En Büyük Ortak Bölen (GCD): Tanım, Örnekler ve Özellikler. Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi bulma ve asal çarpanlara ayırma

En büyük ortak böleni

tanım 2

Bir a doğal sayısı $b$ doğal sayısına bölünebiliyorsa, o zaman $b$, $a$'ın böleni ve $a$ sayısı da $b$'ın katı olarak adlandırılır.

$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun. $c$ sayısına hem $a$ hem de $b$ için ortak bölen denir.

$a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi sonludur, çünkü bu bölenlerin hiçbiri $a$'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenlerden en büyüğünün olduğu anlamına gelir, buna $a$ ve $b$ sayılarının en büyük ortak böleni denir ve gösterim bunu belirtmek için kullanılır:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​veya \ D \ (a;b)$

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için:

1. 2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

örnek 1

121$ ve 132$ sayılarının gcd'sini bulun.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçin

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

$gcd=2\cdot 11=22$

Örnek 2

$63$ ve $81$ tek terimlilerin GCD'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için:

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçiyoruz

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

$gcd=3\cdot 3=9$

Sayıların bölenleri kümesini kullanarak iki sayının GCD'sini başka bir şekilde bulabilirsiniz.

Örnek 3

$48$ ve $60$ sayılarının gcd'sini bulun.

Karar:

$\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$: 48$ bölen kümesini bulun

Şimdi $60$'ın bölenleri kümesini bulalım:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Bu kümelerin kesişimini bulalım: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu küme $48$ ve $60 sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir. $. Bu kümedeki en büyük eleman 12$ sayısı olacaktır. Yani 48$ ve 60$'ın en büyük ortak böleni 12$'dır.

NOC'un tanımı

tanım 3

doğal sayıların ortak katı$a$ ve $b$, hem $a$ hem de $b$'ın katı olan bir doğal sayıdır.

Sayıların ortak katları, orijinal sayıya kalansız bölünebilen sayılardır.Örneğin, 25$ ve 50$ sayıları için ortak katlar 50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.

En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılır ve LCM$(a;b)$ veya K$(a;b).$ ile gösterilir.

İki sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayırma
2. İlk sayının bir parçası olan faktörleri yazın ve onlara ikincinin parçası olan ve birinciye gitmeyen faktörleri ekleyin.

Örnek 4

$99$ ve $77$ sayılarının LCM'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için

Sayıları asal çarpanlarına ayırma

$99=3\cdot 3\cdot 11$

İlkinde yer alan faktörleri yazınız.

onlara ikincinin parçası olan ve birinciye gitmeyen faktörleri ekleyin

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı istenen en küçük ortak kat olacaktır.

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sayıların bölenlerinin listelerini derlemek genellikle çok zaman alır. Öklid'in algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.

Euclid'in algoritmasının dayandığı ifadeler:

$a$ ve $b$ doğal sayılarsa ve $a\vdots b$ ise, o zaman $D(a;b)=b$

$a$ ve $b$, $b olacak şekilde doğal sayılarsa

$D(a;b)= D(a-b;b)$ kullanarak, biri diğerine bölünebilecek bir sayı çiftine ulaşana kadar, söz konusu sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı $a$ ve $b$ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

GCD ve LCM'nin Özellikleri

1. $a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak katı K$(a;b)$ ile bölünebilir
2. $a\vdots b$ ise, K$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$ ve $m$-doğal sayı ise, K$(am;bm)=km$

$d$, $a$ ve $b$ için ortak bir bölen ise, o zaman K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

$a\vdots c$ ve $b\vdots c$ ise, $\frac(ab)(c)$, $a$ ve $b$'ın ortak katıdır

$a$ ve $b$ doğal sayıları için eşitlik

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak böleni, $D(a;b)$'ın bir bölenidir.

Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılara eşit olarak bölünebilir.

örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünür;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya tam bölünür.

Sayının bölünebildiği sayılara (12 için 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayı bölenleri. Bir doğal sayının böleni a verilen sayıyı bölen doğal sayıdır a iz bırakmadan. İkiden fazla çarpanı olan doğal sayılara denir bileşik. 12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğuna dikkat edin. Bunlar sayılardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir.

Verilen iki sayının ortak böleni a ve b Verilen her iki sayının da kalansız bölünebildiği sayıdır a ve b. Çoklu Sayıların Ortak Bölenleri (GCD) her biri için bölen görevi gören sayıdır.

Kısaca sayıların en büyük ortak böleni a ve bşöyle yazılır:

Misal: gcd (12; 36) = 12.

Çözüm gösterimindeki sayıların bölenleri, büyük harf"D".

Misal:

gcd (7; 9) = 1

7 ve 9 sayılarının yalnızca bir ortak böleni vardır - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir. asalchi slam.

asal sayılar tek bir ortak böleni olan doğal sayılardır - 1 sayısı. Bunların gcd'si 1'dir.

En Büyük Ortak Bölen (GCD), özellikler.

• Ana özellik: en büyük ortak bölen m ve n bu sayıların herhangi bir ortak böleniyle bölünebilir. Misal: 12 ve 18 sayıları için en büyük ortak bölen 6'dır; bu sayıların tüm ortak bölenleri ile bölünebilir: 1, 2, 3, 6.
• Sonuç 1: ortak bölenler kümesi m ve n gcd bölenleri kümesiyle çakışır( m, n).
• Sonuç 2: ortak katlar kümesi m ve nçoklu LCM'ler kümesiyle çakışır ( m, n).

Bu, özellikle, bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmek gerektiği anlamına gelir.

• Sayıların En Büyük Ortak Bölenleri m ve n tüm lineer kombinasyonlarının kümesinin en küçük pozitif elemanı olarak tanımlanabilir:

ve bu nedenle sayıların doğrusal bir birleşimi olarak temsil edilir m ve n:

Bu oran denir Bezout'un oranı ve katsayılar sen ve v — boşluk katsayıları. Bézout katsayıları, genişletilmiş Öklid algoritması tarafından verimli bir şekilde hesaplanır. Bu ifade, doğal sayı kümelerine genelleştirilmiştir - anlamı, küme tarafından oluşturulan grubun alt grubunun döngüsel olduğu ve bir öğe tarafından oluşturulduğudur: gcd ( a 1 , a 2 , … , bir).

En büyük ortak bölenin (gcd) hesaplanması.

İki sayının gcd'sini hesaplamanın etkili yolları şunlardır: Öklid'in algoritması ve ikilialgoritma. Ayrıca, GCD değeri ( m,n) sayıların kanonik açılımı biliniyorsa kolayca hesaplanabilir m ve n asal faktörler için:

nerede farklı asal sayılar ve ve negatif olmayan tam sayılardır (ilgili asal sayı genişlemede değilse, bunlar sıfır olabilir). Sonra gcd ( m,n) ve LCM ( m,n) aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

İkiden fazla sayı varsa: , GCD'leri aşağıdaki algoritmaya göre bulunur:

- bu istenen GCD'dir.

Ayrıca bulmak için en büyük ortak böleni, verilen sayıların her birini asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Ardından, yalnızca verilen tüm sayılara dahil edilen faktörleri ayrı ayrı yazın. Sonra kendi aralarında yazılan sayıları çarparız - çarpmanın sonucu en büyük ortak bölendir .

Adım adım en büyük ortak bölen hesaplamasını inceleyelim:

1. Sayıların bölenlerini asal çarpanlara ayırın:

Hesaplamalar, dikey bir çubuk kullanılarak kolayca yazılır. Satırın soluna, önce böleni, sağına - böleni yazın. Ayrıca sol sütunda özel değerleri yazıyoruz. Hemen bir örnekle açıklayalım. 28 ve 64 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

2. Her iki sayıda da aynı asal çarpanların altını çiziyoruz:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Aynı asal çarpanların çarpımını buluyoruz ve cevabı yazıyoruz:

OBEB (28; 64) = 2. 2 = 4

Cevap: OBEB (28; 64) = 4

GCD'nin konumunu iki şekilde düzenleyebilirsiniz: bir sütunda (yukarıda yapıldığı gibi) veya "bir satırda".

GCD yazmanın ilk yolu:

GCD 48 ve 36'yı bulun.

OBEB (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

GCD yazmanın ikinci yolu:

Şimdi GCD arama çözümünü bir satıra yazalım. GCD 10 ve 15'i bulun.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Bu makale hakkında en büyük ortak böleni (gcd) bulma iki ve daha fazla sayılar. İlk olarak, Öklid algoritmasını düşünün, iki sayının GCD'sini bulmanızı sağlar. Bundan sonra, sayıların GCD'sini ortak asal faktörlerinin bir ürünü olarak hesaplamamıza izin veren bir yöntem üzerinde duracağız. Daha sonra, üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmakla ilgileneceğiz ve ayrıca negatif sayıların GCD'sini hesaplamaya örnekler vereceğiz.

Sayfa gezintisi.

Öklid'in GCD'yi bulmak için algoritması

En başından beri asal sayılar tablosuna dönmüş olsaydık, 661 ve 113 sayılarının asal olduğunu öğrenecektik, bundan hemen sonra bunların en büyük ortak böleninin 1 olduğunu söyleyebiliriz.

Cevap:

gcd(661, 113)=1 .

Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak OBEB'i Bulma

GCD'yi bulmanın başka bir yolunu düşünün. En büyük ortak bölen, sayıları asal çarpanlara ayırarak bulunabilir. Kuralı formüle edelim: İki pozitif a ve b tamsayısının gcd'si, a ve b'nin asal çarpanlarına ayırmalarındaki tüm ortak asal faktörlerin çarpımına eşittir..

OBEB bulma kuralını açıklamak için bir örnek verelim. 220 ve 600 sayılarının asal çarpanlarına açılımlarını bize bildirin, formları 220=2 2 5 11 ve 600=2 2 2 3 5 5 . 220 ve 600 sayılarının açılımında yer alan ortak asal çarpanlar 2, 2 ve 5'tir. Bu nedenle gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Böylece, a ve b sayılarını asal çarpanlarına ayırır ve tüm ortak çarpanlarının çarpımını bulursak, a ve b sayılarının en büyük ortak bölenini buluruz.

Açıklanan kurala göre GCD'yi bulma örneğini düşünün.

Misal.

72 ve 96'nın en büyük ortak bölenini bulun.

Karar.

72 ve 96 sayılarını çarpanlarına ayıralım:

Yani 72=2 2 2 3 3 ve 96=2 2 2 2 2 3 . Ortak asal çarpanlar 2, 2, 2 ve 3'tür. O halde gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Cevap:

gcd(72, 96)=24 .

Bu bölümün sonunda, gcd'yi bulmak için yukarıdaki kuralın geçerliliğinin, en büyük ortak bölenin özelliğinden kaynaklandığını belirtiyoruz. OBEB(m a 1 , m b 1)=m OBEB(a 1 , b 1), burada m herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Üç veya daha fazla sayıdan oluşan GCD'yi bulma

Üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmak, iki sayının gcd'sini art arda bulmaya indirgenebilir. GCD'nin özelliklerini incelerken bundan bahsetmiştik. Orada teoremi formüle ettik ve kanıtladık: a 1 , a 2 , …, a k sayılarının en büyük ortak böleni sayıya eşittir d k , sıralı hesaplama 1'de bulunan a k)=d k .

Birkaç sayının EBOB'unu bulma işleminin örneğin çözümünü göz önünde bulundurarak nasıl göründüğünü görelim.

Misal.

78, 294, 570 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

Karar.

Bu örnekte 1 =78 , 2 =294 , 3 =570 , 4 =36 .

İlk olarak, Öklid algoritmasını kullanarak, ilk iki sayı 78 ve 294'ün en büyük ortak bölenini d 2 belirleriz. Bölerken, 294=78 3+60 eşitliklerini elde ederiz; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 ve 18=6 3 . Böylece, d 2 =OGD(78, 294)=6 .

şimdi hesaplayalım d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Yine Öklid algoritmasını uygularız: 570=6·95 , bu nedenle, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Hesaplamak için kalır d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). 36, 6'ya bölünebildiğinden, d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Böylece, verilen dört sayının en büyük ortak böleni d 4 =6 , yani gcd(78, 294, 570, 36)=6'dır.

Cevap:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Sayıları asal faktörlere ayrıştırmak, üç veya daha fazla sayının GCD'sini hesaplamanıza da olanak tanır. Bu durumda en büyük ortak bölen, verilen sayıların tüm ortak asal çarpanlarının çarpımı olarak bulunur.

Misal.

Asal çarpanlarına ayırmalarını kullanarak önceki örnekteki sayıların GCD'sini hesaplayın.

Karar.

78 , 294 , 570 ve 36 sayılarını asal çarpanlarına ayırırsak 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 .3 elde ederiz. Verilen dört sayının hepsinin ortak asal çarpanları 2 ve 3 sayılarıdır. Buradan, OBEB(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Hadi sorunu çözelim. İki tür çerezimiz var. Bazıları çikolata, bazıları sade. 48 adet çikolata ve 36 adet sade çikolata bulunmaktadır.Bu kurabiyelerden mümkün olan en fazla sayıda hediyeyi yapmak ve hepsini kullanmak gerekir.

Öncelikle bu iki sayının tüm bölenlerini yazalım, çünkü bu sayıların her ikisi de hediye sayısına bölünebilir olmalıdır.

alırız

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Hem birinci hem de ikinci sayının ortak bölenlerini bulalım.

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Hepsinin en büyük ortak böleni 12'dir. Bu sayıya 36 ve 48'in en büyük ortak böleni denir.

Sonuca göre, tüm çerezlerden 12 hediye yapılabileceği sonucuna varabiliriz. Böyle bir hediye 4 çikolatalı kurabiye ve 3 normal kurabiye içerecektir.

En Büyük Ortak Böleni Bulma

• a ve b sayılarının kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir.

Bazen girişi kısaltmak için GCD kısaltması kullanılır.

Bazı sayı çiftlerinin en büyük ortak bölenleri bir tanedir. Böyle sayılar denir asal sayılar.Örneğin, 24 ve 35 sayıları. OBEB =1 olsun.

En büyük ortak bölen nasıl bulunur

En büyük ortak böleni bulmak için bu sayıların tüm bölenlerini yazmaya gerek yoktur.

Başka türlü yapabilirsiniz. İlk olarak, her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırın.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Şimdi, birinci sayının açılımına dahil olan faktörlerden, ikinci sayının açılımına dahil olmayanların hepsini siliyoruz. Bizim durumumuzda, bunlar iki ikili.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

2, 2 ve 3 çarpanları kalır, çarpımı 12'dir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olacaktır.

Bu kural üç, dört vb. durumlara genişletilebilir. sayılar.

En büyük ortak böleni bulmak için genel şema

• 1. Sayıları asal çarpanlara ayırın.
• 2. Bu sayılardan birinin açılımında yer alan çarpanlardan, diğer sayıların açılımında yer almayan çarpanları çiziniz.
• 3. Kalan faktörlerin çarpımını hesaplayın.