Suurin yhteinen jakaja (GCD): määritelmä, esimerkit ja ominaisuudet. GCD:n löytäminen Euclid-algoritmilla ja alkulukujen laskentaa käyttämällä
Suurin yhteinen jakaja
Määritelmä 2
Jos luonnollinen luku a on jaollinen luonnollisella luvulla $b$, niin $b$ kutsutaan luvun $a$ jakajaksi ja lukua $a$ luvun $b$ kerrannaiseksi.
Olkoot $a$ ja $b$ luonnollisia lukuja. Lukua $c$ kutsutaan sekä $a$:n että $b$:n yhteiseksi jakajaksi.
Lukujen $a$ ja $b$ yhteisten jakajien joukko on äärellinen, koska mikään näistä jakajista ei voi olla suurempi kuin $a$. Tämä tarkoittaa, että näiden jakajien joukossa on suurin, jota kutsutaan lukujen $a$ ja $b$ suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi, ja sitä merkitään merkinnällä:
$gcd \ (a;b) \ tai \ D \ (a;b)$
Kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytäminen:
- Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.
Esimerkki 1
Etsi lukujen $121$ ja $132.$ gcd
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Valitse numerot, jotka sisältyvät näiden numeroiden laajennukseen
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.
$gcd=2\cdot 11=22$
Esimerkki 2
Etsi monomioiden GCD $63$ ja $81$.
Löydämme esitetyn algoritmin mukaan. Tätä varten:
Jaetaan luvut alkutekijöiksi
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Valitsemme numerot, jotka sisältyvät näiden numeroiden laajennukseen
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Etsitään vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.
$gcd=3\cdot 3=9$
Voit löytää kahden luvun GCD:n toisella tavalla käyttämällä numeroiden jakajien joukkoa.
Esimerkki 3
Etsi gcd numeroista $48$ ja $60$.
Ratkaisu:
Etsi $48$:n jakajajoukko: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Etsitään nyt $60$:n jakajajoukko:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Etsitään näiden joukkojen leikkauspiste: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tämä joukko määrittää lukujen $48$ ja $60 yhteisten jakajien joukon $. Tämän sarjan suurin elementti on numero $12$. Joten suurin yhteinen jakaja $48$ ja $60$ on 12$.
Määritelmä NOC
Määritelmä 3
luonnollisten lukujen yhteinen monikerta$a$ ja $b$ on luonnollinen luku, joka on lukujen $a$ ja $b$ kerrannainen.
Yhteiset lukukerrat ovat lukuja, jotka ovat jaollisia alkuperäisellä ilman jäännöstä. Esimerkiksi lukujen $25$ ja $50$ yhteiset kerrannaiset ovat luvut $50,100,150,200$ jne.
Pienin yhteinen kerrannainen kutsutaan pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi ja sitä merkitään LCM$(a;b)$ tai K$(a;b).$
Kahden luvun LCM:n löytämiseksi tarvitset:
- Jaa luvut alkutekijöiksi
- Kirjoita ensimmäiseen numeroon kuuluvat tekijät ja lisää niihin tekijät, jotka ovat osa toista ja eivät mene ensimmäiseen
Esimerkki 4
Etsi LCM numeroista $99$ ja $77$.
Löydämme esitetyn algoritmin mukaan. Tätä varten
Jaa luvut alkutekijöiksi
99 dollaria = 3\cdot 3\cdot 11 dollaria
Kirjoita muistiin ensimmäiseen sisältyvät tekijät
lisää niihin tekijöitä, jotka ovat osa toista äläkä mene ensimmäiseen
Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu pienin yhteinen kerrannainen
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Lukujen jakajien luetteloiden laatiminen on usein hyvin aikaa vievää. On olemassa tapa löytää GCD, nimeltään Euklidesin algoritmi.
Lausumat, joihin Euklidesin algoritmi perustuu:
Jos $a$ ja $b$ ovat luonnollisia lukuja ja $a\vdots b$, niin $D(a;b)=b$
Jos $a$ ja $b$ ovat luonnollisia lukuja, niin että $b
Käyttämällä $D(a;b)= D(a-b;b)$ voimme pienentää tarkasteltavia lukuja peräkkäin, kunnes saavutamme sellaisen lukuparin, että toinen niistä on jaollinen toisella. Tällöin pienempi näistä luvuista on haluttu suurin yhteinen jakaja luvuille $a$ ja $b$.
GCD:n ja LCM:n ominaisuudet
- Mikä tahansa kohteiden $a$ ja $b$ yhteinen kerrannainen on jaollinen K$(a;b)$:lla
- Jos $a\vdots b$ , niin K$(a;b)=a$
Jos K$(a;b)=k$ ja $m$-luonnollinen luku, niin K$(am;bm)=km$
Jos $d$ on yhteinen jakaja arvoille $a$ ja $b$, niin K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jos $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , niin $\frac(ab)(c)$ on $a$:n ja $b$:n yhteinen kerrannainen
Kaikille luonnollisille luvuille $a$ ja $b$ yhtälö
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Mikä tahansa $a$:n ja $b$:n yhteinen jakaja on $D(a;b)$:n jakaja
Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.
Esimerkiksi:
Luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;
Luku 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.
Luvut, joilla luku on jaollinen (12:lla se on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan numeron jakajat. Luonnollisen luvun jakaja a on luonnollinen luku, joka jakaa annetun luvun a jälkeä jättämättä. Luonnollista lukua, jolla on enemmän kuin kaksi tekijää kutsutaan komposiitti. Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset jakajat. Nämä ovat luvut: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12.
Kahden annetun luvun yhteinen jakaja a ja b on luku, jolla molemmat annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä a ja b. Useiden lukujen yhteinen jakaja (GCD) on luku, joka toimii jakajana jokaiselle niistä.
Lyhyesti lukujen suurin yhteinen jakaja a ja b on kirjoitettu näin:
Esimerkki: gcd (12; 36) = 12.
Lukujen jakajat ratkaisun merkinnöissä osoittavat iso kirjain"D".
Esimerkki:
gcd (7; 9) = 1
Numeroilla 7 ja 9 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia numeroita kutsutaan koprimechi slam.
Koprime-luvut ovat luonnollisia lukuja, joilla on vain yksi yhteinen jakaja - luku 1. Niiden gcd on 1.
Suurin yhteinen jakaja (GCD), ominaisuudet.
- Pääominaisuus: suurin yhteinen jakaja m ja n on jaollinen millä tahansa näiden lukujen yhteisellä jakajalla. Esimerkki: lukujen 12 ja 18 suurin yhteinen jakaja on 6; se on jaollinen näiden lukujen kaikilla yhteisillä jakajilla: 1, 2, 3, 6.
- Seuraus 1: joukko yhteisiä jakajia m ja n on sama kuin jakajajoukko gcd( m, n).
- Seuraus 2: yhteisten kerrannaisten joukko m ja n osuu yhteen useiden LCM:ien joukon kanssa ( m, n).
Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että murto-osan pelkistämiseksi redusoitumattomaan muotoon on tarpeen jakaa sen osoittaja ja nimittäjä niiden gcd:llä.
- Suurin yhteinen numeroiden jakaja m ja n voidaan määritellä kaikkien niiden lineaaristen yhdistelmien joukon pienimmäksi positiiviseksi elementiksi:
ja siksi edustaa lineaarista numeroyhdistelmää m ja n:
Tätä suhdetta kutsutaan Bezoutin suhde, ja kertoimet u ja v — bezout-kertoimet. Bézout-kertoimet lasketaan tehokkaasti laajennetulla Euclid-algoritmilla. Tämä lause on yleistetty luonnollisten lukujen joukkoihin - sen merkitys on, että joukon muodostama ryhmän aliryhmä on syklinen ja sen generoi yksi elementti: gcd ( a 1 , a 2 , … , a n).
Suurimman yhteisen jakajan (gcd) laskeminen.
Tehokkaita tapoja laskea kahden luvun gcd ovat Eukleideen algoritmi ja binäärialgoritmi. Lisäksi GCD-arvo ( m,n) voidaan laskea helposti, jos lukujen kanoninen laajennus tunnetaan m ja n tärkeimmille tekijöille:
missä ovat erilliset alkuluvut ja ja ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku ei ole laajennuksessa). Sitten gcd ( m,n) ja LCM ( m,n) ilmaistaan kaavoilla:
Jos numeroita on enemmän kuin kaksi: , niiden GCD löydetään seuraavan algoritmin mukaan:
- tämä on haluttu GCD.
Myös löytääkseen suurin yhteinen jakaja, voit jakaa jokaisen annetuista luvuista alkutekijöiksi. Kirjoita sitten erikseen vain ne tekijät, jotka sisältyvät kaikkiin annettuihin lukuihin. Sitten kerromme kirjoitetut luvut keskenään - kertolaskutulos on suurin yhteinen jakaja .
Analysoidaan suurimman yhteisen jakajan laskentaa askel askeleelta:
1. Jaa lukujen jakajat alkutekijöiksi:
Laskelmat kirjoitetaan kätevästi pystypalkilla. Kirjoita rivin vasemmalle puolelle ensin osinko, oikealle - jakaja. Edelleen vasemmassa sarakkeessa kirjoitamme ylös yksityisen arvot. Selitetäänpä heti esimerkillä. Jaetaan luvut 28 ja 64 alkutekijöiksi.
2. Korostamme samoja alkutekijöitä molemmissa luvuissa:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Etsimme identtisten alkutekijöiden tulon ja kirjoitamme vastauksen:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Vastaus: GCD (28; 64) = 4
Voit järjestää GCD:n sijainnin kahdella tavalla: sarakkeessa (kuten yllä) tai "riville".
Ensimmäinen tapa kirjoittaa GCD:
Etsi GCD 48 ja 36.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
Toinen tapa kirjoittaa GCD:
Nyt kirjoitetaan GCD-hakuratkaisu riville. Etsi GCD 10 ja 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10, 15) = (1, 5)
Tämä artikkeli käsittelee suurimman yhteisen jakajan löytäminen (gcd) kaksi ja lisää numeroita. Harkitse ensin Euclid-algoritmia, jonka avulla voit löytää kahden luvun GCD:n. Sen jälkeen viivyttelemme menetelmässä, jonka avulla voimme laskea numeroiden GCD niiden yhteisten alkutekijöiden tulona. Seuraavaksi käsittelemme kolmen tai useamman luvun suurimman yhteisen jakajan löytämistä ja annamme myös esimerkkejä negatiivisten lukujen GCD:n laskemisesta.
Sivulla navigointi.
Euklidesin algoritmi GCD:n löytämiseksi
Huomaa, että jos olisimme kääntyneet alkulukutaulukon puoleen heti alusta alkaen, olisimme saaneet selville, että luvut 661 ja 113 ovat alkulukuja, joista voisi heti sanoa, että niiden suurin yhteinen jakaja on 1.
Vastaus:
gcd(661, 113)=1.
GCD:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi
Harkitse toista tapaa löytää GCD. Suurin yhteinen jakaja löytyy laskemalla luvut alkutekijöiksi. Muotoillaan sääntö: Kahden positiivisen kokonaisluvun a ja b gcd on yhtä suuri kuin kaikkien yleisten alkutekijöiden tulo a:n ja b:n tekijöissä alkutekijöiksi.
Annamme esimerkin GCD:n löytämisen säännön selittämiseksi. Kerro meille lukujen 220 ja 600 laajennukset alkutekijöiksi, ne ovat muotoa 220=2 2 5 11 ja 600=2 2 2 3 5 5 . Yleiset alkutekijät, jotka osallistuvat lukujen 220 ja 600 laajentamiseen, ovat 2, 2 ja 5. Siksi gcd(220, 600)=2 2 5=20 .
Jos siis jaamme luvut a ja b alkutekijöiksi ja löydämme niiden kaikkien yhteisten tekijöiden tulon, niin tämä löytää lukujen a ja b suurimman yhteisen jakajan.
Harkitse esimerkkiä GCD:n löytämisestä ilmoitetun säännön mukaan.
Esimerkki.
Etsi lukujen 72 ja 96 suurin yhteinen jakaja.
Ratkaisu.
Kerrotaan luvut 72 ja 96: 
Eli 72=2 2 2 3 3 ja 96=2 2 2 2 2 3 . Yleiset alkutekijät ovat 2, 2, 2 ja 3. Joten gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .
Vastaus:
gcd(72, 96)=24.
Tämän osion lopuksi huomautamme, että yllä olevan säännön pätevyys gcd:n löytämiseksi seuraa suurimman yhteisen jakajan ominaisuudesta, joka sanoo, että GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), jossa m on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.
