18 uppgift examen datavetenskap lösning teknik

Det är känt att uttrycket

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

true (det vill säga tar värdet 1) för vilket värde som helst av variabeln x. Bestäm största möjliga antal element i mängd A.

Lösning.

Låt oss presentera notationen:

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A; ∧ ≡ ; ∨ ≡ +.

Sedan, med tillämpning av implikationstransformationen, får vi:

(¬A + P) (¬Q + ¬A) ⇔ ¬A ¬Q + ¬Q P + ¬A + ¬A P ⇔

⇔ ¬A (¬Q + P + 1) + ¬Q P ⇔ ¬A + ¬Q P.

Det krävs att ¬A + ¬Q · P = 1. Uttrycket ¬Q · P är sant när x ∈ (2, 4, 8, 10, 14, 16, 20). Då måste ¬A vara sant när x ∈ (1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,...).

Därför kommer det maximala antalet element i mängden A att vara om A inkluderar alla element i mängden ¬Q · P, det finns sju sådana element.

Svar: 7.

Svar: 7

Elementen i mängden A är naturliga tal. Det är känt att uttrycket

(x (2, 4, 6, 8, 10, 12)) → (((x (3, 6, 9, 12, 15)) ∧ ¬(x A)) → ¬(x (2, 4, 6) , 8, 10, 12)))

Lösning.

Låt oss presentera notationen:

(x ∈ (2, 4, 6, 8, 10, 12)) ≡ P; (x ∈ (3, 6, 9, 12, 15)) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Omvandling får vi:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ A.

Det logiska ELLER är sant om minst ett av påståendena är sant. Uttrycket ¬P ∨ ¬Q är sant för alla värden på x förutom värdena 6 och 12. Därför måste intervallet A innehålla punkterna 6 och 12. Det vill säga den minsta uppsättningen av punkter i intervallet A ≡ (6, 12). Summan av elementen i mängd A är 18.

Svar: 18.

Svar: 18

Elementen i mängderna A, P, Q är naturliga tal, och P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Det är känt att uttrycket

sant (dvs. tar värdet 1) för valfritt värde på variabeln x. Bestäm det minsta möjliga värdet av summan av elementen i mängd A.

Lösning.

Låt oss förenkla:

¬(x P) ∨ ¬(x Q) ger 0 endast när talet ligger i båda mängderna. Det betyder att för att hela uttrycket ska vara sant måste vi sätta alla tal i P och Q i A. Sådana tal är 6, 12, 18. Deras summa är 36.

Svar: 36.

Svar: 36

Källa: Utbildningsarbete om INFORMATIK Betyg 11 18 januari 2017 Alternativ IN10304

Elementen i mängderna A, P, Q är naturliga tal, och P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Det är känt att uttrycket ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

sant (dvs. tar värdet 1) för valfritt värde på variabeln x.

Bestäm största möjliga antal element i mängd A.

Lösning.

Låt oss omvandla detta uttryck:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x A) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Alltså måste ett element antingen ingå i P eller Q, eller inte ingå i A. Det är alltså bara element från P och Q som kan finnas i A. Och totalt finns det 17 icke-repeterande element i dessa två uppsättningar.

Svar: 17

Elementen i mängderna A, P, Q är naturliga tal och P = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). Det är känt att uttrycket

((x P) → (x A)) ∨ (¬(x A) → ¬(x Q))

sant (dvs. tar värdet 1) för valfritt värde på variabeln x. Bestäm det minsta möjliga värdet av summan av elementen i mängd A.

Lösning.

Låt oss undersöka två implikationer. Vi får:

(¬(x P) ∨ (x A)) ∨ ((x A) ∨ ¬(x Q))

Låt oss förenkla:

(¬(x P) ∨ (x A) ∨ ¬(x Q))

¬(x P) ∨ ¬(x Q) ger 0 endast när talet ligger i båda mängderna. Det betyder att för att hela uttrycket ska vara sant måste du lägga alla talen i P och Q i A. Sådana tal är 3, 9, 15 och 21. Deras summa är 48.

Svar: 48.

Svar: 48

Källa: Utbildningsarbete om INFORMATIK Betyg 11 18 januari 2017 Alternativ IN10303

Och uttrycket

(y + 2x 30) ∨ (y > 20)

x och y?

Lösning.

Observera att för den identiska sanningen i detta uttryck, uttrycket (y + 2x Svar: 81.

Svar: 81

Källa: USE - 2018. Tidig våg. Alternativ 1., ANVÄNDNING - 2018. Tidig våg. Alternativ 2.

På tallinjen anges ett segment A. Det är känt att formeln

((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A))

är identiskt sant för alla verkliga x. Vad är den kortaste längden av segment A?

Lösning.

Genom att utöka implikationen enligt regeln A → B = ¬A + B, ersätta den logiska summan med en mängd och den logiska produkten med ett system av relationer, bestämmer vi parameterns värden MEN, enligt vilket systemet för samlingar

kommer att ha lösningar för alla reella tal.

För att systemets lösningar ska vara alla reella tal, är det nödvändigt och tillräckligt att lösningarna för var och en av samlingarna alla är reella tal.

Lösningarna av ojämlikheten är alla tal från intervallet [−10; tio]. För att samlingen ska hålla för alla reella tal, siffrorna x, som inte ligger på det angivna segmentet, måste tillhöra segmentet A. Därför får segmentet A inte gå utanför segmentet [−10; tio].

På liknande sätt är lösningarna av ojämlikheten talen från strålarna och för att mängden ska hålla för alla reella tal, talen x, som inte ligger på de angivna strålarna, måste ligga på segmentet A. Därför måste segmentet A innehålla segmentet [−8; åtta].

Således kan den minsta längden av segment A vara lika med 8 + 8 = 16.

Svar: 16.

Svar: 16

A uttryck

(y + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( x y)

identiskt sant, det vill säga det tar värdet 1 för alla icke-negativa heltal x och y?

Lösning.

A x och y, överväga i vilka fall villkoren ( y + 2x≠ 48) och ( x y) är falska.

y = 48 − 2x(x ≥ y). Det x mellan 16 och 24 y i intervallet från 0 till 16. Observera att för att uttrycket ska vara lämpligt för någon x och y, det krävs att ta x= 16 och y= 16. Sedan A A kommer att vara 15.

Svar: 15.

Svar: 15

Källa: USE in Informatics 2018-05-28. Huvudvågen, A. Imaevs variant - "Kotolis".

Vad är det största icke-negativa heltal A uttryck

(y + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( A y)

identiskt sant, det vill säga det tar värdet 1 för alla icke-negativa heltal x och y?

Lösning.

För att hitta det största icke-negativa heltal A, där uttrycket kommer att vara x och y, överväg i vilka fall tillståndet ( y + 2x≠ 48) är falskt.

Därför hittar vi alla lösningar när ( y = 48 − 2x). Det x mellan 0 och 24 y i intervallet från 48 till 0. Observera att för att uttrycket ska vara lämpligt för någon x och y, det krävs att ta x= 16 och y= 16. Sedan A A kommer att vara 15.

Svar: 15.

Svar: 15

Källa: Demoversion av USE-2019 inom informatik.

Vad är det minsta icke-negativa heltal A uttryck

(2x + 3y > 30) ∨ (x + y ≤ A)

identiskt sant för alla icke-negativa heltal x och y?

Lösning.

A, där uttrycket kommer att vara identiskt sant för alla heltal som inte är negativa x och yy + 2x> 30) är falskt.

y + 2x≤ 30). Det x mellan 0 och 15 och y i intervallet från 10 till 0. Observera att för att uttrycket ska vara lämpligt för någon x och y, det krävs att ta x= 15 och y= 0. Sedan 15 + 0 ≤ A. Därför är det minsta heltal icke-negativa tal A blir lika med 15.

Svar: 15.

Svar: 15

Vad är det största icke-negativa heltal A uttryck

(2x + 3y x + y ≥ A)

identiskt sant för alla icke-negativa heltal x och y?

Lösning.

