Den här artikeln fortsätter temat för ekvationen av en rät linje på ett plan: betrakta denna typ av ekvation, som allmän ekvation hetero. Låt oss definiera ett teorem och ge dess bevis; Låt oss ta reda på vad en ofullständig allmän ekvation för en rät linje är och hur man gör övergångar från en allmän ekvation till andra typer av ekvationer för en rät linje. Vi kommer att konsolidera hela teorin med illustrationer och lösa praktiska problem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Låt ett rektangulärt koordinatsystem O x y ges på planet.

Sats 1

Varje ekvation av första graden, med formen A x + B y + C \u003d 0, där A, B, C är några reella tal (A och B är inte lika med noll samtidigt) definierar en rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan. I sin tur bestäms vilken linje som helst i ett rektangulärt koordinatsystem på planet av en ekvation som har formen A x + B y + C = 0 för en viss uppsättning värden A, B, C.

Bevis

Denna sats består av två punkter, vi kommer att bevisa var och en av dem.

1. Låt oss bevisa att ekvationen A x + B y + C = 0 definierar en linje på planet.

Låt det finnas någon punkt M 0 (x 0 , y 0) vars koordinater motsvarar ekvationen A x + B y + C = 0 . Alltså: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahera från vänster och höger sida av ekvationerna A x + B y + C \u003d 0 vänster och höger sida av ekvationen A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, vi får en ny ekvation som ser ut som A (x - x 0) + B (y - yo) = 0 . Det är ekvivalent med A x + B y + C = 0 .

Den resulterande ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vinkelrätheten hos vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Således definierar uppsättningen av punkter M (x, y) i ett rektangulärt koordinatsystem en rät linje vinkelrät mot riktningen för vektorn n → = (A, B) . Vi kan anta att det inte är så, men då skulle vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) inte vara vinkelräta, och likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 skulle inte vara sant.

Därför definierar ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 någon linje i ett rektangulärt koordinatsystem på planet, och därför definierar den ekvivalenta ekvationen A x + B y + C \u003d 0 samma rad. Därmed har vi bevisat den första delen av satsen.

1. Låt oss bevisa att vilken rät linje som helst i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan kan ges av en ekvation av första graden A x + B y + C = 0 .

Låt oss sätta en rät linje a i ett rektangulärt koordinatsystem på planet; punkt M 0 (x 0 , y 0) genom vilken denna linje passerar, samt normalvektorn för denna linje n → = (A , B) .

Låt det också finnas någon punkt M (x , y) - en flytande punkt på linjen. I detta fall är vektorerna n → = (A , B) och M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) vinkelräta mot varandra, och deras skalära produkt är noll:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Låt oss skriva om ekvationen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definiera C: C = - A x 0 - B y 0 och slutligen få ekvationen A x + B y + C = 0 .

Så vi har bevisat den andra delen av satsen, och vi har bevisat hela satsen som helhet.

Definition 1

En ekvation som ser ut A x + B y + C = 0 - detta är generell ekvation för en rät linje på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystemO x y .

Baserat på den bevisade satsen kan vi dra slutsatsen att en rät linje som ges på ett plan i ett fast rektangulärt koordinatsystem och dess allmänna ekvation är oupplösligt sammanlänkade. Med andra ord, den ursprungliga linjen motsvarar dess allmänna ekvation; den allmänna ekvationen för en rät linje motsvarar en given rät linje.

Det följer också av beviset för satsen att koefficienterna A och B för variablerna x och y är koordinaterna för den räta linjens normalvektor, som ges av den allmänna ekvationen för den räta linjen A x + B y + C = 0.

Betrakta ett specifikt exempel på den allmänna ekvationen för en rät linje.

Låt ekvationen 2 x + 3 y - 2 = 0 ges, vilket motsvarar en rät linje i ett givet rektangulärt koordinatsystem. Den normala vektorn för denna linje är vektorn n → = (2, 3). Rita en given rak linje i ritningen.

Följande kan också argumenteras: den räta linjen som vi ser på ritningen bestäms av den allmänna ekvationen 2 x + 3 y - 2 = 0, eftersom koordinaterna för alla punkter på en given rät linje motsvarar denna ekvation.

Vi kan få ekvationen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 genom att multiplicera båda sidor av den allmänna räta linjeekvationen med ett tal λ som inte är noll. Den resulterande ekvationen är ekvivalent med den ursprungliga allmänna ekvationen, därför kommer den att beskriva samma linje i planet.

Definition 2

Komplettera den allmänna ekvationen för en rät linje- en sådan generell ekvation av linjen A x + B y + C \u003d 0, där talen A, B, C är icke-noll. Annars är ekvationen Ofullständig.

Låt oss analysera alla variationer av den ofullständiga allmänna ekvationen för den räta linjen.

1. När A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, blir den allmänna ekvationen B y + C \u003d 0. En sådan ofullständig generell ekvation definierar en rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem O x y som är parallell med O x-axeln, eftersom för varje reellt värde på x kommer variabeln y att anta värdet - C B . Med andra ord, den allmänna ekvationen för linjen A x + B y + C \u003d 0, när A \u003d 0, B ≠ 0, definierar platsen för punkter (x, y) vars koordinater är lika med samma nummer - C B .
2. Om A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, blir den allmänna ekvationen y \u003d 0. En sådan ofullständig ekvation definierar x-axeln O x .
3. När A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, får vi en ofullständig generell ekvation A x + C \u003d 0, som definierar en rät linje parallell med y-axeln.
4. Låt A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, då kommer den ofullständiga allmänna ekvationen att ha formen x \u003d 0, och detta är ekvationen för koordinatlinjen O y.
5. Slutligen, när A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, har den ofullständiga allmänna ekvationen formen A x + B y \u003d 0. Och denna ekvation beskriver en rät linje som går genom origo. Faktum är att talparet (0 , 0) motsvarar likheten A x + B y = 0 , eftersom A · 0 + B · 0 = 0 .

Låt oss grafiskt illustrera alla ovanstående typer av den ofullständiga allmänna ekvationen för en rät linje.

Exempel 1

Det är känt att den givna räta linjen är parallell med y-axeln och går genom punkten 2 7 , - 11 . Det är nödvändigt att skriva ner den allmänna ekvationen för en given rät linje.

Lösning

En rät linje parallell med y-axeln ges av en ekvation av formen A x + C \u003d 0, där A ≠ 0. Villkoret anger också koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar, och koordinaterna för denna punkt motsvarar villkoren för den ofullständiga allmänna ekvationen A x + C = 0 , dvs. jämställdhet är korrekt:

A27 + C = 0

Det är möjligt att bestämma C utifrån det genom att ge A ett värde som inte är noll, till exempel A = 7 . I det här fallet får vi: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Vi känner till båda koefficienterna A och C, ersätter dem med ekvationen A x + C = 0 och får den nödvändiga ekvationen för linjen: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Exempel 2

Ritningen visar en rak linje, det är nödvändigt att skriva ner dess ekvation.

Lösning

Den givna ritningen gör att vi enkelt kan ta de första uppgifterna för att lösa problemet. Vi ser på ritningen att den givna linjen är parallell med O x-axeln och går genom punkten (0 , 3).

Den räta linjen, som är parallell med abskissan, bestäms av den ofullständiga allmänna ekvationen B y + С = 0. Hitta värdena för B och C. Koordinaterna för punkten (0, 3), eftersom den givna räta linjen passerar genom den, kommer att uppfylla ekvationen för den räta linjen B y + С = 0, då är likheten giltig: В · 3 + С = 0. Låt oss sätta B till något annat värde än noll. Låt oss säga B \u003d 1, i det här fallet, från likheten B · 3 + C \u003d 0 kan vi hitta C: C \u003d - 3. Vi använder kända värden B och C får vi den erforderliga ekvationen för linjen: y - 3 = 0.

Svar: y - 3 = 0 .

Allmän ekvation för en rät linje som går genom en given punkt i planet

Låt den givna linjen passera genom punkten M 0 (x 0, y 0), då motsvarar dess koordinater linjens allmänna ekvation, d.v.s. likheten är sann: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahera vänster och höger sida av denna ekvation från vänster och höger sida av det allmänna fullständig ekvation hetero. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, denna ekvation är ekvivalent med den ursprungliga allmänna, passerar genom punkten M 0 (x 0, y 0) och har en normal vektor n → \u003d (A, B) .

Resultatet som vi har erhållit gör det möjligt att skriva den allmänna ekvationen för en rät linje för kända koordinater för den räta linjens normalvektor och koordinaterna för en viss punkt på denna räta linje.

Exempel 3

Givet en punkt M 0 (- 3, 4) genom vilken linjen passerar, och normalvektorn för denna linje n → = (1, -2). Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för en given rät linje.

Lösning

De initiala förhållandena tillåter oss att erhålla nödvändiga data för att kompilera ekvationen: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sedan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunde ha lösts annorlunda. Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen A x + B y + C = 0 . Den givna normalvektorn låter dig få värdena för koefficienterna A och B, då:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Hitta nu värdet på C med hjälp av ges av tillståndet problempunkt M 0 (- 3 , 4) genom vilken linjen passerar. Koordinaterna för denna punkt motsvarar ekvationen x - 2 · y + C = 0 , dvs. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Alltså C = 11. Den nödvändiga räta linjeekvationen har formen: x - 2 · y + 11 = 0 .

Svar: x - 2 y + 11 = 0 .

Exempel 4

Givet en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 och en punkt M 0 som ligger på denna linje. Endast abskissan för denna punkt är känd, och den är lika med - 3. Det är nödvändigt att bestämma ordinatan för den givna punkten.

Lösning

Låt oss sätta beteckningen för koordinaterna för punkten M 0 som x 0 och y 0 . De initiala uppgifterna indikerar att x 0 \u003d - 3. Eftersom punkten tillhör en given linje, så motsvarar dess koordinater den allmänna ekvationen för denna linje. Då kommer följande jämställdhet att vara sant:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiera y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Övergång från den allmänna ekvationen för en rät linje till andra typer av ekvationer för en rät linje och vice versa

Som vi vet finns det flera typer av ekvationen för samma räta linje i planet. Valet av ekvationstyp beror på problemets förutsättningar; det är möjligt att välja den som är mer bekväm för sin lösning. Det är här skickligheten att omvandla en ekvation av ett slag till en ekvation av ett annat slag kommer väl till pass.

Betrakta först övergången från den allmänna ekvationen av formen A x + B y + C = 0 till den kanoniska ekvationen x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Om A ≠ 0 överför vi termen B y till höger sida av den allmänna ekvationen. På vänster sida tar vi A ur parentes. Som ett resultat får vi: A x + C A = - B y .

Denna likhet kan skrivas som en proportion: x + C A - B = y A .

Om B ≠ 0 lämnar vi bara termen A x på vänster sida av den allmänna ekvationen, vi överför de andra till höger, vi får: A x \u003d - B y - C. Vi tar ut - B från parentes, sedan: A x \u003d - B y + C B.

Låt oss skriva om likheten som en proportion: x - B = y + C B A .

Naturligtvis finns det inget behov av att memorera de resulterande formlerna. Det räcker att känna till algoritmen för åtgärder under övergången från den allmänna ekvationen till den kanoniska.

Exempel 5

Den allmänna ekvationen för linjen 3 y - 4 = 0 ges. Det måste konverteras till en kanonisk ekvation.

Lösning

Vi skriver den ursprungliga ekvationen som 3 y - 4 = 0 . Därefter agerar vi enligt algoritmen: termen 0 x förblir på vänster sida; och på höger sida tar vi ut - 3 ur parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Låt oss skriva den resulterande likheten som en proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Således har vi fått en ekvation av den kanoniska formen.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

För att omvandla den allmänna ekvationen för en rät linje till parametriska, går man först över till kanonisk form, och sedan övergången från den räta linjens kanoniska ekvation till parametriska ekvationer.

Exempel 6

Den räta linjen ges av ekvationen 2 x - 5 y - 1 = 0 . Skriv ner de parametriska ekvationerna för denna linje.

Lösning

Låt oss göra övergången från den allmänna ekvationen till den kanoniska:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Låt oss nu ta båda delarna av den resulterande kanoniska ekvationen lika med λ, då:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den allmänna ekvationen kan omvandlas till ekvationen för en rät linje med lutning faktor y \u003d k x + b, men bara när B ≠ 0. För övergången på vänster sida lämnar vi termen B y , resten överförs till höger. Vi får: B y = - A x - C . Låt oss dividera båda delarna av den resulterande likheten med B , som skiljer sig från noll: y = - A B x - C B .

Exempel 7

Den allmänna ekvationen för en rät linje ges: 2 x + 7 y = 0 . Du måste konvertera den ekvationen till en lutningsekvation.

Lösning

Låt oss utföra de nödvändiga åtgärderna enligt algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = -2 7 x .

Från den allmänna ekvationen för en rät linje räcker det att helt enkelt få en ekvation i segment av formen x a + y b \u003d 1. För att göra en sådan övergång överför vi talet C till höger sida av likheten, dividerar båda delarna av den resulterande likheten med - С och, slutligen, överför koefficienterna för variablerna x och y till nämnarna:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exempel 8

Det är nödvändigt att omvandla den allmänna ekvationen för den räta linjen x - 7 y + 1 2 = 0 till ekvationen för en rät linje i segment.

Lösning

Låt oss flytta 1 2 till höger sida: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Dividera med -1/2 på båda sidor av ekvationen: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

I allmänhet är den omvända övergången också lätt: från andra typer av ekvationer till den allmänna.

Ekvationen för en rät linje i segment och ekvationen med en lutning kan enkelt omvandlas till en generell genom att helt enkelt samla alla termer på vänster sida av ekvationen:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniska ekvationen konverteras till den allmänna enligt följande schema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

För att gå från det parametriska utförs först övergången till det kanoniska och sedan till det allmänna:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exempel 9

De parametriska ekvationerna för den räta linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 ges. Det är nödvändigt att skriva ner den allmänna ekvationen för denna linje.

Lösning

Låt oss göra övergången från parametriska ekvationer till kanoniska:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Låt oss gå från kanoniskt till allmänt:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Exempel 10

Ekvationen för en rät linje i segment x 3 + y 1 2 = 1 ges. Det är nödvändigt att göra övergången till allmän syn ekvationer.

Lösning:

Låt oss bara skriva om ekvationen i den form som krävs:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Rita upp en generell ekvation för en rät linje

Ovan sa vi att den allmänna ekvationen kan skrivas med kända koordinater för normalvektorn och koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar. En sådan rät linje definieras av ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . På samma ställe analyserade vi motsvarande exempel.

Låt oss nu titta på mer komplexa exempel där det först är nödvändigt att bestämma koordinaterna för den normala vektorn.

Exempel 11

Givet en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Också känd är punkten M 0 (4, 1) genom vilken den givna linjen passerar. Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för en given rät linje.

Lösning

De initiala förhållandena talar om för oss att linjerna är parallella, medan vi, som en normalvektor för linjen vars ekvation måste skrivas, tar riktningsvektorn för linjen n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nu vet vi alla nödvändiga data för att komponera den allmänna ekvationen för en rät linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exempel 12

Den givna linjen går genom origo vinkelrätt mot linjen x - 2 3 = y + 4 5 . Det är nödvändigt att skriva den allmänna ekvationen för en given rät linje.

Lösning

Normalvektorn för den givna linjen kommer att vara riktningsvektorn för linjen x - 2 3 = y + 4 5 .

Sedan n → = (3 , 5) . Den räta linjen går genom origo, d.v.s. genom punkten O (0, 0) . Låt oss komponera den allmänna ekvationen för en given rät linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Låt två poäng ges M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2). Vi skriver ekvationen för en rät linje i formen (5), där kännu okänd koefficient:

Sedan poängen M 2 tillhör en given linje, då uppfyller dess koordinater ekvation (5): . Genom att uttrycka härifrån och ersätta den i ekvation (5), får vi den önskade ekvationen:

Om en Denna ekvation kan skrivas om i en form som är lättare att komma ihåg:

(6)

Exempel. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 (1.2) och M 2 (-2.3)

Lösning. . Genom att använda proportionsegenskapen och utföra de nödvändiga transformationerna får vi den allmänna ekvationen för en rät linje:

Vinkel mellan två linjer

Tänk på två linjer l 1 och l 2:

l 1: , , och

l 2: , ,

φ är vinkeln mellan dem (). Figur 4 visar: .

Härifrån , eller

Med hjälp av formel (7) kan en av vinklarna mellan linjerna bestämmas. Den andra vinkeln är .

Exempel. Två räta linjer ges av ekvationerna y=2x+3 och y=-3x+2. hitta vinkeln mellan dessa linjer.

Lösning. Det kan ses från ekvationerna att k 1 \u003d 2 och k 2 \u003d-3. genom att ersätta dessa värden i formel (7), finner vi

. Så vinkeln mellan dessa linjer är .

Villkor för parallellitet och vinkelräthet för två linjer

Om rakt l 1 och l 2är alltså parallella φ=0 och tgφ=0. av formel (7) följer att , varifrån k 2 \u003d k 1. Således är villkoret för parallelliteten mellan två linjer att deras sluttningar är lika.

Om rakt l 1 och l 2 vinkelrätt alltså φ=π/2, a2 = π/2+ ai. . Förutsättningen för att två raka linjer ska vara vinkelräta är alltså att deras sluttningar är ömsesidiga i storlek och motsatta i tecken.

Avstånd från punkt till linje

Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så definieras avståndet till linjen Ax + Vy + C \u003d 0 som

Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för den vinkelräta som faller från punkten M till den givna linjen. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:

x 1 och y 1 koordinaterna kan hittas som en lösning på ekvationssystemet:

Systemets andra ekvation är ekvationen för en rät linje som går igenom given poäng M 0 är vinkelrät mot en given linje.

Om vi ​​transformerar den första ekvationen i systemet till formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sedan, när vi löser, får vi:

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:

Teoremet har bevisats.

Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.

Exempel. Visa att linjerna 3x - 5y + 7 = 0 och 10x + 6y - 3 = 0 är vinkelräta.

Vi hittar: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, därför är linjerna vinkelräta.

Exempel. Spetsen för triangeln A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) är givna. Hitta ekvationen för höjden från vertex C.

Vi hittar ekvationen för sidan AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Den önskade höjdekvationen är: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.

k= . Då är y = . Därför att höjd passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: varav b = 17. Totalt: .

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

Avståndet från en punkt till en linje bestäms av längden på den vinkelräta som tappas från punkten till linjen.

Om linjen är parallell med projektionsplanet (h | | P 1), sedan för att bestämma avståndet från punkten MEN till rakt h det är nödvändigt att släppa en vinkelrät från punkten MEN till det horisontella h.

Tänk på mer komplext exempel när linjen upptar allmän ståndpunkt. Låt det vara nödvändigt att bestämma avståndet från punkten M till rakt a allmän ståndpunkt.

Definitionsuppgift avstånd mellan parallella linjer löst på samma sätt som den föregående. En punkt tas på en linje, och en vinkelrät ritas från den till en annan linje. Längden på vinkelrät är lika med avståndet mellan de parallella linjerna.

Kurva av andra ordningenär en linje definierad av en ekvation av andra graden med avseende på de aktuella kartesiska koordinaterna. I det allmänna fallet, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

där A, B, C, D, E, F är reella tal och minst ett av talen A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cirkel

Cirkel mitt- detta är platsen för punkter i planet på samma avstånd från punkten i planet C (a, b).

Cirkeln ges av följande ekvation:

Där x, y är koordinaterna för en godtycklig punkt på cirkeln, är R cirkelns radie.

Tecken på cirkelekvationen

1. Det finns ingen term med x, y

2. Koefficienterna vid x 2 och y 2 är lika

Ellips

Ellips platsen för punkter i ett plan kallas, summan av avstånden för var och en av vilka från två givna punkter i detta plan kallas foci (konstant värde).

Kanonisk ekvation för en ellips:

X och y tillhör en ellips.

a är ellipsens stora halvaxel

b är ellipsens mindre halvaxel

Ellipsen har 2 symmetriaxlar OX och OY. Ellipsens symmetriaxlar är dess axlar, skärningspunkten är ellipsens centrum. Den axel på vilken brännpunkterna är belägna kallas fokal axel. Ellipsens skärningspunkt med axlarna är ellipsens spets.

Kompressionsförhållande (stretching): e = c/a- excentricitet (karakteriserar formen på ellipsen), ju mindre den är, desto mindre förlängs ellipsen längs fokalaxeln.

Om ellipsens centrum inte är i mitten С(α, β)

Hyperbel

Överdrift kallas platsen för punkter i ett plan, det absoluta värdet av skillnaden i avstånd, som var och en från två givna punkter i detta plan, kallade foci, är ett konstant värde som skiljer sig från noll.

Kanonisk ekvation för en hyperbel

En hyperbel har två symmetriaxlar:

a - verklig symmetrihalvaxel

b - imaginär symmetrihalvaxel

Asymptoter för en hyperbel:

Parabel

parabelär platsen för punkter i ett plan på samma avstånd från en given punkt F, kallad fokus, och en given linje, som kallas riktlinje.

Kanonisk parabelekvation:

Y 2 \u003d 2px, där p är avståndet från fokus till riktningen (parabelparameter)

Om parabelns vertex är C (α, β), då är ekvationen för parabeln (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Om fokalaxeln tas som y-axeln kommer parabelekvationen att ha formen: x 2 \u003d 2qy

Låt den räta linjen passera genom punkterna M 1 (x 1; y 1) och M 2 (x 2; y 2). Ekvationen för en rät linje som går genom punkten M 1 har formen y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

var k - fortfarande okänd koefficient.

Eftersom den räta linjen passerar genom punkten M 2 (x 2 y 2), måste koordinaterna för denna punkt uppfylla ekvation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).

Härifrån hittar vi Substituting the found value k i ekvation (10.6) får vi ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 och M 2:

Det antas att i denna ekvation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Om x 1 \u003d x 2, är den räta linjen som går genom punkterna M 1 (x 1, y I) och M 2 (x 2, y 2) parallell med y-axeln. Dess ekvation är x = x 1 .

Om y 2 \u003d y I, så kan ekvationen för den räta linjen skrivas som y \u003d y 1, den räta linjen M 1 M 2 är parallell med x-axeln.

Ekvation för en rät linje i segment

Låt den räta linjen skära Ox-axeln i punkten M 1 (a; 0), och Oy-axeln - vid punkten M 2 (0; b). Ekvationen kommer att ha formen:
de där.
. Denna ekvation kallas ekvationen för en rät linje i segment, eftersom siffrorna a och b anger vilka segment den räta linjen skär av på koordinataxlarna.

Ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor

Låt oss hitta ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt Mo (x O; y o) vinkelrät mot en given vektor som inte är noll n = (A; B).

Ta en godtycklig punkt M(x; y) på den räta linjen och betrakta vektorn M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Eftersom vektorerna n och M o M är vinkelräta är deras skalära produkt lika med noll: det vill säga,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ekvation (10.8) kallas ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor .

Vektorn n = (A; B) vinkelrät mot linjen kallas normal normal vektor för denna linje .

Ekvation (10.8) kan skrivas om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

där A och B är koordinaterna för normalvektorn, C \u003d -Ax o - Vu o - fri medlem. Ekvation (10.9) är den allmänna ekvationen för en rät linje(se fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Kanoniska ekvationer för den räta linjen

,

Var
är koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar, och
- riktningsvektor.

Kurvor av andra ordningens cirkel

En cirkel är mängden av alla punkter i ett plan på samma avstånd från en given punkt, som kallas centrum.

Kanonisk ekvation av en cirkel med radie R centrerad på en punkt
:

I synnerhet, om insatsens centrum sammanfaller med ursprunget, kommer ekvationen att se ut så här:

Ellips

En ellips är en uppsättning punkter i ett plan, summan av avstånden från var och en av dem till två givna punkter och , som kallas foci, är ett konstant värde
, större än avståndet mellan brännpunkterna
.

Den kanoniska ekvationen för en ellips vars härdar ligger på Ox-axeln och vars ursprung är i mitten mellan härdarna har formen
G de a längden på den stora halvaxeln; b är längden av den mindre halvaxeln (fig. 2).

De kanoniska ekvationerna för en rät linje i rymden är ekvationer som definierar en rät linje som passerar genom en given punkt kolinjärt till en riktningsvektor.

Låt en punkt och en riktningsvektor ges. En godtycklig punkt ligger på en linje l endast om vektorerna och är kolinjära, dvs de uppfyller villkoret:

.

Ovanstående ekvationer är linjens kanoniska ekvationer.

Tal m , n och sidär projektioner av riktningsvektorn på koordinataxlarna. Eftersom vektorn inte är noll, då alla tal m , n och sid kan inte vara noll samtidigt. Men en eller två av dem kan vara noll. PÅ analytisk geometri Till exempel är följande post tillåten:

,

vilket innebär att projektionerna av vektorn på axlarna Oj och Unsär lika med noll. Därför är både vektorn och den räta linjen som ges av de kanoniska ekvationerna vinkelräta mot axlarna Oj och Uns, dvs flygplan yOz .

Exempel 1 Komponera ekvationer av en rät linje i rymden vinkelrät mot ett plan och passerar genom skärningspunkten för detta plan med axeln Uns .

Lösning. Hitta skärningspunkten för det givna planet med axeln Uns. Eftersom någon punkt på axeln Uns, har koordinater , då, förutsatt i den givna ekvationen för planet x=y= 0, vi får 4 z- 8 = 0 eller z= 2 . Därför skärningspunkten för det givna planet med axeln Uns har koordinater (0; 0; 2) . Eftersom den önskade linjen är vinkelrät mot planet är den parallell med dess normalvektor. Därför kan den normala vektorn fungera som den riktande vektorn för den räta linjen givet plan.

Nu skriver vi de önskade ekvationerna för den räta linjen som går genom punkten A= (0; 0; 2) i vektorns riktning:

Ekvationer för en rät linje som går genom två givna punkter

En rät linje kan definieras av två punkter som ligger på den och I detta fall kan riktningsvektorn för den räta linjen vara vektorn. Sedan tar linjens kanoniska ekvationer formen

.

Ovanstående ekvationer definierar en rät linje som går genom två givna punkter.

Exempel 2 Skriv ekvationen för en rät linje i rymden som går genom punkterna och .

Lösning. Vi skriver de önskade ekvationerna för den räta linjen i formen ovan i den teoretiska referensen:

.

Sedan är den önskade linjen vinkelrät mot axeln Oj .

Rak som en skärningslinje mellan plan

En rät linje i rymden kan definieras som en skärningslinje mellan två icke-parallella plan och, d.v.s. som en uppsättning punkter som uppfyller ett system med två linjära ekvationer

Systemets ekvationer kallas också de allmänna ekvationerna för en rät linje i rymden.

Exempel 3 Komponera kanoniska ekvationer av en rät linje i det utrymme som ges av allmänna ekvationer

Lösning. För att skriva de kanoniska ekvationerna för en rät linje eller, som är densamma, ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter, måste du hitta koordinaterna för två valfria punkter på den räta linjen. De kan till exempel vara skärningspunkterna för en rät linje med två godtyckliga koordinatplan yOz och xOz .

Skärningspunkt för en linje med ett plan yOz har abskiss x= 0 . Därför antar vi i detta ekvationssystem x= 0 , vi får ett system med två variabler:

Hennes beslut y = 2 , z= 6 tillsammans med x= 0 definierar en punkt A(0; 2; 6) av den önskade linjen. Antag då i det givna ekvationssystemet y= 0 , vi får systemet

Hennes beslut x = -2 , z= 0 tillsammans med y= 0 definierar en punkt B(-2; 0; 0) skärning av en linje med ett plan xOz .

Nu skriver vi ekvationerna för en rät linje som går genom punkterna A(0; 2; 6) och B (-2; 0; 0) :

,

eller efter att ha dividerat nämnarna med -2:

,

Ekvation för en rät linje på ett plan.
Riktningsvektorn är rak. Normal vektor

En rak linje på ett plan är en av de enklaste geometriska formerna, bekanta för dig sedan elementära klasser, och idag kommer vi att lära oss hur man hanterar det med metoderna för analytisk geometri. För att behärska materialet är det nödvändigt att kunna bygga en rak linje; veta vilken ekvation som definierar en rät linje, i synnerhet en rät linje som går genom origo och räta linjer parallella med koordinataxlarna. Denna information finns i manualen. Grafer och egenskaper hos elementära funktioner, Jag skapade det för matan, men avsnittet om den linjära funktionen visade sig vara mycket framgångsrikt och detaljerat. Därför, kära tekannor, värm först upp där. Dessutom behöver du ha grundläggande kunskap handla om vektorer annars kommer förståelsen av materialet att vara ofullständig.

I den här lektionen kommer vi att titta på hur du kan skriva ekvationen för en rät linje i ett plan. Jag rekommenderar att du inte försummar praktiska exempel (även om det verkar väldigt enkelt), eftersom jag kommer att förse dem med elementära och viktiga fakta, tekniska metoder som kommer att krävas i framtiden, inklusive i andra avsnitt av högre matematik.

• Hur skriver man ekvationen för en rät linje med en lutning?
• Hur ?
• Hur hittar man riktningsvektorn med den allmänna ekvationen för en rät linje?
• Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor?

och vi börjar:

Linjeekvation med lutning

Den välkända "skolformen" av ekvationen för en rät linje kallas ekvation av en rät linje med en lutning. Till exempel, om en rät linje ges av ekvationen, då dess lutning: . Överväga geometrisk känsla given koefficient och hur dess värde påverkar linjens placering:

I geometrins lopp är det bevisat att lutningen på den räta linjen är tangens av en vinkel mellan positiv axelriktningoch given rad: , och hörnet "skruvas av" moturs.

För att inte stöka till ritningen ritade jag vinklar för endast två raka linjer. Tänk på den "röda" raka linjen och dess lutning. Enligt ovanstående: (vinkel "alfa" indikeras med en grön båge). För den "blå" raka linjen med lutningen är likheten sann (vinkeln "beta" indikeras av den bruna bågen). Och om vinkelns tangent är känd, är det om nödvändigt lätt att hitta och hörnet använder den inversa funktionen - bågtangens. Som de säger, en trigonometrisk tabell eller en miniräknare i handen. På det här sättet, lutningen kännetecknar graden av lutning av den räta linjen mot x-axeln.

I det här fallet är följande fall möjliga:

1) Om lutningen är negativ: , så går linjen, grovt sett, uppifrån och ner. Exempel är "blå" och "crimson" raka linjer i ritningen.

2) Om lutningen är positiv: , går linjen från botten till toppen. Exempel är "svarta" och "röda" raka linjer i ritningen.

3) Om lutningen noll-: , då tar ekvationen formen , och motsvarande räta linje är parallell med axeln . Ett exempel är den "gula" linjen.

4) För en familj av räta linjer parallella med axeln (det finns inget exempel på ritningen, förutom själva axeln), lutningen existerar inte (tangens på 90 grader ej definierad).

Ju större lutning modulo är, desto brantare blir linjediagrammet.

Tänk till exempel på två raka linjer. Här , så den raka linjen har en brantare lutning. Jag påminner om att modulen låter dig ignorera skylten, vi är bara intresserade av absoluta värden vinkelkoefficienter.

I sin tur är en rak linje brantare än raka linjer. .

Vice versa: ju mindre lutning modulo är, den raka linjen är plattare.

För raka linjer ojämlikheten är sann, alltså är den räta linjen mer än en baldakin. Barns rutschkana, för att inte plantera blåmärken och stötar.

Varför behövs detta?

Förläng din plåga Genom att känna till ovanstående fakta kan du omedelbart se dina misstag, särskilt fel när du ritar grafer - om ritningen visade sig "uppenbart att något är fel". Det är önskvärt att du direkt det var tydligt att till exempel en rät linje är väldigt brant och går från botten till toppen, och en rät linje är väldigt platt, nära axeln och går från topp till botten.

I geometriska problem visas ofta flera raka linjer, så det är bekvämt att beteckna dem på något sätt.

Notation: raka linjer indikeras med små med latinska bokstäver: . Ett populärt alternativ är beteckningen av samma bokstav med naturliga prenumerationer. Till exempel kan de fem raderna som vi just har övervägt betecknas med .

Eftersom varje rät linje bestäms unikt av två punkter, kan den betecknas med dessa punkter: etc. Notationen antyder helt uppenbart att punkterna tillhör linjen.

Dags att slappna av lite:

Hur skriver man ekvationen för en rät linje med en lutning?

Om en punkt är känd som tillhör en viss linje, och lutningen på denna linje, uttrycks ekvationen för denna linje med formeln:

Exempel 1

Sammanställ ekvationen för en rät linje med en lutning om det är känt att punkten tillhör denna räta linje.

Lösning: Vi kommer att komponera ekvationen för en rät linje enligt formeln . I detta fall:

Svar:

Undersökning utförs elementärt. Först tittar vi på den resulterande ekvationen och ser till att vår lutning är på sin plats. För det andra måste punktens koordinater uppfylla den givna ekvationen. Låt oss koppla in dem i ekvationen:

Den korrekta likheten erhålls, vilket innebär att punkten uppfyller den resulterande ekvationen.

Slutsats: Ekvationen hittad korrekt.

Ett mer knepigt exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 2

Skriv ekvationen för en rät linje om det är känt att dess lutningsvinkel mot axelns positiva riktning är , och punkten tillhör denna räta linje.

Om du har problem, läs igen teoretiskt material. Mer exakt, mer praktiskt, jag saknar många bevis.

ringde sista chansen, balen har lagt sig, och utanför portarna hemskola vi väntar, faktiskt, analytisk geometri. Skämten är över... Det kanske bara är att börja =)

Nostalgiskt viftar vi med handtaget till den bekanta och bekantar oss med den allmänna ekvationen för en rak linje. Eftersom det i analytisk geometri är just detta som används:

Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen: , var är några siffror. Samtidigt koefficienterna samtidigtär inte lika med noll, eftersom ekvationen förlorar sin betydelse.

Låt oss klä oss i kostym och knyta en ekvation med en lutning. Först flyttar vi alla termer till vänster sida:

Termen med "x" måste sättas på första plats:

I princip har ekvationen redan formen , men enligt reglerna för matematisk etikett måste koefficienten för den första termen (i detta fall ) vara positiv. Ändra tecken:

Kom ihåg det här teknisk funktion! Vi gör den första koefficienten (oftast) positiv!

I analytisk geometri kommer ekvationen för en rät linje nästan alltid att anges allmän form. Tja, om det behövs är det lätt att ta det till en "skola" form med en lutning (med undantag för raka linjer parallella med y-axeln).

Låt oss fråga oss vad tillräckligt vet man att bygga en rak linje? Två poäng. Men om detta barndomsfall senare, nu sticks with arrows rule. Varje rak linje har en väldefinierad lutning, till vilken det är lätt att "anpassa sig" vektor.

En vektor som är parallell med en linje kallas riktningsvektorn för den linjen.. Uppenbarligen har vilken rät linje som helst oändligt många riktningsvektorer, och alla kommer att vara kolinjära (samriktade eller inte - det spelar ingen roll).

Jag kommer att beteckna riktningsvektorn enligt följande: .

Men en vektor räcker inte för att bygga en rät linje, vektorn är fri och är inte fäst vid någon punkt i planet. Därför är det dessutom nödvändigt att känna till någon punkt som hör till linjen.

Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en riktningsvektor?

Om en viss punkt som hör till linjen och riktningsvektorn för denna linje är känd, kan ekvationen för denna linje kompileras med formeln:

Ibland kallas det linjens kanoniska ekvation .

Vad ska man göra när en av koordinaternaär noll kommer vi att titta närmare på praktiska exempel nedan. Förresten, notera - båda på en gång koordinaterna kan inte vara noll, eftersom nollvektorn inte anger en specifik riktning.

Exempel 3

Skriv en ekvation för en rät linje givet en punkt och en riktningsvektor

Lösning: Vi kommer att komponera ekvationen för en rät linje enligt formeln. I detta fall:

Med hjälp av proportionsegenskaper blir vi av med fraktioner:

Och vi tar ekvationen till en generell form:

Svar:

Att rita i sådana exempel är som regel inte nödvändigt, men för förståelsens skull:

På ritningen ser vi startpunkten, den ursprungliga riktningsvektorn (den kan skjutas upp från vilken punkt som helst på planet) och den konstruerade linjen. Förresten, i många fall utförs konstruktionen av en rak linje mest bekvämt med hjälp av lutningsekvationen. Vår ekvation är lätt att konvertera till formen och utan problem plocka upp en punkt till för att bygga en rak linje.

Som nämnts i början av avsnittet har en linje oändligt många riktningsvektorer, och de är alla kolinjära. Till exempel ritade jag tre sådana vektorer: . Vilken riktningsvektor vi än väljer kommer resultatet alltid att vara samma räta linjeekvation.

Låt oss komponera ekvationen för en rät linje med en punkt och en riktningsvektor:

Dela upp andelen:

Dividera båda sidor med -2 ​​och få den välbekanta ekvationen:

De som vill kan på liknande sätt testa vektorer eller någon annan kolinjär vektor.

Låt oss nu lösa det omvända problemet:

Hur hittar man riktningsvektorn med den allmänna ekvationen för en rät linje?

Väldigt enkelt:

Om en rät linje ges av en generell ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem, så är vektorn riktningsvektorn för denna räta linje.

Exempel på att hitta riktningsvektorer för räta linjer:

Uttalandet tillåter oss att bara hitta en riktningsvektor från en oändlig mängd, men vi behöver inte mer. Även om det i vissa fall är tillrådligt att minska koordinaterna för riktningsvektorerna:

Så, ekvationen specificerar en rät linje som är parallell med axeln och koordinaterna för den resulterande styrvektorn delas bekvämt med -2, vilket får exakt basvektorn som styrvektorn. Logiskt.

På liknande sätt definierar ekvationen en rät linje parallell med axeln, och om vi dividerar vektorns koordinater med 5 får vi orten som riktningsvektor.

Låt oss nu köra kolla exempel 3. Exemplet gick upp, så jag påminner dig om att vi i det skapade ekvationen för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor

för det första, enligt ekvationen för en rät linje, återställer vi dess riktningsvektor: - allt är bra, vi fick den ursprungliga vektorn (i vissa fall kan den visa sig vara kolinjär med den ursprungliga vektorn, och detta är vanligtvis lätt att se av proportionaliteten hos motsvarande koordinater).

För det andra, måste punktens koordinater uppfylla ekvationen . Vi sätter in dem i ekvationen:

Rätt jämställdhet har erhållits, vilket vi är mycket nöjda med.

Slutsats: Jobbet utfört korrekt.

Exempel 4

Skriv en ekvation för en rät linje givet en punkt och en riktningsvektor

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Lösning och svar i slutet av lektionen. Det är mycket önskvärt att göra en kontroll enligt den algoritm som just betraktas. Försök att alltid (om möjligt) kontrollera ett utkast. Det är dumt att göra misstag där de till 100% kan undvikas.

I händelse av att en av koordinaterna för riktningsvektorn är noll, är det mycket enkelt att göra:

Exempel 5

Lösning: Formeln är ogiltig eftersom nämnaren på höger sida är noll. Det finns en utgång! Med hjälp av proportionsegenskaperna skriver vi om formeln i formen , och resten rullade längs ett djupt hjulspår:

Svar:

Undersökning:

1) Återställ riktningsvektorn för den räta linjen:
– den resulterande vektorn är kolinjär med den ursprungliga riktningsvektorn.

2) Ersätt koordinaterna för punkten i ekvationen:

Rätt jämställdhet erhålls

Slutsats: jobbet slutfört på rätt sätt

Frågan uppstår, varför bry sig om formeln om det finns en universell version som ändå fungerar? Det finns två skäl. Först bråkformeln mycket bättre att komma ihåg. Och för det andra, nackdelen med den universella formeln är att markant ökad risk för förvirring när du byter koordinater.

Exempel 6

Komponera ekvationen för en rät linje givet en punkt och en riktningsvektor.

Detta är ett gör-det-själv-exempel.

Låt oss återgå till de två allestädes närvarande punkterna:

Hur skriver man ekvationen för en rät linje med två punkter?

Om två punkter är kända kan ekvationen för en rät linje som går genom dessa punkter kompileras med formeln:

I själva verket är detta en slags formel, och här är varför: om två punkter är kända, kommer vektorn att vara riktningsvektorn för denna linje. På lektionen Vektorer för dummies vi övervägde det enklaste problemet - hur man hittar koordinaterna för en vektor från två punkter. Enligt detta problem är koordinaterna för riktningsvektorn:

Notera : poäng kan "bytas" och använda formeln . Ett sådant beslut skulle vara lika.

Exempel 7

Skriv ekvationen för en rät linje från två punkter .

Lösning: Använd formeln:

Vi kammar nämnare:

Och blanda däcket:

Nu är det dags att bli av med bråktal. I det här fallet måste du multiplicera båda delarna med 6:

Öppna parenteserna och kom ihåg ekvationen:

Svar:

Undersökningär uppenbart - koordinaterna för de initiala punkterna måste uppfylla den resulterande ekvationen:

1) Byt ut punktens koordinater:

Sann jämlikhet.

2) Byt ut punktens koordinater:

Sann jämlikhet.

Slutsats: ekvationen för den räta linjen är korrekt.

Om en åtminstone ett poäng uppfyller inte ekvationen, leta efter ett fel.

Det är värt att notera att den grafiska verifieringen i det här fallet är svår, för att bygga en linje och se om punkterna tillhör den , inte så enkelt.

Jag kommer att notera ett par tekniska punkter i lösningen. Kanske är det i detta problem mer fördelaktigt att använda spegelformeln och för samma poäng gör en ekvation:

Det finns färre fraktioner. Om du vill kan du slutföra lösningen till slutet, resultatet ska bli samma ekvation.

Den andra punkten är att titta på det slutliga svaret och se om det kan förenklas ytterligare? Till exempel, om en ekvation erhålls, är det lämpligt att reducera den med två: - ekvationen kommer att sätta samma räta linje. Detta är dock redan ett samtalsämne om ömsesidigt arrangemang av raka linjer.

Efter att ha fått svar i exempel 7, för säkerhets skull, kontrollerade jag om ALLA koefficienter i ekvationen är delbara med 2, 3 eller 7. Även om sådana reduktioner oftast görs under lösningen.

Exempel 8

Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna .

Detta är ett exempel på en oberoende lösning, som bara gör att du bättre kan förstå och utarbeta beräkningstekniken.

I likhet med föregående stycke: om i formeln en av nämnarna (riktningsvektorkoordinaten) försvinner, sedan skriver vi om den som . Och återigen, lägg märke till hur besvärlig och förvirrad hon började se ut. Jag ser inte så mycket mening med att ge praktiska exempel, eftersom vi redan faktiskt har löst ett sådant problem (se nr 5, 6).

Rak linje normalvektor (normalvektor)

Vad är normalt? Med enkla ord, normalen är vinkelrät. Det vill säga, normalvektorn för en linje är vinkelrät mot den givna linjen. Det är uppenbart att varje rät linje har ett oändligt antal av dem (liksom riktande vektorer), och alla normala vektorer för den räta linjen kommer att vara kolinjära (samriktningsvis eller inte - det spelar ingen roll).

Att hantera dem kommer att vara ännu lättare än med riktningsvektorer:

Om en rät linje ges av en allmän ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem, så är vektorn normalvektorn för denna räta linje.

Om koordinaterna för riktningsvektorn försiktigt måste "dras ut" ur ekvationen, kan koordinaterna för normalvektorn helt enkelt "ta bort".

Normalvektorn är alltid ortogonal mot linjens riktningsvektor. Vi kommer att verifiera ortogonaliteten hos dessa vektorer med hjälp av punkt produkt:

Jag kommer att ge exempel med samma ekvationer som för riktningsvektorn:

Är det möjligt att skriva en ekvation för en rät linje, med en punkt och en normalvektor? Det känns som att det är möjligt. Om normalvektorn är känd, bestäms också riktningen för den rakaste linjen unikt - det här är en "styv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor?

Om någon punkt som hör till linjen och normalvektorn för denna linje är känd, uttrycks ekvationen för denna linje med formeln:

Här gick allt utan bråk och andra överraskningar. Sådan är vår normala vektor. Älskar det. Och respekt =)

Exempel 9

Komponera ekvationen för en rät linje givet en punkt och en normalvektor. Hitta riktningsvektorn för den räta linjen.

Lösning: Använd formeln:

Den allmänna ekvationen för den räta linjen erhålls, låt oss kontrollera:

1) "Ta bort" koordinaterna för normalvektorn från ekvationen: - ja, faktiskt, den ursprungliga vektorn erhålls från villkoret (eller vektorn bör vara kolinjär med den ursprungliga vektorn).

2) Kontrollera om punkten uppfyller ekvationen:

Sann jämlikhet.

Efter att vi är övertygade om att ekvationen är korrekt kommer vi att slutföra den andra, enklare delen av uppgiften. Vi drar ut riktningsvektorn för den räta linjen:

Svar:

På ritningen är situationen följande:

För utbildningsändamål, en liknande uppgift för en oberoende lösning:

Exempel 10

Komponera ekvationen för en rät linje givet en punkt och en normalvektor. Hitta riktningsvektorn för den räta linjen.

Det sista avsnittet av lektionen kommer att ägnas åt mindre vanliga men också viktiga typer av ekvationer för en rät linje i ett plan

Ekvation för en rät linje i segment.
Ekvation för en rät linje i parametrisk form

Ekvationen för en rät linje i segment har formen , där är konstanter som inte är noll. Vissa typer av ekvationer kan inte representeras i denna form, till exempel direkt proportionalitet (eftersom den fria termen är noll och det inte finns något sätt att få en på höger sida).

Detta är bildligt talat en "teknisk" typ av ekvation. Den vanliga uppgiften är att representera den allmänna ekvationen för en rät linje som en ekvation för en rät linje i segment. Varför är det bekvämt? Ekvationen för en rät linje i segment gör att du snabbt kan hitta skärningspunkterna för en rät linje med koordinataxlar, vilket är mycket viktigt i vissa problem med högre matematik.

Hitta skärningspunkten för linjen med axeln. Vi återställer "y", och ekvationen tar formen . Önskad punkt erhålls automatiskt: .

Samma sak med axel är punkten där linjen skär y-axeln.