สิ่งที่เรียกว่า ทรงลูกบาศก์

คำนิยาม

รูปทรงหลายเหลี่ยมเราจะเรียกพื้นผิวปิดที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและล้อมรอบพื้นที่บางส่วน

ส่วนที่เป็นด้านของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่า ซี่โครงรูปทรงหลายเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยมเอง - ใบหน้า. จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

เราจะพิจารณาเฉพาะรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน (นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อยู่ด้านหนึ่งของระนาบแต่ละระนาบที่มีใบหน้า)

รูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมจากพื้นผิว ส่วนของอวกาศที่ล้อมรอบด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดเรียกว่าภายใน

คำนิยาม: ปริซึม

พิจารณารูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันสองรูป \(A_1A_2A_3...A_n\) และ \(B_1B_2B_3...B_n\) ซึ่งอยู่ในระนาบขนานกันเพื่อให้เซ็กเมนต์ \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)เป็นแบบขนาน รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3...A_n\) และ \(B_1B_2B_3...B_n\) รวมถึงสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), เรียกว่า (\(n\)-coal) ปริซึม.

รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3...A_n\) และ \(B_1B_2B_3...B_n\) เรียกว่า ฐานของปริซึม สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– ใบหน้าด้านข้าง, เซ็กเมนต์ \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- ซี่โครงด้านข้าง
ดังนั้นขอบด้านข้างของปริซึมจึงขนานกันและเท่ากัน

ลองพิจารณาตัวอย่าง - ปริซึม \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\)ซึ่งฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมนูน

ส่วนสูงปริซึมเป็นเส้นตั้งฉากจากจุดใดๆ บนฐานหนึ่งไปยังระนาบของฐานอื่น

ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน เรียกว่า ปริซึม เฉียง(รูปที่ 1) มิฉะนั้น - ตรง. สำหรับปริซึมตรง ขอบด้านข้างเป็นความสูง และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปริซึมขวา ปริซึมจะถูกเรียกว่า ถูกต้อง.

คำนิยาม: แนวคิดของปริมาณ

หน่วยปริมาตรเป็นหน่วยลูกบาศก์ (ลูกบาศก์ที่มีมิติ \(1\times1\times1\) หน่วย\(^3\) โดยที่หน่วยเป็นหน่วยวัดบางส่วน)

เราสามารถพูดได้ว่าปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือปริมาณของพื้นที่ที่รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้จำกัด มิฉะนั้น: นี่คือค่า ค่าตัวเลขซึ่งแสดงจำนวนครั้งที่ลูกบาศก์หน่วยและชิ้นส่วนต่างๆ พอดีกับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

ปริมาณมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับพื้นที่:

1. ปริมาตรของตัวเลขเท่ากันจะเท่ากัน

2. หากรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกันหลายรูป ปริมาตรของรูปนั้น เท่ากับผลรวมปริมาณของรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้

3. Volume เป็นค่าที่ไม่เป็นลบ

4. ปริมาตรมีหน่วยเป็น cm\(^3\) (ลูกบาศก์เซนติเมตร), m\(^3\) ( ลูกบาศก์เมตร) เป็นต้น

ทฤษฎีบท

1. พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม
พื้นที่ผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของปริซึม

2. ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปริซึม: \

คำนิยาม: กล่อง

ขนานกันเป็นปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ใบหน้าทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ของพวกเขา \(6\) : \(4\) ใบหน้าด้านข้างและ \(2\) ฐาน) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและใบหน้าตรงข้าม (ขนานกัน) เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน (รูปที่ 2)

เส้นทแยงมุมของกล่องเป็นส่วนเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของ parallelepiped ที่ไม่อยู่ในใบหน้าเดียวกัน (ของพวกเขา \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)เป็นต้น)

ทรงลูกบาศก์เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน
เพราะ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวา แล้วด้านด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยทั่วไปแล้ว ใบหน้าทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เส้นทแยงมุมทั้งหมดของทรงลูกบาศก์เท่ากัน (ตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)เป็นต้น)

