Mitä kutsutaan suuntaissärmiöksi. kuutiomainen

Määritelmä

monitahoinen kutsumme suljettua pintaa, joka koostuu monikulmioista ja rajoittaa jonkin osan tilaa.

Segmenttejä, jotka ovat näiden polygonien sivuja, kutsutaan kylkiluut polyhedron ja itse monikulmiot - kasvot. Monikulmion kärkiä kutsutaan monitahojen kärjeksi.

Tarkastellaan vain kuperaa polyhedraa (tämä on monitaho, joka on kunkin tasonsa sisältävän tason toisella puolella).

Monikulmiot, jotka muodostavat monitahoisen, muodostavat sen pinnan. Tietyn polyhedronin rajaamaa avaruuden osaa kutsutaan sen sisäpuolelle.

Määritelmä: prisma

Tarkastellaan kahta samanlaista monikulmiota \(A_1A_2A_3...A_n\) ja \(B_1B_2B_3...B_n\), jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa siten, että janat \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) ovat yhdensuuntaisia. Monikulmioiden \(A_1A_2A_3...A_n\) ja \(B_1B_2B_3...B_n\) muodostama monitaho sekä suuntaviivat \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), kutsutaan (\(n\)-hiili) prisma.

Monikulmioita \(A_1A_2A_3...A_n\) ja \(B_1B_2B_3...B_n\) kutsutaan prisman kantaviksi, suuntaviiva \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sivupinnat, segmentit \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- kylkiluut.
Siten prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret keskenään.

Harkitse esimerkkiä - prismaa \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), jonka kanta on kupera viisikulmio.

Korkeus Prisma on kohtisuora, joka kulkee mistä tahansa yhden kannan pisteestä toisen kannan tasoon.

Jos sivureunat eivät ole kohtisuorassa pohjaan nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan vino(Kuva 1), muuten - suoraan. Suorassa prismassa sivureunat ovat korkeuksia ja sivupinnat yhtä suuret suorakulmiot.

Jos säännöllinen monikulmio on suoran prisman pohjalla, niin prismaa kutsutaan oikea.

Määritelmä: tilavuuden käsite

Tilavuusyksikkö on yksikkökuutio (kuutio, jonka mitat ovat \(1\times1\times1\) units\(^3\) , jossa yksikkö on jokin mittayksikkö).

Voimme sanoa, että polyhedronin tilavuus on tilan määrä, jonka tämä monitahoinen rajoittaa. Muuten: tämä on arvo numeerinen arvo joka näyttää kuinka monta kertaa yksikkökuutio ja sen osat sopivat tiettyyn polyhedriin.

Tilavuudella on samat ominaisuudet kuin alueella:

1. Samansuuruisten lukujen tilavuudet ovat yhtä suuret.

2. Jos monitaho koostuu useista ei-leikkaavista monitahoista, niin sen tilavuus on yhtä suuri kuin summa näiden polyhedrien tilavuuksia.

3. Volyymi on ei-negatiivinen arvo.

4. Tilavuus mitataan cm\(^3\) (kuutiosenttimetriä), m\(^3\) ( Kuutiometriä) jne.

Lause

1. Prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja prisman korkeuden tulo.
Sivupinta-ala on prisman sivupintojen pintojen summa.

2. Prisman tilavuus on yhtä suuri kuin perusalan ja prisman korkeuden tulo: \

Määritelmä: laatikko

Suuntaissärmiö Se on prisma, jonka kanta on suunnikas.

Suunnissarmioiden kaikki pinnat (niiden \(6\) : \(4\) sivupinnat ja \(2\) kanta) ovat suunnikkaat, ja vastakkaiset (toistensa kanssa yhdensuuntaiset) pinnat ovat yhtä suuria suunnikkaita (kuva 2).

Laatikon diagonaali on segmentti, joka yhdistää kaksi suuntaissärmiön kärkeä, jotka eivät ole samassa pinnassa (niiden \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) jne.).

kuutiomainen on suora suuntaissärmiö, jonka pohjassa on suorakulmio.
Koska on oikea suuntaissärmiö, silloin sivupinnat ovat suorakulmioita. Joten yleensä kaikki suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön pinnat ovat suorakulmioita.

