Ildiz qanday. Mavzu bo'yicha ilmiy tadqiqot ishi: "Kalkulyatorsiz katta sonlardan kvadrat ildizlarni olish"

Talabalar doimo so'rashadi: “Nega men matematika imtihonida kalkulyatordan foydalana olmayman? Kalkulyatorsiz raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin? Keling, bu savolga javob berishga harakat qilaylik.

Kalkulyator yordamisiz raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin?

Harakat kvadrat ildiz chiqarish kvadratga solishning teskarisi.

√81= 9 9 2 =81

Agar musbat sonning kvadrat ildizini olsak va natijani kvadratga aylantirsak, biz bir xil sonni olamiz.

Yo'qdan katta raqamlar, ular natural sonlarning aniq kvadratlari, masalan 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadrat ildizlarni og'zaki ravishda ajratib olish mumkin. Odatda maktabda ular yigirmagacha natural sonlar kvadratlari jadvalini o'rgatishadi. Ushbu jadvalni bilgan holda, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 raqamlaridan kvadrat ildizlarni ajratib olish oson. 400 dan katta raqamlardan siz ba'zi maslahatlar yordamida tanlash usuli yordamida chiqarib olishingiz mumkin. Keling, ushbu usulni ko'rib chiqish uchun bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol: 676 raqamining ildizini chiqaring.

Biz 20 2 \u003d 400 va 30 2 \u003d 900 ekanligini e'tiborga olamiz, bu 20 ni bildiradi.< √676 < 900.

Natural sonlarning aniq kvadratlari 0 bilan tugaydi; bitta; 4; 5; 6; to'qqiz.
6 raqami 4 2 va 6 2 bilan berilgan.
Shunday qilib, agar ildiz 676 dan olingan bo'lsa, u 24 yoki 26 bo'ladi.

Tekshirish uchun qoladi: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Javob: √676 = 26 .

Ko'proq misol: √6889 .

80 2 \u003d 6400 va 90 2 \u003d 8100 dan beri, keyin 80< √6889 < 90.
9 raqami 3 2 va 7 2 bilan berilgan, keyin √6889 83 yoki 87 bo'ladi.

Tekshiring: 83 2 = 6889.

Javob: √6889 = 83 .

Agar tanlov usuli bilan yechish qiyin bo'lsa, unda siz ildiz ifodasini faktorlarga ajratishingiz mumkin.

Misol uchun, √893025 ni toping.

Keling, 893025 sonini faktorlarga ajratamiz, esda tuting, siz buni oltinchi sinfda qilgansiz.

Biz olamiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Ko'proq misol: √20736. 20736 sonini faktorlarga ajratamiz:

Biz √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 ni olamiz.

Albatta, faktoring bo'linish mezonlari va faktoring ko'nikmalarini bilishni talab qiladi.

Va nihoyat, bor kvadrat ildiz qoidasi. Keling, ushbu qoidani misol bilan ko'rib chiqaylik.

√279841 ni hisoblang.

Ko'p xonali butun sonning ildizini olish uchun biz uni o'ngdan chapga har birida 2 ta raqamdan iborat yuzlarga ajratamiz (chap ekstremal yuzda bitta raqam bo'lishi mumkin). 27'98'41 shunday yozing

Ildizning birinchi raqamini (5) olish uchun biz birinchi chap yuzdagi (27) eng katta aniq kvadratning kvadrat ildizini chiqaramiz.
Keyin ildizning birinchi raqamining kvadrati (25) birinchi yuzdan ayiriladi va keyingi yuz (98) farqga tegishli (buziladi).
Qabul qilingan 298 raqamining chap tomonida ular ildizning ikki raqamini (10) yozadilar, unga ilgari olingan sonning barcha o'ntaliklari soniga bo'linadilar (29/2 ≈ 2), qismni boshdan kechiradilar (102 ∙ 2 = 204 298 dan oshmasligi kerak va ildizning birinchi raqamidan keyin (2) yozing.
Keyin hosil bo'lgan 204 bo'lak 298 dan ayiriladi va keyingi faset (41) farqga (94) tegishli (buziladi).
Olingan 9441 raqamining chap tomonida ular ildiz raqamlarining ikki barobar ko'paytmasini yozadilar (52 ∙ 2 = 104), ushbu mahsulotga 9441 (944/104 ≈ 9) sonining barcha o'nliklari sonini bo'linadi, tajriba. qism (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 bo'lishi kerak va uni ildizning ikkinchi raqamidan keyin (9) yozing.

Biz javob oldik √279841 = 529.

Xuddi shunday ekstrakti o'nliklarning ildizlari. Vergul yuzlar orasida bo'lishi uchun faqat radikal raqam yuzlarga bo'linishi kerak.

Misol. √0,00956484 qiymatini toping.

Shuni esda tutingki, agar o'nli kasr mavjud bo'lsa emas juft son kasrlar, undan aniq kvadrat ildiz chiqarilmaydi.

Shunday qilib, endi siz ildizni olishning uchta usulini ko'rdingiz. Sizga eng mos keladiganini tanlang va mashq qiling. Muammolarni qanday hal qilishni o'rganish uchun siz ularni hal qilishingiz kerak. Va agar sizda biron bir savol bo'lsa, .

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.

Demontaj qilish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday bo'lmaganlar uchun amal qiladigan tenglikka asoslanadi salbiy raqam b.

Quyida biz o'z navbatida ildizlarni olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Keling, eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. qo'lda emas, ildiz sonini oddiy omillarga ajratishni o'z ichiga olgan ildizni ajratib olish usulini qo'llash mantiqan to'g'ri.

Alohida-alohida, g'alati ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun mumkin bo'lgan to'xtashga arziydi.

Nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beruvchi usulni ko'rib chiqing.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda, kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni olish imkonini beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi kulrang fonda joylashgan bo'lib, ma'lum bir qator va ma'lum ustunni tanlab, 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorini va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Uning har bir katakchasi ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va bittaning 3-ustunining kesishmasida 83 raqamining kvadrati bo'lgan 6889 raqamli katakcha mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratchalar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ularni qo'llash tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonidan n-darajali ildizni ajratib olishimiz kerak, a soni esa n-darajali jadvalda mavjud. Ushbu jadvalga ko'ra, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, kublar jadvali yordamida 19683 yil kub ildizi qanday olinishini ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19 683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ildizlarni olishda n-darajali jadvallar juda qulay ekanligi aniq. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularning kompilyatsiyasi ma'lum vaqtni talab qiladi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda, ildizlarni olishning boshqa usullariga murojaat qilish kerak.

Ildiz sonning tub omillarga parchalanishi

Ildizni natural sondan ajratib olishning juda qulay usuli (agar, albatta, ildiz chiqarilgan bo'lsa) ildiz sonini tub omillarga ajratishdir. Uning mohiyati quyidagicha: keyin uni daraja sifatida kerakli ko'rsatkich bilan ifodalash juda oson, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrni tushuntirib beraylik.

n-darajali ildiz a natural sondan chiqarilsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. Har qanday natural son sifatida b soni uning barcha tub omillari p 1, p 2, …, p m ko‘paytmasi sifatida p 1 p 2 p m ko‘rinishida ifodalanishi mumkin, bu holda a ildiz raqami esa (p 1) ko‘rinishida ifodalanadi. p 2 ... p m) n . Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun a ildiz sonining tub omillarga ajralishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ga o‘xshaydi, bu esa ildizning qiymatini quyidagicha hisoblash imkonini beradi. .

E'tibor bering, agar a ildiz sonining koeffitsientlarga ajratilishini (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sondan n-darajali ildiz to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda bu bilan shug'ullanamiz.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Qaror.

Oldingi bandda berilgan kvadratlar jadvaliga murojaat qilsak, 144=12 2 ekanligi yaqqol ko'rinadi, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ekanligi ayon bo'ladi.

Ammo bu fikrni hisobga olgan holda, biz 144 sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanamiz 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2 2 2 2 3 3 . Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Demak, .

Ildizlarning darajasi va xossalari xususiyatlaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildiz qiymatini hisoblang.

Qaror.

243 ildiz sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ga teng. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildizning qiymati butun sonmi?

Qaror.

Bu savolga javob berish uchun, keling, ildiz sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kub shaklida tasvirlash mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Bizda 285 768=2 3 3 6 7 2 bor. Olingan dekompozitsiya butun sonning kubi sifatida ifodalanmaydi, chunki daraja asosiy omil 7 soni uchga koʻpaytmasi emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizi to'liq olinmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Kasr sondan ildiz qanday olinishini aniqlash vaqti keldi. Kasr ildiz raqami p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xususiyatiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasr ildiz qoidasi: Kasrning ildizi sonning ildizini maxrajning ildiziga boʻlish qismiga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Qaror.

Kvadratchalar jadvaliga ko'ra, biz dastlabki kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy fraksiyadan ildizni ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi ildiz raqamlari oddiy kasrlar bilan almashtirilgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 kasrning kub ildizini oling.

Qaror.

Asl kasrni oddiy kasr sifatida ifodalaymiz: 474,552=474552/1000 . Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Sifatida 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000=10 3 , keyin va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish uchun qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini ajratib olish

Alohida-alohida, manfiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida o'ylash kerak. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildizning ko'rsatkichi toq son bo'lsa, manfiy son ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bunday yozuvlarga quyidagi ma'noni berdik: manfiy son -a va 2 n-1 ildizning toq ko'rsatkichi uchun bizda . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini chiqarib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildiz qiymatini toping.

Qaror.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy raqam paydo bo'lishi uchun o'zgartiramiz: . Endi aralash sonni oddiy kasr bilan almashtiramiz: . Biz oddiy kasrdan ildiz olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Bit bo'yicha ildiz qiymatini topish

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali darajasida ko'rsatib bo'lmaydigan raqam joylashgan. Ammo shu bilan birga, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha berilgan ildizning qiymatini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning raqamlarining etarli miqdordagi qiymatlarini doimiy ravishda olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari ildiz sonidan kattaroq son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko‘tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n ning darajasiga ko'targan raqam mos keladigan yuqori tartibni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. Biz 0, 10, 100, ... raqamlarini olamiz va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiramiz. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5 , ya'ni eng muhim raqam birliklar raqami bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, pastroq bo'lganlar, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning istalgan qiymatining keyingi raqamlari qiymatlari topilganligi sababli, ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan, chunki ular eng yuqoridan boshlab va eng pastiga o'tadilar. . Misol uchun, birinchi bosqichda ildizning qiymati 2 , ikkinchisida - 2,2 , uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... . Keling, bitlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Raqamlarni topish ularni sanash orqali amalga oshiriladi mumkin bo'lgan qiymatlar 0, 1, 2, ..., 9. Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel hisoblab chiqiladi va ular ildiz soni bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi, agar bu sodir bo'lmasa, u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning bir xil misolidan foydalanib, bu fikrlarning barchasini tushuntiraylik.

Birinchidan, birliklar raqamining qiymatini toping. Biz 0, 1, 2, …, 9 qiymatlarini takrorlaymiz, mos ravishda 0 2, 1 2, …, 9 2 ni radikal raqam 5 dan kattaroq qiymatga ega bo'lmaguncha hisoblaymiz. Ushbu hisob-kitoblarning barchasi jadval shaklida qulay tarzda taqdim etiladi:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (chunki 2 2<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, biz olingan qiymatlarni 5 ildiz raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan beri<5 , а 2,3 2 >5, keyin o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Shunday qilib, beshning ildizining keyingi qiymati topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz boshqa qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Birinchidan, biz katta raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. 2,151,186 dan katta raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaymiz.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, keyin o'nlik raqamining qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar joyining qiymati 2 ga teng. Keling, o'nga o'taylik.

Hatto 12,9 3 radikal soni 2 151,186 dan kichik bo'lgani uchun, o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish uchun qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida matematika tug'ilgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, hisoblash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning bo'laklari bo'lib, raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi tufayli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika murakkablik cho'qqisiga barcha raqamlar erishganida erishdi." "Kvadrat ildiz" tushunchasi hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina qo'llab-quvvatlanishi mumkin bo'lgan davrda paydo bo'ldi.

Hammasi qanday boshlandi

Hozirgi vaqtda √ sifatida belgilangan ildiz haqida birinchi eslatma zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga biroz o'xshardi - o'sha yillar olimlari birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. ular kvadrat ildizni qanday olish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini o'ylab topishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 chiqish jarayonini o'yib chizgan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar boshqa ikkitasi ma'lum bo'lsa, uchburchakning tomonini topish kerak bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Bobil asarlari bilan bir qatorda maqolaning ob'ekti Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizi qoldiqsiz olinmagan har qanday son irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi raqamning arabcha ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (naqshni kuzatish mumkin - "ildiz" semantik yukiga ega bo'lgan hamma narsa undosh bo'ladi, u turp yoki siyatik).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Masalan, 15-asrda kvadrat ildiz ixtiyoriy a sonidan olinganligini koʻrsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Zamonaviy qiyofaga tanish bo'lgan √ belgisi faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik jihatdan y ning kvadrat ildizi kvadrati y bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlash uchun amal qiladi, ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga bo'lgan mehr-muhabbat ilm-fan rivoji bilan ortganligi sababli, unga bo'lgan mehrning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli voqealar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular yuz yil ichida to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartib bilan bildiruvchi raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Shunday qilib, keyingi safar ushbu bayram 2016 yil 4 aprelda nishonlanadi.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega, bu taqdir o'tmadi va √y maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilanadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq raqamlar navbatma-navbat ayiriladi - natijaning qolgan qismi ayirilgandan kam yoki hatto nolga teng bo'lguncha. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, 25 ning kvadrat ildizini hisoblash:

Keyingi toq raqam 11, qolgani: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bu yerda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va nuqtani kesib o'tadi (1; 1).

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funksiya minimal qiymatni (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz ortib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun baʼzan kvadrat ildizni yozishning kuch shakli qoʻllaniladi: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funktsiyani quvvatga ko'tarishda qulaydir: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi bilan ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan geometrik formulalarning aksariyat qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Kompleks maydondagi kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonining ochilishini rag'batlantirdi, chunki matematiklarni manfiy sondan juft darajali ildiz olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan ajralib turadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar va manfiy diskriminant bilan yechim topildi. C da kvadrat ildiz uchun xuddi shu xususiyatlar R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, ildiz ifodasidagi cheklovlar olib tashlanadi.

Ildizni qanday olish kerak raqamdan. Ushbu maqolada biz to'rt va besh xonali raqamlarning kvadrat ildizini qanday olishni o'rganamiz.

Misol tariqasida 1936 yil kvadrat ildizini olaylik.

Demak, .

1936 yildagi oxirgi raqam 6. 4 va 6 ning kvadrati 6 bilan tugaydi. Shuning uchun 1936 44 yoki 46 ning kvadrati bo'lishi mumkin. Buni ko'paytirish yordamida tekshirish kerak.

Ma'nosi,

15129 sonining kvadrat ildizini chiqaramiz.

Demak, .

15129 dagi oxirgi raqam 9. 9 soni 3 va 7 ning kvadrati bilan tugaydi. Shuning uchun 15129 123 yoki 127 ning kvadrati bo'lishi mumkin. Ko'paytirish bilan tekshiramiz.

Ma'nosi,

Qanday ildiz otish - video

Va endi men sizga Anna Denisovaning videosini tomosha qilishni taklif qilaman - "Ildizni qanday olish kerak ", sayt muallifi" oddiy fizika", unda u kvadrat va kub ildizlarini kalkulyatorsiz qanday ajratib olishni tushuntiradi.

Videoda ildizlarni olishning bir necha usullari muhokama qilinadi:

1. Kvadrat ildizni chiqarishning eng oson usuli.

2. Yig‘indining kvadrati yordamida moslashtirish.

3. Bobil usuli.

4. Ustundagi kvadrat ildizni ajratib olish usuli.

5. Kub ildizini olishning tezkor usuli.

6. Ustundagi kub ildizini ajratib olish usuli.