För att hitta det största icke-negativa heltal A, där uttrycket kommer att vara identiskt sant för alla heltal som inte är negativa x och y, överväg i vilka fall villkoret (3 y + 2x Således hittar vi alla lösningar när (3 y + 2x≥ 30). Det xöver 15 och y större än 10. Observera att för att uttrycket ska vara lämpligt för någon x och y, det krävs att ta x= 0 och y= 10. Sedan 0 + 10 ≤ A. Därför det största icke-negativa heltal A blir lika med 10.

Svar: 10.

Svar: 10

Vad är det minsta icke-negativa heltal A uttryck

(3x + 4y ≠ 70) ∨ (A > x) ∨ (A > y)

identiskt sant för alla icke-negativa heltal x och y?

Lösning.

För att hitta det minsta heltal som inte är negativt A, där uttrycket kommer att vara identiskt sant för alla heltal som inte är negativa x och y, överväg i vilka fall villkoret (3 x + 4y≠ 70) är falskt.

Således hittar vi alla lösningar när (3 x + 4y= 70). Det x mellan 2 och 22 y i intervallet från 16 till 1. Observera att för att uttrycket ska vara lämpligt för någon x och y, det krävs att ta x= 10 och y= 10. Sedan A> 10. Därför det minsta icke-negativa heltal A blir lika med 11.

För att lösa detta problem måste vi dra några logiska slutsatser, så "se upp dina händer."

1. De vill att vi ska hitta det minsta icke-negativa heltal A för vilket uttrycket alltid är sant.
2. Vad är uttrycket i sin helhet? något där inblandning något inom parentes.
3. Låt oss komma ihåg sanningstabellen för implikationen:
   1 => 1 = 1
   1 => 0 = 0
   0 => 1 = 1
   0 => 0 = 1
4. Så det finns tre möjligheter när detta kommer att vara sant. Att överväga alla dessa tre alternativ är att ta livet av sig och inte leva. Låt oss fundera på om vi kan gå "från motsatsen".
5. Låt oss istället för att leta efter A, låt oss försöka hitta x för vilket uttrycket är falskt.
6. Det vill säga, låt oss ta lite nummer A (vi vet inte ännu vad, bara några). Om vi ​​plötsligt hittar ett sådant x där hela påståendet är falskt, så är det valda A:et dåligt (eftersom villkoret kräver att uttrycket alltid är sant)!
7. Således kan vi få någon form av begränsning på siffran A.
8. Så låt oss gå från motsatsen och komma ihåg när implikationen är falsk? När den första delen är sann och den andra delen är falsk.
9. Betyder att
   \((\mathrm(x)\&25\nekv 0)= 1 \\ (\mathrm(x)\&17=0\Högerpil \mathrm(x)\&\mathrm(A)\nekv 0) = 0\)
10. Vad betyder det att \((x\&25\neq 0) = 1\) ? Detta betyder att verkligen \(\mathrm(x)\&25\neq 0\) .
11. Låt oss konvertera 25 till binärt. Vi får: 11001 2 .
12. Vilka begränsningar innebär detta för x? Eftersom det inte är lika med noll betyder det att med en bitvis konjunktion måste en enhet erhållas någonstans. Men var kunde hon vara? Bara där det redan finns en enhet i 25!
13. Det betyder att i talet x måste minst ett kryss innehålla en enhet: XXX***X.
14. Ok, överväg nu den andra multiplikatorn: \((\mathrm(x)\&17=0\Högerpil \mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\)
15. Detta uttryck är också en implikation. Det är dock lika falskt.
16. Därför måste dess första del vara sann och den andra måste vara falsk.
17. Betyder att
    \((\mathrm(x)\&17=0) = 1 \\ ((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0) = 0\)
18. Vad betyder \(\mathrm(x)\&17=0\)? Det faktum att på alla ställen där det finns ettor i 17 måste det finnas nollor i x (annars blir resultatet inte 0).
19. Låt oss konvertera 17 till binärt: 10001 2 . Det betyder att i x, på sista platsen från slutet och på 5:e platsen från slutet, måste det finnas nollor.
20. Men sluta, vi fick i paragraf 13 att på den sista ELLER 4 från slutet ELLER 5 från slutet bör vara en.
21. Eftersom det enligt rad 19 inte kan finnas en enhet vid den sista eller 5 från slutplatserna, så det måste vara 4:e plats från slutet.
22. Det vill säga, om vi vill att hela uttrycket ska vara falskt med vårt x, så måste 4:e platsen från slutet vara ett: XX...XX1XXX 2 .
23. Ok, låt oss nu titta på det sista villkoret: \((\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0) = 0\). Vad betyder det här?
24. Det betyder att det inte är sant \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)\neq 0\).
25. Det vill säga i själva verket \(\mathrm(x)\&\mathrm(A)=0\) .
26. Vad vet vi om x? Att vid 4 från slutet av platsen finns en enhet. I alla andra avseenden kan x vara nästan vad som helst.
27. Om vi ​​vill att det ursprungliga uttrycket i problemformuleringen alltid ska vara sant, då vi bör inte hittas x som uppfyller alla villkor. Faktum är att om vi hittade ett sådant x skulle det visa sig att det ursprungliga uttrycket inte alltid är sant, vilket motsäger problemets tillstånd.
28. Det betyder att detta allra sista villkor helt enkelt inte får uppfyllas.
29. Hur kan det inte göras? Om vi ​​bara är 100% säkra på att med en bitvis konjunktion kommer en enhet att finnas kvar någonstans.
30. Och detta är möjligt: ​​om det i A också finns en enhet på 4:e platsen från slutet, kommer en enhet att stanna kvar på 4:e platsen från slutet, som ett resultat av en bitvis konjunktion.
31. Vilket är det minsta möjliga binära talet som har 1 gånger 4 från slutet av platsen? Uppenbarligen 1000 2 . Så detta nummer kommer att vara svaret.
32. Det återstår bara att konvertera det till decimal: \(1000_2=0\ gånger 2^0 + 0\ gånger 2^1 + 0\ gånger 2^2 + 1\ gånger 2^3=8\)

Svar: minsta möjliga A som uppfyller villkoren, är lika med 8.

Evgeny Smirnov

Expert i IT, lärare i datavetenskap

Lösning #2

Ett lite kortare tillvägagångssätt kan föreslås. Låt oss beteckna vårt påstående som F = (A->(B->C)), där A är påståendet "X&25 är inte lika med 0", B= "X&17=0" och C="X&A är inte lika med 0 ".

Låt oss utöka implikationerna med den välkända lagen X->Y = inte(X) ELLER Y, vi får F = A -> (inte(B) ELLER C) = inte(A) ELLER inte(B) ELLER C. Vi skriver också de binära värdena för konstanterna 25 och 17:

Vårt uttryck är ett logiskt ELLER av tre påståenden:

1) inte(A) - detta betyder X&25 = 0 (bitarna 0,3,4 av X är alla 0)

2) inte(B) - så X&17 är inte lika med 0 (bitarna 0 och 4 i X minst en är lika med 1)

3) C - vet att X&A inte är lika med 0 (bitar satta av mask A, minst 1 är lika med 1)

X är ett godtyckligt tal. Alla dess bitar är oberoende. Därför är det möjligt att kräva uppfyllelse av något villkor på bitarna av ett godtyckligt tal endast i ett enda fall - när det gäller samma mask (uppsättning bitar). Vi kan lägga märke till att den binära masken 17 är nästan samma som 25, bara bit nummer 3 saknas. Om 17 nu skulle kompletteras med bit nummer 3 så skulle uttrycket (inte (B) ELLER C) bli till not (inte A ), dvs. i A = (X&25 är inte lika med 0). På ett annat sätt: låt oss säga A=8 (bit 3=1). Då är kravet (inte (B) B eller C) ekvivalent med kravet: (Minst en av bitarna 4,0 är 1) ELLER (bit 3 är 1) = (minst en av bitarna 0,3,4 är inte 1) - de. inversion not(A) = A = (X&25 är inte lika med 0).

Som ett resultat märkte vi att om A = 8, så tar vårt uttryck formen F = inte (A) ELLER A, vilket, enligt lagen om det uteslutna mitten, alltid är identiskt sant. För andra, mindre värden på A kan oberoende från värdet på X inte erhållas, eftersom maskerna är olika. Tja, om det finns ettor i de höga bitarna av A i bitar över 4, förändras ingenting, eftersom i resten av maskerna har vi nollor. Det visar sig att endast när A=8 förvandlas formeln till en tautologi för godtyckligt X.

Dmitry Lisin

1. Exempel från demon

(första konsonant → andra konsonant) / (näst sista vokal → sista vokal)

1) CHRISTINA 2) MAXIM 3) STEPAN 4) MARIA

Lösningsöversikt implikation a → b motsvarar ¬a/b.

Den första antydan är sann för orden CHRISTINA och STEPAN. Av dessa ord är den andra implikationen sann endast för ordet CHRISTINA.

Svar: 1. CHRISTINA

2. Ytterligare två exempel

Exempel 1 (öppet segment av FIPI-bank)

Vilket av följande namn uppfyller det logiska villkoret:

(första konsonant → första vokal) / (sista vokal → sista konsonant)

1. IRINA 2. MAXIM 3. ARTEM 4. MARIA

Lösningsöversikt. implikation a → b motsvarar ¬a/b. Detta uttryck är sant om antingen uttryck a är falskt eller båda uttrycken a och b är sanna. Eftersom i vårt fall båda uttrycken inte kan vara sanna samtidigt i någon av implikationerna, måste påståendena "första bokstaven är en konsonant" och "den sista bokstaven är en vokal" vara falska, det vill säga vi behöver ett ord vars första bokstaven är en vokal och den sista är en konsonant.

Svar: 3. ARTEM.

Exempel 2 För vilket av de angivna värdena för talet X är påståendet sant

(X< 4)→(X >15)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Lösning. Inget tal kan vara både mindre än 4 och större än 15 samtidigt. Därför är implikationen sann endast om premissen X< 4 falsk.

Svar 4.

2. Uppgifter i USE-formatet 2013-2014

2.1. Demo 2013

Två segment anges på tallinjen: P = och Q = .

Välj ett segment A så att formeln

1) 2) 3) 4)

2.2. Demo 2014

Två segment anges på tallinjen: P = och Q = . Välj bland de föreslagna segmenten ett segment A som det logiska uttrycket

((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q))→ ¬ (x ∈ A)

identiskt sant, det vill säga den tar värdet 1 för valfritt värde på variabeln

Svarsalternativ: 1) 2) 3) 4)

Lösning. Låt oss omvandla uttrycket med . Vi har:

¬((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - ersättning av implikation med disjunktion;

¬(¬(x ∈ P) ∨ ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - ersättning av implikation med disjunktion;

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - de Morgans regel och borttagande av dubbel negation;

(x ∈ A) → ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) - ersättning av disjunktion med implikation

Det sista uttrycket är identiskt sant om och endast om A ⊆ P∩ Q = ∩ = (se ). Av de fyra givna segmenten är det bara segment - alternativ nr 2 som uppfyller detta villkor.

Svar: - alternativ nummer 2

3. Uppgifter i USE-formatet 2015-2016

3.1. Uppgift 1.

Två segment anges på tallinjen: P = och Q = .

Det är känt att gränserna för segment A är heltalspunkter och för segment A formeln

((x ∈ A) → (x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

är identiskt sant, det vill säga det tar värdet 1 för vilket värde som helst av variabeln x.

Vad är den längsta möjliga längden av segment A?

Rätt svar : 10

Lösning:

Vi transformerar uttrycket - vi ersätter implikationen med en disjunktion. Vi får:

(¬(x ∈ A)) \/ ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

Uttrycket ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q) är sant endast för de x som ligger antingen i P eller i Q, med andra ord för x ∈ R = P ∪ Q = ∪ . Uttryck

(¬(x ∈ A)) \/ (x ∈ R)

är identiskt sant om och endast om A ∈ R. Eftersom A är ett segment, då A ∈ R om och endast om A ∈ P eller A ∈ Q. Eftersom segmentet Q är längre än segmentet P, är den maximala längden av segment A uppnås när A = Q = . Längden på segment A är i detta fall 30 - 20 = 10.

3.2. Uppgift 2.

Beteckna med m&n bitvis konjunktion av icke-negativa heltal m och n. Så till exempel, 14&5 = 1110 2 &0101 2 = 0100 2 = 4. För vad är det minsta icke-negativa heltal MEN formel

x&25 ≠ 0 → (x&33 ≠ 0 → x&MEN ≠ 0)

är identiskt sant, dvs. tar värdet 1 för alla icke-negativa heltalsvärden för variabeln X?

Rätt svar : 57

Lösning:

Vi transformerar uttrycket - vi ersätter implikationerna med disjunktioner. Vi får:

¬( x&25 ≠ 0) ∨ (¬( x&33 ≠ 0) ∨ x&MEN ≠ 0)

Vi öppnar parenteserna och ersätter negationerna av ojämlikheterna med jämlikheter:

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0 ∨ x&MEN ≠ 0 (*)

Vi har: 25 = 11001 2 och 33 = 100001 2 . Därför formeln

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0

är falskt om och endast om den binära representationen av talet x innehåller ett 1 i minst en av följande binära siffror: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) och 1.

För att formeln (*) ska vara sann för alla sådana x det är nödvändigt och tillräckligt att den binära notationen för talet A innehåller 1 i alla dessa siffror. Det minsta talet är 32+16+8+1 = 57.

Uppgift 18 Jobbkatalog. Logiska påståenden

1. Uppgift 18 nr 701. För vilket namn är påståendet falskt:

(Första bokstaven i namnet är en vokal→ Den fjärde bokstaven i namnet är en konsonant).

1) ELENA

2) VADIM

3) ANTON

4) FEDOR

Förklaring.

Implikationen är falsk om och endast om premissen är sann och konsekvensen är falsk. I vårt fall, om den första bokstaven i namnet är en vokal och den fjärde bokstaven är en vokal. Namnet Anton uppfyller detta villkor.

Notera.

Samma resultat följer av följande transformationer: ¬ (A→ B) = ¬(¬A∨ B)=A∧ (¬B).

Rätt svar är nummer 3.

2. Uppgift 18 nr 8666. Två segment anges på tallinjen: P = och Q = . Ange största möjliga längd på intervallet A för vilket formeln

(¬ (xA)→ (xP))→ ((xA)→ (xQ))

är identiskt sant, det vill säga det tar värdet 1 för vilket värde som helst av variabeln x.

Förklaring.

Låt oss omvandla detta uttryck:

(¬ ( xA) → ( x P)) → (( x A) → ( xF))

((xA)∨ (x P))→ ((x inte A)∨ (x Q))

¬(( xägdA) ∨ ( xägdP)) ∨ (( x inte ägsA) ∨ ( x ägdF))

( xinte ägsA) ∧ ( xinte ägsP) ∨ ( x ägdA) ∨ ( x inte ägsF)

( xinte ägsA) ∨ ( x ägdF)

Alltså måste antingen x tillhöra Q eller inte tillhöra A. Det betyder att för att uppnå sant för alla x, är det nödvändigt att A är helt innesluten i Q. Då är det maximala som det kan bli hela Q, det vill säga av längden 15 .

3. Uppgift 18 nr 9170. Två segment anges på tallinjen: P = och Q = .

Ange största möjliga längd på segmentet A, för vilket formeln

((xA)→ ¬(xP))→ ((xA)→ (xQ))

är identiskt sant, det vill säga det tar värdet 1 för valfritt värde på variabelnX .

Förklaring.

Låt oss förvandla detta uttryck.

(( x€ A) → ¬( xägdP)) → (( x ägdA) → ( x ägdF))

(( xinte ägsA) ∨ ( xinte ägsP)) → (( x inte ägsA) ∨ ( x ägdF))

¬((x tillhör inte A)∨ (xtillhör inte P))∨ ((xtillhör inte A)∨ (xtillhör Q))

Det är sant att A∧ B∨ ¬A = ¬A∨ B. Genom att tillämpa detta här får vi:

(x tillhör P)∨ (xtillhör inte A)∨ (x tillhör Q)

Det vill säga antingen måste punkten tillhöra Q, eller tillhöra P, eller inte tillhöra A. Det betyder att A kan täcka alla punkter som täcker P och Q. Det vill säga A = P Q = =. |A| = 48 - 10 = 38.

4. Uppgift 18 nr 9202. Elementen i mängderna A, P, Q är naturliga tal, och P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Det är känt att uttrycket

((xA)→ (xP))∨ (¬(xQ)→ ¬(xA))

sant (dvs. tar värdet 1) för valfritt värde på variabeln x.

5. Uppgift 18 nr 9310. Elementen i mängderna A, P, Q är naturliga tal, och P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50).

Det är känt att uttrycket

((xA)→ (xP))∨ (¬(xQ)→ ¬(xA))

sant (dvs. tar värdet 1) för valfritt värde på variabeln x.

Bestäm största möjliga antal element i mängd A.

6. Uppgift 18 nr 9321. Beteckna medDEL ( n, m ) påståendet ”ett naturligt tal n är delbart utan rest med ett naturligt talm ". För vad är det största naturliga taletMEN formel

¬ DEL ( x, A ) → (¬ DEL ( x , 21) ∧ ¬ DEL ( x , 35))

är identiskt sant (det vill säga det tar värdet 1 för valfritt naturligt värde för variabelnx )?

(Uppdrag till M. V. Kuznetsova)

7. Uppgift 18 nr 9768. Beteckna med m & n m och n 2 & 0101 2 = 0100 2 MEN formel

x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & MEN ≠ 0)

är identiskt sant (det vill säga tar på sig värdet 1 för alla icke-negativa heltalsvärden för variabeln X )?

8. Uppgift 18 nr 9804. Beteckna med m & n bitvis konjunktion av icke-negativa heltal m och n . Så, till exempel, 14 & 5 = 1110 2 & 0101 2 = 0100 2 = 4. För vad är det minsta icke-negativa heltal MEN formel

x & 29 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & MEN ≠ 0)

är identiskt sant (dvs. tar värdet 1 för alla icke-negativa heltalsvärden för variabeln x )?

9. Uppgift 18 nr 723. För vilket namn är påståendet sant:

Den tredje bokstaven är en vokal→ ¬ (Den första bokstaven är en konsonant \/ Det finns 4 vokaler i ordet)?

1) Rimma

2) Anatoly

3) Svetlana

4) Dmitry

Förklaring.

Låt oss tillämpa implikationstransformationen:

Tredje bokstavens konsonant∨ (Första bokstaven vokal∧ Ordet INTE har 4 vokaler)

En disjunktion är sann när minst ett av påståendena är sant. Därför är endast alternativ 1 lämpligt.

10. Uppgift 18 nr 4581. Vilket av följande namn uppfyller det logiska villkoret:

(konsonant för första bokstaven→ den sista bokstaven är en konsonant) /\ (första bokstaven är en vokal→ den sista bokstaven är en vokal)

Om det finns flera sådana ord, ange det längsta av dem.

1) ANNA

2) BELLA

3) ANTON

4) BORIS

Förklaring.

En logisk OCH är bara sann om båda påståendena är sanna.(1)

En antydan är falsk endast när en falsk följer av sanningen.(2)

Alternativ 1 passar alla förhållanden.

Alternativ 2 är inte lämpligt på grund av tillstånd (2).

Alternativ 3 är inte lämpligt på grund av villkor (2).

Alternativ 4 är lämpligt för alla förhållanden.

Du måste ange det längsta av orden, därför är svaret 4.

Uppgifter för självständig lösning

1. Uppgift 18 nr 711. Vilket av följande landsnamn uppfyller följande logiska villkor: ((sista konsonant) \/ (första konsonant))→ (namnet innehåller bokstaven "p")?

1) Brasilien

2) Mexiko

3) Argentina

4) Kuba

2. Uppgift 18 nr 709. Vilket av följande namn uppfyller det logiska villkoret:

(Första bokstaven är en vokal)∧ ((Fjärde bokstavens konsonant)∨ (Det finns fyra bokstäver i ordet))?

1) Sergey

2) Vadim

3) Anton

4) Ilja

№3

№4

№5. Uppgift 18 nr 736. Vilket av förnamnen uppfyller det logiska villkoret

Den första bokstaven är en vokal∧ fjärde konsonant∨ Har ordet fyra bokstäver?

1) Sergey

2) Vadim

3) Anton

4) Ilja