Hur man extraherar kvadrat. Roten ur. Åtgärder med kvadratrötter. Modul. Jämförelse av kvadratrötter

Beräkning (eller extraktion) roten ur kan tillverkas på flera sätt, men alla kan inte sägas vara särskilt enkla. Det är förstås lättare att ta hjälp av en miniräknare. Men om detta inte är möjligt (eller om du vill förstå kärnan i kvadratroten), kan jag råda dig att gå på följande sätt, dess algoritm är som följer:

Om du inte har styrkan, lusten eller tålamodet för så långa beräkningar kan du ta till grova val, dess plus är att det är otroligt snabbt och, med vederbörlig uppfinningsrikedom, exakt. Exempel:

När jag gick i skolan (i början av 60-talet) fick vi lära oss att ta kvadratroten av vilket tal som helst. Tekniken är enkel, utåt lik kolumndelningquot ;, men för att ange det här kommer det att ta en halvtimmes tid och 4-5 tusen tecken text. Men varför behöver du det? Har du en telefon eller annan pryl finns en miniräknare i nm. Det finns en miniräknare i varje dator. Personligen föredrar jag att göra den här typen av beräkningar i Excel.

Ofta i skolan krävs det att man hittar kvadratrötter olika nummer. Men om vi är vana vid att använda en miniräknare hela tiden för detta, kommer det inte att finnas någon sådan möjlighet i tentor, så du måste lära dig hur du letar efter roten utan hjälp av en miniräknare. Och det är i princip möjligt att göra det.

Algoritmen är:

Titta först på den sista siffran i ditt nummer:

Till exempel,

Nu måste du bestämma ungefär värdet för roten från gruppen längst till vänster

I fallet när numret har mer än två grupper, måste du hitta roten så här:

Men nästa nummer borde vara exakt det största, du måste plocka upp det så här:

Nu måste vi bilda ett nytt nummer A genom att lägga till nästa grupp till resten som erhölls ovan.

I våra exempel:

En kolumn med najna, och när det behövs mer än femton tecken, då vilar oftast datorer och telefoner med miniräknare. Det återstår att kontrollera om beskrivningen av metoden kommer att ta 4-5 tusen tecken.

Berm vilket nummer som helst, från ett kommatecken räknar vi par av siffror till höger och vänster

Till exempel 1234567890.098765432100

Ett par siffror är som ett tvåsiffrigt tal. Roten till en tvåsiffrig är en-till-en. Vi väljer en envärdig sådan, vars kvadrat är mindre än det första siffrorna. I vårt fall är det 3.

Som när vi dividerar med en kolumn, under det första paret skriver vi ut denna kvadrat och subtraherar från det första paret. Resultatet är understruket. 12 - 9 = 3. Lägg till ett andra par siffror till denna skillnad (det blir 334). Till vänster om antalet berms kompletteras det dubbla värdet av den del av resultatet som redan har hittats med en siffra (vi har 2 * 6 = 6), så att när det multipliceras med det inte mottagna talet, gör det inte överstiga antalet med det andra siffrorna. Vi får att siffran som hittades är fem. Återigen hittar vi skillnaden (9), demolerar nästa siffrapar, får 956, skriver återigen ut den dubblerade delen av resultatet (70), lägg till den nödvändiga siffran igen och så vidare tills det stannar. Eller till den nödvändiga noggrannheten i beräkningarna.

För det första, för att beräkna kvadratroten, måste du känna till multiplikationstabellen väl. Mest enkla exempelär 25 (5 gånger 5 = 25) och så vidare. Om du tar siffror mer komplicerade, då kan du använda det här bordet, där enheter är horisontella och tiotal är vertikala.



Det finns bra sätt hur man hittar roten till ett tal utan hjälp av miniräknare. För att göra detta behöver du en linjal och en kompass. Summan av kardemumman är att du hittar på linjalen värdet som du har under roten. Sätt till exempel ett märke nära 9. Din uppgift är att dela upp detta nummer i lika många segment, det vill säga i två linjer på 4,5 cm vardera, och i ett jämnt segment. Det är lätt att gissa att du i slutändan får 3 segment på 3 centimeter.

Metoden är inte lätt och stora siffror inte lämplig, men det anses utan en miniräknare.

utan hjälp av en miniräknare lärde man in metoden att extrahera kvadratroten Sovjettiden i skolan i 8:an.

För att göra detta måste du bryta ett flersiffrigt nummer från höger till vänster i ansikten med två siffror :

Den första siffran i roten är hela roten på vänster sida, i det här fallet 5.

Subtrahera 5 i kvadrat från 31, 31-25=6 och lägg till nästa ansikte till sexan, vi har 678.

Nästa siffra x väljs för att dubbla de fem så att

10x*x var det maximala, men mindre än 678.

x=6 eftersom 106*6=636,

nu beräknar vi 678 - 636 = 42 och lägger till nästa sida 92, vi har 4292.

Återigen letar vi efter det maximala x, så att 112x*x lt; 4292.

Svar: roten är 563

Så du kan fortsätta så länge du vill.

I vissa fall kan du försöka utöka rottalet till två eller flera kvadratfaktorer.

Det är också användbart att komma ihåg tabellen (eller åtminstone en del av den) - kvadraterna av naturliga tal från 10 till 99.



Jag föreslår en variant av att extrahera kvadratroten i en kolumn som jag uppfann. Det skiljer sig från det välkända, förutom valet av nummer. Men som jag fick reda på senare, den här metoden fanns redan många år innan jag föddes. Den store Isaac Newton beskrev det i sin bok General Arithmetic eller en bok om aritmetisk syntes och analys. Så här presenterar jag min vision och motivering för Newtonmetodens algoritm. Du behöver inte memorera algoritmen. Du kan helt enkelt använda diagrammet i figuren som ett visuellt hjälpmedel vid behov.







Med hjälp av tabeller kan du inte räkna ut, utan hitta, kvadratrötterna endast från talen som finns i tabellerna. Det enklaste sättet att beräkna rötterna är inte bara kvadrat, utan också andra grader, genom metoden för successiva approximationer. Till exempel, vi beräknar kvadratroten ur 10739, ersätter de tre sista siffrorna med nollor och extraherar roten ur 10000, vi får 100 med en nackdel, så vi tar talet 102 och kvadrerar det, vi får 10404, vilket också är mindre än den angivna tar vi 103*103=10609 igen med en nackdel, vi tar 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, vi tar ännu mer 103,6 * 103,6 \u003d 10732, vi tar 103 i 03, vilket redan är 103, 7 * 3 i 03. överskott. Du kan ta kvadratroten av 10739 för att vara ungefär lika med 103,6. Närmare bestämt 10739=103.629... . . På samma sätt beräknar vi kubroten, först från 10 000 får vi ungefär 25 * 25 * 25 = 15625, vilket är i överskott, vi tar 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, vi tar lite mer än 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, vilket är mycket nära den givna.

rot n potensen av ett naturligt tal a numret är uppringt n vars makt är lika med a. Roten betecknas enligt följande: . Symbolen √ kallas rottecken eller tecken på radikalen, siffra a - rotnummer, n - rotexponent.

Åtgärden genom vilken roten av en given grad hittas kallas rotextraktion.

Eftersom, enligt definitionen av begreppet roten n e graden

sedan rotextraktion- handlingen, motsatsen till att höja till en makt, med vars hjälp man för en given grad och för en given exponent finner gradens bas.

Roten ur

Kvadratroten ur ett tal aär talet vars kvadrat är a.

Operationen med vilken kvadratroten beräknas kallas att ta kvadratroten.

Extrahera kvadratroten- motsatsen till att kvadrera (eller höja en siffra till andra potens). När du kvadrerar ett tal måste du hitta dess kvadrat. När man extraherar kvadratroten är kvadraten av talet känd, det krävs att man hittar själva talet från det.

Därför, för att kontrollera riktigheten av den vidtagna åtgärden, kan du höja den hittade roten till den andra graden, och om graden är lika med rotnumret, hittades roten korrekt.

Överväg att extrahera kvadratroten och dess verifiering med ett exempel. Vi beräknar eller (rotexponenten med värdet 2 skrivs vanligtvis inte, eftersom 2 är den minsta exponenten och man bör komma ihåg att om det inte finns någon exponent ovanför rottecknet, så är exponenten 2 underförstådd), för detta behöver vi för att hitta en siffra blir graden 49 när den höjs till sekunden. Uppenbarligen är detta tal 7, eftersom

7 7 = 7 2 = 49.

Beräkna kvadratroten

Om det givna talet är 100 eller mindre, kan kvadratroten av det beräknas med hjälp av multiplikationstabellen. Till exempel är kvadratroten ur 25 5 eftersom 5 x 5 = 25.

Fundera nu på ett sätt att hitta kvadratroten av ett tal utan att använda en miniräknare. Låt oss till exempel ta siffran 4489 och börja räkna steg för steg.

1. Låt oss bestämma vilka siffror den önskade roten ska bestå av. Eftersom 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100, och 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, blir det tydligt att den önskade roten måste vara större än 10 och mindre än 100, d.v.s. består av tiotal och enheter.
2. Hitta antalet tiotal av roten. Att multiplicera tiotal ger hundratals, vårt tal är 44, så roten måste innehålla så många tiotal att kvadraten av tiotal ger ungefär 44 hundra. Därför bör det finnas 6 tior vid roten, eftersom 60 2 \u003d 3600 och 70 2 \u003d 4900 (detta är för mycket). Således fick vi reda på att vår rot innehåller 6 tiotal och flera ettor, eftersom den ligger i intervallet från 60 till 70.
3. Multiplikationstabellen hjälper till att bestämma antalet enheter vid roten. När vi tittar på talet 4489 ser vi att den sista siffran i den är 9. Nu tittar vi på multiplikationstabellen och ser att 9 enheter bara kan erhållas genom att kvadrera talen 3 och 7. Så roten av talet blir 63 eller 67.
4. Vi kontrollerar siffrorna vi fick 63 och 67 genom att kvadrera dem: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Elever frågar alltid: ”Varför kan jag inte använda en miniräknare på ett matteprov? Hur extraherar man kvadratroten ur ett tal utan en miniräknare? Låt oss försöka svara på denna fråga.

Hur extraherar man kvadratroten ur ett tal utan hjälp av en miniräknare?

Handling kvadratrotsextraktion motsatsen till kvadrering.

√81= 9 9 2 =81

Om vi ​​tar kvadratroten ur ett positivt tal och kvadrerar resultatet får vi samma tal.

Från små tal som är exakta kvadrater av naturliga tal, till exempel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kan kvadratrötter extraheras verbalt. Vanligtvis i skolan lär de ut en tabell med kvadrater med naturliga tal upp till tjugo. Genom att känna till den här tabellen är det lätt att extrahera kvadratrötterna från talen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Från siffror större än 400 kan du extrahera med hjälp av urvalsmetoden med hjälp av några tips. Låt oss prova ett exempel för att överväga denna metod.

Exempel: Extrahera roten till talet 676.

Vi märker att 20 2 \u003d 400 och 30 2 \u003d 900, vilket betyder 20< √676 < 900.

Exakta kvadrater av naturliga tal slutar på 0; ett; 4; 5; 6; nio.
Siffran 6 ges av 4 2 och 6 2 .
Så om roten är hämtad från 676 är den antingen 24 eller 26.

Det återstår att kontrollera: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √676 = 26 .

Mer exempel: √6889 .

Sedan 80 2 \u003d 6400, och 90 2 \u003d 8100, sedan 80< √6889 < 90.
Siffran 9 ges av 3 2 och 7 2, sedan är √6889 antingen 83 eller 87.

Kontroll: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83 .

Om du tycker att det är svårt att lösa med urvalsmetoden kan du faktorisera rotuttrycket.

Till exempel, hitta √893025.

Låt oss faktorisera talet 893025, kom ihåg att du gjorde det i sjätte klass.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mer exempel: √20736. Låt oss faktorisera talet 20736:

Vi får √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Factoring kräver förstås kunskap om delbarhetskriterier och factoringfärdigheter.

Och slutligen finns det kvadratrotsregeln. Låt oss titta på denna regel med ett exempel.

Beräkna √279841.

För att extrahera roten till ett flersiffrigt heltal delar vi upp det från höger till vänster i ansikten som innehåller 2 siffror vardera (det kan finnas en siffra i den vänstra ytterkanten). Skriv så här 27'98'41

För att få den första siffran i roten (5), extraherar vi kvadratroten från den största exakta kvadraten som finns i den första vänstra sidan (27).
Sedan subtraheras kvadraten på den första siffran i roten (25) från den första sidan och nästa sida (98) tillskrivs (demoleras) skillnaden.
Till vänster om det mottagna talet 298 skriver de dubbelsiffran i roten (10), dividerar med det numret av alla tiotal av det tidigare erhållna talet (29/2 ≈ 2), upplever kvoten (102 ∙ 2 = 204 bör inte vara mer än 298) och skriv (2) efter den första siffran i roten.
Sedan subtraheras den resulterande kvoten 204 från 298, och nästa aspekt (41) tillskrivs (demoleras) till skillnaden (94).
Till vänster om det resulterande talet 9441 skriver de dubbelprodukten av siffrorna i roten (52 ∙ 2 = 104), dividerar med denna produkt talet av alla tiotal av talet 9441 (944/104 ≈ 9), erfarenhet kvoten (1049 ∙ 9 = 9441) ska vara 9441 och skriv ner den (9) efter den andra siffran i roten.

Vi fick svaret √279841 = 529.

På samma sätt extrahera rötter av decimaler. Endast det radikala talet måste delas upp i ansikten så att kommatecken står mellan ansiktena.

Exempel. Hitta värdet √0,00956484.

Du måste bara komma ihåg att om decimal- Det har udda nummer decimaler extraheras inte den exakta kvadratroten från den.

Så nu har du sett tre sätt att extrahera roten. Välj den som passar dig bäst och träna. För att lära dig att lösa problem måste du lösa dem. Och om du har några frågor, .

blog.site, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Fakta 1.
\(\bullet\) Ta inte några ett negativt tal\(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Sedan (arithmetik) roten ur från talet \(a\) anropas ett sådant icke-negativt tal \(b\), när man kvadrerar det får vi talet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samma som )\quad a=b^2\] Av definitionen följer att \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Dessa restriktioner är ett viktigt villkor för att det ska finnas en kvadratrot och bör komma ihåg!
Kom ihåg att vilket tal som helst i kvadrat ger ett icke-negativt resultat. Det vill säga \(100^2=10000\geqslant 0\) och \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Vad är \(\sqrt(25)\) ? Vi vet att \(5^2=25\) och \((-5)^2=25\) . Eftersom vi per definition måste hitta ett icke-negativt tal är \(-5\) inte lämpligt, därför \(\sqrt(25)=5\) (eftersom \(25=5^2\) ).
Att hitta värdet \(\sqrt a\) kallas att ta kvadratroten av talet \(a\) , och talet \(a\) kallas rotuttrycket.
\(\bullet\) Baserat på definitionen, uttrycken \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. inte vettigt.

Fakta 2.
För snabba beräkningar kommer det att vara användbart att lära sig tabellen med kvadrater av naturliga tal från \(1\) till \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Vad kan man göra med kvadratrötter?
\(\kula\) Summa eller skillnad kvadratrötter INTE lik kvadratroten av summan eller skillnaden, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Således, om du behöver beräkna till exempel \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , måste du initialt hitta värdena \(\sqrt(25)\) och \(\sqrt (49)\ ) och addera dem sedan. Därav, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Om värdena \(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) inte kan hittas när man lägger till \(\sqrt a+\sqrt b\), så konverteras inte ett sådant uttryck ytterligare och förblir som det är. Till exempel, i summan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi hitta \(\sqrt(49)\) - detta är \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan inte vara konverterat på något sätt, det är därför \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Vidare kan detta uttryck tyvärr inte förenklas på något sätt.\(\bullet\) Produkten/kvoten av kvadratrötter är lika med kvadratroten av produkten/kvoten, d.v.s. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (förutsatt att båda delarna av jämlikheterna är meningsfulla)
Exempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Med dessa egenskaper är det bekvämt att hitta kvadratrötterna för stora tal genom att faktorisera dem.
Tänk på ett exempel. Hitta \(\sqrt(44100)\) . Sedan \(44100:100=441\) , sedan \(44100=100\cdot 441\) . Enligt kriteriet för delbarhet är talet \(441\) delbart med \(9\) (eftersom summan av dess siffror är 9 och är delbart med 9), därför \(441:9=49\) , det vill säga \(441=9\ cdot 49\) .
Alltså fick vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Låt oss titta på ett annat exempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vi kommer att visa hur man anger siffror under kvadratrottecknet med exemplet på uttrycket \(5\sqrt2\) (förkortning av uttrycket \(5\cdot \sqrt2\) ). Eftersom \(5=\sqrt(25)\) , alltså \ Observera också att t.ex.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Varför är det så? Låt oss förklara med exempel 1). Som du redan förstått kan vi inte på något sätt konvertera talet \(\sqrt2\) . Föreställ dig att \(\sqrt2\) är ett tal \(a\) . Följaktligen är uttrycket \(\sqrt2+3\sqrt2\) inget annat än \(a+3a\) (ett tal \(a\) plus ytterligare tre av samma tal \(a\) ). Och vi vet att detta är lika med fyra sådana tal \(a\) , det vill säga \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Det sägs ofta "kan inte extrahera roten" när det inte går att bli av med tecknet \(\sqrt () \ \) för roten (radikal) när man hittar värdet på något tal. Till exempel kan du rota talet \(16\) eftersom \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men att extrahera roten från talet \(3\) , det vill säga att hitta \(\sqrt3\) , är det omöjligt, eftersom det inte finns något sådant tal som kvadrat ger \(3\) .
Sådana siffror (eller uttryck med sådana siffror) är irrationella. Till exempel siffror \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. är irrationella.
Också irrationella är talen \(\pi\) (talet "pi", ungefär lika med \(3,14\) ), \(e\) (detta tal kallas Eulertalet, ungefär lika med \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Observera att alla tal kommer att vara antingen rationella eller irrationella. Och tillsammans allt rationellt och allt irrationella tal bilda en uppsättning som heter uppsättning reella (reella) tal. Denna uppsättning betecknas med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Det betyder att alla siffror som är det här ögonblicket vi vet kallas reella tal.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen för ett reellt tal \(a\) är ett icke-negativt tal \(|a|\) lika med avståndet från punkten \(a\) till \(0\) på det reella linje. Till exempel är \(|3|\) och \(|-3|\) lika med 3, eftersom avstånden från punkterna \(3\) och \(-3\) till \(0\) är samma och lika med \(3 \) .
\(\bullet\) Om \(a\) är ett icke-negativt tal, då \(|a|=a\) .
Exempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Om \(a\) är ett negativt tal, då \(|a|=-a\) .
Exempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De säger att för negativa tal "äter" modulen minus, och positiva tal, såväl som siffran \(0\) lämnar modulen oförändrad.
MEN denna regel gäller endast siffror. Om du har en okänd \(x\) (eller någon annan okänd) under modultecknet, till exempel \(|x|\) , om vilken vi inte vet om den är positiv, lika med noll eller negativ, då bli av med modulen vi inte kan. I det här fallet förblir uttrycket så: \(|x|\) . \(\bullet\) Följande formler håller: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tillhandahålls ) a\geqslant 0\] Följande misstag görs ofta: de säger att \(\sqrt(a^2)\) och \((\sqrt a)^2\) är samma sak. Detta gäller endast när \(a\) är ett positivt tal eller noll. Men om \(a\) är ett negativt tal, så är detta inte sant. Det räcker med att överväga ett sådant exempel. Låt oss ta talet \(-1\) istället för \(a\). Sedan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrycket \((\sqrt (-1))^2\) existerar inte alls (eftersom det är omöjligt under rottecknet sätt in negativa tal!).
Därför uppmärksammar vi er på att \(\sqrt(a^2)\) inte är lika med \((\sqrt a)^2\) ! Exempel: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), därför att \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Eftersom \(\sqrt(a^2)=|a|\) sedan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrycket \(2n\) anger ett jämnt tal)
Det vill säga, när man extraherar roten från ett tal som är i någon grad, halveras denna grad.
Exempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observera att om modulen inte är inställd, så visar det sig att roten av talet är lika med \(-25 \) ; men vi kommer ihåg , vilket, per definition av roten, detta inte kan vara: när vi extraherar roten ska vi alltid få ett positivt tal eller noll)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (eftersom alla tal i en jämn potens är icke-negativa)

Fakta 6.
Hur jämför man två kvadratrötter?
\(\bullet\) Sant för kvadratrötter: om \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExempel:
1) jämför \(\sqrt(50)\) och \(6\sqrt2\) . Först omvandlar vi det andra uttrycket till \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Alltså, sedan \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellan vilka heltal finns \(\sqrt(50)\) ?
Eftersom \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) och \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Jämför \(\sqrt 2-1\) och \(0,5\) . Antag att \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((lägg till en på båda sidor))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat båda delarna))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser att vi har fått en felaktig ojämlikhet. Därför var vårt antagande fel och \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Observera att att lägga till ett visst tal på båda sidor av olikheten inte påverkar dess tecken. Att multiplicera/dividera båda sidor av en olikhet med ett positivt tal ändrar inte heller dess tecken, men multiplicera/dividera med ett negativt tal omvänder olikhetens tecken!
Båda sidorna av en ekvation/olikhet kan kvadreras ENDAST OM båda sidorna är icke-negativa. Till exempel, i ojämlikheten från föregående exempel kan du kvadrera båda sidorna, i olikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Observera att \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Att känna till den ungefärliga betydelsen av dessa siffror kommer att hjälpa dig när du jämför siffror! \(\bullet\) För att extrahera roten (om den är extraherad) från något stort tal som inte finns i kvadrattabellen måste du först bestämma mellan vilka "hundratals" det är, sedan mellan vilka "tiotal", och bestäm sedan den sista siffran i detta nummer. Låt oss visa hur det fungerar med ett exempel.
Ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet att \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) och så vidare. Observera att \(28224\) är mellan \(10\,000\) och \(40\,000\) . Därför är \(\sqrt(28224)\) mellan \(100\) och \(200\) .
Låt oss nu avgöra mellan vilka "tiotal" vårt tal är (det vill säga till exempel mellan \(120\) och \(130\) ). Vi vet också från kvadrattabellen att \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., sedan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Så vi ser att \(28224\) är mellan \(160^2\) och \(170^2\) . Därför är talet \(\sqrt(28224)\) mellan \(160\) och \(170\) .
Låt oss försöka bestämma den sista siffran. Låt oss komma ihåg vilka ensiffriga tal vid kvadrering ger i slutet \ (4 \) ? Dessa är \(2^2\) och \(8^2\) . Därför kommer \(\sqrt(28224)\) att sluta på antingen 2 eller 8. Låt oss kontrollera detta. Hitta \(162^2\) och \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Därför \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

För att adekvat lösa examen i matematik är det först och främst nödvändigt att studera det teoretiska materialet, som introducerar många satser, formler, algoritmer, etc. Vid första anblicken kan det verka som att detta är ganska enkelt. Men att hitta en källa där teorin för Unified State Examination i matematik presenteras på ett enkelt och begripligt sätt för elever på alla nivåer av förberedelse är i själva verket en ganska svår uppgift. Skolböcker kan inte alltid hållas till hands. Och att hitta de grundläggande formlerna för provet i matematik kan vara svårt även på Internet.

Varför är det så viktigt att läsa teori i matematik, inte bara för de som tar provet?

1. För det vidgar dina vyer. Studiet av teoretiskt material i matematik är användbart för alla som vill få svar på en lång rad frågor relaterade till kunskapen om världen. Allt i naturen är ordnat och har en tydlig logik. Det är just detta som återspeglas i vetenskapen, genom vilket det är möjligt att förstå världen.
2. För att det utvecklar intellektet. Att studera referensmaterial för provet i matematik, såväl som att lösa olika problem, lär sig en person att tänka och resonera logiskt, att formulera tankar korrekt och tydligt. Han utvecklar förmågan att analysera, generalisera, dra slutsatser.

Vi inbjuder dig att personligen utvärdera alla fördelarna med vår strategi för systematisering och presentation av utbildningsmaterial.

I förordet till sin första upplaga, In the Realm of Ingenuity (1908), skriver E. I. Ignatiev: Resultaten är tillförlitliga endast när introduktionen till området matematikkunskaper görs på ett enkelt och trevligt sätt, på föremål och exempel på vardagliga och vardagliga situationer, utvalda med rätt kvickhet och nöje.

I förordet till 1911 års upplaga av "The Role of Memory in Mathematics" skrev E.I. Ignatiev skriver "... i matematik bör man komma ihåg inte formler, utan tankeprocessen."

För att extrahera kvadratroten finns det tabeller med kvadrater för tvåsiffriga tal, man kan dekomponera talet i primtalsfaktorer och extrahera kvadratroten från produkten. Tabellen med kvadrater räcker inte, att extrahera roten genom factoring är en tidskrävande uppgift, som inte heller alltid leder till önskat resultat. Försök att extrahera kvadratroten av talet 209764? Nedbrytning till primfaktorer ger produkten 2 * 2 * 52441. Genom att prova och missa, urval - detta kan naturligtvis göras om du är säker på att detta är ett heltal. Det sätt jag vill föreslå låter dig ta kvadratroten i alla fall.

Väl på institutet (Perm State Pedagogical Institute) introducerades vi till denna metod, som jag nu vill prata om. Jag tänkte aldrig på om den här metoden har ett bevis, så nu fick jag härleda några bevis själv.

Grunden för denna metod är sammansättningen av talet =.

=&, dvs. &2=596334.

1. Dela numret (5963364) i par från höger till vänster (5`96`33`64)

2. Vi extraherar kvadratroten från den första gruppen till vänster ( - nummer 2). Så vi får den första siffran i talet &.

3. Hitta kvadraten på den första siffran (2 2 \u003d 4).

4. Hitta skillnaden mellan den första gruppen och kvadraten på den första siffran (5-4=1).

5. Vi river de följande två siffrorna (vi fick numret 196).

6. Vi dubblar den första siffran vi hittade, skriver ner den till vänster bakom linjen (2*2=4).

7. Nu måste du hitta den andra siffran i talet &: den dubblerade första siffran som vi hittade blir siffran för tiotalet i talet, när multiplicerad med antalet enheter måste du få ett tal mindre än 196 ( detta är siffran 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 är den andra siffran i &.

8. Hitta skillnaden (196-176=20).

9. Vi river nästa grupp (vi får numret 2033).

10. Dubbla siffran 24, vi får 48.

11,48 tiotal i ett tal, när det multipliceras med antalet enheter, bör vi få ett tal mindre än 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Siffran för enheter som hittats av oss (4) är den tredje siffran i numret &.

Beviset ges av mig för fallen:

1. Extrahera kvadratroten ur ett tresiffrigt tal;

2. Extrahera kvadratroten ur ett fyrsiffrigt tal.

Ungefärliga metoder för att extrahera kvadratroten (utan att använda en miniräknare).

1. De gamla babylonierna använde följande metod för att hitta det ungefärliga värdet av kvadratroten ur deras x-tal. De representerade talet x som en summa a 2 + b, där a 2 är närmast x den exakta kvadraten på det naturliga talet a (a 2 ? x), och använde formeln . (1)

Med formeln (1) extraherar vi kvadratroten, till exempel från talet 28:

Resultatet av att extrahera roten till 28 med MK 5.2915026.

Som du kan se ger den babyloniska metoden en bra uppskattning av rotens exakta värde.

2. Isaac Newton utvecklade en kvadratrotsmetod som går tillbaka till Heron of Alexandria (ca 100 e.Kr.). Denna metod (känd som Newtons metod) är som följer.

Låt vara en 1- den första approximationen av ett tal (som en 1 kan du ta värdena av kvadratroten ur ett naturligt tal - en exakt kvadrat som inte överstiger X).

Nästa, mer exakt uppskattning en 2 tal hittas av formeln .