Miten on juuri. Tutkimustyö aiheesta: "Neliöjuurien erottaminen suurista luvuista ilman laskinta"

Oppilaat kysyvät aina: ”Miksi en voi käyttää laskinta matematiikan kokeessa? Kuinka erottaa luvun neliöjuuri ilman laskinta? Yritetään vastata tähän kysymykseen.

Kuinka erottaa luvun neliöjuuri ilman laskimen apua?

Toiminta neliöjuuren uuttaminen neliöinnin vastakohta.

√81= 9 9 2 =81

Jos otamme positiivisen luvun neliöjuuren ja neliöimme tuloksen, saamme saman luvun.

Siitä ei suuria lukuja, jotka ovat luonnollisten lukujen tarkkoja neliöitä, esimerkiksi 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 neliöjuurta voidaan poimia suullisesti. Yleensä koulussa opetetaan luonnollisten lukujen neliötaulukkoa kahteenkymmeneen asti. Tämän taulukon avulla on helppo poimia neliöjuuret luvuista 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Lukuista, jotka ovat suurempia kuin 400, voit poimia käyttämällä valintamenetelmää joidenkin vinkkien avulla. Kokeillaan esimerkkiä tämän menetelmän pohtimiseksi.

Esimerkki: Poimi luvun 676 juuri.

Huomaamme, että 20 2 \u003d 400 ja 30 2 \u003d 900, mikä tarkoittaa 20< √676 < 900.

Luonnollisten lukujen tarkat neliöt päättyvät nollaan; yksi; 4; 5; 6; yhdeksän.
Numeron 6 antaa 4 2 ja 6 2 .
Joten jos juuri on otettu luvusta 676, se on joko 24 tai 26.

Vielä on tarkistettava: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Vastaus: √676 = 26 .

Lisää esimerkki: √6889 .

Vuodesta 80 2 \u003d 6400 ja 90 2 \u003d 8100, sitten 80< √6889 < 90.
Numeron 9 antaa 3 2 ja 7 2, sitten √6889 on joko 83 tai 87.

Tarkista: 83 2 = 6889.

Vastaus: √6889 = 83 .

Jos sinun on vaikea ratkaista valintamenetelmällä, voit kertoa juurilausekkeen.

Esimerkiksi, etsi √893025.

Lasketaanpa luku 893025, muista, teit sen kuudennella luokalla.

Saamme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Lisää esimerkki: √20736. Lasketaan luku 20736:

Saamme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Tietysti factoring vaatii jakokriteerien tuntemusta ja factoring-taitoja.

Ja lopuksi on olemassa neliöjuuren sääntö. Tarkastellaan tätä sääntöä esimerkin avulla.

Laske √279841.

Poimimme moninumeroisen kokonaisluvun juuren jakamalla sen oikealta vasemmalle kasvoiksi, joissa kussakin on 2 numeroa (vasemmassa ääripinnassa voi olla yksi numero). Kirjoita näin 27'98'41

Saadaksesi juuren ensimmäisen numeron (5), poimimme neliöjuuren suurimmasta tarkasta neliöstä, joka sisältyy ensimmäisessä vasemmassa puolella (27).
Sitten juuren (25) ensimmäisen numeron neliö vähennetään ensimmäisestä pinnasta ja seuraava pinta (98) lasketaan (purkataan) erotukseen.
Vastaanotetun luvun 298 vasemmalle puolelle he kirjoittavat juuren kaksinumeroisen numeron (10), jakavat sillä aiemmin saadun luvun kaikkien kymmenien lukumäärän (29/2 ≈ 2), kokevat osamäärän (102 ∙ 2 = 204 ei saa olla suurempi kuin 298) ja kirjoita (2) juuren ensimmäisen numeron jälkeen.
Sitten tuloksena saatu osamäärä 204 vähennetään luvusta 298, ja seuraava puoli (41) lasketaan erotuksen (94) ansioksi (poistetaan).
Tuloksena olevan luvun 9441 vasemmalle puolelle he kirjoittavat juuren numeroiden kaksoistulon (52 ∙ 2 = 104), jakavat tällä tulolla luvun 9441 kaikkien kymmenien lukumäärän (944/104 ≈ 9), kokemus osamäärän (1049 ∙ 9 = 9441) tulee olla 9441 ja kirjoita se ylös (9) juuren toisen numeron jälkeen.

Saimme vastauksen √279841 = 529.

Poimi samalla tavalla desimaalien juuret. Vain radikaaliluku on jaettava kasvoiksi siten, että pilkku on kasvojen välissä.

Esimerkki. Etsi arvo √0,00956484.

Muista vain, että jos desimaalimurto on ei tasaluku desimaaleja, tarkkaa neliöjuurta ei eroteta siitä.

Joten, nyt olet nähnyt kolme tapaa purkaa juuri. Valitse itsellesi sopivin ja harjoittele. Jotta voit oppia ratkaisemaan ongelmia, sinun on ratkaistava ne. Ja jos sinulla on kysyttävää, .

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

On aika purkaa juurenpoistomenetelmät. Ne perustuvat juurien ominaisuuksiin, erityisesti tasa-arvoon, joka pätee kaikkiin ei negatiivinen numero b.

Alla tarkastellaan vuorostaan ​​tärkeimpiä menetelmiä juurien poistamiseksi.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta - juurien poimiminen luonnollisista luvuista neliötaulukon, kuutiotaulukon jne. avulla.

Jos taulukot neliöistä, kuutioista jne. ei ole käsillä, on loogista käyttää juuren erotusmenetelmää, joka sisältää juuriluvun hajotuksen yksinkertaisiksi tekijöiksi.

Erikseen kannattaa keskittyä, mikä on mahdollista juurille, joilla on parittomat eksponentit.

Harkitse lopuksi menetelmää, jonka avulla voit löytää peräkkäin juuren arvon numerot.

Aloitetaan.

Käyttämällä neliötaulukkoa, kuutiotaulukkoa jne.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa taulukot neliöistä, kuutioista jne. mahdollistavat juurien poistamisen. Mitä nämä taulukot ovat?

Kokonaislukujen 0-99 neliötaulukko (näkyy alla) koostuu kahdesta vyöhykkeestä. Taulukon ensimmäinen vyöhyke sijaitsee harmaalla taustalla; valitsemalla tietyn rivin ja tietyn sarakkeen, voit tehdä numeron väliltä 0 - 99. Valitsemme esimerkiksi 8 kymmenen rivin ja 3 yksikön sarakkeen, jolla korjasimme numeron 83. Toinen vyöhyke sijaitsee muualla pöydässä. Jokainen sen solu sijaitsee tietyn rivin ja tietyn sarakkeen leikkauskohdassa ja sisältää vastaavan luvun 0-99 neliön. Valitsemamme 8 kymmenien rivin ja yhden sarakkeen 3 leikkauskohdassa on solu numerolla 6889, joka on luvun 83 neliö.

Kuutiotaulukot, numeroiden 0-99 neljännet potenssit ja niin edelleen ovat samanlaisia ​​kuin neliötaulukot, vain ne sisältävät kuutiot, neljännet potenssit jne. toisessa vyöhykkeessä. vastaavat numerot.

Taulukot neliöistä, kuutioista, neljännestä potenssista jne. voit poimia neliöjuuret, kuutiojuuret, neljännet juuret jne. näiden taulukoiden numeroista. Selvitetään niiden soveltamisen periaate juurien poimimisessa.

Oletetaan, että meidän täytyy erottaa n:nnen asteen juuri luvusta a, kun taas luku a sisältyy n:nnen asteen taulukkoon. Tämän taulukon mukaan löydämme luvun b siten, että a=b n . Sitten , siksi luku b on haluttu n:nnen asteen juuri.

Esimerkkinä näytetään, kuinka luvun 19683 kuutiojuuri erotetaan kuutiotaulukon avulla. Löydämme kuutiotaulukosta luvun 19 683, josta huomaamme, että tämä luku on luvun 27 kuutio, joten .

On selvää, että n:nnen asteen taulukot ovat erittäin käteviä juuria poimittaessa. Ne eivät kuitenkaan usein ole käsillä, ja niiden kokoaminen vaatii jonkin verran aikaa. Lisäksi on usein tarpeen poimia juuria luvuista, joita ei ole vastaavissa taulukoissa. Näissä tapauksissa on turvauduttava muihin menetelmiin juurien poistamiseksi.

Juuriluvun hajottaminen alkutekijöiksi

Melko kätevä tapa erottaa juuri luonnollisesta luvusta (jos tietysti juuri erotetaan) on hajottaa juuriluku alkutekijöiksi. Hänen olemus on seuraava: sen jälkeen on melko helppo esittää se asteena halutulla indikaattorilla, jonka avulla voit saada juuren arvon. Selitetään tämä kohta.

Otetaan luonnollisesta luvusta a n:nnen asteen juuri ja sen arvo on yhtä suuri kuin b. Tässä tapauksessa yhtälö a=b n on tosi. Luku b mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää kaikkien sen alkutekijöiden p 1, p 2, …, p m tulona muodossa p 1 p 2 p m, ja juuriluku a esitetään tässä tapauksessa muodossa (p 1 p 2 ... p m) n . Koska luvun hajottaminen alkutekijöiksi on ainutlaatuinen, juuriluvun a hajottaminen alkutekijöiksi näyttää tältä (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , mikä mahdollistaa juuren arvon laskemisen .

Huomaa, että jos juuriluvun a kertoimia ei voida esittää muodossa (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , niin n:nnen asteen juuria tällaisesta luvusta a ei eroteta kokonaan.

Käsitellään tätä esimerkkejä ratkaistaessa.

Esimerkki.

Ota luvun 144 neliöjuuri.

Päätös.

Jos käännymme edellisessä kappaleessa annettuun neliötaulukkoon, nähdään selvästi, että 144=12 2 , josta käy selvästi ilmi, että luvun 144 neliöjuuri on 12 .

Mutta tämän kohdan valossa olemme kiinnostuneita siitä, kuinka juuri erotetaan hajottamalla juuriluku 144 alkutekijöiksi. Katsotaanpa tätä ratkaisua.

Hajotetaanpa 144 alkutekijöihin:

Eli 144=2 2 2 2 3 3 . Tuloksena olevan hajotuksen perusteella voidaan suorittaa seuraavat muunnokset: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Siten, .

Juurien asteen ja ominaisuuksien ominaisuuksia käyttämällä ratkaisu voitaisiin muotoilla hieman eri tavalla: .

Vastaus:

Aineiston vahvistamiseksi harkitse kahden muun esimerkin ratkaisuja.

Esimerkki.

Laske juuriarvo.

Päätös.

Juuren luvun 243 alkuluku on 243=3 5 . Täten, .

Vastaus:

Esimerkki.

Onko juuren arvo kokonaisluku?

Päätös.

Vastataksesi tähän kysymykseen, hajotetaan juuriluku alkutekijöiksi ja katsotaan, voidaanko se esittää kokonaisluvun kuutiona.

Meillä on 285 768=2 3 3 6 7 2 . Tuloksena olevaa hajoamista ei esitetä kokonaisluvun kuutiona, koska aste päätekijä 7 ei ole kolmen kerrannainen. Siksi luvun 285 768 kuutiojuurta ei oteta kokonaan.

Vastaus:

Ei.

Juurien erottaminen murtoluvuista

On aika selvittää, kuinka juuri erotetaan murtoluvusta. Kirjoitetaan murtojuuriluku muodossa p/q . Osamäärän juuren ominaisuuden mukaan seuraava yhtälö on tosi. Tästä tasa-arvosta se seuraa murto-osan juurisääntö: Murtoluvun juuri on yhtä suuri kuin osamäärä, joka jaetaan osoittajan juurilla nimittäjän juurilla.

Katsotaanpa esimerkkiä juuren erottamisesta murtoluvusta.

Esimerkki.

Mikä on neliöjuuri murtoluku 25/169 .

Päätös.

Neliötaulukon mukaan alkuperäisen murtoluvun osoittajan neliöjuuri on 5 ja nimittäjän neliöjuuri 13. Sitten . Tämä saa päätökseen juuren erottamisen tavallisesta fraktiosta 25/169.

Vastaus:

Desimaalimurto- tai sekaluvun juuri erotetaan sen jälkeen, kun juuriluvut on korvattu tavallisilla murtoluvuilla.

Esimerkki.

Ota desimaaliluvun 474.552 kuutiojuuri.

Päätös.

Esitetään alkuperäinen desimaali yhteisenä murtolukuna: 474.552=474552/1000 . Sitten . Jää vielä poimia kuutiojuuret, jotka ovat tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä. Kuten 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3 , sitten ja . Jäljelle jää vain laskelmien suorittaminen .

Vastaus:

.

Negatiivisen luvun juuren erottaminen

Erikseen kannattaa keskittyä juurien erottamiseen negatiivisista luvuista. Juuria tutkiessamme sanoimme, että kun juuren eksponentti on pariton luku, niin negatiivinen luku voi olla juuren merkin alla. Annoimme tällaisille merkinnöille seuraavan merkityksen: negatiiviselle luvulle −a ja juuren 2 n−1 parittomille eksponenteille meillä on . Tämä tasa-arvo antaa sääntö parittojen juurien erottamiseksi negatiivisista luvuista: erotellaksesi negatiivisen luvun juuren, sinun on poimittava vastakkaisen positiivisen luvun juuri ja asetettava miinusmerkki tuloksen eteen.

Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Etsi juuriarvo.

Päätös.

Muunnetaan alkuperäinen lauseke niin, että juurimerkin alle tulee positiivinen luku: . Nyt korvaamme sekaluvun tavallisella murtoluvulla: . Käytämme sääntöä juurien erottamisesta tavallisesta murtoluvusta: . Jää vielä laskea juuret tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä: .

Tässä on yhteenveto ratkaisusta: .

Vastaus:

.

Bittikohtainen juuriarvon löytäminen

Yleisessä tapauksessa juuren alla on luku, jota ei edellä käsitellyillä tekniikoilla voida esittää minkään luvun n:nnenä potenssina. Mutta samalla on tarve tietää tietyn juuren arvo, ainakin tiettyyn merkkiin asti. Tässä tapauksessa juuren poimimiseksi voit käyttää algoritmia, jonka avulla voit saada jatkuvasti riittävän määrän arvoja halutun luvun numeroista.

Tämän algoritmin ensimmäinen vaihe on selvittää, mikä on juuriarvon merkittävin bitti. Tätä varten luvut 0, 10, 100, ... nostetaan peräkkäin potenssiin n, kunnes saadaan juuriluvun ylittävä luku. Sitten luku, jonka korotimme n:n potenssiin edellisessä vaiheessa, osoittaa vastaavan korkean asteen.

Harkitse esimerkiksi tätä algoritmin vaihetta, kun poimit viiden neliöjuuren. Otetaan luvut 0, 10, 100, ... ja neliötetään niitä, kunnes saadaan luku, joka on suurempi kuin 5 . Meillä on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , mikä tarkoittaa, että merkittävin numero on yksikkönumero. Tämän bitin, samoin kuin alempien, arvo löytyy juurenpoistoalgoritmin seuraavissa vaiheissa.

Kaikki seuraavat algoritmin vaiheet tähtäävät juuren arvon peräkkäiseen tarkentamiseen johtuen siitä, että juuren halutun arvon seuraavien numeroiden arvot löydetään alkaen korkeimmasta ja siirtyen alimpaan . Esimerkiksi juuren arvo ensimmäisessä vaiheessa on 2 , toisessa - 2,2 , kolmannessa - 2,23 ja niin edelleen 2,236067977 ... . Kuvataan kuinka bittien arvot löydetään.

Numeroiden etsiminen suoritetaan luetteloimalla ne mahdollisia arvoja 0, 1, 2, ..., 9. Tässä tapauksessa vastaavien lukujen n:nnet potenssit lasketaan rinnakkain ja niitä verrataan juurinumeroon. Jos jossain vaiheessa asteen arvo ylittää radikaaliluvun, niin edellistä arvoa vastaavan numeron arvon katsotaan löytyneen ja siirrytään juurenpoistoalgoritmin seuraavaan vaiheeseen, jos näin ei tapahdu, silloin tämän luvun arvo on 9 .

Selitämme kaikki nämä kohdat käyttämällä samaa esimerkkiä viiden neliöjuuren erottamisesta.

Etsi ensin yksiköiden numeron arvo. Iteroimme arvoja 0, 1, 2, …, 9 laskemalla vastaavasti 0 2 , 1 2 , …, 9 2, kunnes saamme arvon, joka on suurempi kuin radikaaliluku 5 . Kaikki nämä laskelmat esitetään kätevästi taulukon muodossa:

Joten yksikkönumeron arvo on 2 (koska 2 2<5 , а 2 3 >5). Jatketaan kymmenennen paikan arvon löytämistä. Tässä tapauksessa neliöimme luvut 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 vertaamalla saatuja arvoja juurinumeroon 5:

2.2 lähtien 2<5 , а 2,3 2 >5, niin kymmenennen paikan arvo on 2. Voit jatkaa sadasosan arvon etsimistä:

Joten viiden juuren seuraava arvo löytyy, se on yhtä suuri kuin 2,23. Ja niin voit jatkaa arvojen etsimistä edelleen: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materiaalin konsolidoimiseksi analysoimme juuren erottamisen sadasosan tarkkuudella tarkasteltavalla algoritmilla.

Ensin määritellään vanhempi numero. Tätä varten kuutioimme luvut 0, 10, 100 jne. kunnes saamme luvun, joka on suurempi kuin 2 151,186 . Meillä on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , joten merkittävin numero on kymmenluku.

Määritellään sen arvo.

Vuodesta 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , niin kymmenluvun arvo on 1 . Siirrytään yksiköihin.

Siten ykkösten paikan arvo on 2 . Jatketaan kymmeneen.

Koska jopa 12,9 3 on pienempi kuin radikaaliluku 2 151,186, kymmenennen paikan arvo on 9. Vielä on suoritettava algoritmin viimeinen vaihe, se antaa meille juuren arvon vaaditulla tarkkuudella.

Tässä vaiheessa juuren arvo löytyy sadasosaan asti: .

Tämän artikkelin lopuksi haluaisin sanoa, että on monia muita tapoja poimia juuria. Mutta useimpiin tehtäviin edellä tutkitut tehtävät ovat riittäviä.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8 solulle. koulutusinstituutiot.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Matematiikka syntyi, kun ihminen tuli tietoiseksi itsestään ja alkoi asettua maailman autonomiseksi yksiköksi. Halu mitata, vertailla, laskea, mikä sinua ympäröi, on yksi nykypäivän perustieteistä. Aluksi nämä olivat alkeismatematiikan kappaleita, jotka mahdollistivat numeroiden yhdistämisen niiden fyysisiin ilmaisuihin, myöhemmin johtopäätökset alettiin esittää vain teoreettisesti (niiden abstraktiuden vuoksi), mutta jonkin ajan kuluttua, kuten eräs tiedemies sanoi, " matematiikka saavutti monimutkaisuuden katon, kun kaikki luvut." Käsite "neliöjuuri" ilmestyi aikana, jolloin sitä voitiin helposti tukea empiirisellä tiedolla, joka ylitti laskelmien tason.

Miten kaikki alkoi

Ensimmäinen maininta juurista, jota nykyään merkitään √, kirjattiin babylonialaisten matemaatikoiden kirjoituksiin, jotka loivat perustan nykyaikaiselle aritmetiikalle. Tietenkin ne näyttivät vähän nykymuodoltaan - noiden vuosien tiedemiehet käyttivät ensin tilaa vieviä tabletteja. Mutta toisella vuosituhannella eKr. e. he keksivät likimääräisen laskentakaavan, joka osoitti, kuinka neliöjuuri otetaan. Alla olevassa kuvassa on kivi, jolle babylonialaiset tiedemiehet kaivertivat tulosprosessin √2, ja se osoittautui niin oikeaksi, että vastauksessa oleva ristiriita löytyi vain kymmenellä desimaalilla.

Lisäksi juuria käytettiin, jos oli tarpeen löytää kolmion sivu, edellyttäen, että kaksi muuta tiedetään. No, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä, juuria ei ole paeta.

Babylonian teosten ohella artikkelin aihetta tutkittiin myös kiinalaisessa teoksessa "Mathematics in Nine Books", ja muinaiset kreikkalaiset tulivat siihen tulokseen, että mikä tahansa luku, josta juuria ei irroteta ilman jäännöstä, antaa irrationaalisen tuloksen .

Tämän termin alkuperä liittyy numeron arabialaiseen esitykseen: muinaiset tiedemiehet uskoivat, että mielivaltaisen luvun neliö kasvaa juuresta, kuten kasvi. Latinaksi tämä sana kuulostaa radixilta (voidaan jäljittää kuvio - kaikki, jolla on "juuren" semanttinen kuorma, on konsonanttia, oli se sitten retiisi tai iskias).

Seuraavien sukupolvien tutkijat ottivat tämän ajatuksen käyttöön ja antoivat sen Rx:ksi. Esimerkiksi 1400-luvulla he kirjoittivat R 2 a osoittaakseen, että neliöjuuri on otettu mielivaltaisesta luvusta a. Modernille ilmeelle tuttu "pukki" √ ilmestyi vasta 1600-luvulla Rene Descartesin ansiosta.

Meidän päivät

Matemaattisesti y:n neliöjuuri on luku z, jonka neliö on y. Toisin sanoen z 2 =y vastaa √y=z. Tämä määritelmä koskee kuitenkin vain aritmeettista juuria, koska se tarkoittaa lausekkeen ei-negatiivista arvoa. Toisin sanoen √y=z, missä z on suurempi tai yhtä suuri kuin 0.

Yleensä, mikä pätee algebrallisen juuren määrittämiseen, lausekkeen arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Siten johtuen siitä, että z 2 =y ja (-z) 2 =y, meillä on: √y=±z tai √y=|z|.

Koska rakkaus matematiikkaan on vain lisääntynyt tieteen kehityksen myötä, siihen on olemassa erilaisia ​​​​kiinnityksiä, joita ei ilmaista kuivilla laskelmilla. Esimerkiksi tällaisten mielenkiintoisten tapahtumien, kuten Pi-päivän, ohella vietetään myös neliöjuuren vapaapäiviä. Niitä vietetään yhdeksän kertaa sadan vuoden aikana, ja ne määräytyvät seuraavan periaatteen mukaan: päivää ja kuukautta osoittavien numeroiden on oltava vuoden neliöjuuri. Joten seuraavan kerran tätä lomaa vietetään 4. huhtikuuta 2016.

Neliöjuuren ominaisuudet kentässä R

Lähes kaikilla matemaattisilla lausekkeilla on geometrinen perusta, tämä kohtalo ei mennyt läpi ja √y, joka määritellään neliön sivuksi, jonka pinta-ala on y.

Kuinka löytää luvun juuri?

Laskenta-algoritmeja on useita. Yksinkertaisin, mutta samalla melko hankala, on tavallinen aritmeettinen laskenta, joka on seuraava:

1) luvusta, jonka juuria tarvitsemme, parittomat luvut vähennetään vuorotellen - kunnes tulosteen loppuosa on pienempi kuin vähennetty yksi tai jopa nolla. Liikkeiden määrästä tulee lopulta haluttu määrä. Esimerkiksi 25:n neliöjuuren laskeminen:

Seuraava pariton luku on 11, loppuosa on: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tällaisia ​​tapauksia varten on olemassa Taylor-sarjan laajennus:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , missä n saa arvot välillä 0 -

+∞ ja |y|≤1.

Graafinen esitys funktiosta z=√y

Tarkastellaan perusfunktiota z=√y reaalilukujen R kentässä, jossa y on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Hänen kaavionsa näyttää tältä:

Käyrä kasvaa origosta ja ylittää välttämättä pisteen (1; 1).

Funktion z=√y ominaisuudet reaalilukujen R kentässä

1. Tarkastelun funktion määritelmäalue on aikaväli nollasta plus äärettömään (nolla on mukana).

2. Tarkastelun funktion arvoalue on aikaväli nollasta plus äärettömään (nolla on jälleen mukana).

3. Funktio ottaa minimiarvon (0) vain pisteestä (0; 0). Maksimiarvoa ei ole.

4. Funktio z=√y ei ole parillinen eikä pariton.

5. Funktio z=√y ei ole jaksollinen.

6. Funktion z=√y kuvaajalla on vain yksi leikkauspiste koordinaattiakseleiden kanssa: (0; 0).

7. Funktion z=√y kuvaajan leikkauspiste on myös tämän funktion nolla.

8. Funktio z=√y kasvaa jatkuvasti.

9. Funktio z=√y saa vain positiivisia arvoja, joten sen kuvaaja on ensimmäinen koordinaattikulma.

Vaihtoehdot funktion z=√y näyttämiseksi

Matematiikassa monimutkaisten lausekkeiden laskemisen helpottamiseksi käytetään joskus neliöjuuren kirjoittamisen potenssimuotoa: √y=y 1/2. Tämä vaihtoehto on kätevä esimerkiksi nostettaessa funktiota potenssiin: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Tämä menetelmä on myös hyvä esitys integraatiolla tapahtuvalle differentiaatiolle, koska sen ansiosta neliöjuurta edustaa tavallinen potenssifunktio.

Ja ohjelmoinnissa symbolin √ korvaaminen on kirjainyhdistelmä sqrt.

On syytä huomata, että tällä alueella neliöjuurella on suuri kysyntä, koska se on osa useimpia laskelmissa tarvittavia geometrisia kaavoja. Itse laskenta-algoritmi on melko monimutkainen ja perustuu rekursioon (itseään kutsuva funktio).

Neliöjuuri kompleksikentässä C

Yleisesti ottaen tämän artikkelin aihe stimuloi kompleksilukujen kentän C löytämistä, koska matemaatikoita ahdisti kysymys parillisen astejuuren saamisesta negatiivisesta luvusta. Näin syntyi kuvitteellinen yksikkö i, jolle on ominaista erittäin mielenkiintoinen ominaisuus: sen neliö on -1. Tämän ansiosta toisen asteen yhtälöt ja negatiivinen diskriminantti saivat ratkaisun. C:ssä neliöjuurelle samat ominaisuudet kuin R:ssä, ainoa asia on, että juurilausekkeen rajoitukset poistetaan.

Kuinka purkaa juuri numerosta. Tässä artikkelissa opimme ottamaan neli- ja viisinumeroisten lukujen neliöjuuren.

Otetaan esimerkiksi vuoden 1936 neliöjuuri.

Siten, .

Viimeinen numero vuonna 1936 on 6. Neliö 4 ja 6 päättyvät 6:een. Siksi 1936 voi olla 44:n tai 46:n neliö. Se on vielä tarkistettava kertolaskulla.

tarkoittaa,

Otetaan luvun 15129 neliöjuuri.

Siten, .

15129:n viimeinen numero on 9. 9 päättyy 3:n ja 7:n neliöön. Siksi 15129 voi olla luvun 123 tai 127 neliö. Tarkistetaan kertolaskulla.

tarkoittaa,

Kuinka roottaa - video

Ja nyt ehdotan, että katsot videon Anna Denisovasta - "Kuinka purkaa juuri ", sivuston tekijä" yksinkertainen fysiikka", jossa hän selittää, kuinka neliö- ja kuutiojuuret poimitaan ilman laskinta.

Video käsittelee useita tapoja poimia juuret:

1. Helpoin tapa poimia neliöjuuri.

2. Vastaaminen summan neliön avulla.

3. Babylonian tapa.

4. Menetelmä neliöjuuren erottamiseksi sarakkeesta.

5. Nopea tapa poimia kuution juuri.

6. Menetelmä kuutiojuuren erottamiseksi sarakkeesta.