Kasrdan vergul bilan raqam qanday yasaladi. O'nli sonlarni kasrga o'tkazish

Hisob-kitoblarning qulayligi uchun siz oddiy kasrni o'nli kasrga va aksincha aylantirishingiz kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida ushbu maqolada gaplashamiz. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazish qoidalarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biz oddiy kasrlarni ma'lum bir ketma-ketlikka rioya qilgan holda o'nli kasrlarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, maxraji 10 ga karrali bo‘lgan oddiy kasrlar qanday qilib o‘nli kasrlarga aylantirilishini ko‘rib chiqamiz: 10, 100, 1000 va hokazo. Bunday maxrajli kasrlar, aslida, o‘nli kasrlarning ancha murakkab yozuvidir.

Keyinchalik, 10 ga karrali emas, balki har qanday maxrajli oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda nafaqat chekli o'nli kasrlar, balki cheksiz davriy o'nli kasrlar ham olinadi.

Qani boshladik!

10, 100, 1000 va hokazo maxrajli oddiy kasrlarni tarjima qilish. o'nli kasrlarga

Avvalo, aytaylik, ba'zi kasrlar o'nlik shaklga o'tishdan oldin biroz tayyorgarlikni talab qiladi. Bu nima? Numeratordagi raqamdan oldin siz shunchalik ko'p nol qo'shishingiz kerak, shunda hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Masalan, 3100 kasr uchun hisoblagichdagi 3 ning chap tomoniga 0 raqami bir marta qo'shilishi kerak. 610-qism, yuqorida ko'rsatilgan qoidaga ko'ra, o'zgartirishga muhtoj emas.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, shundan so'ng biz birinchi navbatda foydalanish uchun qulay bo'lgan qoidani shakllantiramiz, lekin kasrlarni aylantirishda ko'p tajriba yo'q. Shunday qilib, hisoblagichga nollarni qo'shgandan keyin 1610000 kasr 001510000 kabi ko'rinadi.

Maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo'lgan oddiy kasrni qanday aylantirish mumkin. kasrga?

Oddiy to'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. 0 yozing va undan keyin vergul qo'ying.
2. Nollarni qo'shgandan so'ng olingan raqamdan raqamni yozamiz.

Endi misollarga o'tamiz.

1-misol: Kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

39100 kasrni kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, biz kasrga qaraymiz va hech qanday tayyorgarlik harakatlarini bajarishning hojati yo'qligini ko'ramiz - hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga to'g'ri keladi.

Qoidaga rioya qilgan holda biz 0 ni yozamiz, undan keyin o'nli nuqta qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,39 o'nlik kasrni olamiz.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha boshqa misolning echimini ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

105 10000000 kasrni kasr shaklida yozamiz.

Maxrajdagi nollar soni 7 ta, hisoblagich esa faqat uchta raqamdan iborat. Numeratordagi raqam oldiga yana 4 ta nol qo'shamiz:

0000105 10000000

Endi biz 0 ni yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,0000105 o'nlik kasrni olamiz.

Barcha misollarda ko'rib chiqilgan kasrlar oddiy to'g'ri kasrlardir. Lekin qanday qilib noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantirasiz? Darhol aytaylik, bunday kasrlar uchun nol qo'shib tayyorgarlik ko'rishning hojati yo'q. Keling, qoida tuzamiz.

Oddiy noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratordagi raqamni yozing.
2. Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasrdan foydalanamiz.

Quyida ushbu qoidadan qanday foydalanishga misol keltirilgan.

Misol 3. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

56888038009 100000 kasrni oddiy tartibsiz kasrdan o'nli kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, hisoblagichdan raqamni yozamiz:

Endi o'ng tomonda biz beshta raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz (maxrajdagi nollar soni beshta). Biz olamiz:

Tabiiyki, keyingi savol tug'iladi: aralash sonni o'nli kasrga qanday aylantirish kerak, agar uning kasr qismining maxraji 10, 100, 1000 va boshqalar bo'lsa. Bunday sonni o'nli kasrga aylantirish uchun siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin.

Aralash sonlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Agar kerak bo'lsa, sonning kasr qismini tayyorlaymiz.
2. Biz asl raqamning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz.
3. Biz qo'shilgan nollar bilan birga kasr qismining numeratoridan raqamni yozamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol: Aralash sonlarni o‘nli kasrlarga aylantirish

23 17 10000 aralash sonini o'nli kasrga aylantiramiz.

Kasr qismida bizda 17 10000 ifodasi mavjud. Keling, uni tayyorlaymiz va hisoblagichning chap tomoniga yana ikkita nol qo'shamiz. Biz olamiz: 0017 10000.

Endi sonning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz: 23, . .

O'nli kasrdan keyin raqamni nol bilan birga yozing. Biz natijaga erishamiz:

23 17 10000 = 23 , 0017

Oddiy kasrlarni chekli va cheksiz davriy kasrlarga aylantirish

Albatta, siz maxraji 10, 100, 1000 va boshqalarga teng bo'lmagan o'nli va oddiy kasrlarga o'tkazishingiz mumkin.

Ko'pincha kasrni osongina yangi maxrajga qisqartirish mumkin, keyin esa ushbu maqolaning birinchi xatboshida ko'rsatilgan qoidadan foydalaning. Masalan, 25 kasrning payini va maxrajini 2 ga ko'paytirish kifoya va biz 410 kasrni olamiz, bu kasr 0,4 ga osonlik bilan aylanadi.

Biroq, kasrni o'nli kasrga aylantirishning bu usuli har doim ham qo'llanilmaydi. Quyida ko'rib chiqilgan usulni qo'llashning iloji bo'lmasa, nima qilish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Kasrni o'nli kasrga o'tkazishning tubdan yangi usuli bu hisobni maxrajga ustun bilan bo'lishdir. Bu operatsiya natural sonlarni ustun bilan bo'lishga juda o'xshaydi, lekin o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Bo'lishda hisoblagich o'nli kasr sifatida ifodalanadi - vergul sonning oxirgi raqamining o'ng tomoniga qo'yiladi va nollar qo'shiladi. Olingan qismda, hisoblagichning butun qismining bo'linishi tugagach, o'nli nuqta qo'yiladi. Ushbu usul qanday aniq ishlashi misollarni ko'rib chiqqandan keyin aniq bo'ladi.

Misol 5. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

621 4 oddiy kasrni o'nlik shaklga o'tkazamiz.

O'nli kasrdan keyin bir necha nol qo'shib, hisoblagichdan olingan 621 raqamini o'nli kasr sifatida ko'rsatamiz. 621 = 621,00

Endi ustun yordamida 621,00 ni 4 ga ajratamiz. Bo'linishning dastlabki uchta bosqichi natural sonlarni bo'lish bilan bir xil bo'ladi va biz olamiz.

Dividendda o'nli kasrga yetib, qolgan qismi noldan farq qiladigan bo'lsa, biz kasrga kasr qo'yamiz va bo'linishni davom ettiramiz, endi dividenddagi vergulga e'tibor bermaymiz.

Natijada, 621 4 oddiy kasrni teskari aylantirish natijasi bo'lgan 155, 25 o'nli kasrni olamiz.

621 4 = 155 , 25

Materialni mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

21 800 oddiy kasrni teskari hisoblaymiz.

Buning uchun 21 000 kasrni 800 ga bo'linib, ustunga bo'ling. Butun qismning bo'linishi birinchi bosqichda tugaydi, shuning uchun darhol biz qismga kasrni qo'yamiz va nolga teng qoldiq olinmaguncha dividenddagi vergulga e'tibor bermasdan, bo'linishni davom ettiramiz.

Natijada, biz oldik: 21,800 = 0,02625.

Ammo bo'lish paytida biz hali ham 0 qoldig'ini ololmasak nima bo'ladi. Bunday hollarda bo'linishni cheksiz davom ettirish mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Shunga ko'ra, qismdagi raqamlar takrorlanadi. Bu oddiy kasrning o'nlik cheksiz davriy kasrga aylantirilishini anglatadi. Keling, buni bir misol bilan tushuntirib beraylik.

Misol 7. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

19 44 oddiy kasrni kasrga aylantiramiz. Buning uchun ustunga bo'linishni amalga oshiramiz.

Ko'ramiz, bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlanadi. Bunday holda, 1 va 8 raqamlari qismda takrorlanadi. Bu o'nlik kasrdagi davr. Yozishda bu raqamlar qavs ichiga joylashtiriladi.

Shunday qilib, dastlabki oddiy kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylanadi.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Keling, qaytarilmas oddiy kasrni ko'raylik. U qanday shaklda bo'ladi? Qaysi oddiy kasrlar chekli o‘nli kasrlarga, qaysilari cheksiz davriy kasrlarga aylantiriladi?

Birinchidan, aytaylik, agar kasrni 10, 100, 1000... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, u holda u oxirgi o'nlik kasr shakliga ega bo'ladi. Kasr shu maxrajlardan biriga kamayishi uchun uning maxraji 10, 100, 1000 va hokazo sonlarning kamida bittasiga boʻluvchi boʻlishi kerak. Raqamlarni tub omillarga ajratish qoidalaridan raqamlarning bo'luvchisi 10, 100, 1000 va boshqalar ekanligi kelib chiqadi. tub omillarga ajratilganda faqat 2 va 5 raqamlarini o'z ichiga olishi kerak.

Keling, aytilganlarni umumlashtiramiz:

1. Oddiy kasrni oxirgi kasrga qisqartirish mumkin, agar uning maxraji 2 va 5 ning tub koeffitsientlariga ajratilsa.
2. Agar maxrajning kengayishida 2 va 5 raqamlaridan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, kasr cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishiga keltiriladi.

Keling, misol keltiraylik.

Misol 8. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Ushbu kasrlarning qaysi biri 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantiriladi. Keling, kasrni o'nli kasrga to'g'ridan-to'g'ri aylantirmasdan, bu savolga javob beraylik.

47 20 kasr, ko'rish oson bo'lganidek, pay va maxrajni 5 ga ko'paytirish orqali yangi maxraj 100 ga kamayadi.

47 20 = 235 100. Bundan xulosa qilamizki, bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantiriladi.

7 12 kasrning maxrajini koeffitsientga ajratganda 12 = 2 · 2 · 3 hosil bo‘ladi. 3-bosh koeffitsient 2 va 5 dan farq qilganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin cheksiz davriy kasr shakliga ega bo'ladi.

21 56 kasr, birinchi navbatda, qisqartirilishi kerak. 7 ga kamaytirilgandan so'ng biz kamaytirilmaydigan kasr 3 8 ni olamiz, uning maxraji koeffitsientlarga ajratilib, 8 = 2 · 2 · 2 ni beradi. Shuning uchun u oxirgi o'nlik kasrdir.

31 17 kasrda maxrajni faktorlarga ajratish tub son 17 ning o'zi hisoblanadi. Shunga ko'ra, bu kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrni cheksiz va davriy bo'lmagan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi

Yuqorida biz faqat chekli va cheksiz davriy kasrlar haqida gapirdik. Lekin har qanday oddiy kasrni cheksiz davriy bo'lmagan kasrga aylantirish mumkinmi?

Biz javob beramiz: yo'q!

Muhim!

Cheksiz kasrni o'nli kasrga o'tkazishda natijada chekli kasr yoki cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Bo'linishning qolgan qismi har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bo'linish teoremasiga ko'ra, qandaydir natural sonni q soniga bo'lsak, bo'linishning qolgan qismi har qanday holatda ham q-1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bo'linish tugagandan so'ng, quyidagi holatlardan biri mumkin:

1. Biz 0 ning qoldig'ini olamiz va bu erda bo'linish tugaydi.
2. Biz qoldiqni olamiz, bu keyingi bo'linishda takrorlanadi, natijada cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Kasrni kasrga o'tkazishda boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas. Yana aytaylik, cheksiz davriy kasrdagi davr uzunligi (raqamlar soni) har doim mos keladigan oddiy kasrning maxrajidagi raqamlar sonidan kichik bo'ladi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirishning teskari jarayonini ko'rib chiqish vaqti keldi. Keling, uchta bosqichni o'z ichiga olgan tarjima qoidasini tuzamiz. O'nli kasrni oddiy kasrga qanday o'tkazish mumkin?

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratorda biz vergulni va chapdagi barcha nollarni, agar mavjud bo'lsa, tashlab, asl o'nlik kasrdan raqamni yozamiz.
2. Maxrajda biz asl o'nlik kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, bittadan keyin shuncha nol yozamiz.
3. Agar kerak bo'lsa, olingan oddiy fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollar yordamida ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol 8. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

Keling, 3.025 raqamini oddiy kasr sifatida tasavvur qilaylik.

1. Biz vergulni tashlab, o'nli kasrning o'zini raqamga yozamiz: 3025.
2. Maxrajda biz bitta, undan keyin esa uchta nol yozamiz - bu kasrdan keyin asl kasrda qancha raqam bor: 3025 1000.
3. Olingan kasr 3025 1000 ni 25 ga kamaytirish mumkin, natijada: 3025 1000 = 121 40.

Misol 9. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

0,0017 kasrni o'nlik kasrdan oddiy kasrga aylantiramiz.

1. Numeratorda biz chap tomonda vergul va nollarni tashlab, 0, 0017 kasrni yozamiz. Bu 17 bo'ladi.
2. Biz maxrajga bitta yozamiz va undan keyin to'rtta nol yozamiz: 17 10000. Bu fraktsiya kamaytirilmaydi.

Agar o'nli kasrda butun son bo'lsa, unda bunday kasr darhol aralash songa aylantirilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Keling, yana bir qoidani tuzamiz.

O'nli kasrlarni aralash sonlarga o'tkazish qoidasi.

1. Kasrdagi kasrdan oldingi son aralash sonning butun qismi sifatida yoziladi.
2. Numeratorda biz kasrdagi kasrdan keyin raqamni yozamiz, agar mavjud bo'lsa, chapdagi nollarni tashlab qo'yamiz.
3. Kasr qismining maxrajiga kasr qismidagi o'nlik nuqtadan keyin qancha raqam bo'lsa, bitta va shuncha nol qo'shamiz.

Keling, bir misol keltiraylik

10-misol. O'nli kasrni aralash songa aylantirish

155, 06005 kasrni aralash son sifatida tasavvur qilaylik.

1. 155 raqamini butun qism sifatida yozamiz.
2. Numeratorda biz noldan voz kechib, kasrdan keyin raqamlarni yozamiz.
3. Biz maxrajga bir va besh nol yozamiz

Keling, aralash raqamni o'rganamiz: 155 6005 100000

Kasr qismini 5 ga qisqartirish mumkin. Biz uni qisqartiramiz va yakuniy natijaga erishamiz:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Cheksiz davriy o'nli kasrlarni kasrga aylantirish

Davriy o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish misollarini ko‘rib chiqamiz. Boshlashdan oldin, keling, aniqlab olaylik: har qanday davriy o'nli kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin.

Eng oddiy holat - kasr davri nolga teng bo'lganda. Nol davriga ega bo'lgan davriy kasr oxirgi o'nli kasr bilan almashtiriladi va bunday kasrni teskari o'zgartirish jarayoni oxirgi o'nli kasrni teskarisiga qisqartiradi.

Misol 11. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

3, 75 (0) davriy kasrni teskari aylantiramiz.

O'ngdagi nollarni yo'q qilib, biz oxirgi o'nlik kasrni 3.75 ni olamiz.

Oldingi paragraflarda muhokama qilingan algoritmdan foydalanib, ushbu kasrni oddiy kasrga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Agar kasr davri noldan farq qilsa-chi? Davriy qismni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi deb hisoblash kerak, bu esa kamayadi. Buni misol bilan tushuntiramiz:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning hadlar yig'indisi formulasi mavjud. Progressiyaning birinchi hadi b va maxraji q 0 ga teng bo'lsa< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Keling, ushbu formuladan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 12. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

Bizda davriy kasr 0, (8) bo'lsin va biz uni oddiy kasrga aylantirishimiz kerak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Bu erda bizda birinchi had 0, 8 va maxraj 0, 1 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya mavjud.

Keling, formulani qo'llaymiz:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Bu talab qilinadigan oddiy kasr.

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolni ko'rib chiqing.

Misol 13. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

0, 43 (18) kasrni teskari hisoblaymiz.

Avval kasrni cheksiz yig'indi sifatida yozamiz:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Keling, qavs ichidagi atamalarni ko'rib chiqaylik. Ushbu geometrik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Natijani yakuniy kasrga 0, 43 = 43 100 qo'shamiz va natijani olamiz:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Ushbu kasrlarni qo'shib, kamaytirgandan so'ng, biz yakuniy javobni olamiz:

0 , 43 (18) = 19 44

Ushbu maqolani yakunlash uchun biz davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini aytamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Kasrlar bo'yicha materiallar va ketma-ket o'rganish. Quyida siz misollar va tushuntirishlar bilan batafsil ma'lumot topasiz.

1. Aralash sondan oddiy kasrga.Raqamni umumiy shaklda yozamiz:

Biz oddiy qoidani eslaymiz - biz butun qismni maxrajga ko'paytiramiz va hisoblagichni qo'shamiz, ya'ni:

Misollar:

2. Aksincha, oddiy kasrni aralash songa. *Albatta, bu faqat noto'g'ri kasr bilan (hisob maxrajdan katta bo'lganda) amalga oshirilishi mumkin.

"Kichik" raqamlar bilan, umuman olganda, hech qanday harakat qilish shart emas, natija darhol "ko'rinadi", masalan, kasrlar:

* Batafsil:

15:13 = 1 qoldiq 2

4:3 = 1 qoldiq 1

9:5 = 1 qoldiq 4

Ammo raqamlar ko'proq bo'lsa, unda siz hisob-kitoblarsiz qilolmaysiz. Bu erda hamma narsa oddiy - qoldiq bo'luvchidan kichik bo'lguncha hisoblagichni burchak bilan maxrajga bo'ling. Bo'linish sxemasi:

Masalan:

*Bizning hisobimiz dividend, maxrajimiz bo'luvchidir.

Biz butun qismni (to'liq bo'lmagan qism) va qolgan qismini olamiz. Biz butun sonni, keyin kasrni yozamiz (hisob qoldiqni o'z ichiga oladi, lekin maxraj bir xil bo'lib qoladi):

3. O‘nli kasrni oddiyga o‘tkazish.

Qisman birinchi xatboshida, biz o'nli kasrlar haqida gapirganimizda, biz allaqachon bu haqda gaplashdik. Biz buni eshitganimizdek yozamiz. Masalan - 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10.00015

Bizda butun sonsiz birinchi uchta kasr mavjud. To'rtinchi va beshinchisida bor, keling ularni oddiylarga aylantiramiz, biz buni qanday qilishni allaqachon bilamiz:

*Biz kasrlarni ham qisqartirish mumkinligini ko'ramiz, masalan, 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 va boshqalar, lekin biz buni bu erda qilmaymiz. Kamaytirishga kelsak, siz quyida alohida paragrafni topasiz, unda biz hamma narsani batafsil tahlil qilamiz.

4. Oddiy kasrga o‘tkazish.

Bu unchalik oddiy emas. Ba'zi kasrlar bilan u bilan nima qilish kerakligi darhol aniq va aniq bo'ladi, shunda u kasrga aylanadi, masalan:

Biz kasrning ajoyib asosiy xususiyatidan foydalanamiz - hisob va maxrajni mos ravishda 5, 25, 2, 5, 4, 2 ga ko'paytiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

Agar butun qism bo'lsa, unda hech qanday murakkab narsa yo'q:

Biz kasr qismini mos ravishda 2, 25, 2 va 5 ga ko'paytiramiz va olamiz:

Va tajribasiz ularni o'nli kasrlarga aylantirish mumkinligini aniqlash mumkin bo'lmaganlar mavjud, masalan:

Numerator va maxrajni qanday raqamlarga ko'paytirishimiz kerak?

Bu erda yana tasdiqlangan usul yordamga keladi - burchakka bo'linish, universal usul, siz har doim oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun foydalanishingiz mumkin:

Shu tarzda siz har doim kasrning o'nli kasrga aylantirilganligini aniqlashingiz mumkin. Haqiqat shundaki, har bir oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi, masalan, 1/9, 3/7, 7/26 kabilar aylantirilmaydi. 1 ni 9 ga, 3 ni 7 ga, 5 ni 11 ga bo‘lishda qanday kasr hosil bo‘ladi? Mening javobim cheksiz o'nlikdir (biz ular haqida 1-bandda gaplashdik). Keling, ajratamiz:

Ana xolos! Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

Ushbu maqolada biz qanday qilib ko'rib chiqamiz kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish, shuningdek, teskari jarayonni ko'rib chiqing - o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish. Bu erda biz kasrlarni konvertatsiya qilish qoidalarini ko'rsatamiz va odatiy misollarga batafsil echimlarni taqdim etamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Keling, biz bilan shug'ullanadigan ketma-ketlikni belgilaylik kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish.

Birinchidan, maxrajlari 10, 100, 1000, ... bo‘lgan kasrlarni o‘nli kasr sifatida qanday ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Bu o'nli kasrlar mohiyatan 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni yozishning ixcham shakli ekanligi bilan izohlanadi.

Shundan so'ng, biz davom etamiz va har qanday oddiy kasrni (faqat maxrajlari 10, 100, ... bo'lganlarni emas) o'nli kasr sifatida qanday yozishni ko'rsatamiz. Oddiy kasrlarga shu tarzda ishlov berilsa, ham chekli o'nli kasrlar, ham cheksiz davriy o'nli kasrlar olinadi.

Endi hamma narsa haqida tartibda gaplashaylik.

Maxraji 10, 100, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

Ba'zi to'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishdan oldin "oldindan tayyorgarlik" ni talab qiladi. Bu oddiy kasrlar uchun amal qiladi, ularning sonidagi raqamlar soni maxrajdagi nol sonidan kichikdir. Misol uchun, 2/100 oddiy kasr birinchi navbatda o'nli kasrga o'tkazish uchun tayyorlanishi kerak, lekin 9/10 kasr hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi.

To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorlash" hisoblagichning chap tomoniga shunchalik ko'p nol qo'shishdan iborat bo'lib, u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Misol uchun, nollarni qo'shgandan keyin kasr o'xshash bo'ladi.

To'g'ri kasrni tayyorlaganingizdan so'ng, uni kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin.

beraylik maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi. U uch bosqichdan iborat:

• 0 yozing;
• undan keyin biz kasr nuqtasini qo'yamiz;
• Numeratordan raqamni yozamiz (agar biz ularni qo'shsak, qo'shilgan nollar bilan birga).

Keling, misollarni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol.

37/100 to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Maxrajda ikkita nolga ega bo'lgan 100 raqami mavjud. Numerator 37 raqamini o'z ichiga oladi, uning yozuvi ikkita raqamga ega, shuning uchun bu kasrni o'nlik kasrga aylantirish uchun tayyorlanish shart emas.

Endi biz 0 ni yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan 37 raqamini yozamiz va biz 0,37 o'nlik kasrni olamiz.

Javob:

0,37 .

10, 100, ... numeratorlari bo'lgan to'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun biz boshqa misolning yechimini tahlil qilamiz.

Misol.

107/10 000 000 to'g'ri kasrni o'nli kasr shaklida yozing.

Yechim.

Numeratordagi raqamlar soni 3 ga, maxrajdagi nollar soni esa 7 ga teng, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlash kerak. Numeratorning chap tomoniga 7-3=4 nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. olamiz.

Faqat kerakli o'nli kasrni yaratish qoladi. Buning uchun birinchidan, biz 0 yozamiz, ikkinchidan, vergul qo'yamiz, uchinchidan, raqamdan raqamni 0000107 nol bilan birga yozamiz, natijada bizda 0,0000107 o'nlik kasr mavjud.

Javob:

0,0000107 .

Noto'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishda hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi. Quyidagilarga rioya qilish kerak maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan noto‘g‘ri kasrlarni o‘nli kasrlarga aylantirish qoidalari:

• numeratordan raqamni yozing;
• Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasrdan foydalanamiz.

Keling, misolni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol.

56,888,038,009/100,000 noo'rin kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Birinchidan, biz raqamni 56888038009 raqamidan yozamiz, ikkinchidan, o'ngdagi 5 ta raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz, chunki asl kasrning maxrajida 5 ta nol bor. Natijada bizda 568880.38009 o'nlik kasr mavjud.

Javob:

568 880,38009 .

Aralash sonni kasr qismining maxraji 10 yoki 100 yoki 1000, ... bo'lgan o'nli kasrga aylantirish uchun siz aralash sonni noto'g'ri oddiy kasrga aylantirib, keyin hosil bo'lgan kasrni o'zgartirishingiz mumkin. kasrni o'nli kasrga. Ammo siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin kasr maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan aralash sonlarni oʻnli kasrlarga aylantirish qoidasi:

• agar kerak bo'lsa, biz numeratorning chap tomoniga kerakli sondagi nollarni qo'shib, asl aralash sonning kasr qismini "oldindan tayyorlash" ni bajaramiz;
• asl aralash sonning butun qismini yozing;
• kasr nuqtasini qo'ying;
• Numeratordan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz.

Keling, aralash sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatish uchun barcha kerakli qadamlarni bajargan misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Aralash sonni kasrga aylantiring.

Yechim.

Kasr qismining maxrajida 4 ta nol bor, lekin hisoblagich 2 ta raqamdan iborat 17 raqamini o'z ichiga oladi, shuning uchun raqamning chap tomoniga ikkita nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlar soni soniga teng bo'ladi. maxrajdagi nollar. Buni qilgandan so'ng, hisoblagich 0017 bo'ladi.

Endi biz asl sonning butun qismini, ya'ni 23 raqamini yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz, shundan so'ng biz raqamdan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz, ya'ni 0017 va biz kerakli o'nli kasrni olamiz. kasr 23.0017.

Keling, butun yechimni qisqacha yozamiz: .

Albatta, avval aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ifodalash va keyin uni o'nli kasrga aylantirish mumkin edi. Ushbu yondashuv bilan yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

23,0017 .

Kasrlarni chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlarga aylantirish

Siz nafaqat maxrajlari 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni, balki boshqa maxrajli oddiy kasrlarni ham o'nli kasrga o'tkazishingiz mumkin. Endi biz buni qanday qilishni aniqlaymiz.

Ayrim hollarda dastlabki oddiy kasr 10, yoki 100 yoki 1000, ... maxrajlaridan biriga osonlik bilan qisqartiriladi (oddiy kasrni yangi maxrajga olib kelishga qarang), shundan so‘ng hosil bo‘lgan kasrni ifodalash qiyin emas. o'nlik kasr sifatida. Masalan, 2/5 kasrni maxraji 10 bo'lgan kasrga qisqartirish mumkinligi aniq, buning uchun pay va maxrajni 2 ga ko'paytirish kerak, bu esa 4/10 kasrni beradi. oldingi paragrafda muhokama qilingan qoidalar, osonlik bilan o'nlik kasrga aylantiriladi 0, 4 .

Boshqa hollarda, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning boshqa usulini qo'llashingiz kerak, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun kasrning soni maxrajga bo'linadi, hisoblagich birinchi navbatda o'nli kasrdan keyin istalgan sonli nol bilan teng o'nli kasr bilan almashtiriladi (bu haqda biz teng va bo'limda gaplashdik. teng bo'lmagan o'nli kasrlar). Bunday holda, bo'lish natural sonlar ustuniga bo'linish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi va dividendning butun qismining bo'linishi tugagach, qismda kasr qo'yiladi. Bularning barchasi quyida keltirilgan misollarning echimlaridan aniq bo'ladi.

Misol.

621/4 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

621 numeratoridagi sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatamiz, undan keyin kasr va bir nechta nollarni qo'shamiz. Birinchidan, 2 ta raqamni 0 qo'shamiz, keyinroq, agar kerak bo'lsa, har doim ko'proq nol qo'shishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda 621.00 bor.

Endi 621 000 sonini ustun bilan 4 ga ajratamiz. Dastlabki uchta qadam natural sonlarni ustunga bo'lishdan farq qilmaydi, shundan so'ng biz quyidagi rasmga erishamiz:

Dividenddagi kasr nuqtasiga shunday etib boramiz, qolgan qismi esa noldan farq qiladi. Bunday holda, biz kasrni qismga qo'yamiz va vergullarga e'tibor bermasdan, ustunga bo'linishni davom ettiramiz:

Bu bo'linishni yakunlaydi va natijada biz dastlabki oddiy kasrga mos keladigan 155,25 o'nli kasrni olamiz.

Javob:

155,25 .

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolning yechimini ko'rib chiqing.

Misol.

21/800 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun 21000... o'nlik kasr ustuni bilan 800 ga bo'lamiz. Birinchi qadamdan so'ng, biz qismga kasr nuqtasini qo'yishimiz kerak va keyin bo'linishni davom ettiramiz:

Nihoyat, biz qolgan 0 ni oldik, bu 21/400 oddiy kasrni o'nlik kasrga aylantirishni yakunlaydi va biz 0,02625 o'nlik kasrga keldik.

Javob:

0,02625 .

Numeratorni oddiy kasrning maxrajiga bo'lishda biz hali ham 0 ning qoldig'ini ololmasligimiz mumkin. Bunday hollarda bo'linish cheksiz davom ettirilishi mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlana boshlaydi va qismdagi raqamlar ham takrorlanadi. Bu asl kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilganligini anglatadi. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

Misol.

19/44 kasrni kasr shaklida yozing.

Yechim.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun ustunga bo'linishni bajaring:

Bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlana boshlaganligi allaqachon aniq bo'lib, bo'linishda 1 va 8 raqamlari takrorlanadi. Shunday qilib, dastlabki oddiy kasr 19/44 davriy o'nli kasrga aylantiriladi 0,43181818...=0,43(18).

Javob:

0,43(18) .

Ushbu fikrni yakunlash uchun biz qaysi oddiy kasrlarni chekli o'nli kasrlarga va qaysilarini faqat davriy kasrlarga aylantirish mumkinligini aniqlaymiz.

Oldimizda kamaytirilmaydigan oddiy kasr bo'lsin (agar kasr kamaytiriladigan bo'lsa, avval kasrni kamaytiramiz) va biz uni qaysi o'nli kasrga aylantirish mumkinligini aniqlashimiz kerak - chekli yoki davriy.

Ko'rinib turibdiki, agar oddiy kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, unda hosil bo'lgan kasrni oldingi bandda muhokama qilingan qoidalarga muvofiq osonlik bilan yakuniy o'nli kasrga aylantirish mumkin. Ammo maxrajlarga 10, 100, 1000 va hokazo. Hamma oddiy kasrlar berilmaydi. Faqat maxrajlari 10, 100, ... sonlaridan kamida bittasi bo'lgan kasrlarni bunday maxrajlarga keltirish mumkin va qanday sonlar 10, 100, ... ning bo'luvchisi bo'lishi mumkin? 10, 100, ... raqamlari bu savolga javob berishga imkon beradi va ular quyidagicha: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Bundan kelib chiqadiki, bo'luvchilar 10, 100, 1000 va hokazo. Faqat tub omillarga bo'linishida faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari bo'lgan raqamlar bo'lishi mumkin.

Endi oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin:

• agar maxrajni tub ko'paytmalarga ajratishda faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari mavjud bo'lsa, u holda bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin;
• agar maxrajning kengayishida ikkilik va beshlikdan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, u holda bu kasr cheksiz o'nli davriy kasrga aylanadi.

Misol.

Oddiy kasrlarni o'nli kasrga o'tkazmasdan, ayting-chi, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kasrlarning qaysi biri oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Yechim.

47/20 kasrning maxraji 20=2·2·5 kabi tub ko‘paytmalarga ajratiladi. Bu kengayishda faqat ikkita va beshlik bor, shuning uchun bu kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin (bu misolda 100 maxrajiga), shuning uchun oxirgi kasrga aylantirilishi mumkin. kasr.

7/12 kasrning maxraji 12=2·2·3 bo‘lib tub ko‘paytmalarga ajratiladi. U 2 va 5 dan farqli 3 ning tub koeffitsientini o'z ichiga olganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Fraksiya 21/56 - kontraktil, qisqargandan keyin u 3/8 shaklini oladi. Maxrajni tub ko'rsatkichlarga ko'paytirish 2 ga teng uchta omilni o'z ichiga oladi, shuning uchun oddiy kasr 3/8 va shuning uchun teng kasr 21/56 yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Nihoyat, 31/17 kasr maxrajining kengayishi 17 ning o'zi, shuning uchun bu kasrni cheklangan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi, lekin cheksiz davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Javob:

47/20 va 21/56 sonli o'nli kasrga aylantirilishi mumkin, lekin 7/12 va 31/17 faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrlar cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga aylanmaydi

Oldingi paragrafdagi ma’lumotlar “Kasrning sonini maxrajga bo‘lish natijasida cheksiz davriy bo‘lmagan kasr hosil bo‘lishi mumkinmi?” degan savol tug‘iladi.

Javob: yo'q. Oddiy kasrni o'zgartirganda, natija chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr bo'lishi mumkin. Keling, nima uchun bunday ekanligini tushuntirib beraylik.

Qoldiqqa boʻlinish teoremasidan maʼlum boʻladiki, qoldiq har doim boʻluvchidan kichik boʻladi, yaʼni baʼzi bir butun sonni q butun soniga boʻlsak, qolgan 0, 1, 2 sonlaridan faqat bittasi boʻlishi mumkin. , ..., q−1. Bundan kelib chiqadiki, ustun oddiy kasr hisobining butun qismini q maxrajiga bo'lishni tugatgandan so'ng, q dan ortiq bo'lmagan bosqichda quyidagi ikkita holatdan biri yuzaga keladi:

• yoki biz 0 ning qoldig'ini olamiz, bu bo'linishni tugatadi va biz oxirgi o'nli kasrni olamiz;
• yoki biz ilgari paydo bo'lgan qoldiqni olamiz, shundan so'ng qolganlar oldingi misoldagi kabi takrorlana boshlaydi (chunki teng sonlarni q ga bo'lishda yuqorida aytib o'tilgan bo'linish teoremasidan kelib chiqadigan teng qoldiqlar olinadi), bu cheksiz davriy kasrga olib keladi.

Boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas, shuning uchun oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazishda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrni olish mumkin emas.

Ushbu bandda keltirilgan mulohazalardan, shuningdek, o'nli kasr davrining uzunligi har doim mos keladigan oddiy kasrning maxraji qiymatidan kichik ekanligi kelib chiqadi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirishni aniqlaymiz. Yakuniy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishdan boshlaylik. Shundan so'ng, biz cheksiz davriy o'nli kasrlarni invertatsiya qilish usulini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib aytganda, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning mumkin emasligi haqida gapiraylik.

Keyingi o‘nli kasrlarni kasrga o‘tkazish

Yakuniy kasr sifatida yozilgan kasrni olish juda oddiy. Yakuniy kasrni oddiy kasrga aylantirish qoidasi uch bosqichdan iborat:

• birinchidan, agar mavjud bo'lsa, o'nli kasrni va chapdagi barcha nollarni olib tashlagan holda, berilgan o'nli kasrni hisoblagichga yozing;
• ikkinchidan, maxrajga bittadan yozing va asl kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
• uchinchidan, agar kerak bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollarning yechimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

3.025 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Agar dastlabki o'nlik kasrdan kasrni olib tashlasak, biz 3025 raqamini olamiz. Chap tomonda biz bekor qiladigan nol yo'q. Shunday qilib, biz kerakli kasrning soniga 3025 yozamiz.

Biz maxrajga 1 raqamini yozamiz va uning o'ng tomoniga 3 ta nol qo'shamiz, chunki asl o'nli kasrda kasrdan keyin 3 ta raqam mavjud.

Shunday qilib, biz 3,025/1,000 oddiy kasrni oldik. Bu kasrni 25 ga kamaytirish mumkin, biz olamiz .

Javob:

.

Misol.

0,0017 o'nli kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

O'nli kasrsiz asl kasr 00017 ga o'xshaydi, chapdagi nollarni tashlab, biz kerakli oddiy kasrning hisobi bo'lgan 17 raqamini olamiz.

Biz maxrajda to'rt nol bilan bittasini yozamiz, chunki asl o'nli kasrda kasrdan keyin 4 ta raqam mavjud.

Natijada, bizda 17/10 000 oddiy kasr bor. Bu kasr kamaytirilmaydi va o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish tugallangan.

Javob:

.

Dastlabki yakuniy o'nli kasrning butun qismi nolga teng bo'lsa, uni oddiy kasrni chetlab o'tib, darhol aralash raqamga aylantirish mumkin. beraylik yakuniy kasrni aralash songa aylantirish qoidasi:

• kasrdan oldingi raqam kerakli aralash sonning butun qismi sifatida yozilishi kerak;
• kasr qismining numeratorida chapdagi barcha nollarni tashlaganingizdan so'ng, asl o'nlik kasrning kasr qismidan olingan raqamni yozishingiz kerak;
• kasr qismining maxrajiga 1 raqamini yozish kerak, unga o'ngga dastlabki o'nli kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
• agar kerak bo'lsa, olingan aralash sonning kasr qismini kamaytiring.

O'nli kasrni aralash songa o'tkazish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

152.06005 o'nli kasrni aralash son sifatida ifodalang

Eng boshida, siz hali ham kasr nima ekanligini va u qanday turlarda ekanligini bilib olishingiz kerak. Va uchta tur mavjud. Va ularning birinchisi oddiy kasr, masalan, ½, 3/7, 3/432 va boshqalar. Bu raqamlarni gorizontal chiziq yordamida ham yozish mumkin. Birinchisi ham, ikkinchisi ham bir xil darajada to'g'ri bo'ladi. Yuqoridagi raqam son, pastdagi raqam esa maxraj deb ataladi. Hatto bu ikki ismni doimo chalkashtirib yuboradigan odamlar uchun bir gap bor. Bu shunday bo'ladi: “Zzzzz esingizdami! Zzzz maxraji - downzzzz! " Bu sizni chalkashmaslikka yordam beradi. Oddiy kasr - bu bir-biriga bo'linadigan ikkita raqam. Ulardagi chiziq bo'linish belgisini bildiradi. Uni yo'g'on ichak bilan almashtirish mumkin. Agar savol "kasrni raqamga qanday aylantirish kerak" bo'lsa, unda bu juda oddiy. Siz faqat hisoblagichni maxrajga bo'lishingiz kerak. Va tamom. Kasr tarjima qilingan.

Kasrning ikkinchi turi kasr deb ataladi. Bu verguldan keyin raqamlar qatori. Masalan, 0,5, 3,5 va boshqalar. Ular o'nlik deb atalgan, chunki kuylangan raqamdan keyin birinchi raqam "o'nlik", ikkinchisi "yuzlik" dan o'n barobar ko'p va hokazo. Va kasrdan oldingi birinchi raqamlar butun sonlar deb ataladi. Misol uchun, 2.4 raqami shunday eshitiladi, o'n ikki nuqta ikki va ikki yuz o'ttiz to'rt mingdan bir. Bunday kasrlar asosan ikkita sonni qoldiqsiz bo'lish ishlamasligi sababli paydo bo'ladi. Aksariyat kasrlar esa raqamlarga aylantirilsa, o'nli kasrlar bilan tugaydi. Misol uchun, bir soniya nol besh nuqtaga teng.

Va oxirgi uchinchi ko'rinish. Bu aralash raqamlar. Bunga misol 2½ sifatida keltirilishi mumkin. Bu ikki butun va bir soniya kabi eshitiladi. O'rta maktabda bu turdagi kasrlar endi qo'llanilmaydi. Ehtimol, ularni oddiy kasr shakliga yoki o'nli shaklga aylantirish kerak bo'ladi. Buni qilish ham xuddi shunday oson. Siz shunchaki butun sonni maxrajga ko'paytirishingiz va natijada olingan belgini raqamga qo'shishingiz kerak. Keling, 2½ misolimizni olaylik. Ikkini ikkiga ko'paytirish to'rtga teng. To'rt ortiqcha bir beshga teng. Va 2½ shaklining bir qismi 5/2 ga hosil bo'ladi. Va besh, ikkiga bo'lingan, o'nlik kasr sifatida olinishi mumkin. 2½=5/2=2,5. Kasrlarni raqamlarga qanday aylantirish allaqachon aniq bo'ldi. Numeratorni maxrajga bo'lish kifoya. Agar raqamlar katta bo'lsa, siz kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Agar u butun sonlarni chiqarmasa va kasrdan keyin juda ko'p sonlar bo'lsa, bu qiymatni yaxlitlash mumkin. Hamma narsa juda sodda tarzda yaxlitlangan. Avval siz qaysi raqamga yaxlitlash kerakligini hal qilishingiz kerak. Bir misolni ko'rib chiqish kerak. Bir kishi nol raqamini nol nuqtasi, to'qqiz ming etti yuz ellik olti o'n mingdan bir qismi yoki 0,6 raqamli qiymatiga yaxlitlashi kerak. Yaxlitlash yuzdan biriga qadar amalga oshirilishi kerak. Bu shuni anglatadiki, hozirda u etti yuzdan birgacha. Kasrdagi yetti raqamdan keyin beshta. Endi yaxlitlash qoidalaridan foydalanishimiz kerak. Beshdan katta raqamlar yaxlitlanadi, beshdan kichik raqamlar esa pastga yaxlitlanadi. Misolda, odamning beshtasi bor, u chegarada, lekin yaxlitlash yuqoriga qarab sodir bo'ladi deb hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, biz ettidan keyin barcha raqamlarni olib tashlaymiz va unga bitta qo'shamiz. Bu 0,8 bo'lib chiqadi.

Vaziyatlar, shuningdek, odam tezda umumiy kasrni raqamga aylantirishi kerak bo'lganda paydo bo'ladi, lekin yaqin atrofda kalkulyator yo'q. Buning uchun ustun bo'linmasidan foydalaning. Birinchi qadam qog'ozga bir-birining yonidagi hisoblagich va maxrajni yozishdir. Ularning orasiga ajratuvchi burchak qo'yilgan, u "T" harfiga o'xshaydi, faqat uning yonida yotadi. Masalan, siz oltidan o'n qismini olishingiz mumkin. Shunday qilib, o'nni oltiga bo'lish kerak. O'ntaga qancha oltita sig'ishi mumkin, faqat bitta. Birlik burchak ostida yozilgan. O'nta oltini ayirish to'rtga teng. To'rtda nechta oltita bo'ladi, bir nechta. Demak, javobda birdan keyin vergul qo‘yiladi va to‘rttasi o‘nga ko‘paytiriladi. Qirq olti oltida. Javobga olti qo'shiladi va qirqdan o'ttiz olti ayiriladi. Bu yana to'rtta bo'lib chiqdi.

Ushbu misolda tsikl paydo bo'ldi, agar siz hamma narsani xuddi shunday qilishda davom etsangiz, siz 1,6 (6) javobini olasiz, olti raqam cheksiz davom etadi, ammo yaxlitlash qoidasini qo'llash orqali siz raqamni 1,7 ga keltirishingiz mumkin. . Qaysi biri ancha qulayroq. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, hamma oddiy kasrlarni ham o'nli kasrlarga aylantirib bo'lmaydi. Ba'zilarida tsikl mavjud. Lekin har qanday o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish mumkin. Bu erda oddiy qoida yordam beradi: qanday eshitilsa, shunday yoziladi. Masalan, 1,5 soni yigirma besh yuzdan bir nuqta sifatida eshitiladi. Shunday qilib, siz uni bir butun, yigirma besh yuzga bo'lingan holda yozishingiz kerak. Bitta butun son yuz, ya'ni oddiy kasr bir yuz yigirma besh marta yuzga (125/100) bo'ladi. Bundan tashqari, hamma narsa oddiy va tushunarli.

Shunday qilib, kasrlar bilan bog'liq bo'lgan eng asosiy qoidalar va o'zgarishlar muhokama qilindi. Ularning barchasi oddiy, lekin siz ularni bilishingiz kerak. Kasrlar, ayniqsa, o'nli kasrlar azaldan kundalik hayotning bir qismi bo'lib kelgan. Bu do'konlardagi narx teglarida aniq ko'rinadi. Har kim dumaloq narxlarni yozmaganiga ko'p vaqt o'tdi, lekin kasrlar bilan narx vizual ravishda ancha arzonroq ko'rinadi. Shuningdek, nazariyalardan birida aytilishicha, insoniyat Rim raqamlaridan yuz o'girib, arab raqamlarini qabul qilgan, chunki Rim raqamlarida kasrlar yo'q edi. Va ko'plab olimlar bu taxminga qo'shiladilar. Axir, kasrlar bilan siz hisob-kitoblarni aniqroq qilishingiz mumkin. Va bizning kosmik texnologiyalar asrimizda hisob-kitoblarning aniqligi har qachongidan ham ko'proq talab qilinadi. Shunday qilib, matematika maktabida kasrlarni o'rganish ko'plab fanlar va texnologik yutuqlarni tushunish uchun juda muhimdir.

O'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish oddiy mavzu bo'lib tuyuladi, lekin ko'p talabalar buni tushunishmaydi! Shuning uchun, bugun biz bir vaqtning o'zida bir nechta algoritmlarni batafsil ko'rib chiqamiz, ularning yordami bilan siz bir soniya ichida har qanday kasrlarni tushunasiz.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, bir xil kasrni yozishning kamida ikkita shakli mavjud: oddiy va o'nlik. O'nlik kasrlar - 0,75 ko'rinishdagi barcha turdagi konstruktsiyalar; 1,33; va hatto -7,41. Mana bir xil raqamlarni ifodalovchi oddiy kasrlarga misollar:

Keling, buni aniqlaymiz: o'nli belgidan oddiy belgilarga qanday o'tish mumkin? Va eng muhimi: buni iloji boricha tezroq qanday qilish kerak?

Asosiy algoritm

Aslida, kamida ikkita algoritm mavjud. Va hozir ikkalasini ham ko'rib chiqamiz. Birinchisidan boshlaylik - eng oddiy va tushunarli.

O'nli kasrni kasrga aylantirish uchun siz uchta qadamni bajarishingiz kerak:

Salbiy raqamlar haqida muhim eslatma. Agar asl misolda o'nli kasr oldida minus belgisi bo'lsa, chiqishda oddiy kasr oldida ham minus belgisi bo'lishi kerak. Mana yana bir qancha misollar:

Kasrlarning o'nlik belgilaridan oddiylarga o'tishga misollar

Men oxirgi misolga alohida e'tibor qaratmoqchiman. Ko'rib turganingizdek, kasr 0,0025 o'nli kasrdan keyin juda ko'p nollarni o'z ichiga oladi. Shu sababli, siz hisoblagich va maxrajni 10 ga to'rt marta ko'paytirishingiz kerak, bu holda algoritmni qandaydir soddalashtirish mumkinmi?

Albatta mumkin. Va endi biz muqobil algoritmni ko'rib chiqamiz - buni tushunish biroz qiyinroq, ammo biroz mashqdan so'ng u standartga qaraganda tezroq ishlaydi.

Tezroq yo'l

Bu algoritm ham 3 bosqichdan iborat. O'nli kasrdan kasr olish uchun quyidagilarni bajaring:

1. Kasrdan keyin nechta raqam borligini hisoblang. Masalan, 1,75 kasrda ikkita shunday raqam bor, 0,0025 esa to'rtta. Bu miqdorni $n$ harfi bilan belgilaymiz.
2. Asl raqamni $\frac(a)(((10)^(n)))$ koʻrinishidagi kasr shaklida qayta yozing, bunda $a$ asl kasrning barcha raqamlari (“boshlovchi” nollarsiz). chap, agar mavjud bo'lsa) va $n$ birinchi bosqichda biz hisoblagan kasrdan keyingi bir xil raqamlar soni. Boshqacha qilib aytganda, siz asl kasrning raqamlarini bittadan keyin $n $ nolga bo'lishingiz kerak.
3. Iloji bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytiring.

Ana xolos! Bir qarashda, bu sxema avvalgisiga qaraganda ancha murakkab. Lekin aslida bu ham oddiy, ham tezroq. O'zingiz uchun hukm qiling:

Ko'rib turganingizdek, 0,64 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam - 6 va 4. Shuning uchun $n=2$. Agar chap tomondagi vergul va nollarni olib tashlasak (bu holda faqat bitta nol), biz 64 raqamini olamiz. Ikkinchi bosqichga o'tamiz: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Demak, maxraj aynan yuzga teng. Xo'sh, qolgan narsa raqam va maxrajni kamaytirishdir.

Yana bir misol:

Bu erda hamma narsa biroz murakkabroq. Birinchidan, kasrdan keyin allaqachon 3 ta raqam bor, ya'ni. $n=3$, shuning uchun siz $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$ ga boʻlishingiz kerak. Ikkinchidan, agar biz kasr belgisidan vergulni olib tashlasak, biz buni olamiz: 0,004 → 0004. Chapdagi nollarni olib tashlash kerakligini unutmang, shuning uchun aslida bizda 4 raqami bor. Keyin hamma narsa oddiy: bo'linish, kamaytirish va olish javob.

Va nihoyat, oxirgi misol:

Bu kasrning o'ziga xos xususiyati butun qismning mavjudligi. Shuning uchun biz olgan mahsulot 47/25 ning noto'g'ri qismidir. Albatta, siz 47 ni qoldiq bilan 25 ga bo'lishga harakat qilishingiz mumkin va shu bilan yana butun qismni ajratib olishingiz mumkin. Ammo, agar buni o'zgartirish bosqichida qilish mumkin bo'lsa, nega hayotingizni murakkablashtirasiz? Keling, buni aniqlaylik.

Butun qism bilan nima qilish kerak

Aslida, hamma narsa juda oddiy: agar biz to'g'ri kasrni olishni istasak, unda transformatsiya paytida biz undan butun qismni olib tashlashimiz kerak va natijani olganimizdan so'ng, uni kasr chizig'idan oldin o'ng tomonga yana qo'shishimiz kerak. .

Misol uchun, bir xil raqamni ko'rib chiqing: 1,88. Keling, bittadan (butun qism) ball olamiz va 0,88 kasrga qaraymiz. Uni osongina aylantirish mumkin:

Keyin biz "yo'qolgan" birlik haqida eslaymiz va uni old tomonga qo'shamiz:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

Ana xolos! Javob oxirgi marta butun qismni tanlagandan keyin bir xil bo'lib chiqdi. Yana bir nechta misol:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\dan 0,8gacha=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\13\frac(4)(5). \\\end(tekislash)\]

Bu matematikaning go'zalligi: qaysi yo'ldan bormang, agar barcha hisob-kitoblar to'g'ri bajarilgan bo'lsa, javob har doim bir xil bo'ladi :)

Xulosa qilib aytganda, ko'pchilikka yordam beradigan yana bir texnikani ko'rib chiqmoqchiman.

Quloq orqali o'zgarishlar

Keling, o'nli kasr nima ekanligini o'ylab ko'raylik. Aniqrog'i, biz uni qanday o'qiymiz. Masalan, 0,64 raqami - biz uni "nol nuqta 64 yuzdan bir" deb o'qiymiz, to'g'rimi? Xo'sh, yoki shunchaki "64 yuzinchi". Bu erda kalit so'z "yuzdan bir", ya'ni. 100 raqami.

0,004 haqida nima deyish mumkin? Bu "nol nuqta 4 mingdan" yoki oddiygina "to'rt mingdan". Qanday bo'lmasin, kalit so'z "minglab", ya'ni. 1000.

Xo'sh, nima katta ish? Va haqiqat shundaki, aynan mana shu raqamlar algoritmning ikkinchi bosqichida denominatorlarda "ochiladi". Bular. 0,004 "to'rt mingdan" yoki "4 1000 ga bo'lingan":

O'zingizni mashq qilishga harakat qiling - bu juda oddiy. Asosiysi, asl kasrni to'g'ri o'qish. Misol uchun, 2,5 "2 butun, 5 o'ndan", shuning uchun

Va ba'zi 1,125 "1 butun, 125 mingdan bir", shuning uchun

Oxirgi misolda, albatta, kimdir 1000 ning 125 ga bo'linishi har bir talaba uchun aniq emasligiga e'tiroz bildiradi. Lekin bu erda 1000 = 10 3 va 10 = 2 ∙ 5 ekanligini yodda tutish kerak.

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Shunday qilib, o'nning har qanday kuchi faqat 2 va 5 omillarga bo'linadi - oxir-oqibat hamma narsa kamayishi uchun hisoblagichda aynan shu omillarni izlash kerak.

Bu darsni yakunlaydi. Keling, murakkabroq teskari operatsiyaga o'tamiz - qarang "