'zgartirilmaydi va avvalgidek qoladi. Masalan, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) yig'indisida biz \(\sqrt(49)\) ni topishimiz mumkin - bu \(7\) , lekin \(\sqrt 2\) bo'lishi mumkin emas. har qanday tarzda aylantirilgan, Shuning uchun \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bundan tashqari, bu iborani, afsuski, hech qanday tarzda soddalashtirish mumkin emas.\(\ bullet\) Kvadrat ildizlarning mahsuloti/kvosi ko'paytma/ko'rsatkichning kvadrat ildiziga teng, ya'ni. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (tenglikning ikkala qismi ham mantiqiy bo'lishi sharti bilan)
Misol: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu xossalardan foydalanib, katta sonlarning kvadrat ildizlarini faktoring yordamida topish qulay.
Bir misolni ko'rib chiqing. \(\sqrt(44100)\) ni toping. Chunki \(44100:100=441\) , keyin \(44100=100\cdot 441\) . Boʻlinish mezoniga koʻra \(441\) soni \(9\) ga boʻlinadi (chunki uning raqamlari yigʻindisi 9 va 9 ga boʻlinadi), shuning uchun \(441:9=49\) , ya'ni \(441=9\ cdot 49\) .
Shunday qilib, biz oldik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Keling, \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) ifodasining qisqartmasi) ifodasi misolida kvadrat ildiz belgisi ostida raqamlarni qanday kiritishni ko'rsatamiz. Chunki \(5=\sqrt(25)\) , keyin \ Shuni ham yodda tutingki, masalan,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nega bunday? Keling, 1-misol bilan tushuntiramiz). Siz allaqachon tushunganingizdek, biz \(\sqrt2\) raqamini qandaydir tarzda aylantira olmaymiz. Tasavvur qiling-a, \(\sqrt2\) qandaydir raqam \(a\) . Shunga ko'ra, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifodasi \(a+3a\)dan boshqa narsa emas (bir raqam \(a\) va yana uchta bir xil raqamlar \(a\) ). Va biz bilamizki, bu to'rtta shunday raqamga teng \(a\) , ya'ni \(4\sqrt2\) .

4-fakt.
\(\bullet\) Ba'zi sonning qiymatini topishda ildiz (radikal)ning \(\sqrt () \ \) belgisidan xalos bo'lishning iloji bo'lmasa, "ildizni ajratib bo'lmaydi" deb ko'pincha aytiladi. Masalan, \(16\) raqamini ildizga kiritishingiz mumkin, chunki \(16=4^2\) , shuning uchun \(\sqrt(16)=4\) . Ammo \(3\) raqamidan ildizni ajratib olish, ya'ni \(\sqrt3\) ni topish mumkin emas, chunki kvadrati \(3\) ni beradigan raqam yo'q.
Bunday raqamlar (yoki bunday raqamlar bilan ifodalangan) irratsionaldir. Masalan, raqamlar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) va h.k. mantiqsizdir.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) va hokazo.
\(\bullet\) E'tibor bering, har qanday raqam ratsional yoki irratsional bo'ladi. Va birgalikda hammasi oqilona va hammasi irratsional sonlar nomli to‘plam hosil qiladi haqiqiy (haqiqiy) raqamlar to'plami. Bu to'plam \(\mathbb(R)\) harfi bilan belgilanadi.
Bu shuni anglatadiki, barcha raqamlar mavjud bu daqiqa Biz bilamizki, haqiqiy sonlar deyiladi.