Kaikki kuution diagonaalit ovat yhtä suuret (tämä seuraa kolmioiden yhtäläisyydestä \(\kolmio ACC_1=\kolmio AA_1C=\kolmio BDD_1=\kolmio BB_1D\) jne.).

Kommentti

Näin ollen suuntaissärmiöllä on kaikki prisman ominaisuudet.

Lause

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri \

Neliö koko pinta suorakulmainen suuntaissärmiö on yhtä suuri kuin \

Lause

Kuumion tilavuus on yhtä suuri kuin sen yhdestä kärjestä lähtevän kolmen reunan tulo (kolme kuution mittaa): \

Todiste

Koska suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden, jolloin ne ovat myös sen korkeuksia, eli \(h=AA_1=c\) pohja on suorakulmio \(S_(\teksti(pää))=AB\cdot AD=ab\). Tästä kaava tulee.

Lause

Kuution diagonaalia \(d\) etsitään kaavalla (jossa \(a,b,c\) ovat kuution mitat)\

Todiste

Harkitse fig. 3. Koska kanta on suorakulmio, silloin \(\kolmio ABD\) on suorakaiteen muotoinen, joten Pythagoraan lauseella \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Koska kaikki sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) kohtisuorassa mihin tahansa tämän tason suoraan nähden, ts. \(BB_1\perp BD\) . Joten \(\kolmio BB_1D\) on suorakaiteen muotoinen. Sitten Pythagoraan lauseella \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Määritelmä: kuutio

Kuutio on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuria neliöitä.

Näin ollen kolme ulottuvuutta ovat keskenään yhtä suuret: \(a=b=c\) . Joten seuraavat ovat totta

Lauseet

1. Kuution, jonka reuna on \(a\), tilavuus on \(V_(\teksti(kuutio))=a^3\) .

2. Kuution diagonaalia etsitään kaavalla \(d=a\sqrt3\) .

3. Kuution kokonaispinta-ala \(S_(\text(täydet kuution iteraatiot))=6a^2\).

Suuntaissärmiö on geometrinen kuvio, jonka kaikki kuusi pintaa ovat suunnikkaita.

Näiden suuntaissärmiöiden tyypistä riippuen erotetaan seuraavat suuntaissärmiöt:

• suoraan;
• taipuvainen;
• suorakulmainen.

Oikea suuntaissärmiö on nelikulmainen prisma, jonka reunat muodostavat 90° kulman perustason kanssa.

Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö on nelikulmainen prisma, jonka kaikki pinnat ovat suorakulmioita. Kuutio on eräänlainen nelikulmainen prisma, jossa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Figuurin ominaisuudet määräävät sen ominaisuudet. Nämä sisältävät seuraavat 4 lausuntoa:

Kaikkien yllä olevien ominaisuuksien muistaminen on yksinkertaista, ne on helppo ymmärtää ja johdetaan loogisesti tyypin ja ominaisuuksien perusteella geometrinen runko. Yksinkertaiset lausunnot voivat kuitenkin olla uskomattoman hyödyllisiä tyypillisten USE-tehtävien ratkaisemisessa ja säästävät testin läpäisemiseen tarvittavaa aikaa.

Yhdensuuntaiset kaavat

Vastausten löytämiseksi ongelmaan ei riitä, että tietää vain kuvion ominaisuudet. Saatat tarvita myös joitain kaavoja geometrisen kappaleen alueen ja tilavuuden löytämiseksi.

Kantojen pinta-ala löytyy myös suunnikkaan tai suorakulmion vastaavana indikaattorina. Voit valita suunnikkaan kannan itse. Yleensä tehtäviä ratkaistaessa on helpompi työskennellä prismalla, joka perustuu suorakulmioon.

Kaava suuntaissärmiön sivupinnan löytämiseksi voi olla tarpeen myös testitehtävissä.

Esimerkkejä tyypillisten USE-tehtävien ratkaisemisesta

Harjoitus 1.