Kolmen tai useamman luvun GCD:n etsiminen
Kolmen tai useamman luvun suurimman yhteisen jakajan löytäminen voidaan pelkistää kahden luvun gcd:n löytämiseksi peräkkäin. Mainitsimme tämän tutkiessamme GCD:n ominaisuuksia. Siellä muotoilimme ja todistimme lauseen: useiden lukujen suurin yhteinen jakaja a 1 , a 2 , …, a k on yhtä suuri kuin luku d k, joka löytyy peräkkäisestä laskelmasta 1, a k)=d k.
Katsotaanpa, miltä useiden lukujen GCD:n löytäminen näyttää ottamalla huomioon esimerkin ratkaisu.
Esimerkki.
Etsi neljän luvun 78, 294, 570 ja 36 suurin yhteinen jakaja.
Ratkaisu.
Tässä esimerkissä a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Ensin määritetään Euklidisen algoritmin avulla kahden ensimmäisen luvun 78 ja 294 suurin yhteinen jakaja d 2 . Jakamalla saadaan yhtälöt 294=78 3+60 ; 78=60 1+18; 60=18 3+6 ja 18=6 3 . Siten d2 =GCD(78,294)=6.
Nyt lasketaan d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Käytämme jälleen Euklides-algoritmia: 570=6·95 , joten d 3 =GCD(6, 570)=6 .
Laskeminen jää d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Koska 36 on jaollinen 6:lla, niin d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Näin ollen neljän annetun luvun suurin yhteinen jakaja on d 4 =6 , eli gcd(78, 294, 570, 36)=6 .
Vastaus:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Lukujen jakaminen alkutekijöiksi mahdollistaa myös kolmen tai useamman luvun GCD:n laskemisen. Tässä tapauksessa suurin yhteinen jakaja löytyy annettujen lukujen kaikkien yhteisten alkutekijöiden tulona.
Esimerkki.
Laske edellisen esimerkin lukujen GCD käyttämällä niiden alkutekijöitä.
Ratkaisu.
Jaamme luvut 78 , 294 , 570 ja 36 alkutekijöiksi, saamme 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19, 36=2 2 3. 3 . Kaikkien annettujen neljän luvun yhteiset alkutekijät ovat luvut 2 ja 3. Näin ollen GCD(78; 294; 570; 36) = 2 3 = 6.
Ratkaistaan ongelma. Meillä on kahdenlaisia evästeitä. Jotkut ovat suklaata ja jotkut ovat tavallisia. Suklaapaloja on 48 ja yksinkertaisia 36. Näistä keksistä tulee tehdä mahdollisimman paljon lahjoja ja ne kaikki tulee käyttää.
Ensin kirjoitetaan kaikki näiden kahden luvun jakajat, koska molempien lukujen on oltava jaollisia lahjojen lukumäärällä.
Saamme
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Etsitään jakajista ne yhteiset, jotka ovat sekä ensimmäisellä että toisella luvulla.
Yhteiset jakajat ovat: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Suurin yhteinen jakaja kaikista on 12. Tätä lukua kutsutaan lukujen 36 ja 48 suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.
Tuloksen perusteella voimme päätellä, että kaikista evästeistä voidaan tehdä 12 lahjaa. Yksi tällainen lahja sisältää 4 suklaakeksiä ja 3 tavallista keksiä.
Suurimman yhteisen jakajan löytäminen
- Suurinta luonnollista lukua, jolla kaksi lukua a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä, kutsutaan näiden lukujen suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.
Joskus lyhennettä GCD käytetään merkinnän lyhentämiseen.
Joidenkin lukuparien suurin yhteinen jakaja on yksi. Tällaisia numeroita kutsutaan koprimilukuja. Esimerkiksi numerot 24 ja 35. Onko GCD =1.
Kuinka löytää suurin yhteinen jakaja
Suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi ei tarvitse kirjoittaa kaikkia näiden lukujen jakajia.
Voit tehdä toisin. Kerro ensin molemmat luvut alkutekijöiksi.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Nyt ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan kaikki ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen. Meidän tapauksessamme nämä ovat kaksi kakkosta.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Jäljelle jäävät tekijät 2, 2 ja 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja.
Tämä sääntö voidaan laajentaa koskemaan kolmea, neljää ja niin edelleen. numeroita.
Yleinen kaavio suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi
- 1. Jaa luvut alkutekijöiksi.
- 2. Yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen.
- 3. Laske jäljellä olevien tekijöiden tulo.