ความคิดเห็น

ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงมีคุณสมบัติทั้งหมดของปริซึม

ทฤษฎีบท

พื้นที่ผิวด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ \

สี่เหลี่ยม เต็มพื้นผิวสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ \

ทฤษฎีบท

ปริมาตรของทรงลูกบาศก์เท่ากับผลคูณของขอบทั้งสามของมันที่ออกมาจากจุดยอดเดียว (สามมิติของทรงลูกบาศก์): \

การพิสูจน์

เพราะ สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานจากนั้นพวกเขาก็สูงเช่นกันนั่นคือ \(h=AA_1=c\) ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). นี่คือที่มาของสูตร

ทฤษฎีบท

เส้นทแยงมุม \(d\) ของทรงลูกบาศก์ถูกค้นหาโดยสูตร (โดยที่ \(a,b,c\) คือขนาดของทรงลูกบาศก์)\

การพิสูจน์

พิจารณารูปที่ 3. เพราะ ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น \(\triangle ABD\) จะเป็นสี่เหลี่ยม ดังนั้น โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\)

เพราะ ขอบด้านข้างทั้งหมดตั้งฉากกับฐาน จากนั้น \(BB_1\perp (ABC) \ลูกศรขวา BB_1\)ตั้งฉากกับเส้นใด ๆ ในระนาบนี้คือ \(BB_1\perp BD\) ดังนั้น \(\triangle BB_1D\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้วตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), ท.

คำนิยาม: cube

คิวบ์เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทุกด้านมีกำลังสองเท่ากัน

ดังนั้น สามมิติจึงเท่ากัน: \(a=b=c\) . ต่อไปนี้เป็นความจริง

ทฤษฎีบท

1. ปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีขอบ \(a\) คือ \(V_(\text(cube))=a^3\)

2. ค้นหาลูกบาศก์เส้นทแยงมุมโดยใช้สูตร \(d=a\sqrt3\)

3. พื้นที่ผิวทั้งหมดของลูกบาศก์ \(S_(\text(การวนซ้ำเต็มลูกบาศก์))=6a^2\).

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปเรขาคณิต ซึ่งใบหน้าทั้ง 6 ด้านเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ขึ้นอยู่กับประเภทของสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้ Parallepiped ประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• ตรง;
• เอียง;
• สี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาคือปริซึมสี่เหลี่ยมที่มีขอบทำมุม 90 องศากับระนาบฐาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมสี่เหลี่ยมซึ่งหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลูกบาศก์เป็นปริซึมสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งซึ่งทุกหน้าและขอบเท่ากัน

คุณสมบัติของรูปกำหนดคุณสมบัติของมันล่วงหน้า ซึ่งรวมถึงข้อความ 4 ต่อไปนี้:

การจดจำคุณสมบัติทั้งหมดข้างต้นนั้นเรียบง่าย เข้าใจง่าย และได้มาจากเหตุผลตามประเภทและคุณสมบัติ ร่างกายเรขาคณิต. อย่างไรก็ตาม ข้อความง่ายๆ อาจมีประโยชน์อย่างเหลือเชื่อเมื่อแก้ไขงาน USE ทั่วไป และจะช่วยประหยัดเวลาที่จำเป็นในการผ่านการทดสอบ

สูตรขนาน

การหาคำตอบของปัญหายังไม่เพียงพอที่จะทราบคุณสมบัติของรูปเท่านั้น คุณอาจต้องใช้สูตรเพื่อหาพื้นที่และปริมาตรของตัวเรขาคณิต

พื้นที่ของฐานยังพบเป็นตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสามารถเลือกฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ด้วยตัวเอง ตามกฎแล้วเมื่อแก้ปัญหาจะง่ายกว่าที่จะทำงานกับปริซึมซึ่งยึดตามสี่เหลี่ยมผืนผ้า

อาจจำเป็นต้องใช้สูตรในการค้นหาพื้นผิวด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานในงานทดสอบ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้งานทั่วไป