Annettu: suorakulmainen, jonka mitat ovat 3, 4 ja 12 cm.
Välttämätön Etsi kuvion yhden päädiagonaalin pituus.
Päätös: Kaikki geometrisen ongelman ratkaisut on aloitettava oikean ja selkeän piirustuksen rakentamisella, johon merkitään "annettu" ja haluttu arvo. Alla oleva kuva on esimerkki oikea muotoilu tehtävän ehdot.

Harkittuaan tehtyä piirustusta ja muistamalla kaikki geometrisen kappaleen ominaisuudet, tulemme ainoaan oikeaan tapaan ratkaista se. Käyttämällä suuntaissärmiön ominaisuutta 4, saadaan seuraava lauseke:

Yksinkertaisten laskelmien jälkeen saadaan lauseke b2=169, joten b=13. Tehtävään on löydetty vastaus, sen etsimiseen ja piirtämiseen kuluu enintään 5 minuuttia.

Oppitunnin tavoitteet:

1. Koulutus:

Esittele suuntaissärmiön käsite ja sen tyypit;
- muotoilla (käyttämällä analogiaa suunnikkaan ja suorakulmion kanssa) ja todistaa suuntaissärmiön ja suorakulmaisen suuntaissärmiön ominaisuudet;
- toistaa avaruuden rinnakkaisuuteen ja kohtisuoraan liittyviä kysymyksiä.

2. Kehittäminen:

Jatkaa opiskelijoiden kognitiivisten prosessien, kuten havainnoinnin, ymmärtämisen, ajattelun, huomion, muistin, kehittämistä;
- edistää elementtien kehittymistä opiskelijoissa luovaa toimintaa ajattelun ominaisuuksina (intuitio, spatiaalinen ajattelu);
- Muodostaa opiskelijoissa kyky tehdä johtopäätöksiä, myös analogisesti, mikä auttaa ymmärtämään geometrian oppiaineen sisäisiä yhteyksiä.

3. Koulutus:

Osallistu koulutusta organisaation, tottumukset systemaattista työtä;
- edistää esteettisten taitojen muodostumista muistiinpanojen valmistuksessa, piirustusten tekemisessä.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppitunti (2 tuntia).

Oppitunnin rakenne:

1. Organisatorinen hetki.
2. Tiedon toteuttaminen.
3. Uuden materiaalin oppiminen.
4. Kotitehtävien yhteenveto ja asettaminen.

Varusteet: julisteet (diat) todisteilla, eri geometristen kappaleiden mallit, mukaan lukien kaikenlaiset suuntaissärmiöt, graafiprojektori.

Tuntien aikana.

1. Organisatorinen hetki.

2. Tiedon toteuttaminen.

Oppitunnin aiheen raportointi, tavoitteiden ja päämäärien muotoilu opiskelijoiden kanssa, aiheen opiskelun käytännön merkityksen osoittaminen, tähän aiheeseen liittyvien aiemmin opittujen asioiden toistaminen.

3. Uuden materiaalin oppiminen.

3.1. Parallelepiped ja sen tyypit.

Suuntaissärmiöiden mallit esitellään tunnistamalla niiden piirteet, jotka auttavat muotoilemaan suuntaissärmiön määritelmää käyttämällä prisman käsitettä.

Määritelmä:

Suuntaissärmiö Kutsutaan prismaa, jonka kanta on suunnikas.

Piirretään suuntaissärmiö (kuva 1), suuntaissärmiön elementit on lueteltu prisman erikoistapauksena. Dia 1 näytetään.

Määritelmän kaavamainen merkintä:

Määritelmästä tehdään johtopäätökset:

1) Jos ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on prisma ja ABCD on suunnikas, niin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on suuntaissärmiö.

2) Jos ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – suuntaissärmiö, niin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on prisma ja ABCD on suuntaviiva.

3) Jos ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ei ole prisma tai ABCD ei ole suunnikas, niin
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ei suuntaissärmiö.

4) . Jos ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ei ole suuntaissärmiö, silloin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ei ole prisma tai ABCD ei ole suuntaviiva.

