Doğrunun eksene olan eğim açısının tanjantı. Fonksiyon türevi. Türevin geometrik anlamı

Matematikte, bir doğrunun Kartezyen koordinat düzlemindeki konumunu tanımlayan parametrelerden biri şudur: eğim bu düz çizgi. Bu parametre, düz çizginin x eksenine olan eğimini karakterize eder. Eğimin nasıl bulunacağını anlamak için önce XY koordinat sistemindeki bir doğrunun denkleminin genel biçimini hatırlayın.

Genel olarak, herhangi bir satır ax+by=c ifadesiyle temsil edilebilir, burada a, b ve c keyfi gerçek sayılardır, ancak mutlaka a 2 + b 2 ≠ 0'dır.

Basit dönüşümlerin yardımıyla, böyle bir denklem k ve d'nin reel sayılar olduğu y=kx+d formuna getirilebilir. k sayısı bir eğimdir ve bu tür bir doğrunun denklemine eğimli bir denklem denir. Görünüşe göre eğimi bulmak için orijinal denklemi yukarıdaki forma getirmeniz yeterli. Daha iyi bir anlayış için belirli bir örnek düşünün:

Görev: 36x - 18y = 108 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi dönüştürelim.

Cevap: Bu doğrunun istenen eğimi 2'dir.

Denklemin dönüşümü sırasında x = const türünde bir ifade elde edersek ve sonuç olarak y'yi x'in bir fonksiyonu olarak gösteremezsek, X eksenine paralel bir düz çizgi ile karşı karşıyayız demektir. böyle bir düz çizgi sonsuza eşittir.

y = const gibi bir denklemle ifade edilen doğrular için eğim sıfırdır. Bu, x eksenine paralel düz çizgiler için tipiktir. Örneğin:

Görev: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi genel bir forma getiriyoruz

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ortaya çıkan ifadeden y'yi ifade etmek imkansızdır, bu nedenle, bu düz çizginin eğimi sonsuza eşittir ve düz çizginin kendisi Y eksenine paralel olacaktır.

geometrik anlamda

Daha iyi anlamak için resme bakalım:

Şekilde, y = kx tipinde bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz. Basitleştirmek için c = 0 katsayısını alıyoruz. OAB üçgeninde BA tarafının AO'ya oranı k eğimine eşit olacaktır. Aynı zamanda, VA / AO oranı teğettir. dar açıα içinde sağ üçgen OAV. Bir düz çizginin eğiminin, bu düz çizginin koordinat ızgarasının x ekseni ile yaptığı açının tanjantına eşit olduğu ortaya çıktı.

Düz bir çizginin eğiminin nasıl bulunacağı problemini çözerek, onunla koordinat ızgarasının x ekseni arasındaki açının tanjantını buluruz. İncelenen çizginin koordinat eksenlerine paralel olduğu sınır durumları, yukarıdakileri doğrular. Gerçekten de, y=const denklemi ile tanımlanan düz bir çizgi için, onunla apsis ekseni arasındaki açı sıfır. Sıfır açısının tanjantı da sıfırdır ve eğim de sıfırdır.

x eksenine dik olan ve x=const denklemi ile tanımlanan düz çizgiler için, bunlar ile x ekseni arasındaki açı 90 derecedir. Teğet dik açı sonsuza eşittir ve benzer düz çizgilerin eğimi sonsuza eşittir, bu da yukarıda yazılanları doğrular.

Teğet Eğim

Pratikte sıklıkla karşılaşılan yaygın bir görev de, bir noktada fonksiyon grafiğine teğetin eğimini bulmaktır. Teğet düz bir çizgidir, bu nedenle eğim kavramı ona da uygulanabilir.

Bir teğetin eğimini nasıl bulacağımızı bulmak için türev kavramını hatırlamamız gerekecek. Herhangi bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğine belirtilen noktada tanjant ile apsis ekseni arasında oluşan açının tanjantına sayısal olarak eşit bir sabittir. Teğetin x 0 noktasındaki eğimini belirlemek için, bu noktada orijinal fonksiyonun türevinin değerini hesaplamamız gerektiği ortaya çıktı k \u003d f "(x 0). Bir örnek düşünelim:

Görev: x = 0.1'de y = 12x 2 + 2xe x fonksiyonuna teğet olan doğrunun eğimini bulun.

