บทความนี้ยังคงหัวข้อของสมการเส้นตรงบนระนาบ: พิจารณาสมการประเภทนี้ เช่น สมการทั่วไปตรง. มากำหนดทฤษฎีบทและพิสูจน์กัน มาดูกันว่าสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรงคืออะไรและจะเปลี่ยนจากสมการทั่วไปเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นได้อย่างไร เราจะรวบรวมทฤษฎีทั้งหมดพร้อมภาพประกอบและการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

Yandex.RTB R-A-339285-1

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ถูกกำหนดบนระนาบ

ทฤษฎีบท 1

สมการระดับแรกใด ๆ ที่มีรูปแบบ A x + B y + C \u003d 0 โดยที่ A, B, C เป็นจำนวนจริง (A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน) กำหนดเส้นตรงใน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ในทางกลับกัน เส้นใดๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบจะถูกกำหนดโดยสมการที่มีรูปแบบ A x + B y + C = 0 สำหรับชุดค่า A, B, C

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทนี้ประกอบด้วยสองจุด เราจะพิสูจน์แต่ละจุด

1. ให้เราพิสูจน์ว่าสมการ A x + B y + C = 0 กำหนดเส้นบนระนาบ

ปล่อยให้มีจุด M 0 (x 0 , y 0) ซึ่งพิกัดสอดคล้องกับสมการ A x + B y + C = 0 . ดังนั้น: A x 0 + By 0 + C = 0 . ลบด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x + B y + C \u003d 0 ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 เราได้สมการใหม่ที่ดูเหมือน A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . มันเทียบเท่ากับ A x + By + C = 0

สมการผลลัพธ์ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . ดังนั้น เซตของจุด M (x, y) กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมว่าเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ n → = (A, B) . เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่เป็นเช่นนั้น แต่เวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) จะไม่ตั้งฉากและความเท่าเทียมกัน A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 จะไม่เป็นจริง

ดังนั้น สมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 กำหนดเส้นบางเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ดังนั้น สมการที่เทียบเท่า A x + B y + C \u003d 0 จึงกำหนด บรรทัดเดียวกัน ดังนั้นเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทส่วนแรกแล้ว

1. ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตรงใดๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบสามารถกำหนดได้ด้วยสมการระดับแรก A x + B y + C = 0 .

ลองกำหนดเส้นตรง a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ จุด M 0 (x 0 , y 0) ที่เส้นนี้ผ่านเช่นเดียวกับเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = (A , B) .

ปล่อยให้มีจุด M (x , y) - จุดลอยตัวของเส้น ในกรณีนี้ เวกเตอร์ n → = (A , B) และ M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ตั้งฉากกัน และผลคูณสเกลาร์ของมันคือศูนย์:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

ลองเขียนสมการใหม่ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , กำหนด C: C = - A x 0 - B y 0 และสุดท้ายจะได้สมการ A x + B y + C = 0 .

ดังนั้น เราได้พิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบท และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมดโดยรวมแล้ว

คำจำกัดความ 1

สมการที่ดูเหมือนก x + ขย + ค = 0 - นี่คือ สมการทั่วไปของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอ x ย .

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นตรงที่กำหนดบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่และสมการทั่วไปนั้นเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นเดิมสอดคล้องกับสมการทั่วไป สมการทั่วไปของเส้นตรงสอดคล้องกับเส้นตรงที่กำหนดให้

นอกจากนี้จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่าสัมประสิทธิ์ A และ B สำหรับตัวแปร x และ y คือพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง ซึ่งกำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้นตรง A x + B y + ค = 0 .

พิจารณาตัวอย่างเฉพาะของสมการทั่วไปของเส้นตรง

ให้สมการ 2 x + 3 y - 2 = 0 ซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นนี้คือเวกเตอร์ n → = (2 , 3) ​​. วาดเส้นตรงที่กำหนดในภาพวาด

ต่อไปนี้สามารถโต้แย้งได้: เส้นตรงที่เราเห็นในภาพวาดถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x + 3 y - 2 = 0 เนื่องจากพิกัดของจุดทั้งหมดของเส้นตรงที่กำหนดให้สอดคล้องกับสมการนี้

เราจะได้สมการ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการเส้นตรงทั่วไปด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ λ สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการทั่วไปดั้งเดิม ดังนั้น มันจะอธิบายถึงเส้นเดียวกันในระนาบ

คำจำกัดความ 2

เติมสมการทั่วไปของเส้นตรง- เช่น สมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C \u003d 0 ซึ่งตัวเลข A, B, C ไม่ใช่ศูนย์ มิฉะนั้นสมการคือ ไม่สมบูรณ์.

ให้เราวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรง

1. เมื่อ A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 สมการทั่วไปจะกลายเป็น B y + C \u003d 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ที่ขนานกับแกน O x เนื่องจากสำหรับค่าจริงใดๆ ของ x ตัวแปร y จะรับค่า - ซี บี กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C \u003d 0 เมื่อ A \u003d 0, B ≠ 0 กำหนดตำแหน่งของจุด (x, y) ซึ่งมีพิกัดเท่ากับจำนวนเดียวกัน - ซี บี
2. ถ้า A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 สมการทั่วไปจะกลายเป็น y \u003d 0 สมการที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวกำหนดแกน x O x
3. เมื่อ A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 เราจะได้สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C \u003d 0 โดยกำหนดเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
4. ให้ A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 จากนั้นสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะอยู่ในรูปแบบ x \u003d 0 และนี่คือสมการของเส้นพิกัด O y
5. ในที่สุดเมื่อ A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะอยู่ในรูปแบบ A x + B y \u003d 0 และสมการนี้อธิบายเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด แท้จริงแล้ว คู่ของตัวเลข (0 , 0) สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน A x + B y = 0 เนื่องจาก A · 0 + B · 0 = 0 .

ให้เราแสดงกราฟิกของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรงทุกประเภทข้างต้น

ตัวอย่างที่ 1

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงที่กำหนดให้ขนานกับแกน y และผ่านจุด 2 7 , - 11 . จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนดให้

การตัดสินใจ

เส้นตรงขนานกับแกน y กำหนดโดยสมการในรูปแบบ A x + C \u003d 0 ซึ่ง A ≠ 0 เงื่อนไขยังระบุพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน และพิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C = 0 เช่น ความเท่าเทียมกันถูกต้อง:

ก 2 7 + ค = 0

เป็นไปได้ที่จะกำหนด C จากค่านี้โดยให้ค่า A ที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น A = 7 ในกรณีนี้ เราได้รับ: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2 เรารู้ทั้งค่าสัมประสิทธิ์ A และ C แทนค่าลงในสมการ A x + C = 0 และรับสมการเส้นที่ต้องการ: 7 x - 2 = 0

ตอบ: 7 x - 2 = 0

ตัวอย่างที่ 2

ภาพวาดแสดงเส้นตรงจำเป็นต้องเขียนสมการ

การตัดสินใจ

ภาพวาดที่กำหนดช่วยให้เราสามารถนำข้อมูลเบื้องต้นไปใช้แก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย เราเห็นในรูปวาดว่าเส้นที่กำหนดขนานกับแกน O x และผ่านจุด (0 , 3) ​​.

เส้นตรงที่ขนานกับ abscissa ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ B y + С = 0 ค้นหาค่าของ B และ C . พิกัดของจุด (0, 3) เนื่องจากเส้นตรงที่กำหนดให้ผ่านสมการของเส้นตรง B y + С = 0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงใช้ได้: В · 3 + С = 0 ลองตั้งค่า B เป็นค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมมติว่า B \u003d 1 ในกรณีนี้ จากความเท่าเทียมกัน B · 3 + C \u003d 0 เราสามารถหา C: C \u003d - 3 เราใช้ ค่าที่ทราบ B และ C เราได้สมการที่ต้องการของเส้น: y - 3 = 0

ตอบ:ย - 3 = 0 .

สมการทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดของระนาบ

ให้เส้นที่กำหนดผ่านจุด M 0 (x 0, y 0) จากนั้นพิกัดจะสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้น นั่นคือ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: A x 0 + B y 0 + C = 0 ลบด้านซ้ายและขวาของสมการนี้ออกจากด้านซ้ายและขวาของสมการทั่วไป สมการที่สมบูรณ์ตรง. เราได้รับ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 สมการนี้เทียบเท่ากับสมการเดิมทั่วไป ผ่านจุด M 0 (x 0, y 0) และมี เวกเตอร์ปกติ n → \u003d (A, B) .

ผลลัพธ์ที่เราได้รับทำให้สามารถเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงสำหรับพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงและพิกัดของจุดหนึ่งของเส้นตรงนี้ได้

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดจุด M 0 (- 3, 4) ที่เส้นผ่าน และเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรงนี้ n → = (1 , - 2) . จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดให้

การตัดสินใจ

เงื่อนไขเริ่มต้นช่วยให้เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการรวบรวมสมการ: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4 แล้ว:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

ปัญหาสามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ A x + B y + C = 0 . เวกเตอร์ปกติที่กำหนดช่วยให้คุณได้รับค่าสัมประสิทธิ์ A และ B จากนั้น:

ก x + ข y + ค = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ตอนนี้หาค่าของ C โดยใช้ กำหนดตามเงื่อนไขจุดปัญหา M 0 (- 3 , 4) ที่เส้นผ่าน พิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับสมการ x - 2 · y + C = 0 , เช่น - 3 - 2 4 + C \u003d 0. ดังนั้น C = 11 สมการเส้นตรงที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​- 2 · y + 11 = 0 .

ตอบ: x - 2 y + 11 = 0 .

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดเส้น 2 3 x - y - 1 2 = 0 และจุด M 0 อยู่บนเส้นนี้ มีเพียง abscissa ของจุดนี้เท่านั้นที่รู้และมีค่าเท่ากับ - 3 มีความจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่กำหนด

การตัดสินใจ

มากำหนดการกำหนดพิกัดของจุด M 0 เป็น x 0 และ y 0 . ข้อมูลเริ่มต้นระบุว่า x 0 \u003d - 3 เนื่องจากจุดเป็นของเส้นที่กำหนด พิกัดจึงสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นนี้ จากนั้นความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

2 3 x 0 - ย 0 - 1 2 = 0

กำหนด y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

ตอบ: - 5 2

การเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นตรงไปเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นๆ และในทางกลับกัน

ดังที่เราทราบ มีสมการของเส้นตรงเดียวกันในระนาบหลายประเภท การเลือกประเภทของสมการขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปได้ที่จะเลือกวิธีที่สะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหา นี่คือจุดที่ทักษะในการแปลงสมการชนิดหนึ่งเป็นสมการอีกชนิดหนึ่งมีประโยชน์มาก

ขั้นแรก ให้พิจารณาการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของรูปแบบ A x + B y + C = 0 เป็นสมการมาตรฐาน x - x 1 a x = y - y 1 a y .

ถ้า A ≠ 0 เราจะย้ายเทอม B y ไปทางด้านขวาของสมการทั่วไป ทางด้านซ้าย เรานำ A ออกจากวงเล็บ เป็นผลให้เราได้รับ: A x + C A = - B y .

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วนได้: x + C A - B = y A .

ถ้า B ≠ 0 เราทิ้งเฉพาะเทอม A x ไว้ที่ด้านซ้ายของสมการทั่วไป เราโอนที่เหลือไปด้านขวา เราจะได้ A x \u003d - B y - C เรานำ - B ออกจากวงเล็บแล้ว: A x \u003d - B y + C B

ลองเขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นสัดส่วน: x - B = y + C B A .

แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องจำสูตรผลลัพธ์ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบอัลกอริทึมของการกระทำในระหว่างการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการที่ยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 5

สมการทั่วไปของเส้น 3 y - 4 = 0 จะได้รับ จะต้องแปลงเป็นสมการบัญญัติ

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการดั้งเดิมเป็น 3 y - 4 = 0 . ต่อไป เราดำเนินการตามอัลกอริทึม: คำว่า 0 x ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย และทางด้านขวาเรานำออก - 3 ออกจากวงเล็บ เราได้: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ลองเขียนความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเป็นสัดส่วน: x - 3 = y - 4 3 0 . ดังนั้นเราจึงได้รับสมการของรูปแบบบัญญัติ

คำตอบ: x - 3 = y - 4 3 0.

ในการแปลงสมการทั่วไปของเส้นตรงเป็นสมการพาราเมตริก ให้เปลี่ยนสมการก่อน รูปแบบบัญญัติแล้วเปลี่ยนจากสมการมาตรฐานของเส้นตรงเป็นสมการพาราเมตริก

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงกำหนดโดยสมการ 2 x - 5 y - 1 = 0 เขียนสมการพาราเมทริกของเส้นตรงนี้

การตัดสินใจ

มาทำการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปเป็นสมการตามบัญญัติ:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ทีนี้ลองนำทั้งสองส่วนของสมการมาตรฐานที่ได้เท่ากับ λ แล้ว:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ตอบ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

สมการทั่วไปสามารถแปลงเป็นสมการเส้นตรงได้ด้วย ปัจจัยความชัน y \u003d k x + b แต่เมื่อ B ≠ 0 เท่านั้น สำหรับการเปลี่ยนแปลงทางด้านซ้าย เราปล่อยคำ B y ไว้ ส่วนที่เหลือจะถูกโอนไปทางขวา เราได้รับ: B y = - A x - C . ลองหารทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นด้วย B ซึ่งแตกต่างจากศูนย์: y = - A B x - C B

ตัวอย่างที่ 7

สมการทั่วไปของเส้นตรงจะได้รับ: 2 x + 7 y = 0 . คุณต้องแปลงสมการนั้นเป็นสมการความชัน

การตัดสินใจ

มาดำเนินการที่จำเป็นตามอัลกอริทึม:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

ตอบ: y = - 2 7 x .

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง มันก็เพียงพอแล้วที่จะได้รับสมการในส่วนของแบบฟอร์ม x a + y b \u003d 1 ในการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราโอนหมายเลข C ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน หารทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นด้วย - С และสุดท้าย โอนค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และ y ไปยังตัวส่วน:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องแปลงสมการทั่วไปของเส้นตรง x - 7 y + 1 2 = 0 เป็นสมการของเส้นตรงเป็นส่วนๆ

การตัดสินใจ

ย้าย 1 2 ไปทางขวา: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2

หารด้วย -1/2 ทั้งสองข้างของสมการ: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1

ตอบ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

โดยทั่วไปแล้ว การเปลี่ยนกลับก็ง่ายเช่นกัน จากสมการประเภทอื่นไปจนถึงสมการทั่วไป

สมการของเส้นตรงในกลุ่มและสมการที่มีความชันสามารถแปลงเป็นสมการทั่วไปได้ง่ายๆ เพียงรวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการ:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

สมการบัญญัติจะถูกแปลงเป็นสมการทั่วไปตามโครงร่างต่อไปนี้:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ในการส่งผ่านจากพาราเมตริก ขั้นแรกให้ดำเนินการเปลี่ยนผ่านเป็นค่าบัญญัติ จากนั้นจึงเปลี่ยนเป็นค่าทั่วไป:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ตัวอย่างที่ 9

สมการพาราเมทริกของเส้นตรง x = - 1 + 2 · λ y = 4 จะได้รับ จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของบรรทัดนี้

การตัดสินใจ

มาทำการเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกเป็นแบบบัญญัติ:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

ย้ายจากบัญญัติเป็นทั่วไป:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

ตอบ: y - 4 = 0

ตัวอย่างที่ 10

สมการของเส้นตรงในส่วน x 3 + y 1 2 = 1 จะได้รับ จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงเป็น ปริทัศน์สมการ

การตัดสินใจ:

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

ตอบ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

การวาดสมการทั่วไปของเส้นตรง

ข้างต้น เรากล่าวว่าสมการทั่วไปสามารถเขียนด้วยพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน เส้นตรงดังกล่าวถูกกำหนดโดยสมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . เราได้วิเคราะห์ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องในที่เดียวกัน

ทีนี้มาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งก่อนอื่น จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตัวอย่างที่ 11

ให้เส้นขนานกับเส้นตรง 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . หรือที่เรียกว่าจุด M 0 (4 , 1) ซึ่งเส้นที่กำหนดผ่าน จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดให้

การตัดสินใจ

เงื่อนไขเริ่มต้นบอกเราว่าเส้นนั้นขนานกัน ในขณะที่เวกเตอร์ปกติของเส้นที่ต้องเขียนสมการ เราจะใช้เวกเตอร์กำกับของเส้น n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. ตอนนี้เรารู้ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดในการสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงแล้ว:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

ตอบ: 2 x - 3 ย - 5 = 0 .

ตัวอย่างที่ 12

เส้นที่กำหนดผ่านจุดกำเนิดที่ตั้งฉากกับเส้น x - 2 3 = y + 4 5 จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนดให้

การตัดสินใจ

เวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดจะเป็นเวกเตอร์กำกับเส้น x - 2 3 = y + 4 5 .

จากนั้น n → = (3 , 5) . เส้นตรงผ่านจุดกำเนิดนั่นคือ ผ่านจุด O (0, 0) . ลองเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนดให้:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ตอบ: 3 x + 5 ย = 0 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ให้คะแนนสองคะแนน ม 1 (x 1, y 1)และ ม 2 (x 2, y 2). เราเขียนสมการของเส้นตรงในรูปแบบ (5) โดยที่ เคเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ยังไม่ทราบ:

ตั้งแต่จุดที่ เอ็ม 2อยู่ในเส้นที่กำหนด แล้วพิกัดของมันก็เป็นไปตามสมการ (5): . แสดงจากที่นี่และแทนลงในสมการ (5) เราได้สมการที่ต้องการ:

ถ้า สมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่จำง่ายกว่า:

(6)

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ม.1 (1.2) และ ม.2 (-2.3)

การตัดสินใจ. . การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนและการแปลงที่จำเป็น เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรง:

มุมระหว่างสองบรรทัด

พิจารณาสองบรรทัด ล. 1และ ล. 2:

ล. 1: , , และ

ล. 2: , ,

φ คือมุมระหว่างพวกมัน () รูปที่ 4 แสดง: .

จากที่นี่ , หรือ

ใช้สูตร (7) สามารถกำหนดมุมใดมุมหนึ่งระหว่างบรรทัดได้ มุมที่สองคือ

ตัวอย่าง. เส้นตรงสองเส้นได้จากสมการ y=2x+3 และ y=-3x+2 หามุมระหว่างเส้นเหล่านี้

การตัดสินใจ. เห็นได้จากสมการที่ k 1 \u003d 2 และ k 2 \u003d-3 เราพบการแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตร (7)

. ดังนั้นมุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ

เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น

ถ้าตรง ล. 1และ ล. 2ขนานกันแล้ว φ=0 และ tgφ=0. จากสูตร (7) จะได้ว่า มาจากไหน k 2 \u003d k 1. ดังนั้นเงื่อนไขของความขนานของเส้นตรงสองเส้นคือความเท่ากันของความชัน

ถ้าตรง ล. 1และ ล. 2ตั้งฉากแล้ว φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . ดังนั้นเงื่อนไขสำหรับเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกันคือความชันของเส้นตรงทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากันและตรงกันข้ามในเครื่องหมาย

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ระยะทางไปยังเส้น Ax + Vy + C \u003d 0 จะถูกกำหนดเป็น

การพิสูจน์. ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุด M ถึงเส้นที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถหาได้จากคำตอบของระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ลากผ่าน จุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูป:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นแก้ปัญหา เราได้รับ:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3x + 7; y = 2x + 1

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; เจ = หน้า/4.

ตัวอย่าง.แสดงว่าเส้น 3x - 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y - 3 = 0 ตั้งฉาก

เราพบ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1 ดังนั้น เส้นตั้งฉาก

ตัวอย่าง.จุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) จะได้รับ ค้นหาสมการความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

เราพบสมการของด้าน AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการคือ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b

k= . แล้ว y = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C ก็จะได้พิกัดตามที่กำหนด สมการนี้: จากไหน b = 17. รวม: .

คำตอบ: 3x + 2y - 34 = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยความยาวของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดหนึ่งไปยังเส้นหนึ่ง

ถ้าเส้นนั้นขนานกับระนาบการฉาย (ห | | ป 1)จากนั้นเพื่อกำหนดระยะห่างจากจุด และตรงไป ชม.จำเป็นต้องวางแนวตั้งฉากจากจุด และไปที่แนวนอน ชม..

พิจารณาเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนเมื่อสายตรง ตำแหน่งทั่วไป. จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างจากจุด มตรงไป กตำแหน่งทั่วไป

งานคำจำกัดความ ระยะห่างระหว่างเส้นขนานแก้ไขคล้ายกับก่อนหน้านี้ จุดจะอยู่บนเส้นหนึ่งและเส้นตั้งฉากจะถูกลากไปยังอีกเส้นหนึ่ง ความยาวของเส้นตั้งฉากเท่ากับระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

เส้นโค้งของลำดับที่สองเป็นเส้นที่กำหนดโดยสมการระดับที่สองที่เกี่ยวกับพิกัดคาร์ทีเซียนปัจจุบัน ในกรณีทั่วไป Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0

โดยที่ A, B, C, D, E, F เป็นจำนวนจริงและอย่างน้อยหนึ่งในจำนวน A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0

วงกลม

ศูนย์วงกลม- นี่คือตำแหน่งของจุดในระนาบที่ห่างจากจุดของระนาบ C (a, b) เท่ากัน

วงกลมถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้:

โดยที่ x, y คือพิกัดของจุดใดๆ บนวงกลม, R คือรัศมีของวงกลม

สัญลักษณ์ของสมการวงกลม

1. ไม่มีเทอมที่มี x, y

2. ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 2 และ y 2 เท่ากัน

วงรี

วงรีตำแหน่งของจุดในระนาบเรียกว่าผลรวมของระยะทางของแต่ละจุดจากสองจุดที่กำหนดให้ของระนาบนี้เรียกว่า โฟกัส (ค่าคงที่)

สมการบัญญัติของวงรี:

X และ y อยู่ในวงรี

a คือกึ่งแกนหลักของวงรี

b คือกึ่งแกนรองของวงรี

วงรีมีแกนสมมาตร 2 แกน OX และ OY แกนสมมาตรของวงรีคือแกนของมัน จุดตัดกันคือจุดศูนย์กลางของวงรี เรียกแกนที่ตั้งของจุดโฟกัส แกนโฟกัส. จุดตัดของวงรีกับแกนคือจุดยอดของวงรี

อัตราส่วนการบีบอัด (ยืด): ε = ค/ก- ความเยื้องศูนย์กลาง (ลักษณะรูปร่างของวงรี) ยิ่งมีขนาดเล็กเท่าใด วงรีก็ยิ่งขยายไปตามแกนโฟกัสน้อยลงเท่านั้น

ถ้าจุดศูนย์กลางของวงรีไม่ได้อยู่ตรงกลาง С(α, β)

ไฮเพอร์โบลา

อติพจน์เรียกว่า ตําแหน่งของจุดในระนาบ ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของระยะทาง ซึ่งแต่ละจุดจากจุดที่กำหนดสองจุดของระนาบนี้ เรียกว่า โฟกัส เป็นค่าคงที่ที่แตกต่างจากศูนย์

สมการบัญญัติของไฮเปอร์โบลา

ไฮเปอร์โบลามีสมมาตร 2 แกน:

a - กึ่งสมมาตรจริงของสมมาตร

b - กึ่งแกนสมมุติของสมมาตร

เครื่องหมายกำกับของไฮเปอร์โบลา:

พาราโบลา

พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดในระนาบที่ห่างจากจุด F ที่กำหนดซึ่งเรียกว่าโฟกัส และเส้นที่กำหนดเรียกว่าไดเรกตริกซ์

สมการพาราโบลาบัญญัติ:

Y 2 \u003d 2px โดยที่ p คือระยะทางจากโฟกัสไปยังไดเรกตริกซ์ (พารามิเตอร์พาราโบลา)

หากจุดยอดของพาราโบลาคือ C (α, β) ดังนั้นสมการของพาราโบลา (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

หากใช้แกนโฟกัสเป็นแกน y สมการพาราโบลาจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 \u003d 2qy

ให้เส้นตรงผ่านจุด M 1 (x 1; y 1) และ M 2 (x 2; y 2) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 มีรูปแบบ y- y 1 \u003d เค (x - x 1), (10.6)

ที่ไหน เค - ยังไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด M 2 (x 2 y 2) พิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการ (10.6): y 2 -y 1 \u003d เค (x 2 -x 1)

จากที่นี่เราจะพบการแทนค่าที่พบ เค ในสมการ (10.6) เราได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 และ M 2:

สันนิษฐานว่าในสมการนี้ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

ถ้า x 1 \u003d x 2 แสดงว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y I) และ M 2 (x 2, y 2) จะขนานกับแกน y สมการของมันคือ x = x 1 .

ถ้า y 2 \u003d y I สมการของเส้นตรงสามารถเขียนเป็น y \u003d y 1 เส้นตรง M 1 M 2 ขนานกับแกน x

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

ให้เส้นตรงตัดแกน Ox ที่จุด M 1 (a; 0) และแกน Oy - ที่จุด M 2 (0; b) สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
เหล่านั้น.
. สมการนี้เรียกว่า สมการของเส้นตรงในส่วนเพราะ ตัวเลข a และ b ระบุว่าส่วนใดที่เส้นตรงตัดบนแกนพิกัด.

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ลองหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด Mo (x O; y o) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนด n = (A; B)

ใช้จุดใดก็ได้ M(x; y) บนเส้นตรงและพิจารณาเวกเตอร์ M 0 M (x - x 0; y - y o) (ดูรูปที่ 1) เนื่องจากเวกเตอร์ n และ M o M ตั้งฉากกัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจึงเท่ากับศูนย์ นั่นคือ

ก(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

เรียกว่าสมการ (10.8) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด .

เวกเตอร์ n = (A; B) ตั้งฉากกับเส้นตรงเรียกว่าปกติ เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรงนี้ .

สมการ (10.8) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น อา + อู๋ + ค = 0 , (10.9)

โดยที่ A และ B เป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติ C \u003d -Ax o - Vu o - สมาชิกอิสระ สมการ (10.9) คือสมการทั่วไปของเส้นตรง(ดูรูปที่ 2)

รูปที่ 1 รูปที่ 2

สมการเชิงบัญญัติของเส้นตรง

,

ที่ไหน
คือพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน และ
- เวกเตอร์ทิศทาง

เส้นโค้งของวงกลมลำดับที่สอง

วงกลมคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

สมการมาตรฐานของวงกลมรัศมี ร มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง
:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าจุดศูนย์กลางของเงินเดิมพันตรงกับจุดกำเนิด สมการจะมีลักษณะดังนี้:

วงรี

วงรีคือชุดของจุดในระนาบ ผลรวมของระยะทางจากแต่ละจุดไปยังจุดที่กำหนดสองจุด และ ซึ่งเรียกว่า โฟกัส เป็นค่าคงที่
มากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส
.

สมการบัญญัติของวงรีที่มีจุดโฟกัสอยู่บนแกนวัวและมีต้นกำเนิดอยู่ตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสมีรูปแบบ
ช เดอก ความยาวของกึ่งแกนหลักข คือความยาวของกึ่งแกนรอง (รูปที่ 2)

สมการแบบบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศคือสมการที่กำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตรงไปยังเวกเตอร์ทิศทาง

ให้จุดและเวกเตอร์กำหนดทิศทาง จุดโดยพลการอยู่บนเส้น ลเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์และอยู่ในแนวร่วม กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไข:

.

สมการข้างต้นเป็นสมการมาตรฐานของเส้น

ตัวเลข ม , นและ หน้าเป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางบนแกนพิกัด เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นตัวเลขทั้งหมด ม , นและ หน้าไม่สามารถเป็นศูนย์ในเวลาเดียวกัน แต่หนึ่งหรือสองตัวอาจเป็นศูนย์ ที่ เรขาคณิตวิเคราะห์ตัวอย่างเช่น อนุญาตให้ใช้รายการต่อไปนี้:

,

ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน โอ๊ยและ ออนซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ทั้งเวกเตอร์และเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการบัญญัติจึงตั้งฉากกับแกน โอ๊ยและ ออนซ์เช่น เครื่องบิน yOz .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของเส้นตรงในปริภูมิที่ตั้งฉากกับระนาบ และผ่านจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์ .

การตัดสินใจ. ค้นหาจุดตัดของระนาบที่กำหนดกับแกน ออนซ์. เนื่องจากจุดใดๆ บนแกน ออนซ์, มีพิกัด , จากนั้นสมมติในสมการที่กำหนดของระนาบ x=y= 0 , เราได้ 4 ซี- 8 = 0 หรือ ซี= 2 . ดังนั้นจุดตัดของระนาบที่กำหนดกับแกน ออนซ์มีพิกัด (0; 0; 2) . เนื่องจากเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบ มันจึงขนานกับเวกเตอร์ตั้งฉาก ดังนั้นเวกเตอร์ปกติสามารถทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์กำกับเส้นตรงได้ ให้เครื่องบิน

ตอนนี้เราเขียนสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ก= (0; 0; 2) ในทิศทางของเวกเตอร์ :

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

เส้นตรงสามารถกำหนดได้ด้วยจุดสองจุดที่อยู่บนนั้น และ ในกรณีนี้ เวกเตอร์กำกับเส้นตรงสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นจะอยู่ในรูปแบบ

.

สมการข้างต้นกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของเส้นตรงในปริภูมิที่ผ่านจุด และ

การตัดสินใจ. เราเขียนสมการที่ต้องการของเส้นตรงในรูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้นในการอ้างอิงทางทฤษฎี:

.

เนื่องจาก เส้นที่ต้องการจะตั้งฉากกับแกน โอ๊ย .

ตรงเป็นเส้นตัดระนาบ

เส้นตรงในอวกาศสามารถกำหนดให้เป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบ และเป็นชุดของจุดที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ

สมการของระบบเรียกอีกอย่างว่าสมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในช่องว่างที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

การตัดสินใจ. ในการเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงหรือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด คุณต้องหาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรง พวกเขาสามารถเป็นจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบพิกัดสองระนาบใด ๆ เป็นต้น yOzและ xOz .

จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ yOzมี abscissa x= 0 . ดังนั้น การตั้งสมมติฐานในระบบสมการนี้ x= 0 เราจะได้ระบบที่มีสองตัวแปร:

การตัดสินใจของเธอ ย = 2 , ซี= 6 ร่วมกับ x= 0 กำหนดจุด ก(0; 2; 6) ของบรรทัดที่ต้องการ สมมติว่าในระบบสมการที่กำหนด ย= 0 เราได้ระบบ

การตัดสินใจของเธอ x = -2 , ซี= 0 ร่วมกับ ย= 0 กำหนดจุด ข(-2; 0; 0) จุดตัดของเส้นกับระนาบ xOz .

ตอนนี้เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ก(0; 2; 6) และ ข (-2; 0; 0) :

,

หรือหลังจากหารตัวส่วนด้วย -2:

,

สมการเส้นตรงบนระนาบ
เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง เวกเตอร์ปกติ

เส้นตรงบนระนาบเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดที่คุณคุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถม และวันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีจัดการกับมันโดยใช้วิธีการของเรขาคณิตวิเคราะห์ เพื่อให้เชี่ยวชาญในวัสดุ จำเป็นต้องสร้างเส้นตรงได้ รู้ว่าสมการใดกำหนดเส้นตรง โดยเฉพาะ เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด ข้อมูลนี้สามารถพบได้ในคู่มือ กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐานฉันสร้างมันขึ้นมาสำหรับ matan แต่ส่วนของฟังก์ชันเชิงเส้นนั้นประสบความสำเร็จและมีรายละเอียดมาก ดังนั้นกาน้ำชาที่รัก ก่อนอื่นให้อุ่นเครื่องที่นั่น นอกจากนี้คุณต้องมี ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ เวกเตอร์มิฉะนั้นความเข้าใจในเนื้อหาจะไม่สมบูรณ์

ในบทเรียนนี้ เราจะดูวิธีที่คุณสามารถเขียนสมการของเส้นตรงในระนาบได้ ฉันขอแนะนำว่าอย่าละเลยตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง (แม้ว่ามันจะดูเหมือนง่ายมาก) เนื่องจากฉันจะจัดหาให้พวกเขาด้วยระดับประถมศึกษาและ ข้อเท็จจริงที่สำคัญ, วิธีการทางเทคนิคที่จะต้องใช้ในอนาคต รวมถึงในส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ระดับสูง

• จะเขียนสมการเส้นตรงที่มีความชันได้อย่างไร?
• ยังไง ?
• จะหาเวกเตอร์ทิศทางด้วยสมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?
• จะเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉากได้อย่างไร?

และเราเริ่ม:

สมการเส้นกับความชัน

รูปแบบ "โรงเรียน" ที่รู้จักกันดีของสมการเส้นตรงเรียกว่า สมการเส้นตรงที่มีความชัน. ตัวอย่างเช่น หากสมการกำหนดให้เป็นเส้นตรง ความชันจะเป็นดังนี้ พิจารณา ความหมายทางเรขาคณิตค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดและค่าของมันส่งผลต่อตำแหน่งของเส้นอย่างไร:

ในทางเรขาคณิตได้พิสูจน์แล้วว่า ความชันของเส้นตรงคือ แทนเจนต์ของมุมระหว่างทิศทางแกนบวกและกำหนดเส้น: และมุมจะ "คลายเกลียว" ทวนเข็มนาฬิกา

เพื่อไม่ให้ภาพวาดรกรุงรัง ฉันวาดมุมสำหรับเส้นตรงสองเส้นเท่านั้น พิจารณาเส้นตรง "สีแดง" และความชัน ตามด้านบน: (มุม "อัลฟา" ระบุด้วยส่วนโค้งสีเขียว) สำหรับเส้นตรง "สีน้ำเงิน" ที่มีความชัน ความเสมอภาคจะเป็นจริง (มุม "เบต้า" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีน้ำตาล) และถ้าทราบแทนเจนต์ของมุม ถ้าจำเป็นก็จะหาได้ง่าย และมุมโดยใช้ฟังก์ชันผกผัน - ส่วนโค้งสัมผัสกัน อย่างที่พวกเขาบอกว่ามีตารางตรีโกณมิติหรือเครื่องคิดเลขอยู่ในมือ ทางนี้, ความชันกำหนดระดับความเอียงของเส้นตรงกับแกน x.

ในกรณีนี้ เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

1) หากความชันเป็นลบ: เส้นจะพูดคร่าวๆ จากบนลงล่าง ตัวอย่างคือเส้นตรง "สีน้ำเงิน" และ "สีแดงเข้ม" ในภาพวาด

2) หากความชันเป็นบวก: เส้นจะเคลื่อนจากล่างขึ้นบน ตัวอย่างคือเส้นตรง "สีดำ" และ "สีแดง" ในภาพวาด

3) หากมีความลาดชัน ศูนย์: จากนั้น สมการจะอยู่ในรูปแบบ และเส้นตรงที่สอดคล้องกันจะขนานกับแกน ตัวอย่างคือเส้น "สีเหลือง"

4) สำหรับครอบครัวของเส้นตรงขนานกับแกน (ไม่มีตัวอย่างในการวาดยกเว้นแกนเอง) ความชัน ไม่ได้อยู่ (ไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ของ 90 องศา).

ยิ่งโมดูโลมีความชันมากเท่าใด กราฟเส้นก็จะยิ่งชันมากขึ้นเท่านั้น.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ตรงนี้ เส้นตรงจะมีความชันมากกว่า ฉันเตือนคุณว่าโมดูลอนุญาตให้คุณละเว้นเครื่องหมาย เราสนใจเท่านั้น ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ในทางกลับกัน เส้นตรงจะชันกว่าเส้นตรง .

ในทางกลับกัน ยิ่งโมดูโลที่มีความลาดชันน้อยเท่าใด เส้นตรงก็จะเรียบขึ้นเท่านั้น.

สำหรับเส้นตรง อสมการเป็นจริง ดังนั้น เส้นตรงจึงเป็นมากกว่าเรือนยอด สไลด์สำหรับเด็กเพื่อไม่ให้เกิดรอยฟกช้ำและกระแทก

ทำไมถึงจำเป็น?

ยืดเวลาการทรมานของคุณ การรู้ข้อเท็จจริงข้างต้นช่วยให้คุณเห็นข้อผิดพลาดของคุณได้ทันที โดยเฉพาะข้อผิดพลาดเมื่อวางแผนกราฟ - หากการวาดกลายเป็น "มีบางอย่างผิดปกติอย่างชัดเจน" เป็นที่พึงปรารถนาที่คุณ ทันทีเห็นได้ชัดว่า ตัวอย่างเช่น เส้นตรงชันมากและลากจากล่างขึ้นบน และเส้นตรงแบนมาก ใกล้กับแกน และลากจากบนลงล่าง

ในปัญหาทางเรขาคณิต เส้นตรงหลายเส้นมักจะปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงสะดวกที่จะระบุมันด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

สัญกรณ์: เส้นตรงจะแสดงด้วยขนาดเล็ก ด้วยตัวอักษรละติน: . ตัวเลือกยอดนิยมคือการกำหนดตัวอักษรเดียวกันกับตัวห้อยตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ห้าบรรทัดที่เราเพิ่งพิจารณาสามารถเขียนแทนด้วย .

เนื่องจากเส้นตรงใดๆ ถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยเฉพาะ จึงสามารถแสดงด้วยจุดเหล่านี้: เป็นต้น สัญกรณ์ค่อนข้างชัดเจนว่าจุดเป็นของเส้น

ได้เวลาผ่อนคลายสักหน่อย:

จะเขียนสมการเส้นตรงที่มีความชันได้อย่างไร?

หากทราบว่าจุดใดเป็นของเส้นบางเส้น และความชันของเส้นตรง สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชัน ถ้าทราบว่าจุดนั้นเป็นของเส้นตรงนี้

การตัดสินใจ: เราจะเขียนสมการของเส้นตรงตามสูตร . ในกรณีนี้:

ตอบ:

การตรวจสอบดำเนินการเบื้องต้น ขั้นแรก เราดูสมการผลลัพธ์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความชันของเราอยู่ในตำแหน่งเดิม ประการที่สอง พิกัดของจุดต้องเป็นไปตามสมการที่กำหนด ลองแทนลงในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการที่ได้

บทสรุป: พบสมการถูกต้อง

ตัวอย่างที่ยากกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการของเส้นตรงหากทราบว่ามุมเอียงของมันไปยังทิศทางบวกของแกนคือ และจุดนั้นเป็นของเส้นตรงนี้

หากคุณกำลังประสบปัญหา ให้อ่านใหม่อีกครั้ง วัสดุทางทฤษฎี. แม่นยำกว่า ใช้งานได้จริงกว่า ฉันพลาดการพิสูจน์มากมาย

ดังขึ้น สายสุดท้ายพรหมสิ้นใจแล้วนอกประตู โฮมสคูลเรากำลังรอเรขาคณิตวิเคราะห์อยู่ เรื่องตลกจบลงแล้ว... อาจจะเพิ่งเริ่มต้น =)

ด้วยความคิดถึงเราโบกมือให้คุ้นเคยและทำความคุ้นเคยกับสมการทั่วไปของเส้นตรง เนื่องจากในเรขาคณิตวิเคราะห์จึงเป็นสิ่งที่ใช้อยู่:

สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ: , มีเลขไหนบ้าง. ในขณะเดียวกันค่าสัมประสิทธิ์ พร้อมกันไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากสมการไม่มีความหมาย

ลองสวมสูทและผูกสมการด้วยความชัน ก่อนอื่น เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางด้านซ้าย:

ต้องใส่คำที่มี "x" เป็นอันดับแรก:

โดยหลักการแล้ว สมการมีรูปแบบอยู่แล้ว แต่ตามกฎของมารยาททางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมแรก (ในกรณีนี้ ) จะต้องเป็นค่าบวก สัญญาณเปลี่ยน:

จำสิ่งนี้ คุณสมบัติทางเทคนิค! เราสร้างค่าสัมประสิทธิ์แรก (บ่อยที่สุด ) เป็นบวก!

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการของเส้นตรงจะถูกใส่เข้าไปเกือบตลอดเวลา แบบฟอร์มทั่วไป. ถ้าจำเป็นก็ง่ายที่จะนำไปสู่รูปแบบ "โรงเรียน" ที่มีความชัน (ยกเว้นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y)

ลองถามตัวเองว่า เพียงพอรู้จักสร้างเส้นตรง? สองจุด แต่เกี่ยวกับกรณีวัยเด็กนี้ ภายหลัง ตอนนี้ยึดกฎลูกศร เส้นตรงแต่ละเส้นมีความชันที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งง่ายต่อการ "ดัดแปลง" เวกเตอร์.

เวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนั้น. เห็นได้ชัดว่า เส้นตรงใดๆ มีเวกเตอร์ทิศทางมากมายมหาศาล และพวกมันทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ ไม่สำคัญ)

ฉันจะแสดงเวกเตอร์ทิศทางดังนี้: .

แต่เวกเตอร์ตัวเดียวไม่เพียงพอที่จะสร้างเส้นตรง เวกเตอร์นั้นฟรีและไม่ยึดติดกับจุดใดๆ ของระนาบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรู้บางจุดที่เป็นของบรรทัด

จะเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ทิศทางได้อย่างไร?

หากทราบจุดใดจุดหนึ่งที่เป็นของเส้นตรงและเวกเตอร์กำกับของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้สามารถรวบรวมได้โดยสูตร:

บางครั้งก็เรียกว่า สมการบัญญัติของเส้น .

จะทำอย่างไรเมื่อ หนึ่งในพิกัดเป็นศูนย์ เราจะพิจารณาตัวอย่างที่ใช้ได้จริงด้านล่างนี้ โดยวิธีการทราบ - ทั้งสองอย่างพร้อมกันพิกัดต้องไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ระบุทิศทางเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

การตัดสินใจ: เราจะเขียนสมการของเส้นตรงตามสูตร ในกรณีนี้:

เรากำจัดเศษส่วนโดยใช้คุณสมบัติของสัดส่วน:

และเรานำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป:

ตอบ:

ตามกฎแล้วไม่จำเป็นต้องวาดในตัวอย่างดังกล่าว แต่เพื่อความเข้าใจ:

ในภาพวาด เราเห็นจุดเริ่มต้น เวกเตอร์ทิศทางเดิม (สามารถเลื่อนจากจุดใดก็ได้บนระนาบ) และเส้นที่สร้างขึ้น อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การสร้างเส้นตรงทำได้สะดวกที่สุดโดยใช้สมการความชัน สมการของเราแปลงเป็นรูปแบบได้ง่าย และไม่มีปัญหาใด ๆ ให้เลือกอีกจุดหนึ่งเพื่อสร้างเส้นตรง

ตามที่ระบุไว้ในตอนต้นของส่วน เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางมากมายไม่จำกัด และพวกมันทั้งหมดเป็นแนวร่วม ตัวอย่างเช่น ฉันวาดเวกเตอร์ดังกล่าวสามตัว: . ไม่ว่าเราจะเลือกเวกเตอร์ทิศทางใด ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการเส้นตรงเดียวกันเสมอ

ลองเขียนสมการของเส้นตรงด้วยจุดและเวกเตอร์กำกับ:

การแบ่งสัดส่วน:

หารทั้งสองข้างด้วย -2 และรับสมการที่คุ้นเคย:

ผู้ที่ต้องการสามารถทดสอบเวกเตอร์ได้ในทำนองเดียวกัน หรือเวกเตอร์คอลลิเนียร์อื่นๆ

ตอนนี้มาแก้ปัญหาผกผันกัน:

จะหาเวกเตอร์ทิศทางด้วยสมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?

ง่ายมาก:

ถ้าสมการทั่วไปกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เวกเตอร์ก็คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้

ตัวอย่างการหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ข้อความนี้ช่วยให้เราหาเวกเตอร์ทิศทางเดียวจากเซตอนันต์ได้ แต่เราไม่ต้องการมากกว่านี้ แม้ว่าในบางกรณีจะแนะนำให้ลดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง:

ดังนั้น สมการจึงระบุเส้นตรงที่ขนานกับแกนและพิกัดของเวกเตอร์บังคับเลี้ยวที่เป็นผลลัพธ์จะถูกหารด้วย -2 อย่างสะดวก ทำให้ได้เวกเตอร์พื้นฐานเท่ากับเวกเตอร์บังคับเลี้ยว อย่างมีเหตุผล

ในทำนองเดียวกัน สมการกำหนดเส้นตรงที่ขนานกับแกน และหารพิกัดของเวกเตอร์ด้วย 5 เราจะได้ ort เป็นเวกเตอร์ทิศทาง

ตอนนี้มาดำเนินการ ตรวจสอบตัวอย่างที่ 3. ตัวอย่างขึ้นไป ฉันขอเตือนคุณว่าในนั้นเราได้สร้างสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

ประการแรกตามสมการของเส้นตรง เราคืนค่าเวกเตอร์กำกับของมัน: - ทุกอย่างเรียบร้อยดี เราได้เวกเตอร์ดั้งเดิม (ในบางกรณี มันอาจกลายเป็นแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ดั้งเดิม และโดยปกติแล้วจะเห็นได้ง่ายจากสัดส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกัน)

ประการที่สอง, พิกัดของจุดต้องเป็นไปตามสมการ . เราแทนมันลงในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งเรายินดีเป็นอย่างยิ่ง

บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน. ควรทำการตรวจสอบตามอัลกอริทึมที่เพิ่งพิจารณา พยายามตรวจสอบแบบร่างเสมอ (ถ้าเป็นไปได้) เป็นเรื่องโง่เขลาที่จะทำผิดพลาดโดยที่สามารถหลีกเลี่ยงได้ 100%

ในกรณีที่พิกัดหนึ่งของเวกเตอร์ทิศทางเป็นศูนย์ ทำได้ง่ายมาก:

ตัวอย่างที่ 5

การตัดสินใจ: สูตรไม่ถูกต้องเนื่องจากตัวส่วนทางด้านขวาเป็นศูนย์ มีทางออก! ใช้คุณสมบัติของสัดส่วน เราเขียนสูตรใหม่ในรูปแบบ และส่วนที่เหลือกลิ้งไปตามร่องลึก:

ตอบ:

การตรวจสอบ:

1) คืนค่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
– เวกเตอร์ผลลัพธ์จะใกล้เคียงกับเวกเตอร์ทิศทางเดิม

2) แทนพิกัดของจุดในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

คำถามเกิดขึ้นทำไมต้องกังวลกับสูตรหากมีเวอร์ชันสากลที่จะใช้งานได้ มีสองเหตุผล อันดับแรก สูตรเศษส่วน ดีกว่ามากที่จะจำ. ประการที่สองข้อเสียของสูตรสากลก็คือ เพิ่มความเสี่ยงของความสับสนอย่างชัดเจนเมื่อแทนค่าพิกัด

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง

กลับไปที่จุดสองจุดที่แพร่หลาย:

จะเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดให้สองจุดได้อย่างไร?

หากทราบจุดสองจุด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้สามารถรวบรวมได้โดยใช้สูตร:

อันที่จริง นี่เป็นสูตรชนิดหนึ่ง และนี่คือเหตุผล: ถ้าทราบจุดสองจุด เวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้ ในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นเราพิจารณาปัญหาที่ง่ายที่สุด - วิธีหาพิกัดของเวกเตอร์จากสองจุด จากปัญหานี้ พิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง:

บันทึก : คะแนนสามารถ "สลับ" และใช้สูตร . การตัดสินใจดังกล่าวจะเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนสมการของเส้นตรงจากจุดสองจุด .

การตัดสินใจ: ใช้สูตร:

เรารวมส่วน:

และสับไพ่:

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะกำจัด ตัวเลขเศษส่วน. ในกรณีนี้ คุณต้องคูณทั้งสองส่วนด้วย 6:

เปิดวงเล็บและนึกถึงสมการ:

ตอบ:

การตรวจสอบชัดเจน - พิกัดของจุดเริ่มต้นต้องเป็นไปตามสมการผลลัพธ์:

1) แทนพิกัดของจุด:

ความเท่าเทียมอย่างแท้จริง

2) แทนพิกัดของจุด:

ความเท่าเทียมอย่างแท้จริง

บทสรุป: สมการของเส้นตรงถูกต้อง

ถ้า อย่างน้อยหนึ่งคะแนนไม่เป็นไปตามสมการ ให้มองหาข้อผิดพลาด

เป็นที่น่าสังเกตว่าการตรวจสอบกราฟิกในกรณีนี้เป็นเรื่องยากเพราะ การสร้างเส้นและดูว่าจุดนั้นเป็นของมันหรือไม่ ไม่ใช่เรื่องง่าย

ฉันจะสังเกตจุดทางเทคนิคสองสามข้อของการแก้ปัญหา บางทีในปัญหานี้ การใช้สูตรมิเรอร์อาจมีประโยชน์มากกว่า และสำหรับประเด็นเดียวกัน สร้างสมการ:

มีเศษส่วนน้อยกว่า ถ้าคุณต้องการ คุณสามารถแก้ปัญหาจนจบ ผลลัพธ์ควรเป็นสมการเดียวกัน

ประเด็นที่สองคือการดูคำตอบสุดท้ายและดูว่าสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หรือไม่? ตัวอย่างเช่น หากได้รับสมการ ขอแนะนำให้ลดสมการลงสอง: - สมการจะกำหนดเส้นตรงเดียวกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหัวข้อสนทนาอยู่แล้ว การจัดเรียงซึ่งกันและกันของเส้นตรง.

ได้รับคำตอบแล้ว ในตัวอย่างที่ 7 ในกรณีนี้ ฉันตรวจสอบว่าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการหารด้วย 2, 3 หรือ 7 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าส่วนใหญ่แล้วการลดค่าดังกล่าวจะเกิดขึ้นระหว่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ .

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจและหาเทคนิคการคำนวณได้ดีขึ้น

คล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า: ถ้าอยู่ในสูตร หนึ่งในตัวส่วน (พิกัดเวกเตอร์ทิศทาง) หายไป แล้วเราเขียนใหม่เป็น และอีกครั้งสังเกตว่าเธอเริ่มดูเคอะเขินและสับสนเพียงใด ฉันไม่เห็นประโยชน์มากนักในการยกตัวอย่างที่ใช้ได้จริง เนื่องจากเราได้แก้ไขปัญหาดังกล่าวแล้ว (ดูข้อ 5, 6)

เวกเตอร์ปกติเส้นตรง (เวกเตอร์ปกติ)

ปกติคืออะไร? ด้วยคำพูดง่ายๆ, ปกติคือแนวตั้งฉาก นั่นคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด เห็นได้ชัดว่าเส้นตรงใดๆ มีจำนวนอนันต์ (เช่นเดียวกับเวกเตอร์กำกับ) และเวกเตอร์ปกติทั้งหมดของเส้นตรงจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ - ไม่สำคัญ)

การจัดการกับพวกมันจะง่ายกว่าเวกเตอร์ทิศทาง:

ถ้าสมการทั่วไปกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เวกเตอร์นั้นก็คือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรงนี้

หากต้อง "ดึงพิกัด" ของเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการอย่างระมัดระวัง พิกัดของเวกเตอร์ปกติก็สามารถ "ลบออก" ได้

เวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเสมอ เราจะตรวจสอบมุมฉากของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้ ผลิตภัณฑ์จุด:

ฉันจะยกตัวอย่างด้วยสมการเดียวกันกับเวกเตอร์ทิศทาง:

เป็นไปได้ไหมที่จะเขียนสมการเส้นตรงโดยรู้จุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก? รู้สึกเหมือนเป็นไปได้ หากทราบเวกเตอร์ปกติ ทิศทางของเส้นตรงที่สุดก็จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันเช่นกัน นั่นคือ "โครงสร้างแข็ง" ที่มีมุม 90 องศา

จะเขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉากได้อย่างไร?

หากทราบจุดที่เป็นของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

ที่นี่ทุกอย่างดำเนินไปโดยไม่มีเศษส่วนและความประหลาดใจอื่น ๆ นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเรา รักมัน. และเคารพ =)

ตัวอย่างที่ 9

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

การตัดสินใจ: ใช้สูตร:

ได้รับสมการทั่วไปของเส้นตรงมาตรวจสอบ:

1) "ลบ" พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากสมการ: - ใช่ แน่นอน เวกเตอร์ต้นฉบับได้มาจากเงื่อนไข (หรือเวกเตอร์ควรเป็นเส้นตรงกับเวกเตอร์ดั้งเดิม)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นตรงตามสมการหรือไม่:

ความเท่าเทียมอย่างแท้จริง

หลังจากที่เรามั่นใจว่าสมการถูกต้องแล้ว เราจะทำส่วนที่สองให้เสร็จและง่ายขึ้น เราดึงเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงออกมา:

ตอบ:

ในภาพวาด สถานการณ์จะเป็นดังนี้:

สำหรับวัตถุประสงค์ของการฝึกอบรม งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ส่วนสุดท้ายของบทเรียนจะอุทิศให้กับสมการประเภทเส้นตรงในระนาบที่สำคัญน้อยกว่า แต่ยังรวมถึงสมการประเภทที่สำคัญด้วย

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สมการเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

สมการของเส้นตรงในส่วนมีรูปแบบ โดยที่ค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์ สมการบางประเภทไม่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ ตัวอย่างเช่น สัดส่วนโดยตรง (เนื่องจากพจน์อิสระเป็นศูนย์และไม่มีทางจะได้สมการทางด้านขวา)

นี่คือสมการประเภท "ทางเทคนิค" ที่พูดโดยเปรียบเปรย งานปกติคือการแสดงสมการทั่วไปของเส้นตรงเป็นสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ ทำไมถึงสะดวก? สมการของเส้นตรงในกลุ่มช่วยให้คุณค้นหาจุดตัดของเส้นตรงกับแกนพิกัดได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งมีความสำคัญมากในโจทย์บางข้อของคณิตศาสตร์ระดับสูง

หาจุดตัดของเส้นตรงกับแกน. เรารีเซ็ต "y" และสมการจะอยู่ในรูปแบบ . จุดที่ต้องการได้รับโดยอัตโนมัติ: .

เช่นเดียวกับแกน คือจุดที่เส้นตรงตัดแกน y