Seuraavaksi tarkastellaan suuntaissärmiön erikoistapauksia luokittelukaavion rakentamisen yhteydessä (katso kuva 3), esitellään mallit ja erotetaan suoran ja suorakulmaisen suuntaissärmiön tunnusomaiset ominaisuudet, muotoillaan niiden määritelmät.

Määritelmä:

Suuntaissärmiötä kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden.

Määritelmä:

Suuntaissärmiötä kutsutaan suorakulmainen, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden ja kanta on suorakulmio (katso kuva 2).

Kun määritelmät on kirjoitettu kaavamaiseen muotoon, niistä tehdään johtopäätökset.

3.2. Suuntasärmiön ominaisuudet.

Hae planimetrisiä kuvioita, joiden spatiaalisia analogeja ovat suuntaissärmiö ja suorakulmainen suuntaissärmiö (rinnakkaissärmiö ja suorakaide). Tässä tapauksessa kyseessä on kuvioiden visuaalinen samankaltaisuus. Käyttäen päättelysääntöä analogisesti, taulukot täytetään.

Päätelmäsääntö analogisesti:

1. Valitse aiemmin tutkituista luvut kuva samanlainen kuin tämä.
2. Muotoile valitun kuvion ominaisuus.
3. Muotoile alkuperäisen kuvion samanlainen ominaisuus.
4. Todista tai kumoa muotoiltu väite.

Ominaisuuksien muotoilun jälkeen jokainen niistä todistetaan seuraavan kaavion mukaisesti:

• keskustelu todistussuunnitelmasta;
• diaesittely (diat 2-6);
• opiskelijoiden suorittama todisteiden rekisteröinti muistikirjoihin.

3.3 Kuutio ja sen ominaisuudet.

Määritelmä: Kuutio on kuutio, jonka kaikki kolme ulottuvuutta ovat yhtä suuret.

Analogisesti suuntaissärmiön kanssa opiskelijat tekevät itsenäisesti kaavamaisen tallenteen määritelmästä, päättävät siitä seuraukset ja muotoilevat kuution ominaisuudet.

4. Kotitehtävien yhteenveto ja asettaminen.

Kotitehtävät:

1. Oppituntisuunnitelmaa käyttäen luokille 10-11 tarkoitetun geometrian oppikirjan mukaan L.S. Atanasyan ym., tutkimus luku 1, §4, s.13, luku 2, §3, s.24.
2. Todista tai kiistä suuntaissärmiön ominaisuus, taulukon kohta 2.
3. Vastaa turvakysymyksiin.

Testikysymykset.

1. Tiedetään, että suuntaissärmiön vain kaksi sivupintaa ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Minkä tyyppinen suuntaissärmiö?

2. Kuinka monta suorakaiteen muotoista sivupintaa suuntaissärmiöllä voi olla?

3. Onko mahdollista saada suuntaissärmiö, jossa on vain yksi sivupinta:

1) kohtisuorassa alustaan ​​nähden;
2) on suorakulmion muotoinen.

4. Oikeassa suuntaissärmiössä kaikki lävistäjät ovat yhtä suuret. Onko se suorakaiteen muotoinen?

5. Onko totta, että suorassa suuntaissärmiössä lävistäjäleikkaukset ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden?

6. Muodosta lause, joka on käänteinen suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön diagonaalin neliön lauseeseen nähden.

7. Mitkä lisäominaisuudet erottavat kuution kuutiosta?

8. Onko kuutio suuntaissärmiö, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret yhdessä kärjestä?

9. Muotoile lause suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjän neliöstä kuution tapaukselle.

Tai (vastaavasti) monitahoinen, jossa on kuusi pintaa ja jokainen niistä - suunnikas.

Laatikon tyypit

Suuntaissärmiöitä on useita tyyppejä:

• Kuuma on kuutio, jonka kaikki pinnat ovat suorakulmioita.
• Oikea suuntaissärmiö on suuntaissärmiö, jossa on 4 sivupintaa, jotka ovat suorakulmioita.
• Vino laatikko on laatikko, jonka sivupinnat eivät ole kohtisuorassa pohjaan nähden.

Pääelementit

Suuntaissärmiön kahta pintaa, joilla ei ole yhteistä reunaa, kutsutaan vastakkaiksi, ja niitä, joilla on yhteinen reuna, kutsutaan vierekkäisiksi. Kaksi suuntaissärmiön kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan, kutsutaan vastakkaiksi. Vastakkaiset kärjet yhdistävää janaa kutsutaan suuntaissärmiön diagonaaliksi. Kuution kolmen sellaisen reunan pituuksia, joilla on yhteinen kärki, kutsutaan sen mitoiksi.

Ominaisuudet

• Suuntaissärmiö on symmetrinen diagonaalinsa keskipisteen suhteen.
• Mikä tahansa segmentti, jonka päät kuuluvat suuntaissärmiön pintaan ja kulkevat sen lävistäjän keskeltä, jaetaan sillä puoliksi; erityisesti kaikki suuntaissärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat sen.
• Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset.
• Kuutiomuodon diagonaalin pituuden neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

Peruskaavat

Oikea suuntaissärmiö

Sivuttaispinta-ala S b \u003d R o * h, missä R o on pohjan ympärysmitta, h on korkeus

Kokonaispinta-ala S p \u003d S b + 2S o, missä S o on kannan pinta-ala

Äänenvoimakkuus V=S o *h

kuutiomainen

Sivuttaispinta-ala S b \u003d 2c (a + b), missä a, b ovat pohjan sivut, c on suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivureuna

Kokonaispinta-ala S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Äänenvoimakkuus V=abc, missä a, b, c ovat kuution mitat.

Kuutio

Pinta-ala: $S\; =\; 6a^2$
Äänenvoimakkuus: $V=a^3$, missä $a$- kuution reuna.

Mielivaltainen laatikko

Vinolaatikon tilavuus ja suhteet määritetään usein käyttämällä vektorialgebraa. Suuntasärmiön tilavuus on yhtä suuri kuin yhdestä kärjestä lähtevän suuntaissärmiön kolmen sivun määrittelemän kolmen vektorin sekatulon itseisarvo. Suuntasärmiön sivujen pituuksien ja niiden välisten kulmien välinen suhde antaa väitteen, että näiden kolmen vektorin Gram-determinantti on yhtä suuri kuin niiden sekatulon neliö: 215 .

Matemaattisessa analyysissä

Matemaattisessa analyysissä n-ulotteisen suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön alla $B$ ymmärtää monia kohtia $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ ystävällinen $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Kirjoita arvostelu artikkelista "Parallelepiped"

