Kök nasıl. Konuyla ilgili araştırma çalışması: "Hesap makinesi olmadan büyük sayılardan karekök çıkarma"

Öğrenciler her zaman şunu sorar: “Matematik sınavında neden hesap makinesi kullanamıyorum? Hesap makinesi olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır? Bu soruyu cevaplamaya çalışalım.

Hesap makinesi yardımı olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır?

Aksiyon karekök çıkarma kare almanın tersi.

√81= 9 9 2 =81

Pozitif bir sayının karekökünü alıp sonucun karesini alırsak aynı sayıyı elde ederiz.

değil büyük sayılar doğal sayıların tam kareleri olan , örneğin 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 karekök sözlü olarak çıkarılabilir. Genellikle okulda yirmiye kadar doğal sayıların karelerinden oluşan bir tablo öğretirler. Bu tabloyu bilerek, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 sayılarından karekökleri çıkarmak kolaydır. 400'den büyük sayılardan bazı ipuçlarını kullanarak seçim yöntemini kullanarak ayıklayabilirsiniz. Bu yöntemi ele almak için bir örnek deneyelim.

Misal: 676 sayısının kökünü çıkarın.

20 2 \u003d 400 ve 30 2 \u003d 900 olduğunu fark ettik, yani 20< √676 < 900.

Doğal sayıların tam kareleri 0 ile biter; 1; 4; 5; 6; dokuz.
6 sayısı 4 2 ve 6 2 ile verilir.
Yani, kök 676'dan alınırsa, o zaman ya 24 ya da 26'dır.

Kontrol etmek için kalır: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Cevap: √676 = 26 .

Daha misal: √6889 .

80 2 \u003d 6400 ve 90 2 \u003d 8100'den beri, 80< √6889 < 90.
9 sayısı 3 2 ve 7 2 ile verilir, o zaman √6889 ya 83 ya da 87'dir.

Kontrol: 83 2 = 6889.

Cevap: √6889 = 83 .

Seçim yöntemiyle çözmeyi zor buluyorsanız, kök ifadesini çarpanlara ayırabilirsiniz.

Örneğin, bul √893025.

893025 sayısını çarpanlarına ayıralım, hatırlayalım, altıncı sınıfta yapmıştınız.

Şunu elde ederiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daha örnek: √20736. 20736 sayısını çarpanlarına ayıralım:

√20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 elde ederiz.

Elbette faktoring, bölünebilme kriterleri bilgisi ve faktoring becerisi gerektirir.

Ve sonunda, var karekök kuralı. Bu kuralı bir örnekle inceleyelim.

Hesapla √279841.

Çok basamaklı bir tamsayının kökünü çıkarmak için, onu sağdan sola, her biri 2 basamak içeren yüzlere böleriz (sol uç yüzde bir basamak olabilir). 27'98'41 gibi yaz

Kökün (5) ilk basamağını elde etmek için, ilk sol yüzde (27) yer alan en büyük tam karenin karekökünü çıkarıyoruz.
Daha sonra ilk yüzden kökün (25) ilk basamağının karesi çıkarılır ve sonraki yüz (98) farka atfedilir (yıkılır).
Alınan 298 sayısının solunda, kökün (10) çift hanesini yazarlar, daha önce elde edilen sayının (29/2 ≈ 2) tüm onlarca sayısını bölerler, bölümü yaşarlar (102 ∙ 2 = 204, 298'den fazla olmamalıdır ve kökün ilk hanesinden sonra (2) yazmalıdır.
Daha sonra elde edilen bölüm 204, 298'den çıkarılır ve sonraki yön (41) farka (94) bağlanır (yıkılır).
Ortaya çıkan 9441 sayısının solunda, kökün basamaklarının çift çarpımını yazarlar (52 ∙ 2 = 104), bu çarpımla 9441 sayısının tüm onluklarını (944/104 ≈ 9) bölerler, deneyim bölüm (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 olmalı ve kökün ikinci hanesinden sonra (9) yazmalıdır.

√279841 = 529 cevabını aldık.

Benzer şekilde özü ondalık sayıların kökleri. Virgül yüzler arasında olacak şekilde yalnızca radikal sayı yüzlere bölünmelidir.

