Kuinka poimia neliö. Neliöjuuri. Toiminnot neliöjuurilla. Moduuli. Neliöjuurien vertailu

Laskeminen (tai poiminta) neliöjuuri voidaan valmistaa useilla tavoilla, mutta kaikkia ei voida sanoa kovin yksinkertaisiksi. Helpompaa on tietysti turvautua laskimen apuun. Mutta jos tämä ei ole mahdollista (tai haluat ymmärtää neliöjuuren olemuksen), voin neuvoa sinua menemään seuraavalla tavalla, sen algoritmi on seuraava:

Jos sinulla ei ole voimaa, halua tai kärsivällisyyttä tällaisiin pitkiin laskelmiin, voit turvautua karkeaan valintaan, sen plussa on, että se on uskomattoman nopea ja kekseliäisyydellä tarkka. Esimerkki:

Kun olin koulussa (60-luvun alussa), meitä opetettiin ottamaan minkä tahansa luvun neliöjuuri. Tekniikka on yksinkertainen, ulkoisesti samanlainen kuin sarakejakoquot ;, mutta sen ilmaiseminen tässä vie puoli tuntia ja 4-5 tuhatta merkkiä tekstiä. Mutta miksi tarvitset sitä? Onko sinulla puhelin tai muu vempain, siellä on laskin nm. Jokaisessa tietokoneessa on laskin. Henkilökohtaisesti teen mieluummin tällaisen laskennan Excelissä.

Usein koulussa vaaditaan neliöjuurien löytämistä eri numerot. Mutta jos olemme tottuneet käyttämään laskinta koko ajan tähän, niin kokeissa ei ole tällaista mahdollisuutta, joten sinun on opittava etsimään juuria ilman laskimen apua. Ja se on periaatteessa mahdollista tehdä.

Algoritmi on:

Katso ensin numerosi viimeistä numeroa:

Esimerkiksi,

Nyt sinun on määritettävä likimäärin vasemmanpuoleisimman ryhmän juuren arvo

Jos numerossa on enemmän kuin kaksi ryhmää, sinun on löydettävä juuri näin:

Mutta seuraavan numeron pitäisi olla täsmälleen suurin, sinun on poimittava se seuraavasti:

Nyt meidän on muodostettava uusi luku A lisäämällä yllä saatuun jäännökseen seuraava ryhmä.

Esimerkeissämme:

Najna-sarake, ja kun tarvitaan yli viisitoista merkkiä, tietokoneet ja puhelimet laskimilla useimmiten lepäävät. On vielä tarkistettava, kestääkö menetelmän kuvaus 4-5 tuhatta merkkiä.

Berm mikä tahansa luku, pilusta lasketaan numeroparit oikealle ja vasemmalle

Esimerkiksi 1234567890.098765432100

Numeripari on kuin kaksinumeroinen luku. Kahden numeron juuri on yksi yhteen. Valitsemme yksiarvoisen, jonka neliö on pienempi kuin ensimmäinen numeropari. Meidän tapauksessamme se on 3.

Kuten sarakkeella jaettaessa, ensimmäisen parin alle kirjoitetaan tämä neliö ja vähennetään ensimmäisestä parista. Tulos on alleviivattu. 12 - 9 = 3. Lisää tähän eroon toinen numeropari (se on 334). Bermien lukumäärän vasemmalla puolella jo löydetyn tuloksen osan kaksinkertaista arvoa täydennetään numerolla (meillä on 2 * 6 = 6), jolloin se kerrotaan vastaanottamattomalla numerolla. ei ylitä numeroa, jossa on toinen numeropari. Saamme, että löydetty luku on viisi. Taas löydetään ero (9), puretaan seuraava numeropari, jolloin saadaan 956, kirjoitetaan jälleen tuloksen kaksinkertaistettu osa (70), lisätään jälleen tarvittava numero ja niin edelleen, kunnes se pysähtyy. Tai vaaditulla laskelmien tarkkuudella.

Ensinnäkin neliöjuuren laskemiseksi sinun on tunnettava kertotaulukko hyvin. Suurin osa yksinkertaisia ​​esimerkkejä on 25 (5 x 5 = 25) ja niin edelleen. Jos otat numerot monimutkaisempia, voit käyttää niitä tämä pöytä, jossa yksiköt ovat vaakasuorat ja kymmenet pystysuorat.



On hyvä tapa kuinka löytää luvun juuri ilman laskimien apua. Tätä varten tarvitset viivaimen ja kompassin. Tärkeintä on, että löydät viivaimesta arvon, joka sinulla on juuren alla. Laita esimerkiksi merkki 9:n lähelle. Tehtäväsi on jakaa tämä luku yhtä suureen määrään osia, eli kahteen 4,5 cm:n riviin ja parilliseen segmenttiin. On helppo arvata, että lopulta saat 3 3 senttimetrin segmenttiä.

Menetelmä ei ole helppo ja suuria lukuja ei sovellu, mutta sitä pidetään ilman laskinta.

ilman laskimen apua opetettiin neliöjuuren erottamismenetelmä neuvostoaikaa koulussa 8 luokalla.

Tätä varten sinun on jaettava moninumeroinen luku oikealta vasemmalle 2-numeroisiksi etusivuiksi :

Juuren ensimmäinen numero on koko vasemman puolen juuri, tässä tapauksessa 5.

Vähennä 5 neliöity luvusta 31, 31-25=6 ja lisää seuraava kasvot kuuteen, meillä on 678.

Seuraava numero x valitaan kaksinkertaistamaan viisi niin, että

10x*x oli maksimi, mutta vähemmän kuin 678.

x=6, koska 106*6=636,

nyt lasketaan 678 - 636 = 42 ja lisätään seuraava pinta 92, meillä on 4292.

Jälleen etsimme maksimi x:tä siten, että 112x*x lt; 4292.

Vastaus: juuri on 563

Joten voit jatkaa niin kauan kuin haluat.

Joissakin tapauksissa voit yrittää laajentaa juuriluvun kahdeksi tai useammaksi neliötekijäksi.

On myös hyödyllistä muistaa taulukko (tai ainakin osa siitä) - luonnollisten lukujen neliöt välillä 10 - 99.



Ehdotan vaihtoehtoa neliöjuuren erottamiseksi keksimääni sarakkeeseen. Se eroaa tunnetusta lukuun ottamatta numeroiden valintaa. Mutta kuten myöhemmin huomasin, tätä menetelmää oli olemassa jo monta vuotta ennen syntymääni. Suuri Isaac Newton kuvaili sitä kirjassaan General Arithmetic tai kirjassa aritmeettisesta synteesistä ja analyysistä. Joten tässä esitän näkemykseni ja perusteluni Newtonin menetelmän algoritmille. Algoritmia ei tarvitse muistaa. Voit käyttää kuvan kaaviota tarvittaessa visuaalisena apuvälineenä.







Taulukoiden avulla et voi laskea, vaan löytää neliöjuuret vain taulukoissa olevista luvuista. Helpoin tapa laskea juuret ei ole vain neliö, vaan myös muut asteet peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä. Esimerkiksi laskemme luvun 10739 neliöjuuren, korvaamme kolme viimeistä numeroa nollalla ja poimimme 10000:n juuren, saamme 100 haitalla, joten otamme luvun 102 ja neliöimme sen, saamme 10404, joka on myös pienempi. kuin määritetty, otamme 103*103=10609 taas haitalla, otamme 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, otamme vielä enemmän 103,6 * 103,6 \u003d 10732, otamme 103,6 * 103,6 \u003d 10732, otamme 103,6 * 103,6 \u003d 10732, otamme 103,5 * 103,7 * 103.7 * 103.7 ylimääräinen. Voit ottaa luvun 10739 neliöjuuren olevan suunnilleen yhtä suuri kuin 103,6. Tarkemmin sanottuna 10739=103.629... . . Samoin laskemme kuutiojuuren, ensin 10 000:sta saadaan noin 25 * 25 * 25 = 15625, mikä on yli, otamme 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, otamme hieman enemmän kuin 22,06 * 22,06 * 22.06 = 10735, mikä on hyvin lähellä annettua.

juuri n luonnollisen luvun potenssi a numeroon soitetaan n jonka teho on yhtä suuri a. Juuri on merkitty seuraavasti: . Symbolia √ kutsutaan juuren merkki tai radikaalin merkki, numero a - juurinumero, n - juuri eksponentti.

Toimintoa, jolla tietyn asteen juuri löytyy, kutsutaan juurien uuttaminen.

Koska juuren käsitteen määritelmän mukaan n th astetta

sitten juurien uuttaminen- toiminto, eksponentioinnin vastakohta, jonka avulla tietyn asteen ja annetun eksponentin mukaan löydetään asteen kanta.

Neliöjuuri

Luvun neliöjuuri a on numero, jonka neliö on a.

Toimintoa, jolla neliöjuuri lasketaan, kutsutaan neliöjuuren ottamiseksi.

Neliöjuuren purkaminen- päinvastainen neliöintitoiminto (tai luvun nostaminen toiseen potenssiin). Kun neliöit luvun, sinun on löydettävä sen neliö. Neliöjuurta poimittaessa luvun neliö tunnetaan, siitä on löydettävä itse luku.

Siksi suoritetun toimenpiteen oikeellisuuden tarkistamiseksi voit nostaa löydetyn juuren toiseen asteeseen, ja jos aste on yhtä suuri kuin juurinumero, juuri löytyi oikein.

Harkitse neliöjuuren poimimista ja sen vahvistamista esimerkin avulla. Laskemme tai (juurieksponenttia arvolla 2 ei yleensä kirjoiteta, koska 2 on pienin eksponentti ja on muistettava, että jos juurimerkin yläpuolella ei ole eksponenttia, niin eksponentti 2 oletetaan), tätä varten tarvitsemme löytääksesi luvun, toiseksi korotettuna aste on 49. Ilmeisesti tämä luku on 7, koska

7 7 = 7 2 = 49.

Neliöjuuren laskeminen

Jos annettu luku on 100 tai pienempi, niin sen neliöjuuri voidaan laskea kertotaulukon avulla. Esimerkiksi luvun 25 neliöjuuri on 5, koska 5 x 5 = 25.

Harkitse nyt tapaa löytää minkä tahansa luvun neliöjuuri ilman laskinta. Otetaan esimerkiksi luku 4489 ja aletaan laskea askel askeleelta.

1. Määritetään, mistä numeroista halutun juuren tulee koostua. Koska 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 ja 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10 000, käy selväksi, että halutun juuren on oltava suurempi kuin 10 ja pienempi kuin 100, ts. koostuu kymmenistä ja yksiköistä.
2. Etsi juuren kymmenien lukumäärä. Kymmenien kertominen tuottaa satoja, meidän lukumme on 44, joten juuressa täytyy olla niin monta kymmeniä, että kymmenien neliö antaa suunnilleen 44 sataa. Siksi juuressa pitäisi olla 6 kymppiä, koska 60 2 \u003d 3600 ja 70 2 \u003d 4900 (tämä on liikaa). Siten saimme selville, että juuremme sisältää 6 kymmeniä ja useita, koska se on välillä 60-70.
3. Kertotaulukko auttaa määrittämään yksiköiden määrän juurissa. Lukua 4489 tarkasteltaessa näemme, että sen viimeinen numero on 9. Nyt katsomme kertotaulukkoa ja näemme, että 9 yksikköä saadaan vain neliöimällä luvut 3 ja 7. Numeron juuri on siis 63. tai 67.
4. Tarkistamme saamamme luvut 63 ja 67 neliöimällä ne: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Oppilaat kysyvät aina: ”Miksi en voi käyttää laskinta matematiikan kokeessa? Kuinka erottaa luvun neliöjuuri ilman laskinta? Yritetään vastata tähän kysymykseen.

Kuinka erottaa luvun neliöjuuri ilman laskimen apua?

Toiminta neliöjuuren uuttaminen neliöinnin vastakohta.

√81= 9 9 2 =81

Jos otamme positiivisen luvun neliöjuuren ja neliöimme tuloksen, saamme saman luvun.

Pienistä luvuista, jotka ovat luonnollisten lukujen tarkkoja neliöitä, esimerkiksi 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, neliöjuuret voidaan erottaa sanallisesti. Yleensä koulussa opetetaan luonnollisten lukujen neliötaulukkoa kahteenkymmeneen asti. Tämän taulukon avulla on helppo poimia neliöjuuret luvuista 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Lukuista, jotka ovat suurempia kuin 400, voit poimia käyttämällä valintamenetelmää joidenkin vinkkien avulla. Kokeillaan esimerkkiä tämän menetelmän pohtimiseksi.

Esimerkki: Poimi luvun 676 juuri.

Huomaamme, että 20 2 \u003d 400 ja 30 2 \u003d 900, mikä tarkoittaa 20< √676 < 900.

Luonnollisten lukujen tarkat neliöt päättyvät nollaan; yksi; neljä; 5; 6; 9.
Numeron 6 antaa 4 2 ja 6 2 .
Joten jos juuri on otettu luvusta 676, se on joko 24 tai 26.

Vielä on tarkistettava: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Vastaus: √676 = 26 .

Lisää esimerkki: √6889 .

Vuodesta 80 2 \u003d 6400 ja 90 2 \u003d 8100, sitten 80< √6889 < 90.
Numeron 9 antaa 3 2 ja 7 2, sitten √6889 on joko 83 tai 87.

Tarkista: 83 2 = 6889.

Vastaus: √6889 = 83 .

Jos sinun on vaikea ratkaista valintamenetelmällä, voit kertoa juurilausekkeen.

Esimerkiksi, etsi √893025.

Lasketaanpa luku 893025, muista, teit sen kuudennella luokalla.

Saamme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Lisää esimerkki: √20736. Lasketaan luku 20736:

Saamme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Tietysti factoring vaatii jakokriteerien tuntemusta ja factoring-taitoja.

Ja lopuksi on olemassa neliöjuuren sääntö. Tarkastellaan tätä sääntöä esimerkin avulla.

Laske √279841.

Poimimme moninumeroisen kokonaisluvun juuren jakamalla sen oikealta vasemmalle kasvoiksi, joissa kussakin on 2 numeroa (vasemmassa ääripinnassa voi olla yksi numero). Kirjoita näin 27'98'41

Saadaksesi juuren ensimmäisen numeron (5), poimimme neliöjuuren suurimmasta tarkasta neliöstä, joka sisältyy ensimmäisessä vasemmassa puolella (27).
Sitten juuren (25) ensimmäisen numeron neliö vähennetään ensimmäisestä pinnasta ja seuraava pinta (98) lasketaan (purkataan) erotukseen.
Vastaanotetun luvun 298 vasemmalle puolelle he kirjoittavat juuren kaksinumeroisen numeron (10), jakavat sillä aiemmin saadun luvun kaikkien kymmenien lukumäärän (29/2 ≈ 2), kokevat osamäärän (102 ∙ 2 = 204 ei saa olla suurempi kuin 298) ja kirjoita (2) juuren ensimmäisen numeron jälkeen.
Sitten tuloksena saatu osamäärä 204 vähennetään luvusta 298, ja seuraava puoli (41) lasketaan erotuksen (94) ansioksi (poistetaan).
Tuloksena olevan luvun 9441 vasemmalle puolelle he kirjoittavat juuren numeroiden kaksoistulon (52 ∙ 2 = 104), jakavat tällä tulolla luvun 9441 kaikkien kymmenien lukumäärän (944/104 ≈ 9), kokemus osamäärän (1049 ∙ 9 = 9441) tulee olla 9441 ja kirjoita se ylös (9) juuren toisen numeron jälkeen.

Saimme vastauksen √279841 = 529.

Poimi samalla tavalla desimaalien juuret. Vain radikaaliluku on jaettava kasvoiksi siten, että pilkku on kasvojen välissä.

Esimerkki. Etsi arvo √0,00956484.

Sinun täytyy vain muistaa, että jos desimaali Sillä on pariton numero desimaaleja, tarkkaa neliöjuurta ei eroteta siitä.

Joten, nyt olet nähnyt kolme tapaa purkaa juuri. Valitse itsellesi sopivin ja harjoittele. Jotta voit oppia ratkaisemaan ongelmia, sinun on ratkaistava ne. Ja jos sinulla on kysyttävää, .

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Fakta 1.
\(\bullet\) Älä ota osaa negatiivinen luku\(a\) (eli \(a\geqslant 0\) ). Sitten (aritmeettinen) neliöjuuri luvusta \(a\) kutsutaan sellainen ei-negatiivinen luku \(b\), jonka neliöitäessä saamme luvun \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama as )\quad a=b^2\] Määritelmästä seuraa, että \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Nämä rajoitukset ovat tärkeä edellytys neliöjuuren olemassaololle ja ne tulee muistaa!
Muista, että mikä tahansa luku neliötettynä antaa ei-negatiivisen tuloksen. Eli \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mikä on \(\sqrt(25)\)? Tiedämme, että \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Koska määritelmän mukaan meidän on löydettävä ei-negatiivinen luku, \(-5\) ei ole sopiva, joten \(\sqrt(25)=5\) (koska \(25=5^2\) ).
Arvon \(\sqrt a\) löytämistä kutsutaan luvun \(a\) neliöjuuren ottamiseksi, ja lukua \(a\) kutsutaan juurilausekkeeksi.
\(\bullet\) Määritelmän perusteella lausekkeet \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) jne. ei ole järkeä.

Fakta 2.
Nopeita laskelmia varten on hyödyllistä oppia luonnollisten lukujen neliötaulukko \(1\) - \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Mitä neliöjuurilla voidaan tehdä?
\(\bullet\) Summa tai erotus neliöjuuret EI YHTEÄ summan tai erotuksen neliöjuuren kanssa, ts. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jos sinun on siis laskettava esimerkiksi \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , sinun on ensin löydettävä arvot \(\sqrt(25)\) ja \(\sqrt (49)\ ) ja laske ne sitten yhteen. Näin ollen \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jos arvoja \(\sqrt a\) tai \(\sqrt b\) ei löydy lisättäessä \(\sqrt a+\sqrt b\), tällaista lauseketta ei muunneta enempää ja se pysyy sellaisenaan. Esimerkiksi summasta \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) löydämme \(\sqrt(49)\) - tämä on \(7\) , mutta \(\sqrt 2\) ei voi olla muunnetaan millään tavalla, siksi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lisäksi tätä ilmaisua ei valitettavasti voida yksinkertaistaa millään tavalla.\(\bullet\) Neliöjuurien tulo/osamäärä on yhtä suuri kuin tulon/osamäärän neliöjuuri, ts. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (edellyttäen, että yhtäläisyyden molemmat osat ovat järkeviä)
Esimerkki: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Näitä ominaisuuksia käyttämällä on kätevää löytää suurten lukujen neliöjuuret kertomalla ne.
Harkitse esimerkkiä. Etsi \(\sqrt(44100)\) . Koska \(44100:100=441\) , sitten \(44100=100\cdot 441\) . Jaotuvuuskriteerin mukaan luku \(441\) on jaollinen luvulla \(9\) (koska sen numeroiden summa on 9 ja jaollinen 9:llä), joten \(441:9=49\) , eli \(441=9\ cdot 49\) .
Näin ollen saimme: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Katsotaanpa toista esimerkkiä: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näytämme kuinka syötetään numeroita neliöjuuren alle käyttämällä esimerkkiä lausekkeesta \(5\sqrt2\) (lyhenne lausekkeesta \(5\cdot \sqrt2\) ). Koska \(5=\sqrt(25)\) , niin \ Huomaa myös, että esim.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miksi niin? Selitetään esimerkillä 1). Kuten jo ymmärsit, emme voi jotenkin muuntaa numeroa \(\sqrt2\) . Kuvittele, että \(\sqrt2\) on jokin luku \(a\) . Vastaavasti lauseke \(\sqrt2+3\sqrt2\) on vain \(a+3a\) (yksi numero \(a\) plus kolme muuta samaa numeroa \(a\) ). Ja tiedämme, että tämä on yhtä suuri kuin neljä tällaista lukua \(a\) , eli \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Usein sanotaan "juurta ei voi purkaa", kun ei ole mahdollista päästä eroon juuren (radikaalin) merkistä \(\sqrt () \ \) löydettäessä jonkin luvun arvoa. Voit esimerkiksi juurtaa luvun \(16\), koska \(16=4^2\) , joten \(\sqrt(16)=4\) . Mutta juuren erottaminen luvusta \(3\) eli \(\sqrt3\) on mahdotonta, koska ei ole olemassa sellaista lukua, joka neliössä antaisi \(3\) .
Tällaiset luvut (tai lausekkeet sellaisilla numeroilla) ovat irrationaalisia. Esimerkiksi numerot \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) jne. ovat irrationaalisia.
Irrationaalisia ovat myös luvut \(\pi\) (luku "pi", suunnilleen yhtä suuri kuin \(3,14\) ), \(e\) (tätä lukua kutsutaan Euler-luvuksi, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin \(2) ,7\) ) jne.
\(\bullet\) Huomaa, että mikä tahansa luku on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Ja yhdessä kaikki rationaalista ja kaikkea irrationaalisia lukuja muodostavat joukon nimeltä joukko todellisia (todellisia) lukuja. Tämä joukko on merkitty kirjaimella \(\mathbb(R)\) .
Tämä tarkoittaa, että kaikki luvut ovat Tämä hetki tiedämme, että niitä kutsutaan reaaliluvuiksi.

Fakta 5.
\(\bullet\) Reaaliluvun moduuli \(a\) on ei-negatiivinen luku \(|a|\) yhtä suuri kuin etäisyys reaaliluvun pisteestä \(a\) \(0\) linja. Esimerkiksi \(|3|\) ja \(|-3|\) ovat yhtä kuin 3, koska etäisyydet pisteistä \(3\) ja \(-3\) \(0\) ovat sama ja yhtä suuri kuin \(3 \) .
\(\bullet\) Jos \(a\) on ei-negatiivinen luku, niin \(|a|=a\) .
Esimerkki: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jos \(a\) on negatiivinen luku, niin \(|a|=-a\) .
Esimerkki: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
He sanovat, että negatiivisille luvuille moduuli "syö" miinuksen ja positiiviset luvut sekä luvun \(0\) moduuli jättää ennalleen.
MUTTA tämä sääntö koskee vain numeroita. Jos sinulla on tuntematon \(x\) (tai jokin muu tuntematon) moduulimerkin alla, esimerkiksi \(|x|\) , josta emme tiedä onko se positiivinen, yhtä suuri kuin nolla vai negatiivinen, niin emme voi päästä eroon moduulista. Tässä tapauksessa tämä lauseke pysyy seuraavana: \(|x|\) . \(\bullet\) Seuraavat kaavat ovat voimassa: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( edellyttäen ) a\geqslant 0\] Usein tehdään seuraava virhe: sanotaan, että \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) ovat sama asia. Tämä on totta vain, kun \(a\) on positiivinen luku tai nolla. Mutta jos \(a\) on negatiivinen luku, tämä ei ole totta. Riittää, kun pohditaan tällaista esimerkkiä. Otetaan numero \(-1\) \(a\) sijaan. Silloin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mutta lauseketta \((\sqrt (-1))^2\) ei ole ollenkaan (koska se on mahdotonta juurimerkin alle laita negatiiviset luvut!).
Siksi kiinnitämme huomiosi siihen tosiasiaan, että \(\sqrt(a^2)\) ei ole yhtä suuri kuin \((\sqrt a)^2\) ! Esimerkki: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), koska \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Koska \(\sqrt(a^2)=|a|\) , sitten \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (lauseke \(2n\) tarkoittaa parillista lukua)
Toisin sanoen, kun poimitaan juuri luvusta, joka on jossain määrin, tämä aste puolitetaan.
Esimerkki:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (huomaa, että jos moduulia ei ole asetettu, niin käy ilmi, että luvun juuri on yhtä suuri kuin \(-25) \) ; mutta muistamme , joka juuren määritelmän mukaan ei voi olla: juurta poimittaessa tulee aina saada positiivinen luku tai nolla)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (koska mikä tahansa luku parilliseen potenssiin ei ole negatiivinen)

Fakta 6.
Kuinka verrata kahta neliöjuurta?
\(\bullet\) Tosi neliöjuurille: jos \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsimerkki:
1) vertaa \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Ensin muunnamme toisen lausekkeen muotoon \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Siten vuodesta \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Minkä kokonaislukujen välissä on \(\sqrt(50)\) ?
Koska \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vertaa \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletetaan \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(tasattu) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisää yksi molemmille puolille))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((neliöi molemmat osat))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(tasattu)\] Näemme, että olemme saaneet väärän epätasa-arvon. Siksi oletuksemme oli väärä ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Huomaa, että tietyn luvun lisääminen epäyhtälön molemmille puolille ei vaikuta sen etumerkkiin. Epäyhtälön molempien puolten kertominen/jako positiivisella luvulla ei myöskään muuta sen etumerkkiä, mutta kertominen/jako negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälön etumerkin!
Yhtälön/epäyhtälön molemmat puolet voidaan neliöidä VAIN JOS molemmat puolet eivät ole negatiivisia. Esimerkiksi edellisen esimerkin epäyhtälössä voit neliöttää molemmat puolet, epäyhtälössä \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Huomaa tämä \[\begin(tasattu) &\sqrt 2\noin 1,4\\ &\sqrt 3\noin 1,7 \end(tasattu)\] Näiden numeroiden likimääräisen merkityksen tunteminen auttaa sinua vertailemaan lukuja! \(\bullet\) Jotta juuri (jos se puretaan) jostain suuresta luvusta, jota ei ole neliötaulukossa, voidaan erottaa, sinun on ensin määritettävä, minkä sadan välillä se on, sitten minkä "kymmenien" välillä. ja määritä sitten tämän luvun viimeinen numero. Näytämme esimerkin avulla, miten se toimii.
Ota \(\sqrt(28224)\) . Tiedämme, että \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ja niin edelleen. Huomaa, että \(28224\) on välillä \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) on välillä \(100\) ja \(200\) .
Määritetään nyt, minkä "kymmenien" välissä lukumme on (eli esimerkiksi välillä \(120\) ja \(130\) ). Neliötaulukosta tiedämme myös, että \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne., sitten \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Joten näemme, että \(28224\) on välillä \(160^2\) ja \(170^2\) . Siksi numero \(\sqrt(28224)\) on välillä \(160\) ja \(170\) .
Yritetään määrittää viimeinen numero. Muistetaan mitä yksinumeroiset luvut neliöitettäessä antavat lopussa \ (4 \) ? Nämä ovat \(2^2\) ja \(8^2\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) päättyy joko numeroon 2 tai 8. Tarkistetaan tämä. Etsi \(162^2\) ja \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tästä syystä \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Jotta matematiikan tentti voitaisiin ratkaista riittävästi, on ensinnäkin tarpeen tutkia teoreettista materiaalia, joka esittelee lukuisia lauseita, kaavoja, algoritmeja jne. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä on melko yksinkertaista. Kuitenkin sellaisen lähteen löytäminen, jossa matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon teoria esitetään helposti ja ymmärrettävästi minkä tahansa koulutustason opiskelijoille, on itse asiassa melko vaikea tehtävä. Koulukirjoja ei aina voi pitää käsillä. Ja matematiikan tentin peruskaavojen löytäminen voi olla vaikeaa jopa Internetistä.

Miksi matematiikan teorian opiskelu on niin tärkeää, ei vain kokeeseen osallistuville?

1. Koska se laajentaa näköalojasi. Matematiikan teoreettisen materiaalin opiskelu on hyödyllistä kaikille, jotka haluavat saada vastauksia monenlaisiin maailman tuntemiseen liittyviin kysymyksiin. Luonnossa kaikki on järjestettyä ja sillä on selkeä logiikka. Juuri tämä heijastuu tieteeseen, jonka kautta on mahdollista ymmärtää maailmaa.
2. Koska se kehittää älyä. Opiskellessaan matematiikan tentin viitemateriaaleja sekä ratkaisemalla erilaisia ​​​​ongelmia ihminen oppii ajattelemaan ja päättelemään loogisesti, muotoilemaan ajatuksia oikein ja selkeästi. Hän kehittää kykyä analysoida, yleistää ja tehdä johtopäätöksiä.

Kutsumme sinut henkilökohtaisesti arvioimaan kaikkia koulutusmateriaalien systematisointiin ja esittämiseen liittyvää lähestymistapaamme.

Ensimmäisen painoksensa In the Realm of Genuity (1908) esipuheessa E. I. Ignatiev kirjoittaa: Tulokset ovat luotettavia vain, kun johdatus matemaattisen tiedon kenttään tehdään helposti ja miellyttävästi, esineille ja esimerkeille arjen ja arjen tilanteista, jotka on valittu asianmukaisella nokkeluudella ja huvituksella.

Vuoden 1911 "The Role of Memory in Mathematics" -julkaisun esipuheessa E.I. Ignatiev kirjoittaa "... matematiikassa ei pitäisi muistaa kaavoja, vaan ajatteluprosessi."

Neliöjuuren poimimiseksi on kaksinumeroisten lukujen neliötaulukot, voit jakaa luvun alkutekijöiksi ja poimia neliöjuuren tuotteesta. Neliötaulukko ei riitä, juuren erottaminen factoring-menetelmällä on aikaa vievä tehtävä, joka ei myöskään aina johda haluttuun tulokseen. Yritä erottaa luvun 209764 neliöjuuri? Hajottaminen alkutekijöihin antaa tulon 2 * 2 * 52441. Yrityksellä ja erehdyksellä, valinta - tämä voidaan tietysti tehdä, jos olet varma, että tämä on kokonaisluku. Haluan ehdottaa, että voit ottaa neliöjuuren joka tapauksessa.

Kerran instituutissa (Perm State Pedagogical Institute) tutustuimme tähän menetelmään, josta haluan nyt puhua. En koskaan ajatellut, onko tällä menetelmällä todisteita, joten nyt minun piti päätellä joitain todisteita itse.

Tämän menetelmän perustana on luvun = koostumus.

=&, eli &2=596334.

1. Jaa numero (5963364) pareiksi oikealta vasemmalle (5`96`33`64)

2. Poimimme vasemmalla olevan ensimmäisen ryhmän neliöjuuren ( - numero 2). Joten saamme luvun & ensimmäisen numeron.

3. Etsi ensimmäisen numeron neliö (2 2 \u003d 4).

4. Etsi ero ensimmäisen ryhmän ja ensimmäisen numeron neliön välillä (5-4=1).

5. Puretaan seuraavat kaksi numeroa (saimme numeron 196).

6. Kaksinkertaistamme ensimmäisen löytämämme luvun, kirjoitamme sen vasemmalle rivin taakse (2*2=4).

7. Nyt sinun on löydettävä luvun & toinen numero: löytämämme kaksinkertaistettu ensimmäinen numero tulee luvun kymmenien numeroksi, kun kerrotaan yksiköiden määrällä, sinun on saatava luku, joka on pienempi kuin 196 ( tämä on numero 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 on &:n toinen numero.

8. Etsi ero (196-176=20).

9. Puramme seuraavan ryhmän (saamme numeron 2033).

10. Tuplaa luku 24, saamme 48.

11,48 kymmeniä luvussa, kun yksikköjen määrällä kerrotaan, pitäisi saada luku, joka on pienempi kuin 2033 (484 * 4 = 1936). Löytämiemme yksiköiden numero (4) on luvun & kolmas numero.

Todistuksen olen antanut tapauksille:

1. Kolminumeroisen luvun neliöjuuren erottaminen;

2. Nelinumeroisen luvun neliöjuuren erottaminen.

Likimääräiset menetelmät neliöjuuren erottamiseksi (ilman laskinta).

1. Muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa menetelmää löytääkseen x-luvun neliöjuuren likimääräisen arvon. He esittivät luvun x summana a 2 + b, jossa a 2 on lähinnä x:tä luonnollisen luvun a tarkka neliö (a 2 ? x), ja käyttivät kaavaa . (1)

Kaavan (1) avulla poimimme neliöjuuren esimerkiksi luvusta 28:

Tulos 28:n juuren purkamisesta käyttämällä MK 5.2915026:ta.

Kuten näette, babylonialainen menetelmä antaa hyvän likiarvon juuren tarkasta arvosta.

2. Isaac Newton kehitti neliöjuuren menetelmän, joka juontaa juurensa Aleksandrian Heronista (n. 100 jKr). Tämä menetelmä (tunnetaan nimellä Newtonin menetelmä) on seuraava.

Päästää a 1- luvun ensimmäinen approksimaatio (1:nä voit ottaa luonnollisen luvun neliöjuuren arvot - tarkka neliö, joka ei ylitä X) .

Seuraava, tarkempi likiarvo a 2 numeroita löytyy kaavan mukaan .