Այս հոդվածը շարունակում է հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարման թեման. հաշվի առեք այս տիպի հավասարումը, ինչպես. ընդհանուր հավասարումըուղիղ. Սահմանենք թեորեմ և բերենք դրա ապացույցը. Եկեք պարզենք, թե որն է ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարումը և ինչպես կատարել անցումներ ընդհանուր հավասարումից ուղիղ գծի այլ տեսակի հավասարումների: Ամբողջ տեսությունը կհամախմբենք նկարազարդումներով և գործնական խնդիրներ լուծելով։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Թող հարթության վրա տրվի O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

Թեորեմ 1

Առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում, որն ունի A x + B y + C \u003d 0 ձևը, որտեղ A, B, C որոշ իրական թվեր են (A և B միաժամանակ հավասար չեն զրոյի), սահմանում է ուղիղ գիծ: ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Իր հերթին, հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ցանկացած գիծ որոշվում է հավասարմամբ, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև A, B, C արժեքների որոշակի հավաքածուի համար:

Ապացույց

Այս թեորեմը բաղկացած է երկու կետից, մենք կապացուցենք դրանցից յուրաքանչյուրը։

1. Ապացուցենք, որ A x + B y + C = 0 հավասարումը հարթության վրա սահմանում է ուղիղ:

Թող լինի M 0 (x 0, y 0) կետ, որի կոորդինատները համապատասխանում են A x + B y + C = 0 հավասարմանը: Այսպիսով՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: A x + B y + C \u003d 0 հավասարումների ձախ և աջ կողմերից հանել A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 հավասարման ձախ և աջ կողմերը, մենք ստանում ենք նոր հավասարում, որը նման է A-ին: (x - x 0) + B (y - y 0) = 0: Այն համարժեք է A x + B y + C = 0-ին:

Ստացված A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը անհրաժեշտ և բավարար պայման է n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x) վեկտորների ուղղահայացության համար: 0, y - y 0 ) . Այսպիսով, M (x, y) կետերի բազմությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որը ուղղահայաց է վեկտորի ուղղությանը n → = (A, B) . Կարելի է ենթադրել, որ դա այդպես չէ, բայց այդ դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց չեն լինի, իսկ A հավասարությունը (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ճիշտ չի լինի:

Հետևաբար, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 հավասարումը որոշ գիծ է սահմանում ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա, և, հետևաբար, համարժեք A x + B y + C \u003d 0 հավասարումը սահմանում է. նույն գիծը. Այսպիսով մենք ապացուցեցինք թեորեմի առաջին մասը։

1. Ապացուցենք, որ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ կարող է տրվել A x + B y + C = 0 առաջին աստիճանի հավասարմամբ:

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծ դնենք a; կետ M 0 (x 0 , y 0), որով անցնում է այս ուղիղը, ինչպես նաև այս ուղղի նորմալ վեկտորը n → = (A , B) .

Թող գոյություն ունենա նաև M (x, y) կետ՝ ուղիղի լողացող կետ: Այս դեպքում n → = (A , B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց, և դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Վերաշարադրենք A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 հավասարումը, սահմանենք C: C = - A x 0 - B y 0 և վերջապես ստանանք A x + B y + C = 0 հավասարումը:

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք թեորեմի երկրորդ մասը, և մենք ապացուցել ենք ամբողջ թեորեմն ամբողջությամբ։

Սահմանում 1

Հավասարում, որը նման է A x + B y + C = 0 - Սա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող հարթության վրաO x y.

Ապացուցված թեորեմի հիման վրա կարող ենք եզրակացնել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված ուղիղ գիծը և դրա ընդհանուր հավասարումը անքակտելիորեն կապված են: Այլ կերպ ասած, սկզբնական տողը համապատասխանում է իր ընդհանուր հավասարմանը. ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը համապատասխանում է տրված ուղիղ գծին:

Թեորեմի ապացույցից հետևում է նաև, որ x և y փոփոխականների A և B գործակիցները ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, որը տրված է A x + B y + ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ. C = 0:

Դիտարկենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կոնկրետ օրինակ:

Թող տրվի 2 x + 3 y - 2 = 0 հավասարումը, որը համապատասխանում է տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի: Այս տողի նորմալ վեկտորը վեկտորն է n → = (2, 3): Գծագրում գծե՛ք տրված ուղիղ գիծ:

Կարելի է նաև վիճարկել հետևյալը. ուղիղ գիծը, որը մենք տեսնում ենք գծագրում, որոշվում է 2 x + 3 y - 2 = 0 ընդհանուր հավասարմամբ, քանի որ տվյալ ուղիղ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները համապատասխանում են այս հավասարմանը:

Մենք կարող ենք ստանալ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 հավասարումը ընդհանուր ուղիղ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով ոչ զրոյական λ թվով: Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուր հավասարմանը, հետևաբար, այն կնկարագրի նույն գիծը հարթության մեջ:

Սահմանում 2

Ուղիղ գծի ամբողջական ընդհանուր հավասարումը- A x + B y + C \u003d 0 տողի նման ընդհանուր հավասարումը, որում A, B, C թվերը զրոյական չեն: Հակառակ դեպքում, հավասարումը հետևյալն է թերի.

Եկեք վերլուծենք ուղիղ գծի անավարտ ընդհանուր հավասարման բոլոր տատանումները:

1. Երբ A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է B y + C \u003d 0: Նման թերի ընդհանուր հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, որը զուգահեռ է O x առանցքին, քանի որ x-ի ցանկացած իրական արժեքի համար y փոփոխականը կընդունի արժեքը: - C B. Այլ կերպ ասած, A x + B y + C \u003d 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը, երբ A \u003d 0, B ≠ 0, սահմանում է այն կետերի տեղը (x, y), որոնց կոորդինատները հավասար են նույն թվին. - C B.
2. Եթե ​​A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է y \u003d 0: Նման թերի հավասարումը սահմանում է x առանցքը O x:
3. Երբ A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, մենք ստանում ենք թերի ընդհանուր հավասարում A x + C \u003d 0՝ սահմանելով y առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ:
4. Թող A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, ապա թերի ընդհանուր հավասարումը կունենա x \u003d 0 ձև, և սա O y կոորդինատային գծի հավասարումն է:
5. Վերջապես, երբ A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, թերի ընդհանուր հավասարումը ստանում է A x + B y \u003d 0 ձևը: Եվ այս հավասարումը նկարագրում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է սկզբնակետով: Իրոք, թվերի զույգը (0, 0) համապատասխանում է A x + B y = 0 հավասարությանը, քանի որ A · 0 + B · 0 = 0:

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարման բոլոր վերը նշված տեսակները:

Օրինակ 1

Հայտնի է, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է y առանցքին և անցնում է 2 7 , - 11 կետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Որոշում

Y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ տրվում է A x + C \u003d 0 ձևի հավասարմամբ, որում A ≠ 0: Պայմանում նշվում են նաև այն կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարման պայմաններին, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է.