5-fakt.
\(\o'q\) Haqiqiy sonning moduli \(a\) - bu \(a\) nuqtadan \(0\) gacha bo'lgan masofaga teng \(|a|\) manfiy bo'lmagan son. chiziq. Masalan, \(|3|\) va \(|-3|\) 3 ga teng, chunki \(3\) va \(-3\) nuqtalardan \(0\) gacha boʻlgan masofalar bir xil va \(3 \) ga teng.
\(\bullet\) Agar \(a\) manfiy bo'lmagan son bo'lsa, \(|a|=a\) .
Misol: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Agar \(a\) manfiy son bo'lsa, \(|a|=-a\) .
Misol: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ularning ta'kidlashicha, manfiy raqamlar uchun modul minusni, musbat raqamlarni, shuningdek \(0\) raqamini "eydi", modul o'zgarishsiz qoladi.
LEKIN bu qoida faqat raqamlar uchun amal qiladi. Agar sizda modul belgisi ostida noma'lum \(x\) (yoki boshqa noma'lum) bo'lsa, masalan, \(|x|\) , bu haqda biz uning ijobiy, nolga teng yoki salbiy ekanligini bilmaymiz, keyin moduldan qutula olmaymiz. Bunday holda, bu ifoda shunday bo'lib qoladi: \(|x|\) . \(\ bullet\) Quyidagi formulalar amal qiladi: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( taqdim ) a\geqslant 0\] Ko'pincha quyidagi xatoga yo'l qo'yiladi: ular \(\sqrt(a^2)\) va \((\sqrt a)^2\) bir xil ekanligini aytishadi. Bu faqat \(a\) musbat son yoki nol bo'lganda to'g'ri bo'ladi. Ammo agar \(a\) manfiy son bo'lsa, bu to'g'ri emas. Bunday misolni ko'rib chiqishning o'zi kifoya. \(a\) o'rniga \(-1\) raqamini olaylik. Keyin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , lekin \((\sqrt (-1))^2\) ifodasi umuman mavjud emas (chunki u imkonsiz ildiz belgisi ostida salbiy raqamlarni qo'ying!).
Shuning uchun e'tiboringizni \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) ga teng emasligiga qaratamiz! Misol: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\o'ng)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), chunki \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) dan beri \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifodasi juft sonni bildiradi)
Ya'ni, qaysidir darajada bo'lgan sondan ildiz ajratib olinganda, bu daraja ikki barobar kamayadi.
Misol:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (e'tibor bering, agar modul o'rnatilmagan bo'lsa, u holda raqamning ildizi \(-25 ga teng bo'ladi. \) ; lekin biz eslaymizki, ildizning ta'rifiga ko'ra, bu bo'lishi mumkin emas: ildizni ajratib olishda biz doimo ijobiy raqam yoki nol olishimiz kerak)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (chunki juft darajali har qanday son manfiy emas)

