Los ángulos que siempre son iguales se llaman. Expandida, obtusa, vertical y no expandida: tipos de esquinas de la geometría

Un ángulo es una figura geométrica, que consta de dos rayos diferentes que emanan de un punto. En este caso, estos rayos se llaman los lados del ángulo. El punto que es el comienzo de los rayos se llama vértice del ángulo. En la imagen se puede ver la esquina con el vértice en el punto O, y las partes k y metro.

A los lados de la esquina están marcados los puntos A y C. Esta esquina puede designarse como el ángulo AOC. En el medio debe estar el nombre del punto en el que se encuentra el vértice de la esquina. También hay otras designaciones, el ángulo O o el ángulo km. En geometría, en lugar de la palabra ángulo, a menudo se escribe un icono especial.

Ángulo girado y no girado

Si ambos lados de un ángulo están en la misma línea recta, entonces dicho ángulo se llama desplegadaángulo. Es decir, un lado de la esquina es una continuación del otro lado de la esquina. La siguiente figura muestra el ángulo O.

Cabe señalar que cualquier ángulo divide el plano en dos partes. Si la esquina no se expande, entonces una de las partes se llama la región interior de la esquina y la otra es la región exterior de esta esquina. La siguiente figura muestra una esquina no aplanada y marcó las áreas exterior e interior de esta esquina.

En el caso de un ángulo desarrollado, cualquiera de las dos partes en que divide el plano puede considerarse la región exterior del ángulo. Podemos hablar de la posición de un punto con respecto a un ángulo. El punto puede estar fuera de la esquina (en la región exterior), puede estar en uno de sus lados o puede estar dentro de la esquina (en la región interior).

En la siguiente figura, el punto A se encuentra fuera de la esquina O, el punto B se encuentra en un lado de la esquina y el punto C se encuentra dentro de la esquina.

Medición de ángulo

Para medir ángulos, existe un dispositivo llamado transportador. La unidad de ángulo es grado. Cabe señalar que cada ángulo tiene una cierta medida de grado, que es mayor que cero.

Dependiendo de medida de grado las esquinas se dividen en varios grupos.

Los estudiantes están familiarizados con el concepto de ángulo en escuela primaria. Pero como figura geométrica con ciertas propiedades, empiezan a estudiarla desde el 7º grado de geometría. Parece, forma bastante simple que se puede decir de ella. Pero, al adquirir nuevos conocimientos, los escolares comprenden cada vez más que puedes aprender datos bastante interesantes sobre ella.

En contacto con

cuando se estudian

El curso de geometría escolar se divide en dos secciones: planimetría y geometría sólida. Cada uno de ellos tiene mucha atención. dado a las esquinas:

• En planimetría, se da su concepto básico, tiene lugar el conocimiento de sus tipos en tamaño. Las propiedades de cada tipo de triángulos se estudian con más detalle. Aparecen nuevas definiciones para los estudiantes: estas son formas geométricas formadas en la intersección de dos líneas entre sí y la intersección de varias líneas de una secante.
• En estereometría, se estudian los ángulos espaciales: diédricos y triédricos.

¡Atención! Este artículo analiza todos los tipos y propiedades de los ángulos en la planimetría.

Definición y medición

Comenzando a estudiar, primero determina, que es un angulo en planimetría.

Si tomamos un cierto punto en el plano y dibujamos dos rayos arbitrarios desde él, obtenemos una figura geométrica, un ángulo, que consta de los siguientes elementos:

• vértice: el punto desde el que se dibujaron los rayos, denotado letra mayúscula Alfabeto latino;
• los lados son media línea dibujada desde la parte superior.

Todos los elementos que forman la figura que estamos considerando dividen el plano en dos partes:

• interno: en planimetría no supera los 180 grados;
• externo.

El principio de medir ángulos en planimetría. explicado intuitivamente. Para empezar, se introduce a los estudiantes al concepto de un ángulo desarrollado.

¡Importante! Se dice que un ángulo está desarrollado si las semirrectas que parten de su vértice forman una línea recta. Un ángulo desplegado es todos los demás casos.

Si se divide en 180 partes iguales, entonces se acostumbra considerar la medida de una parte igual a 10. En este caso, dicen que la medida se hace en grados, y la medida en grados de tal figura es 180 grados.

Tipos principales

Los tipos de ángulos se subdividen según criterios tales como la medida en grados, la naturaleza de su formación y las categorías siguientes.

Por tamaño

Dada la magnitud, los ángulos se dividen en:

• desplegada;
• derecho;
• desafilado;
• picante.

El ángulo que se llama desplegado se presentó anteriormente. Definamos el concepto de línea recta.

Se puede obtener dividiendo el desplegado en dos partes iguales. En este caso, es fácil responder a la pregunta: un ángulo recto, ¿cuántos grados tiene?

Divide 180 grados entre 2 para obtener ángulo recto es de 90 grados. Esta es una figura maravillosa, ya que muchos hechos en geometría están asociados con ella.

También tiene sus propias características en la designación. Para mostrar un ángulo recto en la figura, no se indica con un arco, sino con un cuadrado.

Los ángulos que se obtienen al dividir un rayo arbitrario de una línea recta se llaman agudos. Según la lógica de las cosas, se sigue que un ángulo agudo es menor que un ángulo recto, pero su medida es diferente de 0 grados. Es decir, tiene un valor de 0 a 90 grados.

Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto, pero menor que un ángulo llano. Su medida de grados varía de 90 a 180 grados.

Este elemento se puede descomponer en diferentes tipos cifras consideradas, excluyendo la ampliada.

Independientemente de cómo se rompa el ángulo no girado, siempre se usa el axioma básico de la planimetría: "la propiedad principal de la medición".

En dividir el ángulo con un haz o varios, la medida en grados de una figura dada es igual a la suma de las medidas de los ángulos en que se divide.

En el nivel del 7mo grado, los tipos de ángulos en su magnitud terminan allí. Pero para aumentar la erudición, se puede agregar que existen otras variedades que tienen una medida de grado de más de 180 grados, se llaman convexas.

Figuras en la intersección de líneas.

Los siguientes tipos de ángulos que se presentan a los estudiantes son los elementos formados cuando dos líneas se intersecan. Las figuras que se colocan una frente a la otra se llaman verticales. A ellos característica distintiva- son iguales.

Los elementos que son adyacentes a la misma línea se llaman adyacentes. El teorema que mapea su propiedad dice que Los ángulos adyacentes suman 180 grados.

Elementos en un triangulo

Si consideramos la figura como un elemento en un triángulo, entonces los ángulos se dividen en internos y externos. El triángulo está delimitado por tres segmentos y consta de tres picos. Los ángulos ubicados dentro del triángulo en cada vértice, llamado interno.

Si tomamos cualquier elemento interno en cualquier vértice y extendemos cualquier lado, entonces el ángulo que se forma y es adyacente al interno se llama externo. Este par de elementos tiene la siguiente propiedad: su suma es 180 grados.

Intersección de dos rectas

Intersección de línea

Cuando dos rectas se cortan también se forman ángulos, que suelen estar distribuidos en parejas. Cada par de elementos tiene su propio nombre. Se parece a esto:

• entrecruzamiento interno: ∟4 y ∟6, ∟3 y ∟5;
• unilateral interna: ∟4 y ∟5, ∟3 y ∟6;
• correspondientes: ∟1 y ∟5, ∟2 y ∟6, ∟4 y ∟8, ∟3 y ∟7.

Cuando una secante interseca a dos

En este artículo, analizaremos exhaustivamente una de las principales formas geométricas: el ángulo. Comencemos con conceptos auxiliares y definiciones que nos llevarán a la definición de un ángulo. Después de eso, damos los métodos aceptados para designar ángulos. A continuación, trataremos en detalle el proceso de medición de ángulos. En conclusión, le mostraremos cómo puede marcar las esquinas en el dibujo. Aportamos toda la teoría con los dibujos e ilustraciones gráficas necesarias para una mejor memorización del material.

Navegación de página.

Definición de ángulo.

El ángulo es una de las figuras más importantes de la geometría. La definición de un ángulo se da a través de la definición de un rayo. A su vez, la idea de un rayo no se puede obtener sin el conocimiento de figuras geométricas como un punto, una línea recta y un plano. Por lo tanto, antes de familiarizarse con la definición del ángulo, recomendamos refrescar la teoría de las secciones y.

Entonces, partiremos de los conceptos de punto, recta sobre un plano y plano.

Primero demos la definición de un rayo.

Que se nos dé alguna línea recta en el plano. Lo denotaremos con la letra a. Sea O un punto de la recta a. El punto O divide la línea a en dos partes. Cada una de estas partes junto con el punto O se llama haz, y el punto O se llama el comienzo de la viga. También puedes escuchar que el rayo se llama semidirecto.

Por brevedad y comodidad, se introdujo la siguiente notación para los rayos: un rayo se denota con una letra latina minúscula (por ejemplo, rayo p o rayo k), o con dos grandes con letras latinas, el primero de los cuales corresponde al comienzo del rayo, y el segundo denota algún punto de este rayo (por ejemplo, el rayo OA o el rayo CD). Mostremos la imagen y la designación de los rayos en el dibujo.

Ahora podemos dar la primera definición de un ángulo.

Definición.

Inyección- esta es una figura geométrica plana (es decir, que se encuentra completamente en un cierto plano), que se compone de dos rayos no coincidentes con un origen común. Cada uno de los rayos se llama lado de la esquina, el principio común de los lados del ángulo se llama esquina superior.

Es posible que los lados de un ángulo formen una línea recta. Este ángulo tiene su propio nombre.

Definición.

Si ambos lados de un ángulo están en la misma línea, entonces el ángulo se llama desplegada.

Traemos a su atención una ilustración gráfica de un ángulo desarrollado.

Un símbolo de ángulo se utiliza para denotar un ángulo. Si los lados del ángulo se indican en letras latinas minúsculas (por ejemplo, un lado del ángulo es k y el otro es h), entonces para designar este ángulo, después del ícono del ángulo, las letras correspondientes a los lados se escriben en una fila, y el orden de grabación no importa (es decir, o). Si los lados del ángulo se indican con dos letras latinas grandes (por ejemplo, un lado del ángulo OA y el segundo lado del ángulo OB), entonces el ángulo se denota de la siguiente manera: después del signo del ángulo, hay tres letras escritos que participan en la designación de los lados del ángulo, y la letra correspondiente al vértice del ángulo, situada en el medio (en nuestro caso, el ángulo se indicará como o ). Si el vértice de un ángulo no es el vértice de algún otro ángulo, dicho ángulo se puede denotar con la letra correspondiente al vértice del ángulo (por ejemplo, ). A veces puede ver que las esquinas en los dibujos están marcadas con números (1, 2, etc.), estas esquinas se indican como y así sucesivamente. Para mayor claridad, presentamos una figura en la que se muestran e indican las esquinas.

Cualquier ángulo divide el plano en dos partes. Además, si el ángulo no está desarrollado, entonces una parte del plano se llama área de la esquina interior, y el otro área de la esquina exterior. La siguiente imagen explica qué parte del plano corresponde al interior de la esquina y qué parte al exterior.

Cualquiera de las dos partes en que un ángulo achatado divide un plano puede considerarse una región interior del ángulo aplanado.

La definición del interior de un ángulo nos lleva a la segunda definición de ángulo.

Definición.

Inyección- esta es una figura geométrica, que se compone de dos rayos no coincidentes con un origen común y la región interior correspondiente del ángulo.

Cabe señalar que la segunda definición del ángulo es más estricta que la primera, ya que contiene más condiciones. Sin embargo, uno no debe descartar la primera definición del ángulo, ni debe considerar la primera y la segunda definición del ángulo por separado. Expliquemos este punto. Cuando estamos hablando sobre un ángulo como figura geométrica, entonces se entiende por ángulo a una figura compuesta por dos rayos con un origen común. Si es necesario realizar alguna acción con este ángulo (por ejemplo, medir un ángulo), entonces un ángulo ya debe entenderse como dos rayos con un origen común y una región interna (de lo contrario, se presentaría una situación doble debido a la presencia de una región interna y externa del ángulo).

Demos más definiciones de ángulos adyacentes y verticales.

Definición.

Esquinas adyacentes- estos son dos ángulos en los que un lado es común, y los otros dos forman un ángulo recto.

De la definición se sigue que los ángulos adyacentes se complementan entre sí hasta formar un ángulo llano.

Definición.

Ángulos verticales Son dos ángulos en los que los lados de un ángulo son prolongaciones de los lados del otro.

La figura muestra ángulos verticales.

Obviamente, dos rectas que se cortan forman cuatro pares de ángulos adyacentes y dos pares de ángulos verticales.

Comparación de ángulos.

En este párrafo del artículo, trataremos las definiciones de ángulos iguales y desiguales, y también en el caso de ángulos desiguales, explicaremos qué ángulo se considera grande y cuál es más pequeño.

Recuerda que dos figuras geométricas se llaman iguales si se pueden superponer.

Se nos dan dos ángulos. Vamos a dar un razonamiento que nos ayudará a obtener una respuesta a la pregunta: "¿Son iguales o no estos dos ángulos"?

Obviamente, siempre podemos hacer coincidir los vértices de dos esquinas, así como un lado de la primera esquina con cualquiera de los lados de la segunda esquina. Combinemos el lado de la primera esquina con el lado de la segunda esquina para que los lados restantes de las esquinas estén en el mismo lado de la línea recta en la que se encuentran los lados combinados de las esquinas. Entonces, si los otros dos lados de las esquinas están alineados, entonces las esquinas se llaman igual.

Si los otros dos lados de los ángulos no coinciden, entonces los ángulos se llaman desigual, y menor el ángulo se considera parte de otro ( grande es el ángulo que contiene completamente a otro ángulo).

Obviamente, los dos ángulos rectos son iguales. También es obvio que un ángulo desarrollado es mayor que cualquier ángulo no desarrollado.

Medición de ángulos.

La medición de ángulos se basa en la comparación del ángulo medido con el ángulo tomado como unidad de medida. El proceso de medición de ángulos se ve así: comenzando desde uno de los lados del ángulo medido, su área interior se llena secuencialmente con ángulos individuales, apilándolos uno al otro. Al mismo tiempo, se recuerda el número de esquinas apiladas, lo que da la medida del ángulo medido.

De hecho, cualquier ángulo puede tomarse como la unidad de medida de los ángulos. Sin embargo, hay muchas unidades generalmente aceptadas para medir ángulos relacionadas con varios campos de la ciencia y la tecnología, que han recibido nombres especiales.

Una de las unidades para medir ángulos es grado.

Definición.

un grado es un ángulo igual a la centésima octava parte de un ángulo enderezado.

Un grado se denota con el símbolo "", por lo tanto, un grado se denota como.

Así, en un ángulo desarrollado, podemos encajar 180 ángulos en un grado. Se verá como la mitad de un pastel redondo cortado en 180 partes iguales. Muy importante: las "piezas del pastel" encajan bien juntas (es decir, los lados de las esquinas están alineados), con el lado de la primera esquina alineado con un lado de la esquina aplanada y el lado de la última esquina unitaria coincidió con el otro lado de la esquina aplanada.

Al medir ángulos, se averigua cuántas veces cabe un grado (u otra unidad de medida de ángulos) en el ángulo medido hasta cubrir por completo el área interior del ángulo medido. Como ya hemos visto, en un ángulo desarrollado, el grado cabe exactamente 180 veces. A continuación hay ejemplos de ángulos en los que un ángulo de un grado cabe exactamente 30 veces (tal ángulo es la sexta parte de un ángulo recto) y exactamente 90 veces (la mitad de un ángulo recto).

Para medir ángulos de menos de un grado (u otra unidad de medida de ángulos) y en los casos en que el ángulo no se puede medir por un número entero de grados (unidades de medida tomadas), debe usar partes de un grado (partes de grados tomados). unidades de medida). Ciertas partes del grado recibieron nombres especiales. Los más comunes son los llamados minutos y segundos.

Definición.

Minuto es la sexagésima parte de un grado.

Definición.

Segundo es la sexagésima parte de un minuto.

En otras palabras, hay sesenta segundos en un minuto y sesenta minutos (3600 segundos) en un grado. El símbolo "" se usa para indicar minutos, y el símbolo "" se usa para indicar segundos (no confundir con los signos de la derivada y la segunda derivada). Entonces, con las definiciones y la notación introducidas, tenemos , y el ángulo en el que caben 17 grados 3 minutos y 59 segundos se puede denotar como .

Definición.

Medida en grados de un ángulo se llama un número positivo, que muestra cuántas veces cabe un grado y sus partes en un ángulo dado.

Por ejemplo, la medida en grados de un ángulo recto es ciento ochenta, y la medida en grados de un ángulo es .

Para medir ángulos, existen instrumentos de medición especiales, el más famoso de los cuales es un transportador.

Si se conocen tanto la designación del ángulo (por ejemplo,) como su medida en grados (sea 110), entonces use una notación breve de la forma y decir: "El ángulo AOB es de ciento diez grados".

De las definiciones del ángulo y de la medida en grados del ángulo, se sigue que en geometría la medida del ángulo en grados se expresa mediante un número real del intervalo (0, 180] (en trigonometría, ángulos con una medida arbitraria en grados se consideran, se llaman).Un ángulo de noventa grados tiene un nombre especial, se llama ángulo recto. Un ángulo menor de 90 grados se llama ángulo agudo. Un ángulo mayor de noventa grados se llama ángulo obtuso. Entonces, la medida de un ángulo agudo en grados se expresa por un número del intervalo (0, 90), la medida de un ángulo obtuso: por un número del intervalo (90, 180), un ángulo recto es igual a noventa grados Damos ilustraciones de un ángulo agudo, un ángulo obtuso y ángulo recto.

Del principio de medir ángulos, se sigue que las medidas en grados de ángulos iguales son las mismas, la medida en grados de un ángulo mayor es mayor que la medida en grados de uno más pequeño, y la medida en grados de un ángulo que consta de varios ángulos es igual a la suma de las medidas en grados de los ángulos componentes. La siguiente figura muestra el ángulo AOB, que está formado por los ángulos AOC, COD y DOB, mientras que .

Por lo tanto, la suma de los angulos adyacentes es ciento ochenta grados, ya que forman un ángulo recto.

De esta afirmación se sigue que . En efecto, si los ángulos AOB y COD son verticales, entonces los ángulos AOB y BOC son adyacentes y los ángulos COD y BOC también son adyacentes, por lo tanto, son válidas las igualdades y, de donde se sigue la igualdad.

Junto con el grado, una unidad conveniente para medir ángulos se llama radián. La medida en radianes es ampliamente utilizada en trigonometría. Definamos un radián.

Definición.

Un ángulo en radianes- Este esquina central, que corresponde a la longitud del arco, igual a la longitud del radio del círculo correspondiente.

Demos una ilustración gráfica de un ángulo de un radián. En el dibujo, la longitud del radio OA (así como el radio OB) es igual a la longitud del arco AB, por lo tanto, por definición, el ángulo AOB es igual a un radián.

La abreviatura "rad" se usa para denotar radianes. Por ejemplo, escribir 5 rad significa 5 radianes. Sin embargo, por escrito, a menudo se omite la designación "rad". Por ejemplo, cuando se escribe que el ángulo es igual a pi, significa pi rad.

Cabe señalar por separado que el valor del ángulo, expresado en radianes, no depende de la longitud del radio del círculo. Esto se debe a que las figuras delimitadas por un ángulo dado y un arco de círculo con centro en el vértice de un ángulo dado son similares entre sí.

La medición de ángulos en radianes se puede hacer de la misma manera que la medición de ángulos en grados: averigüe cuántas veces cabe un ángulo de un radián (y sus partes) en un ángulo dado. Y puedes calcular la longitud del arco de la correspondiente esquina central, luego divídelo por la longitud del radio.

Para las necesidades de la práctica, es útil saber cómo se relacionan entre sí las medidas en grados y en radianes, ya que una gran parte tiene que llevarse a cabo. En este artículo, se establece una relación entre el grado y la medida en radianes de un ángulo, y se dan ejemplos de conversión de grados a radianes y viceversa.

Designación de esquinas en el dibujo.

En los dibujos, por comodidad y claridad, las esquinas se pueden marcar con arcos, que normalmente se dibujan en la región interior de la esquina de un lado de la esquina al otro. ángulos iguales marcar con el mismo número de arcos, ángulos desiguales - cantidad diferente arcos. Los ángulos rectos en el dibujo se indican con un símbolo de la forma "", que se representa en la región interior del ángulo recto desde un lado de la esquina hasta el otro.

Si tiene que marcar muchos ángulos diferentes en el dibujo (generalmente más de tres), al designar ángulos, además de los arcos ordinarios, está permitido usar arcos de algún tipo especial. Por ejemplo, puede representar arcos irregulares o algo similar.

Cabe señalar que no debe dejarse llevar por la designación de ángulos en los dibujos y no saturar los dibujos. Recomendamos marcar solo aquellos ángulos que sean necesarios en el proceso de resolución o demostración.

Bibliografía.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometría. Grados 7 - 9: un libro de texto para instituciones educativas.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometría. Libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria.
• Pogorelov A.V., Geometría. Libro de texto para los grados 7-11 de instituciones educativas.

Comencemos por definir qué es un ángulo. En primer lugar, es En segundo lugar, está formado por dos rayos, que se llaman los lados del ángulo. En tercer lugar, estos últimos salen de un punto, que se llama el vértice de la esquina. Con base en estos signos, podemos hacer una definición: un ángulo es una figura geométrica que consta de dos rayos (lados) que emergen de un punto (vértice).

Se clasifican por grados, por ubicación relativa entre sí y en relación con el círculo. Comencemos con los tipos de ángulos por su tamaño.

Hay varias variedades de ellos. Echemos un vistazo más de cerca a cada tipo.

Solo hay cuatro tipos principales de ángulos: ángulo recto, obtuso, agudo y desarrollado.

Derecho

Se parece a esto:

Su medida en grados es siempre de 90º, es decir, un ángulo recto es un ángulo de 90º. Solo los cuadrángulos como un cuadrado y un rectángulo los tienen.

Desafilado

Se parece a esto:

La medida en grados siempre es mayor que 90 grados, pero menor que 180 grados. Puede ocurrir en cuadriláteros como un rombo, un paralelogramo arbitrario, en polígonos.

Picante

Se parece a esto:

La medida en grados de un ángulo agudo es siempre menor que 90°. Ocurre en todos los cuadriláteros, a excepción de un cuadrado y un paralelogramo arbitrario.

desplegada

El ángulo expandido se ve así:

No ocurre en polígonos, pero no es menos importante que todos los demás. Un ángulo llano es una figura geométrica, cuya medida en grados es siempre 180º. Puedes construir sobre él dibujando uno o más rayos desde su vértice en cualquier dirección.

Hay varios otros tipos secundarios de ángulos. No se estudian en las escuelas, pero es necesario saber al menos sobre su existencia. Solo hay cinco tipos secundarios de ángulos:

1. Cero

Se parece a esto:

El mismo nombre del ángulo ya habla de su magnitud. Su área interior es 0° y los lados están uno encima del otro como se muestra en la figura.

2. Oblicuo

Oblicuo puede ser recto, obtuso, agudo y desarrollado. Su condición principal es que no debe ser igual a 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. convexo

Convexos son los ángulos cero, recto, obtuso, agudo y desarrollado. Como ya entendiste, la medida en grados de un ángulo convexo es de 0 o a 180 o.

4. No convexo

Los no convexos son ángulos con una medida en grados de 181 o a 359 o inclusive.

5. Completo

Un ángulo completo es de 360 ​​grados.

Estos son todos los tipos de ángulos según su tamaño. Ahora considere sus tipos por ubicación en el plano entre sí.

1. Adicional

Estos son dos ángulos agudos que forman una línea recta, es decir, su suma es 90 o.

2. Relacionado

Los ángulos adyacentes se forman si se dibuja un rayo en cualquier dirección a través de un desplegado, más precisamente, a través de su parte superior. Su suma es 180 o.

3. verticales

Los ángulos verticales se forman cuando dos líneas se cruzan. Sus medidas de grado son iguales.

Ahora pasemos a los tipos de ángulos ubicados en relación con el círculo. Solo hay dos de ellos: central e inscrito.

1. céntrico

El ángulo central es el que tiene el vértice en el centro del círculo. Su medida en grados es igual a la medida en grados del arco menor subtendido por los lados.

2. inscrito

Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice se encuentra en el círculo y cuyos lados lo cortan. Su medida en grados es igual a la mitad del arco sobre el que descansa.

Se trata de las esquinas. Ahora ya sabes que además de los más famosos -afilados, obtusos, rectos y desplegados- en geometría existen muchos otros tipos de ellos.

El ángulo es la figura geométrica principal, que analizaremos a lo largo del tema. Definiciones, métodos de ajuste, notación y medida del ángulo. Analicemos los principios de selección de esquinas en los dibujos. Toda la teoría está ilustrada y tiene un gran número de dibujos visuales.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

Inyección- una figura importante simple en geometría. El ángulo depende directamente de la definición de un rayo, que a su vez consta de los conceptos básicos de un punto, una línea y un plano. Para un estudio completo, es necesario profundizar en los temas linea recta en un avion - informacion necesaria y avión - información necesaria.

El concepto de ángulo comienza con los conceptos de punto, plano y línea recta representados en este plano.

Definición 2

Dada una recta a en un plano. Denote algún punto O en él. La línea está dividida por un punto en dos partes, cada una de las cuales tiene un nombre Rayo, y el punto O es haz de inicio.

En otras palabras, una viga o media línea - es una parte de una recta, formada por puntos de una recta dada, situados del mismo lado del punto de partida, es decir, el punto O.

La designación de la viga se permite en dos variaciones: una minúscula o dos letras mayúsculas del alfabeto latino. Cuando se denota con dos letras, la viga tiene un nombre que consta de dos letras. Echemos un vistazo más de cerca al dibujo.

Pasemos al concepto de definir un ángulo.

Definición 3

Inyección- esta es una figura ubicada en un plano dado, formada por dos rayos no coincidentes que tienen un origen común. esquina lateral es un rayo vértice- el comienzo común de las fiestas.

Hay un caso en el que los lados de un ángulo pueden actuar como una línea recta.

Definición 4

Cuando ambos lados de un ángulo están ubicados en la misma línea recta o sus lados sirven como medias líneas adicionales de una línea recta, ese ángulo se llama desplegada.

La siguiente figura muestra una esquina aplanada.

Un punto en una línea recta es el vértice del ángulo. La mayoría de las veces, se denota con el punto O.

Un ángulo en matemáticas se denota con el signo "∠". Cuando los lados de un ángulo se indican con latín pequeño, entonces, para la definición correcta del ángulo, las letras se escriben en una fila, respectivamente, de acuerdo con los lados. Si dos lados se denotan como k y h, entonces el ángulo se denota como ∠ k h o ∠ ​​h k .

Cuando hay una designación en letras mayúsculas, entonces, respectivamente, los lados de la esquina tienen los nombres O A y O B. En este caso, el ángulo tiene un nombre de tres letras del alfabeto latino, escritas en fila, en el centro con un vértice - ∠ A O B y ∠ B O A . Hay una designación en forma de números cuando las esquinas no tienen nombres ni letras. A continuación se muestra una imagen donde diferentes caminos las esquinas están marcadas.

Un ángulo divide el plano en dos partes. Si el ángulo no está desarrollado, entonces una parte del plano tiene el nombre área de la esquina interior, el otro - área de la esquina exterior. A continuación se muestra una imagen que explica qué partes del avión son externas y cuáles internas.

Cuando se divide por un ángulo recto en un plano, cualquiera de sus partes se considera interior del ángulo recto.

La zona interior de la esquina es un elemento que sirve para la segunda definición de la esquina.

Definición 5

esquina se llama figura geométrica, formada por dos rayos no coincidentes, que tienen un origen común y un área interna correspondiente del ángulo.

Esta definición es más rigurosa que la anterior, ya que tiene más condiciones. No es recomendable considerar ambas definiciones por separado, porque un ángulo es una figura geométrica transformada mediante dos rayos que salen de un punto. Cuando es necesario realizar acciones con un ángulo, entonces la definición significa la presencia de dos rayos con un origen común y una región interna.

Definición 6

Las dos esquinas se llaman relacionada, si hay un lado común, y los otros dos son semirrectas complementarias o forman un ángulo recto.

La figura muestra que las esquinas adyacentes se complementan entre sí, ya que son una continuación de la otra.

Definición 7

Las dos esquinas se llaman vertical, si los lados de una son semirrectas complementarias de la otra o son prolongaciones de los lados de la otra. La siguiente figura muestra una imagen de las esquinas verticales.

Al cruzar líneas, se obtienen 4 pares de ángulos adyacentes y 2 pares de ángulos verticales. A continuación se muestra en la imagen.

El artículo muestra las definiciones de ángulos iguales y desiguales. Analizaremos qué ángulo se considera grande, cuál es más pequeño y otras propiedades del ángulo. Dos figuras se consideran iguales si, al superponerse, coinciden completamente. La misma propiedad se aplica a la comparación de ángulos.

Dados dos ángulos. Es necesario llegar a la conclusión de si estos ángulos son iguales o no.

Se sabe que los vértices de dos esquinas y el lado de la primera esquina se superponen con cualquier otro lado de la segunda. Es decir, en caso de coincidencia completa, cuando los ángulos se superponen, los lados de los ángulos dados coincidirán completamente, los ángulos igual.

Puede ser que al superponer los lados no se combinen, entonces las esquinas desigual, más pequeño del cual consta de otro, y más incorpora otro ángulo completo. A continuación se muestran ángulos desiguales que no están alineados cuando se superponen.

Los ángulos desarrollados son iguales.

La medida de los ángulos comienza con la medida del lado del ángulo medido y su región interior, llenando los cuales con unidades de ángulo, se aplican entre sí. Es necesario contar el número de esquinas apiladas, predeterminan la medida del ángulo medido.

Una unidad de ángulo se puede expresar en cualquier ángulo medible. Existen unidades de medida generalmente aceptadas que se utilizan en ciencia y tecnología. Se especializan en otros títulos.

El concepto más utilizado grado.

Definición 8

un grado Se llama ángulo al que tiene la centésima octava parte de un ángulo enderezado.

La notación estándar para un grado es "°", entonces un grado es 1°. Por lo tanto, un ángulo llano consta de 180 de tales ángulos, que consisten en un grado. Todas las esquinas disponibles se apilan estrechamente entre sí y los lados de la anterior se alinean con la siguiente.

Se sabe que el número de grados en un ángulo es la misma medida del ángulo. La esquina desarrollada tiene 180 esquinas apiladas en su composición. La siguiente figura muestra ejemplos donde el ángulo se coloca 30 veces, es decir, un sexto del expandido, y 90 veces, es decir, la mitad.

Los minutos y los segundos se utilizan para determinar con precisión las medidas de los ángulos. Se utilizan cuando el valor del ángulo no es una designación de grado entero. Tales partes de un título le permiten realizar cálculos más precisos.

Definición 9

minuto llamado sesentava parte de un grado.

Definición 10

segundo llamado un sexagésimo de un minuto.

Un grado contiene 3600 segundos. Los minutos indican """ y los segundos """". La designación tiene lugar:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

y la notación para el ángulo 17 grados 3 minutos y 59 segundos es 17° 3 "59"".

Definición 11

Demos un ejemplo de la notación de la medida en grados de un ángulo igual a 17 ° 3 "59" ". La entrada tiene otra forma 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Para medir ángulos con precisión, utilice este dispositivo de medición como un transportador. Al designar el ángulo ∠ A O B y su medida en grados de 110 grados, se usa una notación más conveniente ∠ A O B \u003d 110 °, que dice "El ángulo A O B es igual a 110 grados".

En geometría, se usa una medida de ángulo del intervalo (0 , 180 ], y en trigonometría se llama una medida de grado arbitraria ángulos de giro. El valor de los ángulos siempre se expresa como un número real. Ángulo recto es un ángulo que tiene 90 grados. Esquina filosa es un ángulo que mide menos de 90 grados, y desafilado- más.

Un ángulo agudo se mide en el intervalo (0, 90) y un ángulo obtuso - (90, 180) . Tres tipos de ángulos se muestran claramente a continuación.

Cualquier medida en grados de cualquier ángulo tiene el mismo valor. Un ángulo mayor, respectivamente, tiene una medida en grados mayor que uno menor. La medida en grados de un ángulo es la suma de todas las medidas disponibles en grados de los ángulos interiores. La siguiente figura muestra el ángulo AOB, que consta de los ángulos AOC, COD y DOB. En detalle, se ve así: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Con base en esto, se puede concluir que suma todos ángulos adyacentes es de 180 grados porque todos forman un ángulo expandido.

De esto se sigue que cualquier los angulos verticales son iguales. Si consideramos esto con un ejemplo, obtenemos que el ángulo A O B y C O D son verticales (en el dibujo), entonces los pares de ángulos A O B y B O C, C O D y B O C se consideran adyacentes. En tal caso, la igualdad ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° junto con ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° se consideran únicamente verdaderas. Por lo tanto tenemos que ∠ A O B = ∠ C O D . A continuación se muestra un ejemplo de la imagen y la designación de las capturas verticales.

Además de los grados, minutos y segundos, se utiliza otra unidad de medida. Se llama radián. La mayoría de las veces se puede encontrar en trigonometría al designar los ángulos de los polígonos. Lo que se llama un radián.

Definición 12

Un ángulo en radianes llamado ángulo central, que tiene un radio de un círculo igual a la longitud del arco.

En la figura, el radián se representa como un círculo, donde hay un centro, indicado por un punto, con dos puntos en el círculo conectados y convertidos en radios O A y O B. Por definición, este triángulo A O B es equilátero, lo que significa que la longitud del arco A B es igual a las longitudes de los radios O B y Oh A.

La designación del ángulo se toma como "rad". Es decir, una entrada en 5 radianes se abrevia como 5 rad. A veces puedes encontrar una designación que tiene el nombre pi. Los radianes no dependen de la longitud de un círculo dado, ya que las figuras tienen algún tipo de restricción con la ayuda de un ángulo y su arco con centro ubicado en el vértice de un ángulo dado. Se consideran similares.

Los radianes tienen el mismo significado que los grados, solo que la diferencia está en su magnitud. Para determinar esto, es necesario dividir la longitud calculada del arco del ángulo central por la longitud de su radio.

En la práctica, utilizan convertir grados a radianes y radianes a grados para una resolución de problemas más fácil. El artículo especificado tiene información sobre la conexión entre la medida en grados y el radián, donde se puede estudiar en detalle las traducciones de grado a radián y viceversa.

Para una representación visual y conveniente de arcos, ángulos, se utilizan dibujos. No siempre es posible representar y marcar correctamente un ángulo, arco o nombre en particular. Los ángulos iguales tienen la designación en forma de igual número de arcos, y desiguales en forma de arcos diferentes. El dibujo muestra la designación correcta de ángulos agudos, iguales y desiguales.

Cuando es necesario marcar más de 3 esquinas, se utilizan designaciones de arco especiales, como ondulado o dentado. No importa tanto. La siguiente figura muestra su designación.

La designación de los ángulos debe ser simple para no interferir con otros valores. Al resolver un problema, se recomienda seleccionar solo las esquinas necesarias para resolverlo para no abarrotar todo el dibujo. Esto no interferirá con la solución y prueba, y también le dará una apariencia estética al dibujo.

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