A 2 7 + C = 0

Դրանից կարելի է որոշել C-ն՝ A-ին տալով ոչ զրոյական արժեք, օրինակ՝ A = 7: Այս դեպքում մենք ստանում ենք՝ 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2: Մենք գիտենք A և C երկու գործակիցները, դրանք փոխարինում ենք A x + C = 0 հավասարման մեջ և ստանում ենք գծի պահանջվող հավասարումը. 7 x - 2 = 0:

Պատասխան. 7 x - 2 = 0

Օրինակ 2

Գծանկարը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, ​​անհրաժեշտ է գրել դրա հավասարումը։

Որոշում

Տրված գծագիրը թույլ է տալիս հեշտությամբ վերցնել նախնական տվյալները խնդրի լուծման համար։ Գծագրում տեսնում ենք, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է O x առանցքին և անցնում է (0, 3) կետով։

Ուղիղ գիծը, որը զուգահեռ է աբսցիսային, որոշվում է B y + С = 0 թերի ընդհանուր հավասարմամբ։ Գտեք B և C արժեքները: (0, 3) կետի կոորդինատները, քանի որ տրված ուղիղն անցնում է դրանով, կբավարարեն B y + С = 0 ուղիղ գծի հավասարումը, ապա հավասարությունը վավեր է՝ В · 3 + С = 0։ Եկեք B սահմանենք զրոյից տարբեր արժեք: Եկեք ասենք B \u003d 1, այս դեպքում, B · 3 + C \u003d 0 հավասարությունից կարող ենք գտնել C: C \u003d - 3: Մենք օգտագործում ենք հայտնի արժեքներ B և C, մենք ստանում ենք գծի պահանջվող հավասարումը ՝ y - 3 = 0:

Պատասխան. y - 3 = 0:

Հարթության տվյալ կետով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը

Թող տրված ուղիղն անցնի M 0 կետով (x 0, y 0), ապա նրա կոորդինատները համապատասխանում են ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: Ընդհանուրի ձախ և աջ կողմերից հանեք այս հավասարման ձախ և աջ կողմերը ամբողջական հավասարումուղիղ. Ստանում ենք՝ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուրին, անցնում է M 0 կետով (x 0, y 0) և ունի նորմալ վեկտոր n → \u003d (A, B) .

Մեր ստացած արդյունքը հնարավորություն է տալիս գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատների և այս ուղիղ գծի որոշակի կետի կոորդինատների համար:

Օրինակ 3

Տրվում է M 0 (- 3, 4) կետ, որով անցնում է ուղիղը, և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը. n → = (1 , - 2) . Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Որոշում

Սկզբնական պայմանները թույլ են տալիս մեզ ստանալ անհրաժեշտ տվյալներ հավասարումը կազմելու համար՝ A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4: Ապա.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Խնդիրն այլ կերպ կարող էր լուծվել. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի A x + B y + C = 0 ձև: Տրված նորմալ վեկտորը թույլ է տալիս ստանալ A և B գործակիցների արժեքները, այնուհետև.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Այժմ գտե՛ք C-ի արժեքը՝ օգտագործելով պայմանով տրվածխնդրի կետ M 0 (- 3 , 4), որով անցնում է ուղիղը: Այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են x - 2 · y + C = 0 հավասարմանը, այսինքն. - 3 - 2 4 + C \u003d 0: Այսպիսով, C = 11: Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը ստանում է ձև՝ x - 2 · y + 11 = 0:

Պատասխան. x - 2 y + 11 = 0:

Օրինակ 4

Տրվում է 2 3 x - y - 1 2 = 0 տող և այս ուղղի վրա ընկած M 0 կետ: Հայտնի է միայն այս կետի աբսցիսան, և այն հավասար է - 3-ի։ Անհրաժեշտ է որոշել տվյալ կետի օրդինատը.

Որոշում

M 0 կետի կոորդինատների նշանակումը դնենք x 0 և y 0: Նախնական տվյալները ցույց են տալիս, որ x 0 \u003d - 3: Քանի որ կետը պատկանում է տվյալ ուղիղին, ուրեմն դրա կոորդինատները համապատասխանում են այս ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը։ Այդ դեպքում ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Սահմանեք y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Պատասխան. - 5 2

Անցում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից ուղիղ գծի այլ տիպի հավասարումների և հակառակը

Ինչպես գիտենք, հարթության մեջ միևնույն ուղիղ գծի հավասարման մի քանի տեսակներ կան։ Հավասարման տեսակի ընտրությունը կախված է խնդրի պայմաններից. հնարավոր է ընտրել այն, որն ավելի հարմար է դրա լուծման համար։ Այստեղ է, որ շատ օգտակար է մի տեսակի հավասարումը մեկ այլ տեսակի հավասարման փոխակերպելու հմտությունը:

Նախ դիտարկենք A x + B y + C = 0 ձևի ընդհանուր հավասարումից անցումը x - x 1 a x = y - y 1 a y կանոնական հավասարմանը:

Եթե ​​A ≠ 0, ապա B y տերմինը տեղափոխում ենք ընդհանուր հավասարման աջ կողմ: Ձախ կողմում փակագծերից հանում ենք A-ն։ Արդյունքում ստանում ենք՝ A x + C A = - B y :

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես համամասնություն՝ x + C A - B = y A :

Եթե ​​B ≠ 0, ապա ընդհանուր հավասարման ձախ կողմում թողնում ենք միայն A x տերմինը, մյուսները տեղափոխում ենք աջ կողմ, ստանում ենք՝ A x \u003d - B y - C: Փակագծերից հանում ենք - B, այնուհետև՝ A x \u003d - B y + C B:

Հավասարությունը վերագրենք որպես համամասնություն՝ x - B = y + C B A :

Իհարկե, կարիք չկա անգիր անել ստացված բանաձեւերը։ Բավական է իմանալ գործողությունների ալգորիթմը ընդհանուր հավասարումից կանոնականին անցնելու ժամանակ։

Օրինակ 5

Տրված է 3 y - 4 = 0 տողի ընդհանուր հավասարումը։ Այն պետք է վերածվի կանոնական հավասարման:

Որոշում

Մենք գրում ենք սկզբնական հավասարումը որպես 3 y - 4 = 0: Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. 0 x տերմինը մնում է ձախ կողմում; իսկ աջ կողմում հանում ենք՝ փակագծերից 3 հատ; մենք ստանում ենք՝ 0 x = - 3 y - 4 3:

Ստացված հավասարությունը գրենք համամասնությամբ՝ x - 3 = y - 4 3 0 : Այսպիսով, մենք ստացել ենք կանոնական ձևի հավասարում:

Պատասխան՝ x - 3 = y - 4 3 0.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրայինի վերածելու համար նախ անցնում ենք կանոնական ձև, ապա անցում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից պարամետրային հավասարումների։

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է 2 x - 5 y - 1 = 0 հավասարմամբ: Գրի՛ր այս տողի պարամետրային հավասարումները։

Որոշում

Անցում կատարենք ընդհանուր հավասարումից կանոնականին.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Այժմ վերցնենք ստացված կանոնական հավասարման երկու մասերը, որոնք հավասար են λ-ի, ապա.

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Պատասխան.x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ընդհանուր հավասարումը կարող է վերածվել ուղիղ գծի հավասարման թեքության գործոնը y \u003d k x + b, բայց միայն այն դեպքում, երբ B ≠ 0: Ձախ կողմի անցման համար թողնում ենք B y տերմինը, մնացածը տեղափոխվում են աջ։ Ստանում ենք՝ B y = - A x - C . Ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանենք B-ի, որը տարբերվում է զրոյից՝ y = - A B x - C B:

Օրինակ 7

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տրված է՝ 2 x + 7 y = 0 : Դուք պետք է փոխարկեք այդ հավասարումը թեքության հավասարման:

Որոշում

Կատարենք անհրաժեշտ գործողությունները ըստ ալգորիթմի.