6-fakt.
Ikki kvadrat ildizni qanday solishtirish mumkin?
\(\ bullet\) Kvadrat ildizlar uchun to'g'ri: agar \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisol:
1) \(\sqrt(50)\) va \(6\sqrt2\) ni solishtiring. Birinchidan, biz ikkinchi ifodani aylantiramiz \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Shunday qilib, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) qaysi butun sonlar orasida joylashgan?
Chunki \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) va \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) va \(0,5\) ni solishtiring. Faraz qilaylik \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((har ikki tomonga bittasini qo'shing))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \to'rtta\matn((kvadrat ikkala qism))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalangan)\] Biz noto'g'ri tengsizlikni olganimizni ko'ramiz. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri edi va \(\sqrt 2-1<0,5\) .
E'tibor bering, tengsizlikning ikkala tomoniga ma'lum bir son qo'shilishi uning belgisiga ta'sir qilmaydi. Tengsizlikning ikkala qismini musbat songa ko'paytirish/bo'lish ham uning belgisiga ta'sir qilmaydi, lekin manfiy songa ko'paytirish/bo'lish tengsizlik belgisini teskari qiladi!
Tenglama/tengsizlikning ikkala tomonini FAQAT ikkala tomoni manfiy bo'lmagan taqdirdagina kvadratlash mumkin. Masalan, oldingi misoldagi tengsizlikda siz ikkala tomonni kvadratga olishingiz mumkin, tengsizlikda \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\ bullet\) Shuni yodda tuting \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2\taxminan 1,4\\ &\sqrt 3\taxminan 1,7 \end(hizalangan)\] Bu raqamlarning taxminiy ma'nosini bilish raqamlarni solishtirishda sizga yordam beradi! \(\ o'q \) Kvadratchalar jadvalida mavjud bo'lmagan katta sondan ildizni (agar u ajratilgan bo'lsa) ajratib olish uchun avval qaysi "yuzliklar", keyin qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlashingiz kerak. va keyin bu raqamning oxirgi raqamini aniqlang. Keling, misol bilan qanday ishlashini ko'rsatamiz.
\(\sqrt(28224)\) oling. Biz bilamizki, \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) va hokazo. E'tibor bering, \(28224\) \(10\,000\) va \(40\,000\) orasida. Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) \(100\) va \(200\) orasida.
Endi bizning raqamimiz qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlaymiz (masalan, \(120\) va \(130\) ). Kvadratchalar jadvalidan shuni ham bilamizki, \(11^2=121\) , \(12^2=144\) va hokazo, keyin \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Shunday qilib, biz \(28224\) \(160^2\) va \(170^2\) orasida ekanligini ko'ramiz. Shuning uchun \(\sqrt(28224)\) soni \(160\) va \(170\) orasida.
Keling, oxirgi raqamni aniqlashga harakat qilaylik. Keling, kvadratlashtirishda qaysi bir xonali raqamlar oxirida berishini eslaylik \ (4 \) ? Bular \(2^2\) va \(8^2\) . Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) 2 yoki 8 bilan tugaydi. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. \(162^2\) va \(168^2\) ni toping:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Demak, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matematikadan imtihonni adekvat hal qilish uchun, birinchi navbatda, ko'plab teoremalar, formulalar, algoritmlar va boshqalarni kiritadigan nazariy materialni o'rganish kerak.Bir qarashda, bu juda oddiydek tuyulishi mumkin. Biroq, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining nazariyasi har qanday tayyorgarlik darajasiga ega bo'lgan talabalar uchun oson va tushunarli tarzda taqdim etilgan manbani topish, aslida, juda qiyin vazifadir. Maktab darsliklarini har doim ham qo'lda ushlab turish mumkin emas. Va matematikadan imtihon uchun asosiy formulalarni topish hatto Internetda ham qiyin bo'lishi mumkin.

Nega faqat imtihon topshirganlar uchun emas, balki matematikada nazariyani o'rganish juda muhim?

1. Chunki u sizning dunyoqarashingizni kengaytiradi. Matematika bo'yicha nazariy materialni o'rganish dunyoni bilish bilan bog'liq keng ko'lamli savollarga javob olishni istagan har bir kishi uchun foydalidir. Tabiatdagi hamma narsa tartibli va aniq mantiqqa ega. Aynan shu narsa fanda o'z aksini topadi, bu orqali dunyoni tushunish mumkin.
2. Chunki u aqlni rivojlantiradi. Matematikadan imtihon uchun ma'lumotnomalarni o'rganish, shuningdek, turli muammolarni hal qilish, inson mantiqiy fikrlash va fikr yuritishni, fikrlarni to'g'ri va aniq shakllantirishni o'rganadi. U tahlil qilish, umumlashtirish, xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantiradi.

Sizni o'quv materiallarini tizimlashtirish va taqdim etishga bo'lgan yondashuvimizning barcha afzalliklarini shaxsan baholashga taklif qilamiz.

E. I. Ignatiev o‘zining birinchi nashri “Zakovat mulkida” (1908) so‘zboshida shunday yozadi: Matematik bilimlar sohasiga kirish oson va yoqimli tarzda, ob'ektlar va kundalik va kundalik vaziyatlardan namunalar bo'yicha, to'g'ri aql va o'yin-kulgi bilan tanlangandagina natijalar ishonchli bo'ladi.

"Matematikada xotiraning roli" ning 1911 yil nashriga so'zboshida E.I. Ignatiev "...matematikada formulalarni emas, balki fikrlash jarayonini eslab qolish kerak" deb yozadi.

Kvadrat ildizni chiqarish uchun ikki xonali raqamlar uchun kvadratlar jadvallari mavjud, siz raqamni tub omillarga ajratishingiz va mahsulotdan kvadrat ildizni olishingiz mumkin. Kvadratchalar jadvali etarli emas, faktoring orqali ildizni ajratib olish ko'p vaqt talab qiladigan ish bo'lib, u ham har doim kerakli natijaga olib kelmaydi. 209764 raqamining kvadrat ildizini chiqarib ko'ringmi? Asosiy omillarga parchalanish mahsulotga 2 * 2 * 52441 beradi. Sinov va xato orqali tanlash - bu, albatta, bu butun son ekanligiga ishonchingiz komil bo'lsa, amalga oshirilishi mumkin. Men taklif qilmoqchi bo'lgan usul har qanday holatda ham kvadrat ildizni olish imkonini beradi.

Bir paytlar institutda (Perm davlat pedagogika instituti) biz ushbu usul bilan tanishdik, men hozir gaplashmoqchiman. Men bu usulning isboti bor yoki yo'qligini hech o'ylamaganman, shuning uchun endi men o'zim ba'zi dalillarni chiqarishim kerak edi.

Bu usulning asosi = sonining tarkibi.

=&, ya'ni. &2=596334.

1. Raqamni (5963364) o‘ngdan chapga (5`96`33`64) juftlarga ajrating.

2. Chapdagi birinchi guruhning kvadrat ildizini chiqaramiz (- 2-raqam). Shunday qilib, biz & raqamining birinchi raqamini olamiz.

3. Birinchi raqamning kvadratini toping (2 2 \u003d 4).

4. Birinchi guruh va birinchi raqam kvadrati orasidagi farqni toping (5-4=1).

5. Biz keyingi ikkita raqamni buzamiz (biz 196 raqamini oldik).

6. Biz topilgan birinchi raqamni ikki barobarga oshiramiz, uni chiziq orqasida chap tomonga yozamiz (2*2=4).

7. Endi siz & raqamining ikkinchi raqamini topishingiz kerak: biz topgan ikkilangan birinchi raqam sonning o'ntalik raqamiga aylanadi, birliklar soniga ko'paytirilganda 196 dan kichik raqamni olishingiz kerak ( bu raqam 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 - & ning ikkinchi raqami.

8. Farqni toping (196-176=20).

9. Biz keyingi guruhni buzamiz (biz 2033 raqamini olamiz).

10. 24 raqamini ikki barobarga oshiring, biz 48 ni olamiz.

Bir sonda 11,48 o'nlik, birliklar soniga ko'paytirilganda, biz 2033 dan kam raqamni olishimiz kerak (484 * 4 \u003d 1936). Biz topgan birliklar raqami (4) & raqamining uchinchi raqamidir.

Men tomonidan quyidagi holatlar uchun dalil keltiriladi:

1. Uch xonali sonning kvadrat ildizini chiqarish;

2. To‘rt xonali sonning kvadrat ildizini chiqarish.

Kvadrat ildizni olishning taxminiy usullari (kalkulyatordan foydalanmasdan).

1. Qadimgi Bobilliklar o'zlarining x sonining kvadrat ildizining taxminiy qiymatini topish uchun quyidagi usuldan foydalanganlar. Ular x sonini a 2 + b yig'indisi sifatida ifodaladilar, bu erda a 2 tabiiy a (a 2 ? x) ning aniq kvadrati x ga eng yaqin bo'ladi va formuladan foydalangan. . (1)

Formuladan (1) foydalanib, biz kvadrat ildizni chiqaramiz, masalan, 28 raqamidan:

MK 5.2915026 yordamida 28 ning ildizini olish natijasi.

Ko'rib turganingizdek, Bobil usuli ildizning aniq qiymatiga yaxshi yaqinlik beradi.

2. Isaak Nyuton Aleksandriya Heron (milodiy 100-yil) davridan kelib chiqqan kvadrat ildiz usulini ishlab chiqdi. Bu usul (Nyuton usuli sifatida tanilgan) quyidagicha.

Bo'lsin a 1- raqamning birinchi yaqinlashuvi (1 sifatida siz natural sonning kvadrat ildizining qiymatlarini olishingiz mumkin - oshmaydigan aniq kvadrat X).

Keyingi, aniqroq taxmin a 2 raqamlar formula orqali topiladi .