Tasaisesti kiihdytetyn liikkeen analyyttinen kuvaus. Tasaisesti kiihdytetyllä liikkeellä liikkumisen kaavan johtaminen. Liikerata
Meille tärkeintä on osata laskea kehon siirtymä, koska siirtymän tietäen voimme löytää myös kehon koordinaatit, ja tämä on mekaniikan päätehtävä. Kuinka laskea siirtymä tasaisesti kiihdytetty liike?
Siirtymän määrityskaava on helpoin saada, jos käytät graafista menetelmää.
Kohdassa 9 näimme, että suoraviivaisella tasaisella liikkeellä kappaleen siirtymä on numeerisesti yhtä suuri kuin nopeuskäyrän alla olevan kuvan (suorakulmion) pinta-ala. Pitääkö tämä paikkansa tasaisesti kiihdytetyssä liikkeessä?
Kehon tasaisesti kiihdytetyllä liikkeellä koordinaattiakselia X pitkin nopeus ei pysy vakiona ajan myötä, vaan muuttuu ajan myötä kaavojen mukaan:
Siksi nopeuskäyrät ovat kuvan 40 mukaisia. Tämän kuvan viiva 1 vastaa liikettä "positiivisella" kiihtyvyydellä (nopeus kasvaa), viiva 2 vastaa liikettä "negatiivisella" kiihtyvyydellä (nopeus laskee). Molemmat kaaviot viittaavat tapaukseen, jolloin keholla oli sillä hetkellä nopeus
Valitsemme tasaisesti kiihdytetyn liikkeen nopeuden kuvaajasta pienen osan (kuva 41) ja alempana pisteistä a ja kohtisuorassa akseliin nähden. Segmentin pituus akselilla on numeerisesti yhtä suuri kuin pieni aikaväli, jonka aikana nopeus muuttui arvostaan pisteessä a arvoon pisteessä Leikkauksen alla grafiikka osoittautui kapeaksi nauhaksi
Jos segmentin numeerisesti yhtä suuri aikaväli on riittävän pieni, on tänä aikana myös nopeuden muutos pieni. Tämän ajanjakson liikettä voidaan pitää yhtenäisenä, jolloin nauha eroaa vain vähän suorakulmiosta. Nauhan pinta-ala on siis numeerisesti yhtä suuri kuin kappaleen siirtymä segmenttiä vastaavassa ajassa
Mutta on mahdollista jakaa koko nopeuskaavion alla olevan kuvan alue sellaisiksi kapeiksi nauhoiksi. Siten siirtymä koko ajan on numeerisesti yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-ala. Puolisuunnikkaan pinta-ala, kuten geometriasta tiedetään, on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kannan ja korkeuden summan tulo. Meidän tapauksessamme puolisuunnikkaan yhden kannan pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin toisen - V. Sen korkeus on numeerisesti yhtä suuri. Tästä seuraa, että siirtymä on yhtä suuri:
Sen sijaan korvaamme lausekkeen (1a) tähän kaavaan
Jakamalla termillä osoittajan nimittäjällä, saamme:
Korvaamalla lausekkeen (16) kaavaan (2) saadaan (katso kuva 42):
Kaavaa (2a) käytetään, kun kiihtyvyysvektori on suunnattu samaan suuntaan kuin koordinaattiakseli, ja kaavaa (26), kun kiihtyvyysvektorin suunta on vastakkainen tämän akselin suunnan kanssa.
Jos alkunopeus on nolla (kuva 43) ja kiihtyvyysvektori on suunnattu koordinaattiakselia pitkin, niin kaavasta (2a) seuraa, että
Jos kiihtyvyysvektorin suunta on vastakkainen koordinaattiakselin suuntaan, niin kaavasta (26) seuraa, että
("-"-merkki tarkoittaa tässä, että siirtymävektori samoin kuin kiihtyvyysvektori on suunnattu vastapäätä valittua koordinaattiakselia).
Muista, että kaavoissa (2a) ja (26) suuret ja voivat olla sekä positiivisia että negatiivisia - nämä ovat vektorien ja
Nyt kun olemme saaneet kaavat siirtymän laskemiseen, meidän on helppo saada kaava kappaleen koordinaattien laskentaan. Olemme nähneet (katso § 8), että kappaleen koordinaatin löytämiseksi jossain vaiheessa on tarpeen lisätä alkukoordinaattiin kappaleen siirtymävektorin projektio koordinaattiakselille:
(For) jos kiihtyvyysvektori on suunnattu samaan suuntaan kuin koordinaattiakseli, ja
jos kiihtyvyysvektorin suunta on vastakkainen koordinaattiakselin suuntaan.