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Պատասխան. y = - 2 7 x.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից բավական է պարզապես հավասարում ստանալ x a + y b \u003d 1 ձևի հատվածներում: Նման անցում կատարելու համար C թիվը տեղափոխում ենք հավասարության աջ կողմ, ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանում ենք - С-ի և, վերջապես, x և y փոփոխականների գործակիցները փոխանցում ենք հայտարարներին.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Օրինակ 8

Հարկավոր է x - 7 y + 1 2 = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը վերածել հատվածներով ուղիղ գծի հավասարման։

Որոշում

Եկեք տեղափոխենք 1 2 աջ կողմ՝ x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2:

Բաժանեք -1/2-ի հավասարման երկու կողմերը՝ x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1:

Պատասխան. x - 1 2 + y 1 14 = 1:

Ընդհանրապես, հակադարձ անցումը նույնպես հեշտ է՝ այլ տեսակի հավասարումներից ընդհանուրին։

Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը և թեքության հետ հավասարումը հեշտությամբ կարելի է վերածել ընդհանուրի՝ պարզապես հավաքելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող բոլոր տերմինները.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Կանոնական հավասարումը փոխակերպվում է ընդհանուրի հետևյալ սխեմայի համաձայն.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Պարամետրիկից անցնելու համար նախ անցում է կատարվում կանոնականին, այնուհետև ընդհանուրին.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 9

Տրված են x = - 1 + 2 · λ y = 4 ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։ Անհրաժեշտ է գրել այս տողի ընդհանուր հավասարումը.

Որոշում

Անցում կատարենք պարամետրային հավասարումներից կանոնականի.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Կանոնականից անցնենք ընդհանուրի.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Պատասխան. y - 4 = 0

Օրինակ 10

Տրված է ուղիղ գծի հավասարումը x 3 + y 1 2 = 1 հատվածներում: Անհրաժեշտ է անցում կատարել դեպի ընդհանուր տեսարանհավասարումներ։

Որոշում:

Եկեք պարզապես վերաշարադրենք հավասարումը պահանջվող ձևով.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Պատասխան. 1 3 x + 2 y - 1 = 0:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կազմում

Վերևում ասացինք, որ ընդհանուր հավասարումը կարելի է գրել նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այն կետի կոորդինատներով, որով անցնում է ուղիղը։ Նման ուղիղ գիծը սահմանվում է A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարմամբ: Նույն տեղում մենք վերլուծեցինք համապատասխան օրինակը։

Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ օրինակներ, որոնցում նախ անհրաժեշտ է որոշել նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Օրինակ 11

Տրվում է 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ուղղին զուգահեռ ուղիղ: Հայտնի է նաև M 0 (4, 1) կետը, որով անցնում է տվյալ ուղիղը։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Որոշում

Սկզբնական պայմանները մեզ ասում են, որ ուղիղները զուգահեռ են, մինչդեռ, որպես գծի նորմալ վեկտոր, որի հավասարումը պետք է գրվի, մենք վերցնում ենք n տողի ուղղորդող վեկտորը → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Այժմ մենք գիտենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կազմելու համար.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - 5 = 0:

Օրինակ 12

Տրված ուղիղն անցնում է x - 2 3 = y + 4 5 ուղղին ուղղահայաց սկզբնակետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Որոշում

Տվյալ ուղղի նորմալ վեկտորը կլինի x - 2 3 = y + 4 5 ուղղի ուղղորդող վեկտորը։

Այնուհետև n → = (3, 5) . Ուղիղ գիծը անցնում է ծագման միջով, այսինքն. O կետով (0, 0) . Կազմենք տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Պատասխանել 3 x + 5 y = 0:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թող երկու միավոր տրվի M 1 (x 1, y 1)և M 2 (x 2, y 2). Ուղիղ գծի հավասարումը գրում ենք (5) ձևով, որտեղ կԴեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ կետը Մ 2պատկանում է տրված տողին, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են (5) հավասարումը. . Այստեղից արտահայտելով և այն փոխարինելով (5) հավասարմամբ՝ ստանում ենք ցանկալի հավասարումը.

Եթե Այս հավասարումը կարող է վերաշարադրվել այնպիսի ձևով, որն ավելի հեշտ է հիշել.

(6)

Օրինակ.Գրի՛ր M 1 (1.2) և M 2 (-2.3) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Որոշում. . Օգտագործելով համամասնության հատկությունը և կատարելով անհրաժեշտ փոխակերպումները՝ ստանում ենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Անկյուն երկու գծերի միջև

Դիտարկենք երկու տող լ 1և լ 2:

լ 1՝ , , և

լ 2: , ,

φ-ն նրանց միջև եղած անկյունն է (): Նկար 4-ը ցույց է տալիս.

Այստեղից , կամ

Օգտագործելով (7) բանաձևը, կարելի է որոշել գծերի միջև եղած անկյուններից մեկը: Երկրորդ անկյունն է.

Օրինակ. Երկու ուղիղ տրված են y=2x+3 և y=-3x+2 հավասարումներով։ գտե՛ք այս տողերի միջև եղած անկյունը:

Որոշում. Հավասարումներից երևում է, որ k 1 \u003d 2 և k 2 \u003d-3: փոխարինելով այս արժեքները բանաձևով (7), մենք գտնում ենք

. Այսպիսով, այս տողերի միջև ընկած անկյունը .

Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները

Եթե ​​ուղիղ լ 1և լ 2զուգահեռ են, ուրեմն φ=0 և tgφ=0. բանաձևից (7) հետևում է, որ որտեղից k 2 \u003d k 1. Այսպիսով, երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանը նրանց թեքությունների հավասարությունն է։

Եթե ​​ուղիղ լ 1և լ 2ուղղահայաց, ապա φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1: . Այսպիսով, երկու ուղիղ գծերի ուղղահայաց լինելու պայմանն այն է, որ դրանց թեքությունները մեծությամբ փոխադարձ լինեն և նշանով հակառակ:

Հեռավորությունը կետից տող

Թեորեմ. Եթե ​​տրված է M(x 0, y 0) կետ, ապա Ax + Vy + C \u003d 0 գծի հեռավորությունը սահմանվում է որպես

Ապացույց. Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղղին իջած ուղղահայաց հիմքը։ Այնուհետև M և M 1 կետերի միջև հեռավորությունը.

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է տրված կետ M 0-ը ուղղահայաց է տրված ուղղին:

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ.Որոշե՛ք տողերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3x + 7; y = 2x + 1:

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4:

Օրինակ.Ցույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 և 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Մենք գտնում ենք՝ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, հետևաբար, գծերն ուղղահայաց են:

Օրինակ.Տրված են A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Բարձրության ցանկալի հավասարումն է` Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b:

k=. Այնուհետև y =: Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումըորտեղից b = 17. Ընդհանուր՝ .

Պատասխան՝ 3x + 2y - 34 = 0:

Կետից գիծ հեռավորությունը որոշվում է կետից գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությամբ:

Եթե ​​ուղիղը զուգահեռ է նախագծման հարթությանը (ը | | P 1), ապա կետից հեռավորությունը որոշելու համար ԲԱՅՑդեպի ուղիղ հանհրաժեշտ է կետից ուղղահայաց գցել ԲԱՅՑդեպի հորիզոնական հ.

Մտածեք ավելին բարդ օրինակերբ գիծը զբաղեցնում է ընդհանուր դիրքը. Թող անհրաժեշտ լինի որոշել կետից հեռավորությունը Մդեպի ուղիղ աընդհանուր դիրքը.

Սահմանման առաջադրանք հեռավորությունները զուգահեռ գծերի միջևլուծվել է նախորդի նման: Մի ուղղի վրա վերցվում է կետ, իսկ նրանից ուղղահայաց է գծվում մեկ այլ ուղիղ: Ուղղահայաց երկարությունը հավասար է զուգահեռ գծերի միջև եղած հեռավորությանը:

Երկրորդ կարգի կորգիծ է, որը սահմանվում է երկրորդ աստիճանի հավասարմամբ ընթացիկ դեկարտյան կոորդինատների նկատմամբ։ Ընդհանուր դեպքում, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

որտեղ A, B, C, D, E, F իրական թվեր են և A 2 + B 2 + C 2 ≠0 թվերից առնվազն մեկը:

Շրջանակ

Շրջանակի կենտրոն- սա C (a, b) հարթության կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի տեղն է:

Շրջանակը տրված է հետևյալ հավասարմամբ.

Որտեղ x, y-ը շրջանագծի կամայական կետի կոորդինատներն են, R-ը շրջանագծի շառավիղն է:

Շրջանակի հավասարման նշան

1. x, y-ով տերմին չկա

2. x 2 և y 2 գործակիցները հավասար են

Էլիպս

Էլիպսհարթության կետերի տեղանքը կոչվում է, որոնցից յուրաքանչյուրի հեռավորությունների գումարը այս հարթության երկու տրված կետերից կոչվում է կիզակետեր (հաստատուն արժեք):

Էլիպսի կանոնական հավասարումը.

X-ը և y-ը պատկանում են էլիպսի:

a-ն էլիպսի հիմնական կիսաառանցքն է

b-ը էլիպսի փոքր կիսաառանցքն է

Էլիպսն ունի սիմետրիայի 2 առանցք OX և OY: Էլիպսի համաչափության առանցքները նրա առանցքներն են, դրանց հատման կետը՝ էլիպսի կենտրոնը։ Այն առանցքը, որի վրա գտնվում են կիզակետերը, կոչվում է կիզակետային առանցք. Էլիպսի առանցքների հետ հատման կետը էլիպսի գագաթն է։

Սեղմման (ձգվող) հարաբերակցությունը. ε = c/a- էքսցենտրիկություն (բնութագրում է էլիպսի ձևը), որքան փոքր է այն, այնքան քիչ է էլիպսը տարածվում կիզակետային առանցքի երկայնքով:

Եթե ​​էլիպսի կենտրոնները С(α, β) կենտրոնում չեն.

Հիպերբոլա

Հիպերբոլիակոչվում է հարթության կետերի տեղանք, հեռավորությունների տարբերության բացարձակ արժեքը, որոնցից յուրաքանչյուրը այս հարթության երկու տրված կետերից, որոնք կոչվում են օջախներ, զրոյից տարբերվող հաստատուն արժեք է:

Հիպերբոլայի կանոնական հավասարում

Հիպերբոլան ունի համաչափության 2 առանցք.

ա - համաչափության իրական կիսաառանցք

բ - համաչափության երևակայական կիսաառանցք

Հիպերբոլայի ասիմպտոտներ.

Պարաբոլա

պարաբոլա F կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի տեղն է, որը կոչվում է կիզակետ, և տրված ուղիղը, որը կոչվում է ուղղագիծ:

Կանոնական պարաբոլայի հավասարում.

Y 2 \u003d 2px, որտեղ p-ը կենտրոնից մինչև ուղղագիծ հեռավորությունն է (պարաբոլայի պարամետր)

Եթե ​​պարաբոլայի գագաթը C է (α, β), ապա պարաբոլայի հավասարումը (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Եթե ​​կիզակետային առանցքը վերցվում է որպես y առանցք, ապա պարաբոլայի հավասարումը կունենա ձև՝ x 2 \u003d 2qy

Թող ուղիղ գիծն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ունի y- y 1 \u003d ձև կ (x - x 1), (10.6)

որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարումը (10.6). y 2 -y 1 \u003d կ (x 2 -x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք փոխարինելով գտնված արժեքը կ (10.6) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե ​​x 1 \u003d x 2, ապա M 1 (x 1, y I) և M 2 (x 2, y 2) կետերով անցնող ուղիղ գիծը զուգահեռ է y առանցքին: Դրա հավասարումն է x = x 1 .

Եթե ​​y 2 \u003d y I, ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել որպես y \u003d y 1, M 1 M 2 ուղիղը զուգահեռ է x առանցքին:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a; 0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0; b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
. Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն է կտրում ուղիղ գիծը կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Գտնենք Mo (x O; y o) տրված ոչ զրոյական վեկտորի n = (A; B) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Վերցրեք կամայական M(x; y) կետը ուղիղ գծի վրա և հաշվի առեք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Ուղղությանը ուղղահայաց n = (A; B) վեկտորը կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C \u003d -Ax o - Vu o - ազատ անդամ: Հավասարում (10.9) ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ.2):

Նկ.1 Նկ.2

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ

,

Որտեղ
այն կետի կոորդինատներն են, որով անցնում է ուղիղը, և
- ուղղության վեկտոր.

Երկրորդ կարգի շրջանագծի կորեր

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն։

Շառավիղով շրջանագծի կանոնական հավասարում Ռ կենտրոնացած մի կետի վրա
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է՝ դրանցից յուրաքանչյուրից մինչև տրված երկու կետերի հեռավորությունների գումարը։ և , որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է
, ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Ox առանցքի վրա և որի սկզբնակետը գտնվում է միջնամասում գտնվող օջախների միջև, ունի ձև.
Գ դեա հիմնական կիսաառանցքի երկարությունը;բ փոքր կիսաառանցքի երկարությունն է (նկ. 2):

Տիեզերքում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները հավասարումներ են, որոնք սահմանում են ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է տվյալ կետով համագիծ դեպի ուղղության վեկտորը։

Թող տրվի կետ և ուղղության վեկտոր: Գծի վրա կամայական կետ է ընկած լմիայն այն դեպքում, եթե վեկտորները համակողմանի են, այսինքն՝ բավարարում են պայմանը.

.

Վերոնշյալ հավասարումները գծի կանոնական հավասարումներ են։

Թվեր մ , nև էջուղղության վեկտորի կանխատեսումներ են կոորդինատային առանցքների վրա: Քանի որ վեկտորը զրոյական չէ, ուրեմն բոլոր թվերը մ , nև էջչի կարող միաժամանակ զրո լինել: Բայց դրանցից մեկը կամ երկուսը կարող են զրո լինել: AT վերլուծական երկրաչափությունՕրինակ՝ թույլատրվում է հետևյալ գրառումը.

,

ինչը նշանակում է, որ վեկտորի ելքերը առանցքների վրա Օյև Օզհավասար են զրոյի։ Հետևաբար, կանոնական հավասարումներով տրված և՛ վեկտորը, և՛ ուղիղ գիծը ուղղահայաց են առանցքներին. Օյև Օզ, այսինքն՝ ինքնաթիռներ յՕզ .

Օրինակ 1Կազմի՛ր հարթությանն ուղղահայաց տարածության ուղիղ գծի հավասարումներ և անցնելով այս հարթության առանցքի հետ հատման կետով Օզ .

Որոշում. Գտե՛ք տվյալ հարթության առանցքի հատման կետը Օզ. Քանի որ առանցքի ցանկացած կետ Օզ, ունի կոորդինատներ , ապա, ենթադրելով հարթության տրված հավասարման մեջ x=y= 0, մենք ստանում ենք 4 զ- 8 = 0 կամ զ= 2. Ուստի տվյալ հարթության առանցքի հետ հատման կետը Օզունի կոորդինատներ (0; 0; 2): Քանի որ ցանկալի գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, այն զուգահեռ է իր նորմալ վեկտորին: Ուստի նորմալ վեկտորը կարող է ծառայել որպես ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր տրված ինքնաթիռը.

Այժմ մենք գրում ենք կետով անցնող ուղիղ գծի ցանկալի հավասարումները Ա= (0; 0; 2) վեկտորի ուղղությամբ.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումներ

Ուղիղ գիծը կարելի է սահմանել դրա վրա ընկած երկու կետով և Այս դեպքում ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կարող է լինել վեկտորը: Այնուհետև տողի կանոնական հավասարումները ձև են ստանում

.

Վերոնշյալ հավասարումները սահմանում են երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գիծ:

Օրինակ 2Գրի՛ր կետերով անցնող տարածության ուղիղ գծի հավասարումը և .

Որոշում. Մենք ուղիղ գծի ցանկալի հավասարումները գրում ենք տեսական հղումում վերը նշված ձևով.

.

Քանի որ , ապա ցանկալի գիծը ուղղահայաց է առանցքին Օյ .

Ուղիղ որպես հարթությունների հատման գիծ

Ուղիղ գիծը տարածության մեջ կարող է սահմանվել որպես երկու ոչ զուգահեռ հարթությունների հատման գիծ, ​​այսինքն՝ որպես երկու գծային հավասարումների համակարգին բավարարող կետերի բազմություն։

Համակարգի հավասարումները կոչվում են նաև տարածության ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներ։

Օրինակ 3Կազմե՛ք ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ ընդհանուր հավասարումներով տրված տարածության մեջ

Որոշում. Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները կամ, նույնը, երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները գրելու համար պետք է գտնել ուղիղ գծի ցանկացած երկու կետերի կոորդինատները։ Դրանք կարող են լինել ուղիղ գծի հատման կետերը ցանկացած երկու կոորդինատային հարթությունների հետ, օրինակ յՕզև xOz .

Գծի հարթության հետ հատման կետ յՕզունի աբսցիսսա x= 0. Հետեւաբար, ենթադրելով այս հավասարումների համակարգում x= 0, մենք ստանում ենք երկու փոփոխական ունեցող համակարգ.

Նրա որոշումը y = 2 , զ= 6 հետ միասին x= 0-ը սահմանում է կետ Ա(0; 2; 6) ցանկալի տողից: Ենթադրելով, որ տվյալ հավասարումների համակարգում y= 0, մենք ստանում ենք համակարգը

Նրա որոշումը x = -2 , զ= 0 հետ միասին y= 0-ը սահմանում է կետ Բ(-2; 0; 0) գծի հատում հարթության հետ xOz .

Այժմ մենք գրում ենք կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները Ա(0; 2; 6) և Բ (-2; 0; 0) :

,

կամ հայտարարները -2-ի բաժանելուց հետո.

,

Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.
Ուղղության վեկտորը ուղիղ է: Նորմալ վեկտոր

Ինքնաթիռի ուղիղ գիծը ամենապարզ երկրաչափական ձևերից մեկն է, որը ձեզ ծանոթ է տարրական դասարաններից, և այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես վարվել դրա հետ՝ օգտագործելով վերլուծական երկրաչափության մեթոդները: Նյութին տիրապետելու համար անհրաժեշտ է ուղիղ գիծ կառուցել. իմացեք, թե որ հավասարումն է սահմանում ուղիղ գիծ, ​​մասնավորապես՝ սկզբնակետով անցնող ուղիղ և կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ ուղիղներ։ Այս տեղեկատվությունը կարելի է գտնել ձեռնարկում: Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները, ես ստեղծել եմ այն ​​մատանի համար, բայց գծային ֆունկցիայի բաժինը շատ հաջող ու մանրամասն ստացվեց։ Ուստի, սիրելի թեյնիկներ, նախ տաքացեք այնտեղ։ Բացի այդ, դուք պետք է ունենաք հիմնական գիտելիքմասին վեկտորներհակառակ դեպքում նյութի ըմբռնումը թերի կլինի:

Այս դասում մենք կդիտարկենք այն եղանակները, որոնցով դուք կարող եք գրել հարթության ուղիղ գծի հավասարումը: Խորհուրդ եմ տալիս չանտեսել գործնական օրինակները (նույնիսկ եթե դա շատ պարզ է թվում), քանի որ ես դրանք կմատակարարեմ տարրական և կարևոր փաստեր, տեխնիկական մեթոդներ, որոնք կպահանջվեն ապագայում, այդ թվում՝ բարձրագույն մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

• Ինչպե՞ս գրել թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը:
• Ինչպե՞ս
• Ինչպե՞ս գտնել ուղղության վեկտորը ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ:
• Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` տրված կետով և նորմալ վեկտորով:

և մենք սկսում ենք.

Գծի հավասարում թեքությամբ

Ուղիղ գծի հավասարման հայտնի «դպրոցական» ձևը կոչվում է թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը. Օրինակ, եթե հավասարմամբ տրված է ուղիղ գիծ, ​​ապա դրա թեքությունը՝ . Հաշվի առեք երկրաչափական իմաստտրված գործակիցը և ինչպես է դրա արժեքը ազդում գծի գտնվելու վայրի վրա.

Երկրաչափության ընթացքում ապացուցված է, որ ուղիղ գծի թեքությունն է անկյան շոշափողդրական առանցքի ուղղության միջևև տրված գիծ:, իսկ անկյունը «ապտուտակված է» ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ։

Որպեսզի գծագիրը չխառնվի, ես անկյուններ գծեցի միայն երկու ուղիղ գծերի համար: Դիտարկենք «կարմիր» ուղիղ գիծը և դրա թեքությունը: Ըստ վերը նշվածի. («ալֆա» անկյունը նշվում է կանաչ աղեղով): Թեքությամբ «կապույտ» ուղիղ գծի համար հավասարությունը ճիշտ է («բետա» անկյունը նշվում է շագանակագույն աղեղով): Իսկ եթե անկյան շոշափողը հայտնի է, ապա անհրաժեշտության դեպքում այն ​​հեշտ է գտնել և անկյունըօգտագործելով հակադարձ ֆունկցիա՝ աղեղային շոշափող: Ինչպես ասում են՝ եռանկյունաչափական աղյուսակ կամ հաշվիչ ձեռքին։ Այսպիսով, թեքությունը բնութագրում է ուղիղ գծի թեքության աստիճանը դեպի x առանցքը.

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1) Եթե թեքությունը բացասական է՝ , ապա գիծը, կոպիտ ասած, անցնում է վերևից ներքև։ Օրինակներ են գծագրության «կապույտ» և «կարմիր» ուղիղ գծերը:

2) Եթե թեքությունը դրական է՝ , ապա գիծն անցնում է ներքևից վեր։ Օրինակներ են գծագրության «սև» և «կարմիր» ուղիղ գծերը:

3) Եթե թեքությունը զրո, ապա հավասարումը ստանում է ձև , և համապատասխան ուղիղ գիծը զուգահեռ է առանցքին : Օրինակ է «դեղին» գիծը։

4) առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերի ընտանիքի համար (գծագրում օրինակ չկա, բացի բուն առանցքից), թեքությունը. գոյություն չունի (90 աստիճանի շոշափողը սահմանված չէ).

Որքան մեծ է լանջի մոդուլը, այնքան ավելի կտրուկ է գծային գրաֆիկը.

Օրինակ, հաշվի առեք երկու ուղիղ գիծ: Այստեղ, այնպես որ ուղիղ գիծն ունի ավելի կտրուկ թեքություն: Հիշեցնում եմ, որ մոդուլը թույլ է տալիս անտեսել նշանը, մեզ միայն հետաքրքրում է բացարձակ արժեքներանկյունային գործակիցներ.

Իր հերթին, ուղիղ գիծն ավելի կտրուկ է, քան ուղիղները: .

Հակառակը. որքան փոքր է թեքության մոդուլը, ուղիղ գիծն ավելի հարթ է.

Ուղիղ գծերի համար անհավասարությունը ճշմարիտ է, հետևաբար, ուղիղ գիծը ավելին է, քան հովանոց: Մանկական սլայդ, որպեսզի չտնկեն կապտուկներ և բշտիկներ։

Ինչու է սա անհրաժեշտ:

Երկարացրեք ձեր տանջանքները Վերը նշված փաստերի իմացությունը թույլ է տալիս անմիջապես տեսնել ձեր սխալները, մասնավորապես, սխալները գրաֆիկները գծելիս, եթե գծագրությունը պարզվեց, որ «հստակ ինչ-որ բան այն չէ»: Ցանկալի է, որ դուք անմիջապեսպարզ էր, որ, օրինակ, ուղիղ գիծը շատ զառիթափ է և գնում է ներքևից վեր, իսկ ուղիղը շատ հարթ է, մոտ է առանցքին և գնում է վերևից ներքև։

Երկրաչափական խնդիրներում հաճախ հայտնվում են մի քանի ուղիղ գծեր, ուստի հարմար է դրանք ինչ-որ կերպ նշել։

Նշումուղիղ գծերը նշվում են փոքրով լատինական տառերով: Հանրաճանաչ տարբերակ է նույն տառի նշանակումը բնական մակագրություններով: Օրինակ, հինգ տողերը, որոնք մենք հենց նոր քննարկեցինք, կարող են նշանակվել .

Քանի որ ցանկացած ուղիղ եզակիորեն որոշվում է երկու կետով, այն կարելի է նշանակել հետևյալ կետերով. և այլն: Նշումը միանգամայն ակնհայտորեն ենթադրում է, որ կետերը պատկանում են գծին:

Մի փոքր թուլանալու ժամանակն է.

Ինչպե՞ս գրել թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը:

Եթե ​​հայտնի է մի կետ, որը պատկանում է որոշակի գծի, և այդ ուղիղի թեքությունը, ապա այս ուղիղի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Օրինակ 1

Կազմի՛ր թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը, եթե հայտնի է, որ կետը պատկանում է այս ուղիղ գծին։

ՈրոշումՈւղիղ գծի հավասարումը կկազմենք ըստ բանաձևի . Այս դեպքում:

Պատասխանել:

Փորձաքննությունտարրականորեն կատարվեց. Նախ, մենք նայում ենք ստացված հավասարմանը և համոզվում, որ մեր թեքությունն իր տեղում է: Երկրորդ՝ կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն տրված հավասարումը։ Եկեք դրանք միացնենք հավասարման մեջ.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ կետը բավարարում է ստացված հավասարումը։

ԵզրակացությունՀավասարումը ճիշտ է գտնվել:

Ինքնուրույն լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 2

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, եթե հայտնի է, որ նրա թեքության անկյունը դեպի առանցքի դրական ուղղությունը հավասար է, իսկ կետը պատկանում է այս ուղիղ գծին։

Եթե ​​դժվարություններ ունեք, նորից կարդացեք տեսական նյութ. Ավելի ճիշտ, ավելի գործնական, շատ ապացույցներ եմ կարոտում։

զանգահարեց Վերջին զանգ, Պրոմը մարել է, և դարպասներից դուրս Տնային դպրոցմենք սպասում ենք, ըստ էության, վերլուծական երկրաչափության։ Կատակներն ավարտվեցին... Միգուցե դա նոր է սկսել =)

Կարոտով բռնակը թափահարում ենք ծանոթին և ծանոթանում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը։ Քանի որ անալիտիկ երկրաչափության մեջ հենց սա է օգտագործվում.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի ձև: , որտեղ կան որոշ թվեր։ Միաժամանակ գործակիցները միաժամանակհավասար չեն զրոյի, քանի որ հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը:

Եկեք հագնվենք կոստյում և հավասարություն կապենք թեքության հետ: Նախ, մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ կողմ.

«x» տերմինը պետք է առաջին տեղում դրվի.

Սկզբունքորեն, հավասարումն արդեն ունի ձևը, բայց ըստ մաթեմատիկական վարվելակարգի կանոնների՝ առաջին անդամի գործակիցը (այս դեպքում) պետք է լինի դրական։ Փոխվող նշաններ.

Հիշեք սա տեխնիկական հատկանիշ! Առաջին գործակիցը (առավել հաճախ) դրական ենք դարձնում:

Անալիտիկ երկրաչափության մեջ ուղիղ գծի հավասարումը գրեթե միշտ տրվում է ընդհանուր ձև. Դե, անհրաժեշտության դեպքում, հեշտ է այն թեքությամբ բերել «դպրոցական» ձևի (բացառությամբ y-ի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերի):

Եկեք ինքներս մեզ հարցնենք, թե ինչ բավականգիտե՞ք ուղիղ գիծ կառուցել. Երկու միավոր. Բայց այս մանկության դեպքի մասին ավելի ուշ, այժմ մնում է սլաքների կանոնը: Յուրաքանչյուր ուղիղ գիծ ունի հստակ սահմանված թեքություն, որին հեշտ է «հարմարվել» վեկտոր.

Վեկտորը, որը զուգահեռ է ուղիղին, կոչվում է այդ ուղիղի ուղղության վեկտոր։. Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի անսահման շատ ուղղության վեկտորներ, և դրանք բոլորը կլինեն համագիծ (համատեղված, թե ոչ, կարևոր չէ):

Ուղղության վեկտորը կնշեմ հետևյալ կերպ.

Բայց մեկ վեկտորը բավարար չէ ուղիղ գիծ կառուցելու համար, վեկտորն ազատ է և կցված չէ հարթության որևէ կետին։ Ուստի լրացուցիչ անհրաժեշտ է իմանալ ինչ-որ կետ, որը պատկանում է գծին։

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` տրված կետ և ուղղության վեկտոր:

Եթե ​​գծին պատկանող ինչ-որ կետ և այս ուղղի ուղղորդող վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղի հավասարումը կարելի է կազմել բանաձևով.

Երբեմն դա կոչվում է գծի կանոնական հավասարումը .

Ինչ անել, երբ կոորդինատներից մեկըզրոյական է, ստորև մենք կանդրադառնանք գործնական օրինակներին: Ի դեպ, նշենք. երկուսն էլ միանգամիցկոորդինատները չեն կարող զրո լինել, քանի որ զրոյական վեկտորը չի նշում կոնկրետ ուղղություն:

Օրինակ 3

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետ և ուղղության վեկտոր

ՈրոշումՈւղիղ գծի հավասարումը կկազմենք ըստ բանաձևի. Այս դեպքում:

Օգտագործելով համամասնության հատկությունները, մենք ազատվում ենք կոտորակներից.

Եվ մենք հավասարումը բերում ենք ընդհանուր ձևի.

Պատասխանել:

Նման օրինակներում նկարելը, որպես կանոն, անհրաժեշտ չէ, բայց հասկանալու համար.

Նկարում մենք տեսնում ենք ելակետը, սկզբնական ուղղության վեկտորը (այն կարող է հետաձգվել հարթության ցանկացած կետից) և կառուցված գիծը։ Ի դեպ, շատ դեպքերում ուղիղ գծի կառուցումը առավել հարմար է իրականացվում թեքության հավասարման միջոցով: Մեր հավասարումը հեշտ է փոխակերպել ձևի և առանց որևէ խնդիրների վերցնել ևս մեկ կետ՝ ուղիղ գիծ կառուցելու համար:

Ինչպես նշվեց բաժնի սկզբում, տողը ունի անսահման շատ ուղղության վեկտորներ, և նրանք բոլորը համագիծ են: Օրինակ, ես գծեցի երեք նման վեկտոր. . Որ ուղղության վեկտորն էլ ընտրենք, արդյունքը միշտ կլինի նույն ուղիղ գծի հավասարումը:

Կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը կետով և ուղղորդող վեկտորով.

Համամասնության բաժանում.

Երկու կողմերը բաժանեք -2-ի և ստացեք ծանոթ հավասարումը.

Ցանկացողները կարող են նույն կերպ ստուգել վեկտորները կամ ցանկացած այլ համագիծ վեկտոր:

Հիմա լուծենք հակադարձ խնդիրը.

Ինչպե՞ս գտնել ուղղության վեկտորը ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ:

Շատ պարզ:

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ տրված է ուղիղ գիծ, ​​ապա վեկտորը այս ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է:

Ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորներ գտնելու օրինակներ.

Հայտարարությունը թույլ է տալիս մեզ գտնել միայն մեկ ուղղության վեկտոր անսահման բազմությունից, բայց մեզ ավելին պետք չէ: Թեև որոշ դեպքերում նպատակահարմար է նվազեցնել ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որը զուգահեռ է առանցքին, և ստացված ղեկային վեկտորի կոորդինատները հարմար կերպով բաժանվում են -2-ի, ստանալով հենց հիմնական վեկտորը որպես ղեկային վեկտոր: Տրամաբանորեն.

Նմանապես, հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​և վեկտորի կոորդինատները բաժանելով 5-ի, մենք ստանում ենք ort որպես ուղղության վեկտոր:

Հիմա եկեք կատարենք ստուգեք օրինակ 3. Օրինակը բարձրացավ, ուստի ես ձեզ հիշեցնում եմ, որ դրանում մենք կազմել ենք ուղիղ գծի հավասարում, օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր

Նախ եւ առաջ, ըստ ուղիղ գծի հավասարման՝ մենք վերականգնում ենք դրա ուղղորդող վեկտորը. - ամեն ինչ լավ է, մենք ստացանք սկզբնական վեկտորը (որոշ դեպքերում այն ​​կարող է պարզվել, որ համագիծ է սկզբնական վեկտորին, և դա սովորաբար հեշտ է տեսնել համապատասխան կոորդինատների համաչափությամբ):

Երկրորդ, կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարմանը . Մենք դրանք փոխարինում ենք հավասարման մեջ.

Ստացվել է ճիշտ հավասարություն, ինչից շատ գոհ ենք։

ԵզրակացությունԱշխատանքը ճիշտ է կատարվել:

Օրինակ 4

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետ և ուղղության վեկտոր

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։ Շատ ցանկալի է ստուգում կատարել հենց նոր դիտարկված ալգորիթմի համաձայն։ Փորձեք միշտ (եթե հնարավոր է) ստուգել սևագիրը: Հիմարություն է սխալներ թույլ տալ, որտեղ դրանցից կարելի է 100%-ով խուսափել:

Այն դեպքում, երբ ուղղության վեկտորի կոորդինատներից մեկը զրո է, դա շատ պարզ է անել.

Օրինակ 5

ՈրոշումԲանաձևն անվավեր է, քանի որ աջ կողմի հայտարարը զրո է: Ելք կա! Օգտագործելով համամասնության հատկությունները, մենք վերագրում ենք բանաձևը ձևով, իսկ մնացածը գլորվում է խորը փոսով.

Պատասխանել:

Փորձաքննություն:

1) Վերականգնել ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.
– ստացված վեկտորը համակողմանի է սկզբնական ուղղության վեկտորին:

2) կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր հավասարման մեջ.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն

ԵզրակացությունԱշխատանքը ճիշտ է ավարտված

Հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ անհանգստանալ բանաձեւով, եթե կա ունիվերսալ տարբերակ, որն այնուամենայնիվ կաշխատի։ Երկու պատճառ կա. Նախ, կոտորակային բանաձևը շատ ավելի լավ է հիշել. Եվ երկրորդ՝ ունիվերսալ բանաձեւի թերությունն այն է շփոթության զգալի մեծացումկոորդինատները փոխարինելիս.

Օրինակ 6

Կազմի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետ և ուղղության վեկտոր:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է:

Վերադառնանք ամենուր տարածված երկու կետերին.

Ինչպե՞ս գրել երկու կետ տրված ուղիղ գծի հավասարումը:

Եթե ​​հայտնի է երկու կետ, ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է կազմել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Իրականում սա մի տեսակ բանաձև է, և ահա թե ինչու. եթե երկու կետ հայտնի է, ապա վեկտորը կլինի այս ուղիղի ուղղության վեկտորը: Դասի վրա Վեկտորներ կեղծամների համարմենք դիտարկեցինք ամենապարզ խնդիրը՝ ինչպես գտնել վեկտորի կոորդինատները երկու կետից: Ըստ այս խնդրի՝ ուղղության վեկտորի կոորդինատները.

Նշում : կետերը կարելի է «փոխանակել» և օգտագործել բանաձևը . Նման որոշումը հավասար կլինի.

Օրինակ 7

Երկու կետից գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը .

ՈրոշումՕգտագործեք բանաձևը.

Մենք սանրում ենք հայտարարները.