Huomautuksia

Linkit

Oikea Oikea ei-kupera kupera kaavat, lauseet, teorioita Muut

Ote, joka luonnehtii Paralleleppediä

- On dit que les rivaux se sont sovittaa armon a l "angine... [Sanotaan, että kilpailijat tekivät sovinnon tämän sairauden ansiosta.]
Sana angiina toistettiin suurella ilolla.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait vaaraeux. [Vanha kreivi on hyvin koskettavaa, sanotaan. Hän itki kuin lapsi, kun lääkäri sanoi tuon vaarallisen tapauksen.]
Voi, ce serait une perte kauheaa. C "est une femme ravissante. [Oi, se olisi suuri menetys. Niin ihana nainen.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse", sanoi Anna Pavlovna tullessaan. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - sanoi Anna Pavlovna hymyillen innostuneena. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Puhut köyhästä kreivitärestä... Lähetin selvittääkseni hänen terveytensä. Minulle kerrottiin, että hän oli vähän parempi. Oi, epäilemättä tämä on maailman kaunein nainen. Kuulumme eri leireihin, mutta tämä ei estä minua kunnioittamasta häntä hänen ansioidensa mukaan. Hän on niin onneton.] Anna Pavlovna lisäsi.
Uskoen, että Anna Pavlovna nosti näillä sanoilla hieman salassapitoverhoa kreivitären sairauden yli, yksi huolimaton nuori mies antoi itsensä ilmaista hämmästyksensä siitä, ettei heitä kutsuttu. kuuluisia lääkäreitä, mutta kreivitärtä hoitaa sarlataani, joka voi tarjota vaarallisia lääkkeitä.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes", Anna Pavlovna hyökkäsi yhtäkkiä kokemattoman kimppuun. nuorimies. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Uutisesi saattavat olla tarkempia kuin minun... mutta olen kotoisin hyviä lähteitä Tiedän, että tämä lääkäri on erittäin oppinut ja taitava henkilö. Tämä on Espanjan kuningattaren elämänlääkäri.] - Ja tuhoten näin nuoren miehen, Anna Pavlovna kääntyi Bilibinin puoleen, joka toisessa ympyrässä, otti ihon ja oli ilmeisesti hajottamassa sitä, sanoa un mot. itävaltalaisista.
- Je trouve que c "est charmant! [Minusta se on viehättävä!] - hän sanoi diplomaattisesta paperista, jonka alla Wittgensteinin ottamat itävaltalaiset liput lähetettiin Wieniin, le heros de Petropol [Petropolisin sankari] (kuten hän) kutsuttiin Pietariin).
- Miten, miten se on? Anna Pavlovna kääntyi hänen puoleensa herättäen hiljaisuuden kuullakseen motin, jonka hän jo tiesi.
Ja Bilibin toisti seuraavat aidot sanat laatimastaan ​​diplomaattisesta lähetyksestä:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", Bilibin sanoi, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Keisari lähettää itävaltalaisia ​​bannereita, ystävällisiä ja harhaanjohtavia bannereita, jotka hän löysi ulkopuolelta. oikea tie.] lopetti Bilibinin löysentäen hänen ihoaan.
- Viehättävä, hurmaava, [Hurmaava, hurmaava,] - sanoi prinssi Vasily.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Tämä on Varsovan tie, ehkä.] - Prinssi Hippolyte sanoi äänekkäästi ja odottamatta. Kaikki katsoivat häntä ymmärtämättä, mitä hän halusi sanoa tällä. Prinssi Hippolyte katseli myös ympärilleen iloinen yllätys ympärillään. Hän, kuten muut, ei ymmärtänyt sanojensa merkitystä. Diplomaattiuransa aikana hän huomasi useammin kuin kerran, että näin yhtäkkiä lausutut sanat osoittautuivat erittäin nokkeliksi, ja varmuuden vuoksi hän sanoi nämä sanat: "Ehkä siitä tulee erittäin hyvä", hän ajatteli, "ja jos se ei tule ulos, he voivat järjestää sen siellä." Todellakin, vaikka vallitsi kiusallinen hiljaisuus, tuo riittämättömän isänmaallinen kasvo tuli sisään. Anna Pavlovna ja hän, hymyillen ja pudistaen sormeaan Ippolitille, kutsuivat ruhtinas Vasilian pöytään ja toivat hänelle kaksi kynttilää ja käsikirjoituksen ja pyysivät häntä aloittamaan.

Tällä oppitunnilla jokainen voi opiskella aihetta "Suorakulmainen laatikko". Oppitunnin alussa toistamme, mitä mielivaltaiset ja suorat suuntaissärmiöt ovat, muistamme niiden vastakkaisten pintojen ja suuntaissärmiön lävistäjän ominaisuudet. Sitten pohditaan, mikä on kuutio ja keskustellaan sen tärkeimmistä ominaisuuksista.

Aihe: Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus

Oppitunti: Cuboid

Pinta, joka koostuu kahdesta yhtä suuresta suunnikkaasta ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 ja neljästä suunnikkaasta ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, on ns. suuntaissärmiö(Kuva 1).

Riisi. 1 Rinnakkaisputki

Eli: meillä on kaksi samankokoista suunnikkaa ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 (kanta), ne sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa siten, että sivureunat AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ovat yhdensuuntaiset. Siten suunnikkapiireistä koostuvaa pintaa kutsutaan suuntaissärmiö.

Näin ollen suuntaissärmiön pinta on kaikkien suuntaissärmiön muodostavien suuntaissärmiöiden summa.

1. Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset.

