สูตรสำหรับตัวเลขนูนในแบบสามมิติ ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือ ปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและเต็มของกรวย

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ 60-65 คะแนน งานทั้งหมด 1-13 ของโปรไฟล์ที่ใช้ในทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยนิยมไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี กลเม็ดเคล็ดลับในการแก้โจทย์, แผ่นโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

\((\color(red)(\textbf(Fact 1. About Parallel lines))))\)
\(\bullet\) สองบรรทัดในอวกาศจะขนานกันหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน
\(\bullet\) มีระนาบเดียวที่ผ่านเส้นขนานสองเส้น
\(\bullet\) หากเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกันระนาบ เส้นอื่น ๆ ก็จะตัดระนาบนี้ด้วย
\(\bullet\) หากเส้น \(a\) ขนานกับเส้น \(b\) ซึ่งในทางกลับกันจะขนานกับเส้น \(c\) แล้ว \(a\parallel c\)
\(\bullet\) ให้เครื่องบิน \(\alpha\) และ \(\beta\) ตัดกันตามเส้น \(a\) , เครื่องบิน \(\beta\) และ \(\pi\) ตัดกันตาม line \(b \) , เครื่องบิน \(\pi\) และ \(\alpha\) ตัดกันตามเส้น \(p\) ถ้า \(a\parallel b\) แล้ว \(p\parallel a\) (หรือ \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Fact 2 About the parallelism of a line and a plane))))\)
\(\bullet\) มีการจัดเรียงเส้นและระนาบร่วมกันสามประเภท:
1. เส้นมีจุดร่วมสองจุดกับระนาบ (นั่นคืออยู่ในระนาบ)
2. เส้นมีจุดร่วมกับระนาบเดียว (นั่นคือ ตัดกับระนาบ)
3. เส้นไม่มีจุดร่วมกับระนาบ (นั่นคือขนานกับระนาบ)
\(\bullet\) หากเส้น \(a\) ไม่ได้นอนอยู่ในระนาบ \(\pi\) ขนานกับเส้นบางเส้น \(p\) นอนอยู่ในระนาบ \(\pi\) แสดงว่าขนานกัน ไปยังเครื่องบินที่กำหนด

\(\bullet\) ให้เส้น \(p\) ขนานกับระนาบ \(\mu\) หากเครื่องบิน \(\pi\) ผ่านเส้น \(p\) และตัดกับระนาบ \(\mu\) แล้วเส้นตัดของระนาบ \(\pi\) และ \(\mu\) คือเส้น \(m\) - ขนานกับเส้น \(p\)

\((\color(red)(\textbf(Fact 3. About Parallelplanes))))\)
\(\bullet\) ถ้าระนาบสองระนาบไม่มีจุดร่วม จะเรียกว่าระนาบขนาน
\(\bullet\) หากเส้นตัดสองเส้นจากระนาบหนึ่งขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นจากระนาบอื่นตามลำดับ เครื่องบินดังกล่าวจะขนานกัน

\(\bullet\) หากระนาบคู่ขนานสองระนาบ \(\alpha\) และ \(\beta\) ตัดกันด้วยระนาบที่สาม \(\gamma\) แล้วเส้นตัดของระนาบจะขนานกัน: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) ส่วนของเส้นคู่ขนานที่อยู่ระหว่างระนาบขนานเท่ากับ: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Fact 4.เกี่ยวกับการตัดกัน)))\)
\(\bullet\) เส้นตรงสองเส้นในอวกาศเรียกว่าการตัดกันถ้าไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน
\(\bullet\) ลงชื่อ:
ให้เส้น \(l\) นอนอยู่ในระนาบ \(\lambda\) หากเส้น \(s\) ตัดกับระนาบ \(\lambda\) ที่จุด \(S\) ไม่ได้นอนอยู่บนเส้น \(l\) แล้วเส้น \(l\) และ \(s\) ตัด.

\(\กระสุน\) อัลกอริธึมในการหามุมระหว่างเส้นเอียง \(a\) และ \(b\):

ขั้นตอนที่ 2 ในระนาบ \(\pi\) ค้นหามุมระหว่างเส้น \(a\) และ \(p\) (\(p\parallel b\) ) มุมระหว่างพวกเขาจะเท่ากับมุมระหว่างเส้นเอียง \(a\) และ \(b\)

\((\color(red)(\textbf(Fact 5. About the perpendicularity of a line and a plane)))\)
\(\bullet\) เส้นจะเรียกว่าตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับเส้นใด ๆ ในระนาบนั้น
\(\bullet\) ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับระนาบ แสดงว่าเส้นขนานกัน
\(\bullet\) เครื่องหมาย: ถ้าเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นตัดสองเส้นที่อยู่ในระนาบที่กำหนด มันจะตั้งฉากกับระนาบนี้

\((\color(red)(\textbf(Fact 6. About Distance))))\)
\(\bullet\) ในการหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน คุณต้องวางเส้นตั้งฉากจากจุดใดๆ ของเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ความยาวของเส้นตั้งฉากคือระยะห่างระหว่างเส้นเหล่านี้
\(\bullet\) ในการหาระยะห่างระหว่างระนาบกับเส้นตรงขนานกับมัน คุณต้องวางเส้นตั้งฉากกับระนาบนี้จากจุดใดก็ได้บนเส้นตรง ความยาวของเส้นตั้งฉากคือระยะห่างระหว่างเส้นนี้กับระนาบ
\(\bullet\) ในการหาระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนาน คุณต้องลดเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่นจากจุดใดๆ ของระนาบหนึ่ง ความยาวของฉากตั้งฉากนี้คือระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนาน
\(\กระสุน\) อัลกอริทึมสำหรับค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นเอียง \(a\) และ \(b\):
ขั้นตอนที่ 1 ผ่านหนึ่งในสองเส้นที่ตัดกัน \(a\) วาดระนาบ \(\pi\) ขนานกับอีกเส้นหนึ่ง \(b\) วิธีทำ: วาดระนาบ \(\beta\) ผ่านเส้น \(b\) เพื่อให้มันตัดกับเส้น \(a\) ที่จุด \(P\) ; ลากเส้นผ่านจุด \(P\) \(p\parallel b\) ; จากนั้นเครื่องบินที่ผ่าน \(a\) และ \(p\) คือเครื่องบิน \(\pi\)
ขั้นตอนที่ 2. ค้นหาระยะทางจากจุดใดๆ ของเส้นตรง \(b\) ถึงระนาบ \(\pi\) ระยะทางนี้คือระยะห่างระหว่างเส้นเอียง \(a\) และ \(b\)

\((\color(red)(\textbf(Fact 7. About the Three Perpendicular Theorem (TTP))))\)
\(\bullet\) ให้ \(AH\) ตั้งฉากกับระนาบ \(\beta\) ให้ \(AB, BH\) เป็นเฉียงและฉายลงบนระนาบ \(\beta\) จากนั้นเส้น \(x\) ในระนาบ \(\beta\) จะตั้งฉากกับแนวเฉียงก็ต่อเมื่อมันตั้งฉากกับการฉายภาพ: \[\begin(จัดตำแหน่ง) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(aligned)\]

โปรดทราบว่าเส้น \(x\) ไม่จำเป็นต้องผ่านจุด \(B\) ถ้ามันไม่ผ่านจุด \(B\) แสดงว่ามีการสร้างเส้น \(x"\) ผ่านจุด \(B\) และขนานกับ \(x\) ตัวอย่างเช่น ถ้า \( x"\perp BH\ ) ก็เป็นเช่นนั้น \(x\perp BH\)

\((\color(red)(\textbf(Fact 8. เกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นกับระนาบ เช่นเดียวกับมุมระหว่างระนาบ)))\)
\(\bullet\) มุมระหว่างเส้นเฉียงกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นนี้กับการฉายบนระนาบที่กำหนด ดังนั้นมุมนี้จึงใช้ค่าจากช่วง \((0^\circ;90^\circ)\)
หากเส้นอยู่ในระนาบ มุมระหว่างทั้งสองจะเท่ากับ \(0^\circ\) หากเส้นตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้น ตามคำจำกัดความ มุมระหว่างพวกมันคือ \(90^\circ\)
\(\bullet\) ในการหามุมระหว่างเส้นเฉียงกับระนาบ จำเป็นต้องทำเครื่องหมายบางจุด \(A\) บนเส้นนี้แล้ววาด \(AH\) ตั้งฉากกับระนาบ ถ้า \(B\) เป็นจุดตัดของเส้นกับระนาบ ดังนั้น \(\angle ABH\) คือมุมที่ต้องการ

\(\bullet\) ในการหามุมระหว่างระนาบ \(\alpha\) และ \(\beta\) คุณสามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
ทำเครื่องหมายจุดโดยพลการ \(A\) ในระนาบ \(\alpha\)
วาด \(AH\perp h\) โดยที่ \(h\) เป็นเส้นตัดของระนาบ
วาด \(AB\) ตั้งฉากกับระนาบ \(\beta\)
จากนั้น \(AB\) จะตั้งฉากกับระนาบ \(\beta\) , \(AH\) เป็นแนวเฉียง ดังนั้น \(HB\) จึงเป็นเส้นโครง จากนั้นโดย TTP \(HB\perp h\)
ดังนั้น \(\angle AHB\) คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ การวัดองศาของมุมนี้คือการวัดองศาของมุมระหว่างระนาบ

โปรดทราบว่าเราได้สามเหลี่ยมมุมฉาก \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ) ตามกฎแล้วจะสะดวกในการค้นหา \(\angle AHB\) จากมัน

\((\color(red)(\textbf(Fact 9. เกี่ยวกับความตั้งฉากของระนาบ)))\)
\(\bullet\) เครื่องหมาย: ถ้าเครื่องบินผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น มันจะตั้งฉากกับระนาบนี้ \

\(\bullet\) โปรดทราบว่าเนื่องจากมีหลายระนาบที่ผ่าน \(a\) จึงมีระนาบจำนวนมากในแนวตั้งฉากกับ \(\beta\) (และผ่าน \(a\) )

เพื่อที่จะแก้ข้อสอบในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎี ซึ่งแนะนำทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม และอื่นๆ มากมาย เมื่อมองแวบแรก มันอาจจะดูค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตาม การหาแหล่งที่มีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างง่ายดายและเข้าใจได้ง่ายสำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับ อันที่จริงแล้ว เป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ได้เสมอ และการหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้ในอินเทอร์เน็ต

เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญ ไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่ทำข้อสอบเท่านั้น

1. เพราะมันทำให้โลกของคุณกว้างขึ้น. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับทุกคนที่ต้องการคำตอบสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องกับความรู้ของโลก ทุกอย่างในธรรมชาติมีระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างแม่นยำ โดยที่มันเป็นไปได้ที่จะเข้าใจโลก
2. เพราะมันพัฒนาสติปัญญา. การศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลเรียนรู้ที่จะคิดและให้เหตุผลอย่างมีตรรกะเพื่อกำหนดความคิดอย่างถูกต้องและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์สรุปข้อสรุป

เราขอเชิญคุณให้ประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาของเราเป็นการส่วนตัว

คำจำกัดความบางอย่าง:

1. รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นวัตถุเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวนหนึ่ง โดยสองอันที่มีด้านร่วมไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ในกรณีนี้ รูปหลายเหลี่ยมเองเรียกว่าใบหน้า ด้านข้างเป็นขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมคือจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
2. รูปร่างที่เกิดจากใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดเรียกว่าพื้นผิวของมัน ( เต็มพื้นผิว) และผลรวมของพื้นที่ใบหน้าทั้งหมดเท่ากับ (เต็ม) พื้นที่ผิว.
3. เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหกหน้าที่มีกำลังสองเท่ากัน ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าขอบของลูกบาศก์ และจุดยอดเรียกว่าจุดยอดของลูกบาศก์
4. เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหกหน้าและแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าขอบของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สองด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า ตรงข้าม, ถ้าไม่มีส่วนได้เปรียบ และผู้ที่มีความได้เปรียบร่วมกัน เรียกว่า ที่เกี่ยวข้อง. บางครั้งเลือกและเรียกสองหน้าตรงข้ามของ parallelepiped บริเวณแล้วใบหน้าที่เหลือ ใบหน้าด้านข้างและด้านของมันเชื่อมกับจุดยอดของฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคือ ซี่โครงข้าง.
5. ขวาขนาน- นี่คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมด โปรดทราบว่าทุกทรงลูกบาศก์เป็นทรงลูกบาศก์ แต่ไม่ใช่ทุกทรงลูกบาศก์ที่เป็นทรงลูกบาศก์
6. ตรงข้าม. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามของเส้นขนานเรียกว่า เส้นทแยงมุมขนานกัน Paraleepiped มีเส้นทแยงมุมเพียงสี่เส้น
7. ปริซึม ( น-ถ่านหิน)เป็นทรงหลายหน้าที่มีสองหน้าเท่ากัน น-กอนส์และที่เหลือ นใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากัน น-กอนเรียกว่า บริเวณและสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าด้านข้างของปริซึม- นี่คือปริซึมซึ่งด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถูกต้อง น- ปริซึมคาร์บอน- นี่คือปริซึม ซึ่งใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานของมันคือปกติ น-กอนส์
8. ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างของปริซึมเรียกว่า พื้นที่ผิวด้านข้าง(ระบุว่า สด้านข้าง). ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าปริซึมทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่ผิวปริซึม(ระบุว่า สเต็ม).
9. พีระมิด ( น-ถ่านหิน)- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียว - บางส่วน น-กอนและที่เหลือ นใบหน้า - สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดทั่วไป น-กอนเรียกว่า พื้นฐาน; สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่า ใบหน้าด้านข้างและเรียกจุดยอดร่วมของพวกมันว่า ด้านบนของปิรามิด. ด้านข้างของใบหน้าปิรามิดเรียกว่า ซี่โครงและขอบที่บรรจบกันที่จุดยอดเรียกว่า ด้านข้าง.
10. ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด(ระบุว่า สด้านข้าง). ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดของปิรามิดเรียกว่า พื้นที่ผิวปิรามิด(ระบุพื้นที่ผิว สเต็ม).
11. ถูกต้องน- ปิรามิดถ่านหิน- นี่คือปิรามิดซึ่งเป็นฐานที่ถูกต้อง น-gon และขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
12. ปิรามิดสามเหลี่ยมเรียกว่า จัตุรมุขถ้าใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันหมด จัตุรมุขเป็นกรณีพิเศษของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติ (กล่าวคือ ไม่ใช่ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติทุกอันจะเป็นจัตุรมุข)

สัจพจน์ของ stereometry:

1. ผ่านจุดใดจุดหนึ่งที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันมีระนาบเดียว
2. ถ้าเส้นตรงสองจุดอยู่ในระนาบ จุดทั้งหมดของเส้นนั้นจะอยู่ในระนาบนั้น
3. ถ้าระนาบสองระนาบมีจุดร่วม ก็จะมีเส้นร่วมที่จุดร่วมทั้งหมดของระนาบเหล่านี้อยู่

ผลที่ตามมาจากสัจพจน์ของ stereometry:

• ทฤษฎีบทที่ 1มีระนาบเดียวผ่านเส้นหนึ่งและไม่มีจุดอยู่บนนั้น
• ทฤษฎีบท 2มีระนาบเดียวผ่านสองเส้นตัดกัน
• ทฤษฎีบทที่ 3มีระนาบเดียวผ่านเส้นคู่ขนานสองเส้น

การสร้างส่วนใน stereometry

ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสเตอริโอเมทรี จำเป็นต้องสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม (เช่น พีระมิด รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ปริซึม) ในรูปวาดโดยระนาบหนึ่ง ให้คำจำกัดความสองสามข้อที่อธิบายว่าส่วนคืออะไร:

• เครื่องบินตัดพีระมิด (ปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ลูกบาศก์) เป็นระนาบทั้งสองด้านซึ่งมีจุดของปิรามิดนี้ (ปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ลูกบาศก์)
• ภาพตัดขวางของปิรามิด(ปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ลูกบาศก์) เป็นตัวเลขที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่เป็นจุดร่วมของปิรามิด (ปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ลูกบาศก์) และระนาบการตัด
• ระนาบตัดตัดกับใบหน้าของปิรามิด (ขนาน, ปริซึม, ลูกบาศก์) ตามส่วนต่างๆ ดังนั้น ส่วนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ในระนาบซีแคนต์ซึ่งด้านข้างเป็นส่วนที่ระบุ

ในการสร้างส่วนของปิรามิด (ปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ลูกบาศก์) เป็นไปได้และจำเป็นต้องสร้างจุดตัดของระนาบซีแคนต์ด้วยขอบของปิรามิด (ปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ลูกบาศก์) และเชื่อมต่อทุก ๆ สองจุดเข้าด้วยกัน ใบหน้าเดียว โปรดทราบว่าลำดับของการสร้างจุดยอดและด้านข้างของส่วนนั้นไม่จำเป็น การสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับสองงานสำหรับการก่อสร้าง:

1. เส้นตัดของระนาบสองระนาบ

เพื่อสร้างเส้นตรงที่ระนาบสองระนาบตัดกัน α และ β (ตัวอย่างเช่นระนาบซีแคนต์และระนาบของใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม) คุณต้องสร้างจุดร่วมสองจุดจากนั้นเส้นที่ผ่านจุดเหล่านี้คือเส้นตัดของระนาบ α และ β .

1. จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ

เพื่อสร้างจุดตัดของเส้นตรง lและเครื่องบิน α วาดจุดตัดของเส้น lและกำกับ l 1 , ซึ่งเครื่องบินตัดกัน α และระนาบใดๆ ที่มีเส้น l.

การจัดเรียงกันของเส้นตรงและระนาบในแบบสามมิติ

คำนิยาม:ในการแก้ปัญหาแบบสเตอริโอเมทรีจะเรียกว่าเส้นตรงสองเส้นในอวกาศ ขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ถ้าตรง เอและ ข, หรือ ABและ ซีดีขนานกัน เราเขียนว่า

หลายทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบทที่ 1ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนด
• ทฤษฎีบท 2หากเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับระนาบที่กำหนด เส้นอีกเส้นหนึ่งตัดกับระนาบนี้
• ทฤษฎีบท 3(เครื่องหมายของเส้นคู่ขนาน). หากเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามแสดงว่าขนานกัน
• ทฤษฎีบท 4(บนจุดตัดของเส้นทแยงมุมของ เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งและผ่าครึ่งจุดนั้น

มีสามกรณีของการจัดเรียงเส้นตรงและระนาบในแบบสามมิติ:

• เส้นอยู่ในระนาบ (แต่ละจุดของเส้นอยู่ในระนาบ)
• เส้นตรงและระนาบตัดกัน (มีจุดร่วมจุดเดียว)
• เส้นและระนาบไม่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว

คำนิยาม:เส้นและระนาบเรียกว่า ขนานถ้าไม่มีจุดร่วม ถ้าตรง เอขนานกับระนาบ β แล้วพวกเขาก็เขียนว่า:

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(สัญญาณความขนานของเส้นตรงและระนาบ) หากเส้นที่ไม่อยู่ในระนาบที่กำหนดขนานกับเส้นบางเส้นที่อยู่ในระนาบนี้ แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับระนาบที่กำหนด
• ทฤษฎีบท 2ถ้าเครื่องบิน (ในรูป - α ) ผ่านเส้นตรง (ในรูป - กับ) ขนานกับระนาบอื่น (ในรูป - β ) และตัดระนาบนี้ ตามด้วยเส้นตัดของระนาบ (ในรูป - d) ขนานกับบรรทัดที่กำหนด:

ถ้าเส้นตรงสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกัน เส้นนั้นจะตัดกันหรือขนานกัน อย่างไรก็ตาม ในอวกาศ (เช่น ในสเตอริโอเมทรี) กรณีที่สามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อไม่มีระนาบที่มีเส้นสองเส้นอยู่ (ในกรณีนี้ พวกมันจะไม่ตัดกันหรือขนานกัน)

คำนิยาม:สองบรรทัดนี้เรียกว่า ผสมพันธุ์หากไม่มีระนาบที่ทั้งคู่นอนอยู่

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(เครื่องหมายของเส้นตัดกัน). หากเส้นใดเส้นหนึ่งในสองเส้นอยู่ในระนาบหนึ่ง และอีกเส้นตัดกับระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้เป็นของเส้นแรก เส้นเหล่านี้จะเบ้
• ทฤษฎีบท 2ผ่านเส้นตัดสองเส้นแต่ละเส้นจะมีระนาบเดียวขนานกับอีกเส้นหนึ่ง

ตอนนี้เราแนะนำแนวคิดของมุมระหว่างเส้นเอียง อนุญาต เอและ ข อู๋ในอวกาศและลากเส้นตรงผ่านมัน เอ 1 และ ข 1 ขนานกับเส้นตรง เอและ ขตามลำดับ มุมระหว่างเส้นเบ้ เอและ ขเรียกว่ามุมระหว่างเส้นตัดกันที่สร้างขึ้น เอ 1 และ ข 1 .

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติประเด็น อู๋มักจะเลือกเพื่อให้เป็นเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่ง โดยปกติไม่เพียงแต่จะสะดวกกว่าในระดับประถมศึกษาเท่านั้น แต่ยังมีเหตุผลและถูกต้องมากกว่าในแง่ของการสร้างภาพวาดและการแก้ปัญหา ดังนั้น สำหรับมุมระหว่างเส้นเอียง เราให้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำนิยาม:อนุญาต เอและ ขเป็นเส้นสองเส้นตัดกัน ใช้จุดโดยพลการ อู๋กับหนึ่งในนั้น (ในกรณีของเรา เป็นเส้นตรง ข) และลากเส้นขนานไปกับเส้นอื่น (ในกรณีของเรา เอ 1 ขนาน เอ). มุมระหว่างเส้นเบ้ เอและ ขคือมุมระหว่างเส้นที่สร้างกับเส้นที่มีจุด อู๋(ในกรณีของเรานี่คือมุม β ระหว่างเส้นตรง เอ 1 และ ข).

คำนิยาม:สองบรรทัดนี้เรียกว่า ตั้งฉากกัน(ตั้งฉาก) ถ้ามุมระหว่างพวกเขาคือ 90° เส้นตัดขวางสามารถตั้งฉากได้ เช่นเดียวกับเส้นที่วางและตัดกันในระนาบเดียวกัน ถ้าตรง เอตั้งฉากกับเส้น ขแล้วพวกเขาก็เขียนว่า:

คำนิยาม:เครื่องบินทั้งสองลำเรียกว่า ขนานหากไม่ตัดกันเช่น ไม่มีจุดร่วมกัน ถ้าสองเครื่องบิน α และ β ขนานแล้วเขียนตามปกติ:

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(เครื่องหมายของระนาบคู่ขนาน). หากเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกับเส้นสองเส้นของระนาบอื่นตามลำดับ ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน
• ทฤษฎีบท 2(บนสมบัติของใบหน้าตรงข้ามของ parallelepiped) ด้านตรงข้ามของปีกคู่ขนานอยู่ในระนาบคู่ขนาน
• ทฤษฎีบท 3(บนเส้นตัดของระนาบคู่ขนานสองระนาบด้วยระนาบที่สาม) หากระนาบขนานสองระนาบตัดกันด้วยหนึ่งในสาม เส้นตัดของพวกมันจะขนานกัน
• ทฤษฎีบทที่ 4ส่วนของเส้นคู่ขนานที่อยู่ระหว่างระนาบคู่ขนานเท่ากัน
• ทฤษฎีบท 5(ในการดำรงอยู่ของระนาบที่ไม่ซ้ำกันขนานกับระนาบที่กำหนดและผ่านจุดภายนอก) ผ่านจุดที่ไม่ได้นอนอยู่ในระนาบที่กำหนด มีระนาบเดียวขนานกับระนาบที่กำหนด

คำนิยาม:เส้นที่ตัดกันระนาบกล่าวกันว่าตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับทุกเส้นในระนาบนั้น ถ้าตรง เอตั้งฉากกับระนาบ β จากนั้นเขียนตามปกติ:

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบทที่ 1ถ้าเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นอีกเส้นนั้นตั้งฉากกับเส้นนี้ด้วย
• ทฤษฎีบท 2หากเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตั้งฉากกับระนาบ เส้นอีกเส้นหนึ่งก็จะตั้งฉากกับระนาบนั้นด้วย
• ทฤษฎีบท 3(บนเส้นขนานที่ตั้งฉากกับระนาบ) ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน แสดงว่าเส้นขนานกัน
• ทฤษฎีบท 4(เครื่องหมายตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ) หากเส้นตั้งฉากกับเส้นตัดสองเส้นที่อยู่ในระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบนั้น
• ทฤษฎีบท 5(เกี่ยวกับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด) ผ่านจุดใดก็ได้ในอวกาศมีระนาบเดียวที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด
• ทฤษฎีบท 6(เกี่ยวกับเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด) ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศ จะมีเพียงเส้นเดียวที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด
• ทฤษฎีบท 7(บนสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ขนานกัน เท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขอบทั้งสามของมันที่มีจุดยอดร่วมกัน:

ผลที่ตามมา:เส้นทแยงมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานขนานกันนั้นเท่ากัน

ทฤษฎีบทสามตั้งฉาก

ให้ประเด็น แต่ไม่นอนราบ α . ผ่านจุดนั้นกันเถอะ แต่เส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ α และแสดงด้วยตัวอักษร อู๋จุดตัดของเส้นนี้กับระนาบ α . เส้นตั้งฉากจากจุด แต่ขึ้นเครื่องบิน α เรียกว่าเซกเมนต์ JSC, ดอท อู๋เรียกว่าฐานตั้งฉาก ถ้า JSC- ตั้งฉากกับระนาบ α , แ เอ็มเป็นจุดใดก็ได้ของระนาบนี้ ต่างจากจุดนั้น อู๋จากนั้นส่วน เช้าเรียกว่า ความชันที่ลากมาจากจุด แต่ขึ้นเครื่องบิน α และประเด็น เอ็ม- ฐานเอียง ส่วนของเส้น โอม- การฉายภาพมุมฉาก (หรือในระยะสั้น การฉายภาพ) เฉียง เช้าขึ้นเครื่องบิน α . ตอนนี้เรานำเสนอทฤษฎีบทที่มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาต่างๆ

ทฤษฎีบท 1 (ประมาณสามฉากตั้งฉาก): เส้นตรงที่ลากในระนาบและตั้งฉากกับการฉายของระนาบเฉียงบนระนาบนี้ก็ตั้งฉากกับตัวเอียงเช่นกัน การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:

ทฤษฎีบทที่ 2 (ประมาณสามฉากตั้งฉาก): เส้นตรงที่ลากในระนาบและตั้งฉากกับเส้นเอียงจะตั้งฉากกับการฉายภาพบนระนาบนี้ด้วย ทฤษฎีบทเหล่านี้สำหรับสัญกรณ์จากรูปวาดข้างต้น สามารถกำหนดสูตรโดยย่อได้ดังนี้

ทฤษฎีบท:หากจากจุดหนึ่งที่นำออกนอกเครื่องบินมีเส้นตั้งฉากและเส้นเฉียงสองเส้นลากมายังระนาบนี้:

• สองเฉียงมีเส้นโครงเท่ากันเท่ากัน;
• ของทั้งสองเอียง อันที่ฉายมีขนาดใหญ่กว่า

คำจำกัดความของระยะทางตามวัตถุในอวกาศ:

• ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดนั้นไปยังระนาบนั้น
• ระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนานคือระยะทางจากจุดใดจุดหนึ่งของระนาบคู่ขนานไปยังระนาบอื่น
• ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับระนาบขนานไปกับมัน คือระยะทางจากจุดใดก็ได้บนเส้นตรงไปยังระนาบ
• ระยะห่างระหว่างเส้นเบ้คือระยะทางจากเส้นเอียงหนึ่งไปยังระนาบที่ผ่านอีกเส้นหนึ่งและขนานกับเส้นแรก

คำนิยาม:ใน stereometry การฉายภาพมุมฉากของเส้นตรง เอขึ้นเครื่องบิน α เรียกว่า การฉายเส้นนี้ขึ้นบนระนาบ α ถ้าเส้นตรงที่กำหนดทิศทางการออกแบบตั้งฉากกับระนาบ α .

ความคิดเห็น:ดังที่คุณเห็นจากคำจำกัดความก่อนหน้านี้ มีการคาดคะเนหลายอย่าง การคาดคะเนอื่นๆ (ยกเว้นมุมฉาก) ของเส้นตรงบนระนาบสามารถสร้างขึ้นได้หากเส้นตรงที่กำหนดทิศทางการฉายภาพไม่ตั้งฉากกับระนาบ อย่างไรก็ตาม มันเป็นการฉายภาพมุมฉากของเส้นตรงบนระนาบที่เราจะพบปัญหาในอนาคต และเราจะเรียกการฉายภาพมุมฉากว่าเป็นการฉายภาพ (ดังในรูป)

คำนิยาม:มุมระหว่างเส้นตรงที่ไม่ตั้งฉากกับระนาบกับระนาบนี้คือมุมระหว่างเส้นตรงกับการฉายภาพมุมฉากบนระนาบที่กำหนด (มุม AOA’ ในรูปวาดด้านบน)

ทฤษฎีบท:มุมระหว่างเส้นกับระนาบเป็นมุมที่เล็กที่สุดในบรรดามุมทั้งหมดที่เส้นที่กำหนดก่อตัวขึ้นโดยมีเส้นนอนอยู่ในระนาบที่กำหนดและผ่านจุดตัดของเส้นกับระนาบ

คำจำกัดความ:

• มุมไดฮีดรัลรูปหนึ่งเรียกว่า รูปที่ประกอบขึ้นจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบที่มีเส้นแบ่งเขตร่วมกัน และเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ซึ่งระนาบครึ่งนี้ทำหน้าที่เป็นเขตแดน
• มุมไดฮีดรัลเชิงเส้นเรียกว่ามุมซึ่งด้านข้างเป็นรังสีที่มีจุดกำเนิดร่วมกันที่ขอบของมุมไดฮีดรัลซึ่งถูกวาดในหน้าตั้งฉากกับขอบ

ดังนั้นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลคือมุมที่เกิดขึ้นจากจุดตัดของมุมไดฮีดรัลที่มีระนาบตั้งฉากกับขอบ มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน การวัดองศาของมุมไดฮีดรัลคือการวัดองศาของมุมเชิงเส้น

มุมไดฮีดรัลเรียกว่ามุมขวา (เฉียบพลัน, ป้าน) ถ้าวัดองศาของมันคือ 90° (น้อยกว่า 90°, มากกว่า 90°) ในอนาคต เมื่อแก้ปัญหาในสเตอริโอเมทรี ด้วยมุมไดฮีดรัล เราจะเข้าใจมุมเชิงเส้นนั้นเสมอ ซึ่งเป็นการวัดระดับที่ตรงตามเงื่อนไข:

คำจำกัดความ:

• มุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือมุมไดฮีดรัลที่ขอบประกอบด้วยขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และใบหน้าของมุมไดฮีดรัลประกอบด้วยใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกันตามขอบที่กำหนดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• มุมระหว่างระนาบตัดกันคือมุมระหว่างเส้นตรงที่ลากตามลำดับในระนาบเหล่านี้ตั้งฉากกับแนวตัดผ่านจุดบางจุด
• กล่าวกันว่าระนาบสองระนาบจะตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกมันคือ 90°

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(สัญญาณของการตั้งฉากของระนาบ). หากระนาบหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก
• ทฤษฎีบท 2เส้นที่อยู่ในระนาบตั้งฉากหนึ่งในสองระนาบและตั้งฉากกับเส้นที่พวกมันตัดกันจะตั้งฉากกับระนาบอื่น

สมมาตรของตัวเลข

คำจำกัดความ:

1. คะแนน เอ็มและ เอ็ม 1 เรียกว่า สมมาตรเกี่ยวกับจุด อู๋ , ถ้า อู๋เป็นจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ MM 1 .
2. คะแนน เอ็มและ เอ็ม 1 เรียกว่า สมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง l ถ้าตรง l MM 1 และตั้งฉากกับมัน
3. คะแนน เอ็มและ เอ็ม 1 เรียกว่า สมมาตรเกี่ยวกับเครื่องบิน α ถ้าเครื่องบิน α ผ่านตรงกลางเซกเมนต์ MM 1 และตั้งฉากกับส่วนนี้
4. Dot อู๋(ตรง l, เครื่องบิน α ) ถูกเรียก ศูนย์กลาง (แกน, ระนาบ) ของความสมมาตรรูป ถ้าจุดแต่ละจุดของรูปมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดหนึ่งๆ อู๋(ตรง l, เครื่องบิน α ) ถึงจุดหนึ่งของตัวเลขเดียวกัน
5. รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่า ขวาหากใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากันและจำนวนขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดเท่ากัน

ปริซึม

คำจำกัดความ:

1. ปริซึม- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าสองด้านที่มีรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันที่วางอยู่ในระนาบคู่ขนาน และใบหน้าที่เหลือจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านร่วมกับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้
2. บริเวณ -นี่คือใบหน้าสองหน้าที่มีรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันซึ่งอยู่ในระนาบคู่ขนาน ในรูปวาดคือ: ABCDEและ KLMNP.
3. ใบหน้าด้านข้าง- หน้าทั้งหมดยกเว้นฐาน ใบหน้าแต่ละข้างจะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในรูปวาดคือ: ABLK, BCML, CDNM, DEPNและ EAKP.
4. พื้นผิวด้านข้าง- สหภาพของใบหน้าด้านข้าง
5. พื้นผิวเต็ม- การรวมกันของฐานและพื้นผิวด้านข้าง
6. ซี่โครงข้างเป็นด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง ในรูปวาดคือ: AK, BL, CM, DNและ EP.
7. ส่วนสูง- ส่วนเชื่อมต่อฐานของปริซึมและตั้งฉากกับพวกมัน ในการวาดภาพ เช่น KR.
8. เส้นทแยงมุม- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของปริซึมที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน ในการวาดภาพ เช่น BP.
9. ระนาบแนวทแยงคือระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างของปริซึมและแนวทแยงของฐาน คำจำกัดความอื่นๆ: ระนาบแนวทแยง- ระนาบผ่านขอบสองด้านของปริซึมที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน
10. ส่วนทแยงมุม- จุดตัดของปริซึมและระนาบแนวทแยง สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นในส่วนรวมถึงบางครั้งกรณีพิเศษ - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยม ในการวาดภาพ เช่น EBLP.
11. ส่วนแนวตั้งฉาก (มุมฉาก)- จุดตัดของปริซึมและระนาบตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

คุณสมบัติและสูตรสำหรับปริซึม:

• ฐานของปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• ขอบด้านข้างของปริซึมขนานกันและเท่ากัน
• ปริมาณปริซึมเท่ากับผลคูณของความสูงและพื้นที่ฐาน:

ที่ไหน: สฐาน - พื้นที่ของฐาน (ในรูปวาดเช่น ABCDE), ชม.- ความสูง (ในรูปวาดคือ MN).

• พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและสองเท่าของพื้นที่ฐาน:

• ส่วนตั้งฉากตั้งฉากกับขอบด้านทั้งหมดของปริซึม (ในรูปวาดด้านล่าง ส่วนตั้งฉากคือ อา 2 บี 2 ค 2 ดี 2 อี 2).
• มุมของส่วนตั้งฉากคือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้างที่สอดคล้องกัน
• ส่วนตั้งฉาก (มุมฉาก) ตั้งฉากกับใบหน้าทุกด้าน
• ปริมาตรของปริซึมเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ส่วนตั้งฉากและความยาวของซี่โครงด้านข้าง:

ที่ไหน: สวินาที - พื้นที่ของส่วนตั้งฉาก l- ความยาวของซี่โครงด้านข้าง (ในรูปวาดด้านล่าง เช่น AA 1 หรือ BB 1 และอื่นๆ)

• พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตามอำเภอใจเท่ากับผลคูณของปริมณฑลของส่วนตั้งฉากและความยาวของขอบด้านข้าง:

ที่ไหน: พีวินาที - ปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก lคือ ความยาวของขอบด้านข้าง

ประเภทของปริซึมในรูปแบบสามมิติ:

• ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน เรียกว่า ปริซึม เฉียง(ภาพข้างบน). ฐานของปริซึมดังกล่าวตามปกติจะอยู่ในระนาบคู่ขนานขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้ แต่ขนานกัน ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• - ปริซึมที่ขอบด้านข้างทั้งหมดตั้งฉากกับฐาน ในปริซึมด้านขวา ขอบด้านข้างคือความสูง ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และพื้นที่และปริมณฑลของฐานเท่ากันตามลำดับ พื้นที่และปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก (สำหรับปริซึมตรง โดยทั่วไปแล้ว ส่วนตั้งฉากทั้งหมดจะเป็นตัวเลขเดียวกับฐาน) ดังนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงจึงเท่ากับผลคูณของปริมณฑลของฐานและความยาวของขอบด้านข้าง (หรือในกรณีนี้คือความสูงของปริซึม):

ที่ไหน: พีฐาน - ปริมณฑลของฐานของปริซึมตรง l- ความยาวของขอบด้านข้างเท่ากับปริซึมตรงถึงความสูง ( ชม.). ปริมาตรของปริซึมตรงหาได้จากสูตรทั่วไป: วี = สหลัก ∙ ชม. = สหลัก ∙ l.

• ปริซึมที่ถูกต้อง- ปริซึมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (นั่นคือด้านที่ทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน) และขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน ตัวอย่างของปริซึมที่ถูกต้อง:

คุณสมบัติของปริซึมที่ถูกต้อง:

1. ฐานของปริซึมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ
2. ด้านข้างของปริซึมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน
3. ขอบด้านข้างของปริซึมปกติจะเท่ากัน
4. ปริซึมที่ถูกต้องคือเส้นตรง

คำนิยาม: ขนาน -เป็นปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในคำจำกัดความนี้ คำสำคัญคือ "ปริซึม" ดังนั้น Parallepiped จึงเป็นกรณีพิเศษของปริซึม ซึ่งแตกต่างจากกรณีทั่วไปตรงที่ฐานของมันไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น คุณสมบัติ สูตร และคำจำกัดความทั้งหมดข้างต้นเกี่ยวกับปริซึมยังคงมีความเกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อย่างไรก็ตาม มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหลายประการที่มีลักษณะเฉพาะของ parallelepiped

คุณสมบัติและคำจำกัดความอื่นๆ:

• หน้าคู่ขนานที่ไม่มีขอบเหมือนกัน เรียกว่า ตรงข้ามและมีขอบร่วมกัน - ที่เกี่ยวข้อง.
• จุดยอดสองจุดของเส้นขนานที่ไม่อยู่ในใบหน้าเดียวกันเรียกว่า ตรงข้าม.
• ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามเรียกว่า เส้นทแยงมุมขนานกัน
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีหกหน้าและทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• ใบหน้าตรงข้ามของ parallelepiped นั้นเท่ากันและขนานกันเป็นคู่
• Paraleepiped มีสี่เส้นทแยงมุม พวกมันทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง และแต่ละอันจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดนั้น
• ถ้าด้านทั้งสี่ของด้านขนานกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (และฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพลการ) เรียกว่า โดยตรง(ในกรณีนี้ เช่นเดียวกับปริซึมตรง ขอบด้านข้างทั้งหมดตั้งฉากกับฐาน) คุณสมบัติและสูตรทั้งหมดสำหรับปริซึมตรงเกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวา
• ขนานนามว่า เฉียงถ้าไม่ใช่ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• ปริมาตรของกล่องตรงหรือเฉียงคำนวณโดยสูตรทั่วไปสำหรับปริมาตรของปริซึม กล่าวคือ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและความสูง ( วี = สหลัก ∙ ชม.).
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวา ซึ่งทั้งหกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (กล่าวคือ นอกจากใบหน้าด้านข้างแล้ว ฐานยังเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย) เรียกว่า สี่เหลี่ยม. สำหรับทรงลูกบาศก์ คุณสมบัติทั้งหมดของทรงลูกบาศก์มีความเกี่ยวข้อง เช่นเดียวกับ:
  • dและซี่โครงของเขา เอ, ข, คที่เกี่ยวข้องโดยอัตราส่วน:

d 2 = เอ 2 + ข 2 + ค 2 .

• • จากสูตรทั่วไปของปริมาตรของปริซึม จะได้สูตรดังต่อไปนี้ ปริมาตรของทรงลูกบาศก์:

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีใบหน้าเท่ากันทั้งหมดเรียกว่า ลูกบาศก์. เหนือสิ่งอื่นใด ลูกบาศก์นั้นเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ และโดยทั่วไปแล้วจะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ สำหรับลูกบาศก์ คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของปริซึมปกตินั้นถูกต้อง เช่นเดียวกับ:
  • ขอบทั้งหมดของลูกบาศก์เท่ากันทุกประการ
  • ลูกบาศก์ในแนวทแยง dและความยาวของขอบ เอที่เกี่ยวข้องโดยอัตราส่วน:

• จากสูตรปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราสามารถหาสูตรต่อไปนี้ได้สำหรับ ปริมาตรลูกบาศก์:

พีระมิด

คำจำกัดความ:

• พีระมิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ตามจำนวนมุมของฐาน ปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ รูปแสดงตัวอย่าง: ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม

• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดยอดของพีระมิด ในรูปวาด ฐานคือ BCDE.
• ใบหน้าอื่นที่ไม่ใช่ฐานเรียกว่า ด้านข้าง. ในรูปวาดคือ: ABC, ACD, ADEและ เออีบี.
• จุดยอดทั่วไปของใบหน้าด้านข้างเรียกว่า ด้านบนของปิรามิด(ยอดของพีระมิดทั้งหมดอย่างแม่นยำ ไม่ใช่แค่ยอด เช่นเดียวกับยอดอื่นๆ ทั้งหมด) ในการวาดมัน อา.
• ขอบที่เชื่อมยอดพีระมิดกับยอดฐานเรียกว่า ด้านข้าง. ในรูปวาดคือ: AB, AC, ADและ AE.
• หมายถึงปิรามิดในตอนแรกพวกเขาเรียกว่ายอดแล้ว - ยอดของฐาน สำหรับปิรามิดจากภาพวาด การกำหนดจะเป็นดังนี้: ABCDE.

• ส่วนสูงปิรามิดเรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากยอดปิรามิดไปยังฐาน ความยาวของเส้นตั้งฉากนี้แสดงด้วยตัวอักษร ชม. ในรูปวาดความสูงเท่ากับ AG. บันทึก: เฉพาะในกรณีที่ปิรามิดเป็นปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ (ดังในรูป) ความสูงของปิรามิดจะตกลงบนเส้นทแยงมุมของฐาน ในกรณีอื่นๆ จะไม่เป็นเช่นนั้น ในกรณีทั่วไป สำหรับปิรามิดตามอำเภอใจ จุดตัดของความสูงและฐานสามารถอยู่ที่ใดก็ได้
• อะโพเทม -ความสูงขอบด้านข้าง ถูกต้องปิรามิดที่ดึงมาจากด้านบน ในการวาดภาพ เช่น AF.
• ส่วนแนวทแยงของปิรามิด- ส่วนของปิรามิด ผ่านยอดปิรามิดและแนวทแยงของฐาน ในการวาดภาพ เช่น ACE.

ภาพวาดสามมิติพร้อมสัญลักษณ์เพื่อการท่องจำที่ดียิ่งขึ้น(ในรูปคือพีระมิดสามเหลี่ยมที่ถูกต้อง):

ถ้าขอบด้านข้างทั้งหมด ( SA, SB, SC, SDในภาพวาดด้านล่าง) ปิรามิดมีค่าเท่ากัน ดังนั้น:

• วงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับฐานของปิรามิด และยอดของปิรามิดถูกฉายไปที่จุดศูนย์กลาง (จุด อู๋). กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสูง (line ดังนั้น) ลดลงจากยอดปิรามิดดังกล่าวไปยังฐาน ( เอบีซีดี) ตกลงไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานคือ ที่จุดตัดของจุดกึ่งกลางตั้งฉากของฐาน
• ซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบฐาน (ในรูปวาดด้านล่าง นี่คือมุม อบต, SBO, SCO, SDO).

สำคัญ:สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ถ้าขอบด้านข้างสร้างมุมเท่ากันกับระนาบฐาน หรือถ้าสามารถอธิบายวงกลมใกล้ฐานของปิรามิดได้ และยอดของปิรามิดถูกฉายไปที่จุดศูนย์กลาง ขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากัน

หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานเป็นมุมเดียว (มุม DMN, DKN, DLNในรูปวาดด้านล่างจะเท่ากัน) จากนั้น:

• วงกลมสามารถจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิดและยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าที่จุดศูนย์กลาง (จุด นู๋). กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสูง (line DN) ลดลงจากด้านบนของปิรามิดดังกล่าวไปยังฐาน ตกลงสู่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐานคือ จนถึงจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งฐาน
• ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (apothems) เท่ากัน บนภาพวาดด้านล่าง DK, DL, DM- เส้นตั้งฉากเท่ากัน
• พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดดังกล่าวเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง (apothem)

ที่ไหน: พี- ปริมณฑลของฐาน เอ- ความยาวเส้นตั้งฉาก

สำคัญ:สิ่งตรงกันข้ามก็เป็นความจริง กล่าวคือ หากวงกลมสามารถจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิดได้ และยอดของปิรามิดถูกฉายไปที่จุดศูนย์กลาง จากนั้นใบหน้าด้านข้างทั้งหมดจะเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกันและ ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (apothem) เท่ากัน

ปิรามิดที่ถูกต้อง

คำนิยาม:ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และจุดยอดถูกฉายไปที่กึ่งกลางของฐาน แล้วมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติทุกด้านเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติเอียงไปที่ระนาบของฐานเป็นมุมเดียว

โน๊ตสำคัญ:อย่างที่คุณเห็น ปิรามิดธรรมดาเป็นหนึ่งในปิรามิดที่มีคุณสมบัติตามที่อธิบายไว้ข้างต้น แท้จริงแล้ว ถ้าฐานของพีระมิดปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบจะตรงกัน และยอดของพีระมิดปกติจะถูกฉายในจุดศูนย์กลางนี้อย่างแม่นยำ (ตามคำจำกัดความ) อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่า ไม่ใช่แค่ถูกต้องปิรามิดสามารถมีคุณสมบัติดังกล่าวข้างต้น

• ในปิรามิดทั่วไป ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
• ในปิรามิดทั่วไปใดๆ คุณสามารถจารึกทรงกลมและอธิบายทรงกลมรอบๆ ได้
• พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงฐานและเส้นตั้งฉาก

สูตรปริมาตรและพื้นที่ของปิรามิด

ทฤษฎีบท(ตามปริมาตรของปิรามิดที่มีความสูงเท่ากันและพื้นที่ฐานเท่ากัน) ปิรามิดสองอันที่มีความสูงเท่ากันและพื้นที่ฐานเท่ากันมีปริมาตรเท่ากัน (แน่นอน คุณอาจทราบสูตรของปริมาตรของปิรามิดอยู่แล้ว หรือคุณเห็นมันสองสามบรรทัดด้านล่าง และข้อความนี้ดูเหมือนชัดเจนสำหรับคุณ แต่ในความเป็นจริงการตัดสิน "ด้วยตา" ทฤษฎีบทนี้ไม่ชัดเจนนัก (ดูรูปด้านล่าง) อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ยังใช้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมและเรขาคณิตอื่น ๆ : รูปลักษณ์ของพวกเขานั้นหลอกลวงดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์คุณ ต้องเชื่อถือเฉพาะสูตรและการคำนวณที่ถูกต้อง)

• ปริมาตรปิรามิดสามารถคำนวณโดยใช้สูตร:

ที่ไหน: สฐานคือพื้นที่ฐานของปิรามิด ชม.คือความสูงของปิรามิด

• พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ใบหน้าด้านข้าง สำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิด เราสามารถเขียนสูตรสามมิติต่อไปนี้ได้อย่างเป็นทางการ:

ที่ไหน: สพื้นที่ผิวด้านข้าง - ด้านข้าง, ส 1 , ส 2 , ส 3 - พื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง

• เต็มผิวปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ฐาน:

คำจำกัดความ:

• - รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูปหรืออีกนัยหนึ่งคือปิรามิดสามเหลี่ยม สำหรับจัตุรมุข ใบหน้าใดๆ ของมันก็สามารถใช้เป็นฐานได้ โดยรวมแล้วจัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอดและ 6 ขอบ
• จัตุรมุขเรียกว่า ขวาถ้าใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สำหรับจัตุรมุขปกติ:
  1. ขอบทั้งหมดของจัตุรมุขปกติเท่ากัน
  2. ใบหน้าของจัตุรมุขปกติทุกหน้าเท่ากัน
  3. เส้นรอบวง พื้นที่ ความสูง และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของใบหน้าทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

ภาพวาดแสดงจัตุรมุขปกติ ในขณะที่รูปสามเหลี่ยม ABC, ADC, ย่านศูนย์กลางธุรกิจ, แย่มีค่าเท่ากัน จากสูตรทั่วไปสำหรับปริมาตรและพื้นที่ของปิรามิดตลอดจนความรู้จากการวัดระนาบ การหาสูตรสำหรับ ปริมาณและพื้นที่ของจัตุรมุขปกติ(เอ- ความยาวซี่โครง):

คำนิยาม:เมื่อแก้ปัญหาแบบ stereometry เรียกว่า พีระมิด สี่เหลี่ยมหากขอบด้านหนึ่งของพีระมิดตั้งฉากกับฐาน ในกรณีนี้ ขอบนี้คือความสูงของปิรามิด ด้านล่างนี้คือตัวอย่างปิรามิดรูปสามเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม รูปทางซ้าย SAเป็นขอบที่มีความสูงเช่นกัน

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

คำจำกัดความและคุณสมบัติ:

• ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมที่อยู่ระหว่างฐานของปิรามิดกับระนาบตัดขนานกับฐาน
• ตัวเลขที่ได้จากจุดตัดของระนาบการตัดกับพีระมิดดั้งเดิมเรียกอีกอย่างว่า พื้นฐานปิรามิดที่ถูกตัดทอน ดังนั้น พีระมิดที่ถูกตัดทอนในภาพวาดจึงมีสองฐาน: ABCและ อา 1 บี 1 ค 1 .
• ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ในการวาดภาพ เช่น AA 1 B1บี.
• ขอบด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของขอบของปิรามิดดั้งเดิมซึ่งอยู่ระหว่างฐาน ในการวาดภาพ เช่น AA 1 .
• ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นเส้นตั้งฉาก (หรือความยาวของแนวตั้งฉากนี้) ที่ลากจากจุดหนึ่งในระนาบของฐานหนึ่งไปยังระนาบของฐานอื่น
• ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่า ถูกต้อง, ถ้าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดโดยระนาบขนานกับฐาน ถูกต้องปิรามิด
• ฐานของพีระมิดที่ตัดทอนปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
• เส้นตั้งฉากพีระมิดที่ถูกตัดทอนเป็นประจำเรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้าง
• พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด

สูตรสำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือ:

ที่ไหน: ส 1 และ ส 2 - พื้นที่ฐาน ชม.คือความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าในการค้นหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนดังนี้: คุณสามารถเติมปิรามิดที่ถูกตัดให้ครบจนถึงปิรามิด โดยขยายขอบด้านข้างไปถึงสี่แยก จากนั้นปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะพบว่าเป็นความแตกต่างระหว่างปริมาตรของปิรามิดทั้งหมดกับส่วนที่เสร็จสมบูรณ์ นอกจากนี้ยังสามารถพบพื้นที่ผิวด้านข้างเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดทั้งหมดและส่วนที่เสร็จสมบูรณ์ พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเท่ากับผลคูณครึ่งหนึ่งของผลรวมของเส้นรอบรูปฐานและเส้นตั้งฉาก:

ที่ไหน: พี 1 และ พี 2 - เส้นรอบวงฐาน ถูกต้องปิรามิดที่ถูกตัดทอน เอ- ความยาวเส้นตั้งฉาก เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะพบว่าเป็นผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้าง:

พีระมิดและบอล (ทรงกลม)

ทฤษฎีบท:รอบพีระมิด อธิบายขอบเขตเมื่ออยู่ที่ฐานของปิรามิดจะมีรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้อยู่ (กล่าวคือ รูปหลายเหลี่ยมที่อยู่รอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายทรงกลมได้) เงื่อนไขนี้จำเป็นและเพียงพอ จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบพีระมิดที่ตั้งฉากกับพวกมัน

หมายเหตุ: จากทฤษฎีบทนี้ ทรงกลมสามารถอธิบายได้ทั้งรอบรูปสามเหลี่ยมและรอบพีระมิดทั่วไป อย่างไรก็ตาม รายชื่อปิรามิดที่อยู่ใกล้ๆ กับทรงกลมที่สามารถอธิบายได้นั้นไม่ได้จำกัดอยู่เพียงปิรามิดประเภทนี้เท่านั้น ในรูปวาดด้านขวาที่ความสูง SHต้องเลือกจุด อู๋เท่ากับจุดยอดทั้งหมดของปิรามิด: ดังนั้น = OB = OS = OD = OA. แล้วประเด็น อู๋เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบ

ทฤษฎีบท:คุณสามารถอยู่ในปิรามิด จารึกทรงกลมเมื่อระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

ความคิดเห็น:เห็นได้ชัดว่าคุณไม่เข้าใจสิ่งที่คุณอ่านบรรทัดด้านบน อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ พีระมิดธรรมดาใด ๆ เป็นปิรามิดที่สามารถจารึกทรงกลมได้. ในเวลาเดียวกัน รายการของปิรามิดที่สามารถจารึกทรงกลมได้นั้น ไม่ถูกทำให้หมดสิ้นไปโดยอันที่ถูกต้อง

คำนิยาม: เครื่องบิน Bisectorแบ่งมุมไดฮีดรัลออกเป็นครึ่งหนึ่ง และแต่ละจุดของระนาบแบ่งครึ่งนั้นอยู่ห่างจากใบหน้าที่ก่อมุมไดฮีดรัลเท่ากัน รูปบนระนาบขวา γ คือระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบ α และ β .

ภาพวาดสามมิติด้านล่างแสดงลูกบอลที่ถูกจารึกไว้ในปิรามิด (หรือปิรามิดที่อธิบายไว้ใกล้ลูกบอล) ในขณะที่จุด อู๋เป็นศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ จุดนี้ อู๋ระยะเท่ากันจากทุกหน้าของลูกบอล เช่น

โอม = OO 1

พีระมิดและโคน

ในสเตอริโอเมทรี ทรงกรวยเรียกว่าปิรามิดถ้าจุดยอดตรงกันและฐานถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด ยิ่งไปกว่านั้น เป็นไปได้ที่จะจารึกรูปกรวยในปิรามิดก็ต่อเมื่อมุมตั้งฉากของพีระมิดเท่ากันเท่านั้น (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ)

ทรงกรวยเรียกว่าจารึกไว้ใกล้ปิรามิดเมื่อจุดยอดตรงกันและอธิบายฐานไว้ใกล้กับฐานของปิรามิด นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายรูปกรวยใกล้กับปิรามิดได้ก็ต่อเมื่อขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากันหมด (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ)

ทรัพย์สินที่สำคัญ:

ปิรามิดและทรงกระบอก

ว่ากันว่ารูปทรงกระบอกนั้นสลักอยู่ในปิรามิดถ้าฐานใดฐานหนึ่งตรงกับวงกลมของระนาบที่เขียนไว้ในส่วนของปิรามิด ให้ขนานกับฐาน และอีกฐานหนึ่งเป็นฐานของปิรามิด

ว่ากันว่ากระบอกนี้ถูกล้อมไว้ใกล้ปิรามิดถ้ายอดของปิรามิดอยู่ในฐานใดฐานหนึ่ง และอีกฐานหนึ่งมีคำอธิบายอยู่ใกล้ฐานของปิรามิด ยิ่งไปกว่านั้น เป็นไปได้ที่จะอธิบายรูปทรงกระบอกใกล้กับปิรามิดก็ต่อเมื่อมีรูปหลายเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิดสลักไว้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ)

ทรงกลมและลูกบอล

คำจำกัดความ:

1. ทรงกลม- พื้นผิวปิด โลคัสของจุดในอวกาศเท่ากับจุดที่กำหนดเรียกว่า ศูนย์กลางของทรงกลม. ทรงกลมยังเป็นร่างของการปฏิวัติที่เกิดขึ้นจากการหมุนของครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีทรงกลมเรียกว่า ส่วนที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของทรงกลมกับจุดใดๆ ของทรงกลม
2. คอร์ดทรงกลมเป็นส่วนที่เชื่อมจุดสองจุดบนทรงกลม
3. เส้นผ่านศูนย์กลางทรงกลมเรียกว่าคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลาง จุดศูนย์กลางของทรงกลมแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เส้นผ่านศูนย์กลางทรงกลมใดๆ ที่มีรัศมี Rคือ2 R.
4. ลูกบอล- ร่างกายทางเรขาคณิต ชุดของจุดทั้งหมดในอวกาศที่มีระยะทางไม่เกินระยะทางที่กำหนดจากจุดศูนย์กลางที่แน่นอน ระยะทางนี้เรียกว่า รัศมีลูก. ลูกบอลเกิดจากการหมุนครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางคงที่ บันทึก:พื้นผิว (หรือขอบเขต) ของทรงกลมเรียกว่าทรงกลม เป็นไปได้ที่จะให้คำจำกัดความของลูกบอลดังต่อไปนี้: วัตถุทางเรขาคณิตเรียกว่าลูกบอลซึ่งประกอบด้วยทรงกลมและส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมนี้
5. รัศมี, คอร์ดและ เส้นผ่านศูนย์กลางเรียกว่า รัศมี คอร์ด และเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม ซึ่งเป็นขอบเขตของลูกบอลนี้
6. ความแตกต่างระหว่างลูกบอลกับทรงกลมนั้นคล้ายกับความแตกต่างระหว่างวงกลมกับวงกลม วงกลมคือเส้นตรง และวงกลมก็คือจุดทั้งหมดภายในเส้นนี้ ทรงกลมคือเปลือกหอย และลูกบอลก็คือจุดทั้งหมดที่อยู่ในเปลือกนี้
7. ระนาบที่ผ่านศูนย์กลางของทรงกลม (ball) เรียกว่า ระนาบเส้นผ่านศูนย์กลาง.
8. ส่วนของทรงกลม (บอล) โดยระนาบเส้นผ่านศูนย์กลางเรียกว่า วงกลมใหญ่ (วงกลมใหญ่).

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(ในส่วนของทรงกลมโดยเครื่องบิน) ส่วนของทรงกลมโดยระนาบเป็นวงกลม โปรดทราบว่าการยืนยันทฤษฎีบทยังคงเป็นจริงแม้ว่าระนาบจะผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม
• ทฤษฎีบท 2(ในส่วนของทรงกลมโดยเครื่องบิน) ส่วนของลูกบอลโดยเครื่องบินเป็นวงกลม และฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดศูนย์กลางของลูกบอลไปยังระนาบของส่วนคือศูนย์กลางของวงกลมที่ได้รับในส่วน

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดจากส่วนที่สามารถรับได้จากส่วนของลูกบอลที่กำหนดโดยเครื่องบินอยู่ในส่วนที่ผ่านศูนย์กลางของลูกบอล อู๋. เรียกว่าวงเวียนใหญ่ รัศมีของมันเท่ากับรัศมีของทรงกลม วงกลมใหญ่สองวงใดๆ ตัดกันในเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล AB. เส้นผ่านศูนย์กลางนี้ก็คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใหญ่ที่ตัดกันด้วย ผ่านจุดสองจุดของพื้นผิวทรงกลมซึ่งอยู่ที่ปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกัน (ในรูปที่ อาและ บี) คุณสามารถวาดวงกลมขนาดใหญ่ได้ไม่จำกัดจำนวน ตัวอย่างเช่น เส้นเมอริเดียนจำนวนอนันต์สามารถลากผ่านขั้วของโลกได้

คำจำกัดความ:

1. ระนาบสัมผัสถึงทรงกลมเรียกว่าระนาบที่มีจุดร่วมกับทรงกลมเพียงจุดเดียว และจุดร่วมเรียกว่าจุดสัมผัสของระนาบกับทรงกลม
2. ระนาบสัมผัสลูกบอลเรียกว่าระนาบสัมผัสของทรงกลมซึ่งเป็นขอบเขตของลูกบอลนี้
3. เส้นใด ๆ ที่อยู่ในระนาบสัมผัสของทรงกลม (บอล) และผ่านจุดสัมผัสเรียกว่า แทนเจนต์เป็นเส้นตรงเป็นทรงกลม (บอล). ตามคำจำกัดความระนาบสัมผัสมีจุดร่วมกับทรงกลมเพียงจุดเดียว ดังนั้น เส้นสัมผัสจึงมีจุดร่วมกับทรงกลมเพียงจุดเดียว - จุดสัมผัส

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(เครื่องหมายของระนาบสัมผัสของทรงกลม). ระนาบตั้งฉากกับรัศมีของทรงกลมและผ่านปลายของมันซึ่งนอนอยู่บนทรงกลมสัมผัสกับทรงกลม
• ทฤษฎีบท 2(บนสมบัติของระนาบสัมผัสถึงทรงกลม) ระนาบสัมผัสของทรงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดที่สัมผัส

รูปทรงหลายเหลี่ยมและทรงกลม

คำนิยาม:ใน stereometry เรียกว่า polyhedron (เช่นพีระมิดหรือปริซึม) ระบุไว้ในขอบเขตถ้าจุดยอดทั้งหมดอยู่บนทรงกลม ในกรณีนี้ ทรงกลมเรียกว่า circumscribed ใกล้รูปทรงหลายเหลี่ยม (พีระมิด, ปริซึม) ในทำนองเดียวกัน: รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า จารึกไว้ในลูกบอลถ้าจุดยอดทั้งหมดอยู่บนขอบของลูกบอลนี้ ในกรณีนี้ ลูกบอลถูกจารึกไว้ใกล้กับรูปทรงหลายเหลี่ยม

คุณสมบัติที่สำคัญ: จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบทรงหลายเหลี่ยมอยู่ในระยะเท่ากับรัศมี Rทรงกลม จากจุดยอดแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี่คือตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในทรงกลม:

คำนิยาม:รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า อธิบายเกี่ยวกับทรงกลม (บอล), ถ้าทรงกลม (บอล) สัมผัส ทั้งหมดใบหน้าหลายเหลี่ยม ในกรณีนี้ ทรงกลมและลูกบอลจะถูกจารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยม

สำคัญ: จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นอยู่ในระยะเท่ากับรัศมี rทรงกลม จากระนาบแต่ละระนาบที่มีใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมต่อไปนี้คือตัวอย่างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายไว้ใกล้ทรงกลม:

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลม

ทฤษฎีบท:

• ทฤษฎีบท 1(เกี่ยวกับพื้นที่ของทรงกลม). พื้นที่ของทรงกลมคือ:

ที่ไหน: Rคือรัศมีของทรงกลม

• ทฤษฎีบท 2(เกี่ยวกับปริมาตรของลูกบอล). ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี Rคำนวณโดยสูตร:

ส่วนบอล ชั้น ภาค

ในสเตอริโอเมทรี ส่วนบอลเรียกว่าส่วนของลูกที่ถูกตัดออกโดยระนาบการตัด ในกรณีนี้ อัตราส่วนระหว่างความสูง รัศมีของฐานของส่วน และรัศมีของลูกบอล:

ที่ไหน: ชม.− ส่วนสูง r− รัศมีฐานเซกเมนต์ R− รัศมีลูก พื้นที่ฐานของส่วนทรงกลม:

พื้นที่ผิวด้านนอกของส่วนทรงกลม:

พื้นที่ผิวทั้งหมดของส่วนลูก:

ปริมาณส่วนบอล:

ในสเตอริโอเมทรี ชั้นทรงกลมส่วนของทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยระนาบคู่ขนานเรียกว่า พื้นที่ผิวด้านนอกของชั้นทรงกลม:

ที่ไหน: ชม.คือความสูงของชั้นทรงกลม R− รัศมีลูก พื้นที่ผิวทั้งหมดของชั้นทรงกลม:

ที่ไหน: ชม.คือความสูงของชั้นทรงกลม R− รัศมีลูก r 1 , r 2 คือรัศมีของฐานของชั้นทรงกลม ส 1 , ส 2 คือพื้นที่ของฐานเหล่านี้ ปริมาตรของชั้นทรงกลมนั้นพบได้ง่ายที่สุดเนื่องจากความแตกต่างระหว่างปริมาตรของส่วนทรงกลมสองส่วน

ในสเตอริโอเมทรี ภาคบอลเรียกว่าส่วนของลูกประกอบด้วยปล้องทรงกลมและรูปกรวยที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางของลูกบอลและฐานประจวบกับฐานของปล้องทรงกลม ในที่นี้สันนิษฐานว่าส่วนของลูกบอลนั้นน้อยกว่าครึ่งลูก พื้นที่ผิวทั้งหมดของภาคทรงกลม:

ที่ไหน: ชม.คือความสูงของส่วนทรงกลมที่สอดคล้องกัน rคือรัศมีของฐานของปล้องทรงกลม (หรือรูปกรวย) R− รัศมีลูก ปริมาตรของภาคทรงกลมคำนวณโดยสูตร:

คำจำกัดความ:

1. ในระนาบบางอัน ให้พิจารณาวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง อู๋และรัศมี R. ผ่านแต่ละจุดของวงกลม เราวาดเส้นตั้งฉากกับระนาบของวงกลม พื้นผิวทรงกระบอกรูปที่เกิดจากเส้นเหล่านี้เรียกว่าและเส้นนั้นเรียกว่า เกิดเป็นพื้นผิวทรงกระบอก. เครื่องกำเนิดพื้นผิวทรงกระบอกทั้งหมดขนานกันเนื่องจากตั้งฉากกับระนาบของวงกลม

1. กระบอกกลมตรงหรือง่ายๆ กระบอกเรียกว่าตัวเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกและระนาบคู่ขนานสองระนาบที่ตั้งฉากกับเครื่องกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอก อย่างไม่เป็นทางการ คุณสามารถนึกถึงทรงกระบอกเป็นปริซึมตรงที่มีวงกลมอยู่ที่ฐาน ซึ่งจะช่วยให้เข้าใจได้ง่าย และหากจำเป็น ให้หาสูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก
2. พื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบส่วนของพื้นผิวทรงกระบอกที่อยู่ระหว่างระนาบการตัดซึ่งตั้งฉากกับตัวกำเนิดนั้นเรียกว่าและส่วน (วงกลม) ที่พื้นผิวทรงกระบอกบนระนาบคู่ขนานเรียกว่า ฐานกระบอกสูบ. ฐานของทรงกระบอกเป็นวงกลมสองวงเท่ากัน
3. กระบอกสูบ generatrixเรียกว่าส่วน (หรือความยาวของส่วนนี้) ของ generatrix ของพื้นผิวทรงกระบอกซึ่งอยู่ระหว่างระนาบคู่ขนานซึ่งฐานของกระบอกสูบอยู่ เครื่องกำเนิดทรงกระบอกทั้งหมดขนานกันและเท่ากันและยังตั้งฉากกับฐานด้วย
4. แกนกระบอกเรียกว่า ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เป็นฐานของทรงกระบอก
5. ความสูงของกระบอกสูบเรียกว่าเส้นตั้งฉาก (หรือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้) ดึงจากจุดใดจุดหนึ่งในระนาบของฐานหนึ่งของทรงกระบอกไปยังระนาบของฐานอื่น ในทรงกระบอก ความสูงเท่ากับเจเนอเรทริกซ์
6. รัศมีกระบอกสูบเรียกว่ารัศมีของฐาน
7. กระบอกเรียกว่า ด้านเท่ากันหมดถ้าความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน
8. สามารถรับทรงกระบอกได้โดยการหมุนสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบด้านใดด้านหนึ่ง 360°
9. หากระนาบการตัดขนานกับแกนของทรงกระบอก ส่วนของทรงกระบอกจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สองด้านเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้า และอีกสองด้านเป็นคอร์ดของฐานของทรงกระบอก
10. ส่วนแกนทรงกระบอกคือส่วนของทรงกระบอกโดยระนาบที่เคลื่อนผ่านแกนของมัน ส่วนแกนของทรงกระบอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สองด้านเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของทรงกระบอก และอีกสองด้านเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน
11. หากระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอก วงกลมจะถูกสร้างขึ้นในส่วนที่เท่ากับฐาน ในรูปวาดด้านล่าง: ทางซ้าย - ส่วนแกน; ตรงกลาง - ส่วนที่ขนานกับแกนของกระบอกสูบ ทางด้านขวา - ส่วนขนานกับฐานของกระบอกสูบ

ทรงกระบอกและปริซึม

ปริซึมถูกจารึกไว้ในทรงกระบอกถ้าฐานของมันถูกจารึกไว้ในฐานของกระบอกสูบ ในกรณีนี้ กล่าวกันว่าทรงกระบอกรอบปริซึม ความสูงของปริซึมและความสูงของทรงกระบอกในกรณีนี้จะเท่ากัน ขอบด้านข้างของปริซึมทั้งหมดจะอยู่บนพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกและตรงกับเครื่องกำเนิด เนื่องจากทรงกระบอกเราหมายถึงทรงกระบอกตรงเท่านั้นจึงสามารถจารึกเฉพาะปริซึมตรงในทรงกระบอกดังกล่าวได้ ตัวอย่าง:

กล่าวกันว่าปริซึมรอบทรงกระบอกหากอธิบายฐานไว้ใกล้กับฐานของกระบอกสูบ ในกรณีนี้ กล่าวกันว่าทรงกระบอกนั้นถูกจารึกไว้ในปริซึม ความสูงของปริซึมและความสูงของทรงกระบอกในกรณีนี้จะเท่ากัน ขอบด้านข้างทั้งหมดของปริซึมจะขนานกับตัวกำเนิดของทรงกระบอก เนื่องจากทรงกระบอกเราหมายถึงทรงกระบอกตรงเท่านั้น ทรงกระบอกดังกล่าวจึงถูกจารึกไว้ในปริซึมตรงเท่านั้น ตัวอย่าง:

ทรงกระบอกและทรงกลม

ทรงกลม (ball) เรียกว่า สลักอยู่ในรูปทรงกระบอกถ้ามันสัมผัสกับฐานของกระบอกสูบและเครื่องกำเนิดไฟฟ้าแต่ละตัว ในกรณีนี้เรียกว่าทรงกระบอกรอบทรงกลม (บอล) ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในทรงกระบอกได้ก็ต่อเมื่อเป็นทรงกระบอกด้านเท่าเช่น เส้นผ่านศูนย์กลางฐานและความสูงเท่ากัน ศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้จะอยู่ตรงกลางของแกนของทรงกระบอก และรัศมีของทรงกลมนี้จะตรงกับรัศมีของทรงกระบอก ตัวอย่าง:

ว่ากันว่ากระบอกนี้ถูกจารึกไว้ในทรงกลมถ้าวงกลมฐานของทรงกระบอกเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม กล่าวกันว่าทรงกระบอกนั้นถูกจารึกไว้ในทรงกลมหากฐานของทรงกระบอกเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม ในกรณีนี้เรียกว่าลูกบอล (ทรงกลม) ใกล้กับกระบอกสูบ ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบ ๆ กระบอกสูบ ศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายก็จะอยู่ตรงกลางของแกนของทรงกระบอกด้วย ตัวอย่าง:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันง่ายที่จะพิสูจน์สูตรต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับรัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ ( R), ความสูงของกระบอกสูบ ( ชม.) และรัศมีของกระบอกสูบ ( r):

ปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและเต็มของกระบอกสูบ

ทฤษฎีบท 1(เกี่ยวกับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก): พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูง:

ที่ไหน: Rคือรัศมีฐานของทรงกระบอก ชม.- สูงของเขา สูตรนี้ได้มาอย่างง่ายดาย (หรือพิสูจน์แล้ว) ตามสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง

พื้นที่ผิวทั้งหมดของกระบอกสูบตามปกติใน stereometry คือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐานทั้งสอง พื้นที่ของแต่ละฐานของทรงกระบอก (เช่น พื้นที่ของวงกลม) คำนวณโดยสูตร:

ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก สเต็ม ทรงกระบอกคำนวณโดยสูตร:

ทฤษฎีบท 2(เกี่ยวกับปริมาตรของทรงกระบอก): ปริมาตรของทรงกระบอกเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง:

ที่ไหน: Rและ ชม.คือรัศมีและความสูงของทรงกระบอกตามลำดับ สูตรนี้ยังได้มาอย่างง่ายดาย (พิสูจน์แล้ว) ตามสูตรสำหรับปริมาตรของปริซึม

ทฤษฎีบท 3(อาร์คิมิดีส): ปริมาตรของทรงกลมน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่อธิบายไว้รอบ ๆ หนึ่งเท่าครึ่ง และพื้นที่ผิวของลูกบอลดังกล่าวจะน้อยกว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของ ​กระบอกเดียวกัน:

กรวย

คำจำกัดความ:

1. กรวย (อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นคือกรวยทรงกลม)เรียกว่า กาย ซึ่งประกอบด้วย วงกลม (เรียกว่า ฐานกรวย), จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของวงกลมนี้ (เรียกว่า ด้านบนของกรวย) และส่วนที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เชื่อมต่อส่วนบนของกรวยกับจุดฐาน อย่างไม่เป็นทางการคุณสามารถรับรู้กรวยเป็นปิรามิดปกติซึ่งมีวงกลมอยู่ที่ฐาน ซึ่งจะช่วยให้เข้าใจได้ง่าย และหากจำเป็น ให้หาสูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย

1. ส่วน (หรือความยาว) ที่เชื่อมต่อส่วนบนของกรวยกับจุดของวงกลมของฐานเรียกว่า เกิดเป็นกรวย. เครื่องกำเนิดกรวยวงกลมด้านขวาทั้งหมดมีค่าเท่ากัน
2. พื้นผิวของกรวยประกอบด้วยฐานของกรวย (วงกลม) และพื้นผิวด้านข้าง (ประกอบด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่เป็นไปได้ทั้งหมด)
3. สหภาพของเครื่องกำเนิดกรวยเรียกว่า พื้นผิว generatrix (หรือด้านข้าง) ของกรวย. เจเนอเรทริกซ์ของกรวยเป็นพื้นผิวทรงกรวย
4. กรวยเรียกว่า โดยตรงถ้าเส้นเชื่อมจุดยอดของกรวยกับจุดศูนย์กลางของฐานตั้งฉากกับระนาบของฐาน ต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะกรวยที่ถูกต้องเท่านั้น โดยเรียกง่ายๆ ว่ากรวยเพื่อความกระชับ
5. ทางสายตาสามารถจินตนาการถึงรูปกรวยทรงกลมแบบตรงเป็นรูปร่างที่ได้มาจากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาเป็นแกน ในกรณีนี้ พื้นผิวด้านข้างของกรวยเกิดจากการหมุนของด้านตรงข้ามมุมฉาก และฐานจะเกิดจากการหมุนของขาซึ่งไม่ใช่แกน
6. รัศมีกรวยเรียกว่ารัศมีของฐาน
7. ความสูงของกรวยเรียกว่าแนวตั้งฉาก (หรือความยาว) ลดลงจากด้านบนถึงระนาบของฐาน สำหรับกรวยด้านขวา ฐานของความสูงจะตรงกับศูนย์กลางของฐาน แกนของกรวยทรงกลมด้านขวาเป็นเส้นตรงที่มีความสูง กล่าวคือ เส้นตรงผ่านศูนย์กลางของฐานและด้านบน
8. หากระนาบการตัดผ่านแกนของกรวย ส่วนนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งฐานคือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของกรวย และด้านข้างคือกำเนิดของกรวย การตัดดังกล่าวเรียกว่า แกน.

1. หากระนาบการตัดผ่านจุดด้านในของความสูงของกรวยและตั้งฉากกับมัน ส่วนของกรวยจะเป็นวงกลม ซึ่งจุดศูนย์กลางคือจุดตัดของความสูงกับระนาบนี้
2. ส่วนสูง ( ชม.) รัศมี ( R) และความยาวของกำเนิด ( l) ของรูปกรวยวงกลมด้านขวาตอบสนองความสัมพันธ์ที่ชัดเจน:

ปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและเต็มของกรวย

ทฤษฎีบท 1(บนพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย) พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและตัวกำเนิดครึ่งหนึ่ง:

ที่ไหน: Rคือรัศมีของฐานของกรวย lคือความยาวของกำเนิดของกรวย สูตรนี้ได้มาอย่างง่ายดาย (หรือพิสูจน์แล้ว) ตามสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ

พื้นที่ผิวเต็มของกรวยคือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างกับพื้นที่ฐาน พื้นที่ฐานของกรวย (นั่นคือ เฉพาะพื้นที่ของวงกลม) คือ: สฐาน = พายอาร์ 2. ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวย สเต็ม กรวยคำนวณโดยสูตร:

ทฤษฎีบท 2(บนปริมาตรของกรวย). ปริมาตรของกรวยเท่ากับหนึ่งในสามของพื้นที่ฐานคูณด้วยความสูง:

ที่ไหน: Rคือรัศมีของฐานของกรวย ชม.- สูงของเขา สูตรนี้ยังได้มาอย่างง่ายดาย (พิสูจน์แล้ว) ตามสูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิด

คำจำกัดความ:

1. ระนาบที่ขนานกับฐานของกรวยและตัดกันกรวยจะตัดกรวยที่เล็กกว่าออกไป ที่เหลือเรียกว่า กรวยที่ถูกตัดทอน.

1. ฐานของกรวยเดิมและวงกลมที่ได้จากระนาบนี้เรียกว่า บริเวณและส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของพวกเขา - ความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอน.
2. เส้นตรงที่ลากผ่านความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอน (เช่น ผ่านจุดศูนย์กลางของฐาน) เป็นเส้นตรง แกน.
3. ส่วนของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ล้อมรอบกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่า พื้นผิวด้านข้างและส่วนของ generatrix ของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่า กำเนิด.
4. เครื่องกำเนิดกรวยที่ถูกตัดทอนทั้งหมดมีค่าเท่ากัน
5. สามารถรับกรวยที่ถูกตัดทอนได้โดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมผ่าน 360° รอบด้านข้างในแนวตั้งฉากกับฐาน

สูตรสำหรับกรวยที่ถูกตัดทอน:

ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับผลต่างระหว่างปริมาตรของกรวยเต็มและกรวยที่ถูกตัดออกโดยระนาบขนานกับฐานของกรวย ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอนคำนวณโดยสูตร:

ที่ไหน: ส 1 = π r 1 2 และ ส 2 = π r 2 2 - พื้นที่ฐาน ชม.คือความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอน r 1 และ r 2 - รัศมีของฐานบนและล่างของกรวยที่ถูกตัดทอน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การหาปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอนยังสะดวกกว่าเนื่องจากความแตกต่างระหว่างปริมาตรของกรวยดั้งเดิมกับส่วนที่ถูกตัดออก พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนยังสามารถพบได้เนื่องจากความแตกต่างระหว่างพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยดั้งเดิมกับส่วนที่ถูกตัดออก

อันที่จริง พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยเต็มและกรวยที่ถูกตัดออกโดยระนาบขนานกับฐานของกรวย พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนคำนวณโดยสูตร:

ที่ไหน: พี 1 = 2π r 1 และ พี 2 = 2π r 2 - ปริมณฑลของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน l- ความยาวของ generatrix พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดทอนเห็นได้ชัดว่าเป็นผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง:

โปรดทราบว่าสูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นได้มาจากสูตรสำหรับคุณลักษณะที่คล้ายคลึงกันของปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติ

กรวยและทรงกลม

ว่ากันว่ารูปกรวยถูกจารึกไว้เป็นทรงกลม(ลูกบอล) ถ้าจุดยอดของมันเป็นทรงกลม (ขอบเขตของลูกบอล) และเส้นรอบวงของฐาน (ตัวฐานเอง) เป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม (ลูกบอล) ในกรณีนี้เรียกว่าทรงกลม (บอล) ใกล้กรวย ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ กรวยวงกลมด้านขวาเสมอ ศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบจะอยู่บนเส้นตรงที่มีความสูงของกรวย และรัศมีของทรงกลมนี้จะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบส่วนแกนของกรวย (ส่วนนี้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) . ตัวอย่าง:

ทรงกลม (ball) เรียกว่า จารึกไว้ในรูปกรวยถ้าทรงกลม (ลูกบอล) สัมผัสกับฐานของกรวยและเครื่องกำเนิดแต่ละอัน ในกรณีนี้เรียกว่ากรวยที่จารึกไว้ใกล้ทรงกลม (บอล) ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในรูปกรวยวงกลมด้านขวาได้เสมอ ศูนย์กลางของมันจะอยู่ที่ความสูงของกรวย และรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้จะเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในส่วนแกนของกรวย (ส่วนนี้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ตัวอย่าง:

กรวยและปิรามิด

• กรวยเรียกว่าปิรามิด (อธิบายปิรามิดใกล้กรวย) ถ้าฐานของกรวยถูกจารึกไว้ในฐานของปิรามิดและจุดยอดของกรวยและปิรามิดตรงกัน
• ปิรามิดเรียกว่ารูปกรวย (มีคำอธิบายรูปกรวยใกล้กับปิรามิด) หากฐานของมันถูกจารึกไว้ที่ฐานของกรวยและขอบด้านข้างเป็นตัวกำเนิดของกรวย
• ความสูงของกรวยและปิรามิดดังกล่าวมีค่าเท่ากัน

บันทึก: รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการในเรขาคณิตทึบที่กรวยพอดีกับปิรามิดหรืออธิบายไว้ใกล้ปิรามิดได้รับการกล่าวถึงแล้วใน

จะเตรียมตัวสอบ CT ในสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

เพื่อที่จะประสบความสำเร็จ เตรียมความพร้อมสำหรับ CTในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เหนือสิ่งอื่นใด ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขสำคัญสามประการ:

1. ศึกษาหัวข้อทั้งหมดและทำแบบทดสอบและงานทั้งหมดที่ได้รับใน เอกสารการฝึกอบรมบนเว็บไซต์นั้น ในการทำเช่นนี้คุณไม่จำเป็นต้องมีอะไรเลย กล่าวคือ: เพื่ออุทิศเวลาสามถึงสี่ชั่วโมงทุกวันเพื่อเตรียมตัวสำหรับ CT ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ศึกษาทฤษฎีและแก้ปัญหา ความจริงก็คือ CT เป็นข้อสอบที่แค่รู้ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์ไม่เพียงพอ คุณต้องสามารถแก้ปัญหาจำนวนมากในหัวข้อต่างๆ และความซับซ้อนที่แตกต่างกันได้อย่างรวดเร็วและปราศจากข้อผิดพลาด สิ่งหลังสามารถเรียนรู้ได้โดยการแก้ปัญหานับพันเท่านั้น
2. เรียนรู้ สูตรและกฎทั้งหมดในฟิสิกส์และสูตรและวิธีการในวิชาคณิตศาสตร์. อันที่จริง การทำเช่นนี้ทำได้ง่ายมาก มีสูตรฟิสิกส์ที่จำเป็นประมาณ 200 สูตรเท่านั้น และแม้แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ก็น้อยกว่าเล็กน้อย ในแต่ละวิชาเหล่านี้มีวิธีมาตรฐานประมาณ 12 วิธีในการแก้ปัญหาระดับความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน ซึ่งสามารถเรียนรู้ได้เช่นกัน ดังนั้นโดยอัตโนมัติอย่างสมบูรณ์และโดยไม่มีปัญหา จึงสามารถแก้ไขการเปลี่ยนแปลงทางดิจิทัลส่วนใหญ่ได้ในเวลาที่เหมาะสม หลังจากนั้นคุณจะต้องคิดถึงงานที่ยากที่สุดเท่านั้น
3. เยี่ยมชมทั้งสามขั้นตอน ทดลองซ้อมในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ แต่ละ RT สามารถเข้าชมได้สองครั้งเพื่อแก้ปัญหาทั้งสองตัวเลือก อีกครั้งที่ DT นอกจากความสามารถในการแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพและความรู้เกี่ยวกับสูตรและวิธีการแล้ว ยังจำเป็นต้องสามารถวางแผนเวลา กระจายแรงได้อย่างเหมาะสม และที่สำคัญ กรอกแบบฟอร์มคำตอบให้ถูกต้อง โดยไม่สับสนกับจำนวนคำตอบและงาน หรือนามสกุลของคุณเอง นอกจากนี้ ในระหว่างการ RT สิ่งสำคัญคือต้องทำความคุ้นเคยกับรูปแบบการตั้งคำถามในงาน ซึ่งอาจดูผิดปกติมากสำหรับผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวใน DT

การนำสามประเด็นเหล่านี้ไปใช้อย่างประสบความสำเร็จ ขยันขันแข็ง และมีความรับผิดชอบ จะช่วยให้คุณแสดงผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมใน CT ได้ ซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดของสิ่งที่คุณทำได้

พบข้อผิดพลาด?

หากคุณพบว่ามีข้อผิดพลาดในเอกสารการฝึกอบรมโปรดเขียนทางไปรษณีย์ คุณสามารถเขียนเกี่ยวกับข้อผิดพลาดบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก () ในจดหมาย ให้ระบุหัวข้อ (ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์) ชื่อหรือหมายเลขหัวข้อหรือแบบทดสอบ จำนวนงาน หรือตำแหน่งในข้อความ (หน้า) ซึ่งในความเห็นของคุณมีข้อผิดพลาด อธิบายด้วยว่าข้อผิดพลาดที่ถูกกล่าวหาคืออะไร จดหมายของคุณจะไม่มีใครสังเกตเห็น ข้อผิดพลาดจะได้รับการแก้ไข หรือคุณจะอธิบายได้ว่าเหตุใดจึงไม่ใช่ข้อผิดพลาด