Եվ խառնել տախտակամածը.

Հիմա ժամանակն է ազատվել կոտորակային թվեր. Այս դեպքում անհրաժեշտ է երկու մասերը բազմապատկել 6-ով.

Բացեք փակագծերը և հիշեք հավասարումը.

Պատասխանել:

Փորձաքննությունակնհայտ է. սկզբնական կետերի կոորդինատները պետք է բավարարեն ստացված հավասարումը.

1) կետի կոորդինատները փոխարինել.

Իրական հավասարություն.

2) կետի կոորդինատները փոխարինել.

Իրական հավասարություն.

ԵզրակացությունՈւղիղ գծի հավասարումը ճիշտ է:

Եթե գոնե մեկըմիավորները չի բավարարում հավասարումը, փնտրեք սխալ:

Հարկ է նշել, որ այս դեպքում գրաֆիկական ստուգումը դժվար է, քանի որ կառուցել գիծ և տեսնել, թե արդյոք կետերը պատկանում են դրան. , այնքան էլ հեշտ չէ։

Ես կնշեմ լուծման մի քանի տեխնիկական կետ. Թերևս այս հարցում ավելի ձեռնտու է օգտագործել հայելու բանաձևը և նույն կետերի համար կազմել հավասարում.

Ավելի քիչ են կոտորակները: Ցանկության դեպքում կարող եք լուծումը ավարտել մինչև վերջ, արդյունքը պետք է լինի նույն հավասարումը։

Երկրորդ կետը պետք է դիտարկել վերջնական պատասխանը և տեսնել, թե արդյոք այն կարող է ավելի պարզեցվել: Օրինակ, եթե ստացվում է հավասարում, ապա խորհուրդ է տրվում կրճատել այն երկուսով. - հավասարումը կսահմանի նույն ուղիղ գիծը: Սակայն սա արդեն խոսակցության թեմա է ուղիղ գծերի փոխադարձ դասավորություն.

Պատասխան ստանալով Օրինակ 7-ում, ամեն դեպքում, ես ստուգեցի, թե արդյոք հավասարման ԲՈԼՈՐ գործակիցները բաժանվում են 2-ի, 3-ի կամ 7-ի: Չնայած, ամենից հաճախ նման կրճատումներ կատարվում են լուծման ժամանակ:

Օրինակ 8

Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Սա անկախ լուծման օրինակ է, որը պարզապես թույլ կտա ավելի լավ հասկանալ և մշակել հաշվարկի տեխնիկան։

Նախորդ պարբերության նման. եթե բանաձևում Հայտարարներից մեկը (ուղղության վեկտորի կոորդինատը) անհետանում է, այնուհետև մենք այն վերագրում ենք որպես . Եվ նորից նկատեք, թե որքան անհարմար և շփոթված սկսեց նա նայել: Ես շատ իմաստ չեմ տեսնում գործնական օրինակներ բերելու համար, քանի որ մենք արդեն իրականում լուծել ենք նման խնդիր (տե՛ս թիվ 5, 6):

Ուղիղ գծի նորմալ վեկտոր (նորմալ վեկտոր)

Ինչն է նորմալ: Պարզ բառերով, նորմալն ուղղահայացն է։ Այսինքն՝ ուղիղի նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է տվյալ ուղղին։ Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի դրանց անսահման թիվը (նաև ուղղորդող վեկտորները), իսկ ուղիղ գծի բոլոր նորմալ վեկտորները կլինեն համակողմանի (համաուղղված, թե ոչ, դա նշանակություն չունի):

Նրանց հետ գործ ունենալը նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան ուղղության վեկտորների հետ.

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ տրված է ուղիղ գիծ, ​​ապա վեկտորը այս ուղիղ գծի նորմալ վեկտորն է։

Եթե ​​ուղղության վեկտորի կոորդինատները պետք է զգուշորեն «հանել» հավասարումից, ապա նորմալ վեկտորի կոորդինատները կարելի է պարզապես «հեռացնել»:

Նորմալ վեկտորը միշտ ուղղահայաց է գծի ուղղության վեկտորին: Մենք կստուգենք այս վեկտորների ուղղանկյունությունը՝ օգտագործելով կետային արտադրանք:

Ես օրինակներ կտամ նույն հավասարումներով, ինչ ուղղության վեկտորի համար.

Հնարավո՞ր է գրել ուղիղ գծի հավասարում` իմանալով մեկ կետ և նորմալ վեկտոր: Զգացվում է, որ դա հնարավոր է: Եթե ​​նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա ամենաուղիղ գծի ուղղությունը նույնպես եզակիորեն որոշվում է. սա «կոշտ կառուցվածք» է՝ 90 աստիճանի անկյան տակ:

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` տրված կետով և նորմալ վեկտորով:

Եթե ​​ուղիղին պատկանող ինչ-որ կետ և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Այստեղ ամեն ինչ անցել է առանց կոտորակների և այլ անակնկալների։ Այդպիսին է մեր նորմալ վեկտորը։ Հավանում եմ սա. Եվ հարգանք =)

Օրինակ 9

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետ և նորմալ վեկտոր: Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

ՈրոշումՕգտագործեք բանաձևը.

Ստացվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, ստուգենք.

1) «Հանել» նորմալ վեկտորի կոորդինատները հավասարումից. - այո, իսկապես, սկզբնական վեկտորը ստացվում է պայմանից (կամ վեկտորը պետք է համակողմանի լինի սկզբնական վեկտորի հետ):

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է հավասարմանը.

Իրական հավասարություն.

Այն բանից հետո, երբ համոզվենք, որ հավասարումը ճիշտ է, մենք կկատարենք առաջադրանքի երկրորդ՝ ավելի հեշտ մասը։ Մենք դուրս ենք քաշում ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.

Պատասխանել:

Վիճակահանության մեջ իրավիճակը հետևյալն է.

Վերապատրաստման նպատակների համար նման խնդիր անկախ լուծման համար.

Օրինակ 10

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, որը տրված է կետ և նորմալ վեկտոր: Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

Դասի վերջին հատվածը նվիրված կլինի հարթության մեջ ուղիղ գծի հավասարումների ավելի քիչ տարածված, բայց նաև կարևոր տիպերին.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.
Ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային ձևով

Հատվածների ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև, որտեղ ոչ զրոյական հաստատուններ են: Հավասարումների որոշ տեսակներ չեն կարող ներկայացված լինել այս տեսքով, օրինակ՝ ուղիղ համեմատականություն (քանի որ ազատ անդամը զրոյական է, և աջ կողմում մեկը ստանալու միջոց չկա):

Սա, պատկերավոր ասած, «տեխնիկական» տիպի հավասարում է։ Սովորական խնդիրն է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ներկայացնել որպես ուղիղ գծի հավասարում հատվածներում: Ինչու է դա հարմար: Հատվածների ուղիղ գծի հավասարումը թույլ է տալիս արագ գտնել ուղիղ գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով, ինչը շատ կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներում:

Գտե՛ք գծի առանցքի հետ հատման կետը: Մենք վերակայում ենք «y»-ը, և հավասարումը ստանում է ձևը: Ցանկալի կետինքնաբերաբար ստացված.

Նույնը առանցքի հետ այն կետն է, որտեղ ուղիղը հատում է y առանցքը: