Greatest Common Divisor (GCD): definition, exempel och egenskaper. Att hitta GCD med hjälp av Euklid-algoritmen och använda primtalsfaktorisering

Största gemensamma delare

Definition 2

Om ett naturligt tal a är delbart med ett naturligt tal $b$, kallas $b$ en divisor av $a$, och talet $a$ kallas en multipel av $b$.

Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal. Talet $c$ kallas en gemensam divisor för både $a$ och $b$.

Mängden gemensamma divisorer för talen $a$ och $b$ är ändlig, eftersom ingen av dessa divisorer kan vara större än $a$. Det betyder att bland dessa divisorer finns den största, som kallas den största gemensamma divisorn av talen $a$ och $b$, och notationen används för att beteckna den:

$gcd \ (a;b) \ ​​eller \ D \ (a;b)$

För att hitta den största gemensamma delaren av två tal:

1. Hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade största gemensamma divisorn.

Exempel 1

Hitta gcd för siffrorna $121$ och $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Välj de siffror som ingår i expansionen av dessa siffror

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade största gemensamma divisorn.

$gcd=2\cdot 11=22$

Exempel 2

Hitta GCD för monomer $63$ och $81$.

Vi kommer att hitta enligt den presenterade algoritmen. För detta:

Låt oss dekomponera tal i primtalsfaktorer

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vi väljer ut de siffror som ingår i expansionen av dessa siffror

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Låt oss hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade största gemensamma divisorn.

$gcd=3\cdot 3=9$

Du kan hitta GCD för två tal på ett annat sätt, genom att använda uppsättningen av delare av tal.

Exempel 3

Hitta gcd för siffrorna $48$ och $60$.

Beslut:

Hitta uppsättningen delare av $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Låt oss nu hitta uppsättningen av delare för $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Låt oss hitta skärningspunkten mellan dessa uppsättningar: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - denna uppsättning kommer att bestämma uppsättningen gemensamma divisorer för talen $48$ och $60 $. Det största elementet i denna uppsättning kommer att vara siffran $12$. Så den största gemensamma delaren för $48$ och $60$ är $12$.

Definition av NOC

Definition 3

gemensam multipel av naturliga tal$a$ och $b$ är ett naturligt tal som är en multipel av både $a$ och $b$.

Gemensamma multiplar av tal är tal som är delbara med originalet utan rest. Till exempel för talen $25$ och $50$ blir de gemensamma multiplerna talen $50,100,150,200$, etc.

Den minsta gemensamma multipeln kommer att kallas den minsta gemensamma multipeln och betecknas med LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$

För att hitta LCM för två siffror behöver du:

1. Dela upp tal i primtalsfaktorer
2. Skriv ut faktorerna som är en del av det första talet och lägg till dem de faktorer som ingår i det andra och inte går till det första

Exempel 4

Hitta LCM för talen $99$ och $77$.

Vi kommer att hitta enligt den presenterade algoritmen. För detta

Dela upp tal i primtalsfaktorer

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Skriv ner de faktorer som ingår i den första

lägg till dem faktorer som är en del av den andra och inte går till den första

Hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade minsta gemensamma multipeln

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Att sammanställa listor över taldelare är ofta mycket tidskrävande. Det finns ett sätt att hitta GCD som kallas Euklids algoritm.

Påståenden som Euklids algoritm är baserad på:

Om $a$ och $b$ är naturliga tal, och $a\vdots b$, då $D(a;b)=b$

Om $a$ och $b$ är naturliga tal så att $b

Med hjälp av $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi successivt minska siffrorna i fråga tills vi når ett par tal så att ett av dem är delbart med det andra. Då blir det minsta av dessa tal den önskade största gemensamma divisorn för talen $a$ och $b$.

Egenskaper för GCD och LCM

1. Varje gemensam multipel av $a$ och $b$ är delbar med K$(a;b)$
2. Om $a\vdots b$, då K$(a;b)=a$

Om K$(a;b)=k$ och $m$-naturligt tal, då K$(am;bm)=km$

Om $d$ är en gemensam divisor för $a$ och $b$, då K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Om $a\vdots c$ och $b\vdots c$ är $\frac(ab)(c)$ en gemensam multipel av $a$ och $b$

För alla naturliga tal $a$ och $b$ är likheten

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Varje gemensam divisor av $a$ och $b$ är en divisor av $D(a;b)$

Men många naturliga tal är jämnt delbara med andra naturliga tal.

till exempel:

Talet 12 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Talet 36 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal som talet är delbart med (för 12 är det 1, 2, 3, 4, 6 och 12) kallas taldelare. Divider för ett naturligt tal aär det naturliga talet som delar det givna talet a spårlöst. Ett naturligt tal som har fler än två faktorer kallas sammansatt. Observera att siffrorna 12 och 36 har gemensamma delare. Dessa är talen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den största delaren av dessa tal är 12.

Gemensam delare av två givna tal a och bär det tal som båda givna talen är delbara med utan rest a och b. Gemensam delare av flera tal (GCD)är talet som fungerar som en divisor för var och en av dem.

