Det som kallas en parallellepiped. kubisk

Definition

polyeder vi kallar en sluten yta som består av polygoner och som avgränsar någon del av rummet.

De segment som är sidorna av dessa polygoner kallas revben polyeder och själva polygonerna - ansikten. Polygonernas hörn kallas för polyederns hörn.

Vi kommer endast att överväga konvexa polyedrar (detta är en polyeder som finns på ena sidan av varje plan som innehåller dess ansikte).

Polygonerna som utgör en polyeder bildar dess yta. Den del av rymden som begränsas av en given polyeder kallas dess inre.

Definition: prisma

Betrakta två lika polygoner \(A_1A_2A_3...A_n\) och \(B_1B_2B_3...B_n\) placerade i parallella plan så att segmenten \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)är parallella. Polyeder bildad av polygonerna \(A_1A_2A_3...A_n\) och \(B_1B_2B_3...B_n\) , såväl som parallellogram \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), kallas (\(n\)-kol) prisma.

Polygonerna \(A_1A_2A_3...A_n\) och \(B_1B_2B_3...B_n\) kallas prismats baser, parallellogram \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sidoytor, segment \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- sido revben.
Således är prismats sidokanter parallella och lika med varandra.

Tänk på ett exempel - ett prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), vars bas är en konvex femhörning.

Höjd Ett prisma är en vinkelrät från valfri punkt på en bas till planet för en annan bas.

Om sidokanterna inte är vinkelräta mot basen, kallas ett sådant prisma sned(Fig. 1), annars - hetero. För ett rakt prisma är sidokanterna höjder och sidoytorna lika rektanglar.

Om en vanlig polygon ligger vid basen av ett höger prisma, så kallas prismat korrekt.

Definition: begreppet volym

Volymenheten är en enhetskub (kub med dimensioner \(1\ gånger1\ gånger1\) enheter\(^3\) , där enhet är någon måttenhet).

Vi kan säga att volymen av en polyeder är mängden utrymme som denna polyeder begränsar. Annars: detta är värdet numeriskt värde som visar hur många gånger en enhetskub och dess delar passar in i en given polyeder.

Volym har samma egenskaper som area:

1. Volymerna för lika siffror är lika.

2. Om en polyeder är sammansatt av flera icke-korsande polyedrar, då dess volym är lika med summan volymer av dessa polyedrar.

3. Volym är ett icke-negativt värde.

4. Volym mäts i cm\(^3\) (kubikcentimeter), m\(^3\) ( Kubikmeter) etc.

Sats

1. Arean av prismats laterala yta är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd.
Den laterala ytarean är summan av areorna på prismats sidoytor.

2. Prismats volym är lika med produkten av basarean och prismats höjd: \

Definition: box

Parallellepiped Det är ett prisma vars bas är ett parallellogram.

Alla ytor på parallellepipeden (deras \(6\) : \(4\) sidoytor och \(2\) baser) är parallellogram, och de motsatta ytorna (parallella med varandra) är lika parallellogram (fig. 2).

Diagonal på lådanär ett segment som förbinder två hörn av en parallellepiped som inte ligger i samma yta (deras \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).

kubiskär en rät parallellepiped med en rektangel vid basen.
Därför att är en rät parallellepiped, då är sidoytorna rektanglar. Så i allmänhet är alla ytor på en rektangulär parallellepiped rektanglar.

Alla diagonaler i en kuboid är lika (detta följer av trianglarnas likhet \(\triangel ACC_1=\triangel AA_1C=\triangel BDD_1=\triangel BB_1D\) etc.).

Kommentar

Således har parallellepipeden alla egenskaper hos ett prisma.

Sats

Arean av sidoytan på en rektangulär parallellepiped är lika med \

Fyrkant full yta rektangulär parallellepiped är lika med \

Sats

Volymen av en kuboid är lika med produkten av tre av dess kanter som kommer ut ur en vertex (tre dimensioner av en kuboid): \

Bevis

Därför att för en rektangulär parallellepiped är sidokanterna vinkelräta mot basen, då är de också dess höjder, det vill säga \(h=AA_1=c\) basen är en rektangel \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Det är härifrån formeln kommer.

Sats

Diagonalen \(d\) för en kuboid söks efter formeln (där \(a,b,c\) är dimensionerna på kuben)\

Bevis

Tänk på fig. 3. Eftersom basen är en rektangel, sedan är \(\triangel ABD\) rektangulär, därför enligt Pythagoras sats \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Därför att alla laterala kanter är alltså vinkelräta mot baserna \(BB_1\perp (ABC) \Högerpil BB_1\) vinkelrät mot vilken linje som helst i detta plan, dvs. \(BB_1\perp BD\) . Så \(\triangel BB_1D\) är rektangulär. Sedan genom Pythagoras sats \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definition: kub

Kubär en rektangulär parallellepiped, vars alla sidor är lika kvadratiska.

De tre dimensionerna är alltså lika med varandra: \(a=b=c\) . Så följande är sant

Satser

1. Volymen av en kub med kant \(a\) är \(V_(\text(kub))=a^3\) .

2. Kubdiagonalen söks med formeln \(d=a\sqrt3\) .

3. Total yta av en kub \(S_(\text(fullständig kub iterationer))=6a^2\).

En parallellepiped är en geometrisk figur, vars alla 6 ytor är parallellogram.

Beroende på typen av dessa parallellogram särskiljs följande typer av parallellepiped:

• hetero;
• lutande;
• rektangulär.

En rätt parallellepiped är ett fyrkantigt prisma vars kanter bildar en vinkel på 90 ° med basplanet.

En rektangulär parallellepiped är ett fyrkantigt prisma, vars alla ytor är rektanglar. En kub är ett slags fyrkantigt prisma där alla ytor och kanter är lika.

En figurs egenskaper förutbestämmer dess egenskaper. Dessa inkluderar följande 4 uttalanden:

Att komma ihåg alla ovanstående egenskaper är enkelt, de är lätta att förstå och härleds logiskt baserat på typen och funktionerna geometrisk kropp. Enkla påståenden kan dock vara otroligt användbara när man löser typiska USE-uppgifter och kommer att spara den tid som krävs för att klara testet.

Parallelpiped formler

För att hitta svar på problemet räcker det inte att bara känna till figurens egenskaper. Du kan också behöva några formler för att hitta arean och volymen av en geometrisk kropp.

Arean av baserna finns också som motsvarande indikator för ett parallellogram eller rektangel. Du kan själv välja basen för parallellogrammet. När man löser problem är det i regel lättare att arbeta med ett prisma, som är baserat på en rektangel.

Formeln för att hitta sidoytan på en parallellepiped kan också behövas i testuppgifter.

Exempel på att lösa typiska USE-uppgifter

Övning 1.

Given: en kub med måtten 3, 4 och 12 cm.
Nödvändig Hitta längden på en av figurens huvuddiagonaler.
Beslut: Varje lösning på ett geometriskt problem måste börja med konstruktionen av en korrekt och tydlig ritning, på vilken "given" och det önskade värdet kommer att anges. Bilden nedan är ett exempel rätt design uppgiftens villkor.

Efter att ha övervägt ritningen och komma ihåg alla egenskaperna hos en geometrisk kropp, kommer vi till det enda korrekta sättet att lösa det. Genom att tillämpa egenskap 4 för parallellepipeden får vi följande uttryck:

Efter enkla beräkningar får vi uttrycket b2=169, därför b=13. Svaret på uppgiften har hittats, du behöver inte spendera mer än 5 minuter på dess sökning och ritning.

Lektionens mål:

1. Utbildning:

Introducera begreppet parallellepiped och dess typer;
- formulera (med analogi med ett parallellogram och en rektangel) och bevisa egenskaperna hos en parallellepiped och en rektangulär parallellepiped;
- upprepa frågor relaterade till parallellitet och vinkelräthet i rymden.

2. Utveckla:

Att fortsätta utvecklingen av sådana kognitiva processer hos elever som perception, förståelse, tänkande, uppmärksamhet, minne;
- att främja utvecklingen av element hos eleverna kreativ aktivitet som tänkandes egenskaper (intuition, rumsligt tänkande);
- att forma elevernas förmåga att dra slutsatser, inklusive genom analogi, vilket hjälper till att förstå intra-ämnessamband i geometri.

3. Utbildning:

Bidra till utbildning av organisation, vanor av systematiskt arbete;
- att främja bildandet av estetiska färdigheter vid utarbetande av poster, utförande av ritningar.

Typ av lektion: lektionsinlärning nytt material (2 timmar).

Lektionens struktur:

1. Organisatoriskt ögonblick.
2. Aktualisering av kunskap.
3. Att lära sig nytt material.
4. Sammanfatta och sätta läxor.

Utrustning: affischer (slides) med bevis, modeller av olika geometriska kroppar, inklusive alla typer av parallellepipeder, en grafprojektor.

Under lektionerna.

1. Organisatoriskt ögonblick.

2. Aktualisering av kunskap.

Rapportera ämnet för lektionen, formulera mål och mål med eleverna, visa den praktiska betydelsen av att studera ämnet, upprepa tidigare studerade frågor relaterade till detta ämne.

3. Att lära sig nytt material.

3.1. Parallelepiped och dess typer.

Modeller av parallellepiped demonstreras med identifiering av deras egenskaper, vilket hjälper till att formulera definitionen av en parallellepiped med begreppet prisma.

Definition:

Parallellepiped Ett prisma vars bas är ett parallellogram kallas.

En parallellepiped ritas (Figur 1), elementen i parallellepipeden är listade som ett specialfall av ett prisma. Bild 1 visas.

Schematisk notation av definitionen:

Slutsatserna dras från definitionen:

1) Om ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 är ett prisma och ABCD är ett parallellogram, så är ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 parallellepiped.

2) Om ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – parallellepiped, då är ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ett prisma och ABCD är ett parallellogram.

3) Om ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 inte är ett prisma eller ABCD inte är ett parallellogram, då
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ej parallellepiped.

4) . Om ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 inte är det parallellepiped, då är ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 inte ett prisma eller ABCD är inte ett parallellogram.

Därefter övervägs speciella fall av en parallellepiped med konstruktionen av ett klassificeringsschema (se fig. 3), modeller demonstreras och de karakteristiska egenskaperna hos en rak och rektangulär parallellepiped särskiljs, deras definitioner formuleras.

Definition:

En parallellepiped kallas rak om dess sidokanter är vinkelräta mot basen.

Definition:

Parallepipeden kallas rektangulär, om dess sidokanter är vinkelräta mot basen och basen är en rektangel (se figur 2).

Efter att ha skrivit definitionerna i schematisk form formuleras slutsatserna från dem.

3.2. Egenskaper hos parallellepipederna.

Sök efter planimetriska figurer vars rumsliga analoger är en parallellepiped och en rektangulär parallellepiped (parallelogram och rektangel). I det här fallet har vi att göra med figurernas visuella likhet. Med hjälp av slutledningsregeln i analogi fylls tabellerna.

Inferensregel i analogi:

1. Välj bland tidigare studerade siffror figur liknande den här.
2. Formulera en egenskap för den valda figuren.
3. Formulera en liknande egenskap hos originalfiguren.
4. Bevisa eller motbevisa det formulerade påståendet.

Efter formuleringen av egenskaperna utförs beviset för var och en av dem enligt följande schema:

• diskussion om bevisplanen;
• demonstration av provbild (bilder 2-6);
• registrering av bevis i anteckningsböcker av studenter.

3.3 Kub och dess egenskaper.

Definition: En kub är en kuboid med alla tre dimensioner lika.

I analogi med en parallellepiped gör eleverna självständigt en schematisk registrering av definitionen, härleder konsekvenser av den och formulerar kubens egenskaper.

4. Sammanfatta och sätta läxor.

Läxa:

1. Med hjälp av lektionsöversikten, enligt geometriläroboken för årskurs 10-11, L.S. Atanasyan och andra, studera kap 1, §4, s.13, kap.2, §3, s.24.
2. Bevisa eller motbevisa egenskapen hos en parallellepiped, punkt 2 i tabellen.
3. Besvara säkerhetsfrågor.

Testfrågor.

1. Det är känt att endast två sidoytor av en parallellepiped är vinkelräta mot basen. Vilken typ av parallellepiped?

2. Hur många sidoytor av en rektangulär form kan en parallellepiped ha?

3. Är det möjligt att ha en parallellepiped med endast en sidoyta:

1) vinkelrätt mot basen;
2) har formen av en rektangel.

4. I en höger parallellepiped är alla diagonaler lika. Är det rektangulärt?

5. Stämmer det att i en rät parallellepiped är de diagonala sektionerna vinkelräta mot basens plan?

6. Formulera en sats omvänt till satsen på kvadraten av diagonalen på en rektangulär parallellepiped.

7. Vilka ytterligare egenskaper skiljer en kub från en kub?

8. Kommer en kub att vara en parallellepiped där alla kanter är lika vid en av hörnen?

9. Formulera ett teorem på kvadraten på diagonalen på en rektangulär parallellepiped för fallet med en kub.

Eller (motsvarande) en polyeder med sex ytor och var och en av dem - parallellogram.

Typer av lådor

Det finns flera typer av parallellepipeder:

• En kuboid är en kuboid vars ytor alla är rektanglar.
• En höger parallellepiped är en parallellepiped med 4 sidoytor som är rektanglar.
• En sned låda är en låda vars sidoytor inte är vinkelräta mot baserna.

Huvudelement

Två ytor av en parallellepiped som inte har en gemensam kant kallas motsatta, och de som har en gemensam kant kallas intilliggande. Två hörn av en parallellepiped som inte hör till samma ansikte kallas motsatta. Linjesegmentet som förbinder motsatta hörn kallas parallellepipedens diagonal. Längden på tre kanter av en rätrut som har en gemensam vertex kallas dess dimensioner.

Egenskaper

• Parallepipeden är symmetrisk kring mittpunkten av sin diagonal.
• Varje segment med ändar som hör till parallellepipedens yta och som går genom mitten av dess diagonal delas av det på mitten; i synnerhet skär parallellepipedens alla diagonaler i en punkt och halverar den.
• Motsatta ytor av en parallellepiped är parallella och lika.
• Kvadraten på längden på diagonalen av en kuboid är lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner.

Grundläggande formler

Höger parallellepiped

Sidoyta S b \u003d R o * h, där R o är omkretsen av basen, h är höjden

Total yta S p \u003d S b + 2S o, där S o är arean av basen

Volym V=S o *h

kubisk

Sidoyta S b \u003d 2c (a + b), där a, b är sidorna av basen, c är sidokanten på den rektangulära parallellepipeden

Total yta S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volym V=abc, där a, b, c är måtten på kuben.

Kub

Ytarea: $S=6a^2$
Volym: $V=a^3$, var $a$- kanten på kuben.

Godtycklig låda

Volymen och förhållandena i en skev ruta definieras ofta med vektoralgebra. Volymen av en parallellepiped är lika med det absoluta värdet av den blandade produkten av tre vektorer som definieras av de tre sidorna av parallellepipeden som utgår från en vertex. Förhållandet mellan längderna på parallellepipedens sidor och vinklarna mellan dem ger påståendet att Gram-determinanten för dessa tre vektorer är lika med kvadraten på deras blandade produkt: 215 .

I matematisk analys

I matematisk analys, under en n-dimensionell rektangulär parallellepiped $B$ förstår många punkter $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ snäll $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Skriv en recension om artikeln "Parallelepiped"

Anteckningar

Länkar

korrekt korrekt icke-konvexa konvex formler, satser, teorier Övrig

Ett utdrag som kännetecknar Parallelepiped

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine ... [De säger att rivalerna försonade sig tack vare denna sjukdom.]
Ordet kärlkramp upprepades med stor glädje.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Den gamle greven är mycket rörande, säger de. Han grät som ett barn när doktorn sa det farliga fallet.]
Åh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Åh, det skulle vara en stor förlust. Så härlig kvinna.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse," sa Anna Pavlovna och kom fram. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - sa Anna Pavlovna med ett leende över sin entusiasm. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Du talar om den stackars grevinnan... Jag skickade för att få reda på hennes hälsa. Jag fick höra att hon var lite bättre. Åh, utan tvekan, det här är den vackraste kvinnan i världen. Vi tillhör olika läger, men det hindrar mig inte från att respektera henne efter hennes meriter. Hon är så olycklig.] tillade Anna Pavlovna.
I tron ​​att Anna Pavlovna med dessa ord lätt lyfte slöjan av hemlighet över grevinnans sjukdom, tillät en slarvig ung man sig själv att uttrycka förvåning över att de inte kallades kända läkare, men grevinnan behandlas av en charlatan som kan ge farliga botemedel.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes," Anna Pavlovna attackerade plötsligt den oerfarna ung man. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Dina nyheter kan vara mer korrekta än mina ... men jag kommer från bra källor Jag vet att den här läkaren är en mycket lärd och skicklig person. Detta är den spanska drottningens livläkare.] - Och på så sätt förstörde Anna Pavlovna den unge mannen, vände sig Anna Pavlovna till Bilibin, som i en annan krets, plockade upp huden och tydligen skulle lösa upp den, för att säga un mot, talade om österrikarna.
- Je trouve que c "est charmant! [Jag tycker det är charmigt!] - sa han om en diplomattidning, under vilken de österrikiska fanorna som Wittgenstein tog skickades till Wien, le heros de Petropol [Petropolis hjälte] (som han kallades i Petersburg).
- Hur, hur är det? Anna Pavlovna vände sig mot honom, väckande tystnad för att höra mot, som hon redan visste.
Och Bilibin upprepade följande autentiska ord från det diplomatiska utskick han hade sammanställt:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," sa Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Kejsaren skickar österrikiska fanor, vänliga och vilseledda fanor som han hittade utanför riktig väg.] avslutade Bilibin och lossade sin hud.
- Charmant, charmant, [Charmant, charmigt,] - sa prins Vasily.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Det här är Warszawavägen, kanske.] - sa prins Hippolyte högt och oväntat. Alla tittade på honom, utan att förstå vad han ville säga med detta. Prins Hippolyte såg sig också omkring med glad överraskning omkring honom. Han, liksom andra, förstod inte vad orden han sa betydde. Under sin diplomatiska karriär märkte han mer än en gång att ord som plötsligt talades på detta sätt visade sig vara mycket kvicka, och för säkerhets skull, han sa dessa ord: "Kanske det kommer att bli väldigt bra", tänkte han, "och om det inte kommer ut, kommer de att kunna ordna det där." Ja, medan en besvärlig tystnad rådde, kom det otillräckligt patriotiska ansiktet in. Anna Pavlovna och hon, som log och skakade med fingret åt Ippolit, bjöd in prins Vasilij till bordet och bad honom att börja med två ljus och ett manuskript.

I den här lektionen kommer alla att kunna studera ämnet "Rektangulär låda". I början av lektionen kommer vi att upprepa vad en godtycklig och rak parallellepiped är, minns egenskaperna hos deras motsatta ytor och diagonaler av parallellepipeden. Sedan kommer vi att överväga vad en kuboid är och diskutera dess huvudsakliga egenskaper.

Ämne: Linjers och plans vinkelräthet

Lektion: Cuboid

En yta sammansatt av två lika parallellogram ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 och fyra parallellogram ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kallas parallellepiped(Figur 1).

Ris. 1 parallellpiped

Det vill säga: vi har två lika parallellogram ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallella plan så att sidokanterna AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 är parallella. Således kallas en yta sammansatt av parallellogram parallellepiped.

Alltså är ytan på en parallellepiped summan av alla parallellogram som utgör parallellepipeden.

1. Motsatta ytor av en parallellepiped är parallella och lika.

(siffrorna är lika, det vill säga de kan kombineras med överlagring)

Till exempel:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (lika parallellogram per definition),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (eftersom AA 1 B 1 B och DD 1 C 1 C är motsatta ytor av parallellepipeden),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (eftersom AA 1 D 1 D och BB 1 C 1 C är motsatta ytor av parallellepipeden).

2. Parallellepipedens diagonaler skär varandra i en punkt och halverar den punkten.

Diagonalerna för parallellepipeden AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skär varandra vid en punkt O, och varje diagonal delas på mitten av denna punkt (fig. 2).

Ris. 2 Parallellepipedens diagonaler skär och halverar skärningspunkten.

3. Det finns tre fyrdubblar lika och parallella kanter på parallellepipeden: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definition. En parallellepiped kallas rak om dess sidokanter är vinkelräta mot baserna.

Låt sidokanten AA 1 vara vinkelrät mot basen (Fig. 3). Det betyder att linjen AA 1 är vinkelrät mot linjerna AD och AB, som ligger i basens plan. Och därför ligger rektanglar i sidoytorna. Och baserna är godtyckliga parallellogram. Beteckna, ∠BAD = φ, vinkeln φ kan vara vilken som helst.

Ris. 3 Höger ruta

Så, en höger låda är en låda där sidokanterna är vinkelräta mot lådans baser.

Definition. Parallepipeden kallas rektangulär, om dess sidokanter är vinkelräta mot basen. Baserna är rektanglar.

Den parallellepipediserade АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 är rektangulär (fig. 4) om:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sidokanten är vinkelrät mot basens plan, det vill säga en rak parallellepiped).

2. ∠BAD = 90°, dvs basen är en rektangel.

Ris. 4 Cuboid

En rektangulär låda har alla egenskaper som en godtycklig låda. Men det finns ytterligare egenskaper som härrör från definitionen av en kuboid.

Så, kubiskär en parallellepiped vars sidokanter är vinkelräta mot basen. Basen på en kuboid är en rektangel.

1. I en kuboid är alla sex ytor rektanglar.

ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 är rektanglar per definition.

2. Laterala revben är vinkelräta mot basen. Detta betyder att alla sidoytor på en kuboid är rektanglar.

3. Alla dihedriska vinklar i en kuboid är räta vinklar.

Betrakta till exempel den dihedriska vinkeln för en rektangulär parallellepiped med en kant AB, d.v.s. den dihedrala vinkeln mellan planen ABB 1 och ABC.

AB är en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, och punkt D i det andra - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Då kan den betraktade dihedriska vinkeln också betecknas på följande sätt: ∠А 1 АВD.

Ta punkt A på kanten AB. AA 1 är vinkelrät mot kanten AB i planet ABB-1, AD är vinkelrät mot kanten AB i planet ABC. Därför är ∠A 1 AD den linjära vinkeln för den givna dihedriska vinkeln. ∠A 1 AD \u003d 90 °, vilket betyder att den dihedriska vinkeln vid kanten AB är 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Det bevisas på samma sätt att alla dihedriska vinklar på en rektangulär parallellepiped är rätta.

Kvadraten på diagonalen för en kuboid är lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner.

Notera. Längden på de tre kanterna som utgår från samma spets på rätblocket är måtten på rätblocket. De kallas ibland längd, bredd, höjd.

Givet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - en rektangulär parallellepiped (fig. 5).

Bevisa: .

Ris. 5 Cuboid

Bevis:

Linjen CC 1 är vinkelrät mot planet ABC, och därmed mot linjen AC. Så triangeln CC 1 A är en rätvinklig triangel. Enligt Pythagoras sats:

Överväga rät triangel ABC. Enligt Pythagoras sats:

Men BC och AD är motsatta sidor av rektangeln. Så BC = AD. Sedan:

Som , a , då. Eftersom CC 1 = AA 1, då vad som krävdes för att bevisas.

Diagonalerna för en rektangulär parallellepiped är lika.

Låt oss beteckna dimensionerna för parallellepiped ABC som a, b, c (se fig. 6), då AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =