Suurim ühine jagaja (GCD): määratlus, näited ja omadused. GCD leidmine Eukleidese algoritmi ja algfaktorisatsiooni abil

Suurim ühine jagaja

Definitsioon 2

Kui naturaalarv a jagub naturaalarvuga $b$, siis $b$ nimetatakse arvu $a$ jagajaks ja arvu $a$ arvu $b$ kordseks.

Olgu $a$ ja $b$ naturaalarvud. Arvu $c$ nimetatakse nii $a$ kui ka $b$ ühiseks jagajaks.

Arvude $a$ ja $b$ ühisjagajate hulk on lõplik, kuna ükski neist jagajatest ei saa olla suurem kui $a$. See tähendab, et nende jagajate hulgas on suurim, mida nimetatakse arvude $a$ ja $b$ suurimaks ühisjagajaks ning selle tähistamiseks kasutatakse tähistust:

$gcd \ (a; b) \ ​​või \ D \ (a; b) $

Kahe arvu suurima ühisjagaja leidmiseks:

1. Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

Näide 1

Leidke numbrite $121$ ja $132.$ gcd

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Valige numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$gcd=2\cdot 11=22$

Näide 2

Leidke monomialide GCD $ 63 $ ja $ 81 $.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks:

Jagame arvud algteguriteks

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Valime numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Leiame sammus 2 leitud arvude korrutise. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$gcd=3\cdot 3=9$

Kahe arvu GCD saate leida muul viisil, kasutades arvude jagajate komplekti.

Näide 3

Leidke numbrite $48$ ja $60$ gcd.

Otsus:

Leidke $48$ jagajate komplekt: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Nüüd leiame jagajate komplekti $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Leiame nende hulkade ristumiskoha: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – see hulk määrab arvude $48$ ja $60 ühisjagajate hulga $. Selle komplekti suurim element on number $12 $. Seega on $48$ ja $60$ suurim ühine jagaja $12$.

NOC määratlus

3. määratlus

naturaalarvude ühiskordne$a$ ja $b$ on naturaalarv, mis on arvude $a$ ja $b$ kordne.

Arvude ühiskordsed on arvud, mis jaguvad algarvuga ilma jäägita. Näiteks arvude $25$ ja $50$ puhul on ühiskordadeks arvud $50,100,150,200$ jne.

Väiksemat ühiskordset nimetatakse vähimaks ühiskordseks ja seda tähistatakse LCM$(a;b)$ või K$(a;b).$

Kahe numbri LCM-i leidmiseks vajate:

1. Jagage arvud algteguriteks
2. Kirjutage välja tegurid, mis on osa esimesest arvust ja lisage neile tegurid, mis on osa teisest ja ei lähe esimesele

Näide 4

Leidke numbrite 99 $ ja 77 $ LCM.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks

Jagage arvud algteguriteks

99 $=3\cdot 3\cdot 11$

Kirjutage üles esimeses sisalduvad tegurid

lisada neile tegurid, mis on osa teisest ja ei lähe esimese juurde

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud vähim ühiskordne

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693 $

Arvude jagajate loendite koostamine on sageli väga aeganõudev. GCD leidmiseks on viis, mida nimetatakse Eukleidese algoritmiks.

Väited, millel Eukleidese algoritm põhineb:

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud ja $a\vdots b$, siis $D(a;b)=b$

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud, nii et $b

Kasutades $D(a;b)= D(a-b;b)$, saame vaadeldavaid arve järjest vähendada, kuni jõuame sellise arvupaarini, et üks neist jagub teisega. Siis neist arvudest väiksem on arvude $a$ ja $b$ soovitud suurim ühisjagaja.

GCD ja LCM omadused

1. $a$ ja $b$ mis tahes ühiskordne jagub K$(a;b)$-ga
2. Kui $a\vdots b$ , siis K$(a;b)=a$

Kui K$(a;b)=k$ ja $m$-loodusarv, siis K$(am;bm)=km$

Kui $d$ on väärtuste $a$ ja $b$ ühine jagaja, siis K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kui $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , siis on $\frac(ab)(c)$ väärtuste $a$ ja $b$ ühiskordne

Mis tahes naturaalarvude $a$ ja $b$ korral on võrdsus

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Iga väärtuste $a$ ja $b$ ühine jagaja on väärtuse $D(a;b)$ jagaja

Kuid paljud naturaalarvud jaguvad teiste naturaalarvudega võrdselt.

näiteks:

Arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;

Arv 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.

Arvu, millega arv jagub (12 puhul on see 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvujagajad. Naturaalarvu jagaja a on naturaalarv, mis jagab antud arvu a jäljetult. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks tegurit komposiit. Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised jagajad. Need on arvud: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12.

Kahe etteantud arvu ühisjagaja a ja b on arv, millega mõlemad antud arvud jaguvad ilma jäägita a ja b. Mitme numbri ühine jagaja (GCD) on arv, mis on nende kõigi jagaja.

Lühidalt arvude suurim ühisjagaja a ja b on kirjutatud nii:

Näide: gcd (12; 36) = 12.

Lahenduse tähistuses olevad arvude jagajad tähistavad suur algustäht"D".

Näide:

gcd (7; 9) = 1

Arvudel 7 ja 9 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse koprimechi slam.

Koaprarvud on naturaalarvud, millel on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Nende gcd on 1.

Suurim ühine jagaja (GCD), omadused.

• Peamine omadus: suurim ühisjagaja m ja n jagub nende arvude mis tahes ühisjagajaga. Näide: arvude 12 ja 18 puhul on suurim ühisjagaja 6; see jagub nende arvude kõigi tavaliste jagajatega: 1, 2, 3, 6.
• Järeldus 1: ühiste jagajate hulk m ja nühtib jagajate hulgaga gcd( m, n).
• Järeldus 2: ühiste korduste hulk m ja n langeb kokku mitme LCM-i komplektiga ( m, n).

See tähendab eelkõige seda, et murdosa taandamiseks taandamatuks vormiks on vaja selle lugeja ja nimetaja jagada nende gcd-ga.

• Suurim arvude ühine jagaja m ja n saab määratleda kui kõigi nende lineaarsete kombinatsioonide komplekti väikseimat positiivset elementi:

ja seetõttu esitatakse arvude lineaarse kombinatsioonina m ja n:

Seda suhet nimetatakse Bezouti suhe ja koefitsiendid u ja v — bezout koefitsiendid. Bézouti koefitsiendid arvutatakse tõhusalt laiendatud Eukleidese algoritmi abil. See väide on üldistatud naturaalarvude hulka - selle tähendus on see, et hulga poolt genereeritud rühma alamrühm on tsükliline ja selle genereerib üks element: gcd ( a 1 , a 2 , … , a n).

Suurima ühisjagaja (gcd) arvutamine.

Tõhusad viisid kahe arvu gcd arvutamiseks on Eukleidese algoritm ja binaarnealgoritm. Lisaks on GCD väärtus ( m,n) saab hõlpsasti arvutada, kui on teada arvude kanooniline laiend m ja n peamiste tegurite jaoks:

kus on erinevad algarvud ja ja on mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui vastavat algarvu laienduses ei ole). Seejärel gcd ( m,n) ja LCM ( m,n) väljendatakse valemitega:

Kui numbreid on rohkem kui kaks: , leitakse nende GCD järgmise algoritmi järgi:

- see on soovitud GCD.

Samuti selleks, et leida suurim ühine jagaja, saate iga antud arvu jagada algteguriteks. Seejärel kirjutage eraldi välja ainult need tegurid, mis sisalduvad kõigis antud arvudes. Seejärel korrutame välja kirjutatud arvud omavahel - korrutamise tulemus on suurim ühisjagaja .

Analüüsime samm-sammult suurima ühisjagaja arvutamist:

1. Jagage arvude jagajad algteguriteks:

Arvutused on mugavalt kirjutatud vertikaalse riba abil. Reast vasakul kirjutage kõigepealt üles dividend, paremale - jagaja. Edasi vasakpoolses veerus kirjutame üles privaatsuse väärtused. Selgitame kohe näitega. Teguristame arvud 28 ja 64 algteguriteks.

2. Tõmbame mõlemas arvus alla samad algtegurid:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Leiame identsete algtegurite korrutise ja kirjutame vastuse:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Vastus: GCD (28; 64) = 4

GCD asukohta saate korraldada kahel viisil: veerus (nagu tehti ülal) või "real".

Esimene viis GCD kirjutamiseks:

Leidke GCD 48 ja 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

Teine viis GCD kirjutamiseks:

Nüüd kirjutame GCD otsingulahenduse reale. Leidke GCD 10 ja 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

See artikkel räägib sellest suurima ühisjagaja leidmine (gcd) kaks ja rohkem numbrid. Esiteks kaaluge Eukleidese algoritmi, see võimaldab teil leida kahe numbri GCD. Pärast seda peatume meetodil, mis võimaldab meil arvutada arvude GCD nende ühiste algtegurite korrutisena. Järgmisena käsitleme kolme või enama arvu suurima ühisjagaja leidmist ning toome ka näiteid negatiivsete arvude GCD arvutamise kohta.

Leheküljel navigeerimine.

Eukleidese algoritm GCD leidmiseks

Pange tähele, et kui oleksime algusest peale pöördunud algarvude tabeli poole, oleksime saanud teada, et arvud 661 ja 113 on algarvud, millest võiks kohe öelda, et nende suurim ühisjagaja on 1.

Vastus:

gcd(661, 113)=1.

GCD leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel

Kaaluge teist võimalust GCD leidmiseks. Suurima ühisjagaja saab leida arvude algteguriteks faktoristamisel. Sõnastame reegli: Kahe positiivse täisarvu a ja b gcd on võrdne a ja b kõigi tavaliste algtegurite korrutisega algteguriteks.

Toome näite GCD leidmise reegli selgitamiseks. Andke meile teada arvude 220 ja 600 laiendused algteguriteks, need on kujul 220=2 2 5 11 ja 600=2 2 2 3 5 5 . Üldised algtegurid, mis on seotud arvude 220 ja 600 laiendamisega, on 2, 2 ja 5. Seetõttu gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Seega, kui jagame arvud a ja b algteguriteks ja leiame kõigi nende ühistegurite korrutise, siis leitakse arvude a ja b suurim ühisjagaja.

Vaatleme näidet GCD leidmisest vastavalt väljakuulutatud reeglile.

Näide.

Leidke 72 ja 96 suurim ühisjagaja.

Otsus.

Faktoriseerime arvud 72 ja 96:

See tähendab, et 72=2 2 2 3 3 ja 96=2 2 2 2 2 3 . Levinud algtegurid on 2, 2, 2 ja 3. Seega gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Vastus:

gcd(72, 96)=24.

Selle jaotise lõpetuseks märgime, et ülaltoodud reegli kehtivus gcd leidmiseks tuleneb suurima ühisjagaja omadusest, mis ütleb, et GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), kus m on mis tahes positiivne täisarv.

Kolme või enama numbri GCD leidmine

Kolme või enama arvu suurima ühisjagaja leidmise võib taandada kahe arvu järjestikuse gcd leidmiseks. Mainisime seda GCD omaduste uurimisel. Seal sõnastasime ja tõestasime teoreemi: mitme arvu suurim ühisjagaja a 1 , a 2 , …, a k on võrdne arvuga d k , mis leitakse järjestikuses arvutuses 1 , a k)=d k .

Vaatame näite lahendust arvestades, kuidas näeb välja mitme arvu GCD leidmise protsess.

Näide.

Leidke nelja arvu 78, 294, 570 ja 36 suurim ühisjagaja.

Otsus.

Selles näites a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Esiteks, kasutades Eukleidese algoritmi, määrame kahe esimese arvu 78 ja 294 suurima ühisjagaja d 2 . Jagamisel saame võrratused 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 ja 18=6 3 . Seega d2 =GCD(78,294)=6.

Nüüd arvutame d 3 = GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Jällegi rakendame Eukleidese algoritmi: 570=6·95 , seega d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Jääb üle arvutada d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Kuna 36 jagub 6-ga, siis d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Seega on nelja antud arvu suurim ühisjagaja d 4 =6 , st gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Vastus:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Arvude jaotamine algteguriteks võimaldab teil arvutada ka kolme või enama arvu GCD. Sel juhul leitakse suurim ühisjagaja antud arvude kõigi ühiste algtegurite korrutisena.

Näide.

Arvutage eelmise näite arvude GCD, kasutades nende algtegurite jaotust.

Otsus.

Jagame arvud 78 , 294 , 570 ja 36 algteguriteks, saame 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19, 36=2 2 3. 3 . Kõigi antud nelja arvu ühised algtegurid on arvud 2 ja 3. Seega GCD(78; 294; 570; 36) = 2 3 = 6.

Lahendame probleemi. Meil on kahte tüüpi küpsiseid. Mõned on šokolaadised ja mõned tavalised. Šokolaaditükke on 48 ja lihtsaid 36. Nendest küpsistest on vaja teha võimalikult palju kingitusi ja need kõik tuleb ära kasutada.

Kõigepealt kirjutame üles kõik nende kahe arvu jagajad, kuna mõlemad arvud peavad jaguma kingituste arvuga.

Saame

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Leiame jagajate hulgast ühised, mis on nii esimesel kui ka teisel arvul.

Ühised jagajad on: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Kõigi suurim ühisjagaja on 12. Seda arvu nimetatakse 36 ja 48 suurimaks ühisjagajaks.

Tulemuse põhjal võime järeldada, et kõigist küpsistest saab 12 kingitust. Üks selline kingitus sisaldab 4 šokolaadiküpsist ja 3 tavalist küpsist.

Suurima ühise jagaja leidmine

• Suurimat naturaalarvu, millega kaks arvu a ja b jaguvad ilma jäägita, nimetatakse nende arvude suurimaks ühisjagajaks.

Mõnikord kasutatakse kirje lühendamiseks lühendit GCD.

Mõnel arvupaaril on üks suurim ühine jagaja. Selliseid numbreid nimetatakse koalgarvud. Näiteks numbrid 24 ja 35. Kas GCD =1.

Kuidas leida suurim ühisjagaja

Suurima ühisjagaja leidmiseks ei ole vaja nende arvude kõiki jagajaid välja kirjutada.

Saate teha teisiti. Esiteks arvutage mõlemad arvud algteguriteks.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nüüd kustutame esimese numbri laiendusse kaasatud tegurite hulgast kõik need, mida teise numbri laiendamine ei hõlma. Meie puhul on tegemist kahe kahekümnega.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Alles jäävad tegurid 2, 2 ja 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja.

Seda reeglit saab laiendada kolmele, neljale jne. numbrid.

Üldskeem suurima ühisjagaja leidmiseks

• 1. Jagage arvud algteguriteks.
• 2. Kriipsutage nende arvude ühe laiendusse kaasatud tegurite hulgast läbi need, mida teiste arvude laiendamine ei hõlma.
• 3. Arvutage ülejäänud tegurite korrutis.