Kortfattat den största gemensamma delaren av tal a och b skrivs så här:

Exempel: gcd (12; 36) = 12.

Delarna av tal i notationen av lösningen betecknar stor bokstav"D".

Exempel:

gcd (7; 9) = 1

Siffrorna 7 och 9 har bara en gemensam divisor - talet 1. Sådana nummer kallas coprimechi slam.

Samprimtalär naturliga tal som bara har en gemensam delare - talet 1. Deras gcd är 1.

Greatest Common Divisor (GCD), egenskaper.

• Huvudegenskap: största gemensamma delare m och när delbart med vilken gemensam divisor som helst för dessa tal. Exempel: för nummer 12 och 18 är den största gemensamma divisorn 6; den är delbar med alla vanliga delare av dessa tal: 1, 2, 3, 6.
• Resultat 1: uppsättning gemensamma delare m och n sammanfaller med uppsättningen av divisorer gcd( m, n).
• Resultat 2: uppsättning gemensamma multipler m och n sammanfaller med uppsättningen av flera LCM ( m, n).

Detta betyder i synnerhet att för att reducera ett bråk till en irreducerbar form, är det nödvändigt att dividera dess täljare och nämnare med deras gcd.

• Största gemensamma delare av tal m och n kan definieras som det minsta positiva elementet i mängden av alla deras linjära kombinationer:

och representerar därför som en linjär kombination av tal m och n:

Detta förhållande kallas Bezouts förhållande och koefficienterna u och v — bezout koefficienter. Bézout-koefficienter beräknas effektivt av den utökade Euklidiska algoritmen. Detta uttalande är generaliserat till mängder av naturliga tal - dess betydelse är att undergruppen av gruppen som genereras av mängden är cyklisk och genereras av ett element: gcd ( a 1 , a 2 , … , en).

Beräkning av den största gemensamma divisorn (gcd).

Effektiva sätt att beräkna gcd för två tal är Euklids algoritm och binäralgoritm. Dessutom är GCD-värdet ( m,n) kan lätt beräknas om den kanoniska expansionen av tal är känd m och n för primära faktorer:

där är distinkta primtal och och är icke-negativa heltal (de kan vara noll om motsvarande primtal inte är i nedbrytningen). Sedan gcd ( m,n) och LCM ( m,n) uttrycks med formlerna:

Om det finns fler än två nummer: , hittas deras GCD enligt följande algoritm:

- detta är den önskade GCD.

Också för att hitta största gemensamma delaren, kan du dekomponera vart och ett av de givna talen i primtalsfaktorer. Skriv sedan ut separat endast de faktorer som ingår i alla givna siffror. Sedan multiplicerar vi talen som skrivs ut sinsemellan - resultatet av multiplikationen är den största gemensamma divisorn .

Låt oss analysera beräkningen av den största gemensamma divisorn steg för steg:

1. Dela upp talens dividerare i primtalsfaktorer:

Beräkningar skrivs bekvämt med en vertikal stapel. Till vänster om raden, skriv först ner utdelningen, till höger - divisorn. Längre i den vänstra kolumnen skriver vi ner värdena för privat. Låt oss genast förklara med ett exempel. Låt oss faktorisera talen 28 och 64 till primtalsfaktorer.

2. Vi understryker samma primtalsfaktorer i båda talen:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Vi hittar produkten av identiska primtalsfaktorer och skriver ner svaret:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Svar: GCD (28; 64) = 4

Du kan ordna platsen för GCD på två sätt: i en kolumn (som gjordes ovan) eller "i en rad".

Det första sättet att skriva GCD:

Hitta GCD 48 och 36.

GCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

Det andra sättet att skriva GCD:

Låt oss nu skriva GCD-söklösningen på en rad. Hitta GCD 10 och 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Den här artikeln handlar om hitta den största gemensamma delaren (gcd) två och Mer tal. Tänk först på Euklids algoritm, den låter dig hitta GCD för två tal. Efter det kommer vi att uppehålla oss vid en metod som gör att vi kan beräkna GCD för tal som en produkt av deras vanliga primtalsfaktorer. Därefter kommer vi att ta itu med att hitta den största gemensamma delaren av tre eller fler tal, och även ge exempel på beräkning av GCD för negativa tal.

Sidnavigering.

Euklids algoritm för att hitta GCD

Observera att om vi hade vänt oss till primtalstabellen från allra första början, skulle vi ha fått reda på att talen 661 och 113 är primtal, varifrån vi omedelbart kunde säga att deras största gemensamma delare är 1.

Svar:

gcd(661, 113)=1 .

Hitta GCD genom att faktorisera tal till primtalsfaktorer

Överväg ett annat sätt att hitta GCD. Den största gemensamma delaren kan hittas genom att faktorisera tal i primtalsfaktorer. Låt oss formulera regeln: gcd för två positiva heltal a och b är lika med produkten av alla vanliga primtalsfaktorer i primtalsfaktoriseringarna av a och b.

Låt oss ge ett exempel för att förklara regeln för att hitta GCD. Låt oss veta expansionerna av talen 220 och 600 till primtalsfaktorer, de har formen 220=2 2 5 11 och 600=2 2 2 3 5 5 . Vanliga primtalsfaktorer involverade i expansionen av talen 220 och 600 är 2, 2 och 5. Därför gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Således, om vi bryter ner talen a och b i primtalsfaktorer och hittar produkten av alla deras gemensamma faktorer, kommer detta att hitta den största gemensamma delaren av talen a och b.

Betrakta ett exempel på att hitta GCD enligt den aviserade regeln.

Exempel.

Hitta den största gemensamma delaren för 72 och 96.

Beslut.

Låt oss faktorisera talen 72 och 96:

Det vill säga 72=2 2 2 3 3 och 96=2 2 2 2 2 3 . Vanliga primtalsfaktorer är 2, 2, 2 och 3. Så gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Svar:

gcd(72, 96)=24 .

Som avslutning av detta avsnitt noterar vi att giltigheten av ovanstående regel för att hitta gcd följer av egenskapen för den största gemensamma divisorn, som säger att GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), där m är ett positivt heltal.

Hitta GCD med tre eller fler nummer

Att hitta den största gemensamma delaren för tre eller fler tal kan reduceras till att successivt hitta gcd för två tal. Vi nämnde detta när vi studerade egenskaperna hos GCD. Där formulerade och bevisade vi satsen: den största gemensamma delaren av flera tal a 1 , a 2 , …, a k är lika med antalet d k , som återfinns i sekventiell beräkning 1 , a k)=d k .

Låt oss se hur processen att hitta GCD för flera siffror ser ut genom att överväga lösningen i exemplet.

Exempel.

Hitta den största gemensamma delaren av de fyra talen 78 , 294 , 570 och 36 .

Beslut.

I detta exempel a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Först, med hjälp av Euklids algoritm, bestämmer vi den största gemensamma divisorn d 2 av de två första talen 78 och 294 . Vid division får vi likheterna 294=78 3+60 ; 78=601+18; 60=18 3+6 och 18=6 3 . Således är d2=GCD(78, 294)=6.

Låt oss nu räkna d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Återigen tillämpar vi Euklids algoritm: 570=6·95 , därför d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Det återstår att räkna ut d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Eftersom 36 är delbart med 6, då d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Den största gemensamma delaren av de fyra givna talen är alltså d 4 =6 , det vill säga gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Svar:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Genom att dekomponera tal i primtal kan du också beräkna GCD för tre eller fler tal. I detta fall hittas den största gemensamma divisorn som produkten av alla vanliga primtalsfaktorer för de givna talen.

Exempel.

Beräkna GCD för talen från föregående exempel med hjälp av deras primtalsfaktoriseringar.

Beslut.

Vi delar upp talen 78 , 294 , 570 och 36 till primtalsfaktorer, vi får 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . De vanliga primtalsfaktorerna för alla givna fyra tal är talen 2 och 3. Därav, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Låt oss lösa problemet. Vi har två typer av kakor. Vissa är choklad och vissa är vanligt. Det finns 48 chokladbitar och enkla 36. Det är nödvändigt att göra så många gåvor som möjligt från dessa kakor, och alla måste användas.

Låt oss först skriva ner alla divisorer för vart och ett av dessa två tal, eftersom båda dessa tal måste vara delbara med antalet gåvor.

Vi får

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Låt oss bland divisorerna hitta de gemensamma som både det första och det andra talet har.

Vanliga delare kommer att vara: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Den största gemensamma divisorn av alla är 12. Detta tal kallas den största gemensamma divisorn av 36 och 48.

Baserat på resultatet kan vi dra slutsatsen att 12 presenter kan göras av alla kakor. En sådan gåva kommer att innehålla 4 chokladkakor och 3 vanliga kakor.

Att hitta den största gemensamma delaren

• Det största naturliga talet med vilket två tal a och b är delbara utan rest kallas den största gemensamma delaren av dessa tal.

Ibland används förkortningen GCD för att förkorta posten.

Vissa talpar har en som sin största gemensamma delare. Sådana nummer kallas coprimtal. Till exempel nummer 24 och 35. Har GCD =1.

Hur man hittar den största gemensamma delaren

För att hitta den största gemensamma divisorn är det inte nödvändigt att skriva ut alla divisorer för dessa tal.

Du kan göra annat. Faktorera först båda talen till primtalsfaktorer.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nu, från de faktorer som ingår i expansionen av det första numret, tar vi bort alla de som inte ingår i expansionen av det andra numret. I vårt fall är det två tvåor.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Faktorerna 2, 2 och 3 kommer att finnas kvar. Deras produkt är 12. Detta tal kommer att vara den största gemensamma delaren av talen 48 och 36.

Denna regel kan utvidgas till att gälla tre, fyra, och så vidare. tal.

Allmänt schema för att hitta den största gemensamma delaren

• 1. Bryt upp tal i primtalsfaktorer.
• 2. Från de faktorer som ingår i expansionen av ett av dessa nummer, stryk över de som inte ingår i expansionen av andra nummer.
• 3. Beräkna produkten av de återstående faktorerna.