แบบฝึกหัดที่ 1

ที่ให้ไว้: ทรงลูกบาศก์ขนาด 3, 4 และ 12 ซม.
จำเป็นหาความยาวของหนึ่งในเส้นทแยงมุมหลักของภาพ
การตัดสินใจ: การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตใด ๆ จะต้องเริ่มต้นด้วยการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและชัดเจนซึ่งจะแสดง "ให้" และค่าที่ต้องการ รูปด้านล่างเป็นตัวอย่าง การออกแบบที่ถูกต้องเงื่อนไขงาน

เมื่อพิจารณาจากรูปวาดที่ทำขึ้นและจดจำคุณสมบัติทั้งหมดของตัวเรขาคณิตแล้ว เราก็ได้ค้นพบวิธีที่ถูกต้องวิธีเดียวในการแก้ปัญหานี้ การใช้คุณสมบัติ 4 ของ parallelepiped เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

หลังจากการคำนวณอย่างง่าย เราได้รับนิพจน์ b2=169 ดังนั้น b=13 พบคำตอบของงานแล้ว ควรใช้เวลาไม่เกิน 5 นาทีในการค้นหาและวาด

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. การศึกษา:

แนะนำแนวคิดเรื่อง Parallelepiped และประเภทของมัน
- กำหนด (ใช้การเปรียบเทียบกับสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยม) และพิสูจน์คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมด้านขนาน
- ทำซ้ำคำถามที่เกี่ยวข้องกับความขนานและความตั้งฉากในอวกาศ

2. การพัฒนา:

เพื่อดำเนินการต่อการพัฒนากระบวนการทางปัญญาในนักเรียนเช่นการรับรู้, ความเข้าใจ, การคิด, ความสนใจ, ความทรงจำ;
- เพื่อส่งเสริมการพัฒนาองค์ประกอบในนักเรียน กิจกรรมสร้างสรรค์เป็นคุณสมบัติของการคิด (สัญชาตญาณ การคิดเชิงพื้นที่);
- เพื่อสร้างความสามารถในการสรุปผลรวมถึงโดยการเปรียบเทียบซึ่งช่วยให้เข้าใจการเชื่อมต่อภายในวิชาในเรขาคณิต

3. การศึกษา:

มีส่วนร่วมในการศึกษาขององค์กรนิสัยของ งานอย่างเป็นระบบ;
- เพื่อส่งเสริมการพัฒนาทักษะด้านสุนทรียภาพในการจัดทำบันทึก, การเขียนแบบ

ประเภทของบทเรียน: บทเรียน-การเรียนรู้ สื่อใหม่ (2 ชั่วโมง)

โครงสร้างบทเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร
2. การทำให้เป็นจริงของความรู้
3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่
4. สรุปและทำการบ้าน

อุปกรณ์ : โปสเตอร์ (สไลด์) พร้อมหลักฐาน โมเดลตัวเรขาคณิตต่างๆ รวมทั้งเครื่องฉายภาพแบบขนานทุกประเภท เครื่องฉายภาพ

ระหว่างเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร

2. การทำให้เป็นจริงของความรู้

การรายงานหัวข้อของบทเรียน กำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ร่วมกับนักเรียน แสดงความสำคัญเชิงปฏิบัติของการศึกษาหัวข้อ ทำซ้ำประเด็นที่ศึกษาก่อนหน้านี้ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้

3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

3.1. Parallelepiped และประเภทของมัน

แบบจำลองของ parallelepiped นั้นแสดงให้เห็นด้วยการระบุคุณลักษณะที่ช่วยกำหนดคำจำกัดความของ parallelepiped โดยใช้แนวคิดของปริซึม

คำนิยาม:

ขนานกันปริซึมที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า

Parallepiped ถูกวาด (รูปที่ 1) องค์ประกอบของ Parallepiped ถูกระบุว่าเป็นกรณีพิเศษของปริซึม แสดงสไลด์ 1

สัญกรณ์แผนผังของคำจำกัดความ:

ข้อสรุปมาจากคำจำกัดความ:

1) ถ้า ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 เป็นปริซึม และ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้ว ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 จะเป็น ขนานกัน.