Misal. √0.00956484 değerini bulun.

Unutmayın, ondalık kesir varsa olumsuzluk çift ​​sayı ondalık basamaklar, tam karekök ondan çıkarılmaz.

Yani, şimdi kökü çıkarmanın üç yolunu gördünüz. Size en uygun olanı seçin ve pratik yapın. Problemleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek için onları çözmeniz gerekir. Ve herhangi bir sorunuz varsa, .

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

demonte etme zamanı kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de herhangi bir olmayan için geçerli olan eşitlik üzerine kuruludurlar. negatif sayı b.

Aşağıda sırayla kök çıkarmanın ana yöntemlerini ele alacağız.

En basit durumla başlayalım - bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Eğer kareler, küpler vb. elde değilse, kök sayısını basit faktörlere ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Ayrı olarak, tek üslü kökler için mümkün olan üzerinde durmaya değer.

Son olarak, kök değerinin basamaklarını sırayla bulmanızı sağlayan bir yöntem düşünün.

Başlayalım.

Bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb.

En basit durumlarda, kareler, küpler vb. tabloları köklerin çıkarılmasına izin verir. Bu tablolar nelerdir?

0'dan 99'a kadar tam sayıların kareleri tablosu (aşağıda gösterilmiştir) iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur, belirli bir satır ve belirli bir sütun seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı yapmanızı sağlar. Örneğin, 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge masanın geri kalanını kaplar. Hücrelerinin her biri, belirli bir satır ve belirli bir sütunun kesişme noktasında bulunur ve karşılık gelen sayının karesini içerir 0 ila 99 . Seçtiğimiz 8 onluk satırın ve birin 3. sütununun kesişiminde, 83 sayısının karesi olan 6889 numaralı bir hücre var.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar olan sayıların dördüncü üslü tabloları vb. kareler tablosuna benzer, sadece ikinci bölgede küpler, dördüncü üsler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.

Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. kare kökleri, küp kökleri, dördüncü kökleri vb. çıkarmanıza izin verir. sırasıyla bu tablolardaki rakamlardan Kök çıkarmadaki uygulama prensibini açıklayalım.

Diyelim ki a sayısı n'inci dereceler tablosunda yer alırken n'inci derecenin kökünü a sayısından çıkarmamız gerekiyor. Bu tabloya göre b sayısını a=b n olacak şekilde buluyoruz. Sonra , bu nedenle, b sayısı n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.

Örnek olarak, 19683'ün küp kökünün küp tablosu kullanılarak nasıl çıkarıldığını gösterelim. Küp tablosunda 19 683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının bir küpü olduğunu görüyoruz, bu nedenle, .

Kökleri çıkarırken n'inci derece tablolarının çok uygun olduğu açıktır. Ancak, genellikle elinizin altında değildirler ve derlenmeleri belirli bir süre gerektirir. Ayrıca, genellikle ilgili tablolarda yer almayan sayılardan kök çıkarmak gerekir. Bu durumlarda, kökleri çıkarmak için başka yöntemlere başvurmak gerekir.

Kök sayısının asal çarpanlara ayrılması

Doğal bir sayıdan kökü çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılırsa), kök sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Onun özü aşağıdaki gibidir: Daha sonra istenen gösterge ile bir derece olarak temsil etmek oldukça kolaydır, bu da kökün değerini almanızı sağlar. Bu noktayı açıklayalım.

n'inci derecenin kökü a doğal sayısından çıkarılsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda, a=b n eşitliği doğrudur. Herhangi bir doğal sayı olarak b sayısı, p 1 , p 2 , …, p m tüm asal faktörlerinin bir ürünü olarak p 1 p 2 p m şeklinde temsil edilebilir ve bu durumda a kök sayısı (p 1 olarak temsil edilir) p 2 ... p m) n . Sayının asal faktörlere ayrıştırılması benzersiz olduğundan, a kök sayısının asal faktörlere ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n gibi görünecektir, bu da kökün değerini şu şekilde hesaplamayı mümkün kılar. .

Eğer a kök sayısının çarpanlara ayrılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n şeklinde gösterilemiyorsa, o zaman böyle bir a sayısından n'inci derecenin kökü tamamen çıkarılmaz.

Örnekleri çözerken bununla ilgilenelim.

Misal.

144'ün karekökünü alın.

Karar.

Bir önceki paragrafta verilen kareler tablosuna dönersek, 144=12 2 olduğu açıkça görülür, buradan 144'ün karekökünün 12 olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında, 144 numaralı kök asal çarpanlarına ayrıştırılarak kökün nasıl çıkarıldığıyla ilgileniyoruz. Bu çözüme bir göz atalım.

hadi ayrıştıralım 144 asal çarpanlar:

Yani, 144=2 2 2 2 3 3 . Ortaya çıkan ayrışmaya bağlı olarak, aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Buradan, .

Köklerin derece ve özelliklerinin özelliklerini kullanarak, çözüm biraz farklı formüle edilebilir: .

Cevap:

Malzemeyi pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Misal.

Kök değerini hesaplayın.

Karar.

243 kök sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5'tir. Böylece, .

Cevap:

Misal.

Kökün değeri bir tam sayı mı?

Karar.

Bu soruyu cevaplamak için, kök sayıyı asal çarpanlara ayıralım ve bir tamsayının küpü olarak gösterilip gösterilemeyeceğini görelim.

285 768=2 3 3 6 7 2 var. Ortaya çıkan ayrışma, bir tamsayının küpü olarak temsil edilmez, çünkü derece asal faktör 7 üçün katı değildir. Bu nedenle, 285.768'in küp kökü tam olarak alınmamıştır.

Cevap:

Numara.

Kesirli sayılardan kök çıkarma

Kesirli sayıdan kökün nasıl çıkarıldığını bulmanın zamanı geldi. Kesirli kök sayı p/q olarak yazılsın. Bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu çıkar kesir kökü kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün paydanın köküne bölünmesinin bölümüne eşittir.

Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Misal.

karekökü nedir ortak kesir 25/169 .

Karar.

Kareler tablosuna göre, orijinal kesrin payının karekökünün 5 ve paydanın karekökünün 13 olduğunu bulduk. Sonra . Bu, 25/169 sıradan bir fraksiyondan kökün çıkarılmasını tamamlar.

Cevap:

Bir ondalık kesrin veya karışık bir sayının kökü, kök sayıları sıradan kesirlerle değiştirdikten sonra çıkarılır.

Misal.

474.552 ondalığının küp kökünü alın.

Karar.

Orijinal ondalık basamağı ortak bir kesir olarak gösterelim: 474.552=474552/1000 . Sonra . Elde edilen fraksiyonun pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Gibi 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000=10 3 , o zaman ve . Sadece hesaplamaları tamamlamak için kalır .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü çıkarma

Ayrı olarak, negatif sayılardan kök çıkarma üzerinde durmaya değer. Kökleri incelerken, kökün üssü tek bir sayı olduğunda, kökün işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söyledik. Bu tür gösterimlere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek bir üssü için . Bu eşitlik verir Negatif sayılardan tek kök çıkarma kuralı: Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, zıt pozitif sayının kökünü çıkarmanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.

Örnek bir çözüm düşünelim.

Misal.

Kök değerini bulun.

Karar.

Kök işaretinin altında pozitif bir sayı görünecek şekilde orijinal ifadeyi dönüştürelim: . Şimdi karışık sayıyı sıradan bir kesirle değiştiriyoruz: . Sıradan bir kesirden kök çıkarma kuralını uygularız: . Elde edilen kesrin pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak için kalır: .

İşte çözümün bir özeti: .

Cevap:

.

Bitsel Kök Değeri Bulma

Genel durumda, kökün altında, yukarıda tartışılan teknikleri kullanarak, herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak gösterilemeyen bir sayı vardır. Ancak aynı zamanda, en azından belirli bir işarete kadar belirli bir kökün değerini bilmeye ihtiyaç vardır. Bu durumda, kökü çıkarmak için, istenen sayının basamaklarının yeterli sayıda değerini tutarlı bir şekilde elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.

Bu algoritmanın ilk adımı, kök değerinin en önemli bitinin ne olduğunu bulmaktır. Bunu yapmak için, 0, 10, 100, ... sayıları, kök sayısını aşan bir sayı elde edilene kadar art arda n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra, önceki adımda n'nin kuvvetine yükselttiğimiz sayı, karşılık gelen yüksek sırayı gösterecektir.

Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını düşünün. 0, 10, 100, ... sayılarını alıp 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar karelerini alıyoruz. 0 2 =0 var<5 , 10 2 =100>5 , bu, en anlamlı basamağın birler basamağı olacağı anlamına gelir. Bu bitin değeri ve daha düşükleri, kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın aşağıdaki tüm adımları, en yüksekten başlayıp en düşüğe doğru hareket ederek, kökün istenen değerinin sonraki basamaklarının değerlerinin bulunması nedeniyle kök değerinin art arda iyileştirilmesine yöneliktir. . Örneğin, ilk adımda kökün değeri 2 , ikincide - 2.2 , üçüncüde - 2.23 , ve bu şekilde 2.236067977 ... . Bitlerin değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım.

Rakamları bulma, numaralandırılarak gerçekleştirilir. olası değerler 0, 1, 2, ..., 9 . Bu durumda, karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve kök sayı ile karşılaştırılır. Bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen basamağın değerinin bulunduğu kabul edilir ve bu olmazsa, kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır, o zaman bu basamağın değeri 9'dur.

Tüm bu noktaları, beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak açıklayalım.

İlk olarak, birler basamağının değerini bulun. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2 , 1 2 , …, 9 2 hesaplayarak 0, 1, 2, …, 9 değerlerini yineleyeceğiz. Tüm bu hesaplamalar uygun bir şekilde bir tablo şeklinde sunulur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (çünkü 2 2<5 , а 2 3 >5) Onuncu yerin değerini bulmaya devam edelim. Bu durumda, elde edilen değerleri kök sayısı 5 ile karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5, o zaman onuncu yerin değeri 2'dir. Yüzüncüler basamağının değerini bulmaya devam edebilirsiniz:

Böylece beşin kökünün bir sonraki değeri bulunur, 2.23'e eşittir. Ve böylece daha fazla değer bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk olarak, kıdemli rakamı tanımlarız. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alıyoruz. 2,151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 =0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , yani en anlamlı basamak onlar basamağıdır.

Değerini tanımlayalım.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, o zaman onlar basamağının değeri 1'dir. Birimlere geçelim.

Böylece, birler basamağının değeri 2'dir. On numaraya geçelim.

12.9 3 bile 2 151.186 kök sayısından küçük olduğu için onuncu yerin değeri 9'dur. Algoritmanın son adımını gerçekleştirmek için kalır, bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecektir.

Bu aşamada kökün değeri yüzde bire kadar bulunur: .

Bu yazının sonucunda, kök çıkarmanın daha birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.

Bibliyografya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir el kitabı).

Matematik, bir kişi kendisinin farkına vardığında ve kendini dünyanın özerk bir birimi olarak konumlandırmaya başladığında doğdu. Sizi çevreleyen şeyi ölçme, karşılaştırma, hesaplama arzusu - günümüzün temel bilimlerinden birinin altında yatan şey budur. İlk başta, bunlar sayıları fiziksel ifadeleriyle ilişkilendirmeyi mümkün kılan temel matematik parçalarıydı, daha sonra sonuçlar sadece teorik olarak (soyutlukları nedeniyle) sunulmaya başlandı, ancak bir süre sonra bir bilim adamının dediği gibi, " matematik, tüm sayılar olduğunda karmaşıklığın tavanına ulaştı." "Kare kök" kavramı, hesaplama düzleminin ötesine geçerek, ampirik verilerle kolayca desteklenebildiği bir zamanda ortaya çıktı.

Her şey nasıl başladı

Şu anda √ olarak adlandırılan kökün ilk sözü, modern aritmetiğin temellerini atan Babilli matematikçilerin yazılarında kaydedilmiştir. Tabii ki, mevcut forma biraz benziyorlardı - o yılların bilim adamları ilk önce hacimli tabletler kullandılar. Ancak MÖ 2. binyılda. e. karekökün nasıl alınacağını gösteren yaklaşık bir hesaplama formülü buldular. Aşağıdaki fotoğraf, Babilli bilim adamlarının çıktı sürecini √2 oyduğu bir taşı gösteriyor ve o kadar doğru olduğu ortaya çıktı ki, cevaptaki tutarsızlık yalnızca ondalık basamakta bulundu.

Ayrıca, diğer ikisinin bilinmesi şartıyla, bir üçgenin kenarını bulmak gerektiğinde kök kullanılmıştır. İkinci dereceden denklemleri çözerken kökü çıkarmaktan kaçış yoktur.

Babil eserlerinin yanı sıra, makalenin amacı Çin "Dokuz Kitapta Matematik" çalışmasında da incelenmiştir ve eski Yunanlılar, kökün kalansız olarak çıkarılmadığı herhangi bir sayının irrasyonel bir sonuç verdiği sonucuna varmışlardır. .

Bu terimin kökeni, sayının Arapça temsili ile ilişkilidir: eski bilim adamları, keyfi bir sayının karesinin bir bitki gibi kökten büyüdüğüne inanıyorlardı. Latince'de, bu kelime sayı tabanı gibi geliyor (bir kalıp izlenebilir - "kök" anlamsal yükü olan her şey, ister turp ister siyatik olsun, ünsüzdür).

Sonraki nesillerin bilim adamları bu fikri aldı ve Rx olarak belirledi. Örneğin 15. yüzyılda karekökün rastgele bir a sayısından alındığını belirtmek için R 2 a yazmışlardır. Modern görünüme aşina olan “kene” √, Rene Descartes sayesinde ancak 17. yüzyılda ortaya çıktı.

Günlerimiz

Matematiksel olarak, y'nin karekökü, karesi y olan z sayısıdır. Başka bir deyişle, z 2 =y, √y=z'ye eşdeğerdir. Bununla birlikte, bu tanım, ifadenin negatif olmayan bir değerini ima ettiğinden, yalnızca aritmetik kök için geçerlidir. Başka bir deyişle, √y=z, burada z 0'dan büyük veya 0'a eşittir.

Genel olarak bir cebirsel kök belirlemek için geçerli olan bir ifadenin değeri pozitif veya negatif olabilir. Böylece, z 2 =y ve (-z) 2 =y olduğundan, elimizde: √y=±z veya √y=|z| var.

Matematik sevgisinin sadece bilimin gelişmesiyle artması nedeniyle, kuru hesaplamalarda ifade edilmeyen çeşitli bağlılık tezahürleri vardır. Örneğin Pi günü gibi ilginç olaylarla birlikte karekök tatilleri de kutlanır. Yüz yılda dokuz kez kutlanırlar ve şu prensibe göre belirlenirler: Sırasıyla günü ve ayı gösteren sayılar yılın karekökü olmalıdır. Bu nedenle, bir dahaki sefere bu tatil 4 Nisan 2016'da kutlanacak.

R alanındaki karekökün özellikleri

Hemen hemen tüm matematiksel ifadelerin geometrik bir temeli vardır, bu kader geçmedi ve √y, alanı y olan bir karenin kenarı olarak tanımlanır.

Bir sayının kökü nasıl bulunur?

Birkaç hesaplama algoritması vardır. En basit, ama aynı zamanda oldukça hantal, aşağıdaki gibi olağan aritmetik hesaplamadır:

1) köküne ihtiyacımız olan sayıdan, tek sayılar sırayla çıkarılır - çıktının geri kalanı çıkarılandan küçük olana veya hatta sıfıra eşit olana kadar. Hamle sayısı sonunda istenen sayı haline gelecektir. Örneğin, 25'in karekökünü hesaplamak için:

Sonraki tek sayı 11, kalan: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bu gibi durumlar için bir Taylor serisi açılımı vardır:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , burada n 0'dan 0'a kadar değerler alır

+∞ ve |y|≤1.

z=√y fonksiyonunun grafik gösterimi

y'nin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu R reel sayıları alanında bir temel fonksiyon z=√y düşünün. Onun grafiği şöyle görünüyor:

Eğri orijinden büyür ve zorunlu olarak (1; 1) noktasını geçer.

R reel sayılar alanında z=√y fonksiyonunun özellikleri

1. Değerlendirilen fonksiyonun tanım alanı, sıfırdan artı sonsuza kadar olan aralıktır (sıfır dahildir).

2. Değerlendirilen fonksiyonun değer aralığı, sıfırdan artı sonsuza kadar olan aralıktır (sıfır tekrar dahil edilir).

3. İşlev, minimum değeri (0) yalnızca (0; 0) noktasında alır. Maksimum değer yoktur.

4. z=√y işlevi ne çift ne de tektir.

5. z=√y fonksiyonu periyodik değildir.

6. z=√y fonksiyonunun grafiğinin koordinat eksenleriyle yalnızca bir kesişme noktası vardır: (0; 0).

7. z=√y fonksiyonunun grafiğinin kesişim noktası da bu fonksiyonun sıfırıdır.

8. z=√y fonksiyonu sürekli büyüyor.

9. z=√y işlevi yalnızca pozitif değerler alır, bu nedenle grafiği birinci koordinat açısını kaplar.

z=√y işlevini görüntüleme seçenekleri

Matematikte, karmaşık ifadelerin hesaplanmasını kolaylaştırmak için bazen karekök yazmanın kuvvet formunu kullanırlar: √y=y 1/2. Bu seçenek, örneğin bir fonksiyonu bir kuvvete yükseltmek için uygundur: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu yöntem aynı zamanda integralli türev için de iyi bir temsildir, çünkü onun sayesinde karekök sıradan bir güç fonksiyonu ile temsil edilir.

Ve programlamada, √ sembolünün yerine sqrt harflerinin birleşimi gelir.

Hesaplamalar için gerekli geometrik formüllerin çoğunun bir parçası olduğu için bu alanda karekökün büyük talep gördüğünü belirtmekte fayda var. Sayma algoritmasının kendisi oldukça karmaşıktır ve özyinelemeye (kendini çağıran bir işlev) dayanır.

C karmaşık alanındaki karekök

Genel olarak, bu makalenin konusu, karmaşık sayılar C alanının keşfini teşvik etti, çünkü matematikçiler, negatif bir sayıdan çift dereceli bir kök elde etme sorusuyla musallat oldular. Çok ilginç bir özellikle karakterize edilen hayali birim böyle ortaya çıktı: karesi -1. Bu sayede ikinci dereceden denklemler ve negatif diskriminantlı bir çözüm buldu. C'de, karekök için, R'dekiyle aynı özellikler geçerlidir, tek şey, kök ifadesindeki kısıtlamaların kaldırılmasıdır.

Kök nasıl çıkarılır numaradan. Bu yazıda dört ve beş basamaklı sayıların karekökünü almayı öğreneceğiz.

Örnek olarak 1936'nın karekökünü alalım.

Buradan, .

1936'nın son basamağı 6'dır. 4'ün karesi ve 6'nın karesi 6'da biter. Bu nedenle, 1936, 44 veya 46'nın karesi olabilir. Çarpma kullanılarak doğrulanması gerekiyor.

Anlamına geliyor,

15129 sayısının karekökünü çıkaralım.

Buradan, .

15129'un son basamağı 9'dur. 9, 3'ün karesi ve 7 ile biter. Bu nedenle, 15129, 123 veya 127'nin karesi olabilir. Çarpma ile kontrol edelim.

Anlamına geliyor,

Nasıl root yapılır - video

Ve şimdi Anna Denisova'nın videosunu izlemenizi öneririm - "Kök nasıl çıkarılır ", site yazarı" basit fizik", burada hesap makinesi olmadan kare ve küp köklerin nasıl çıkarılacağını açıklıyor.

Video, kökleri çıkarmanın birkaç yolunu tartışıyor:

1. Karekökü çıkarmanın en kolay yolu.

2. Toplamın karesini kullanarak eşleştirme.

3. Babil yolu.

4. Bir sütunda karekök çıkarma yöntemi.

5. Küp kökünü çıkarmanın hızlı bir yolu.

6. Bir sütundaki küp kökünü çıkarma yöntemi.