Bir tekis tezlashtirilgan harakatning analitik tavsifi. Bir tekis tezlashtirilgan harakat bilan harakatlanish formulasini chiqarish. Traektoriya
Biz uchun eng muhimi jismning siljishini hisoblay bilishdir, chunki siljishni bilgan holda biz jismning koordinatalarini ham topishimiz mumkin va bu mexanikaning asosiy vazifasidir. Siqilishni qanday hisoblash mumkin bir tekis tezlashtirilgan harakat?
Agar siz grafik usuldan foydalansangiz, joy almashishni aniqlash formulasini olish eng osondir.
9-§da biz to'g'ri chiziqli bir tekis harakat bilan tananing siljishi tezlik grafigi ostida joylashgan raqam (to'rtburchak) maydoniga teng ekanligini ko'rdik. Bu bir tekis tezlashtirilgan harakat uchun to'g'rimi?
Tananing X koordinata o'qi bo'ylab bir tekis tezlashtirilgan harakati bilan tezlik vaqt o'tishi bilan doimiy bo'lib qolmaydi, lekin vaqt o'tishi bilan formulalar bo'yicha o'zgaradi:
Shuning uchun tezlik grafiklari 40-rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. Bu rasmdagi 1-qator "ijobiy" tezlanish bilan harakatga mos keladi (tezlik ortadi), 2-qator "salbiy" tezlanish (tezlik pasayadi) bilan harakatga mos keladi. Ikkala grafik ham tanada tezlikka ega bo'lgan holatga ishora qiladi
Biz bir xil tezlashtirilgan harakat tezligining grafigida kichik kesimni tanlaymiz (41-rasm) va nuqtalardan pastroq a nuqtalari va o'qga perpendikulyarlar O'qdagi segmentning uzunligi soni bo'yicha kichik vaqt oralig'iga teng bo'lib, bu vaqt davomida tezlik sodir bo'ladi. a nuqtadagi qiymatidan uning qiymatiga o'zgardi Bo'lim ostida grafik tor chiziq bo'lib chiqdi
Agar segmentga son jihatdan teng vaqt oralig'i etarlicha kichik bo'lsa, bu vaqt ichida tezlikning o'zgarishi ham kichik bo'ladi. Ushbu davrdagi harakatni bir xil deb hisoblash mumkin va chiziq to'rtburchakdan ozgina farq qiladi. Shunday qilib, chiziqning maydoni segmentga to'g'ri keladigan vaqt ichida tananing siljishiga son jihatdan tengdir.
Ammo tezlik grafigi ostida joylashgan rasmning butun maydonini shunday tor chiziqlarga bo'lish mumkin. Binobarin, hamma vaqt uchun siljish son jihatdan trapetsiyaning maydoniga teng.Trapezoidning maydoni, geometriyadan ma'lumki, uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng. Bizda trapetsiya asoslaridan birining uzunligi ikkinchisining uzunligiga son jihatdan teng - V. Uning balandligi son jihatdan teng.Bundan kelib chiqadiki, siljish quyidagicha:
Bu formulaga (1a) ifodani almashtiramiz, keyin
Hududni sonni maxrajga ajratsak, biz quyidagilarni olamiz:
(16) ifodani (2) formulaga almashtirib, biz hosil bo'lamiz (42-rasmga qarang):
Tezlanish vektori koordinata o'qi bilan bir yo'nalishda yo'naltirilganda formula (2a) va tezlanish vektorining yo'nalishi bu o'qning yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lganda (26) formuladan foydalaniladi.
Agar boshlang'ich tezlik nolga teng bo'lsa (43-rasm) va tezlanish vektori koordinata o'qi bo'ylab yo'naltirilgan bo'lsa, u holda (2a) formuladan shunday chiqadi:
Agar tezlanish vektorining yo‘nalishi koordinata o‘qi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘lsa, (26) formuladan shunday xulosa chiqadi:
(bu erda "-" belgisi ko'chirish vektori, shuningdek, tezlanish vektori tanlangan koordinata o'qiga qarama-qarshi yo'naltirilganligini bildiradi).
Eslatib o'tamiz, (2a) va (26) formulalarda miqdorlar ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin - bu vektorlarning proektsiyalari va
Endi biz siljishni hisoblash formulalarini oldik, biz uchun tananing koordinatalarini hisoblash formulasini olish oson. Biz koʻrdik (8-§ ga qarang) vaqtning qaysidir nuqtasida tananing koordinatasini topish uchun dastlabki koordinataga tananing koordinata oʻqiga siljish vektorining proyeksiyasini qoʻshish zarur:
(uchun) agar tezlanish vektori koordinata o'qi bilan bir yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa va
agar tezlanish vektorining yo'nalishi koordinata o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa.
Bu to'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakatda istalgan vaqtda tananing o'rnini topishga imkon beruvchi formulalardir. Buning uchun tananing dastlabki koordinatasini, uning boshlang'ich tezligini va tezlanishini bilish kerak a.
Vazifa 1. 72 km/soat tezlikda harakatlanayotgan avtomobil haydovchisi svetoforning qizil chirog'ini ko'rib, tormozni bosdi. Shundan so'ng mashina tezlasha boshlagan holda sekinlasha boshladi
Tormozlash boshlangandan keyin avtomobil qancha soniya vaqt bosib o'tgan? Avtomobil to'liq to'xtab qolguncha qancha masofani bosib o'tadi?
Qaror. Koordinatalarning kelib chiqishi uchun biz mashina sekinlasha boshlagan yo'lning nuqtasini tanlaymiz. Keling, koordinata o'qini avtomobil harakati yo'nalishi bo'yicha yo'naltiramiz (44-rasm) va vaqt ko'rsatkichini haydovchi tormozni bosgan momentga murojaat qilaylik. Avtomobilning tezligi X o'qi bilan bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan va avtomobilning tezlashishi bu o'qning yo'nalishiga qarama-qarshidir. Demak, X o'qi bo'yicha tezlik proyeksiyasi musbat, tezlanish proyeksiyasi esa manfiy, avtomobil koordinatasini formula (36) yordamida topish kerak:
Ushbu formulada qiymatlarni almashtirish
Keling, mashina to'liq to'xtab qolguncha qancha masofani bosib o'tishini bilib olaylik. Buning uchun biz harakat vaqtini bilishimiz kerak. Buni formuladan foydalanib topish mumkin
Mashina to'xtagan paytdan boshlab uning tezligi nolga teng
Mashinaning to'liq to'xtashgacha boradigan masofasi avtomobilning o'sha paytdagi koordinatasiga teng
2-topshiriq. Jismning siljishini aniqlang, uning tezligi grafigi 45-rasmda ko'rsatilgan.Jismning tezlanishi a.
Qaror. Avvaliga tananing tezligi moduli vaqt o'tishi bilan pasayganligi sababli, tezlanish vektori yo'nalishga qarama-qarshi yo'naltiriladi. Siqilishni hisoblash uchun formuladan foydalanishimiz mumkin
Grafikdan ko'rinib turibdiki, harakat vaqti shuning uchun:
Olingan javob shuni ko'rsatadiki, 45-rasmda ko'rsatilgan grafik birinchi navbatda tananing bir yo'nalishdagi harakatiga, keyin esa teskari yo'nalishda bir xil masofaga to'g'ri keladi, buning natijasida tananing boshlang'ich nuqtasida bo'ladi. Bunday grafik, masalan, vertikal yuqoriga tashlangan jismning harakatiga ishora qilishi mumkin.
Masala 3. Jism a bir xil tezlanish bilan to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi. Tananing ketma-ket ikkita teng vaqt oralig'ida bosib o'tgan masofalaridagi farqni toping, ya'ni.
Qaror. Jismning X o'qi bo'ylab harakatlanadigan to'g'ri chiziqni olaylik.Agar A nuqtada (46-rasm) jismning tezligi teng bo'lgan bo'lsa, uning vaqtdagi harakati teng bo'ladi:
B nuqtasida tananing tezligi bor edi va uning keyingi vaqt oralig'ida siljishi:
2. 47-rasmda uchta jismning harakat tezligining grafiklari keltirilgan? Bu jismlar harakatining tabiati qanday? A va B nuqtalarga mos keladigan vaqt momentlarida jismlarning tezliklari haqida nima deyish mumkin? Tezlanishlarni aniqlang va bu jismlarning harakat tenglamalarini (tezlik va siljish formulalarini) yozing.
3. 48-rasmda keltirilgan uchta jismning tezliklarining grafiklaridan foydalanib, quyidagi vazifalarni bajaring: a) bu jismlarning tezlanishlarini aniqlang; b) uchun tuzing
Har bir jismning tezlikning vaqtga bog'liqligi formulasi: c) 2 va 3 grafiklarga mos keladigan harakatlar qanday o'xshash va ular qanday farq qiladi?
4. 49-rasmda uchta jismning harakat tezligining grafiklari keltirilgan. Ushbu grafiklarga ko'ra: a) koordinata o'qlarida OA, OB va OS segmentlari nimaga mos kelishini aniqlang; 6) jismlar harakat qiladigan tezlanishlarni toping: v) har bir jism uchun harakat tenglamalarini yozing.
5. Ko‘tarilish vaqtida samolyot uchish-qo‘nish yo‘lagidan 15 soniyada o‘tadi va qo‘nish joyidan ko‘tarilish vaqtida 100 m/s tezlikka ega. Samolyot qanchalik tez harakatlanardi va uchish-qo'nish yo'lagi qancha uzun edi?
6. Mashina svetoforda to'xtadi. Yashil signal yongandan so'ng, u tezlanish bilan harakat qila boshlaydi va tezligi 16 m / s ga teng bo'lguncha shunday harakat qiladi, shundan so'ng u doimiy tezlikda harakat qilishni davom ettiradi. Yashil signal paydo bo'lgandan keyin 15 soniyadan keyin mashina svetofordan qancha masofada bo'ladi?
7. Tezligi 1000 m/s bo'lgan snaryad 10 daqiqada qazilma devorini yorib o'tadi va keyin 200 m/s tezlikka ega. Devor qalinligida snaryadning harakatini bir xilda tezlashishini hisobga olib, devor qalinligini toping.
8. Raketa tezlanish bilan harakat qiladi va ma'lum bir vaqt oralig'ida 900 m/sek tezlikka etadi. Keyingi yo'lda u qaysi yo'ldan boradi
9. Yerdan qanchalik uzoqda bo'lardi kosmik kema Boshlang'ichdan 30 daqiqa o'tgach, agar u doimo tezlashuv bilan to'g'ri oldinga harakat qilsa
Yagona harakat- bu doimiy tezlikda harakat, ya'ni tezlik o'zgarmaganida (v \u003d const) va tezlashuv yoki sekinlashuv bo'lmasa (a \u003d 0).
To'g'ri chiziqli harakat to'g'ri chiziqdagi harakat, ya'ni traektoriyadir to'g'ri chiziqli harakat to'g'ri chiziqdir.
tana har qanday teng vaqt oralig'ida bir xil harakatlarni amalga oshiradigan harakatdir. Misol uchun, agar biz bir soniya vaqt oralig'ini bir soniya segmentlariga ajratsak, u holda bir xil harakat bilan tana bu vaqt segmentlarining har biri uchun bir xil masofani bosib o'tadi.
Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligi vaqtga bog'liq emas va traektoriyaning har bir nuqtasida tananing harakati kabi yo'naltiriladi. Ya'ni, siljish vektori tezlik vektori bilan yo'nalish bo'yicha mos keladi. Qayerda o'rtacha tezlik har qanday vaqt oralig'i oniy tezlikka teng:
Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat tezligi jismning har qanday vaqt oralig'idagi siljishining ushbu t oraliq qiymatiga nisbatiga teng bo'lgan fizik vektor miqdori:
V(vektor) = s(vektor) / t
Shunday qilib, bir xil to'g'ri chiziqli harakat tezligi moddiy nuqta vaqt birligida qanday harakat qilishini ko'rsatadi.
harakatlanuvchi bir tekis to'g'ri chiziqli harakat quyidagi formula bilan aniqlanadi:
s(vektor) = V(vektor) t
Bosib o'tgan masofa to'g'ri chiziqli harakatda siljish moduliga teng. Agar OX oʻqining musbat yoʻnalishi harakat yoʻnalishiga toʻgʻri kelsa, u holda tezlikning OX oʻqidagi proyeksiyasi tezlikka teng va musbat boʻladi:
v x = v, ya'ni v > 0
OX o'qiga siljish proyeksiyasi quyidagilarga teng:
s \u003d vt \u003d x - x 0
bu erda x 0 - tananing boshlang'ich koordinatasi, x - tananing yakuniy koordinatasi (yoki istalgan vaqtda tananing koordinatasi)
Harakat tenglamasi, ya'ni tana koordinatasining x = x(t) vaqtga bog'liqligi quyidagi ko'rinishni oladi:
Agar OX oʻqining musbat yoʻnalishi jismning harakat yoʻnalishiga qarama-qarshi boʻlsa, u holda OX oʻqi boʻyicha tana tezligining proyeksiyasi manfiy, tezlik noldan kichik (v).< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Teng o'zgaruvchan harakat.
Bir tekis to'g'ri chiziqli harakat Bu bir xil bo'lmagan harakatning alohida holati.
Noto'g'ri harakat- bu jism (moddiy nuqta) teng vaqt oralig'ida teng bo'lmagan harakatlarni amalga oshiradigan harakatdir. Masalan, shahar avtobusi notekis harakatlanadi, chunki uning harakati asosan tezlanish va sekinlashuvdan iborat.
Teng o'zgaruvchan harakat- bu jismning tezligi (moddiy nuqta) har qanday teng vaqt oralig'ida bir xil tarzda o'zgarib turadigan harakatdir.
Jismning bir tekis harakatdagi tezlashishi kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi (a = const).
Yagona harakat bir xilda tezlashtirilishi yoki bir tekis sekinlashishi mumkin.
Bir tekis tezlashtirilgan harakat- bu jismning (moddiy nuqtaning) ijobiy tezlanish bilan harakati, ya'ni bunday harakat bilan tana doimiy tezlanish bilan tezlashadi. Bir tekis tezlashtirilgan harakatda tananing tezligi moduli vaqt o'tishi bilan ortadi, tezlanish yo'nalishi harakat tezligining yo'nalishi bilan mos keladi.
Bir tekis sekin harakat- bu manfiy tezlanish bilan jismning (moddiy nuqta) harakati, ya'ni bunday harakat bilan tana bir xilda sekinlashadi. Bir tekis sekin harakatda tezlik va tezlanish vektorlari qarama-qarshi bo'lib, vaqt o'tishi bilan tezlik moduli kamayadi.
Mexanikada har qanday to'g'ri chiziqli harakat tezlashtirilgan, shuning uchun sekin harakat tezlashtirilgan harakatdan faqat tezlanish vektorining koordinata tizimining tanlangan o'qiga proyeksiyasi belgisi bilan farq qiladi.
O'zgaruvchan harakatning o'rtacha tezligi jismning harakatini shu harakat amalga oshirilgan vaqtga bo'lish yo'li bilan aniqlanadi. O'rtacha tezlikning birligi m/s.
Tezlik ichida tananing tezligi (moddiy nuqta). bu daqiqa vaqt yoki traektoriyaning ma'lum bir nuqtasida, ya'ni Dt vaqt oralig'ida cheksiz pasayish bilan o'rtacha tezlik tendentsiyasi chegarasi:
V=lim(^t-0) ^s/^t
Bir lahzali tezlik vektori bir tekis harakatni vaqtga nisbatan siljish vektorining birinchi hosilasi sifatida topish mumkin:
V(vektor) = s'(vektor)
Tezlik vektor proyeksiyasi OX o'qi bo'yicha:
bu koordinataning vaqtga nisbatan hosilasidir (tezlik vektorining boshqa koordinata o'qlariga proyeksiyalari ham xuddi shunday olinadi).
Tezlashtirish- bu tananing tezligining o'zgarish tezligini aniqlaydigan qiymat, ya'ni Dt vaqt oralig'ida cheksiz pasayish bilan tezlikning o'zgarishi tendentsiyasi chegarasi:
a(vektor) = lim(t-0) ^v(vektor)/^t
Bir tekis harakatning tezlanish vektori tezlik vektorining vaqtga nisbatan birinchi hosilasi sifatida yoki vaqtga nisbatan siljish vektorining ikkinchi hosilasi sifatida topish mumkin:
a(vektor) = v(vektor)" = s(vektor)"
0 tananing vaqtning boshlang'ich momentidagi tezligi (boshlang'ich tezlik), tananing ma'lum vaqt momentidagi tezligi (yakuniy tezlik) ekanligini hisobga olsak, t - tezlik o'zgarishi sodir bo'lgan vaqt oralig'i, tezlanish formulasi quyidagicha bo'ladi:
a(vektor) = v(vektor)-v0(vektor)/t
Bu yerdan yagona tezlik formulasi istalgan vaqtda:
v(vektor) = v 0 (vektor) + a(vektor)t
Agar tana to'g'ri chiziqli Dekart koordinata tizimining OX o'qi bo'ylab tananing traektoriyasiga to'g'ri keladigan yo'nalishda to'g'ri chiziqli harakat qilsa, tezlik vektorining ushbu o'qga proyeksiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
v x = v 0x ± a x t
Tezlanish vektorining proyeksiyasi oldidagi "-" (minus) belgisi bir tekis sekin harakatga ishora qiladi. Tezlik vektorining boshqa koordinata o'qlariga proyeksiyalari tenglamalari ham xuddi shunday yoziladi.
Tezlanish bir tekis o'zgaruvchan harakat bilan doimiy (a \u003d const) bo'lgani uchun, tezlanish grafigi 0t o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir (vaqt o'qi, 1.15-rasm).
Guruch. 1.15. Tananing tezlashuvining vaqtga bog'liqligi.
Vaqtga nisbatan tezlik chiziqli funktsiya bo'lib, uning grafigi to'g'ri chiziqdir (1.16-rasm).
Guruch. 1.16. Tana tezligining vaqtga bog'liqligi.
Tezlik va vaqt grafigi(1.16-rasm) shuni ko'rsatadi
Bunday holda, siljish son jihatdan 0abc rasmining maydoniga teng (1.16-rasm).
Trapetsiyaning maydoni uning asoslari uzunligi yig'indisining yarmiga teng. 0abc trapesiyaning asoslari son jihatdan teng:
Trapetsiyaning balandligi t ga teng. Shunday qilib, trapezoidning maydoni va demak, OX o'qiga siljish proyeksiyasi quyidagilarga teng:
Bir tekis sekin harakatda tezlanish proyeksiyasi manfiy bo'lib, siljish proyeksiyasi formulasida tezlanish oldiga “–” (minus) belgisi qo'yiladi.
Siqilish proyeksiyasini aniqlashning umumiy formulasi:
Har xil tezlanishlarda tananing tezligining vaqtga bog'liqligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.17. v0 = 0 da siljishning vaqtga bog'liqligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.18.
Guruch. 1.17. Tana tezligining vaqtga bog'liqligi turli ma'nolar tezlashuv.
Guruch. 1.18. Tananing siljishining vaqtga bog'liqligi.
Ma'lum bir vaqtda t 1 jismning tezligi grafikdagi tangens va vaqt o'qi v \u003d tg a o'rtasidagi moyillik burchagi tangensiga teng va harakat formula bilan aniqlanadi:
Agar tananing harakat vaqti noma'lum bo'lsa, siz ikkita tenglama tizimini yechish orqali boshqa siljish formulasidan foydalanishingiz mumkin:
Kvadratchalar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasi siljish proyeksiyasi formulasini chiqarishga yordam beradi:
Jismning har qanday vaqt momentidagi koordinatasi boshlang'ich koordinata va siljish proyeksiyasining yig'indisi bilan aniqlanganligi sababli, u holda tana harakati tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:
X(t) koordinatasining grafigi ham paraboladir (koʻchish grafigi kabi), lekin parabola choʻqqisi odatda koordinata boshiga toʻgʻri kelmaydi. X uchun< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
To'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi va istalgan vaqt oralig'ida bir xil tezlashtirilgan jismning siljish vektorining proyeksiyasini hisoblash uchun qo'llanilishi mumkin bo'lgan formulani keltiramiz. Buning uchun 14-rasmga murojaat qilamiz.14-rasmning a-rasmida ham, 14-b-shaklda ham AC segmenti doimiy tezlanish a (dastlabki tezlikda) bilan harakatlanayotgan jismning tezlik vektori proyeksiyasining grafigi. v 0).
Guruch. 14. To'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi va bir tekis tezlangan jismning siljish vektorining proyeksiyasi son jihatdan grafik ostidagi S maydonga teng.
Eslatib o'tamiz, tananing to'g'ri chiziqli bir tekis harakati bilan, bu jism tomonidan amalga oshirilgan siljish vektorining proyeksiyasi tezlik vektori proyeksiya grafigi ostida o'ralgan to'rtburchakning maydoni bilan bir xil formula bilan aniqlanadi (6-rasmga qarang). Shuning uchun siljish vektorining proyeksiyasi son jihatdan ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.
To'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakatda, siljish vektorining s x proyeksiyasini AC grafigi, Ot o'qi va OA va BC segmentlari o'rtasida joylashgan rasmning maydoni bilan bir xil formula bilan aniqlash mumkinligini isbotlaylik. , ya'ni, bu holda, siljish vektorining proyeksiyasi tezlik grafigi ostidagi raqamning maydoniga sonli tengdir. Buning uchun Ot o'qida (14-rasm, a ga qarang) biz kichik vaqt oralig'ini db tanlaymiz. d va b nuqtalardan Ot o'qiga perpendikulyarlarni a va c nuqtalarda tezlik vektori proyeksiya grafigi bilan kesishguncha o'tkazamiz.
Shunday qilib, db segmentiga mos keladigan vaqt oralig'ida tananing tezligi v ax dan v cx gacha o'zgaradi.
Etarlicha qisqa vaqt oralig'ida tezlik vektorining proyeksiyasi juda oz o'zgaradi. Shuning uchun tananing bu vaqt oralig'idagi harakati bir xillikdan, ya'ni doimiy tezlikda harakat qilishdan kam farq qiladi.
Trapezoid bo'lgan OASV figurasining butun maydonini bunday chiziqlarga bo'lish mumkin. Shuning uchun OB segmentiga mos keladigan vaqt oralig'i uchun siljish vektorining sx proyeksiyasi son jihatdan OASV trapesiyaning S maydoniga teng va shu maydon bilan bir xil formula bilan aniqlanadi.
Qoidaga ko'ra maktab kurslari geometriya, trapezoidning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng. Shakl 14, b OASV trapesiyaning asoslari OA = v 0x va BC = v x segmentlari, balandligi esa OB = t segmenti ekanligini ko'rsatadi. Demak,
v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x bo'lgani uchun, biz yozishimiz mumkin:
Shunday qilib, biz bir tekis tezlashtirilgan harakat paytida siljish vektorining proyeksiyasini hisoblash formulasini oldik.
Xuddi shu formuladan foydalanib, jism kamayuvchi tezlik moduli bilan harakat qilganda, siljish vektorining proyeksiyasi ham hisoblanadi, faqat bu holda tezlik va tezlanish vektorlari qarama-qarshi yo'nalishlarga yo'naltiriladi, shuning uchun ularning proyeksiyalari turli xil belgilarga ega bo'ladi.
Savollar
- 14, a-rasmdan foydalanib, bir tekis tezlashtirilgan harakat paytida siljish vektorining proyeksiyasi son jihatdan OASV figurasining maydoniga teng ekanligini isbotlang.
- Jismning to'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakati davomida siljish vektorining proyeksiyasini aniqlash uchun tenglamani yozing.
7-mashq
To‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanuvchi va istalgan vaqt oralig‘ida bir tekis tezlangan jismning siljish vektorining proyeksiyasini topish formulasini chiqarishga harakat qilaylik.
Buning uchun to'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakat tezligi proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi grafigiga murojaat qilaylik.
To'g'ri chiziqli bir tekis tezlashtirilgan harakat tezligining vaqt bo'yicha proyeksiyasi grafigi
Quyidagi rasmda harakatlanuvchi ba'zi bir jismning tezligi proyeksiyasi uchun grafik ko'rsatilgan boshlang'ich tezligi V0 va doimiy tezlanish a.
Agar bizda bir xil to'g'ri chiziqli harakat bo'lsa, unda siljish vektorining proyeksiyasini hisoblash uchun tezlik vektorining proyeksiyasi grafigi ostidagi rasmning maydonini hisoblash kerak bo'ladi.
Endi biz bir xil tezlashtirilgan to'g'ri chiziqli harakatda Sx siljish vektorining proyeksiyasi ham xuddi shunday aniqlanishini isbotlaymiz. Ya'ni, siljish vektorining proyeksiyasi tezlik vektorining proyeksiyasi grafigi ostidagi rasmning maydoniga teng bo'ladi.
Ot o'qi, AO va BC segmentlari, shuningdek, AC segmenti bilan chegaralangan figuraning maydonini toping.
Ot o'qiga db kichik vaqt oralig'ini ajratamiz. Bu nuqtalar orqali vaqt o‘qiga perpendikulyarlarni tezlik proyeksiyalari grafigi bilan kesishguncha o‘tkazamiz. A va c kesishish nuqtalariga e'tibor bering. Bu vaqt ichida tananing tezligi Vax dan Vbx ga o'zgaradi.
Agar biz bu intervalni etarlicha kichik olsak, tezlik deyarli o'zgarmagan deb taxmin qilishimiz mumkin va shuning uchun biz bu oraliqda bir tekis to'g'ri chiziqli harakat bilan shug'ullanamiz.
U holda biz ac segmentini gorizontal, abcd ni to'rtburchak deb hisoblashimiz mumkin. Abcd maydoni db vaqt oralig'idagi siljish vektorining proyeksiyasiga son jihatdan teng bo'ladi. Biz OACB figurasining butun maydonini shunday kichik vaqt oralig'iga bo'lishimiz mumkin.
Ya'ni, Sx siljish vektorining OB segmentiga mos vaqt oralig'idagi proyeksiyasi son jihatdan OACB trapesiyaning S maydoniga teng bo'lishini va shu maydon bilan bir xil formula bilan aniqlanishini oldik.
Demak,
- S=((V0x+Vx)/2)*t.
Vx=V0x+ax*t va S=Sx boʻlgani uchun hosil boʻlgan formula quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
- Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.
Biz bir xil tezlashtirilgan harakat paytida siljish vektorining proyeksiyasini hisoblashimiz mumkin bo'lgan formulani oldik.
Bir tekis sekin harakatda formula quyidagi shaklni oladi.
Traektoriya(kech lotincha traektoriyalardan - harakatni nazarda tutadi) - bu tananing harakatlanadigan chizig'i (moddiy nuqta). Harakatning traektori tekis (tana bir yo'nalishda harakat qiladi) va egri chiziqli bo'lishi mumkin, ya'ni mexanik harakat tekis yoki egri bo'lishi mumkin.
To'g'ri chiziqli traektoriya bu koordinatalar tizimida to'g'ri chiziq mavjud. Misol uchun, burilishlarsiz tekis yo'lda avtomobilning traektoriyasini to'g'ri chiziq deb taxmin qilishimiz mumkin.
Egri chiziqli harakat- bu jismlarning aylana, ellips, parabola yoki giperbola bo'ylab harakati. Egri chiziqli harakatga misol qilib harakatlanayotgan avtomobil g‘ildiragidagi nuqtaning harakati yoki avtomobilning burilishda harakatlanishini keltirish mumkin.
Harakat qiyin bo'lishi mumkin. Masalan, yo'lning boshida tananing harakat traektoriyasi to'g'ri chiziqli, keyin egri chiziqli bo'lishi mumkin. Misol uchun, sayohat boshida mashina to'g'ri yo'l bo'ylab harakatlanadi, keyin esa yo'l "shamol" boshlaydi va mashina egri boshlaydi.
Yo'l
Yo'l yo'lning uzunligi. Yo'l skaler va in xalqaro tizim SI birliklari metr (m) bilan o'lchanadi. Yo‘lni hisoblash fizikaning ko‘pgina masalalarida bajariladi. Ba'zi misollar ushbu qo'llanmada keyinroq muhokama qilinadi.
Siqilish vektori
Siqilish vektori(yoki oddiygina harakatlanuvchi) tananing boshlang'ich holatini keyingi pozitsiyasi bilan bog'laydigan yo'naltirilgan chiziq segmentidir (1.1-rasm). Siqish vektor kattalikdir. Ko'chirish vektori harakatning boshlang'ich nuqtasidan oxirigacha yo'naltiriladi.
Siqilish vektor moduli(ya'ni harakatning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarini bog'laydigan segmentning uzunligi) bosib o'tgan masofaga teng yoki bosib o'tgan masofadan kichik bo'lishi mumkin. Lekin hech qachon siljish vektorining moduli bosib o'tgan masofadan katta bo'lishi mumkin emas.
Ko'chirish vektorining moduli yo'l traektoriyaga to'g'ri kelganda bosib o'tgan masofaga teng (bo'limlarga qarang va), masalan, agar mashina to'g'ri yo'l bo'ylab A nuqtadan B nuqtaga harakat qilsa. Ko'chirish vektorining moduli moddiy nuqta egri chiziq bo'ylab harakat qilganda bosib o'tgan masofadan kichikdir (1.1-rasm).
Guruch. 1.1. Ko'chirish vektori va bosib o'tgan masofa.
Shaklda. 1.1:
Yana bir misol. Agar mashina bir marta aylana bo'ylab o'tsa, harakatning boshlang'ich nuqtasi harakatning oxirgi nuqtasiga to'g'ri keladi va keyin siljish vektori bo'ladi. nol, va bosib o'tgan masofa aylananing aylanasiga teng bo'ladi. Shunday qilib, yo'l va harakat ikki xil tushuncha.
Vektor qo'shish qoidasi
Ko'chirish vektorlari vektor qo'shish qoidasiga muvofiq geometrik ravishda qo'shiladi (uchburchak qoidasi yoki parallelogramm qoidasi, 1.2-rasmga qarang).
Guruch. 1.2. Ko'chirish vektorlarini qo'shish.
1.2-rasmda S1 va S2 vektorlarini qo'shish qoidalari ko'rsatilgan:
a) Uchburchak qoidasiga ko‘ra qo‘shish
b) Parallelogramma qoidasiga ko‘ra qo‘shish
Siqilish vektor proyeksiyalari
Fizikaga oid masalalarni yechishda koʻpincha koordinata oʻqlariga siljish vektorining proyeksiyalaridan foydalaniladi. Ko'chirish vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalarini uning oxiri va boshi koordinatalari orasidagi farq bilan ifodalash mumkin. Misol uchun, agar moddiy nuqta A nuqtadan B nuqtaga o'tgan bo'lsa, u holda siljish vektori (1.3-rasmga qarang).
OX o'qini shunday tanlaymizki, vektor shu o'q bilan bir xil tekislikda yotadi. Perpendikulyarlarni A va B nuqtalardan (ko‘chirish vektorining bosh va oxirgi nuqtalaridan) OX o‘qi bilan kesishgan nuqtasiga tushiramiz. Shunday qilib, A va B nuqtalarning X o'qiga proyeksiyalarini olamiz.A va B nuqtalarning mos ravishda A x va B x proyeksiyalarini belgilaymiz. OX o'qi bo'yicha A x B x segmentining uzunligi - bu siljish vektor proyeksiyasi x o'qi bo'yicha, ya'ni
S x = A x B x
MUHIM!
Matematikani yaxshi bilmaganlar uchun eslatma: vektorni har qanday o'qdagi vektor proyeksiyasi bilan aralashtirib yubormang (masalan, S x). Vektor har doim bir harf yoki ustidagi o'q bilan bir nechta harflar bilan belgilanadi. Ba'zi elektron hujjatlarda strelka qo'yilmaydi, chunki bu yaratishda qiyinchiliklarga olib kelishi mumkin elektron hujjat. Bunday hollarda, maqolaning mazmuniga amal qiling, bu erda "vektor" so'zi harfning yonida yozilishi mumkin yoki boshqa yo'l bilan ular sizga bu shunchaki segment emas, balki vektor ekanligini ko'rsatadi.
Guruch. 1.3. Siqilish vektorining proyeksiyasi.
Ko'chirish vektorining OX o'qiga proyeksiyasi vektorning oxiri va boshi koordinatalari orasidagi farqga teng, ya'ni
S x \u003d x - x 0
O'z o'rnini almashtirish vektorining OY va OZ o'qlaridagi proyeksiyalari xuddi shunday aniqlanadi va yoziladi:
S y = y – y 0 S z = z – z 0
Bu erda x 0, y 0, z 0 - boshlang'ich koordinatalar yoki tananing boshlang'ich holatining koordinatalari (material nuqta); x, y, z - yakuniy koordinatalar yoki tananing keyingi pozitsiyasining koordinatalari (moddiy nuqta).
Agar vektor yo'nalishi va koordinata o'qi yo'nalishi mos kelsa, siljish vektorining proyeksiyasi ijobiy hisoblanadi (1.3-rasmdagi kabi). Agar vektor yo'nalishi va koordinata o'qi yo'nalishi mos kelmasa (qarama-qarshi), u holda vektorning proyeksiyasi manfiy bo'ladi (1.4-rasm).
Agar siljish vektori o'qga parallel bo'lsa, u holda uning proyeksiyasining moduli Vektorning moduliga teng bo'ladi. Agar siljish vektori o'qga perpendikulyar bo'lsa, u holda uning proyeksiyasining moduli nolga teng (1.4-rasm).
Guruch. 1.4. Ko'chirish vektor proyeksiyasining modullari.
Miqdorning keyingi va boshlang'ich qiymatlari o'rtasidagi farq bu miqdorning o'zgarishi deb ataladi. Ya'ni, siljish vektorining koordinata o'qiga proyeksiyasi mos keladigan koordinataning o'zgarishiga teng. Masalan, jism X o'qiga perpendikulyar harakat qilganda (1.4-rasm), X o'qiga nisbatan Jism HARAKAT QILMAYDI. Ya'ni, tananing X o'qi bo'ylab siljishi nolga teng.
Jismning tekislikdagi harakati misolini ko'rib chiqing. Jismning dastlabki holati koordinatalari x 0 va y 0 bo'lgan A nuqta, ya'ni A (x 0, y 0). Jismning oxirgi holati x va y koordinatalari bo'lgan B nuqtasi, ya'ni B (x, y). Tananing siljish modulini toping.
A va B nuqtalardan OX va OY koordinata o'qlariga perpendikulyarlarni tushiramiz (1.5-rasm).
Guruch. 1.5. Jismning tekislikdagi harakati.
OX va OY oʻqlaridagi siljish vektorining proyeksiyalarini aniqlaymiz:
S x = x – x 0 S y = y – y 0
Shaklda. 1.5 dan ABC uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchak ekanligini ko'rish mumkin. Bundan kelib chiqadiki, muammoni hal qilishda foydalanish mumkin Pifagor teoremasi, bu bilan siz siljish vektorining modulini topishingiz mumkin, chunki
AC = s x CB = s y
Pifagor teoremasiga ko'ra
S 2 \u003d S x 2 + S y 2
Ko'chirish vektorining modulini, ya'ni tananing A nuqtadan B nuqtagacha bo'lgan yo'lining uzunligini qayerdan topish mumkin:
Va nihoyat, men sizning bilimlaringizni mustahkamlashni va o'zingizning xohishingizga ko'ra bir nechta misollarni hisoblashingizni taklif qilaman. Buning uchun koordinata maydonlariga istalgan raqamlarni kiriting va HISOBLASH tugmasini bosing. Brauzeringiz JavaScript skriptlarining (skriptlarning) bajarilishini qo'llab-quvvatlashi kerak va brauzer sozlamalarida skriptlarning bajarilishiga ruxsat berilishi kerak, aks holda hisob-kitob amalga oshirilmaydi. Haqiqiy sonlarda butun va kasr qismlar nuqta bilan ajratilishi kerak, masalan, 10,5.