ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติคือ 6 ด้าน พีระมิด

พีระมิด ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ ขึ้นอยู่กับว่าฐานคืออะไร - สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ
พีระมิดเรียกว่าถูกต้อง (รูปที่ 286b) ถ้าประการแรก ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และประการที่สอง ความสูงผ่านจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้
มิฉะนั้น พีระมิดจะเรียกว่าผิดปกติ (รูปที่ 286, c) ในปิรามิดทั่วไป ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติจึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
การวิเคราะห์องค์ประกอบของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติและการแสดงในรูปวาดที่ซับซ้อน (รูปที่ 287).

ก) การวาดที่ซับซ้อนของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ ฐานของปิรามิดตั้งอยู่บนระนาบ P 1 ; ฐานสองด้านของพีระมิดขนานกับระนาบของการฉายภาพ П 2 .
b) ฐาน ABCDEF - รูปหกเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบของการฉายภาพ П 1 .
c) ใบหน้าด้านข้าง ASF - สามเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบในตำแหน่งทั่วไป
d) ใบหน้าด้านข้าง FSE - สามเหลี่ยมที่อยู่ในโปรไฟล์ - ระนาบการฉาย
จ) edge SE เป็นส่วนในตำแหน่งทั่วไป
f) Edge SA - ส่วนหน้า
g) S ด้านบนของปิรามิดเป็นจุดในอวกาศ
บน (รูปที่ 288 และรูปที่ 289) แสดงตัวอย่างการทำงานของกราฟิกตามลำดับเมื่อทำการวาดที่ซับซ้อนและภาพที่มองเห็นได้ (axonometry) ของปิรามิด

ที่ให้ไว้:
1. ฐานตั้งอยู่บนเครื่องบิน P 1
2. ด้านใดด้านหนึ่งของฐานขนานกับแกน x 12
I. การวาดภาพแบบบูรณาการ
ฉัน, ก. เราออกแบบฐานของปิรามิด - รูปหลายเหลี่ยมตามเงื่อนไขนี้ซึ่งอยู่ในระนาบ П 1 .
เราออกแบบจุดยอด - จุดที่ตั้งอยู่ในอวกาศ ความสูงของจุด S เท่ากับความสูงของปิรามิด การฉายภาพแนวนอน S 1 ของจุด S จะอยู่ที่กึ่งกลางของการฉายภาพฐานของพีระมิด (ตามเงื่อนไข)
ฉัน, ข. เราออกแบบขอบของปิรามิด - ส่วน ในการทำเช่นนี้ เราเชื่อมต่อเส้นโครงตรงของจุดยอดฐาน ABCDE กับเส้นโครงที่สอดคล้องกันของยอดพีระมิด S ภาพฉายด้านหน้า S 2 C 2 และ S 2 D 2 ของขอบของปิรามิดนั้นแสดงด้วยเส้นประที่มองไม่เห็น ปิดด้วยใบหน้าของปิรามิด (SBA และ SAE)
เข้าใจแล้ว. การฉายภาพแนวนอน K 1 ของจุด K บน SBA ใบหน้าด้านข้างนั้น จำเป็นต้องหาการฉายภาพด้านหน้า ในการทำเช่นนี้เราวาดเส้นเสริม S 1 F 1 ผ่านจุด S 1 และ K 1 ค้นหาการฉายภาพด้านหน้าและบนนั้นโดยใช้เส้นแนวตั้งของการสื่อสารกำหนดตำแหน่งของการฉายภาพด้านหน้าที่ต้องการ K 2 ของจุด เค
ครั้งที่สอง การพัฒนาพื้นผิวของพีระมิดเป็นรูปแบนประกอบด้วยใบหน้าด้านข้าง - สามเหลี่ยมหน้าจั่วเหมือนกัน ด้านหนึ่งเท่ากับด้านข้างของฐาน และอีกสองด้าน - ไปที่ขอบด้านข้าง และจากรูปหลายเหลี่ยมปกติ - ฐาน.
มิติตามธรรมชาติของด้านข้างของฐานถูกเปิดเผยจากการฉายภาพในแนวนอน ไม่มีการเปิดเผยขนาดตามธรรมชาติของซี่โครงบนส่วนที่ยื่นออกมา
ด้านตรงข้ามมุมฉาก S 2 ¯A 2 (รูปที่ 288, 1 , ข) สามเหลี่ยมมุมฉาก S 2 O 2 ¯A 2 ซึ่งขาใหญ่เท่ากับความสูง S 2 O 2 ของพีระมิดและขาเล็กเท่ากับการฉายแนวนอนของขอบ S 1 A 1 คือขนาดธรรมชาติของขอบ ของปิรามิด ควรสร้างการกวาดตามลำดับต่อไปนี้:
a) จากจุดใดก็ได้ S (จุดยอด) เราวาดส่วนโค้งที่มีรัศมี R เท่ากับขอบของปิรามิด
b) บนส่วนโค้งที่วาดไว้ กันห้าคอร์ดขนาด R 1 เท่ากับด้านข้างของฐาน
c) เชื่อมต่อจุด D, C, B, A, E, D เข้าด้วยกันและด้วยจุด S ด้วยเส้นตรงเราได้ห้าหน้าจั่ว สามเหลี่ยมเท่ากับซึ่งประกอบขึ้นจากการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดนี้ ตัดตามขอบ SD ;
d) เราแนบฐานของปิรามิดกับใบหน้าใด ๆ - รูปห้าเหลี่ยมโดยใช้วิธีการสามเหลี่ยมเช่นกับใบหน้า DSE
จุด K ถูกย้ายไปยังพื้นที่กวาดโดยใช้เส้นตรงเสริมโดยใช้ขนาด B 1 F 1 ที่ถ่ายจากการฉายภาพในแนวนอน และขนาด A 2 K 2 ใช้กับขนาดตามธรรมชาติของซี่โครง
สาม. การแสดงภาพของปิรามิดในแบบมีมิติเท่ากัน
III, ก. เราพรรณนาฐานของปิรามิดโดยใช้พิกัดตาม (รูปที่ 288 1 ก)
เราพรรณนายอดปิรามิดโดยใช้พิกัดของ (รูปที่ 288 1 ก)
III, ข. เราพรรณนาขอบด้านข้างของปิรามิดโดยเชื่อมต่อด้านบนกับยอดของฐาน ขอบ S"D" และด้านข้างของฐาน C"D" และ D"E" แสดงด้วยเส้นประที่มองไม่เห็นปิดโดยใบหน้าของปิรามิด C"S"B", B"S"A" และเอ"ส"อี"
III, อี เรากำหนดจุดบนพื้นผิวของพีระมิด K โดยใช้มิติ y F และ x K สำหรับภาพไดเมตริกของปิรามิด ควรทำตามลำดับเดียวกัน
รูปภาพของปิรามิดสามเหลี่ยมที่ไม่สม่ำเสมอ

ที่ให้ไว้:
1. ฐานตั้งอยู่บนเครื่องบิน P 1
2. ด้าน BC ของฐานตั้งฉากกับแกน X
I. การวาดภาพแบบบูรณาการ
ฉัน, ก. เราออกแบบฐานของปิรามิด - สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่วางอยู่บนระนาบ P 1 และ S บนสุด - จุดที่อยู่ในอวกาศซึ่งมีความสูงเท่ากับความสูงของปิรามิด
ฉัน, ข. เราออกแบบขอบของปิรามิด - ส่วนที่เราเชื่อมต่อการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกันของจุดยอดของฐานด้วยการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกันของส่วนบนของปิรามิดด้วยเส้นตรง เราพรรณนาภาพการฉายภาพแนวนอนที่ด้านข้างของฐานเครื่องบินด้วยเส้นประที่มองไม่เห็นซึ่งปิดด้วยพีระมิด ABS, ACS สองหน้า
เข้าใจแล้ว. ในการฉายภาพหน้าผาก A 2 C 2 S 2 ของใบหน้าด้านข้าง ให้ฉายภาพ D 2 ของจุด D จำเป็นต้องหาเส้นโครงในแนวนอน ในการทำเช่นนี้ผ่านจุด D 2 เราวาดเส้นตรงเสริมขนานกับแกน x 12 - การฉายภาพด้านหน้าของแนวนอนจากนั้นเราพบการฉายภาพในแนวนอนและบนนั้นโดยใช้เส้นแนวตั้งของการสื่อสารเรากำหนดตำแหน่งของ การฉายภาพแนวนอนที่ต้องการ D 1 ของจุด D
ครั้งที่สอง การก่อสร้างเครื่องกวาดปิรามิด
มิติตามธรรมชาติของด้านข้างของฐานถูกเปิดเผยในการฉายภาพในแนวนอน ขนาดตามธรรมชาติของซี่โครง AS ถูกเปิดเผยในการฉายภาพหน้าผาก ไม่มีขนาดตามธรรมชาติของซี่โครง BS และ CS ในการฉายภาพ ขนาดของซี่โครงเหล่านี้ถูกเปิดเผยโดยการหมุนรอบแกน i ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ P 1 ที่ผ่านด้านบนของปิรามิด S การฉายภาพด้านหน้าแบบใหม่ ¯C 2 S 2 เป็นค่าธรรมชาติของ edge CS
ลำดับการสร้างการพัฒนาพื้นผิวของปิรามิด:
ก) วาดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว - หน้า CSB ฐานซึ่งเท่ากับด้านข้างของฐานของพีระมิด CB และ ข้าง- ขนาดธรรมชาติของซี่โครง SC ;
b) เราเพิ่มสามเหลี่ยมสองรูปที่ด้านข้าง SC และ SB ของรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้น - ใบหน้าของปิรามิด CSA และ BSA และไปที่ฐาน CB ของรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้น - ฐานของปิรามิด CBA ดังนั้นเราจึงได้ค่าที่สมบูรณ์ แฉพื้นผิวของปิรามิดนี้
การถ่ายโอนจุด D ไปยังการพัฒนาจะดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้: ขั้นแรก ให้ลากเส้นแนวนอนบนการพัฒนาด้าน ASC โดยใช้มิติ R 1 จากนั้นกำหนดตำแหน่งของจุด D บนเส้นแนวนอนโดยใช้ R 2 มิติ
สาม. การแสดงภาพของการฉายภาพสามมิติของพีระมิดและหน้าผาก
III, ก. เราพรรณนาถึงฐาน A "B" C และ S บนสุดของปิรามิดโดยใช้พิกัดตาม (

การคำนวณปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่เป็นหนึ่งในงานที่สำคัญของ stereometry ในบทความนี้เราจะพิจารณาปัญหาในการกำหนดปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมเช่นปิรามิดและให้รูปหกเหลี่ยมปกติด้วย

พีระมิดหกเหลี่ยม

เริ่มต้นด้วยการพิจารณาว่าตัวเลขคืออะไรซึ่งจะกล่าวถึงในบทความ

ขอให้เรามีรูปหกเหลี่ยมโดยพลการซึ่งด้านไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สมมติว่าเราได้เลือกจุดในอวกาศที่ไม่ได้อยู่ในระนาบของรูปหกเหลี่ยม โดยการเชื่อมต่อทุกมุมของส่วนหลังกับจุดที่เลือกเราจะได้ปิรามิด ปิรามิดสองรูปที่มีฐานหกเหลี่ยมต่างกัน ดังรูปด้านล่าง

จะเห็นได้ว่านอกเหนือจากรูปหกเหลี่ยมแล้ว รูปประกอบด้วยสามเหลี่ยมหกรูป ซึ่งจุดเชื่อมต่อเรียกว่าจุดยอด ความแตกต่างระหว่างปิรามิดที่ปรากฎคือความสูง h ของด้านขวาไม่ตัดกับฐานหกเหลี่ยมที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต ในขณะที่ความสูงของรูปด้านซ้ายตรงกับจุดศูนย์กลางนี้พอดี ด้วยเกณฑ์นี้ปิรามิดด้านซ้ายจึงถูกเรียกว่าตรงและด้านขวาเอียง

เนื่องจากฐานของรูปด้านซ้ายในรูปเป็นรูปหกเหลี่ยมที่มีด้านและมุมเท่ากันจึงเรียกว่าถูกต้อง ต่อไปในบทความเราจะพูดถึงปิรามิดนี้เท่านั้น

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ h คือความยาวของความสูงของรูป S o คือพื้นที่ฐาน ลองใช้นิพจน์นี้เพื่อกำหนดปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ

เนื่องจากตัวเลขที่พิจารณาอยู่บนพื้นฐานของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า นิพจน์ทั่วไปต่อไปนี้สำหรับ n-gon สามารถใช้คำนวณพื้นที่ได้:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มเท่ากับจำนวนด้าน (มุม) ของรูปหลายเหลี่ยม a คือความยาวของด้าน ฟังก์ชันโคแทนเจนต์คำนวณโดยใช้ตารางที่เหมาะสม

การใช้นิพจน์สำหรับ n = 6 เราได้รับ:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

ตอนนี้ยังคงแทนที่นิพจน์นี้เป็น สูตรทั่วไปสำหรับปริมาณ V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

ดังนั้น ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่กำลังพิจารณา จำเป็นต้องทราบพารามิเตอร์เชิงเส้นตรงสองพารามิเตอร์: ความยาวของด้านข้างของฐานและความสูงของรูป

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ให้เราแสดงให้เห็นว่านิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ V 6 สามารถใช้แก้ปัญหาต่อไปนี้ได้อย่างไร

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าปริมาตรที่ถูกต้องคือ 100 ซม. 3 จำเป็นต้องกำหนดด้านข้างของฐานและความสูงของร่างหากทราบว่ามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เนื่องจากมีเพียง a และ h เท่านั้นที่รวมอยู่ในสูตรสำหรับปริมาตร พารามิเตอร์ใดๆ เหล่านี้สามารถแทนที่ลงในพารามิเตอร์นั้นได้ โดยแสดงผ่านอีกค่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เราแทนที่ a เราจะได้:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

ชั่วโมง = ∛(V 6 /(2*√3))

ในการหาค่าความสูงของรูป จำเป็นต้องทำการรูทของดีกรีที่สามจากปริมาตร ซึ่งสอดคล้องกับมิติของความยาว เราแทนที่ค่าปริมาตร V 6 ของปิรามิดจากเงื่อนไขของปัญหา เราได้ความสูง:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3.0676 cm

เนื่องจากด้านข้างของฐาน ตามเงื่อนไขของปัญหา มีค่าเป็นสองเท่าของค่าที่พบ เราจึงได้ค่าของมัน:

a = 2*h = 2*3.0676 = 6.1352 cm

ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมสามารถพบได้ไม่เพียงแค่ความสูงของร่างและค่าของด้านข้างของฐานเท่านั้น การรู้พารามิเตอร์เชิงเส้นตรงสองค่าของพีระมิดเพื่อคำนวณก็เพียงพอแล้ว เช่น เส้นตั้งฉากและความยาวของขอบด้านข้าง

การวาดภาพเป็นครั้งแรกและมาก ขั้นตอนสำคัญในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต สิ่งที่ควรเป็นภาพวาดของปิรามิดปกติ?

ให้จำไว้ก่อน คุณสมบัติการออกแบบคู่ขนาน:

- ส่วนคู่ขนานของรูปแสดงเป็นส่วนคู่ขนาน

- รักษาอัตราส่วนของความยาวของส่วนของเส้นคู่ขนานและส่วนของเส้นตรงหนึ่งเส้น

การวาดพีระมิดสามเหลี่ยมธรรมดา

ขั้นแรกให้วาดฐาน เนื่องจากมุมและอัตราส่วนของความยาวของส่วนที่ไม่ขนานกันไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ในรูปแบบขนาน สามเหลี่ยมปกติที่ฐานของปิรามิดจึงแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากค่ามัธยฐานที่จุดตัดแบ่งในอัตราส่วน 2: 1 นับจากด้านบนเราจึงเชื่อมต่อด้านบนของฐานกับตรงกลางของด้านตรงข้ามประมาณ 3 ส่วนและวางจุดไว้ที่ ระยะห่างจากด้านบน 2 ส่วน ลากเส้นตั้งฉากจากจุดนี้ขึ้นไป นี่คือความสูงของปิรามิด เราวาดเส้นตั้งฉากให้ยาวจนขอบด้านข้างไม่บังภาพความสูง

วาดถูกต้อง พีระมิดทรงสี่เหลี่ยม

การวาดรูปปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติก็เริ่มจากฐานเช่นกัน เนื่องจากความเท่าเทียมของส่วนต่างๆ ยังคงอยู่ แต่ขนาดของมุมไม่เท่ากัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ฐานจึงแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นที่น่าพอใจ มุมแหลมทำให้สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เล็กลง จากนั้นใบหน้าด้านข้างก็จะใหญ่ขึ้น จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราวาดเส้นทแยงมุมจากจุดตัดเราคืนค่าแนวตั้งฉาก ตั้งฉากนี้คือความสูงของปิรามิด เราเลือกความยาวของฉากตั้งฉากเพื่อไม่ให้ขอบด้านข้างรวมกัน

การวาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ

เนื่องจากการฉายภาพแบบขนานจะรักษาความเท่าเทียมของส่วนต่างๆ ไว้ ฐานของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ - รูปหกเหลี่ยมปกติ - จะถูกวาดเป็นรูปหกเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากัน จุดศูนย์กลางของรูปหกเหลี่ยมปกติคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม เพื่อไม่ให้ภาพวาดยุ่งเหยิง เราจะไม่วาดเส้นทแยงมุม แต่เราพบจุดนี้โดยประมาณ จากนั้นเราคืนค่าแนวตั้งฉาก - ความสูงของปิรามิด - เพื่อไม่ให้ขอบด้านข้างรวมกัน

วันที่: 2015-01-19

ถ้าคุณต้องการ คำแนะนำทีละขั้นตอนวิธีสร้างการกวาดปิรามิด จากนั้นฉันขอบทเรียนของเรา ก่อนอื่น ให้ประเมินว่าปิรามิดของคุณกางออกในลักษณะเดียวกับในรูปที่ 1 หรือไม่

หากคุณหมุนมันที่ 90 องศา ขอบที่ทำเครื่องหมายในรูปเป็น "ค่าที่ทราบจริงที่ทราบ" ในกรณีของคุณจะอยู่บนโครงโพรไฟล์ ซึ่งคุณจะต้องสร้าง ในกรณีของฉัน ไม่จำเป็น เรามีปริมาณทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการก่อสร้างอยู่แล้ว สิ่งสำคัญคือต้องไม่ลืมว่าในภาพวาดนี้ เฉพาะขอบ SA และ SD ที่ฉายด้านหน้าเท่านั้นที่แสดงในขนาดเต็ม ส่วนอื่นๆ ทั้งหมดถูกฉายด้วยความผิดเพี้ยนของความยาว นอกจากนี้ ในมุมมองด้านบน ยังฉายทุกด้านของรูปหกเหลี่ยมในขนาดเต็มด้วย จากนี้เรามาเริ่มกันเลย

1. เพื่อความสวยงามยิ่งขึ้น ให้ลากเส้นแรกในแนวนอน (ภาพที่ 1) จากนั้นเราจะวาดส่วนโค้งกว้างที่มีรัศมี R=a นั่นคือ โดยมีรัศมีเท่ากับความยาวของขอบด้านข้างของปิรามิด เราได้จุด A จากนั้นเราทำรอยบากบนส่วนโค้งด้วยเข็มทิศโดยมีรัศมี r \u003d b (ความยาวของด้านข้างของฐานของปิรามิด) มาดูจุด B กัน เรามีหน้าพีระมิดแรกอยู่แล้ว!

2. จากจุด B เราจะสร้างรอยบากอีกอันที่มีรัศมีเดียวกัน - เราจะได้จุด C และเชื่อมต่อกับจุด B และ S เราจะได้หน้าด้านที่สองของปิรามิด (รูปที่ 2)

3. ทำซ้ำขั้นตอนเหล่านี้ตามจำนวนครั้งที่ต้องการ (ทั้งหมดขึ้นอยู่กับจำนวนใบหน้าที่ปิรามิดของคุณมี) เราจะได้รับพัดลมดังกล่าว (รูปที่ 3) ด้วยโครงสร้างที่ถูกต้อง คุณควรได้คะแนนทั้งหมดของฐาน และจุดสุดโต่งควรทำซ้ำ

4. ไม่จำเป็นเสมอไป แต่ก็ยังจำเป็น: เพิ่มฐานของปิรามิดเพื่อพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง ฉันเชื่อว่าทุกคนที่อ่านมาถึงจุดนี้รู้วิธีวาดรูปห้าเหลี่ยมหกแปด (วิธีวาดรูปห้าเหลี่ยมมีอธิบายโดยละเอียดในบทเรียน) ความยากอยู่ที่ความจริงที่ว่าต้องวาดรูป สถานที่ถูกต้องและในมุมฉาก วาดแกนตรงกลางใบหน้าใดก็ได้ จากจุดตัดกับเส้นฐาน เราพล็อตระยะทาง m ดังแสดงในรูปที่ 4


การวาดเส้นตั้งฉากผ่านจุดนี้ เราได้แกนของรูปหกเหลี่ยมในอนาคต จากจุดศูนย์กลางผลลัพธ์ เราจะวาดวงกลม เช่นเดียวกับที่คุณทำเมื่อสร้างมุมมองด้านบน โปรดทราบว่าวงกลมจะต้องผ่านจุดสองจุดของใบหน้าด้านข้าง (ในกรณีของฉันคือ F และ A)

5. รูปที่ 5 แสดงมุมมองสุดท้ายที่คลี่ออกของปริซึมหกเหลี่ยม


เสร็จสิ้นการสร้างกวาดปิรามิด สร้างการกวาดล้างของคุณ เรียนรู้ที่จะหาวิธีแก้ไข กัดกร่อนและอย่ายอมแพ้ ขอบคุณที่แวะมา อย่าลืมแนะนำเราให้กับเพื่อน ๆ ของคุณ :) ดีที่สุด!

หรือจดหมายเลขโทรศัพท์ของเราและบอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับเรา - อาจมีใครบางคนกำลังมองหาวิธีการวาดภาพ

หรือสร้างบันทึกเกี่ยวกับบทเรียนของเราบนหน้าหรือบล็อกของคุณ - และคนอื่นจะเชี่ยวชาญในการวาดภาพ