(luvut ovat yhtä suuret, eli ne voidaan yhdistää päällekkäin)

Esimerkiksi:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (määritelmän mukaan yhtäläiset suuntaviivat),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (koska AA 1 B 1 B ja DD 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (koska AA 1 D 1 D ja BB 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat).

2. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat tämän pisteen.

Suuntasärmiön AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä O, ja jokainen lävistäjä jaetaan tällä pisteellä puoliksi (kuva 2).

Riisi. 2 Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat ja puolittavat leikkauspisteen.

3. Suuntasärmiössä on kolme samansuuntaista ja yhdensuuntaista reunaa: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Määritelmä. Suuntaissärmiötä kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden.

Olkoon sivureuna AA 1 kohtisuorassa alustaan ​​nähden (kuva 3). Tämä tarkoittaa, että suora AA 1 on kohtisuorassa kannan tasossa oleviin suoriin AD ja AB nähden. Ja siksi suorakulmiot sijaitsevat sivupinnoissa. Ja kantakohdat ovat mielivaltaisia ​​suunnikkaat. Merkitse, ∠BAD = φ, kulma φ voi olla mikä tahansa.

Riisi. 3 Oikea laatikko

Oikea laatikko on siis laatikko, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa laatikon pohjaan nähden.

Määritelmä. Suuntaissärmiötä kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Pohjat ovat suorakulmioita.

Suuntaissärmiö АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 on suorakaiteen muotoinen (kuva 4), jos:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sivureuna on kohtisuorassa kannan tasoon nähden, eli suora suuntaissärmiö).

2. ∠BAD = 90°, eli kanta on suorakulmio.

Riisi. 4 Cuboid

Suorakaiteen muotoisella laatikolla on kaikki mielivaltaisen laatikon ominaisuudet. Mutta on myös muita ominaisuuksia, jotka on johdettu kuutiomuodon määritelmästä.

Niin, kuutiomainen on suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Kuution kanta on suorakulmio.

1. Kuutiomuodossa kaikki kuusi sivua ovat suorakulmioita.

ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 ovat määritelmän mukaan suorakulmioita.

2. Lateraaliset kylkiluut ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Tämä tarkoittaa, että kaikki kuution sivupinnat ovat suorakulmioita.

3. Kaikki kuution kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia.

Tarkastellaan esimerkiksi suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön, jonka reuna on AB, dihedraalikulmaa eli tasojen ABB 1 ja ABC välistä kaksitahokulmaa.

AB on reuna, piste A 1 sijaitsee yhdessä tasossa - tasossa ABB 1 ja piste D toisessa - tasossa A 1 B 1 C 1 D 1. Tällöin tarkasteltu dihedraalikulma voidaan merkitä myös seuraavasti: ∠А 1 АВD.

Ota piste A reunalta AB. AA 1 on kohtisuorassa reunaan AB tasossa ABB-1, AD on kohtisuorassa reunaan AB tasossa ABC. Näin ollen ∠A 1 AD on annetun dihedraalisen kulman lineaarinen kulma. ∠A 1 AD \u003d 90 °, mikä tarkoittaa, että dihedraalinen kulma reunassa AB on 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Samoin on todistettu, että suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön dihedraaliset kulmat ovat oikeat.

Kuution diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

Huomautus. Kuutiomuodon samasta kärjestä lähtevien kolmen reunan pituudet ovat kuution mittoja. Niitä kutsutaan joskus pituudeksi, leveydeksi, korkeudeksi.

Annettu: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö (kuva 5).

Todistaa: .

Riisi. 5 Cuboid

Todiste:

Suora CC 1 on kohtisuorassa tasoon ABC ja siten linjaan AC nähden. Joten kolmio CC 1 A on suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseen mukaan:

Harkitse suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan:

Mutta BC ja AD ovat suorakulmion vastakkaisia ​​puolia. Joten BC = AD. Sitten:

Kuten , a , sitten. Koska CC 1 = AA 1, niin mitä piti todistaa.

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjät ovat yhtä suuret.

Merkitään suuntaissärmiön ABC:n mitoiksi a, b, c (ks. kuva 6), jolloin AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =