คำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของการเคลื่อนไหวที่เร่งอย่างสม่ำเสมอ ที่มาของสูตรการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ วิถี
สิ่งสำคัญที่สุดสำหรับเราคือการสามารถคำนวณการกระจัดของร่างกายได้ เพราะเมื่อรู้การเคลื่อนที่แล้ว เราก็สามารถหาพิกัดของร่างกายได้ และนี่คืองานหลักของกลศาสตร์ วิธีการคำนวณการกระจัด การเคลื่อนไหวที่เร่งสม่ำเสมอ?
สูตรในการพิจารณาการกระจัดจะง่ายที่สุดหากคุณใช้วิธีการแบบกราฟิก
ใน § 9 เราเห็นว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นเส้นตรงเป็นเส้นตรง การกระจัดของวัตถุมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูป (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) ที่อยู่ใต้กราฟความเร็ว สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับการเคลื่อนไหวที่เร่งความเร็วสม่ำเสมอหรือไม่
ด้วยการเคลื่อนไหวที่เร่งอย่างสม่ำเสมอของร่างกายที่เกิดขึ้นตามแกนพิกัด X ความเร็วจะไม่คงที่เมื่อเวลาผ่านไป แต่จะเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามสูตร:
ดังนั้น กราฟความเร็วจึงมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 40 บรรทัดที่ 1 ในรูปนี้สอดคล้องกับการเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง "บวก" (เพิ่มความเร็ว) บรรทัดที่ 2 สอดคล้องกับการเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง "เชิงลบ" (ความเร็วลดลง) กราฟทั้งสองอ้างถึงกรณีที่ในขณะที่ร่างกายมีความเร็ว
เราเลือกส่วนเล็ก ๆ บนกราฟของความเร็วของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ (รูปที่ 41) และต่ำกว่าจากจุด a และตั้งฉากกับแกน ความยาวของส่วนบนแกนเป็นตัวเลขเท่ากับช่วงเวลาเล็ก ๆ ในระหว่างที่ความเร็ว เปลี่ยนจากค่าที่จุด a เป็นค่าที่จุด ใต้ส่วนกราฟิกกลายเป็นแถบแคบ
หากช่วงเวลาในเชิงตัวเลขเท่ากับส่วนนั้นเล็กเพียงพอ ในช่วงเวลานี้การเปลี่ยนแปลงของความเร็วก็จะน้อยเช่นกัน การเคลื่อนไหวในช่วงเวลานี้ถือได้ว่าสม่ำเสมอ จากนั้นแถบจะแตกต่างจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเล็กน้อย พื้นที่ของแถบจึงเป็นตัวเลขเท่ากับการกระจัดของร่างกายในเวลาที่สอดคล้องกับส่วน
แต่สามารถแบ่งพื้นที่ทั้งหมดของรูปที่อยู่ใต้กราฟความเร็วออกเป็นแถบแคบๆ ดังกล่าวได้ ดังนั้นการกระจัดตลอดเวลาจึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของ trapezoid พื้นที่ของ trapezoid ตามที่ทราบในเรขาคณิตจะเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง ในกรณีของเรา ความยาวของฐานใดฐานหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับความยาวของอีกฐานหนึ่ง - V ความสูงเท่ากับตัวเลข การกระจัดจะเท่ากับ:
เราแทนนิพจน์ (1a) ลงในสูตรนี้แทน แล้ว
หารเทอมด้วยเทอม ตัวเศษด้วยตัวส่วน เราจะได้:
แทนที่นิพจน์ (16) ลงในสูตร (2) เราได้รับ (ดูรูปที่ 42):
สูตร (2a) ใช้เมื่อเวกเตอร์ความเร่งถูกชี้ไปในทิศทางเดียวกับแกนพิกัด และใช้สูตร (26) เมื่อทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกนนี้
หากความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ (รูปที่ 43) และเวกเตอร์ความเร่งถูกชี้ไปตามแกนพิกัด จากสูตร (2a) จะเป็นไปตามนั้น
หากทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกนพิกัด จากสูตร (26) จะได้ว่า
(เครื่องหมาย “-” ในที่นี้หมายความว่าเวกเตอร์การกระจัด เช่นเดียวกับเวกเตอร์ความเร่ง มุ่งตรงตรงข้ามกับแกนพิกัดที่เลือก)
จำได้ว่าในสูตร (2a) และ (26) ปริมาณและสามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ - นี่คือการคาดการณ์ของเวกเตอร์และ
ตอนนี้เราได้รับสูตรการคำนวณการกระจัดแล้ว มันง่ายสำหรับเราที่จะได้สูตรการคำนวณพิกัดของร่างกาย เราได้เห็นแล้ว (ดู § 8) ว่าในการค้นหาพิกัดของร่างกายในช่วงเวลาหนึ่ง จำเป็นต้องเพิ่มการฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุบนแกนพิกัดในการประสานงานเริ่มต้น:
(สำหรับ) ถ้าเวกเตอร์ความเร่งมีทิศทางไปในทิศทางเดียวกับแกนพิกัด และ
ถ้าทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกนพิกัด
นี่คือสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาตำแหน่งของร่างกายได้ตลอดเวลาในการเคลื่อนที่แบบเร่งเป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องรู้พิกัดเริ่มต้นของร่างกาย ความเร็วเริ่มต้น และความเร่ง a
ภารกิจที่ 1 คนขับรถยนต์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 72 กม./ชม. เห็นสัญญาณไฟจราจรสีแดงและเหยียบเบรก หลังจากนั้นรถก็เริ่มลดความเร็วเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร่ง
ระยะทางที่รถใช้ในช่วงเวลาวินาทีหลังจากสตาร์ทเบรกเป็นเท่าใด รถจะแล่นไปได้ไกลแค่ไหนกว่าจะจอดสนิท?
วิธีการแก้. สำหรับที่มาของพิกัด เราเลือกจุดที่รถเริ่มลดความเร็ว ให้กำหนดแกนพิกัดไปในทิศทางของการเคลื่อนที่ของรถ (รูปที่ 44) และอ้างอิงเวลาที่อ้างอิงกับช่วงเวลาที่ผู้ขับขี่กดเบรก ความเร็วของรถมุ่งไปในทิศทางเดียวกับแกน X และความเร่งของรถอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกนนี้ ดังนั้น การฉายภาพความเร็วบนแกน X จึงเป็นค่าบวก และการฉายภาพอัตราเร่งเป็นค่าลบ และต้องหาพิกัดของรถโดยใช้สูตร (36):
แทนค่าในสูตรนี้ค่า
ตอนนี้เรามาดูกันว่ารถจะวิ่งได้ไกลแค่ไหนก่อนถึงจะจอดสนิท การทำเช่นนี้ เราต้องรู้เวลาของการเคลื่อนไหว หาได้จากสูตร
เนื่องจากในขณะที่รถหยุดความเร็วเป็นศูนย์ดังนั้น
ระยะทางที่รถจะเดินทางไปจนสุดจะเท่ากับพิกัดของรถในขณะนั้น
ภารกิจที่ 2 กำหนดการเคลื่อนที่ของร่างกาย กราฟความเร็วซึ่งแสดงในรูปที่ 45 ความเร่งของร่างกายคือ a
วิธีการแก้. เนื่องจากในตอนแรก โมดูลัสของความเร็วของร่างกายลดลงตามเวลา เวกเตอร์ความเร่งจึงมุ่งตรงไปตรงข้ามกับทิศทาง ในการคำนวณการกระจัด เราสามารถใช้สูตร
จากกราฟจะเห็นได้ว่าเวลาเคลื่อนที่จึงเป็นดังนี้
คำตอบที่ได้แสดงให้เห็นว่ากราฟที่แสดงในรูปที่ 45 สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวของร่างกายเป็นลำดับแรกในทิศทางเดียว จากนั้นให้ระยะทางเท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ร่างกายอยู่ที่จุดเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น กราฟดังกล่าวอาจหมายถึงการเคลื่อนไหวของวัตถุที่พุ่งขึ้นไปในแนวตั้ง
ปัญหาที่ 3 ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอ จงหาผลต่างของระยะทางที่ร่างกายเดินทางในช่วงเวลาเท่ากันสองช่วงติดต่อกัน นั่นคือ
วิธีการแก้. ให้เราหาเส้นตรงที่ร่างกายเคลื่อนที่ตามแกน X หาก ณ จุด A (รูปที่ 46) ความเร็วของร่างกายเท่ากันการเคลื่อนที่ตามเวลาจะเท่ากับ:
ที่จุด B ร่างกายมีความเร็วและการกระจัดในช่วงเวลาถัดไปคือ:
2. รูปที่ 47 แสดงกราฟความเร็วการเคลื่อนที่ของ 3 ร่าง ? อะไรคือธรรมชาติของการเคลื่อนไหวของร่างกายเหล่านี้? สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับความเร็วของร่างกายในช่วงเวลาที่สอดคล้องกับจุด A และ B? กำหนดความเร่งและเขียนสมการการเคลื่อนที่ (สูตรสำหรับความเร็วและการกระจัด) ของวัตถุเหล่านี้
3. ใช้กราฟความเร็วของวัตถุทั้งสามที่แสดงในรูปที่ 48 ดำเนินการดังต่อไปนี้: a) กำหนดความเร่งของวัตถุเหล่านี้ b) เขียนเพื่อ
ของร่างกายแต่ละสูตรสำหรับการพึ่งพาความเร็วตรงเวลา: c) การเคลื่อนไหวที่สอดคล้องกับกราฟ 2 และ 3 คล้ายกันอย่างไรและแตกต่างกันอย่างไร?
4. รูปที่ 49 แสดงกราฟความเร็วการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสาม ตามกราฟเหล่านี้: ก) กำหนดว่ากลุ่ม OA, OB และ OS สอดคล้องกับแกนพิกัดอย่างไร 6) ค้นหาความเร่งที่วัตถุเคลื่อนที่: c) เขียนสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุแต่ละตัว
5. ในระหว่างการบินขึ้น เครื่องบินจะผ่านรันเวย์ใน 15 วินาที และในขณะที่บินขึ้นจากการลงจอดมีความเร็ว 100 เมตร/วินาที เครื่องบินเคลื่อนที่เร็วแค่ไหนและรันเวย์ยาวแค่ไหน?
6. รถจอดที่สัญญาณไฟจราจร หลังจากที่สัญญาณสีเขียวสว่างขึ้น ก็เริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร่งและเคลื่อนที่เช่นนี้จนความเร็วเท่ากับ 16 m/s หลังจากนั้นจึงเคลื่อนที่ต่อไปด้วยความเร็วคงที่ รถจะอยู่ห่างจากสัญญาณไฟจราจร 15 วินาทีหลังจากสัญญาณสีเขียวปรากฏขึ้นเท่าใด
7. โพรเจกไทล์ที่มีความเร็ว 1,000 ม./วินาที ทะลุกำแพงของดังสนั่นใน 10 นาที แล้วมีความเร็ว 200 ม./วิ เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ในความหนาของผนังที่จะเร่งให้เท่ากัน ให้หาความหนาของผนัง
8. จรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งและเมื่อถึงจุดหนึ่งก็มีความเร็ว 900 เมตร/วินาที เธอจะเดินไปทางไหนต่อไป
9. ไกลจากโลกแค่ไหน ยานอวกาศ 30 นาทีหลังจากออกตัว ถ้าเขาเคลื่อนที่ตรงไปข้างหน้าด้วยอัตราเร่งตลอดเวลา
การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ- นี่คือการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ กล่าวคือ เมื่อความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง (v \u003d const) และไม่มีการเร่งความเร็วหรือลดความเร็ว (a \u003d 0)
การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงคือการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง กล่าวคือ เป็นวิถี การเคลื่อนที่แบบเส้นตรงเป็นเส้นตรง
เป็นการเคลื่อนไหวที่ร่างกายทำการเคลื่อนไหวเดียวกันในช่วงเวลาเท่ากัน ตัวอย่างเช่น หากเราแบ่งช่วงเวลาออกเป็นส่วนๆ หนึ่งวินาที จากนั้นด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ ร่างกายจะเคลื่อนที่เป็นระยะทางเท่ากันสำหรับแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้
ความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอไม่ขึ้นอยู่กับเวลา และแต่ละจุดของวิถีโคจรจะพุ่งไปในลักษณะเดียวกับการเคลื่อนที่ของร่างกาย นั่นคือเวกเตอร์การกระจัดเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ความเร็ว โดยที่ ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งจะเท่ากับความเร็วชั่วขณะ:
ความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอเป็นปริมาณเวกเตอร์ทางกายภาพ เท่ากับอัตราส่วนของการกระจัดของวัตถุในช่วงเวลาใดๆ ต่อค่าของช่วงเวลานี้ t:
V(เวกเตอร์) = s(เวกเตอร์) / t
ดังนั้นความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอจะแสดงให้เห็นว่าจุดวัสดุเคลื่อนที่อย่างไรต่อหน่วยเวลา
ย้ายด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอถูกกำหนดโดยสูตร:
s(เวกเตอร์) = V(เวกเตอร์) t
ระยะทางที่เดินทางในการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเท่ากับโมดูลัสการกระจัด หากทิศทางบวกของแกน OX ตรงกับทิศทางของการเคลื่อนที่ การฉายภาพของความเร็วบนแกน OX จะเท่ากับความเร็วและเป็นบวก:
v x = v นั่นคือ v > 0
การฉายภาพการกระจัดบนแกน OX เท่ากับ:
s \u003d vt \u003d x - x 0
โดยที่ x 0 คือพิกัดเริ่มต้นของร่างกาย x คือพิกัดสุดท้ายของร่างกาย (หรือพิกัดของร่างกายเมื่อใดก็ได้)
สมการการเคลื่อนที่นั่นคือการพึ่งพาร่างกายตามเวลา x = x(t) อยู่ในรูปแบบ:
ถ้าทิศทางบวกของแกน OX อยู่ตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังนั้น การฉายภาพความเร็วของร่างกายบนแกน OX จะเป็นลบ ความเร็วจะน้อยกว่าศูนย์ (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. การเคลื่อนไหวที่เท่าเทียมกัน
การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอนี่เป็นกรณีพิเศษของการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ
การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ- นี่คือการเคลื่อนไหวที่ร่างกาย (จุดวัสดุ) ทำให้การเคลื่อนไหวไม่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน. ตัวอย่างเช่น รถโดยสารประจำทางวิ่งไม่เท่ากัน เนื่องจากการเคลื่อนที่ประกอบด้วยการเร่งความเร็วและการชะลอตัวเป็นหลัก
การเคลื่อนที่แบบแปรผันเท่ากัน- นี่คือการเคลื่อนไหวที่ความเร็วของร่างกาย (จุดวัสดุ) เปลี่ยนแปลงในลักษณะเดียวกันสำหรับช่วงเวลาที่เท่ากัน
ความเร่งของร่างกายในการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอขนาดและทิศทางคงที่ (a = const)
การเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอสามารถเร่งได้อย่างสม่ำเสมอหรือช้าลงอย่างสม่ำเสมอ
การเคลื่อนไหวที่เร่งความเร็วสม่ำเสมอ- นี่คือการเคลื่อนไหวของร่างกาย (จุดวัสดุ) ด้วยความเร่งที่เป็นบวกนั่นคือด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าวร่างกายจะเร่งด้วยความเร่งคงที่ ในกรณีของการเคลื่อนที่ที่เร่งอย่างสม่ำเสมอ โมดูลัสของความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขึ้นตามเวลา ทิศทางของความเร่งจะสอดคล้องกับทิศทางของความเร็วของการเคลื่อนที่
สโลว์โมชั่นสม่ำเสมอ- นี่คือการเคลื่อนไหวของร่างกาย (จุดวัสดุ) ด้วยความเร่งเชิงลบนั่นคือด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าวร่างกายจะช้าลงอย่างสม่ำเสมอ ด้วยการเคลื่อนที่ช้าอย่างสม่ำเสมอ เวกเตอร์ความเร็วและความเร่งจะอยู่ตรงข้าม และโมดูลัสของความเร็วจะลดลงตามเวลา
ในกลศาสตร์ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงใดๆ จะถูกเร่ง ดังนั้นการเคลื่อนไหวช้าจึงแตกต่างจากการเคลื่อนไหวที่เร่งโดยสัญญาณของการฉายภาพเวกเตอร์ความเร่งบนแกนที่เลือกของระบบพิกัดเท่านั้น
ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่แบบแปรผันถูกกำหนดโดยการหารการเคลื่อนไหวของร่างกายตามเวลาที่ทำการเคลื่อนไหวนี้ หน่วยของความเร็วเฉลี่ยคือ m/s
ความเร็วทันทีคือ ความเร็วของร่างกาย (จุดวัตถุ) ใน ช่วงเวลานี้เวลาหรือ ณ จุดที่กำหนดของวิถี นั่นคือ ขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มลดลงอย่างไม่สิ้นสุดในช่วงเวลา Δt:
วี=ลิม(^t-0) ^s/^t
เวกเตอร์ความเร็วทันทีการเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอสามารถหาได้เป็นอนุพันธ์อันดับแรกของเวกเตอร์การกระจัดเมื่อเทียบกับเวลา:
V(เวกเตอร์) = s'(เวกเตอร์)
การฉายภาพเวกเตอร์ความเร็วบนแกน OX:
นี่คืออนุพันธ์ของพิกัดที่สัมพันธ์กับเวลา
อัตราเร่ง- นี่คือค่าที่กำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายนั่นคือขีด จำกัด ที่การเปลี่ยนแปลงความเร็วมีแนวโน้มลดลงอย่างไม่สิ้นสุดในช่วงเวลาΔt:
a(เวกเตอร์) = lim(t-0) ^v(เวกเตอร์)/^t
เวกเตอร์การเร่งความเร็วของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอสามารถพบได้เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวกเตอร์ความเร็วเทียบกับเวลาหรือเป็นอนุพันธ์อันดับสองของเวกเตอร์การกระจัดเทียบกับเวลา:
a(เวกเตอร์) = v(เวกเตอร์)" = s(เวกเตอร์)"
เมื่อพิจารณาว่า 0 คือความเร็วของร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้น (ความเร็วเริ่มต้น) คือความเร็วของร่างกายในช่วงเวลาที่กำหนด (ความเร็วสุดท้าย) t คือช่วงเวลาที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเกิดขึ้น สูตรเร่งความเร็วจะเป็นดังนี้:
a(เวกเตอร์) = v(เวกเตอร์)-v0(เวกเตอร์)/t
จากที่นี่ สูตรความเร็วสม่ำเสมอในเวลาใดก็ตาม:
v(เวกเตอร์) = v 0 (เวกเตอร์) + a(เวกเตอร์)t
หากร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามแนวแกน OX ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นเส้นตรงซึ่งสอดคล้องกับทิศทางวิถีของร่างกาย การฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วบนแกนนี้จะถูกกำหนดโดยสูตร:
v x = v 0x ± a x t
เครื่องหมาย "-" (ลบ) ที่ด้านหน้าของการฉายภาพเวกเตอร์ความเร่งหมายถึงการเคลื่อนไหวช้าอย่างสม่ำเสมอ สมการของการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วบนแกนพิกัดอื่นเขียนในทำนองเดียวกัน
เนื่องจากความเร่งเป็นค่าคงที่ (a \u003d const) โดยมีการเคลื่อนที่แบบแปรผันสม่ำเสมอ กราฟความเร่งจึงเป็นเส้นตรงขนานกับแกน 0t (แกนเวลา, รูปที่ 1.15)
ข้าว. 1.15. ขึ้นอยู่กับการเร่งความเร็วของร่างกายในเวลา
ความเร็วกับเวลาเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น กราฟซึ่งเป็นเส้นตรง (รูปที่ 1.16)
ข้าว. 1.16. ขึ้นอยู่กับความเร็วของร่างกายในเวลา
กราฟความเร็วกับเวลา(รูปที่ 1.16) แสดงว่า
ในกรณีนี้ การกระจัดเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของรูปที่ 0abc (รูปที่ 1.16)
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของความยาวของฐานคูณความสูง ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู 0abc มีค่าเท่ากับตัวเลข:
ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ t ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูและการฉายภาพการกระจัดบนแกน OX เท่ากับ:
ในกรณีของการเคลื่อนที่ช้าสม่ำเสมอ การฉายภาพความเร่งจะเป็นลบ และในสูตรการฉายภาพการกระจัด เครื่องหมาย “–” (ลบ) จะอยู่หน้าอัตราเร่ง
สูตรทั่วไปในการหาค่าประมาณการกระจัดคือ:
กราฟของการพึ่งพาความเร็วของร่างกายตรงเวลาที่ความเร่งต่างๆ แสดงในรูปที่ 1.17. กราฟของการพึ่งพาการกระจัดตรงเวลาที่ v0 = 0 แสดงในรูปที่ 1.18.
ข้าว. 1.17. ขึ้นอยู่กับความเร็วของร่างกายในเวลาสำหรับ ความหมายต่างกันการเร่งความเร็ว
ข้าว. 1.18. อาศัยการกระจัดของร่างกายตรงเวลา
ความเร็วของร่างกาย ณ เวลาที่กำหนด เสื้อ 1 เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงระหว่างแทนเจนต์กับกราฟและแกนเวลา v \u003d tg α และการเคลื่อนที่ถูกกำหนดโดยสูตร:
หากไม่ทราบเวลาของการเคลื่อนไหวของร่างกาย คุณสามารถใช้สูตรการกระจัดอื่นได้โดยการแก้ระบบสมการสองสมการ:
สูตรคูณตัวย่อของผลต่างของกำลังสองจะช่วยให้เราได้สูตรสำหรับการฉายภาพกระจัดกระจาย:
เนื่องจากพิกัดของร่างกาย ณ เวลาใดเวลาหนึ่งถูกกำหนดโดยผลรวมของพิกัดเริ่มต้นและการฉายภาพการกระจัด ดังนั้น สมการการเคลื่อนไหวร่างกายจะมีลักษณะดังนี้:
กราฟของพิกัด x(t) ยังเป็นพาราโบลา (เช่นเดียวกับกราฟการกระจัด) แต่จุดยอดของพาราโบลาโดยทั่วไปไม่ตรงกับจุดกำเนิด สำหรับ x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
มาหาสูตรที่สามารถนำมาใช้ในการคำนวณการฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดของร่างกายที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอในช่วงเวลาใดก็ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปิดไปที่รูปที่ 14 ทั้งในรูปที่ 14, a และในรูปที่ 14, b ส่วน AC เป็นกราฟของการฉายภาพเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ a (ที่ความเร็วเริ่มต้น วี 0).
ข้าว. 14. การฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ S ใต้กราฟ
จำได้ว่าด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของเส้นตรงของร่างกาย การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดที่ทำโดยวัตถุนี้จะถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบด้วยกราฟการฉายภาพเวกเตอร์ความเร็ว (ดูรูปที่ 6) ดังนั้นการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดจึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ การฉายภาพของ displacement vector s x สามารถกำหนดได้โดยสูตรเดียวกับพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบระหว่างกราฟ AC, แกน Ot และเซกเมนต์ OA และ BC นั่นคือ ในกรณีนี้ การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของรูปภายใต้กราฟความเร็ว ในการทำเช่นนี้ บนแกน Ot (ดูรูปที่ 14, a) เราเลือกช่วงเวลาเล็ก ๆ db จากจุด d และ b เราวาดเส้นตั้งฉากกับแกน Ot จนกระทั่งตัดกับกราฟการฉายภาพเวกเตอร์ความเร็วที่จุด a และ c
ดังนั้น ในช่วงระยะเวลาหนึ่งที่สอดคล้องกับเซ็กเมนต์ db ความเร็วของร่างกายจะเปลี่ยนจาก v ax เป็น v cx
ในระยะเวลาอันสั้นพอสมควร การฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมาก ดังนั้นการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลานี้จึงแตกต่างจากเครื่องแบบเพียงเล็กน้อย นั่นคือ จากการเคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่
เป็นไปได้ที่จะแบ่งพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข OASV ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นแถบดังกล่าว ดังนั้น การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด sx สำหรับช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วน OB จึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ S ของ OASV สี่เหลี่ยมคางหมู และถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกันกับพื้นที่นี้
ตามกฎใน หลักสูตรของโรงเรียนเรขาคณิต พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง รูปที่ 14 b แสดงว่าฐานของ OASV สี่เหลี่ยมคางหมูคือเซ็กเมนต์ OA = v 0x และ BC = v x และความสูงคือเซ็กเมนต์ OB = t เพราะเหตุนี้,
ตั้งแต่ v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x จากนั้นเราสามารถเขียน:
ดังนั้นเราจึงได้สูตรคำนวณการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่ที่เร่งอย่างสม่ำเสมอ
การใช้สูตรเดียวกัน การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดจะคำนวณเช่นกันเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยโมดูลัสความเร็วที่ลดลง เฉพาะในกรณีนี้เวกเตอร์ความเร็วและความเร่งจะมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นการคาดการณ์ของพวกมันจะมีสัญญาณต่างกัน
คำถาม
- ใช้รูปที่ 14, a, พิสูจน์ว่าการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่ที่เร่งอย่างสม่ำเสมอนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของตัวเลข OASV
- เขียนสมการเพื่อกำหนดเส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่ที่เร่งเป็นเส้นตรงอย่างสม่ำเสมอ
แบบฝึกหัด 7
เรามาลองหาสูตรการหาเส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งกัน
ในการทำเช่นนี้ให้เราหันไปที่กราฟของการพึ่งพาการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่แบบเร่งตรงเป็นเส้นตรงตรงเวลา
กราฟของการฉายภาพความเร็วของการเคลื่อนที่แบบเร่งตรงสม่ำเสมอตรงเวลา
รูปด้านล่างแสดงกราฟสำหรับการฉายภาพความเร็วของวัตถุบางอย่างที่เคลื่อนที่ด้วย ความเร็วเริ่มต้น V0 และความเร่งคงที่
ถ้าเรามีการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ จากนั้นในการคำนวณการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด ก็จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของตัวเลขภายใต้กราฟของการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็ว
ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่าในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่เร่งอย่างสม่ำเสมอ การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด Sx จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน นั่นคือการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดจะเท่ากับพื้นที่ของรูปภายใต้กราฟของการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็ว
หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยแกน ot ส่วน AO และ BC รวมถึงส่วน AC
ให้เราจัดสรร db ช่วงเวลาเล็ก ๆ บนแกน ot ลองวาดเส้นตั้งฉากกับแกนเวลาผ่านจุดเหล่านี้กันจนกว่าจะตัดกับกราฟการฉายความเร็ว สังเกตสี่แยกจุด a และ c ในช่วงเวลานี้ ความเร็วของร่างกายจะเปลี่ยนจาก Vax เป็น Vbx
หากเราใช้ช่วงเวลานี้น้อยพอ เราสามารถสรุปได้ว่าความเร็วยังคงไม่เปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ ดังนั้น เราจะจัดการกับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอในช่วงเวลานี้
จากนั้นเราสามารถพิจารณาส่วน ac เป็นแนวนอนและ abcd เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ abcd จะเป็นตัวเลขเท่ากับการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด ในช่วงเวลา db เราสามารถแบ่งพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข OACB ออกเป็นช่วงเวลาเล็กๆ ได้
นั่นคือ เราได้รับมาว่าการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด Sx สำหรับช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วน OB จะเท่ากับพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมู OACB และจะถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกันกับพื้นที่นี้
เพราะเหตุนี้,
- S=((V0x+Vx)/2)*t.
เนื่องจาก Vx=V0x+ax*t และ S=Sx สูตรที่ได้จะมีรูปแบบดังนี้:
- Sx=V0x*t+(ขวาน*t^2)/2.
เราได้รับสูตรที่เราสามารถคำนวณการฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ
กรณีสโลว์โมชั่นสม่ำเสมอ สูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้
วิถี(จากวิถีละตินตอนปลาย - หมายถึงการเคลื่อนไหว) - นี่คือเส้นที่ร่างกายเคลื่อนไหว (จุดวัสดุ) วิถีการเคลื่อนที่สามารถตรงได้ (ร่างกายเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียว) และโค้งงอ นั่นคือ การเคลื่อนไหวทางกลจะตรงหรือโค้งก็ได้
วิถีเส้นตรงในระบบพิกัดนี้เป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่น เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นทางของรถบนถนนเรียบที่ไม่มีทางเลี้ยวนั้นเป็นเส้นตรง
การเคลื่อนที่แบบโค้ง- นี่คือการเคลื่อนที่ของวัตถุในวงกลม วงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบโค้งคือการเคลื่อนที่ของจุดบนล้อของรถที่กำลังเคลื่อนที่ หรือการเคลื่อนที่ของรถในทางกลับกัน
การเคลื่อนไหวอาจเป็นเรื่องยุ่งยาก ตัวอย่างเช่น วิถีการเคลื่อนที่ของร่างกายที่จุดเริ่มต้นของเส้นทางสามารถเป็นเส้นตรงแล้วโค้ง ตัวอย่างเช่น รถยนต์ที่จุดเริ่มต้นของการเดินทางเคลื่อนไปตามถนนเส้นตรง จากนั้นถนนก็เริ่ม "ลม" และรถเริ่มโค้ง
เส้นทาง
เส้นทางคือความยาวของเส้นทาง เส้นทางเป็นสเกลาร์และใน ระบบสากลหน่วย SI มีหน่วยเป็นเมตร (m) การคำนวณเส้นทางดำเนินการในหลายปัญหาทางฟิสิกส์ ตัวอย่างบางส่วนจะกล่าวถึงในภายหลังในบทช่วยสอนนี้
เวกเตอร์การกระจัด
เวกเตอร์การกระจัด(หรือง่ายๆ ย้าย) คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกายกับตำแหน่งที่ตามมา (รูปที่ 1.1) การกระจัดเป็นปริมาณเวกเตอร์ displacement vector ถูกกำกับจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวไปยังจุดสิ้นสุด
โมดูลัสเวกเตอร์การกระจัด(นั่นคือ ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการเคลื่อนไหว) สามารถเท่ากับระยะทางที่เดินทางหรือน้อยกว่าระยะทางที่เดินทาง แต่ไม่เคยโมดูลของเวกเตอร์การกระจัดจะมากกว่าระยะทางที่เดินทาง
โมดูลของเวกเตอร์การกระจัดจะเท่ากับระยะทางที่เดินทางเมื่อเส้นทางสอดคล้องกับวิถี (ดูส่วนและ) ตัวอย่างเช่น หากรถเคลื่อนจากจุด A ไปยังจุด B ตามถนนเส้นตรง โมดูลของเวกเตอร์การกระจัดจะน้อยกว่าระยะทางที่เคลื่อนที่เมื่อจุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง (รูปที่ 1.1)
ข้าว. 1.1. เวกเตอร์การกระจัดและระยะทางที่เคลื่อนที่
ในรูป 1.1:
ตัวอย่างอื่น. หากรถวิ่งเป็นวงกลมหนึ่งครั้ง ปรากฎว่าจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่จะตรงกับจุดสิ้นสุดของการเคลื่อนที่ จากนั้นเวกเตอร์การกระจัดจะเป็น ศูนย์และระยะทางที่เดินทางจะเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม ดังนั้น เส้นทางและการเคลื่อนไหวคือ สองแนวคิดที่แตกต่างกัน.
กฎการบวกเวกเตอร์
เวกเตอร์การกระจัดจะถูกเพิ่มทางเรขาคณิตตามกฎการบวกเวกเตอร์ (กฎสามเหลี่ยมหรือกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดูรูปที่ 1.2)
ข้าว. 1.2. การบวกเวกเตอร์การกระจัด
รูปที่ 1.2 แสดงกฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ S1 และ S2:
ก) การบวกตามกฎของรูปสามเหลี่ยม
b) การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ประมาณการเวกเตอร์การกระจัด
ในการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ มักใช้การฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดบนแกนพิกัด การคาดการณ์ของเวกเตอร์การกระจัดบนแกนพิกัดสามารถแสดงในแง่ของความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น หากจุดวัสดุย้ายจากจุด A ไปยังจุด B แล้วเวกเตอร์การกระจัด (ดูรูปที่ 1.3)
เราเลือกแกน OX เพื่อให้เวกเตอร์อยู่กับแกนนี้ในระนาบเดียวกัน ลองวางเส้นตั้งฉากจากจุด A และ B (จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์การกระจัด) ไปที่จุดตัดกับแกน OX ดังนั้นเราจึงได้เส้นโครงของจุด A และ B บนแกน X ให้เราแทนการประมาณการของจุด A และ B ตามลำดับ A x และ B x ความยาวของเซ็กเมนต์ A x B x บนแกน OX - นี่คือ การฉายภาพเวกเตอร์การกระจัดบนแกน x นั่นคือ
S x = A x B x
สำคัญ!
คำเตือนสำหรับผู้ที่ไม่รู้จักคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี: อย่าสับสนเวกเตอร์กับการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนใดๆ (เช่น S x) เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวอักษรหรือตัวอักษรหลายตัวที่มีลูกศรอยู่ด้านบนเสมอ ในเอกสารอิเล็กทรอนิกส์บางฉบับจะไม่ใส่ลูกศรเนื่องจากอาจทำให้เกิดปัญหาเมื่อสร้าง เอกสารอิเล็กทรอนิกส์. ในกรณีเช่นนี้ ให้นำเนื้อหาของบทความไปใช้ โดยที่คำว่า "เวกเตอร์" สามารถเขียนถัดจากจดหมายหรือแสดงให้คุณเห็นว่านี่คือเวกเตอร์ ไม่ใช่แค่ส่วน
ข้าว. 1.3. การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัด
การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดบนแกน OX เท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ นั่นคือ
S x \u003d x - x 0
การคาดคะเนของเวกเตอร์การกระจัดบนแกน OY และ OZ ถูกกำหนดและเขียนในลักษณะเดียวกัน:
S y = y – y 0 S z = z – z 0
ที่นี่ x 0 , y 0 , z 0 คือพิกัดเริ่มต้นหรือพิกัดของตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกาย (จุดวัสดุ); x, y, z - พิกัดสุดท้ายหรือพิกัดของตำแหน่งที่ตามมาของร่างกาย (จุดวัสดุ)
การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดจะถือเป็นบวกหากทิศทางของเวกเตอร์และทิศทางของแกนพิกัดตรงกัน (ดังในรูปที่ 1.3) หากทิศทางของเวกเตอร์และทิศทางของแกนพิกัดไม่ตรงกัน (ตรงกันข้าม) การฉายภาพของเวกเตอร์จะเป็นค่าลบ (รูปที่ 1.4)
หากเวกเตอร์การกระจัดขนานกับแกน โมดูลของการฉายภาพจะเท่ากับโมดูลของเวกเตอร์เอง หากเวกเตอร์การกระจัดตั้งฉากกับแกน โมดูลของการฉายภาพจะเป็นศูนย์ (รูปที่ 1.4)
ข้าว. 1.4. โมดูลของการฉายภาพเวกเตอร์การกระจัด
ความแตกต่างระหว่างค่าที่ตามมาและค่าเริ่มต้นของปริมาณเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงในปริมาณนั้น นั่นคือ การฉายภาพของเวกเตอร์การกระจัดบนแกนพิกัดเท่ากับการเปลี่ยนแปลงในพิกัดที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่ร่างกายเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับแกน X (รูปที่ 1.4) ปรากฎว่าร่างกายไม่เคลื่อนไหวเมื่อเทียบกับแกน X นั่นคือการกระจัดของร่างกายตามแกน X เป็นศูนย์
ขอพิจารณาตัวอย่างของการเคลื่อนตัวของร่างกายบนระนาบ. ตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกายคือจุด A ที่มีพิกัด x 0 และ y 0 นั่นคือ A (x 0, y 0) ตำแหน่งสุดท้ายของร่างกายคือจุด B ที่มีพิกัด x และ y นั่นคือ B (x, y) หาโมดูลัสการกระจัดของร่างกาย.
จากจุด A และ B เราลดฉากตั้งฉากบนแกนพิกัด OX และ OY (รูปที่ 1.5)
ข้าว. 1.5. การเคลื่อนไหวของร่างกายบนเครื่องบิน
มากำหนดเส้นโครงของเวกเตอร์การกระจัดบนแกน OX และ OY:
S x = x – x 0 S y = y – y 0
ในรูป 1.5 จะเห็นว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนี้ไปในการแก้ปัญหาก็สามารถใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งคุณสามารถหาโมดูลัสของเวกเตอร์การกระจัดได้ตั้งแต่
AC = s x CB = s y
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
S 2 \u003d S x 2 + S y 2
คุณสามารถหาโมดูลของ displacement vector ได้ที่ไหน นั่นคือ ความยาวของเส้นทางของร่างกายจากจุด A ไปยังจุด B:
และสุดท้าย เราขอแนะนำให้คุณรวบรวมความรู้และคำนวณตัวอย่างบางส่วนตามดุลยพินิจของคุณ ในการดำเนินการนี้ ให้ป้อนตัวเลขใดๆ ในช่องพิกัดแล้วคลิกปุ่มคำนวณ เบราว์เซอร์ของคุณต้องรองรับการเรียกใช้สคริปต์ (สคริปต์) JavaScript และต้องอนุญาตให้เรียกใช้สคริปต์ในการตั้งค่าเบราว์เซอร์ของคุณ มิฉะนั้น การคำนวณจะไม่ถูกดำเนินการ ในจำนวนจริง ส่วนของจำนวนเต็มและเศษส่วนต้องคั่นด้วยจุด เช่น 10.5