Har doim teng bo'lgan burchaklar deyiladi. Kengaytirilgan, kengaygan, vertikal va kengaytirilmagan: geometriya burchaklarining turlari

Burchak - geometrik shakl bo'lib, u bir nuqtadan chiqadigan ikki xil nurlardan iborat. Bunday holda, bu nurlar burchakning tomonlari deb ataladi. Nurlarning boshlanishi bo'lgan nuqta burchakning tepasi deb ataladi. Rasmda burchakni nuqtada tepa bilan ko'rishingiz mumkin O, va partiyalar k va m.

Burchakning yon tomonlarida A va C nuqtalari belgilangan.Bu burchakni AOC burchagi sifatida belgilash mumkin. O'rtada burchak cho'qqisi joylashgan nuqtaning nomi bo'lishi kerak. Bundan tashqari, boshqa belgilar mavjud, O burchagi yoki burchak km. Geometriyada burchak so'zi o'rniga ko'pincha maxsus belgi yoziladi.

Aylanadigan va aylanmaydigan burchak

Agar burchakning ikkala tomoni bitta to'g'ri chiziqda yotsa, bunday burchak deyiladi joylashtirilgan burchak. Ya'ni, burchakning bir tomoni burchakning boshqa tomonining davomidir. Quyidagi rasmda O burchagi ko'rsatilgan.

Shuni ta'kidlash kerakki, har qanday burchak tekislikni ikki qismga ajratadi. Agar burchak kengaytirilmagan bo'lsa, unda qismlardan biri burchakning ichki hududi, ikkinchisi esa bu burchakning tashqi hududi deb ataladi. Quyidagi rasmda tekislanmagan burchak ko'rsatilgan va bu burchakning tashqi va ichki joylari belgilangan.

Rivojlangan burchak holatida, tekislikni ajratadigan ikkita qismdan har qandayini burchakning tashqi hududi deb hisoblash mumkin. Nuqtaning burchakka nisbatan joylashuvi haqida gapirishimiz mumkin. Nuqta burchakdan tashqarida (tashqi mintaqada) yotishi mumkin, uning yon tomonlaridan birida yoki burchakning ichida (ichki mintaqada) yotishi mumkin.

Quyidagi rasmda A nuqta O burchakdan tashqarida, B nuqta burchakning bir tomonida va C nuqta burchak ichida joylashgan.

Burchak o'lchovi

Burchaklarni o'lchash uchun transportyor deb ataladigan asbob mavjud. Burchakning birligi daraja. Shuni ta'kidlash kerakki, har bir burchak noldan kattaroq bo'lgan ma'lum daraja o'lchoviga ega.

ga qarab daraja o'lchovi burchaklar bir necha guruhga bo'linadi.

Talabalar burchak tushunchasi bilan tanish boshlang'ich maktab. Ammo ular ma'lum xususiyatlarga ega geometrik figura sifatida uni 7-sinfdan boshlab geometriyadan o'rganishni boshlaydilar. Ko'rinadi, juda oddiy shakl u haqida nima deyish mumkin. Ammo, yangi bilimlarga ega bo'lgan maktab o'quvchilari siz u haqida juda qiziqarli ma'lumotlarni bilib olishingiz mumkinligini tobora ko'proq tushunishadi.

Bilan aloqada

Qachon o'rganiladi

Maktab geometriya kursi ikki bo'limga bo'lingan: planimetriya va qattiq geometriya. Ularning har biri katta e'tiborga ega. burchaklarga beriladi:

• Planimetriyada ularning asosiy tushunchasi beriladi, ularning turlari bilan o'lchami bo'yicha tanishish amalga oshiriladi. Har bir turdagi uchburchaklarning xususiyatlari batafsilroq o'rganiladi. Talabalar uchun yangi ta'riflar paydo bo'ladi - bular ikki chiziqning bir-biri bilan kesishmasida va sekantning bir nechta chiziqlari kesishmasida hosil bo'lgan geometrik shakllardir.
• Stereometriyada fazoviy burchaklar - ikki va uchburchaklar o'rganiladi.

Diqqat! Ushbu maqolada planimetriyada burchaklarning barcha turlari va xossalari muhokama qilinadi.

Ta'rif va o'lchov

O'rganishni boshlash, birinchi navbatda, burchak nima planimetriyada.

Agar biz tekislikning ma'lum bir nuqtasini olsak va undan ikkita ixtiyoriy nurni chizsak, biz quyidagi elementlardan iborat geometrik figura - burchakka ega bo'lamiz:

• vertex - nurlar olingan nuqta, belgilangan Bosh harf lotin alifbosi;
• tomonlar yuqoridan yarim chiziq chizilgan.

Biz ko'rib chiqayotgan figurani tashkil etuvchi barcha elementlar tekislikni bo'linadi ikki qism:

• ichki - planimetriyada 180 darajadan oshmaydi;
• tashqi.

Planimetriyada burchaklarni o'lchash printsipi intuitiv tarzda tushuntirilgan. Boshlash uchun talabalar rivojlangan burchak tushunchasi bilan tanishadilar.

Muhim! Agar uning tepasidan chiqadigan yarim chiziqlar to'g'ri chiziq hosil qilsa, burchak rivojlangan deyiladi. Ochilmagan burchak boshqa barcha holatlardir.

Agar u 180 ta teng qismga bo'lingan bo'lsa, unda bir qismning o'lchovini 10 ga teng deb hisoblash odat tusiga kiradi. Bunday holda, ular o'lchov darajalarda amalga oshirilganligini aytishadi va bunday raqamning daraja o'lchovi 180 daraja.

Asosiy turlari

Burchaklarning turlari daraja o'lchovi, ularning hosil bo'lish tabiati va quyidagi toifalar kabi mezonlarga ko'ra bo'linadi.

Hajmi bo'yicha

Kattaligiga qarab burchaklar quyidagilarga bo'linadi:

• joylashtirilgan;
• To'g'riga;
• to'mtoq;
• achchiq.

Qaysi burchak joylashtirilgan deb ataladi, yuqorida keltirilgan. To'g'ri chiziq tushunchasiga ta'rif beramiz.

Buni joylashtirilganlarni ikkita teng qismga bo'lish orqali olish mumkin. Bunday holda, savolga javob berish oson: to'g'ri burchak, u necha daraja?

Olish uchun 180 darajani 2 ga bo'ling to'g'ri burchak 90 daraja. Bu ajoyib raqam, chunki geometriyadagi ko'plab faktlar u bilan bog'liq.

Belgilanishda ham o'ziga xos xususiyatlarga ega. Rasmda to'g'ri burchakni ko'rsatish uchun u yoy bilan emas, balki kvadrat bilan ko'rsatilgan.

To'g'ri chiziqning ixtiyoriy nurini bo'lish natijasida olingan burchaklar o'tkir deyiladi. Narsalarning mantig'iga ko'ra, o'tkir burchak to'g'ri burchakdan kichik, ammo uning o'lchami 0 darajadan farq qiladi. Ya'ni, u 0 dan 90 darajagacha bo'lgan qiymatga ega.

O'tkir burchak to'g'ri burchakdan katta, lekin to'g'ri burchakdan kichik. Uning daraja o'lchovi 90 dan 180 darajagacha o'zgarib turadi.

Ushbu elementni qismlarga ajratish mumkin turli xil turlari kengaytirilganidan tashqari ko'rib chiqilgan raqamlar.

Burilmagan burchak qanday singan bo'lishidan qat'i nazar, har doim planimetriyaning asosiy aksiomasi qo'llaniladi - "o'lchovning asosiy xususiyati".

Da burchakni bitta nur bilan bo'lish yoki bir nechta, berilgan figuraning daraja o'lchovi u bo'linadigan burchaklar o'lchovlari yig'indisiga teng.

7-sinf darajasida ularning kattaligidagi burchak turlari shu erda tugaydi. Ammo eruditsiyani oshirish uchun 180 darajadan ortiq daraja o'lchoviga ega bo'lgan boshqa navlar mavjudligini qo'shish mumkin.Ular konveks deb ataladi.

Chiziqlar kesishmasidagi raqamlar

O’quvchilar bilan tanishtiriladigan keyingi burchak turlari ikki chiziq kesishganda hosil bo’ladigan elementlardir. Bir-biriga qarama-qarshi qo'yilgan raqamlar vertikal deyiladi. Ular farqlovchi xususiyat- ular teng.

Xuddi shu chiziqqa qo'shni bo'lgan elementlar qo'shni deyiladi. Ularning mulkini xaritalash teoremasi shuni aytadi Qo'shni burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi.

Uchburchakdagi elementlar

Agar biz raqamni uchburchakning elementi deb hisoblasak, u holda burchaklar ichki va tashqi bo'linadi. Uchburchak uchta segment bilan chegaralangan va undan iborat uchta cho'qqi. Har bir uchida uchburchak ichida joylashgan burchaklar, ichki deb ataladi.

Agar biron-bir cho'qqidagi har qanday ichki elementni olib, biron bir tomonni kengaytiradigan bo'lsak, u holda hosil bo'lgan va ichki tomonga qo'shni bo'lgan burchak tashqi deyiladi. Ushbu juft elementlar quyidagi xususiyatga ega: ularning yig'indisi 180 daraja.

Ikki to'g'ri chiziqning kesishishi

Chiziq kesishmasi

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda, burchaklar ham hosil bo'ladi, ular odatda juft bo'lib taqsimlanadi. Har bir juft element o'z nomiga ega. Bu shunday ko'rinadi:

• ichki o'zaro bog'liqlik: ∟4 va ∟6, ∟3 va ∟5;
• ichki bir tomonlama: ∟4 va ∟5, ∟3 va ∟6;
• mos keluvchi: ∟1 va ∟5, ∟2 va ∟6, ∟4 va ∟8, ∟3 va ∟7.

Bir sekant ikkini kesishganda

Ushbu maqolada biz asosiy geometrik shakllardan biri - burchakni har tomonlama tahlil qilamiz. Keling, bizni burchak ta'rifiga olib keladigan yordamchi tushunchalar va ta'riflardan boshlaylik. Shundan so'ng biz burchaklarni belgilash uchun qabul qilingan usullarni beramiz. Keyinchalik, burchaklarni o'lchash jarayoni bilan batafsil shug'ullanamiz. Xulosa qilib, biz chizmadagi burchaklarni qanday belgilashingiz mumkinligini ko'rsatamiz. Materialni yaxshiroq eslab qolish uchun biz barcha nazariyani kerakli chizmalar va grafik tasvirlar bilan ta'minladik.

Sahifani navigatsiya qilish.

Burchak ta'rifi.

Burchak geometriyaning eng muhim ko'rsatkichlaridan biridir. Burchakning ta'rifi nurning ta'rifi orqali beriladi. O'z navbatida, nuqta, to'g'ri chiziq va tekislik kabi geometrik figuralarni bilmasdan, nur haqidagi g'oyani olish mumkin emas. Shuning uchun, burchakning ta'rifi bilan tanishishdan oldin, biz nazariyani bo'limlardan yangilashni tavsiya qilamiz va.

Demak, biz nuqta, tekislikdagi to‘g‘ri chiziq va tekislik tushunchalaridan boshlaymiz.

Keling, birinchi navbatda nurning ta'rifini beraylik.

Bizga tekislikda qandaydir to'g'ri chiziq berilsin. Uni a harfi bilan belgilaymiz. O chiziqning qaysidir nuqtasi bo'lsin. O nuqta a chiziqni ikki qismga ajratadi. Bu qismlarning har biri O nuqta bilan birga deyiladi nur, va O nuqta deyiladi nurning boshlanishi. Bundan tashqari, nurning chaqirilishini ham eshitishingiz mumkin yarim to'g'ridan-to'g'ri.

Qisqartirish va qulaylik uchun nurlar uchun quyidagi yozuv kiritildi: nur kichik lotin harfi bilan (masalan, ray p yoki ray k) yoki ikkita katta harf bilan belgilanadi. lotin harflari bilan, birinchisi nurning boshlanishiga to'g'ri keladi, ikkinchisi esa bu nurning qaysidir nuqtasini bildiradi (masalan, OA nuri yoki CD nuri). Chizmada nurlarning tasviri va belgilanishini ko'rsatamiz.

Endi biz burchakning birinchi ta'rifini berishimiz mumkin.

Ta'rif.

In'ektsiya- bu umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita mos kelmaydigan nurlardan tashkil topgan tekis geometrik figura (ya'ni butunlay ma'lum bir tekislikda yotgan). Nurlarning har biri deyiladi burchak tomoni, burchak tomonlarining umumiy boshlanishi deyiladi yuqori burchak.

Burchakning tomonlari to'g'ri chiziq hosil qilishi mumkin. Bu burchakning o'z nomi bor.

Ta'rif.

Agar burchakning ikkala tomoni bir xil chiziqda yotsa, burchak deyiladi joylashtirilgan.

Biz sizning e'tiboringizga rivojlangan burchakning grafik tasvirini keltiramiz.

Burchak belgisi burchakni belgilash uchun ishlatiladi. Agar burchakning tomonlari kichik lotin harflari bilan ko'rsatilgan bo'lsa (masalan, burchakning bir tomoni k, ikkinchisi h), bu burchakni belgilash uchun burchak belgisidan keyin tomonlarga mos keladigan harflar yoziladi. qator va ro'yxatga olish tartibi muhim emas (ya'ni, yoki). Agar burchakning tomonlari ikkita yirik lotin harfi bilan ko'rsatilgan bo'lsa (masalan, OA burchagining bir tomoni va OB burchagining ikkinchi tomoni), u holda burchak quyidagicha belgilanadi: burchak belgisidan keyin uchta harf. burchakning tomonlarini belgilashda ishtirok etadigan yozma va o'rtada joylashgan burchakning tepasiga mos keladigan harf (bizning holimizda burchak yoki sifatida ko'rsatiladi). Agar burchakning cho'qqisi boshqa burchakning cho'qqisi bo'lmasa, unda bunday burchakni burchak cho'qqisiga mos keladigan harf bilan belgilash mumkin (masalan, ). Ba'zan chizmalardagi burchaklar raqamlar (1, 2 va boshqalar) bilan belgilanganligini ko'rishingiz mumkin, bu burchaklar kabi va hokazo. Aniqlik uchun biz burchaklar ko'rsatilgan va ko'rsatilgan raqamni taqdim etamiz.

Har qanday burchak tekislikni ikki qismga ajratadi. Bundan tashqari, agar burchak ishlab chiqilmagan bo'lsa, unda tekislikning bir qismi deyiladi ichki burchak maydoni, va boshqa tashqi burchak maydoni. Quyidagi rasmda tekislikning qaysi qismi burchakning ichki qismiga va qaysi qismi tashqi tomonga mos kelishini tushuntiradi.

Yassilangan burchak tekislikni ajratadigan ikkita qismdan har qandayini tekislangan burchakning ichki hududi deb hisoblash mumkin.

Burchakning ichki qismining ta'rifi bizni burchakning ikkinchi ta'rifiga olib keladi.

Ta'rif.

In'ektsiya- bu geometrik shakl bo'lib, u umumiy kelib chiqishi va burchakning tegishli ichki mintaqasi bo'lgan ikkita mos kelmaydigan nurlardan iborat.

Shuni ta'kidlash kerakki, burchakning ikkinchi ta'rifi birinchisiga qaraganda qattiqroq, chunki u ko'proq shartlarni o'z ichiga oladi. Biroq, burchakning birinchi ta'rifini rad etmaslik kerak, shuningdek, burchakning birinchi va ikkinchi ta'riflarini alohida ko'rib chiqish kerak emas. Keling, ushbu fikrni tushuntirib beraylik. Qachon gaplashamiz geometrik figura sifatida burchak haqida bo'lsa, u holda burchak umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita nurdan tashkil topgan raqam sifatida tushuniladi. Agar bu burchak bilan biron bir harakatni bajarish zarurati tug'ilsa (masalan, burchakni o'lchash), u holda burchakni allaqachon umumiy kelib chiqishi va ichki mintaqasi bo'lgan ikkita nur deb tushunish kerak (aks holda ikki tomonlama vaziyat yuzaga keladi). burchakning ichki va tashqi mintaqasining mavjudligi ).

Keling, qo'shni va vertikal burchaklarga ko'proq ta'riflar beramiz.

Ta'rif.

Qo'shni burchaklar- bu ikki burchak bo'lib, ularning bir tomoni umumiy, qolgan ikkitasi esa to'g'ri burchak hosil qiladi.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, qo'shni burchaklar bir-birini to'g'ri burchakka qadar to'ldiradi.

Ta'rif.

Vertikal burchaklar bir burchakning tomonlari ikkinchisining yon tomonlarining kengaytmalari bo'lgan ikkita burchakdir.

Rasmda vertikal burchaklar ko'rsatilgan.

Shubhasiz, ikkita kesishgan chiziq to'rt juft qo'shni burchak va ikki juft vertikal burchak hosil qiladi.

Burchakni taqqoslash.

Maqolaning ushbu bandida biz teng va teng bo'lmagan burchaklarning ta'riflari bilan shug'ullanamiz, shuningdek, teng bo'lmagan burchaklar bo'lsa, qaysi burchak katta va qaysi kichikroq ekanligini tushuntiramiz.

Eslatib o'tamiz, ikkita geometrik figura, agar ular ustiga qo'yish mumkin bo'lsa, teng deb ataladi.

Bizga ikkita burchak berilsin. Keling, “Bu ikki burchak tengmi yoki tengmi?” degan savolga javob topishga yordam beradigan mulohazalarni keltiraylik.

Shubhasiz, biz har doim ikkita burchakning uchlarini, shuningdek, birinchi burchakning bir tomonini ikkinchi burchakning istalgan tomoni bilan moslashtira olamiz. Birinchi burchakning yon tomonini ikkinchi burchakning u tomoni bilan birlashtiramiz, shunda burchaklarning qolgan tomonlari burchaklarning birlashtirilgan tomonlari yotadigan to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'lsin. Keyin, agar burchaklarning boshqa ikki tomoni tekislangan bo'lsa, u holda burchaklar chaqiriladi teng.

Agar burchaklarning qolgan ikki tomoni mos kelmasa, u holda burchaklar deyiladi tengsiz, va kichikroq burchak boshqasining bir qismi deb hisoblanadi ( katta boshqa burchakni to'liq o'z ichiga olgan burchak).

Shubhasiz, ikkita to'g'ri burchak tengdir. Bundan tashqari, rivojlangan burchak har qanday rivojlanmagan burchakdan kattaroq ekanligi aniq.

Burchak o'lchovi.

Burchak o'lchovi o'lchangan burchakni o'lchov birligi sifatida olingan burchak bilan solishtirishga asoslangan. Burchaklarni o'lchash jarayoni quyidagicha ko'rinadi: o'lchangan burchakning bir tomonidan boshlab, uning ichki maydoni ketma-ket bitta burchaklar bilan to'ldiriladi va ularni bir-biriga mahkam bog'laydi. Shu bilan birga, to'plangan burchaklar soni esga olinadi, bu o'lchangan burchakning o'lchovini beradi.

Aslida, burchaklar uchun o'lchov birligi sifatida har qanday burchakni olish mumkin. Biroq, fan va texnologiyaning turli sohalariga tegishli burchaklarni o'lchash uchun umumiy qabul qilingan ko'plab birliklar mavjud bo'lib, ular maxsus nomlarga ega.

Burchaklarni o'lchash birliklaridan biri daraja.

Ta'rif.

bir daraja to'g'rilangan burchakning yuz saksondan biriga teng burchakdir.

Bir daraja "" belgisi bilan belgilanadi, shuning uchun bir daraja sifatida belgilanadi.

Shunday qilib, rivojlangan burchakda biz 180 burchakni bir darajaga sig'dira olamiz. Bu 180 ta teng bo'laklarga kesilgan yarim dumaloq pirogga o'xshaydi. Juda muhim: "pirojnoe bo'laklari" bir-biriga mahkam o'rnashgan (ya'ni burchaklarning yon tomonlari hizalangan), birinchi burchakning yon tomoni tekislangan burchakning bir tomoniga va oxirgi birlik burchagining yon tomoniga to'g'ri keladi. tekislangan burchakning boshqa tomoniga to'g'ri keldi.

Burchaklarni o'lchashda, o'lchangan burchakning ichki maydoni to'liq qoplanmaguncha, o'lchangan burchakka gradus (yoki boshqa burchak o'lchov birligi) necha marta to'g'ri kelishi aniqlanadi. Yuqorida aytib o'tganimizdek, rivojlangan burchakda daraja to'liq 180 marta mos keladi. Quyida bir graduslik burchak to'liq 30 marta (bunday burchak to'g'rilangan burchakning oltidan bir qismi) va to'liq 90 marta (yarim tekislangan burchak) mos keladigan burchaklar misollari keltirilgan.

Bir darajadan kichik burchaklarni (yoki burchaklarni boshqa o'lchov birligidan) o'lchash uchun va burchakni butun darajalar soni bilan o'lchab bo'lmaydigan hollarda (qabul qilingan o'lchov birliklari) gradus qismlarini (qabul qilingan o'lchov birliklari) ishlatish kerak. o'lchov birliklari). Darajaning ba'zi qismlari maxsus nomlar oldi. Eng keng tarqalgan daqiqalar va soniyalar deb ataladi.

Ta'rif.

Daqiqa darajaning oltmishdan bir qismidir.

Ta'rif.

Ikkinchi daqiqaning oltmishdan biri.

Boshqacha qilib aytganda, bir daqiqada oltmish soniya, daraja uchun esa oltmish daqiqa (3600 soniya) bor. “” belgisi daqiqalarni, “” belgisi esa soniyalarni belgilash uchun ishlatiladi (hosila va ikkinchi hosila belgilari bilan adashtirmang). Keyin, kiritilgan ta'riflar va yozuvlar bilan biz bor va 17 daraja 3 daqiqa va 59 soniya mos keladigan burchakni deb belgilash mumkin.

Ta'rif.

Burchakning daraja o'lchovi musbat son deyiladi, bu gradus va uning qismlari berilgan burchakka necha marta mos kelishini ko'rsatadi.

Masalan, to'g'rilangan burchakning daraja o'lchovi bir yuz sakson, burchakning daraja o'lchovi .

Burchaklarni o'lchash uchun maxsus o'lchash asboblari mavjud bo'lib, ulardan eng mashhuri transportyordir.

Agar burchakning belgilanishi (masalan,) va uning daraja o'lchami (110 bo'lsin) ma'lum bo'lsa, shaklning qisqacha yozuvidan foydalaning. va ayting: "AOB burchagi yuz o'n daraja."

Burchak va burchakning gradus o'lchovi ta'riflaridan kelib chiqadiki, geometriyada burchakning gradusdagi o'lchami (0, 180) oraliqdan haqiqiy son bilan ifodalanadi (trigonometriyada ixtiyoriy daraja o'lchovi bo'lgan burchaklar). ko‘rib chiqiladi, deyiladi).To‘qson graduslik burchakning maxsus nomi bor, deyiladi to'g'ri burchak. 90 darajadan kichik burchakka deyiladi o'tkir burchak. To'qson darajadan katta burchak deyiladi to'g'ri burchak. Demak, o'tkir burchakning gradusdagi o'lchami (0, 90) oraliqdagi raqam bilan, o'tmas burchakning o'lchami - (90, 180) oraliqdagi raqam bilan, to'g'ri burchak to'qsonga teng. daraja. Biz o'tkir burchak, o'tmas burchak va tasvirlarni beramiz to'g'ri burchak.

Burchaklarni o'lchash printsipidan kelib chiqadiki, teng burchaklarning daraja o'lchovlari bir xil, kattaroq burchakning daraja o'lchovi kichikroqning daraja o'lchovidan kattaroq va bir nechta burchaklardan iborat burchakning daraja o'lchovi komponent burchaklarining daraja o'lchovlari yig'indisiga teng. Quyidagi rasmda AOC, COD va DOB burchaklaridan tashkil topgan AOB burchagi ko'rsatilgan.

Shunday qilib, qo'shni burchaklar yig'indisi bir yuz sakson daraja, chunki ular to'g'ri burchak hosil qiladi.

Bu da'vodan kelib chiqadiki. Haqiqatan ham, agar AOB va COD burchaklari vertikal bo'lsa, u holda AOB va BOC burchaklari qo'shni va COD va BOC burchaklari ham qo'shni bo'ladi, shuning uchun tenglik va tenglik haqiqiydir.

Daraja bilan birga burchaklarni o'lchash uchun qulay birlik chaqiriladi radian. Radian o'lchovi trigonometriyada keng qo'llaniladi. Keling, radianni aniqlaylik.

Ta'rif.

Bir radian burchak- Bu markaziy burchak, bu yoy uzunligiga mos keladi, mos keladigan doira radiusining uzunligiga teng.

Keling, bir radianli burchakning grafik rasmini keltiramiz. Chizmada OA radiusining uzunligi (shuningdek, OB radiusi ) yoy uzunligiga teng AB , shuning uchun ta'rifga ko'ra, AOB burchagi bir radianga teng.

"Rad" qisqartmasi radyanlarni bildirish uchun ishlatiladi. Masalan, 5 rad yozish 5 radianni bildiradi. Biroq, yozma ravishda, "rad" belgisi ko'pincha o'tkazib yuboriladi. Masalan, burchak pi ga teng deb yozilsa, bu pi rad demakdir.

Alohida ta'kidlash kerakki, burchakning radianlarda ifodalangan qiymati aylana radiusining uzunligiga bog'liq emas. Buning sababi shundaki, berilgan burchak bilan chegaralangan figuralar va berilgan burchakning tepasida markazlashtirilgan aylananing yoyi bir-biriga o'xshashdir.

Radianlarda burchaklarni o'lchash burchaklarni graduslarda o'lchash bilan bir xil tarzda amalga oshirilishi mumkin: bitta radianning burchagi (va uning qismlari) berilgan burchakka necha marta to'g'ri kelishini aniqlang. Va siz mos keladigan yoy uzunligini hisoblashingiz mumkin markaziy burchak, keyin uni radius uzunligiga bo'ling.

Amaliyot ehtiyojlari uchun daraja va radian o'lchovlari bir-biri bilan qanday bog'liqligini bilish foydalidir, chunki ko'p qismini bajarish kerak. Ushbu maqolada burchakning gradus va radian o'lchovi o'rtasida bog'liqlik o'rnatiladi va darajalarni radianga va aksincha aylantirish misollari keltirilgan.

Chizmadagi burchaklarni belgilash.

Chizmalarda qulaylik va ravshanlik uchun burchaklar yoylar bilan belgilanishi mumkin, ular odatda burchakning ichki mintaqasida burchakning bir tomonidan boshqasiga tortiladi. Teng burchaklar bir xil sonli yoylar, teng bo'lmagan burchaklar bilan belgilang - turli miqdor yoylar. Chizmadagi to'g'ri burchaklar burchakning bir tomonidan boshqasiga to'g'ri burchakning ichki mintaqasida tasvirlangan "" shaklining belgisi bilan belgilanadi.

Agar siz chizmada juda ko'p turli burchaklarni (odatda uchdan ortiq) belgilashingiz kerak bo'lsa, unda burchaklarni belgilashda oddiy yoylardan tashqari, biron bir maxsus turdagi yoylardan foydalanishga ruxsat beriladi. Masalan, siz qirrali yoylarni yoki shunga o'xshash narsalarni tasvirlashingiz mumkin.

Shuni ta'kidlash kerakki, siz chizmalardagi burchaklarni belgilash bilan shug'ullanmasligingiz va chizmalarni chalkashtirmasligingiz kerak. Biz faqat hal qilish yoki isbotlash jarayonida zarur bo'lgan burchaklarni belgilashni tavsiya qilamiz.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometriya. 7-9-sinflar: ta’lim muassasalari uchun darslik.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometriya. O'rta maktabning 10-11-sinflari uchun darslik.
• Pogorelov A.V., Geometriya. Ta’lim muassasalarining 7-11-sinflari uchun darslik.

Keling, burchak nima ekanligini aniqlashdan boshlaylik. Birinchidan, ikkinchidan, u burchak tomonlari deb ataladigan ikkita nurdan hosil bo'ladi. Uchinchidan, ikkinchisi burchakning tepasi deb ataladigan bir nuqtadan chiqadi. Ushbu belgilarga asoslanib, ta'rif berishimiz mumkin: burchak - bu bir nuqtadan (cho'qqi) chiqadigan ikkita nurdan (tomondan) iborat geometrik figura.

Ular darajalar bo'yicha, bir-biriga nisbatan joylashuvi va doiraga nisbatan tasniflanadi. Keling, ularning o'lchamlari bo'yicha burchak turlaridan boshlaylik.

Ularning bir nechta navlari bor. Keling, har bir turni batafsil ko'rib chiqaylik.

Burchaklarning faqat to'rtta asosiy turi mavjud - to'g'ri, o'tkir, o'tkir va rivojlangan burchaklar.

To'g'riga

Bu shunday ko'rinadi:

Uning daraja o'lchovi har doim 90 o, boshqacha aytganda, to'g'ri burchak 90 graduslik burchakdir. Faqat kvadrat va to'rtburchaklar kabi to'rtburchaklar mavjud.

To'mtoq

Bu shunday ko'rinadi:

Daraja o'lchovi har doim 90 darajadan katta, lekin 180 darajadan kam. U romb, ixtiyoriy parallelogramm kabi to'rtburchaklarda, ko'pburchaklarda paydo bo'lishi mumkin.

Achchiq

Bu shunday ko'rinadi:

O'tkir burchakning daraja o'lchovi har doim 90 ° dan kichikdir. Bu kvadrat va ixtiyoriy parallelogrammdan tashqari barcha to'rtburchaklarda uchraydi.

joylashtirilgan

Kengaytirilgan burchak quyidagicha ko'rinadi:

Bu ko'pburchaklarda bo'lmaydi, lekin u boshqa barchalardan kam emas. To'g'ri burchak geometrik shakl bo'lib, uning daraja o'lchami har doim 180º bo'ladi. Siz uning tepasidan istalgan yo'nalishda bir yoki bir nechta nurlarni chizish orqali qurishingiz mumkin.

Yana bir qancha ikkilamchi burchak turlari mavjud. Ular maktablarda o'rganilmaydi, lekin hech bo'lmaganda ularning mavjudligi haqida bilish kerak. Ikkilamchi burchaklarning faqat besh turi mavjud:

1. Nol

Bu shunday ko'rinadi:

Burchakning nomi allaqachon uning kattaligi haqida gapiradi. Uning ichki maydoni 0 o, tomonlari rasmda ko'rsatilganidek, bir-birining ustiga yotadi.

2. qiyshiq

Oblik to'g'ri va o'tkir, o'tkir va rivojlangan burchak bo'lishi mumkin. Uning asosiy sharti shundaki, u 0 o, 90 o, 180 o, 270 o ga teng bo'lmasligi kerak.

3. Qavariq

Qavariqlar nolga teng, toʻgʻri, oʻtmas, oʻtkir va rivojlangan burchaklardir. Siz allaqachon tushunganingizdek, qavariq burchakning daraja o'lchovi 0 o dan 180 o gacha.

4. Qavariq bo'lmagan

Qavariq bo'lmaganlar gradus o'lchovi 181 o dan 359 o gacha bo'lgan burchaklardir.

5. To'liq

To'liq burchak 360 daraja.

Bu o'lchamiga ko'ra barcha turdagi burchaklardir. Endi ularning turlarini bir-biriga nisbatan tekislikdagi joylashuvi bo'yicha ko'rib chiqing.

1. Qo'shimcha

Bu bitta to'g'ri chiziqni tashkil etuvchi ikkita o'tkir burchakdir, ya'ni. ularning yig'indisi 90 o.

2. Tegishli

Agar nur har qanday yo'nalishda o'rnatilgan, aniqrog'i, uning tepasi orqali o'tkazilsa, qo'shni burchaklar hosil bo'ladi. Ularning yig'indisi 180 o.

3. Vertikal

Ikki chiziq kesishganda vertikal burchaklar hosil bo'ladi. Ularning daraja o'lchovlari tengdir.

Endi aylanaga nisbatan joylashgan burchak turlariga o`tamiz. Ulardan faqat ikkitasi bor: markaziy va yozilgan.

1. Markaziy

Markaziy burchak aylananing markazida joylashgan burchakdir. Uning daraja o'lchovi yon tomonlarga cho'zilgan kichikroq yoyning daraja o'lchoviga teng.

2. Yozilgan

Cho'qqisi aylana ustida joylashgan va tomonlari uni kesib o'tadigan burchak chizilgan burchakdir. Uning daraja o'lchovi u joylashgan yoyning yarmiga teng.

Hammasi burchaklar haqida. Endi bilasizki, eng mashhur - o'tkir, o'tkir, to'g'ri va joylashtirilgan - geometriyada ularning boshqa ko'plab turlari mavjud.

Burchak asosiy geometrik shakl bo'lib, biz uni butun mavzu bo'ylab tahlil qilamiz. Ta'riflar, o'rnatish usullari, burchakni belgilash va o'lchash. Keling, chizmalardagi burchaklarni tanlash tamoyillarini tahlil qilaylik. Butun nazariya tasvirlangan va mavjud ko'p miqdorda vizual chizmalar.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

In'ektsiya- geometriyadagi oddiy muhim figura. Burchak to'g'ridan-to'g'ri nurning ta'rifiga bog'liq bo'lib, u o'z navbatida nuqta, chiziq va tekislikning asosiy tushunchalaridan iborat. To'liq o'rganish uchun siz mavzularni chuqur o'rganishingiz kerak tekislikdagi to'g'ri chiziq - kerakli ma'lumotlar va samolyot - kerakli ma'lumotlar.

Burchak tushunchasi shu tekislikda tasvirlangan nuqta, tekislik va to'g'ri chiziq tushunchalaridan boshlanadi.

Ta'rif 2

Samolyotda a chiziq berilgan. Undagi biror O nuqtani belgilang. Chiziq nuqta bilan ikki qismga bo'linadi, ularning har biri o'z nomiga ega Rey, va O nuqta nur boshlanishi.

Boshqacha qilib aytganda, nur yoki yarim chiziq - u berilgan chiziqning nuqtalaridan tashkil topgan, boshlang'ich nuqtaga, ya'ni O nuqtasiga nisbatan bir tomonda joylashgan chiziqning bir qismidir.

Nurni belgilashga ikkita variantda ruxsat beriladi: lotin alifbosining bitta kichik yoki ikkita katta harfi. Ikki harf bilan belgilansa, nur ikki harfdan iborat nomga ega. Keling, chizilgan rasmni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, burchakni aniqlash tushunchasiga o'tamiz.

Ta'rif 3

In'ektsiya- bu umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita mos kelmaydigan nurlar tomonidan hosil qilingan ma'lum bir tekislikda joylashgan raqam. yon burchak nurdir cho'qqi- tomonlarning umumiy boshlanishi.

Burchakning tomonlari to'g'ri chiziq vazifasini bajarishi mumkin bo'lgan holat mavjud.

Ta'rif 4

Agar burchakning ikkala tomoni bitta to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa yoki uning tomonlari bitta to'g'ri chiziqning qo'shimcha yarim chiziqlari bo'lib xizmat qilsa, bunday burchak deyiladi. joylashtirilgan.

Quyidagi rasmda tekislangan burchak ko'rsatilgan.

To'g'ri chiziqdagi nuqta burchakning cho'qqisidir. Ko'pincha, u O nuqtasi bilan belgilanadi.

Matematikada burchak "∠" belgisi bilan belgilanadi. Agar burchakning tomonlari kichik lotincha bilan belgilangan bo'lsa, burchakni to'g'ri aniqlash uchun tomonlarga mos ravishda harflar qatorga yoziladi. Agar ikki tomon k va h bilan belgilansa, burchak ∠ k h yoki ∠ h k deb belgilanadi.

Katta harflar bilan belgi bo'lsa, burchakning yon tomonlarida mos ravishda O A va O B nomlari mavjud. Bunday holda, burchak lotin alifbosining uchta harfining nomiga ega bo'lib, markazda tepada joylashgan - ∠ A O B va ∠ B O A . Burchaklarda nomlar yoki harflar bo'lmasa, raqamlar ko'rinishida belgi mavjud. Quyida rasm qaerda joylashgan turli yo'llar bilan burchaklar belgilangan.

Burchak tekislikni ikki qismga ajratadi. Agar burchak ishlab chiqilmagan bo'lsa, unda samolyotning bir qismi nomga ega ichki burchak maydoni, boshqa - tashqi burchak maydoni. Quyida samolyotning qaysi qismlari tashqi va qaysilari ichki ekanligini tushuntiruvchi rasm mavjud.

Tekislikda to'g'ri burchakka bo'linganda, uning har qanday qismi to'g'ri burchakning ichki qismi hisoblanadi.

Burchakning ichki maydoni - burchakning ikkinchi ta'rifi uchun xizmat qiluvchi element.

Ta'rif 5

burchak umumiy kelib chiqishi va burchakning tegishli ichki hududiga ega bo'lgan ikkita mos kelmaydigan nurlardan iborat geometrik figura deyiladi.

Ushbu ta'rif avvalgisidan ko'ra qat'iyroq, chunki u ko'proq shartlarga ega. Ikkala ta'rifni ham alohida ko'rib chiqish maqsadga muvofiq emas, chunki burchak bir nuqtadan chiqadigan ikkita nur yordamida o'zgartirilgan geometrik figuradir. Burchak bilan harakatlarni amalga oshirish zarur bo'lganda, ta'rif umumiy kelib chiqishi va ichki mintaqasi bo'lgan ikkita nurning mavjudligini anglatadi.

Ta'rif 6

Ikki burchak deyiladi bog'liq, agar umumiy tomon bo'lsa va qolgan ikkitasi bir-birini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa yoki to'g'ri burchak hosil qiladi.

Rasmda ko'rsatilgandek, qo'shni burchaklar bir-birini to'ldiradi, chunki ular bir-birining davomi.

Ta'rif 7

Ikki burchak deyiladi vertikal, agar birining tomonlari ikkinchisining to'ldiruvchi yarim chiziqlari bo'lsa yoki ikkinchisining yon tomonlarining kengaytmalari bo'lsa. Quyidagi rasmda vertikal burchaklarning tasviri ko'rsatilgan.

Chiziqlarni kesib o'tishda 4 juft qo'shni va 2 juft vertikal burchak olinadi. Quyida rasmda ko'rsatilgan.

Maqolada teng va teng bo'lmagan burchaklarning ta'riflari ko'rsatilgan. Qaysi burchak katta, qaysi kichikroq va burchakning boshqa xususiyatlarini tahlil qilamiz. Ikki raqam, agar ular qo'yilganda to'liq mos kelsa, teng hisoblanadi. Xuddi shu xususiyat burchaklarni solishtirish uchun ham amal qiladi.

Ikki burchak berilgan. Bu burchaklar teng yoki teng emas, degan xulosaga kelish kerak.

Ma'lumki, ikkita burchakning uchlari va birinchi burchakning yon tomoni ikkinchisining boshqa har qanday tomoni bilan bir-biriga to'g'ri keladi. Ya'ni, to'liq mos kelgan taqdirda, burchaklar qo'yilganda, berilgan burchaklarning tomonlari to'liq mos keladi, burchaklar teng.

Yon tomonlarini birlashtirmaslik, keyin burchaklarni birlashtirmaslik mumkin tengsiz, kichikroq boshqasidan tashkil topgan va Ko'proq butunlay boshqa burchakni o'z ichiga oladi. Quyida bir-biriga o'rnatilganda tekislanmaydigan teng bo'lmagan burchaklar mavjud.

Rivojlangan burchaklar tengdir.

Burchaklarni o'lchash o'lchangan burchakning yon tomonini va uning ichki hududini o'lchashdan boshlanadi, uni birlik burchaklar bilan to'ldirib, ular bir-biriga qo'llaniladi. Yig'ilgan burchaklar sonini hisoblash kerak, ular o'lchangan burchak o'lchovini oldindan belgilaydi.

Burchak birligi har qanday o'lchanadigan burchakda ifodalanishi mumkin. Fan va texnikada qo'llaniladigan umumiy qabul qilingan o'lchov birliklari mavjud. Ular boshqa unvonlarga ixtisoslashgan.

Eng ko'p ishlatiladigan tushuncha daraja.

Ta'rif 8

bir daraja to'g'rilangan burchakning yuz saksondan biriga ega bo'lgan burchak deyiladi.

Bir daraja uchun standart belgi "°", keyin bir daraja 1 ° dir. Demak, to'g'ri burchak bir darajadan tashkil topgan 180 ta shunday burchakdan iborat. Mavjud bo'lgan barcha burchaklar bir-biriga mahkam yopishtirilgan va oldingi tomonning yon tomonlari keyingisiga to'g'ri keladi.

Ma'lumki, burchakdagi graduslar soni burchakning bir xil o'lchovidir. Ishlab chiqilgan burchak o'z tarkibida 180 ta to'plangan burchaklarga ega. Quyidagi rasmda burchakning 30 marta, ya'ni kengaytirilgan oltidan bir qismi va 90 marta, ya'ni yarmi yotqizilgan misollar ko'rsatilgan.

Daqiqalar va soniyalar burchak o'lchovlarini aniq aniqlash uchun ishlatiladi. Ular burchak qiymati butun son daraja belgisi bo'lmaganda qo'llaniladi. Darajaning bunday qismlari aniqroq hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon beradi.

Ta'rif 9

daqiqa darajaning oltmishdan biri deb ataladi.

Ta'rif 10

ikkinchi daqiqaning oltmishdan biriga qo'ng'iroq qildi.

Bir daraja 3600 soniyani o'z ichiga oladi. Daqiqalar """ ni, soniyalar esa """ni bildiradi. Belgilanish amalga oshiriladi:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

17 gradus 3 daqiqa 59 soniya burchak belgisi esa 17° 3 "59"".

Ta'rif 11

Keling, 17 ° 3 "59" "" ga teng burchakning daraja o'lchovi yozuviga misol keltiraylik. Kirish boshqa shaklga ega 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Burchaklarni aniq o'lchash uchun undan foydalaning o'lchash moslamasi transportyor kabi. Burchak ∠ A O B va uning daraja o'lchami 110 darajani belgilashda qulayroq belgi qo'llaniladi ∠ A O B \u003d 110 °, unda "A O B burchagi 110 gradusga teng" deb yozilgan.

Geometriyada (0 , 180 ) oraliqdan burchak oʻlchovi qoʻllaniladi, trigonometriyada esa ixtiyoriy daraja oʻlchovi deyiladi. burilish burchaklari. Burchaklarning qiymati har doim haqiqiy son sifatida ifodalanadi. To'g'ri burchak 90 gradusga ega bo'lgan burchak. O'tkir burchak 90 darajadan kam bo'lgan burchakdir va to'mtoq- Ko'proq.

O'tkir burchak oraliqda o'lchanadi (0, 90) va o'tmas burchak - (90, 180) . Quyida uch turdagi burchaklar aniq ko'rsatilgan.

Har qanday burchakning har qanday daraja o'lchovi bir xil qiymatga ega. Kattaroq burchak, mos ravishda, kichikroqdan ko'ra kattaroq daraja o'lchoviga ega. Bir burchakning daraja o'lchovi ichki burchaklarning barcha mavjud daraja o'lchovlarining yig'indisidir. Quyidagi rasmda AOC, COD va DOB burchaklaridan tashkil topgan AOB burchagi ko'rsatilgan. Batafsil, bu shunday ko'rinadi: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Shunga asoslanib, shunday xulosaga kelish mumkin so'm hammasi qo'shni burchaklar 180 daraja chunki ularning barchasi kengaytirilgan burchakni tashkil qiladi.

Bundan kelib chiqadiki, har qanday vertikal burchaklari teng. Agar buni misol bilan ko'rib chiqsak, A O B va C O D burchaklari vertikal (chizmada) ekanligini olamiz, u holda A O B va B O C, C O D va B O C burchaklar juftlari qo'shni hisoblanadi. Bunday holda, ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° va ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° tenglik yagona to'g'ri hisoblanadi. Demak, biz ∠ A O B = ∠ C O D ga egamiz. Quyida vertikal tutqichlarning tasviri va belgilanishiga misol keltirilgan.

Darajalar, daqiqalar va soniyalardan tashqari, boshqa o'lchov birligi ishlatiladi. U deyiladi radian. Ko'pincha uni ko'pburchaklarning burchaklarini belgilashda trigonometriyada topish mumkin. Radian deb ataladigan narsa.

Ta'rif 12

Bir radian burchak aylana radiusi yoy uzunligiga teng bo'lgan markaziy burchak deb ataladi.

Rasmda radian aylana sifatida tasvirlangan, bu erda markaz mavjud bo'lib, nuqta bilan ko'rsatilgan, aylananing ustidagi ikkita nuqta ulangan va O A va O B radiuslariga aylantirilgan. Ta'rifga ko'ra, bu A O B uchburchak teng tomonli, ya'ni A B yoyi uzunligi O B va Oh A radiuslarining uzunliklariga teng ekanligini.

Burchakning belgilanishi "rad" sifatida qabul qilinadi. Ya'ni, 5 radiandagi yozuv 5 rad sifatida qisqartiriladi. Ba'zan siz pi nomiga ega bo'lgan belgini topishingiz mumkin. Radianlar ma'lum doiraning uzunligiga bog'liq emas, chunki raqamlar burchak va uning yoyi yordamida ma'lum bir burchakning tepasida joylashgan markaz bilan qandaydir cheklovga ega. Ular o'xshash deb hisoblanadi.

Radianlar darajalar bilan bir xil ma'noga ega, faqat farq ularning kattaligida. Buni aniqlash uchun markaziy burchak yoyining hisoblangan uzunligini uning radiusi uzunligiga bo'lish kerak.

Amalda, ular foydalanadilar darajalarni radianga va radianni darajaga aylantiring muammoni osonroq hal qilish uchun. Belgilangan maqolada daraja o'lchovi va radian o'rtasidagi bog'liqlik haqida ma'lumot mavjud bo'lib, unda siz darajadan radianga va aksincha tarjimalarni batafsil o'rganishingiz mumkin.

Yoylarni vizual va qulay tasvirlash uchun burchaklar, chizmalar qo'llaniladi. Muayyan burchakni, yoyni yoki nomni to'g'ri tasvirlash va belgilash har doim ham mumkin emas. Teng burchaklar bir xil sonli yoylar ko'rinishida va teng bo'lmaganlar har xil ko'rinishda belgilanishi mumkin. Chizma o'tkir, teng va teng bo'lmagan burchaklarning to'g'ri belgilanishini ko'rsatadi.

3 dan ortiq burchakni belgilash kerak bo'lganda, to'lqinli yoki jingalak kabi maxsus yoy belgilari qo'llaniladi. Bu unchalik muhim emas. Quyidagi rasmda ularning belgilanishi ko'rsatilgan.

Burchaklarning belgilanishi boshqa qiymatlarga xalaqit bermaslik uchun oddiy bo'lishi kerak. Muammoni hal qilishda, butun chizmani chalkashtirmaslik uchun faqat hal qilish uchun zarur bo'lgan burchaklarni tanlash tavsiya etiladi. Bu yechim va isbotga xalaqit bermaydi, shuningdek, chizilgan rasmga estetik ko'rinish beradi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing