Descripción analítica del movimiento uniformemente acelerado. Derivación de la fórmula para moverse con movimiento uniformemente acelerado. Trayectoria

Lo más importante para nosotros es poder calcular el desplazamiento del cuerpo, porque conociendo el desplazamiento, también podemos encontrar las coordenadas del cuerpo, y esta es la tarea principal de la mecánica. Cómo calcular el desplazamiento movimiento uniformemente acelerado?

La fórmula para determinar el desplazamiento es más fácil de obtener si usa el método gráfico.

En el § 9, vimos que con un movimiento uniforme rectilíneo, el desplazamiento del cuerpo es numéricamente igual al área de la figura (rectángulo) ubicada debajo del gráfico de velocidad. ¿Es esto cierto para el movimiento uniformemente acelerado?

Con un movimiento uniformemente acelerado del cuerpo a lo largo del eje de coordenadas X, la velocidad no permanece constante en el tiempo, sino que cambia con el tiempo de acuerdo con las fórmulas:

Por lo tanto, los gráficos de velocidad tienen la forma que se muestra en la Figura 40. La línea 1 en esta figura corresponde al movimiento con aceleración "positiva" (aumenta la velocidad), la línea 2 corresponde al movimiento con aceleración "negativa" (disminuye la velocidad). Ambos gráficos se refieren al caso en que en el momento del tiempo el cuerpo tenía una velocidad

Seleccionamos una pequeña sección en el gráfico de la velocidad del movimiento uniformemente acelerado (Fig. 41) y bajamos desde los puntos a y perpendiculares al eje La longitud del segmento en el eje es numéricamente igual al pequeño intervalo de tiempo durante el cual la velocidad cambiado de su valor en el punto a a su valor en el punto Debajo de la sección, los gráficos resultaron ser una franja estrecha

Si el intervalo de tiempo numéricamente igual al segmento es lo suficientemente pequeño, entonces durante este tiempo el cambio en la velocidad también es pequeño. El movimiento durante este período de tiempo se puede considerar uniforme, y la tira entonces se diferenciará poco de un rectángulo. El área de la tira es por lo tanto numéricamente igual al desplazamiento del cuerpo en el tiempo correspondiente al segmento

Pero es posible dividir toda el área de la figura ubicada debajo del gráfico de velocidad en franjas tan estrechas. En consecuencia, el desplazamiento para todo el tiempo es numéricamente igual al área del trapezoide.El área del trapezoide, como se sabe de la geometría, es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y la altura. En nuestro caso, la longitud de una de las bases del trapecio es numéricamente igual a la longitud de la otra - V. Su altura es numéricamente igual.Se deduce que el desplazamiento es igual a:

Sustituimos la expresión (1a) en esta fórmula, luego

Dividiendo término a término el numerador entre el denominador, obtenemos:

Sustituyendo la expresión (16) en la fórmula (2), obtenemos (ver Fig. 42):

La fórmula (2a) se utiliza cuando el vector aceleración está dirigido en la misma dirección que el eje de coordenadas, y la fórmula (26) cuando la dirección del vector aceleración es opuesta a la dirección de este eje.

Si la velocidad inicial es cero (Fig. 43) y el vector de aceleración se dirige a lo largo del eje de coordenadas, entonces de la fórmula (2a) se deduce que

Si la dirección del vector aceleración es opuesta a la dirección del eje de coordenadas, entonces de la fórmula (26) se sigue que

(el signo "-" aquí significa que el vector de desplazamiento, así como el vector de aceleración, están dirigidos en dirección opuesta al eje de coordenadas seleccionado).

Recuerde que en las fórmulas (2a) y (26), las cantidades y pueden ser tanto positivas como negativas; estas son proyecciones de los vectores y

Ahora que hemos recibido las fórmulas para calcular el desplazamiento, es fácil para nosotros obtener la fórmula para calcular las coordenadas del cuerpo. Hemos visto (ver § 8) que para encontrar la coordenada del cuerpo en algún momento, es necesario sumar a la coordenada inicial la proyección del vector desplazamiento del cuerpo sobre el eje de coordenadas:

(Porque) si el vector aceleración está dirigido en la misma dirección que el eje de coordenadas, y

si la dirección del vector aceleración es opuesta a la dirección del eje de coordenadas.

Estas son las fórmulas que te permiten encontrar la posición del cuerpo en cualquier momento en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Para hacer esto, necesita conocer la coordenada inicial del cuerpo, su velocidad inicial y la aceleración a.

Tarea 1. El conductor de un automóvil que se movía a una velocidad de 72 km/h vio un semáforo en rojo y frenó. Después de eso, el automóvil comenzó a reducir la velocidad, moviéndose con aceleración.

¿Cuál es la distancia recorrida por el automóvil en el tiempo segundos después del inicio del frenado? ¿Qué distancia recorrerá el automóvil antes de detenerse por completo?

Decisión. Para el origen de coordenadas, elegimos el punto de la carretera en el que el coche empezó a frenar. Dirijamos el eje de coordenadas en la dirección del movimiento del automóvil (Fig. 44), y refiramos la referencia de tiempo al momento en que el conductor presionó el freno. La velocidad del automóvil está en la misma dirección que el eje x, y la aceleración del automóvil es opuesta a la dirección de este eje. Por lo tanto, la proyección de la velocidad en el eje X es positiva y la proyección de la aceleración es negativa, y la coordenada del vehículo se debe encontrar usando la fórmula (36):

Sustituyendo en esta fórmula los valores

Ahora busquemos la distancia que recorrerá el automóvil antes de detenerse por completo. Para hacer esto, necesitamos saber el tiempo de movimiento. Se puede encontrar usando la fórmula

Como en el momento en que el automóvil se detiene, su velocidad es cero, entonces

La distancia que recorrerá el automóvil hasta detenerse por completo es igual a la coordenada del automóvil en ese momento

Tarea 2. Determinar el desplazamiento del cuerpo, cuya gráfica de velocidad se muestra en la Figura 45. La aceleración del cuerpo es a.

Decisión. Dado que al principio el módulo de la velocidad del cuerpo disminuye con el tiempo, el vector aceleración se dirige en dirección opuesta a la dirección . Para calcular el desplazamiento, podemos usar la fórmula

Del gráfico se puede ver que el tiempo de movimiento es por lo tanto:

La respuesta obtenida muestra que el gráfico que se muestra en la figura 45 corresponde al movimiento del cuerpo primero en una dirección y luego la misma distancia en la dirección opuesta, por lo que el cuerpo se encuentra en el punto de partida. Tal gráfico puede, por ejemplo, referirse al movimiento de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba.

Problema 3. Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta con aceleración uniforme a. Encuentre la diferencia en las distancias recorridas por el cuerpo en dos períodos de tiempo iguales sucesivos, es decir

Decisión. Tomemos la línea recta a lo largo de la cual se mueve el cuerpo como el eje X. Si en el punto A (Fig. 46) la velocidad del cuerpo era igual, entonces su movimiento en el tiempo es igual a:

En el punto B, el cuerpo tenía una velocidad y su desplazamiento durante el siguiente período de tiempo es:

2. La figura 47 muestra las gráficas de la velocidad de movimiento de tres cuerpos? ¿Cuál es la naturaleza del movimiento de estos cuerpos? ¿Qué se puede decir acerca de las velocidades de los cuerpos en los momentos de tiempo correspondientes a los puntos A y B? Determine las aceleraciones y escriba las ecuaciones de movimiento (fórmulas para velocidad y desplazamiento) de estos cuerpos.

3. Utilizando las gráficas de las velocidades de tres cuerpos que se muestran en la Figura 48, realice las siguientes tareas: a) Determine las aceleraciones de estos cuerpos; b) componer para

de cada cuerpo la fórmula de la dependencia de la velocidad con el tiempo: c) ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los movimientos correspondientes a los gráficos 2 y 3?

4. La figura 49 muestra gráficos de la velocidad de movimiento de tres cuerpos. De acuerdo con estos gráficos: a) determine a qué corresponden los segmentos OA, OB y ​​OS en los ejes de coordenadas; 6) encontrar las aceleraciones con las que se mueven los cuerpos: c) escribir las ecuaciones de movimiento de cada cuerpo.

5. Durante el despegue, la aeronave pasa la pista en 15 segundos y en el momento del despegue desde el aterrizaje tiene una velocidad de 100 m/s. ¿Qué tan rápido se movía el avión y qué tan larga era la pista?

6. El auto se detuvo en un semáforo. Después de que se enciende la señal verde, comienza a moverse con aceleración y se mueve así hasta que su velocidad llega a ser igual a 16 m/s, después de lo cual continúa moviéndose a una velocidad constante. ¿A qué distancia del semáforo estará el automóvil 15 segundos después de que aparezca la luz verde?

7. Un proyectil con una velocidad de 1000 m/s atraviesa la pared de la piragua en 10 minutos y luego tiene una velocidad de 200 m/s. Considerando que el movimiento del proyectil en el espesor de la pared es uniformemente acelerado, encuentre el espesor de la pared.

8. El cohete se mueve con aceleración y en algún momento alcanza una velocidad de 900 m/seg. ¿Qué camino tomará en el próximo

9. ¿A qué distancia de la Tierra estaría astronave 30 minutos después de la salida, si se movió en línea recta con aceleración todo el tiempo

movimiento uniforme- este es un movimiento a una velocidad constante, es decir, cuando la velocidad no cambia (v \u003d const) y no hay aceleración ni desaceleración (a \u003d 0).

movimiento rectilíneo es un movimiento en línea recta, es decir, una trayectoria movimiento rectilíneo es una línea recta.

Es un movimiento en el que el cuerpo realiza los mismos movimientos durante intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, si dividimos algún intervalo de tiempo en segmentos de un segundo, entonces con movimiento uniforme el cuerpo se moverá la misma distancia para cada uno de estos segmentos de tiempo.

La velocidad del movimiento rectilíneo uniforme no depende del tiempo y en cada punto de la trayectoria se dirige de la misma manera que el movimiento del cuerpo. Es decir, el vector de desplazamiento coincide en dirección con el vector de velocidad. Donde velocidad media para cualquier período de tiempo es igual a la velocidad instantánea:

Velocidad de movimiento rectilíneo uniforme es una cantidad vectorial física igual a la relación entre el desplazamiento del cuerpo durante cualquier período de tiempo y el valor de este intervalo t:

V(vector) = s(vector) / t

Por lo tanto, la velocidad del movimiento rectilíneo uniforme muestra qué movimiento hace un punto material por unidad de tiempo.

Moviente con movimiento rectilíneo uniforme está determinada por la fórmula:

s(vector) = V(vector) t

Distancia viajada en movimiento rectilíneo es igual al módulo de desplazamiento. Si la dirección positiva del eje OX coincide con la dirección del movimiento, entonces la proyección de la velocidad en el eje OX es igual a la velocidad y es positiva:

v x = v, es decir, v > 0

La proyección del desplazamiento sobre el eje OX es igual a:

s \u003d vt \u003d x - x 0

donde x 0 es la coordenada inicial del cuerpo, x es la coordenada final del cuerpo (o la coordenada del cuerpo en cualquier momento)

Ecuación de movimiento, es decir, la dependencia de la coordenada del cuerpo en el tiempo x = x(t), toma la forma:

Si la dirección positiva del eje OX es opuesta a la dirección de movimiento del cuerpo, entonces la proyección de la velocidad del cuerpo sobre el eje OX es negativa, la velocidad es menor que cero (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

4. Movimiento de igual variable.

Movimiento rectilíneo uniforme Este es un caso especial de movimiento no uniforme.

movimiento desigual- este es un movimiento en el que un cuerpo (punto material) realiza movimientos desiguales en intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, un autobús urbano se mueve de manera irregular, ya que su movimiento consiste principalmente en aceleración y desaceleración.