2) ถ้า ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ขนานกันแล้ว ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 เป็นปริซึม และ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3) ถ้า ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ไม่ใช่ปริซึมหรือ ABCD ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ไม่ ขนานกัน.

4) . ถ้า ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ไม่ใช่ ขนานกันแล้ว ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ไม่ใช่ปริซึมหรือ ABCD ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถัดไป การพิจารณากรณีพิเศษของ Parallepiped กับการสร้างรูปแบบการจัดหมวดหมู่ (ดูรูปที่ 3) มีการสาธิตแบบจำลองและคุณสมบัติเฉพาะของเส้นตรงและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความโดดเด่นคำจำกัดความของพวกเขาถูกกำหนดขึ้น

คำนิยาม:

Parallepiped เรียกว่าตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน

คำนิยาม:

ขนานนามว่า สี่เหลี่ยมหากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน และฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ดูรูปที่ 2)

หลังจากเขียนคำจำกัดความในรูปแบบแผนผังแล้วจะมีการกำหนดข้อสรุปจากคำจำกัดความ

3.2. คุณสมบัติของ Parallepiped

ค้นหาตัวเลข planimetric ซึ่งเป็นอะนาล็อกเชิงพื้นที่ที่มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับความคล้ายคลึงกันทางสายตาของตัวเลข การใช้กฎการอนุมานโดยการเปรียบเทียบ ตารางจะถูกเติม

กฎการอนุมานโดยการเปรียบเทียบ:

1. เลือกจากการศึกษาก่อนหน้านี้ ตัวเลขคล้ายกับอันนี้
2. กำหนดคุณสมบัติของตัวเลขที่เลือก
3. กำหนดคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันของร่างเดิม
4. พิสูจน์หรือหักล้างคำสั่งที่กำหนด

หลังจากการกำหนดคุณสมบัติแล้วการพิสูจน์ของแต่ละรายการจะดำเนินการตามรูปแบบต่อไปนี้:

• อภิปรายแผนการพิสูจน์
• การสาธิตสไลด์พิสูจน์ (สไลด์ 2-6);
• การลงทะเบียนหลักฐานในสมุดบันทึกของนักเรียน

3.3 Cube และคุณสมบัติของมัน

คำจำกัดความ: ลูกบาศก์เป็นทรงลูกบาศก์ที่มีทั้งสามมิติเท่ากัน

โดยการเปรียบเทียบกับ Paraleepiped นักเรียนสร้างเร็กคอร์ดแผนผังของคำจำกัดความโดยอิสระ รับผลที่ตามมา และกำหนดคุณสมบัติของลูกบาศก์

4. สรุปและทำการบ้าน

การบ้าน:

1. ใช้โครงร่างบทเรียนตามตำราเรขาคณิตสำหรับเกรด 10-11, L.S. Atanasyan และคนอื่นๆ ศึกษา ch.1, §4, p.13, ch.2, §3, p.24.
2. พิสูจน์หรือพิสูจน์หักล้างคุณสมบัติของ Parallepiped รายการที่ 2 ของตาราง
3. ตอบคำถามเพื่อความปลอดภัย

คำถามทดสอบ

1. เป็นที่ทราบกันว่ามีเพียงสองด้านของด้านขนานที่ฉากตั้งฉากกับฐาน Parallepiped ชนิดใด

2. Parallepiped สามารถมีใบหน้าด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้กี่หน้า?

3. เป็นไปได้ไหมที่จะมีหน้าด้านเดียวขนาน:

1) ตั้งฉากกับฐาน
2) มีรูปทรงสี่เหลี่ยม

4. ในแนวขนานด้านขวา เส้นทแยงมุมทั้งหมดเท่ากัน เป็นสี่เหลี่ยม?

5. เป็นความจริงหรือไม่ที่ส่วนในแนวทแยงมุมฉากขนานกับระนาบของฐานจะตั้งฉากกับระนาบของฐาน?

6. กำหนดทฤษฎีบท สนทนากับทฤษฎีบทบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

7. คุณลักษณะเพิ่มเติมใดที่ทำให้ลูกบาศก์แตกต่างจากทรงลูกบาศก์?

8. ลูกบาศก์จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยที่ขอบทั้งหมดเท่ากันที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่งหรือไม่?

9. กำหนดทฤษฎีบทบนกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับกรณีของลูกบาศก์

หรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหกหน้าและแต่ละคน - สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ประเภทของกล่อง

มีหลายประเภท:

• ทรงลูกบาศก์คือทรงลูกบาศก์ที่มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมด
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีหน้าด้าน 4 ด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• กล่องเฉียงคือกล่องที่มีหน้าด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน

องค์ประกอบหลัก

รูปหน้าสองด้านของหน้าด้านขนานที่ไม่มีขอบร่วมกันเรียกว่าด้านตรงข้ามและด้านที่มีขอบร่วมกันเรียกว่าด้านประชิด จุดยอดสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่อยู่ในใบหน้าเดียวกันเรียกว่าด้านตรงข้าม ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามเรียกว่าเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน ความยาวของขอบทั้งสามของทรงลูกบาศก์ที่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่ามิติของมัน

คุณสมบัติ

• ส่วนขนานกับจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมมีความสมมาตร
• ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานและผ่านตรงกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกหารด้วยครึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทแยงมุมทั้งหมดของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วผ่าครึ่ง
• ด้านตรงข้ามของ parallelepiped นั้นขนานกันและเท่ากัน
• กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของสามมิติของมัน

สูตรพื้นฐาน

ขวาขนาน

พื้นที่ผิวด้านข้าง S b \u003d R o * h โดยที่ R o คือปริมณฑลของฐาน h คือความสูง

พื้นที่ผิวทั้งหมด S p \u003d S b + 2S o โดยที่ S o คือพื้นที่ของฐาน

ปริมาณ V=S o *h

ทรงลูกบาศก์

พื้นที่ผิวด้านข้าง S b \u003d 2c (a + b) โดยที่ a, b คือด้านข้างของฐาน c คือขอบด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ผิวทั้งหมด S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

ปริมาณ V=abc โดยที่ a, b, c คือขนาดของทรงลูกบาศก์

คิวบ์

พื้นที่ผิว: $S=6a^2$
ปริมาณ: $V=a^3$, ที่ไหน $เอ$- ขอบของลูกบาศก์

กล่องตามอำเภอใจ

ปริมาตรและอัตราส่วนในกล่องเบ้มักจะกำหนดโดยใช้พีชคณิตเวกเตอร์ ปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์สามตัวที่กำหนดโดยด้านทั้งสามของด้านขนานที่ออกมาจากจุดยอดหนึ่งจุด อัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านของด้านขนานกับมุมระหว่างทั้งสองทำให้ข้อความว่าดีเทอร์มีแนนต์แกรมของเวกเตอร์ทั้งสามนี้เท่ากับกำลังสองของผลิตภัณฑ์ผสม: 215 .

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ภายใต้ n- มิติสี่เหลี่ยมด้านขนาน $บี$เข้าใจหลายจุด $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ใจดี $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "Parallelepiped"

หมายเหตุ

ลิงค์

ถูกต้อง ถูกต้อง ไม่นูน นูน สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี อื่น

ข้อความที่ตัดตอนมาเกี่ยวกับลักษณะของ Parallelepiped

- ใน dit que les rivaux se sont reconciates grace a l "angine ... [พวกเขาบอกว่าคู่แข่งคืนดีกันเพราะความเจ็บป่วยนี้]
คำว่า angine ถูกพูดซ้ำด้วยความยินดีอย่างยิ่ง
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [การนับครั้งก่อนนั้นน่าประทับใจมาก เขาพูดว่า เขาร้องไห้เหมือนเด็กตอนที่หมอ กล่าวว่ากรณีอันตราย.]
โอ้ ce serait une perte แย่มาก C "est une femme ravissante [โอ้ นั่นคงจะเป็นการสูญเสียครั้งใหญ่ ผู้หญิงที่น่ารักจริงๆ]
“Vous parlez de la pauvre comtesse” แอนนา ปาฟลอฟนาพูดขึ้นมา - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - Anna Pavlovna พูดด้วยรอยยิ้มเหนือความกระตือรือร้นของเธอ - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite Elle est bien malheureuse, [คุณกำลังพูดถึงคุณหญิงผู้น่าสงสาร... ฉันส่งไปเพื่อหาข้อมูลเกี่ยวกับสุขภาพของเธอ ฉันบอกว่าเธอดีขึ้นนิดหน่อย โอ้ ไม่ต้องสงสัยเลย นี่คือผู้หญิงที่สวยที่สุดในโลก เราอยู่คนละค่าย แต่สิ่งนี้ไม่ได้ขัดขวางไม่ให้ฉันเคารพเธอตามคุณธรรมของเธอ เธอไม่มีความสุขเลย] Anna Pavlovna กล่าวเสริม
เชื่อว่าด้วยคำพูดเหล่านี้ Anna Pavlovna ได้เปิดม่านความลับเหนือความเจ็บป่วยของเคาน์เตสเล็กน้อยชายหนุ่มผู้ประมาทคนหนึ่งจึงยอมให้ตัวเองแสดงความประหลาดใจที่ไม่ได้ถูกเรียก แพทย์ชื่อดังแต่เคาน์เตสได้รับการปฏิบัติโดยคนหลอกลวงที่สามารถให้การเยียวยาที่เป็นอันตรายได้
“ข้อมูลของ Vos peuvent etre meilleures que les miennes” Anna Pavlovna จู่โจมผู้ที่ไม่มีประสบการณ์ หนุ่มน้อย. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [ข่าวของคุณอาจแม่นยำกว่าของฉัน ... แต่ฉันมาจาก แหล่งที่ดีฉันรู้ว่าหมอคนนี้เป็นคนที่เรียนรู้และเก่งมาก นี่คือแพทย์ชีวิตของราชินีแห่งสเปน] - และด้วยเหตุนี้การทำลายชายหนุ่ม Anna Pavlovna จึงหันไปหา Bilibin ซึ่งอยู่ในอีกวงหนึ่งหยิบผิวหนังขึ้นมาและเห็นได้ชัดว่ากำลังจะละลายเพื่อพูด un mot พูด เกี่ยวกับชาวออสเตรีย
- Je trouve que c "est charmant! [ฉันคิดว่ามันมีเสน่ห์!] - เขาพูดเกี่ยวกับกระดาษทางการทูตซึ่ง Wittgenstein นำแบนเนอร์ออสเตรียไปเวียนนา le heros de Petropol [ฮีโร่แห่ง Petropolis] (ในขณะที่เขา ถูกเรียกในปีเตอร์สเบิร์ก)
- เป็นยังไงบ้าง? Anna Pavlovna หันมาหาเขา ปลุกความเงียบให้ได้ยินมด ซึ่งเธอรู้อยู่แล้ว
และบิลิบินย้ำถ้อยคำอันแท้จริงของการส่งทูตที่เขารวบรวมไว้ดังต่อไปนี้:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens" Bilibin กล่าวว่า "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route [จักรพรรดิส่งแบนเนอร์ออสเตรียแบนเนอร์ที่เป็นมิตรและเข้าใจผิดซึ่งเขาพบภายนอก ถนนจริง.] เสร็จ Bilibin คลายผิวของเขา
- Charmant, charmant, [มีเสน่ห์, มีเสน่ห์] - เจ้าชาย Vasily กล่าว
- C "est la route de Varsovie peut etre, [นี่คือถนนวอร์ซอ, อาจจะ.] - เจ้าชายฮิปโปลิเตพูดเสียงดังอย่างไม่คาดคิด ทุกคนมองมาที่เขาไม่เข้าใจว่าเขาต้องการจะพูดอะไรกับเรื่องนี้ เจ้าชายฮิปโปลิเตก็มองไปรอบๆ ด้วย เซอร์ไพรส์ร่าเริงรอบตัวเขา เขาก็เหมือนกับคนอื่นๆ ที่เขาไม่เข้าใจว่าคำพูดของเขาหมายถึงอะไร ระหว่างทำงานทางการทูต เขาสังเกตเห็นหลายครั้งว่าจู่ๆ คำพูดที่จู่ๆ ก็พูดแบบนี้กลับกลายเป็นว่าเฉียบขาด และในกรณีนี้ เขา เขาพูดคำเหล่านี้ว่า “บางทีมันอาจจะออกมาดีก็ได้” เขาคิด “แต่ถ้ามันไม่ออกมา พวกเขาจะจัดให้ที่นั่นได้” แท้จริงในขณะที่ความเงียบงุ่มง่ามครอบงำใบหน้าที่ไม่รักชาติไม่เพียงพอนั้น ซึ่ง Anna Pavlovna และเธอยิ้มและสั่นนิ้วที่ Ippolit เชิญเจ้าชาย Vasily ไปที่โต๊ะและนำเทียนสองเล่มและต้นฉบับมาให้เขาขอให้เขาเริ่ม

ในบทเรียนนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ "กล่องสี่เหลี่ยม" ได้ ในตอนต้นของบทเรียน เราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรง จำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นเราจะพิจารณาว่าลูกบาศก์คืออะไรและหารือเกี่ยวกับคุณสมบัติหลักของมัน

หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

บทเรียน: ทรงลูกบาศก์

พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เท่ากันสองตัว ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่ ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1).

ข้าว. 1 ขนานกัน

นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) ซึ่งอยู่ในระนาบคู่ขนานเพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเรียกว่า ขนานกัน.

ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ด้านตรงข้ามของ parallelepiped นั้นขนานกันและเท่ากัน

(ตัวเลขเท่ากันนั่นคือสามารถรวมกันได้โดยการซ้อนทับ)

ตัวอย่างเช่น:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับตามคำจำกัดความ)

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นใบหน้าตรงข้ามของ

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นใบหน้าตรงข้ามของ

2. เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งและผ่าครึ่งจุดนั้น

เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ที่ขนานกันจะตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนี้ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดคู่ขนานและแบ่งครึ่งจุดตัด

3. มีสามสี่เท่าของขอบเท่ากันและขนานกันของ parallelepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1

คำนิยาม. Parallepiped เรียกว่าตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน

ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้น AA 1 ตั้งฉากกับเส้น AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงอยู่ที่ด้านข้าง และฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพลการ แสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นค่าใดก็ได้

ข้าว. 3 กล่องขวา

ดังนั้น กล่องด้านขวาคือกล่องที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของกล่อง

คำนิยาม. Parallepiped เรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 แบบขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:

1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน กล่าวคือ เป็นเส้นตรงขนานกัน)

2. ∠BAD = 90° กล่าวคือ ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ข้าว. 4 ทรงลูกบาศก์

กล่องสี่เหลี่ยมมีคุณสมบัติทั้งหมดของกล่องที่กำหนดเองแต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ได้มาจากนิยามของทรงลูกบาศก์

ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นเส้นขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

1. ในทรงลูกบาศก์ ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ

2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน. ซึ่งหมายความว่าทุกด้านของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

3. มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของทรงลูกบาศก์เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABB 1 และ ABC

AB เป็นขอบ จุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 มุมไดฮีดรัลที่พิจารณาสามารถแสดงได้ดังนี้: ∠А 1 АВD

ใช้จุด A บนขอบ AB AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABB-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ดังนั้น ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD \u003d 90 ° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90 °

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°

มีการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมนั้นถูกต้อง

สี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยงของทรงลูกบาศก์ เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ

บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดเดียวกันของทรงลูกบาศก์เป็นการวัดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง

ให้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

พิสูจน์: .

ข้าว. 5 ทรงลูกบาศก์

การพิสูจน์:

เส้น CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC และด้วยเหตุนี้กับเส้น AC สามเหลี่ยม CC 1 A เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

พิจารณา สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

แต่ BC และ AD เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม ดังนั้น BC = AD แล้ว:

เนื่องจาก , แ , แล้ว. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 ดังนั้นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน

ให้เรากำหนดขนาดของ ABC แบบขนานเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =