Euklids algoritm - att hitta den största gemensamma divisorn. Matte Jag gillar Euklids algoritm för att beräkna den största gemensamma divisorn

07.07.2020

I förordet till sin första upplaga, In the Realm of Ingenuity (1908), skriver E. I. Ignatiev: Resultaten är tillförlitliga endast när introduktionen till området för matematisk kunskap görs på ett enkelt och trevligt sätt, på föremål och exempel på vardagliga och vardagliga situationer, utvalda med ordentlig kvickhet och nöje.

I förordet till 1911 års upplaga av "The Role of Memory in Mathematics" skrev E.I. Ignatiev skriver "... i matematik bör man komma ihåg inte formler, utan tankeprocessen."

För att extrahera kvadratroten finns det kvadrattabeller för tvåsiffriga tal, man kan dekomponera talet i primtalsfaktorer och extrahera kvadratroten från produkten. Tabellen med kvadrater räcker inte, att extrahera roten genom factoring är en tidskrävande uppgift, som inte heller alltid leder till önskat resultat. Försök att extrahera kvadratroten av talet 209764? Nedbrytning till primfaktorer ger produkten 2 * 2 * 52441. Genom att prova och missa, urval - detta kan naturligtvis göras om du är säker på att detta är ett heltal. Det sätt jag vill föreslå låter dig ta kvadratroten i alla fall.

Väl på institutet (Perm State Pedagogical Institute) introducerades vi till denna metod, som jag nu vill prata om. Jag tänkte aldrig på om den här metoden har ett bevis, så nu fick jag härleda några bevis själv.

Grunden för denna metod är sammansättningen av talet =.

=&, dvs. &2=596334.

1. Dela numret (5963364) i par från höger till vänster (5`96`33`64)

2. Vi extraherar kvadratroten från den första gruppen till vänster ( - nummer 2). Så vi får den första siffran i talet &.

3. Hitta kvadraten på den första siffran (2 2 \u003d 4).

4. Hitta skillnaden mellan den första gruppen och kvadraten på den första siffran (5-4=1).

5. Vi river de följande två siffrorna (vi fick numret 196).

6. Vi dubblar den första siffran vi hittade, skriver ner den till vänster bakom linjen (2*2=4).

7. Nu måste du hitta den andra siffran i talet &: den dubblerade första siffran som vi hittade blir siffran för tiotalet i talet, när multiplicerad med antalet enheter måste du få ett tal mindre än 196 ( detta är siffran 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 är den andra siffran i &.

8. Hitta skillnaden (196-176=20).

9. Vi river nästa grupp (vi får numret 2033).

10. Dubbla siffran 24, vi får 48.

11,48 tiotal i ett tal, när det multipliceras med antalet enheter, bör vi få ett tal mindre än 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Siffran för enheter som hittats av oss (4) är den tredje siffran i numret &.

Beviset ges av mig för fallen:

1. Extrahera kvadratroten ur ett tresiffrigt tal;

2. Extrahera kvadratroten ur ett fyrsiffrigt tal.

Ungefärliga metoder för att extrahera kvadratroten (utan att använda en miniräknare).

1. De gamla babylonierna använde följande metod för att hitta det ungefärliga värdet av kvadratroten ur deras x-tal. De representerade talet x som en summa a 2 + b, där a 2 är närmast x den exakta kvadraten på det naturliga talet a (a 2 ? x), och använde formeln . (1)

Med formeln (1) extraherar vi kvadratroten, till exempel från talet 28:

Resultatet av att extrahera roten till 28 med MK 5.2915026.

Som du kan se ger den babyloniska metoden en bra uppskattning av rotens exakta värde.

2. Isaac Newton utvecklade en kvadratrotsmetod som går tillbaka till Heron of Alexandria (ca 100 e.Kr.). Denna metod (känd som Newtons metod) är som följer.

Låta en 1- den första approximationen av ett tal (som en 1 kan du ta värdena av kvadratroten ur ett naturligt tal - en exakt kvadrat som inte överstiger X).

Nästa, mer exakt uppskattning en 2 tal hittas av formeln .

Storlek: px

Starta intryck från sidan:

transkript

1 FÖRELÄSNING 2 BERÄKNING AV DEN STORA GEMENSAMMA INDELINGEN Euklids algoritm När man arbetar med stora sammansatta tal är deras nedbrytning i primtal som regel okänd. Men för många tillämpade problem inom talteori är sökandet efter att faktorisera ett tal ett viktigt, ofta stött praktiskt problem. Inom talteorin finns det ett relativt snabbt sätt att beräkna gcd för två tal, vilket kallas Euklids algoritm. Algoritm 1. Euklids algoritm. Ingång. Heltal a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0 stannar Euklidalgoritmen och talet d som den producerar är den största gemensamma delaren av talen a och b. Bevis . Genom divisionssatsen med en rest, för varje i 1 har vi r i 1 = q i r i + r i+1, där 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 avgränsad underifrån. En sådan sekvens kan inte vara oändlig, därför stannar Euklides algoritm. Euklids binära algoritm Euklids binära GCD-algoritm visar sig vara snabbare när man implementerar detta

2 algoritmer på datorn, eftersom den använder den binära representationen av talen a och b. Den binära euklidiska algoritmen är baserad på följande egenskaper hos den största gemensamma divisorn (vi antar att 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, sedan gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) om a = b, då gcd(a, b) = a. Algoritm 2. Binär Euklids algoritm. Ingång. Heltal a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Sedan finns det heltal x och y så att d = ax + by. Med andra ord, gcd för två tal kan representeras i

3 som en linjär kombination av dessa tal med heltalskoefficienter. Algoritm 3. Schema för den utökade Euklidiska algoritmen. 1. Bestäm = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Låt talet q vara kvoten av talet a dividerat med talet b, och talet r vara resten av divisionen av dessa tal (d.v.s. a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = xi-1; = tq; // = x i för höger sida = x i+1 för höger sida; //t = yi-1; = tq; 5. Gå tillbaka till steg Bestäm x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. En variant av den utökade Euclid-algoritmen Log. Heltal a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 beräknat av algoritmen, visar följande sats. Sats 4. Vid varje iteration av Algoritm 3 är likheten ax i + med i = r i uppfylld, för i 0. Bevis. Låt oss använda metoden för matematisk induktion. För i = 0 och i = 1 gäller den erforderliga likheten på grund av Steg 1 i Algoritm 3. Låt oss anta att det är sant för i 1 och för i. Sedan får vi i steg 3 x i+1 = x i 1 x i och y i+1 = y i 1 y i. Därför är ax i+1 + by i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + by i 1 (ax i + by i) = r i 1 r i = r i+1 . Exempel. Givet a = 1769, b = 551. Använd den utökade euklidiska algoritmen och hitta heltal x och y så att d = ax + by, där d gcd för talen a och b. I stadiet av sekvensen av beräkningar. 1. Bestäm = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Kvotient q = a / b = 1769/551 = 3, och resten av divisionen r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = tq = 10 = 1 = 0; = tq = 3; följande mellanvärden

5 parametrar: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Eftersom resten av divisionen är r 0, återgår vi till steg 2. Steg II i beräkningssekvensen. 1. Parametervärde: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Kvotient q = a/b = 551/116 = 4, och återstoden r = 87. a = 116; b = 87; t == 0; =1: = tq = = 4 = 3; = tq = 1 (3) 4 = 13; följande mellanvärden för parametrarna: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Eftersom resten av divisionen är r 0, återgår vi till steg 2. Steg III i beräkningssekvensen . 1. Parametrarnas värde: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Kvotient q = a/b = 116/87 = 1, och resten r = 29.

6a = 87; b = 29; t = = 4: = tq = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = tq = 3 (13) 1 = 16; följande mellanvärden för parametrarna: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Eftersom resten av divisionen är r 0, återgår vi till steg 2. Steg IV i beräkningssekvensen . 1. Parametervärde: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Kvotient q = a/b = 87/29 = 3, och återstoden r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = tq = 13 (16) 3 = 61; följande mellanliggande parametervärden: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Eftersom resten av divisionen är r = 0 utför vi steg 6.

7 6. Beräkna GCD med formeln d = αx + βy, där x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551. Genom att ersätta värdet på parametrarna får vi d = αx + βy = = = 29 Den utökade Euklidiska algoritmen kan också implementeras i binär form. Algoritm 4. Utökad binär euklidalgoritm. Ingång. Heltal a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Lösning av ekvationer i heltal Linjära ekvationer. Direkt uppräkningsmetod Exempel. Kaniner och fasaner sitter i en bur. De har totalt 8 ben. Ta reda på hur många av dessa och andra som finns i cellen. Lista alla lösningar. Lösning.

Lektion 7 Ett tal d kallas den största gemensamma divisorn (GCD) av talen a och b om (1) d a och d b, och även (2) för alla x från x a och x b följer efter x d. I det här fallet skriver vi d = (a, b). Lemma 1. För valfria nummer

Ämne. Grunder i elementär talteori och tillämpningar - Teoretiskt material. Uppsättning av modulo-rester, egenskaper för kongruenser. Låta vara ett naturligt tal större än . Vi betecknar med Z mängden av alla klasser

Ugra Physics and Mathematics Lyceum VP Chuvakov GRUNDLÄGGANDE OM TALTEORIN Föreläsningsanteckningar (0)(mod) (0)(mod) Naturliga tal N, - uppsättningen naturliga tal som används för räkning eller uppräkning

Kapitel 2 Heltal, rationella och reella tal 2.. Heltal Tal, 2, 3,... kallas naturliga. Mängden av alla naturliga tal betecknas med N, dvs. N = (,2,3,...). Siffror..., 3, 2,0,2,3,...

Fortsatta bråk Finita fortsatta bråk Definition Ett uttryck av formen a 0 + a + a + + a m där a 0 Z a a m N a m N/() kallas en fortsatt bråkdel och m är längden av den fortsatta bråkdelen a 0 a a m kommer att vara kallas koefficienterna för den fortsatta fraktionen

FÖRELÄSNING 1 NÅGRA ELEMENTER I TALTEORIN

Gorbatjov INTE Polynom i en variabel Lösa gradekvationer Begreppet polynom Aritmetiska operationer på polynom Dep Ett polynom (polynom) av den e graden med avseende på en variabel

Delbarhet av heltal Talet a är delbart med talet b (eller b delar a) om det finns ett sådant tal c att a = bc I det här fallet kallas talet c kvoten för att dividera a med b Notation: a - a är delbart med b eller ba b delar

FÖRELÄSNING 12 JÄMFÖRELSER AV ANDRA GRADEN PÅ EN ENKEL MODULÄR OCH KVADRATISK RESTER Den allmänna formen för jämförelse av andra gradens modulo p har formen (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Hitta en jämförelselösning (1)

Instruktioner, lösningar, svar EKVATIONER I HELTAL. Ekvation med en okänd Lösning. Låt oss lägga in det i ekvationen. Vi får likheten (4a b 4) (a b 8) 0. Likheten A B 0, där A och B är heltal, är uppfylld,

Algebraiska polynom. 1 Algebraiska polynom med grad n över ett fält K Definition 1.1 Ett polynom med grad n, n N (0), i en variabel z över ett talfält K är ett uttryck av formen: fz = a n z n

Föreläsning Kvadratiska rester och icke-rester Föreläsare: Nyu Zolotykh Inspelad av: E Zamaraeva?? September 00 Innehåll Kvadratiska rester och icke-rester Legendre-symbol Egenskaper hos Legendre-symbolen Kvadratisk lag om ömsesidighet

Statens läroanstalt Internatskola "Intellektuella" naturliga tal som en linjär kombination med heltalskoefficienter"

Matematisk analys Avsnitt: Obestämd integral Ämne: Integration av rationella bråk Föreläsare Pakhomova E.G. 0 5. Integration av rationella bråk DEFINITION. Det rationella bråket kallas

4 Talteori 4 Heltal 7 Definition Låt, b Z Delar sedan b om det finns ett heltal så att b (betecknas med b) 73 Sats (division med resten) Om, b Z och b, så finns det sådana heltal

Matematisk analys Avsnitt: Obestämd integral Ämne: Integration av rationella bråk Föreläsare Rozhkova S.V. 0 5. Integration av rationella bråk DEFINITION. Det rationella bråket kallas

009-00 konto år. 6, 9 celler. Matte. Element i talteorin. 4. Beräkning av största gemensamma divisor och minsta gemensamma multipel Låt oss behålla notationen från stycket. För ett naturligt tal n, notationen n

TILLÄMPAD ALGEBRA. Del I: Finita fält (Galois-fält). I 1 / 67 Del I Finita fält (Galois-fält). JAG ANVÄNDE ALGEBRA. Del I: Finita fält (Galois-fält). I 2 / 67 Restfält modulo prime

5 Lösa ekvationer i heltal När man löser även sådana enkla ekvationer som en linjär ekvation med en okänd, finns det vissa egenheter om ekvationens koefficienter är heltal, och det krävs

Laborationer 8 Beräkning av den största gemensamma divisorn för två tal med hjälp av den euklidiska algoritmen

Avsnitt 1. Matematiska grunder för kryptografi 1 Fältdefinition Ett finit fält GF q (eller ett Galois-fält) är en finit godtycklig uppsättning element med additions- och multiplikationsoperationer specificerade mellan dem

XIX Interregional Olympiad for Schoolchilds in Mathematics and Cryptography Uppgifter för årskurs 11 Lösning av uppgift 1 Först noterar vi att om N = pq, där p och q är primtal, så är antalet naturliga tal mindre än

Polynom och deras rötter 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Definition: Ett polynom av grad n n N är vilket uttryck som helst av formen: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., där a & , a &+, a, a. R, a&

Föreläsning 4. STANDARD AES. RIJNDAEL ALGORITM. AES (Advnced Encrypton Stndrd) är en ny krypteringsstandard med en nyckel som har ersatt DES-standarden. Rjndel-algoritm (rhin-dal)

Polynom och deras rötter Definition: Ett polynom av grad n (n N) är vilket uttryck som helst av formen: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, där a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n ledande koefficient, en

1 Euklids algoritm och dess komplexitet Definition 1. En gemensam divisor för talen a och b är ett tal c så att c a och c b. Definition 2. Den största gemensamma divisorn för talen a och b är deras gemensamma divisor,

FÖRELÄSNING 14 Beräkning av kvadratrötter modulo composite Det följer av teorin ovan att om =, där och är primtal, är gruppen Z isomorf till rummet Z Z. Eftersom isomorfismen bevarar egenskaperna

FÖRELÄSNING 3 BERÄKNING AV KVADRATRÖTTER MODULÄR Fall av en enkel modul Betrakta jämförelsen x a mod p, () där talet p är primtal och heltal a inte är delbart med p. Beräkning av lösningen x i denna ekvation är

Diskret matematikkollokvierprogram (huvudström) I början av kollokviet får du en biljett som innehåller tre frågor: en definitionsfråga, en uppgift och en korrekturfråga.

Shors algoritm Yu. Lifshits. 1 december 005 Föreläsningsöversikt 1. Förberedelse (a) Factoring-tal (b) Kvantberäkning (c) Emulering av klassisk beräkning. Simons algoritm (a) Kvantparallellism

Ur matematikens historia Den första ganska omfattande boken där aritmetiken presenterades oberoende av geometrin var Nicomachus introduktion till aritmetik (okne).

En kort introduktion till början av elementär talteori Denis Kirienko Computer Summer School, 1 januari 2009 Heltalsdivision Låt två heltal a och b, b 0 ges.

Ämne 1-9: Polynom. Konstruktion av en ring av polynom. Delbarhetsteori. Derivat A. Ya Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Institutionen för algebra och diskret

Algebraiska ekvationer där Definition. Algebraisk är en ekvation av formen 0, P () 0, några reella tal. 0 0 I det här fallet kallas variabeln okänd, och talen 0 kallas

Föreläsning 6 Element i talteori 1 Uppgift. Fortsätt nummersekvens 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 heltalsaritmetik Använder heltal: Z = (, -2 , -1, 0,

Polynom Ett polynom med en variabel x av grad n är ett uttryck för formen, där är alla tal, kallade polynomets koefficienter, och polynomets ledande koefficient kallas If istället för variabeln

1 2 Innehåll. 1. Introduktion. 4-6 1.1. Sammanfattning...4 1.2. Problem 4 1.3. Syfte med arbetet 5 1.4. Hypotes..5 1.5. Ämne för forskning... 5 1.6. Studieobjekt. 5 1.7. Nyhet... 5-6 1.8. Forskningsmetoder...6

8.3, 8.4.2 klass, Matematik (lärobok Makarychev) läsåret 2018-2019 Tema för modulen ”Heltal. Delbarhet av tal. Examen med heltalsindikator ”De teoretiska och praktiska delarna kontrolleras i provet. ÄMNE Vet

Föreläsning INTEGRATION AV RATIONELLA Bråk Rationella bråk Integration av enkla rationella bråk Nedbrytning av en rationella bråk till enkla bråk Integration av rationella bråk Rational

Www.cryptolymp.ru XIX Interregional Olympiad för skolbarn i matematik och kryptografi (Åk 11) Lösning av problem 1 Först noterar vi att om N pq, där p och q är primtal, då antalet naturliga tal,

Kapitel Heltal Delbarhetsteori Heltal kallas för tal, -3, -, -, 0, 3, de naturliga talen, 3, 4, samt noll- och negativa tal -, -, -3, -4, Mängden av alla heltal betecknas med

Ministeriet för utbildning och vetenskap i Ryska federationen Ural State University of Economics Yu. 4:e, rev. och ytterligare e-post: [e-postskyddad],

(exempel på trigonometriska serier trigonometriska system - expansion på intervallet [ -l; l ] för funktioner med godtycklig period - ofullständig serieexpansion i sinus och cosinus jämna och udda fortsättningar)

Teoretisk datavetenskap II Föreläsning 5. Heltalsalgoritmer: utökad Euklids algoritm, invers element modulo, exponentieringsmodulo. Offentlig nyckelkryptering, RSA-protokoll. Probabilistisk

5. Bose-Chaudhury-Hokvingham-koder De korrigerande egenskaperna hos cykliska koder kan bestämmas utifrån två satser. Sats 1. För alla m och t finns det en cyklisk kod med längden n = 2 m 1, med multiplicitet

MODULARITMETIK I vissa applikationer är det bekvämt att utföra aritmetiska operationer på heltal som anges i den så kallade modulära representationen.Denna representation förutsätter att heltal

MATEMATIK ANVÄNDNING 00 Koryanov A.G. Uppdrag från Bryansk Skicka kommentarer och förslag till: [e-postskyddad] EKVATIONER OCH OJÄMPLIGHETER I HELTAL (från utbildningsproblem till olympiadproblem) Linjär

2.22. Ta ut den gemensamma faktorn (n är ett naturligt tal) från parentes: 1) x n + 3 + x n ; 3) z3n - zn; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Varje nummer tilldelades

FÖRELÄSNING 15 PRIMTAL Ett naturligt tal p större än ett kallas primtal om det bara är delbart med 1 och sig själv. Sats (Euklid). Uppsättningen av primtal är oändlig. Beteckna med π(x)

Ämne 3. Element i algebraisk och analytisk talteori Teoretiskt material 1. Fortsättning bråk. Den sista fortsatta bråkdelen är uttrycket a +, (1) där a är ett heltal, a, i > 0, naturliga tal,

Http://vk.ucoz.et/ Operationer på polynom k a k Ett polynom (polynom) av grad k är en funktion av formen a, där variabel, a är numeriska koefficienter (=,.k), och. Alla tal som inte är noll kan övervägas

Penza State Pedagogical University uppkallad efter V. G. Belinsky M. V. Glebov V. F. Timerbulatova

Delbarhet av heltal med rest Låt m vara ett heltal och n ett naturligt tal

Avdoshin S.M., Savelyeva A.A. En algoritm för att lösa system av linjära ekvationer i restringar En effektiv algoritm för att lösa system av linjära ekvationer i restringar har utvecklats, som i komplexitet motsvarar

TILLÄMPAD ALGEBRA. Del I: Finita fält (Galois-fält) I 1 / 88 Del I Finita fält (Galois-fält) I TILLÄMPAD ALGEBRA. Del I: Finita fält (Galois-fält) I 2 / 88 Restfält modulo ett primtal

5 Algebraiska strukturer 6 Definition En binär operation på en mängd S är en avbildning av S S till S

/E Element i talteorin och. Rochev 28 augusti 2018 ..... 1 1.2 Största gemensamma delare ................................

Kapitel Heltal, rationella och reella tal. Division med resten. Dividera vart och ett av talen ±23, ±4 med resten med vart och ett av talen ±5. 2. Hitta alla positiva delare av 42. 3. Klockan är 3 nu.

Differentialekvationer föreläsning 4 Ekvationer i totala differentialer. Integreringsfaktor Föreläsare Anna Igorevna Sherstneva 9. Ekvationer i totala differentialer Ekvationen d + d = 14 kallas ekvationen

Ämne. Grunderna i elementär talteori och tillämpningar. Primitiva rötter, index. Teoretiskt material Låt a, m vara naturliga coprimtal och m, då, enligt Eulers sats, a m)

Institutionen för matematik och informatik Element i högre matematik Utbildnings- och metodkomplex för studenter på gymnasieutbildning som studerar med distansteknik Modul Theory of Limits Sammanställd av: Docent

Avsnitt 2. Numeriska metoder inom kryptografi Uppgift för självständigt arbete Att studera algoritmer som är flitigt använda inom kryptografi. Element i talteorin: utökad Euklids algoritm;

Temaplanen bygger på läsåret 206-207s programmaterial enligt läroboken "Algebra 8", red. A.G. Mordkovich, med hänsyn till det rekommenderade obligatoriska minimiinnehållet i utbildningsämnet

Föreläsning 2. Egenskaper för binomialkoefficienter. Summering och metoden för att generera funktioner (slutfallet). Polynomkoefficienter. Uppskattningar för binomial- och polynomkoefficienter. Beloppsuppskattningar

Låt oss överväga denna algoritm med ett exempel. Låt oss hitta

1:a steget. Vi delar numret under roten i två siffror (från höger till vänster):

2:a steget. Vi extraherar kvadratroten från det första ansiktet, det vill säga från talet 65 får vi talet 8. Under det första ansiktet skriver vi kvadraten av talet 8 och subtraherar. Vi tillskriver det andra ansiktet (59) till resten:

(siffran 159 är den första resten).

3:e steget. Vi dubblar den hittade roten och skriver resultatet till vänster:

4:e steget. Vi separerar i resten (159) en siffra till höger, till vänster får vi antalet tiotal (det är lika med 15). Sedan dividerar vi 15 med den dubbla första siffran i roten, det vill säga med 16, eftersom 15 inte är delbart med 16, då får vi i kvoten noll, som vi skriver som den andra siffran i roten. Så, i kvoten fick vi talet 80, som vi dubblar igen, och river nästa ansikte

(numret 15901 är den andra resten).

5:e steget. Vi separerar en siffra från höger i den andra resten och dividerar det resulterande talet 1590 med 160. Resultatet (nummer 9) skrivs som den tredje siffran i roten och tilldelas talet 160. Det resulterande talet 1609 multipliceras med 9 och vi finner följande återstod (1420):

Ytterligare åtgärder utförs i den sekvens som anges i algoritmen (roten kan extraheras med erforderlig grad av noggrannhet).

Kommentar. Om rotuttrycket är ett decimalbråk, är dess heltalsdel uppdelad i två siffror från höger till vänster, bråkdelen delas upp i två siffror från vänster till höger, och roten extraheras enligt den angivna algoritmen.

DIDAKTISKT MATERIAL

1. Ta kvadratroten av talet: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Hälsningar läsare och besökare på vår sida!. I det här avsnittet kommer vi att analysera olika algoritmer, såväl som deras implementering i Pascal.

För att behärska materialet i dagens lektion behöver du kunskap och.

Idag kommer vi att överväga tre algoritmer (av fem) för att hitta den största gemensamma delaren av två heltal, varav två är direkt associerade med namnet Euklid. Vi kommer att titta på ytterligare två i nästa avsnitt.
Den största gemensamma divisorn (gcd) av två tal a och b är det största heltal som delar dem båda.
Exempel: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.

Sökalgoritm

Låt oss börja med d- det minsta av två tal. Detta är den första uppenbara kandidaten för deras största gemensamma delare. Och sedan, tills d delar båda talen, minskar vi det med ett. Så snart en sådan uppdelning är säkerställd stoppar vi minskningen i d.

Var a, b, d: heltal; begin write("Ange två siffror: "); readln(a, b); Om en< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Låt oss vända oss till det här programmet, till exempel med siffrorna 30 och 18. Sedan på vägen till svaret (siffran 6) måste det gå igenom siffrorna: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Euklids algoritm "med subtraktion"

Låt a och b vara heltal, då är följande påståenden sanna:

Alla gemensamma divisorer för paret a och b är också gemensamma divisorer för paret a - b, b;
Omvänt är alla gemensamma divisorer för paret a - b och b också gemensamma divisorer för paret a och b;
gcd(A, B) = gcd(A - B, B) om A > B;
gcd(A, 0) = A.

Bevis:

Om t är en godtycklig gemensam divisor av a och b, så delar den också skillnaden a - b. Av a = t * u och b = t * v följer det faktiskt att a - b = t * u - t * v = t * (u - v). Det vill säga, t är också en gemensam divisor för a - b och b.
Omvänt, om t är en godtycklig divisor, den gemensamma divisorn för a - b och b, så delar den också deras summa a - b + b = a. Detta kan bevisas analogt med det föregående. Därför är t också en gemensam divisor för a och b.
Vi drar slutsatsen att mängden gemensamma divisorer a och b sammanfaller med mängden divisorer a - b och b. I synnerhet sammanfaller de största gemensamma divisorerna för dessa par också.
Det största heltal som delar talet a är talet a i sig. Talet 0 är delbart med valfritt tal. Därför är den största gemensamma delaren för a och 0 a.

Den beprövade formeln (3) tillåter oss att reducera beräkningen av den största divisorn för ett par till beräkningen av den största gemensamma divisorn för ett annat par, där talen redan är mindre. Den uppenbara formeln (4) låter oss veta när vi ska sluta.

Kortfattat skulle Euklids "med subtraktion"-algoritm vara som följer. Vi subtraherar det mindre talet från det större talet och ersätter det större med skillnaden tills ett av talen blir noll. Då är det återstående talet som inte är noll den största gemensamma delaren.

Exempel. Låt a = 82 och b = 60. GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2.

Vid det näst sista steget i algoritmen, före uppkomsten av 0, är båda talen lika, annars kunde 0 inte ha uppstått. Därför kommer vi att extrahera GCD just i detta ögonblick.

Blockdiagram av Euklids "med subtraktion"-algoritmen

Program

var a, b: heltal; börja skriva("a = "); readln(a); skriv("b = "); readln(b); medan a<>b gör om a > b då a:= a - b annars b:= b - a; writeln("NOD = ", a); slutet.

Euklids algoritm med "division"

Låt a och b vara heltal, och r är resten av att dividera a med b. Då gcd(a, b) = gcd(b, r).

Denna formel låter dig också reducera beräkningen av den största gemensamma divisorn för ett par tal till beräkningen av den största gemensamma divisorn för ett annat talpar.

Exempel. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: heltal; börja skriva("a = "); readln(a); skriv("b = "); readln(b); medan (a<>0) och (b<>0) gör om a >= b då a:= a mod b annars b:= b mod a; skriv(a + b) slut.

Det är allt för idag! Du kommer att lära dig några fler modifieringar av Euklids algoritm och sätt att hitta GCD i nästa lektion.