Çözüm: Orijinal fonksiyonun türevini genel formda bulun

y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2. 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1

Cevap: x \u003d 0.1 noktasında istenen eğim 4.831'dir

Düz bir çizginin bir düzlemde denklemi konusunun devamı, cebir derslerinden düz bir çizgi çalışmasına dayanmaktadır. Bu makale, eğimli düz bir çizginin denklemi konusunda genelleştirilmiş bilgiler vermektedir. Tanımları düşünün, denklemin kendisini alın, diğer denklem türleri ile olan ilişkiyi ortaya çıkarın. Her şey problem çözme örnekleri üzerinde tartışılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Böyle bir denklemi yazmadan önce bir doğrunun O x eksenine olan eğim açısını eğimleri ile tanımlamak gerekir. Düzlemde bir Kartezyen koordinat sistemi O x verildiğini varsayalım.

tanım 1

Doğrunun Ox eksenine olan eğim açısı, Düzlemde O x y Kartezyen koordinat sisteminde yer alan bu açı, O x pozitif yönünden saat yönünün tersine doğru ölçülen açıdır.

Öküz'e paralel bir doğru veya içinde çakışma meydana geldiğinde, eğim açısı 0'dır. Daha sonra verilen α doğrusunun eğim açısı [ 0 , π) aralığında tanımlanır.

tanım 2

Düz bir çizginin eğimi verilen doğrunun eğiminin tanjantıdır.

Standart gösterim k'dir. Tanımdan k = t g α elde ederiz. Doğru Ox'a paralel olduğunda, sonsuza gittiği için eğimin olmadığı söylenir.

Fonksiyonun grafiği artarken eğim pozitiftir ve bunun tersi de geçerlidir. Şekil, katsayı değeri ile koordinat sistemine göre dik açının konumunun çeşitli varyasyonlarını göstermektedir.

Bu açıyı bulmak için eğim katsayısı tanımını uygulamak ve düzlemdeki eğim açısının tanjantını hesaplamak gerekir.

Karar

α = 120 ° olduğu koşuldan. Tanım olarak, eğimi hesaplamanız gerekir. Bunu k = t g α = 120 = - 3 formülünden bulalım.

Cevap: k = - 3 .

Açısal katsayı biliniyorsa, ancak x eksenine olan eğim açısının bulunması gerekiyorsa, açısal katsayının değeri dikkate alınmalıdır. k > 0 ise, dik açı dardır ve α = a r c t g k formülüyle bulunur. eğer k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Örnek 2

Eğimi 3'e eşit olan, verilen doğrunun O x'e olan eğim açısını belirleyin.

Karar

Eğimin pozitif olması koşuluna göre, bu, O x'e olan eğim açısının 90 dereceden az olduğu anlamına gelir. Hesaplamalar α = a r c t g k = a r c t g 3 formülüne göre yapılır.

Cevap: α = a r c t g 3 .

Örnek 3

Eğim = - 1 3 ise, doğrunun O x eksenine olan eğim açısını bulun.

Karar

Eğimin tanımı olarak k harfini alırsak, α, O x pozitif yönünde verilen düz çizgiye olan eğim açısıdır. Dolayısıyla k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Cevap: 5 pi 6.

k'nin bir eğim ve b'nin bir gerçek sayı olduğu y \u003d k x + b biçimindeki bir denkleme eğimli düz bir çizginin denklemi denir. Denklem, O y eksenine paralel olmayan herhangi bir düz çizgi için tipiktir.

y \u003d k x + b gibi görünen bir eğime sahip bir denklem tarafından verilen sabit bir koordinat sistemindeki bir düzlemde düz bir çizgiyi ayrıntılı olarak ele alırsak. Bu durumda, doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarının denkleme karşılık geldiği anlamına gelir. M, M 1 (x 1, y 1) noktasının koordinatlarını y \u003d k x + b denkleminde değiştirirsek, bu durumda çizgi bu noktadan geçecektir, aksi takdirde nokta astar.

Örnek 4

Eğimi y = 1 3 x - 1 olan bir doğru veriliyor. M 1 (3 , 0) ve M 2 (2 , - 2) noktalarının verilen doğruya ait olup olmadığını hesaplayın.

Karar

M 1 (3, 0) noktasının koordinatlarını verilen denklemde yerine koymak gerekir, o zaman 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 elde ederiz. Eşitlik doğrudur, yani nokta doğruya aittir.

M 2 (2, - 2) noktasının koordinatlarını değiştirirsek, - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 biçiminde yanlış bir eşitlik elde ederiz. M 2 noktasının doğruya ait olmadığı sonucuna varabiliriz.

Cevap: M 1 hatta aittir, ancak M 2 değildir.

Doğrunun M 1 (0 , b) içinden geçen y = k · x + b denklemi ile tanımlandığı bilinmektedir, ikame b = k · 0 + b ⇔ b = b biçiminde bir eşitlik vermiştir. Buradan, düzlemde y = k · x + b eğimli düz bir çizginin denkleminin 0, b noktasından geçen düz bir çizgiyi tanımladığı sonucuna varabiliriz. O x ekseninin pozitif yönü ile bir α açısı oluşturur, burada k = t g α .

Örneğin, y = 3 · x - 1 biçiminde verilen bir eğim kullanılarak tanımlanan düz bir çizgiyi ele alalım. Düz çizginin O x ekseninin pozitif yönü boyunca α = a r c t g 3 = π 3 radyan eğimi ile 0, - 1 koordinatlı noktadan geçeceğini elde ederiz. Buradan katsayının 3 olduğu görülebilir.

Eğimi verilen bir noktadan geçen doğrunun denklemi

M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen belirli bir eğime sahip düz bir çizginin denklemini elde etmenin gerekli olduğu yerde bir problemi çözmek gerekir.

Doğru M 1 (x 1 , y 1) noktasından geçtiği için y 1 = k · x + b eşitliği geçerli kabul edilebilir. B sayısını çıkarmak için eğim katsayısı olan denklemi sol ve sağ taraftan çıkarmak gerekir. Bundan y - y 1 = k · (x - x 1) çıkar. Bu eşitliğe, M 1 (x 1, y 1) noktasının koordinatlarından geçen, k eğimi verilen düz bir çizginin denklemi denir.

Örnek 5

M 1 noktasından (4, - 1) koordinatlarıyla, eğimi - 2'ye eşit olan düz bir çizginin denklemini oluşturun.

Karar

Koşul olarak, x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2'ye sahibiz. Buradan doğrunun denklemi şu şekilde yazılacaktır y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Cevap: y = - 2 x + 7 .

Örnek 6

M 1 noktasından geçen eğimli düz bir çizginin denklemini (3, 5) koordinatları y \u003d 2 x - 2 düz çizgisine paralel olarak yazın.

Karar

Koşul olarak, paralel doğruların çakışan eğim açılarına sahip olduk, dolayısıyla eğim katsayıları eşittir. Eğimi bulmak için verilen denklem y = 2 x - 2 temel formülünü hatırlamak gerekir, dolayısıyla k = 2 olur. Eğim katsayısına sahip bir denklem oluşturuyoruz ve şunu elde ediyoruz:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Cevap: y = 2 x - 1 .

Eğimli düz bir çizginin denkleminden düz bir çizginin diğer denklem türlerine geçiş ve bunun tersi

Böyle bir denklem, çok uygun bir gösterimi olmadığı için problemlerin çözümü için her zaman geçerli değildir. Bunu yapmak için farklı bir biçimde sunulmalıdır. Örneğin, y = k · x + b biçimindeki bir denklem, düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını veya normal vektörün koordinatlarını yazmanıza izin vermez. Bunu yapmak için, farklı türden denklemleri nasıl temsil edeceğinizi öğrenmeniz gerekir.

Eğimli düz bir çizginin denklemini kullanarak bir düzlemdeki düz bir çizginin kanonik denklemini elde edebiliriz. x - x 1 a x = y - y 1 a y elde ederiz . b terimini sola kaydırmak ve elde edilen eşitsizliğin ifadesine bölmek gerekir. Sonra y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k biçiminde bir denklem elde ederiz.

Eğimli düz bir çizginin denklemi, belirli bir düz çizginin kanonik denklemi haline geldi.

Örnek 7

Eğimi y = - 3 x + 12 olan bir doğrunun denklemini kanonik forma getirin.

Karar

Düz bir çizginin kanonik denklemi şeklinde hesaplar ve temsil ederiz. Formun bir denklemini elde ederiz:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Cevap: x 1 = y - 12 - 3.

Düz bir çizginin genel denklemini y = k x + b'den elde etmek en kolay yoldur, ancak bu dönüşümler gerektirir: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Geçiş yapılır genel denklem başka türden denklemlere doğrudan

Örnek 8

y = 1 7 x - 2 biçimindeki bir doğrunun denklemi verilmiştir. Koordinatları a → = (- 1 , 7) olan vektörün normal bir düz çizgi vektörü olup olmadığını öğrenin.

Karar

Bunu çözmek için, bu denklemin başka bir formuna geçmek gerekiyor, bunun için şunu yazıyoruz:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Değişkenlerin önündeki katsayılar, doğrunun normal vektörünün koordinatlarıdır. Bunu şöyle yazalım n → = 1 7 , - 1 , dolayısıyla 1 7 x - y - 2 = 0 . a → = (- 1 , 7) vektörünün n → = 1 7 , - 1 vektörüyle eşdoğrusal olduğu açıktır, çünkü a → = - 7 · n → . Orijinal vektör a → = - 1 , 7 , 1 7 x - y - 2 = 0 satırının normal bir vektörüdür , bu da y = 1 7 x - 2 doğrusu için normal bir vektör olarak kabul edildiği anlamına gelir .

Cevap: Bir

Problemi bunun tersinden çözelim.

dan hareket etmek gerekiyor Genel görünüm A x + B y + C = 0 denklemi, burada B ≠ 0 , eğim denklemine. Bunu yapmak için, y denklemini çözeriz. A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B elde ederiz.

Sonuç, eğimi - A B'ye eşit olan bir denklemdir.

Örnek 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 biçimindeki bir doğrunun denklemi verilmiştir. Eğimi olan bir doğrunun denklemini alın.

Karar

Koşul temelinde, y'yi çözmek gerekir, sonra formun bir denklemini elde ederiz:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Cevap: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b \u003d 1 biçimindeki bir denklem, segmentlerde düz bir çizginin denklemi olarak adlandırılan benzer şekilde çözülür veya kanonik biçim x - x 1 bir x = y - y 1 bir y . Bunu y'ye göre çözmek gerekir, ancak o zaman eğimli bir denklem elde ederiz:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x bir ⇔ y = - b bir x + b .

Kanonik denklem, eğimli bir forma indirgenebilir. Bunun için:

x - x 1 a x = y - y 1 bir y ⇔ bir y (x - x 1) = bir x (y - y 1) ⇔ ⇔ bir x y = bir y x - bir y x 1 + bir x y 1 ⇔ y = bir y a x x - bir y a x x 1 + y 1

Örnek 10

x 2 + y - 3 = 1 denklemiyle verilen bir doğru var. Eğimi olan bir denklem formuna getirin.

Karar.

Koşul temelinde, dönüştürmek gerekir, ardından _formül_ biçiminde bir denklem elde ederiz. Gerekli eğim denklemini elde etmek için denklemin her iki tarafı da -3 ile çarpılmalıdır. Dönüştürerek şunları elde ederiz:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Cevap: y = 3 2 x - 3 .

Örnek 11

x - 2 2 \u003d y + 1 5 formunun düz çizgi denklemi bir eğimle forma getirilir.

Karar

x - 2 2 = y + 1 5 ifadesini orantı olarak hesaplamak gerekir. 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) elde ederiz. Şimdi bunun için tamamen etkinleştirmeniz gerekiyor:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Cevap: y = 5 2 x - 6 .

Bu tür görevleri çözmek için, x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ şeklindeki düz çizginin parametrik denklemleri, düz çizginin kanonik denklemine indirgenmelidir, ancak bundan sonra devam edebilirsiniz. eğim ile denklem.

Örnek 12

x = λ y = - 1 + 2 · λ parametrik denklemleri ile verilmişse, doğrunun eğimini bulun.

Karar

Parametrik görünümden eğime geçiş yapmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, verilen parametrik olandan kanonik denklemi buluyoruz:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Şimdi eğimli bir doğrunun denklemini elde etmek için bu eşitliği y'ye göre çözmek gerekiyor. Bunu yapmak için şu şekilde yazıyoruz:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Düz çizginin eğiminin 2'ye eşit olduğu sonucu çıkar. Bu k = 2 olarak yazılır.

Cevap: k = 2 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Eğim katsayısı düzdür. Bu yazımızda matematikte sınavda yer alan koordinat düzlemi ile ilgili görevleri ele alacağız. Bunlar aşağıdakiler için görevlerdir:

- içinden geçtiği iki nokta bilindiğinde düz bir çizginin eğiminin belirlenmesi;
- düzlemdeki iki çizginin kesişme noktasının apsis veya ordinatının belirlenmesi.

Bir noktanın apsisi ve ordinatı nedir bu bölümde anlatılmıştır. İçinde, koordinat düzlemi ile ilgili birkaç problemi zaten düşündük. İncelenen görevlerin türü için nelerin anlaşılması gerekiyor? Biraz teori.

Koordinat düzleminde düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:

nerede k – bu düz çizginin eğimidir.

Sonraki an! Düz bir çizginin eğimi teğete eşit düz bir çizginin eğim açısı. Bu, verilen çizgi ile eksen arasındaki açıdır.ah.

0 ile 180 derece arasındadır.

Yani, düz bir çizginin denklemini forma indirgersek y = kx + b, daha sonra her zaman k katsayısını (eğim katsayısı) belirleyebiliriz.

Ayrıca, koşula göre doğrunun eğiminin tanjantını belirleyebilirsek, eğimini de buluruz.

Bir sonraki teorik an!Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi.Formül şöyle görünür:

Sorunları göz önünde bulundurun ( açık banka atamalar):

Koordinatları (–6; 0) ve (0; 6) olan noktalardan geçen doğrunun eğimini bulun.

Bu problemde bunu çözmenin en mantıklı yolu x ekseni ile verilen doğru arasındaki açının tanjantını bulmaktır. Açısal katsayıya eşit olduğu bilinmektedir. Düz bir çizgi ile x ve y eksenlerinden oluşan bir dik üçgen düşünün:

Bir dik üçgende bir açının tanjantı, karşı bacağın bitişik bacağa oranıdır:

* Her iki bacak da altıya eşittir (bunlar uzunluklarıdır).

Kesinlikle, bu görev Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini bulmak için formül kullanılarak çözülebilir. Ama daha uzun bir çözüm yolu olacaktır.

Cevap 1

(5;0) ve (0;5) koordinatlarına sahip noktalardan geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Noktalarımız (5;0) ve (0;5) koordinatlarına sahiptir. Anlamına geliyor,

Formülü forma getirelim y = kx + b

açısal katsayısını aldık k = – 1.

Cevap 1

Düz a(0;6) ve (8;0) koordinatlarına sahip noktalardan geçer. Düz b(0;10) koordinatlı noktadan geçer ve doğruya paraleldir. a b aks ile öküz.

Bu problemde düz bir çizginin denklemini bulabilirsiniz. a, bunun için eğimi belirleyin. Düz b paralel oldukları için eğimleri aynı olacaktır. Ardından, düz bir çizginin denklemini bulabilirsiniz. b. Ardından, y = 0 değerini yerine koyarak apsisi bulun. ANCAK!

Bu durumda üçgen benzerlik özelliğini kullanmak daha kolaydır.

Verilen (paralel) koordinat çizgileri tarafından oluşturulan dik üçgenler benzerdir, bu da ilgili kenarlarının oranlarının eşit olduğu anlamına gelir.

İstenen apsis 40/3'tür.

Cevap: 40/3

Düz a(0;8) ve (–12;0) koordinatlarına sahip noktalardan geçer. Düz b(0; -12) koordinatlı noktadan geçer ve doğruya paraleldir. a. Doğrunun kesişme noktasının apsisini bulun b aks ile öküz.

Bu problemi çözmenin en akılcı yolu üçgenlerin benzerlik özelliğini kullanmaktır. Ama biz bunu farklı bir şekilde çözeceğiz.

Çizginin geçtiği noktaları biliyoruz a. Bir doğrunun denklemini yazabiliriz. Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi şu şekildedir:

Koşul olarak, noktaların (0;8) ve (–12;0) koordinatları vardır. Anlamına geliyor,

aklımıza getirelim y = kx + b:

o köşeyi aldım k = 2/3.

*Açısal katsayı, ayakları 8 ve 12 olan bir dik üçgende açının tanjantı yoluyla bulunabilir.

Paralel doğruların eğimlerinin eşit olduğunu biliyoruz. Böylece (0;-12) noktasından geçen bir doğrunun denklemi şu şekildedir:

Değer bul b apsisi ve ordinatı denklemde yerine koyabiliriz:

Yani çizgi şöyle görünür:

Şimdi, çizginin x ekseni ile kesişme noktasının istenen apsisini bulmak için, y \u003d 0'ı değiştirmeniz gerekir:

Cevap: 18

Eksenin kesişme noktasının koordinatını bulun oy ve B(10;12) noktasından geçen bir doğru ve orijinden ve A(10;24) noktasından geçen bir paralel doğru.

Koordinatları (0;0) ve (10;24) olan noktalardan geçen bir doğrunun denklemini bulalım.

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi şu şekildedir:

Noktalarımız (0;0) ve (10;24) koordinatlarına sahiptir. Anlamına geliyor,

aklımıza getirelim y = kx + b

Paralel doğruların eğimleri eşittir. Buna göre, B (10; 12) noktasından geçen bir doğrunun denklemi şu şekildedir:

Anlam b B noktasının (10; 12) koordinatlarını bu denklemde değiştirerek buluruz:

Düz bir çizginin denklemini elde ettik:

Bu doğrunun eksenle kesiştiği noktanın ordinatını bulmak için kuruluş birimi bulunan denkleme ikame edilmelidir X= 0:

* En kolay çözüm. Paralel öteleme yardımıyla bu çizgiyi eksen boyunca aşağı kaydırıyoruz. kuruluş birimi noktasına (10;12). Kayma 12 birim ile gerçekleşir, yani A(10;24) noktası B(10;12) noktasına "geçildi" ve O(0;0) noktası (0;–12) noktasına "geçildi". Böylece ortaya çıkan çizgi ekseni kesecek kuruluş birimi(0;–12) noktasında.

İstenen ordinat -12'dir.

Cevap: -12

Denklemin verdiği doğrunun kesişim noktasının ordinatını bulunuz.

3x + 2y = 6, eksenli Oy.

Verilen doğrunun eksenle kesiştiği noktanın koordinatı kuruluş birimi(0; de). apsisi denklemde yerine koy X= 0 ve ordinatı bulun:

Bir doğrunun bir eksenle kesişme noktasının ordinatı kuruluş birimi 3'e eşittir.

* Sistem çözülüyor:

Cevap: 3

Denklemler tarafından verilen doğruların kesişme noktasının ordinatını bulun

3x + 2y = 6 ve y = - x.

İki doğru verildiğinde ve soru bu doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmakla ilgili olduğunda, bu denklemlerin sistemi çözülür:

İlk denklemde, yerine koyarız - X yerine de:

Ordinat eksi altı.

Cevap: – 6

Koordinatları (–2; 0) ve (0; 2) olan noktalardan geçen doğrunun eğimini bulun.

(2;0) ve (0;2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen doğrunun eğimini bulunuz.

a doğrusu (0;4) ve (6;0) koordinatlarına sahip noktalardan geçer. b doğrusu (0;8) koordinatlı noktadan geçer ve a doğrusuna paraleldir. b doğrusu ile x ekseninin kesiştiği noktanın apsisini bulunuz.

Y ekseni ile B (6;4) noktasından geçen doğru ile orijinden ve A noktasından geçen paralel doğrunun (6;8) kesişim noktasının ordinatını bulunuz.

1. Düz çizginin eğiminin, düz çizginin eğiminin tanjantına eşit olduğunu açıkça anlamak gerekir. Bu, bu tür birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.

2. Verilen iki noktadan geçen bir doğru bulma formülü anlaşılmalıdır. Onun yardımıyla, iki noktasının koordinatları verilirse, her zaman düz bir çizginin denklemini bulabilirsiniz.

3. Paralel doğruların eğimlerinin eşit olduğunu unutmayın.

4. Anladığınız gibi, bazı problemlerde üçgenlerin benzerlik işaretini kullanmak uygundur. Sorunlar sözlü olarak pratik olarak çözülür.

5. İki doğrunun verildiği ve kesişme noktalarının apsis veya ordinatının bulunması gereken görevler grafiksel olarak çözülebilir. Yani, onları koordinat düzleminde (hücre içindeki bir sayfada) oluşturun ve kesişme noktasını görsel olarak belirleyin. *Ancak bu yöntem her zaman geçerli değildir.

6. Ve sonuncusu. Düz bir çizgi ve koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaların koordinatları verilirse, bu tür problemlerde, oluşturulan dik üçgende açının tanjantını bularak açı katsayısını bulmak uygundur. Düzlemdeki çeşitli çizgi düzenlemeleri için bu üçgenin nasıl "görüleceği" aşağıda şematik olarak gösterilmiştir:

>> 0'dan 90 dereceye kadar çizgi eğim açısı<<

>> 90 ila 180 derece arasında düz çizgi açısı<<

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, İskender.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Bir fonksiyonun türevi, okul müfredatındaki en zor konulardan biridir. Türev nedir sorusuna her mezun cevap vermeyecektir.

Bu makale, bir türevin ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu basit ve net bir şekilde açıklamaktadır.. Şimdi sunumun matematiksel kesinliği için çabalamayacağız. En önemli şey anlamı anlamaktır.

tanımını hatırlayalım:

Türev, fonksiyonun değişim oranıdır.

Şekil üç fonksiyonun grafiklerini göstermektedir. Sizce hangisi daha hızlı büyür?

Cevap açık - üçüncü. En yüksek değişim hızına, yani en büyük türevine sahiptir.

İşte başka bir örnek.

Kostya, Grisha ve Matvey aynı anda iş buldu. Yıl boyunca gelirlerinin nasıl değiştiğini görelim:

Her şeyi hemen grafikte görebilirsiniz, değil mi? Kostya'nın geliri altı ayda iki katından fazla arttı. Ve Grisha'nın geliri de arttı, ama sadece biraz. Ve Matthew'un geliri sıfıra düştü. Başlangıç ​​koşulları aynıdır, ancak fonksiyonun değişim oranı, yani. türev, - farklı. Matvey'e gelince, gelirinin türevi genellikle negatiftir.

Sezgisel olarak, bir fonksiyonun değişim oranını kolayca tahmin edebiliriz. Ama nasıl yapacağız?

Gerçekten baktığımız şey, fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yukarı (veya aşağı) gittiğidir. Başka bir deyişle, y'nin x ile ne kadar hızlı değiştiği. Açıkçası, farklı noktalarda aynı fonksiyon, türevin farklı bir değerine sahip olabilir - yani, daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.

Bir fonksiyonun türevi ile gösterilir.

Grafiği kullanarak nasıl bulacağımızı gösterelim.

Bazı fonksiyonların grafiği çizilir. Bir apsis ile bir nokta alın. Bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizin. Fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yükseldiğini değerlendirmek istiyoruz. Bunun için kullanışlı bir değer teğetin eğiminin tanjantı.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen tanjantın eğiminin tanjantına eşittir.

Lütfen dikkat - teğetin eğim açısı olarak, tanjant ile eksenin pozitif yönü arasındaki açıyı alıyoruz.

Bazen öğrenciler bir fonksiyonun grafiğinin teğetinin ne olduğunu sorarlar. Bu, bu bölümdeki grafikle tek ortak noktaya sahip olan düz bir çizgidir, ayrıca şeklimizde gösterildiği gibi. Bir daireye teğet gibi görünüyor.

Bulalım . Bir dik üçgendeki dar açının tanjantının, karşı bacağın bitişik olana oranına eşit olduğunu hatırlıyoruz. Üçgenden:

Fonksiyonun formülünü bile bilmeden grafiği kullanarak türevi bulduk. Bu tür görevler genellikle sınavda matematikte sayı altında bulunur.

Önemli bir korelasyon daha var. Düz çizginin denklem tarafından verildiğini hatırlayın.

Bu denklemdeki miktar denir düz bir çizginin eğimi. Doğrunun eksene olan eğim açısının tanjantına eşittir.

.

anladık

Bu formülü hatırlayalım. Türevin geometrik anlamını ifade eder.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.

Başka bir deyişle, türev, tanjantın eğiminin tanjantına eşittir.

Aynı fonksiyonun farklı noktalarda farklı türevleri olabileceğini daha önce söylemiştik. Türevin fonksiyonun davranışıyla nasıl ilişkili olduğunu görelim.

Bir fonksiyonun grafiğini çizelim. Bu fonksiyon bazı alanlarda artsın, bazılarında azalsın ve farklı oranlarda olsun. Ve bu fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları olmasına izin verin.

Bir noktada, fonksiyon artıyor. Grafiğin noktada çizilen teğeti bir dar açı oluşturur; pozitif eksen yönü ile. Yani türev noktada pozitiftir.

Bu noktada fonksiyonumuz azalıyor. Bu noktadaki tanjant geniş bir açı oluşturur; pozitif eksen yönü ile. Geniş açının tanjantı negatif olduğundan, noktadaki türev negatiftir.

İşte olanlar:

Bir fonksiyon artıyorsa türevi pozitiftir.

Eğer azalırsa, türevi negatiftir.

Ve maksimum ve minimum noktalarda ne olacak? (maksimum nokta) ve (minimum nokta) noktalarında teğetin yatay olduğunu görüyoruz. Bu nedenle, tanjantın bu noktalardaki eğiminin tanjantı sıfırdır ve türevi de sıfırdır.

Nokta maksimum noktadır. Bu noktada, fonksiyonun artmasının yerini bir azalma alır. Sonuç olarak, türevin işareti "artı"dan "eksi"ye değişir.

Noktada - minimum noktada - türev de sıfıra eşittir, ancak işareti "eksi"den "artı"ya değişir.

Sonuç: türevin yardımıyla, fonksiyonun davranışı hakkında bizi ilgilendiren her şeyi öğrenebilirsiniz.

Türev pozitif ise fonksiyon artıyor demektir.

Türev negatif ise fonksiyon azalıyor.

Maksimum noktada türev sıfırdır ve işareti artıdan eksiye değiştirir.

Minimum noktada türev de sıfırdır ve işareti eksiden artıya değiştirir.

Bu bulguları bir tablo şeklinde yazıyoruz:

İki küçük açıklama yapalım. Sorunu çözerken bunlardan birine ihtiyacınız olacak. Bir diğeri - ilk yılda, daha ciddi bir fonksiyon ve türev çalışması ile.

Bir fonksiyonun türevinin bir noktada sıfıra eşit olduğu bir durum mümkündür, ancak fonksiyonun bu noktada ne maksimumu ne de minimumu vardır. Bu sözde :

Bir noktada, grafiğin teğeti yataydır ve türevi sıfırdır. Ancak, noktadan önce fonksiyon arttı - ve noktadan sonra artmaya devam ediyor. Türevin işareti değişmez - olduğu gibi pozitif kalmıştır.

Ayrıca maksimum veya minimum noktasında türevin bulunmadığı da olur. Grafikte bu, belirli bir noktada teğet çizmenin imkansız olduğu keskin bir kırılmaya karşılık gelir.

Ancak fonksiyon bir grafikle değil, bir formülle verilirse türev nasıl bulunur? Bu durumda geçerli