Sinus jest pozytywny. koło trygonometryczne. Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych
Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest tysiąc kroków za nim. W czasie, gdy Achilles pokonuje ten dystans, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw będzie czołgał się o kolejne dziesięć i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich następnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób uważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że ” …dyskusje trwają w chwili obecnej, aby dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów społeczność naukowa do tej pory nie było to możliwe ... w badanie tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, czym jest oszustwo.
Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie zademonstrował przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miar albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Zastosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez inercję myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to tak, jakby czas zwalniał aż do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogania żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już wyprzedzić żółwia.
Jeśli odwrócimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięciokrotnie krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji pojęcie „nieskończoności”, to słuszne byłoby powiedzenie „Achilles nieskończenie szybko wyprzedzi żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj na wartości odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki Achilles potrzebuje na wykonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw będzie czołgał się na sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie Problemy. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych ilościach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o latającej strzałie:
Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, zawsze jest w spoczynku.
W tej aporii logiczny paradoks pokonuje się go bardzo prosto - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Z jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się ustalić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwie fotografie wykonane z tego samego punktu w różnych punktach czasowych, ale nie można ich wykorzystać do określenia odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz z nich określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże) . Na czym chcę się skupić Specjalna uwaga jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ dają różne możliwości eksploracji.
środa, 4 lipca 2018
Bardzo dobrze różnice między setami i multisetami są opisane w Wikipedii. Patrzymy.
Jak widać, „zestaw nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zestawie są identyczne elementy, taki zestaw nazywa się „multisetem”. Podobna logika absurdu istoty zdolne odbierać wrażenia nigdy nie rozumiem. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, w którym umysł jest nieobecny w słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, przekazują nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, byli w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy kryją się za zwrotem „uwaga na mnie, jestem w domu”, a raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy je z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Uczyliśmy się bardzo dobrze matematyki i teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Tutaj matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy na naszym stole w różne stosy, w które wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśniamy matematykę, że otrzyma resztę rachunków dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tu zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewniać, że na banknotach o tym samym nominale znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że nie można ich uznać za elementy identyczne. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie konwulsyjnie przypominać sobie fizykę: różne monety dostępny inna kwota brud, struktura krystaliczna i układ atomowy każdej monety są wyjątkowe...
A teraz mam najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest granica, poza którą elementy wielozbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.
Popatrz tutaj. Dobieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy bardzo dużo, bo nazwy są różne. Jak widać, ten sam zestaw elementów jest jednocześnie zestawem i multizestawem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o secie, albo o multisecie. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym elementy jednego zbioru różnią się od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnych „wyobrażalnych jako nie jedna całość” lub „nie wyobrażalnych jako jedna całość”.
niedziela, 18 marca 2018
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczono nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale są szamanami, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wyginą.
Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma formuły, za pomocą której można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.
Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak załóżmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.
2. Dzielimy jeden otrzymany obrazek na kilka obrazków zawierających osobne numery. Wycinanie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj otrzymane liczby. To jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 to 15. Są to „kursy krojenia i szycia” od szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.
Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapisujemy liczbę. Tak więc w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru będzie różna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukiwać głowy, rozważ numer 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby znalezienie powierzchni prostokąta w metrach i centymetrach dało zupełnie inne wyniki.
Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Czym dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Szamanom mogę na to pozwolić, ale naukowcom nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Otrzymany wynik należy traktować jako dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różne wyniki po ich porównaniu to nie ma nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak, gdy wynik działania matematycznego nie zależy od wartości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Auć! Czy to nie jest toaleta dla kobiet?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieskończonej świętości dusz po wniebowstąpieniu! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.
Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowania migające przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (złożenie kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam tej dziewczyny za głupca, który nie zna fizyki. Ma po prostu łukowy stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” lub „jeden a”. To jest „człowiek robiący kupę” lub liczba „dwadzieścia sześć” w system szesnastkowy rachunek. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają liczbę i literę jako jeden symbol graficzny.
Pozwala ustalić szereg charakterystycznych wyników - właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. W tym artykule przyjrzymy się trzem głównym właściwościom. Pierwsza z nich wskazuje znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α, w zależności od tego, który kąt ćwiartki współrzędnej jest α. Następnie rozważamy właściwość okresowości, która określa niezmienność wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α, gdy kąt ten zmienia się o całkowitą liczbę obrotów. Trzecia własność wyraża zależność między wartościami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów przeciwnych α i −α.
Jeśli interesują Cię właściwości funkcji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, możesz je zbadać w odpowiedniej sekcji artykułu.
Nawigacja po stronach.
Znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w ćwiartkach
Poniżej w tym akapicie znajdzie się wyrażenie „kąt I, II, III i IV ćwiartki współrzędnych”. Wyjaśnijmy, czym są te rogi.
Weźmy okrąg jednostkowy, zaznaczmy na nim punkt początkowy A(1,0) i obróćmy go wokół punktu O o kąt α, zakładając, że dochodzimy do punktu A 1 (x, y) .
Mówią, że kąt α to kąt I , II , III , IV współrzędnej ćwiartkowej jeśli punkt A 1 leży odpowiednio w I, II, III, IV ćwiartce; jeśli kąt α jest taki, że punkt A 1 leży na dowolnej z linii współrzędnych Ox lub Oy , to ten kąt nie należy do żadnej z czterech ćwiartek.
Dla jasności przedstawiamy ilustrację graficzną. Na poniższych rysunkach pokazano kąty obrotu 30 , -210 , 585 i -45 stopni, które są odpowiednio kątami I , II , III i IV ćwiartek współrzędnych.
rogi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stopnie nie należą do żadnej z ćwiartek współrzędnych.
Zastanówmy się teraz, które znaki mają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu α, w zależności od tego, który kąt ćwiartkowy jest α.
Dla sinusa i cosinusa jest to łatwe.
Z definicji sinus kąta α jest rzędną punktu A 1 . Jest oczywiste, że w I i II ćwiartce współrzędnych jest dodatni, aw III i IV ujemna. Zatem sinus kąta α ma znak plus w ćwiartce I i II oraz znak minus w ćwiartce III i VI.
Z kolei cosinus kąta α jest odciętą punktu A 1 . W kwartale I i IV jest dodatni, aw kwartale II i III ujemna. Dlatego wartości cosinusa kąta α w ćwiartce I i IV są dodatnie, aw ćwiartce II i III są ujemne.
Aby określić znaki za pomocą ćwiartek stycznej i cotangensa, należy pamiętać o ich definicjach: tangens to stosunek rzędnej punktu A 1 do odciętej, a cotangens to stosunek odciętej punktu A 1 do rzędnej. Następnie od zasady dzielenia liczb z tymi samymi i różnymi znakami wynika, że tangens i cotangens mają znak plus, gdy znaki odciętej i rzędnej punktu A 1 są takie same, oraz znak minus, gdy znaki odciętej i rzędne punktu A 1 są różne. Dlatego tangens i cotangens kąta mają znak + w ćwiartkach współrzędnych I i III oraz znak minus w ćwiartkach II i IV.
Rzeczywiście np. w pierwszej ćwiartce zarówno odcięta x jak i rzędna y punktu A 1 są dodatnie, to zarówno iloraz x/y jak i iloraz y/x są dodatnie, zatem tangens i cotangens mają znaki + . A w drugiej ćwiartce odciętej x jest ujemne, a rzędna y jest dodatnia, więc zarówno x / y, jak i y / x są ujemne, stąd styczna i cotangens mają znak minus.
Przejdźmy do następnej własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.
Właściwość okresowości
Teraz przeanalizujemy być może najbardziej oczywistą właściwość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta. Polega ona na tym, że gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę pełnych obrotów, wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa tego kąta nie ulegają zmianie.
Jest to zrozumiałe: gdy kąt zmieni się o całkowitą liczbę obrotów, zawsze dojdziemy od punktu początkowego A do punktu A 1 na okręgu jednostkowym, dlatego wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa pozostaną niezmienione, ponieważ współrzędne punktu A 1 są niezmienione.
Korzystając ze wzorów, rozważaną własność sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa można zapisać następująco: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , gdzie α jest kątem obrotu w radianach, z jest dowolnym , którego wartość bezwzględna wskazuje liczbę pełnych obrotów, o jaką zmienia się kąt α, oraz znak liczba z wskazuje kierunek skrętu.
Jeżeli kąt obrotu α zostanie podany w stopniach, to te wzory zostaną przepisane jako sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .
Podajmy przykłady użycia tej własności. Na przykład, 
, jak 
, a 
. Oto kolejny przykład: lub .
Ta właściwość wraz ze wzorami redukcyjnymi jest bardzo często wykorzystywana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa „dużych” kątów.
Rozważana własność sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa jest czasami nazywana własnością okresowości.
Własności sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych
Niech А 1 będzie punktem otrzymanym w wyniku obrotu punktu początkowego А(1, 0) wokół punktu O o kąt α , a punkt А 2 będzie wynikiem obrotu punktu А o kąt −α przeciwnie do kąta α .
Własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych opiera się na dość oczywistym fakcie: wspomniane powyżej punkty A 1 i A 2 albo pokrywają się (w) albo są położone symetrycznie wokół osi Wół. Oznacza to, że jeśli punkt A 1 ma współrzędne (x, y) , to punkt A 2 będzie miał współrzędne (x, −y) . Stąd, zgodnie z definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, zapisujemy równości i.
Porównując je, dochodzimy do relacji między sinusami, cosinusami, tangensami i cotangensami o kątach przeciwnych α i −α postaci .
Jest to rozważana właściwość w postaci formuł.
Podajmy przykłady użycia tej własności. Na przykład równości i 
.
Pozostaje tylko zauważyć, że właściwość sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów o przeciwnych kątach, podobnie jak poprzednia właściwość, jest często używana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i pozwala na całkowite odejście z ujemnych kątów.
Bibliografia.
- Algebra: Proc. na 9 komórek. śr. szkoła / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Oświecenie, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. szkoła - 3. ed. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.
Różnorodny. Niektóre z nich dotyczą tego, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a w których sinus jest ujemny. Wszystko okazuje się proste, jeśli wiesz, jak obliczyć wartości tych funkcji pod różnymi kątami i znasz zasadę wykreślania funkcji na wykresie.
Jakie są wartości cosinusa?
Jeśli weźmiemy pod uwagę, to mamy następujący współczynnik kształtu, który go określa: cosinus kąta a jest stosunkiem sąsiedniej nogi BC do przeciwprostokątnej AB (ryc. 1): cos a= BC/AB.
Używając tego samego trójkąta, możesz znaleźć sinus kąta, tangens i cotangens. Sinus będzie stosunkiem kąta przeciwprostokątnego AC do przeciwprostokątnej AB. Tangens kąta znajduje się, gdy sinus pożądanego kąta jest podzielony przez cosinus tego samego kąta; zastępując odpowiednie wzory na znalezienie sinusa i cosinusa, otrzymujemy, że tg a\u003d AC / BC. Cotangens, jako funkcja odwrotna do tangensa, otrzymamy tak: ctg a= BC/AC.
Oznacza to, że dla tych samych wartości kąta stwierdzono, że w trójkącie prostokątnym proporcje są zawsze takie same. Wydawałoby się, że stało się jasne, skąd te wartości pochodzą, ale dlaczego uzyskuje się liczby ujemne?
Aby to zrobić, musisz wziąć pod uwagę trójkąt w kartezjańskim układzie współrzędnych, w którym występują zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.
Oczywiście o ćwiartkach, gdzie jest który
Jakie są współrzędne kartezjańskie? Jeśli mówimy o przestrzeni dwuwymiarowej, mamy dwie skierowane linie, które przecinają się w punkcie O - jest to oś odciętych (Ox) i oś rzędnych (Oy). Od punktu O w kierunku prostej są liczby dodatnie, a w Odwrotna strona- negatywny. Ostatecznie zależy to bezpośrednio od tego, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a w których odpowiednio ujemny.
Pierwszy kwartał
Jeśli umieszczony trójkąt prostokątny w pierwszym kwartale (od 0 o do 90 o), gdzie osie x i y mają wartości dodatnie(segmenty AO i VO leżą na osiach, na których wartości mają znak „+”), wówczas zarówno sinus, jak i cosinus również będą miały wartości dodatnie i przypisano im wartość ze znakiem plus. Ale co się stanie, jeśli przesuniesz trójkąt do drugiej ćwiartki (z 90 o do 180 o)?
Drugi kwartał
Widzimy, że wzdłuż osi y odebrano odnogę AO negatywne znaczenie. Cosinus kąta a teraz ma tę stronę w stosunku do minusa, a zatem jej ostateczna wartość staje się ujemna. Okazuje się, że w której ćwiartce cosinus jest dodatni zależy od położenia trójkąta w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym przypadku cosinus kąta przyjmuje wartość ujemną. Ale dla sinusa nic się nie zmieniło, ponieważ do określenia jego znaku potrzebna jest strona OB, która pozostała w tym przypadku ze znakiem plus. Podsumujmy pierwsze dwa kwartały.
Aby dowiedzieć się, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a w których ujemny (a także sinus i inne funkcje trygonometryczne), należy przyjrzeć się, który znak jest przypisany do jednej lub drugiej nogi. Dla cosinusa kąta a noga AO jest ważna, dla zatoki - OB.
Pierwszy kwartał stał się jak dotąd jedynym, który odpowiada na pytanie: „W których ćwiartkach sinus i cosinus są jednocześnie dodatnie?”. Zobaczmy dalej, czy będzie więcej zbiegów okoliczności w znaku tych dwóch funkcji.
W drugim kwartale noga AO zaczęła mieć wartość ujemną, co oznacza, że cosinus stał się ujemny. Dla sinusa przechowywana jest wartość dodatnia.
Trzeci kwadrans
Teraz obie nogi AO i OB stały się ujemne. Przypomnij sobie współczynniki cosinusa i sinusa:
Cos a \u003d AO / AB;
Grzech \u003d BO / AB.
AB zawsze ma znak dodatni w danym układzie współrzędnych, ponieważ nie jest skierowany na żadną z dwóch stron określonych przez osie. Ale nogi stały się ujemne, co oznacza, że wynik dla obu funkcji jest również ujemny, ponieważ jeśli wykonasz operacje mnożenia lub dzielenia na liczbach, wśród których jedna i tylko jedna ma znak minus, to wynik będzie również z tym znakiem .
Wynik na tym etapie:
1) W którym kwartale jest dodatni cosinus? W pierwszej z trzech.
2) W którym kwartale sinus jest dodatni? W pierwszej i drugiej z trzech.
Czwarty kwartał (od 270 o do 360 o)
Tutaj noga AO ponownie otrzymuje znak plus, a więc także cosinus.
W przypadku sinusa rzeczy są nadal „ujemne”, ponieważ noga OB pozostała poniżej punktu początkowego O.
Wyniki
Aby zrozumieć, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, ujemny itd., należy pamiętać o stosunku do obliczenia cosinusa: odnoga przylegająca do kąta podzielona przez przeciwprostokątną. Niektórzy nauczyciele sugerują zapamiętanie tego: k (osina) \u003d (k) róg. Jeśli pamiętasz to „oszustwo”, automatycznie rozumiesz, że sinus jest stosunkiem przeciwności do kąta nachylenia nogi do przeciwprostokątnej.
Zapamiętanie, w których ćwiartkach cosinus jest dodatni, a który ujemny, jest dość trudne. Istnieje wiele funkcji trygonometrycznych i wszystkie mają swoje własne wartości. Ale nadal w rezultacie: dodatnie wartości dla sinusa - 1, 2 ćwiartki (od 0 o do 180 o); dla cosinusa 1, 4 ćwiartki (od 0 o do 90 o i od 270 o do 360 o). W pozostałych kwartałach funkcje mają wartości z minusem.
Być może komuś łatwiej będzie zapamiętać, gdzie jest jaki znak, zgodnie z obrazem funkcji.
Dla sinusa widać, że od zera do 180 o szczyt znajduje się powyżej linii wartości sin(x), co oznacza, że funkcja jest tutaj dodatnia. Dla cosinusa jest tak samo: w której ćwiartce cosinus jest dodatni (zdjęcie 7), a w którym jest ujemny, można to zobaczyć przesuwając linię powyżej i poniżej osi cos (x). W rezultacie możemy zapamiętać dwa sposoby wyznaczania znaku funkcji sinus, cosinus:
1. Według wyimaginowanego okręgu o promieniu równym jeden (choć tak naprawdę nie ma znaczenia, jaki jest promień okręgu, ale w podręcznikach ten przykład jest najczęściej podawany; ułatwia to postrzeganie, ale jednocześnie, jeśli nie określisz, że to nie ma znaczenia, dzieci mogą się pomylić).
2. Zgodnie z obrazem zależności funkcji od (x) od samego argumentu x, jak na ostatnim rysunku.
Korzystając z pierwszej metody, możesz ZROZUMIEĆ, od czego dokładnie zależy znak, i wyjaśniliśmy to szczegółowo powyżej. Rysunek 7, zbudowany na tych danych, wizualizuje wynikową funkcję i jej przynależność do znaku w najlepszy możliwy sposób.
W tym artykule omówimy trzy główne właściwości funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Pierwsza właściwość to znak funkcji, w zależności od tego, do której ćwiartki okręgu jednostkowego należy kąt α. Drugą właściwością jest okresowość. Zgodnie z tą właściwością funkcja tygonometryczna nie zmienia swojej wartości, gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę obrotów. Trzecia właściwość określa, jak zmieniają się wartości funkcji sin, cos, tg, ctg pod przeciwległymi kątami α i - α .
Yandex.RTB R-A-339285-1
Często w tekście matematycznym lub w kontekście problemu można znaleźć frazę: „kąt pierwszej, drugiej, trzeciej lub czwartej ćwiartki współrzędnych”. Co to jest?
Spójrzmy na okrąg jednostek. Dzieli się na cztery ćwiartki. Na okręgu zaznaczamy punkt początkowy A 0 (1, 0) i obracając go wokół punktu O o kąt α, dochodzimy do punktu A 1 (x, y) . W zależności od tego, w której ćwiartce będzie leżeć punkt A 1 (x, y), kąt α będzie nazywany odpowiednio kątem pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartki.
Dla jasności podajemy ilustrację.
Kąt α = 30° leży w pierwszej ćwiartce. Kąt - 210° to druga ćwiartka kąta. Kąt 585° to kąt trzeciej ćwiartki. Kąt - 45° to kąt czwartej ćwiartki.
W tym przypadku kąty ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° nie należą do żadnej ćwiartki, ponieważ leżą na osiach współrzędnych.
Teraz rozważ znaki, które przyjmują sinus, cosinus, tangens i cotangens, w zależności od tego, w której ćwiartce leży kąt.
Aby określić znaki sinusa w ćwiartkach, przypomnij sobie definicję. Sinus jest rzędną punktu A 1 (x , y) . Z wykresu wynika, że w pierwszym i drugim kwartale jest dodatni, aw trzecim i czterokrotnym ujemny.
Cosinus jest odciętą punktu A 1 (x, y) . Zgodnie z tym określamy znaki cosinusa na kole. Cosinus jest dodatni w pierwszym i czwartym kwartale i ujemny w drugim i trzecim kwartale.
Aby określić znaki tangensa i cotangensa przez ćwiartki, przywołujemy również definicje tych funkcji trygonometrycznych. Styczna - stosunek rzędnej punktu do odciętej. Oznacza to, że zgodnie z zasadą dzielenia liczb różnymi znakami, gdy rzędna i odcięta mają te same znaki, znak stycznej na okręgu będzie dodatni, a gdy rzędna i odcięta mają takie same znaki różne znaki- negatywny. Podobnie określa się znaki cotangensa w ćwiartkach.
Ważne do zapamiętania!
- Sinus kąta α ma znak plus w 1. i 2. ćwiartce oraz znak minus w 3. i 4. ćwiartce.
- Cosinus kąta α ma znak plus w 1. i 4. ćwiartce oraz znak minus w 2. i 3. ćwiartce.
- Tangens kąta α ma znak plus w 1. i 3. ćwiartce oraz znak minus w 2. i 4. ćwiartce.
- Cotangens kąta α ma znak plus w 1. i 3. ćwiartce, znak minus w 2. i 4. ćwiartce.
Właściwość okresowości
Własność okresowości jest jedną z najbardziej oczywistych własności funkcji trygonometrycznych.
Właściwość okresowości
Przy zmianie kąta o całkowitą liczbę pełnych obrotów wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa danego kąta pozostają niezmienione.
Rzeczywiście, zmieniając kąt o całkowitą liczbę obrotów, zawsze dostaniemy się od punktu początkowego A na okręgu jednostkowym do punktu A 1 o tych samych współrzędnych. W związku z tym wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa nie ulegną zmianie.
Matematycznie dana nieruchomość jest napisane tak:
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Jakie jest praktyczne zastosowanie tej właściwości? Własność okresowości, podobnie jak wzory redukcyjne, jest często wykorzystywana do obliczania wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów dużych kątów.
Podajmy przykłady.
grzech 13 π 5 \u003d grzech 3 π 5 + 2 π \u003d grzech 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Przyjrzyjmy się jeszcze raz okręgowi jednostek.
Punkt A 1 (x, y) jest wynikiem obrócenia punktu początkowego A 0 (1, 0) wokół środka okręgu o kąt α. Punkt A 2 (x, - y) jest wynikiem obrócenia punktu początkowego o kąt - α.
Punkty A 1 i A 2 są symetryczne względem osi x. W przypadku gdy α = 0° , ± 180° , ± 360° punkty A1 i A2 pokrywają się. Niech jeden punkt ma współrzędne (x , y) , a drugi - (x , - y) . Przypomnij definicje sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa i napisz:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Oznacza to własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów o przeciwnych kątach.
Własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Zgodnie z tą właściwością, równości
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Rozważana właściwość jest często wykorzystywana w rozwiązywaniu praktycznych problemów w przypadkach, gdy konieczne jest pozbycie się ujemnych znaków kątów w argumentach funkcji trygonometrycznych.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Liczenie kątów na okręgu trygonometrycznym.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")
Jest prawie tak samo, jak w poprzedniej lekcji. Są osie, koło, kąt, wszystko to chińska porcelana. Dodano numery ćwiartek (w rogach dużego kwadratu) - od pierwszej do czwartej. A potem nagle kto nie wie? Jak widać, ćwiartki (nazywane są też piękne słowo„kwadranty”) są ponumerowane w stosunku do ruchu zgodnie ze wskazówkami zegara. Dodano wartości kątów na osiach. Wszystko jasne, bez dodatków.
I dodał zieloną strzałkę. Z plusem. Co ona ma na myśli? Przypomnę, że stała strona narożnika zawsze przybity do dodatniej osi OH. Tak więc, jeśli przekręcimy ruchomą stronę narożnika plus strzałka, tj. w rosnących liczbach kwartalnych, kąt zostanie uznany za dodatni. Na przykład obraz pokazuje dodatni kąt +60°.
Jeśli odłożymy rzuty rożne w przeciwnym kierunku, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, kąt będzie uważany za ujemny. Najedź kursorem na zdjęcie (lub dotknij obrazu na tablecie), zobaczysz niebieską strzałkę z minusem. To jest kierunek ujemnego odczytu kątów. Jako przykład pokazano kąt ujemny (-60°). A zobaczysz też, jak zmieniły się liczby na osiach… Przełożyłem je też na kąty ujemne. Numeracja kwadrantów nie ulega zmianie.
Tutaj zwykle zaczynają się pierwsze nieporozumienia. Jak to!? A jeśli ujemny kąt na kole pokrywa się z dodatnim!? I generalnie okazuje się, że to samo położenie boku ruchomego (lub punkt na okręgu numerycznym) można nazwać zarówno kątem ujemnym, jak i dodatnim!?
Tak. Dokładnie tak. Powiedzmy, że dodatni kąt 90 stopni przyjmuje okrąg dokładnie to samo pozycja jako kąt ujemny minus 270 stopni. Dodatni kąt, na przykład +110° stopni, przyjmuje dokładnie to samo pozycja, ponieważ kąt ujemny wynosi -250°.
Nie ma problemu. Wszystko się zgadza.) Wybór dodatniego lub ujemnego obliczenia kąta zależy od warunku zadania. Jeśli warunek nic nie mówi zwykły tekst o znaku kąta (np. „określ najmniejszy pozytywny kąt”, itp.), to pracujemy z dogodnymi dla nas wartościami.
Wyjątkiem (a jak bez nich?!) są nierówności trygonometryczne, ale tam opanujemy tę sztuczkę.
A teraz pytanie do Ciebie. Skąd mam wiedzieć, że pozycja kąta 110° jest taka sama jak pozycja kąta -250°?
Podpowiem, że wynika to z pełnego obrotu. W 360°... Niejasne? Następnie rysujemy okrąg. Rysujemy na papierze. Zaznaczanie rogu o 110°. I uwierzyć ile pozostało do pełnego obrotu. Pozostało tylko 250°...
Rozumiem? A teraz - uwaga! Jeśli kąty 110° i -250° zajmują okrąg To samo
stanowisko, to co? Tak, fakt, że kąty wynoszą 110 ° i -250 ° dokładnie to samo
sinus, cosinus, tangens i cotangens!
Tych. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tak dalej. Teraz to jest naprawdę ważne! A samo w sobie - istnieje wiele zadań, w których konieczne jest uproszczenie wyrażeń i jako podstawa do późniejszego opracowania formuł redukcyjnych i innych zawiłości trygonometrii.
Oczywiście wziąłem 110 ° i -250 ° na chybił trafił, czysto np. Wszystkie te równości działają dla dowolnych kątów zajmujących tę samą pozycję na kole. 60° i -300°, -75° i 285° i tak dalej. Od razu zauważam, że rogi w tych parach - różny. Ale mają funkcje trygonometryczne - to samo.
Myślę, że rozumiesz, czym są negatywne kąty. To całkiem proste. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jest liczbą dodatnią. Po drodze jest negatywna. Rozważ kąt dodatni lub ujemny zależy od nas. Z naszego pragnienia. No i oczywiście więcej z zadania ... Mam nadzieję, że rozumiesz, jak poruszać się w funkcjach trygonometrycznych od kątów ujemnych do dodatnich i odwrotnie. Narysuj okrąg, przybliżony kąt i zobacz, ile brakuje przed pełnym zakrętem, tj. do 360°.
Kąty większe niż 360°.
Zajmijmy się kątami większymi niż 360 °. A takie rzeczy się zdarzają? Oczywiście są. Jak narysować je na kole? Żaden problem! Załóżmy, że musimy zrozumieć, w której ćwiartce spadnie kąt 1000 °? Łatwo! Wykonujemy jeden pełny obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (kąt dano nam dodatnio!). Przewiń o 360°. Cóż, przejdźmy dalej! Kolejny obrót - już wyszło 720 °. Ile zostało? 280°. To za mało na pełny obrót… Ale kąt to ponad 270° – i to jest granica między trzecią a czwartą ćwiartką. Zatem nasz kąt 1000° wypada na czwartą ćwiartkę. Wszystko.
Jak widać, jest to dość proste. Przypomnę raz jeszcze, że kąt 1000° i kąt 280°, który uzyskaliśmy odrzucając „dodatkowe” pełne obroty, są ściśle mówiąc, różny rogi. Ale funkcje trygonometryczne tych kątów dokładnie to samo! Tych. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Gdybym był sinusem, nie zauważyłbym różnicy między tymi dwoma kątami...
Dlaczego to wszystko jest konieczne? Dlaczego musimy przekładać kąty z jednego na drugi? Tak, wszyscy za to samo.) W celu uproszczenia wyrażeń. W rzeczywistości uproszczenie wyrażeń jest głównym zadaniem matematyki szkolnej. Cóż, po drodze głowa trenuje.)
Cóż, poćwiczymy?)
Odpowiadamy na pytania. Na początku proste.
1. W którą ćwiartkę spada kąt -325°?
2. W którą ćwiartkę spada kąt 3000°?
3. W którą ćwiartkę spada kąt -3000°?
Tam jest problem? Czy niepewność? Przechodzimy do sekcji 555, Praktyczna praca z okręgiem trygonometrycznym. Tam, w pierwszej lekcji tego samego „ praktyczna praca..." wszystko jest szczegółowe ... In taki pytania niepewności nie powinien!
4. Jaki jest znak grzechu555°?
5. Jaki jest znak tg555°?
Ustalona? W porządku! Wątpliwość? Jest to konieczne do sekcji 555 ... Nawiasem mówiąc, nauczysz się rysować styczną i costyczną na okręgu trygonometrycznym. Bardzo przydatna rzecz.
A teraz mądrzejsze pytania.
6. Doprowadzić wyrażenie sin777° do sinusa najmniejszego dodatniego kąta.
7. Doprowadzić wyrażenie cos777 do cosinusa największego kąta ujemnego.
8. Przekształć wyrażenie cos(-777°) na cosinus najmniejszego kąta dodatniego.
9. Doprowadzić wyrażenie sin777° do sinusa największego kąta ujemnego.
Co, pytania 6-9 są zdziwione? Przyzwyczaj się do tego, na egzaminie nie ma takich sformułowań... Niech tak będzie, przetłumaczę. Tylko dla Ciebie!
Słowa „zredukować wyrażenie do…” oznaczają przekształcenie wyrażenia tak, aby jego wartość nie zmienił się a wygląd zewnętrzny zmieniane zgodnie z zadaniem. Tak więc w zadaniach 6 i 9 powinniśmy otrzymać sinus, wewnątrz którego jest najmniejszy kąt dodatni. Wszystko inne nie ma znaczenia.
Udzielę odpowiedzi w kolejności (z naruszeniem naszych zasad). Ale co robić, są tylko dwa znaki, a tylko cztery ćwiartki… Nie rozrzucisz się w opcjach.
6. grzech57°.
7.cos (-57°).
8.cos57°.
9.-grzech (-57°)
Przypuszczam, że odpowiedzi na pytania 6-9 zmyliły niektórych ludzi. Szczególnie -grzech (-57°), prawda?) Rzeczywiście, w elementarnych zasadach liczenia kątów jest miejsce na błędy ... Dlatego musiałem zrobić lekcję: "Jak wyznaczyć znaki funkcji i podać kąty na okręgu trygonometrycznym?" W sekcji 555. Tam zadania 4 - 9 są uporządkowane. Dobrze posortowane, ze wszystkimi pułapkami. I są tutaj.)
W kolejnej lekcji zajmiemy się tajemniczymi radianami i liczbą „Pi”. Dowiedz się, jak łatwo i poprawnie zamienić stopnie na radiany i odwrotnie. I będziemy zdziwieni, gdy stwierdzimy, że te podstawowe informacje na stronie już wystarczy rozwiązać kilka niestandardowych zagadek trygonometrycznych!
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)
Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.