Nämä ovat kaavoja, joiden avulla voit löytää kehon sijainnin milloin tahansa suoraviivaisessa tasaisesti kiihdytetyssä liikkeessä. Tätä varten sinun on tiedettävä kappaleen alkukoordinaatti, sen alkunopeus ja kiihtyvyys a.
Tehtävä 1. Nopeudella 72 km/h liikkuvan auton kuljettaja näki punaisen liikennevalon ja jarrutti. Sen jälkeen auto alkoi hidastaa ja liikkua kiihtyvällä vauhdilla
Mikä on auton ajama matka aikasekunnissa jarrutuksen alkamisen jälkeen? Kuinka pitkän matkan auto kulkee ennen kuin se pysähtyy kokonaan?
Ratkaisu. Koordinaattien origoksi valitsemme tien pisteen, jossa auto alkoi hidastaa. Suuntaataan koordinaattiakseli auton liikkeen suuntaan (kuva 44) ja viitataan aikareferenssiin hetkeen, jolloin kuljettaja painoi jarrua. Auton nopeus on suunnattu samaan suuntaan kuin X-akseli, ja auton kiihtyvyys on vastakkainen tämän akselin suuntaan. Siksi nopeusprojektio X-akselilla on positiivinen ja kiihtyvyysprojektio negatiivinen, ja ajoneuvon koordinaatti on löydettävä kaavalla (36):
Korvaa tässä kaavassa arvot
Nyt selvitetään kuinka pitkän matkan auto kulkee ennen kuin se pysähtyy kokonaan. Tätä varten meidän on tiedettävä liikkeen aika. Se löytyy kaavan avulla
Koska sillä hetkellä, kun auto pysähtyy, sen nopeus on nolla
Matka, jonka auto kulkee täydelliseen pysähtymiseen, on sama kuin auton kulloinenkin koordinaatti
Tehtävä 2. Määritä kappaleen siirtymä, jonka nopeuskäyrä on esitetty kuvassa 45. Kappaleen kiihtyvyys on a.
Ratkaisu. Koska aluksi kappaleen nopeuden moduuli pienenee ajan myötä, kiihtyvyysvektori on suunnattu vastakkaiseen suuntaan . Siirtymän laskemiseksi voimme käyttää kaavaa
Kaaviosta voidaan nähdä, että liikeaika on siis:
Saatu vastaus osoittaa, että kuvan 45 käyrä vastaa kehon liikettä ensin yhteen suuntaan ja sitten samaa etäisyyttä vastakkaiseen suuntaan, minkä seurauksena kappale on lähtöpisteessä. Tällainen kuvaaja voi viitata esimerkiksi pystysuoraan ylöspäin heitetyn kappaleen liikkeeseen.
Tehtävä 3. Kappale liikkuu suoraa linjaa pitkin tasaisella kiihtyvyydellä a. Selvitä kehon kahden peräkkäisen yhtä suuren ajanjakson aikana kulkemien matkojen ero, ts.
Ratkaisu. Otetaan X-akseliksi suora, jota pitkin kappale liikkuu. Jos pisteessä A (kuva 46) kappaleen nopeus oli yhtä suuri, niin sen liike ajassa on yhtä suuri:
Kohdassa B keholla oli nopeus ja sen siirtymä seuraavan ajanjakson aikana on:
2. Kuva 47 esittää kaavioita kolmen kappaleen liikenopeudesta? Mikä on näiden kappaleiden liikkeen luonne? Mitä voidaan sanoa kappaleiden nopeuksista pisteitä A ja B vastaavilla ajanhetkillä? Määritä näiden kappaleiden kiihtyvyydet ja kirjoita liikeyhtälöt (nopeuden ja siirtymän kaavat).
3. Suorita seuraavat tehtävät käyttämällä kuvassa 48 esitettyjä kolmen kappaleen nopeuksien kuvaajia: a) Määritä näiden kappaleiden kiihtyvyydet; b) säveltää
kunkin kappaleen kaava nopeuden riippuvuudelle ajasta: c) miten kuvaajia 2 ja 3 vastaavat liikkeet ovat samanlaisia ja miten ne eroavat toisistaan?
4. Kuva 49 esittää kaavioita kolmen kappaleen liikenopeudesta. Näiden kuvaajien mukaan: a) määritä, mitä segmentit OA, OB ja OS vastaavat koordinaattiakseleilla; 6) selvitä kiihtyvyydet, joilla kappaleet liikkuvat: c) kirjoita liikeyhtälöt jokaiselle kappaleelle.
5. Lentoonlähdön aikana lentokone ohittaa kiitotien 15 sekunnissa ja sen nopeus on nousuhetkellä laskeutumisesta 100 m/s. Kuinka nopeasti kone liikkui ja kuinka pitkä kiitotie oli?
6. Auto pysähtyi liikennevaloihin. Vihreän merkkivalon syttymisen jälkeen se alkaa liikkua kiihtyvällä vauhdilla ja liikkuu näin, kunnes sen nopeus on 16 m/s, minkä jälkeen se jatkaa liikkumista tasaisella nopeudella. Kuinka kaukana liikennevalosta auto on 15 sekuntia vihreän signaalin ilmestymisen jälkeen?
7. Ammus, jonka nopeus on 1000 m/s, murtautuu korsun seinän läpi 10 minuutissa ja sen jälkeen sen nopeus on 200 m/s. Ottaen huomioon, että ammuksen liike seinän paksuudessa kiihtyy tasaisesti, laske seinän paksuus.
8. Raketti liikkuu kiihtyvällä tahdilla ja saavuttaa jossain vaiheessa nopeuden 900 m/s. Minkä polun hän valitsee seuraavaksi
9. Kuinka kaukana maapallosta olisi avaruusalus 30 minuuttia lähdön jälkeen, jos hän liikkui koko ajan suoraan eteenpäin kiihdytyksellä
Tasainen liike- tämä on liikettä vakionopeudella, eli kun nopeus ei muutu (v \u003d const) eikä kiihdytystä tai hidastuvuutta ole (a \u003d 0).
Suoraviivainen liike on liikettä suorassa linjassa eli liikeradalla suoraviivaista liikettä on suora viiva.
on liike, jossa keho tekee samoja liikkeitä minkä tahansa tasaisen ajanjakson ajan. Jos esimerkiksi jaamme jonkin aikavälin yhden sekunnin segmentteihin, niin tasaisella liikkeellä keho liikkuu saman matkan jokaisella näistä aikajaksoista.
Tasaisen suoraviivaisen liikkeen nopeus ei riipu ajasta ja jokaisessa liikeradan pisteessä on suunnattu samalla tavalla kuin kehon liike. Toisin sanoen siirtymävektori on suunnassa yhteneväinen nopeusvektorin kanssa. Jossa keskinopeus mille tahansa ajanjaksolle on yhtä suuri kuin hetkellinen nopeus:
Tasaisen suoraviivaisen liikkeen nopeus on fyysinen vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin kappaleen siirtymän suhde minkä tahansa ajanjakson aikana tämän välin t arvoon:
V(vektori) = s(vektori) / t
Täten tasaisen suoraviivaisen liikkeen nopeus osoittaa, minkä liikkeen materiaalipiste tekee aikayksikössä.
liikkuva tasaisella suoraviivaisella liikkeellä määritetään kaavalla:
s(vektori) = V(vektori) t
Kuljettu matka suoraviivaisessa liikkeessä on yhtä suuri kuin siirtymämoduuli. Jos OX-akselin positiivinen suunta osuu yhteen liikkeen suunnan kanssa, niin nopeuden projektio OX-akselilla on yhtä suuri kuin nopeus ja on positiivinen:
v x = v, eli v > 0
Siirtymän projektio OX-akselille on yhtä suuri:
s \u003d vt \u003d x - x 0
missä x 0 on kappaleen alkukoordinaatti, x on kappaleen lopullinen koordinaatti (tai kappaleen koordinaatti milloin tahansa)
Liikeyhtälö, eli kappaleen koordinaatin riippuvuus ajasta x = x(t), on muodossa:
Jos OX-akselin positiivinen suunta on vastakkainen kappaleen liikesuuntaan nähden, niin kehon nopeuden projektio OX-akselilla on negatiivinen, nopeus on pienempi kuin nolla (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Samansuuruinen liike.
Tasainen suoraviivainen liike Tämä on epätasaisen liikkeen erikoistapaus.
Epätasainen liike- tämä on liike, jossa kappale (ainepiste) tekee epätasaisia liikkeitä yhtäläisin aikavälein. Esimerkiksi kaupunkibussi liikkuu epätasaisesti, koska sen liike koostuu pääasiassa kiihtyvyydestä ja hidastumisesta.
Tasamuuttuva liike- tämä on liike, jossa kappaleen (ainepisteen) nopeus muuttuu samalla tavalla minkä tahansa yhtäläisen ajanjakson ajan.
Kehon kiihtyvyys tasaisessa liikkeessä pysyy vakiona suuruudeltaan ja suunnaltaan (a = const).
Tasaista liikettä voidaan tasaisesti kiihdyttää tai tasaisesti hidastaa.
Tasaisesti kiihdytetty liike- tämä on kehon (materiaalipisteen) liikettä positiivisella kiihtyvyydellä, eli sellaisella liikkeellä keho kiihtyy jatkuvalla kiihtyvyydellä. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kehon nopeusmoduuli kasvaa ajan myötä, kiihtyvyyden suunta osuu yhteen liikkeen nopeuden suunnan kanssa.
Tasainen hidastettu liike- tämä on kehon (materiaalipisteen) liikettä negatiivisella kiihtyvyydellä, eli sellaisella liikkeellä keho hidastuu tasaisesti. Tasaisesti hidasta liikettä käytettäessä nopeus- ja kiihtyvyysvektorit ovat vastakkaiset ja nopeusmoduuli pienenee ajan myötä.
Mekaniikassa mikä tahansa suoraviivainen liike kiihtyy, joten hidastettu liike eroaa kiihtyvästä liikkeestä vain kiihtyvyysvektorin projektion etumerkillä valitulle koordinaattijärjestelmän akselille.
Muuttuvan liikkeen keskinopeus määritetään jakamalla kehon liike ajalla, jonka aikana tämä liike tehtiin. Keskinopeuden yksikkö on m/s.
Välitön nopeus on kehon (materiaalipisteen) nopeus sisään Tämä hetki ajassa tai tietyssä liikeradan pisteessä, eli raja, johon keskinopeus pyrkii ajan Δt äärettömällä pienenemisellä:
V=lim(^t-0) ^s/^t
Hetkellinen nopeusvektori tasainen liike löytyy siirtymävektorin ensimmäisenä derivaatana ajan suhteen:
V(vektori) = s'(vektori)
Nopeusvektoriprojektio OX-akselilla:
tämä on koordinaatin derivaatta ajan suhteen (nopeusvektorin projektiot muille koordinaattiakseleille saadaan samalla tavalla).
Kiihtyvyys- tämä on arvo, joka määrittää kehon nopeuden muutosnopeuden, eli rajan, johon nopeuden muutos pyrkii, kun aikaväli Δt pienenee äärettömästi:
a(vektori) = lim(t-0) ^v(vektori)/^t
Tasaisen liikkeen kiihtyvyysvektori voidaan löytää nopeusvektorin ensimmäisenä derivaatana ajan suhteen tai siirtymävektorin toisena derivaatana ajan suhteen:
a(vektori) = v(vektori)" = s(vektori)"
Kun otetaan huomioon, että 0 on kehon nopeus alkuajanhetkellä (alkunopeus), on kehon nopeus tietyllä ajanhetkellä (loppunopeus), t on aikaväli, jonka aikana nopeuden muutos tapahtui, kiihtyvyyskaava tulee olemaan seuraava:
a(vektori) = v(vektori)-v0(vektori)/t
Täältä yhtenäinen nopeuskaava milloin tahansa:
v(vektori) = v 0 (vektori) + a(vektori)t
Jos kappale liikkuu suoraviivaisesti suoraviivaisen suoraviivaisen suorakulmaisen koordinaatiston OX-akselia pitkin, joka on sama kuin kehon liikeradan suunta, niin nopeusvektorin projektio tälle akselille määritetään kaavalla:
v x = v 0x ± a x t
Kiihtyvyysvektorin projektion edessä oleva "-" (miinus) -merkki viittaa tasaiseen hidastukseen. Nopeusvektorin projektioiden yhtälöt muille koordinaattiakseleille kirjoitetaan samalla tavalla.
Koska kiihtyvyys on vakio (a \u003d const) tasaisesti muuttuvalla liikkeellä, kiihtyvyyskäyrä on 0t-akselin suuntainen suora viiva (aika-akseli, kuva 1.15).
Riisi. 1.15. Kehon kiihtyvyyden riippuvuus ajasta.
Nopeus vs. aika on lineaarinen funktio, jonka kuvaaja on suora (kuva 1.16).
Riisi. 1.16. Kehon nopeuden riippuvuus ajasta.
Graafi nopeudesta ajan funktiona(Kuva 1.16) osoittaa sen
Tässä tapauksessa siirtymä on numeerisesti yhtä suuri kuin kuvan 0abc pinta-ala (kuva 1.16).
Puolisuunnikkaan pinta-ala on puolet sen kannan pituuksien summasta kertaa korkeus. Puolisuunnikkaan 0abc kantat ovat numeerisesti yhtä suuret:
Puolisuunnikkaan korkeus on t. Näin ollen puolisuunnikkaan pinta-ala ja siten siirtymän projektio OX-akselille on yhtä suuri:
Tasaisen hidastetun liikkeen tapauksessa kiihtyvyyden projektio on negatiivinen ja siirtymän projektiokaavassa kiihtyvyyden eteen sijoitetaan merkki “–” (miinus).
Yleinen kaava siirtymän projektion määrittämiseksi on:
Kaavio kehon nopeuden riippuvuudesta ajasta eri kiihtyvyyksillä on esitetty kuvassa. 1.17. Käyrä siirtymän riippuvuudesta ajasta, kun v0 = 0, on esitetty kuvassa. 1.18.
Riisi. 1.17. Kehon nopeuden riippuvuus ajasta erilaisia merkityksiä kiihtyvyys.
Riisi. 1.18. Kehon siirtymän riippuvuus ajasta.
Kappaleen nopeus tietyllä hetkellä t 1 on yhtä suuri kuin kaavion tangentin ja aika-akselin välisen kaltevuuskulman tangentti v \u003d tg α, ja liike määritetään kaavalla:
Jos kappaleen liikeaika on tuntematon, voit käyttää toista siirtymäkaavaa ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmän:
Neliöiden eron lyhennetty kertolaskukaava auttaa meitä johtamaan kaavan siirtymäprojektiolle:
Koska kappaleen koordinaatti millä tahansa hetkellä määräytyy alkukoordinaatin ja siirtymäprojektion summalla, niin kehon liikeyhtälö näyttää tältä:
Myös x(t)-koordinaatin kuvaaja on paraabeli (kuten myös siirtymäkäyrä), mutta paraabelin kärki ei yleensä ole sama kuin origon. x:lle< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
Johdetaan kaava, jolla voidaan laskea suoraviivaisesti liikkuvan ja tasaisesti kiihdytetyn kappaleen siirtymävektorin projektio minkä tahansa ajanjakson ajan. Tätä varten siirrytään kuvaan 14. Sekä kuvassa 14, a että kuvassa 14, b segmentti AC on kuvaaja vakiokiihtyvyydellä a (alkunopeudella) liikkuvan kappaleen nopeusvektorin projektiosta. v 0).
Riisi. 14. Suorassa linjassa liikkuvan ja tasaisesti kiihdytetyn kappaleen siirtymävektorin projektio on numeerisesti yhtä suuri kuin kuvaajan alla oleva alue S
Muista, että kappaleen suoraviivaisella tasaisella liikkeellä tämän kappaleen tekemä siirtymävektorin projektio määräytyy samalla kaavalla kuin nopeusvektoriprojektiokaavion alle suljetun suorakulmion pinta-ala (katso kuva 6). Siksi siirtymävektorin projektio on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän suorakulmion pinta-ala.
Osoitetaan, että suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen tapauksessa siirtymävektorin s x projektio voidaan määrittää samalla kaavalla kuin kuvaajan AC, akselin Ot ja segmenttien OA ja BC välissä olevan kuvan pinta-ala. , eli tässä tapauksessa siirtymävektorin projektio, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin nopeuskäyrän alla olevan kuvan pinta-ala. Tätä varten valitsemme Ot-akselilla (katso kuva 14, a) pienen aikavälin db. Pisteistä d ja b piirretään kohtisuorat Ot-akseliin, kunnes ne leikkaavat nopeusvektoriprojektiokuvaajan pisteissä a ja c.
Siten janaa db vastaavan ajanjakson ajan kappaleen nopeus muuttuu arvosta v ax arvoon v cx.
Riittävän lyhyen ajan kuluessa nopeusvektorin projektio muuttuu hyvin vähän. Siksi kehon liike tänä ajanjaksona eroaa vähän tasaisesta, toisin sanoen liikkeestä vakionopeudella.
On mahdollista jakaa koko OASV-hahmon alue, joka on puolisuunnikkaan muotoinen, tällaisiin nauhoihin. Siksi siirtymävektorin sx projektio janaa OB vastaavalle aikavälille on numeerisesti yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan OASV alue S ja se määräytyy samalla kaavalla kuin tämä alue.
Säännön mukaan koulun kursseja Geometriassa puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen kantajen ja korkeuden summasta. Kuva 14, b osoittaa, että puolisuunnikkaan OASV kantat ovat segmentit OA = v 0x ja BC = v x ja korkeus on jana OB = t. Näin ollen
Koska v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, voimme kirjoittaa:
Siten olemme saaneet kaavan siirtymävektorin projektion laskemiseksi tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana.
Saman kaavan avulla lasketaan myös siirtymävektorin projektio, kun kappale liikkuu alenevalla nopeusmoduulilla, vain tässä tapauksessa nopeus- ja kiihtyvyysvektorit suunnataan vastakkaisiin suuntiin, joten niiden projektioilla on eri etumerkit.
Kysymyksiä
- Todista kuvan 14 a avulla, että siirtymävektorin projektio tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana on numeerisesti yhtä suuri kuin OASV-kuvan pinta-ala.
- Kirjoita muistiin yhtälö, jolla määritetään kappaleen siirtymävektorin projektio sen suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana.
Harjoitus 7
Yritetään johtaa kaava sellaisen kappaleen siirtymävektorin projektion löytämiseksi, joka liikkuu suoraviivaisesti ja tasaisesti kiihdytettynä minkä tahansa ajanjakson ajan.
Tätä varten siirrytään suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen nopeuden projektion riippuvuuden kuvaajaan ajasta.
Kaavio suoraviivaisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen nopeuden projektiosta ajassa
Alla olevassa kuvassa on kaavio, joka kuvaa jonkin kanssa liikkuvan kappaleen nopeutta alkunopeus V0 ja vakiokiihtyvyys a.
Jos meillä olisi tasainen suoraviivainen liike, niin siirtymävektorin projektion laskemiseksi olisi tarpeen laskea kuvan pinta-ala nopeusvektorin projektiokaavion alla.
Nyt todistetaan, että tasaisesti kiihdytetyn suoraviivaisen liikkeen tapauksessa siirtymävektorin Sx projektio määritetään samalla tavalla. Eli siirtymävektorin projektio on yhtä suuri kuin nopeusvektorin projektion kuvaajan alla olevan kuvan ala.
Etsi ot-akselin, segmenttien AO ja BC sekä segmentin AC rajoittama kuvion alue.
Varataan ot-akselille pieni aikaväli db. Piirretään kohtisuorat aika-akseliin näiden pisteiden kautta, kunnes ne leikkaavat nopeusprojektiokaavion. Huomaa leikkauspisteet a ja c. Tänä aikana kehon nopeus muuttuu Vaxista Vbx:ksi.
Jos tämä intervalli otetaan riittävän pieneksi, voidaan olettaa, että nopeus pysyy käytännössä ennallaan, ja siksi käsittelemme tasaista suoraviivaista liikettä tällä välillä.
Sitten voidaan pitää segmenttiä ac vaakasuuntaisena ja abcd suorakulmiona. Alue abcd on numeerisesti yhtä suuri kuin siirtymävektorin projektio aikavälillä db. Voimme jakaa koko OACB-luvun alueen niin pieniin aikaväleihin.
Toisin sanoen olemme saaneet, että siirtymävektorin Sx projektio segmenttiä OB vastaavalle aikavälille on numeerisesti yhtä suuri kuin OACB-suunnikkaan pinta-ala S, ja se määritetään samalla kaavalla kuin tämä alue.
Näin ollen
- S=((V0x+Vx)/2)*t.
Koska Vx=V0x+ax*t ja S=Sx, tuloksena oleva kaava on seuraavanlainen:
- Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.
Olemme saaneet kaavan, jolla voimme laskea siirtymävektorin projektion tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana.
Tasaisen hidastetun liikkeen tapauksessa kaava on seuraavanlainen.
Liikerata(myöhäisistä latinalaisista liikeradoista - viitaten liikkeeseen) - tämä on linja, jota pitkin keho liikkuu (materiaalipiste). Liikkeen liikerata voi olla suora (keho liikkuu yhteen suuntaan) ja kaareva, eli mekaaninen liike voi olla suora tai kaareva.
Suoraviivainen liikerata tässä koordinaattijärjestelmässä on suora. Voidaan esimerkiksi olettaa, että auton liikerata tasaisella tiellä ilman käännöksiä on suora.
Kaareva liike- tämä on kappaleiden liikettä ympyrässä, ellipsissä, paraabelissa tai hyperbolissa. Esimerkki kaarevasta liikkeestä on pisteen liike liikkuvan auton pyörässä tai auton liike käännöksessä.
Liikkuminen voi olla hankalaa. Esimerkiksi kappaleen liikkeen liikerata polun alussa voi olla suoraviivainen, sitten kaareva. Esimerkiksi auto matkan alussa liikkuu suoraa tietä pitkin, jonka jälkeen tie alkaa "tuulia" ja auto alkaa kaartua.
Polku
Polku on polun pituus. Polku on skalaari ja sisään kansainvälinen järjestelmä SI-yksiköt mitataan metreinä (m). Polkulaskentaa suoritetaan monissa fysiikan tehtävissä. Joitakin esimerkkejä käsitellään myöhemmin tässä opetusohjelmassa.
Siirtymävektori
Siirtymävektori(tai yksinkertaisesti liikkuva) on suunnattu jana, joka yhdistää kehon alkuasennon sen myöhempään asemaan (kuva 1.1). Siirtymä on vektorisuure. Siirtymävektori suunnataan liikkeen aloituspisteestä loppupisteeseen.
Siirtymävektorin moduuli(eli segmentin pituus, joka yhdistää liikkeen alku- ja loppupisteet) voi olla yhtä suuri kuin kuljettu matka tai pienempi kuin kuljettu matka. Mutta koskaan siirtymävektorin moduuli ei voi olla suurempi kuin kuljettu matka.
Siirtymävektorin moduuli on yhtä suuri kuin kuljettu matka, kun polku osuu yhteen lentoradan kanssa (katso kohdat ja), jos esimerkiksi auto liikkuu pisteestä A pisteeseen B suoraa tietä pitkin. Siirtymävektorin moduuli on pienempi kuin kuljettu matka materiaalipisteen liikkuessa kaarevaa polkua pitkin (kuva 1.1).
Riisi. 1.1. Siirtymävektori ja kuljettu matka.
Kuvassa 1.1:
Toinen esimerkki. Jos auto kulkee kerran ympyrässä, niin käy ilmi, että liikkeen aloituspiste on sama kuin liikkeen loppupiste, ja sitten siirtymävektori on nolla, ja kuljettu matka on yhtä suuri kuin ympyrän kehä. Polku ja liike ovat siis kaksi eri käsitettä.
Vektorin lisäyssääntö
Siirtymävektorit summataan geometrisesti vektorin summaussäännön mukaisesti (kolmio- tai suunnikassääntö, katso kuva 1.2).
Riisi. 1.2. Siirtymävektorien lisäys.
Kuva 1.2 näyttää vektorien S1 ja S2 yhteenlaskusäännöt:
a) Lisäys kolmion säännön mukaan
b) Summa suuntaviivasäännön mukaan
Siirtymävektoriprojektiot
Fysiikan tehtäviä ratkaistaessa käytetään usein siirtymävektorin projektioita koordinaattiakseleille. Siirtymävektorin projektiot koordinaattiakseleille voidaan ilmaista sen lopun ja alun koordinaattien välisenä erona. Esimerkiksi jos materiaalipiste on siirtynyt pisteestä A pisteeseen B, niin siirtymävektori (ks. kuva 1.3).
Valitsemme OX-akselin siten, että vektori on tämän akselin kanssa samassa tasossa. Lasketaan kohtisuorat pisteistä A ja B (siirtymävektorin alku- ja loppupisteistä) OX-akselin leikkauspisteeseen. Näin saadaan pisteiden A ja B projektiot akselille X. Merkitään pisteiden A ja B projektiot A x ja B x. Janan A x B x pituus OX-akselilla - tämä on siirtymävektorin projektio x-akselilla, eli
S x = A x B x
TÄRKEÄ!
Muistutus niille, jotka eivät tunne matematiikkaa kovin hyvin: älä sekoita vektoria vektorin projektioon millekään akselille (esimerkiksi S x). Vektori merkitään aina kirjaimella tai useilla kirjaimilla, joiden yläpuolella on nuoli. Joissakin sähköisissä asiakirjoissa nuolta ei ole asetettu, koska se voi aiheuttaa vaikeuksia luomisessa sähköinen asiakirja. Tällaisissa tapauksissa ohjaa artikkelin sisältö, jossa sana "vektori" voidaan kirjoittaa kirjaimen viereen, tai jollain muulla tavalla ne osoittavat sinulle, että tämä on vektori, ei vain segmentti.
Riisi. 1.3. Siirtymävektorin projektio.
Siirtymävektorin projektio OX-akselille on yhtä suuri kuin vektorin lopun ja alun koordinaattien välinen erotus, eli
S x \u003d x - x 0
Siirtymävektorin projektiot OY- ja OZ-akseleilla määritellään ja kirjoitetaan samalla tavalla:
S y = y – y 0 S z = z – z 0
Tässä x 0 , y 0 , z 0 ovat alkukoordinaatit tai kappaleen (materiaalipisteen) alkuaseman koordinaatit; x, y, z - lopulliset koordinaatit tai kappaleen (materiaalipisteen) seuraavan sijainnin koordinaatit.
Siirtymävektorin projektiota pidetään positiivisena, jos vektorin suunta ja koordinaattiakselin suunta ovat samat (kuten kuvassa 1.3). Jos vektorin suunta ja koordinaattiakselin suunta eivät täsmää (vastakohta), niin vektorin projektio on negatiivinen (kuva 1.4).
Jos siirtymävektori on yhdensuuntainen akselin kanssa, niin sen projektion moduuli on yhtä suuri kuin itse vektorin moduuli. Jos siirtymävektori on kohtisuorassa akseliin nähden, niin sen projektion moduuli on nolla (kuva 1.4).
Riisi. 1.4. Siirtymävektoriprojektin moduulit.
Suuren myöhempien ja alkuarvojen välistä eroa kutsutaan tämän suuren muutokseksi. Toisin sanoen siirtymävektorin projektio koordinaattiakselille on yhtä suuri kuin vastaavan koordinaatin muutos. Esimerkiksi siinä tapauksessa, että kappale liikkuu kohtisuorassa X-akseliin nähden (kuva 1.4), käy ilmi, että kappale EI LIIKKU suhteessa X-akseliin. Eli kappaleen siirtymä X-akselia pitkin on nolla.
Harkitse esimerkkiä kehon liikkeestä tasossa. Kappaleen alkusijainti on piste A, jonka koordinaatit ovat x 0 ja y 0, eli A (x 0, y 0). Kappaleen lopullinen sijainti on piste B, jonka koordinaatit x ja y, eli B (x, y). Etsi kappaleen siirtymämoduuli.
Pisteistä A ja B lasketaan kohtisuorat koordinaattiakseleilla OX ja OY (kuva 1.5).
Riisi. 1.5. Kehon liike tasossa.
Määritetään siirtymävektorin projektiot akseleille OX ja OY:
S x = x – x 0 S y = y – y 0
Kuvassa 1.5 voidaan nähdä, että kolmio ABC on suorakulmainen kolmio. Tästä seuraa, että ongelmaa ratkaistaessa voidaan käyttää Pythagoraan lause, jolla voit löytää siirtymävektorin moduulin, koska
AC = s x CB = s y
Pythagoraan lauseen mukaan
S 2 \u003d S x 2 + S y 2
Mistä löydät siirtymävektorin moduulin, eli kappaleen polun pituuden pisteestä A pisteeseen B:
Ja lopuksi, ehdotan, että vahvistat tietosi ja lasket muutaman esimerkin harkintasi mukaan. Voit tehdä tämän kirjoittamalla mitkä tahansa numerot koordinaattikenttiin ja napsauttamalla LASKENTA-painiketta. Selaimesi tulee tukea komentosarjojen (skriptien) suorittamista JavaScript ja komentosarjojen suorittaminen on sallittava selaimesi asetuksissa, muuten laskentaa ei suoriteta. Reaaliluvuissa kokonaisluku- ja murto-osat on erotettava pisteellä, esimerkiksi 10,5.