Movimiento de igual variable- este es un movimiento en el que la velocidad de un cuerpo (punto material) cambia de la misma manera para intervalos de tiempo iguales.

Aceleración de un cuerpo en movimiento uniforme permanece constante en magnitud y dirección (a = const).

El movimiento uniforme se puede acelerar o desacelerar uniformemente.

Movimiento uniformemente acelerado- este es el movimiento de un cuerpo (punto material) con una aceleración positiva, es decir, con tal movimiento, el cuerpo acelera con una aceleración constante. En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, el módulo de la velocidad del cuerpo aumenta con el tiempo, la dirección de la aceleración coincide con la dirección de la velocidad del movimiento.

Cámara lenta uniforme- este es el movimiento de un cuerpo (punto material) con aceleración negativa, es decir, con tal movimiento, el cuerpo se ralentiza uniformemente. Con un movimiento uniformemente lento, los vectores de velocidad y aceleración son opuestos y el módulo de velocidad disminuye con el tiempo.

En mecánica, cualquier movimiento rectilíneo se acelera, por lo que el movimiento lento se diferencia del movimiento acelerado solo por el signo de la proyección del vector de aceleración sobre el eje seleccionado del sistema de coordenadas.

Velocidad media de movimiento variable se determina dividiendo el movimiento del cuerpo por el tiempo durante el cual se realizó este movimiento. La unidad de velocidad media es m/s.

Velocidad instantánea es la velocidad del cuerpo (punto material) en este momento tiempo o en un punto dado de la trayectoria, es decir, el límite al que tiende la velocidad media con una disminución infinita en el intervalo de tiempo Δt:

V=lím(^t-0) ^s/^t

Vector de velocidad instantánea El movimiento uniforme se puede encontrar como la primera derivada del vector de desplazamiento con respecto al tiempo:

V(vector) = s'(vector)

Proyección del vector de velocidad en el eje OX:

esta es la derivada de la coordenada con respecto al tiempo (las proyecciones del vector velocidad sobre otros ejes de coordenadas se obtienen de manera similar).

Aceleración- este es el valor que determina la tasa de cambio en la velocidad del cuerpo, es decir, el límite al que tiende el cambio en la velocidad con una disminución infinita en el intervalo de tiempo Δt:

a(vector) = lim(t-0) ^v(vector)/^t

Vector de aceleración de movimiento uniforme se puede encontrar como la primera derivada del vector velocidad con respecto al tiempo o como la segunda derivada del vector desplazamiento con respecto al tiempo:

a(vector) = v(vector)" = s(vector)"

Considerando que 0 es la velocidad del cuerpo en el momento inicial (velocidad inicial), es la velocidad del cuerpo en un momento dado (velocidad final), t es el intervalo de tiempo durante el cual ocurrió el cambio de velocidad, fórmula de aceleración será como sigue:

a(vector) = v(vector)-v0(vector)/t

De aquí fórmula de velocidad uniforme en cualquier momento dado:

v(vector) = v 0 (vector) + a(vector)t

Si el cuerpo se mueve en forma rectilínea a lo largo del eje OX de un sistema de coordenadas cartesianas rectilíneas cuya dirección coincide con la trayectoria del cuerpo, entonces la proyección del vector velocidad sobre este eje está determinada por la fórmula:

v x = v 0x ± un x t

El signo "-" (menos) delante de la proyección del vector de aceleración se refiere a un movimiento uniformemente lento. Las ecuaciones de las proyecciones del vector de velocidad sobre otros ejes de coordenadas se escriben de manera similar.

Dado que la aceleración es constante (a \u003d const) con movimiento uniformemente variable, el gráfico de aceleración es una línea recta paralela al eje 0t (eje de tiempo, Fig. 1.15).

Arroz. 1.15. Dependencia de la aceleración del cuerpo en el tiempo.

Velocidad versus tiempo es una función lineal, cuya gráfica es una línea recta (Fig. 1.16).

Arroz. 1.16. Dependencia de la velocidad del cuerpo en el tiempo.

Gráfica de velocidad versus tiempo(Fig. 1.16) muestra que

En este caso, el desplazamiento es numéricamente igual al área de la figura 0abc (Fig. 1.16).

El área de un trapezoide es la mitad de la suma de las longitudes de sus bases por la altura. Las bases del trapezoide 0abc son numéricamente iguales:

La altura del trapezoide es t. Así, el área del trapezoide, y por tanto la proyección del desplazamiento sobre el eje OX, es igual a:

En el caso de movimiento uniformemente lento, la proyección de la aceleración es negativa, y en la fórmula para la proyección del desplazamiento, el signo "-" (menos) se coloca delante de la aceleración.

La fórmula general para determinar la proyección de desplazamiento es:

El gráfico de la dependencia de la velocidad del cuerpo con el tiempo a varias aceleraciones se muestra en la Fig. 1.17. El gráfico de la dependencia del desplazamiento con el tiempo en v0 = 0 se muestra en la fig. 1.18.

Arroz. 1.17. Dependencia de la velocidad del cuerpo en el tiempo para diferentes significados aceleración.

Arroz. 1.18. Dependencia del desplazamiento del cuerpo en el tiempo.

La velocidad del cuerpo en un momento dado t 1 es igual a la tangente del ángulo de inclinación entre la tangente al gráfico y el eje del tiempo v \u003d tg α, y el movimiento está determinado por la fórmula:

Si se desconoce el tiempo de movimiento del cuerpo, puede usar otra fórmula de desplazamiento resolviendo un sistema de dos ecuaciones:

La fórmula para la multiplicación abreviada de la diferencia de cuadrados nos ayudará a derivar la fórmula para la proyección de desplazamiento:

Dado que la coordenada del cuerpo en cualquier momento está determinada por la suma de la coordenada inicial y la proyección del desplazamiento, entonces ecuación de movimiento del cuerpo se verá así:

La gráfica de la coordenada x(t) también es una parábola (al igual que la gráfica de desplazamiento), pero el vértice de la parábola generalmente no coincide con el origen. por una x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Derivemos una fórmula que se puede usar para calcular la proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo que se mueve en línea recta y acelera uniformemente durante cualquier período de tiempo. Para ello, pasemos a la figura 14. Tanto en la figura 14, a, como en la figura 14, b, el segmento AC es una gráfica de la proyección del vector velocidad de un cuerpo que se mueve con aceleración constante a (a la velocidad inicial 0).

Arroz. 14. La proyección del vector desplazamiento de un cuerpo que se mueve en línea recta y uniformemente acelerado es numéricamente igual al área S debajo del gráfico

Recuerde que con un movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo, la proyección del vector de desplazamiento realizado por este cuerpo está determinada por la misma fórmula que el área del rectángulo encerrado debajo del gráfico de proyección del vector de velocidad (ver Fig. 6). Por tanto, la proyección del vector desplazamiento es numéricamente igual al área de este rectángulo.

Probemos que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la proyección del vector de desplazamiento s x puede determinarse mediante la misma fórmula que el área de la figura encerrada entre la gráfica AC, el eje Ot y los segmentos OA y BC , es decir, en este caso, la proyección del vector de desplazamiento numéricamente igual al área de la figura debajo del gráfico de velocidad. Para hacer esto, en el eje Ot (ver Fig. 14, a) seleccionamos un pequeño intervalo de tiempo db. Desde los puntos d y b dibujamos perpendiculares al eje Ot hasta que se cruzan con el gráfico de proyección del vector de velocidad en los puntos a y c.

Así, durante un período de tiempo correspondiente al segmento db, la velocidad del cuerpo cambia de v ax a v cx.

Durante un período de tiempo suficientemente corto, la proyección del vector de velocidad cambia muy levemente. Por lo tanto, el movimiento del cuerpo durante este período de tiempo difiere poco del uniforme, es decir, del movimiento a velocidad constante.

Es posible dividir toda el área de la figura OASV, que es un trapezoide, en tales tiras. Por lo tanto, la proyección del vector desplazamiento sx para el intervalo de tiempo correspondiente al segmento OB es numéricamente igual al área S del trapezoide OASV y está determinada por la misma fórmula que esta área.

Según la regla en cursos escolares geometría, el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura. La figura 14, b muestra que las bases del trapezoide OASV son los segmentos OA = v 0x y BC = v x, y la altura es el segmento OB = t. Por lo tanto,

Dado que v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, entonces podemos escribir:

Por lo tanto, hemos obtenido una fórmula para calcular la proyección del vector de desplazamiento durante el movimiento uniformemente acelerado.

Utilizando la misma fórmula, también se calcula la proyección del vector desplazamiento cuando el cuerpo se mueve con un módulo de velocidad decreciente, solo que en este caso los vectores velocidad y aceleración estarán dirigidos en direcciones opuestas, por lo que sus proyecciones tendrán distinto signo.

Preguntas

1. Usando la Figura 14, a, demuestre que la proyección del vector de desplazamiento durante el movimiento uniformemente acelerado es numéricamente igual al área de la figura OASV.
2. Escriba una ecuación para determinar la proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo durante su movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Ejercicio 7

Tratemos de derivar una fórmula para encontrar la proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo que se mueve en línea recta y uniformemente acelerado durante cualquier período de tiempo.

Para hacer esto, volvamos a la gráfica de la dependencia de la proyección de la velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el tiempo.

Gráfico de la proyección de la velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el tiempo

La siguiente figura muestra una gráfica para la proyección de la velocidad de algún cuerpo que se mueve con velocidad inicial V0 y aceleración constante a.

Si tuviéramos un movimiento rectilíneo uniforme, entonces para calcular la proyección del vector de desplazamiento, sería necesario calcular el área de la figura debajo del gráfico de proyección del vector de velocidad.

Ahora probaremos que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la proyección del vector desplazamiento Sx se determinará de la misma manera. Es decir, la proyección del vector desplazamiento será igual al área de la figura bajo la gráfica de la proyección del vector velocidad.

Halla el área de la figura delimitada por el eje ot, los segmentos AO y BC, así como el segmento AC.

Asignemos un pequeño intervalo de tiempo db en el eje ot. Dibujemos perpendiculares al eje del tiempo a través de estos puntos hasta que se crucen con el gráfico de proyección de velocidad. Tenga en cuenta los puntos de intersección a y c. Durante este período de tiempo, la velocidad del cuerpo cambiará de Vax a Vbx.

Si tomamos este intervalo lo suficientemente pequeño, podemos suponer que la velocidad permanece prácticamente sin cambios y, por lo tanto, trataremos con un movimiento rectilíneo uniforme en este intervalo.

Entonces podemos considerar el segmento ac como horizontal y abcd como un rectángulo. El área abcd será numéricamente igual a la proyección del vector desplazamiento, sobre el intervalo de tiempo db. Podemos dividir toda el área de la figura OACB en intervalos de tiempo tan pequeños.

Es decir, hemos obtenido que la proyección del vector desplazamiento Sx para el intervalo de tiempo correspondiente al segmento OB será numéricamente igual al área S del trapezoide OACB, y estará determinada por la misma fórmula que esta área.

Por lo tanto,

• S=((V0x+Vx)/2)*t.

Dado que Vx=V0x+ax*t y S=Sx, la fórmula resultante tendrá la siguiente forma:

• Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.

Hemos obtenido una fórmula con la que podemos calcular la proyección del vector desplazamiento durante el movimiento uniformemente acelerado.

En el caso de cámara lenta uniforme, la fórmula tomará la siguiente forma.

Trayectoria(del latín tardío trayectorias - refiriéndose al movimiento) - esta es la línea a lo largo de la cual se mueve el cuerpo (punto material). La trayectoria del movimiento puede ser recta (el cuerpo se mueve en una dirección) y curvilínea, es decir movimiento mecanico puede ser recto o curvo.

Trayectoria rectilínea en este sistema de coordenadas es una línea recta. Por ejemplo, podemos suponer que la trayectoria de un automóvil en una carretera plana sin giros es una línea recta.

movimiento curvilíneo- este es el movimiento de cuerpos en un círculo, elipse, parábola o hipérbola. Un ejemplo de movimiento curvilíneo es el movimiento de un punto en la rueda de un automóvil en movimiento, o el movimiento de un automóvil en un giro.

El movimiento puede ser complicado. Por ejemplo, la trayectoria del movimiento del cuerpo al comienzo del camino puede ser rectilínea y luego curvilínea. Por ejemplo, un automóvil al comienzo del viaje se mueve a lo largo de una carretera recta, y luego la carretera comienza a "serpentear" y el automóvil comienza a curvarse.

Camino

Camino es la longitud del camino. El camino es un escalar y en sistema internacional Las unidades SI se miden en metros (m). El cálculo de rutas se realiza en muchos problemas de física. Algunos ejemplos se discutirán más adelante en este tutorial.

vector de desplazamiento

vector de desplazamiento(o simplemente Moviente) es un segmento de línea dirigido que conecta la posición inicial del cuerpo con su posición posterior (Fig. 1.1). El desplazamiento es una cantidad vectorial. El vector de desplazamiento se dirige desde el punto inicial del movimiento hasta el punto final.

Módulo del vector de desplazamiento(es decir, la longitud del segmento que conecta los puntos inicial y final del movimiento) puede ser igual a la distancia recorrida o menor que la distancia recorrida. Pero nunca el módulo del vector desplazamiento puede ser mayor que la distancia recorrida.

El módulo del vector desplazamiento es igual a la distancia recorrida cuando el camino coincide con la trayectoria (ver apartados y), por ejemplo, si el coche se desplaza del punto A al punto B por una carretera recta. El módulo del vector de desplazamiento es menor que la distancia recorrida cuando el punto material se mueve a lo largo de una trayectoria curva (Fig. 1.1).

Arroz. 1.1. El vector de desplazamiento y la distancia recorrida.

En la fig. 1.1:

Otro ejemplo. Si el automóvil pasa una vez en un círculo, entonces resulta que el punto de inicio del movimiento coincidirá con el punto final del movimiento, y luego el vector de desplazamiento será cero, y la distancia recorrida será igual a la circunferencia del círculo. Así, el camino y el movimiento son dos conceptos diferentes.

Regla de suma de vectores

Los vectores de desplazamiento se suman geométricamente de acuerdo con la regla de la suma de vectores (la regla del triángulo o la regla del paralelogramo, ver Fig. 1.2).

Arroz. 1.2. Suma de vectores de desplazamiento.

La figura 1.2 muestra las reglas para sumar los vectores S1 y S2:

a) Suma según la regla de un triángulo
b) Suma según la regla del paralelogramo

Proyecciones de vectores de desplazamiento

Cuando se resuelven problemas de física, a menudo se utilizan proyecciones del vector de desplazamiento en ejes de coordenadas. Las proyecciones del vector de desplazamiento sobre los ejes de coordenadas se pueden expresar en términos de la diferencia entre las coordenadas de su final y comienzo. Por ejemplo, si un punto material se ha movido del punto A al punto B, entonces el vector de desplazamiento (ver Fig. 1.3).

Elegimos el eje OX para que el vector quede con este eje en el mismo plano. Bajemos las perpendiculares desde los puntos A y B (desde los puntos inicial y final del vector desplazamiento) hasta la intersección con el eje OX. Así, obtenemos las proyecciones de los puntos A y B sobre el eje X. Denotemos las proyecciones de los puntos A y B, respectivamente, A x y B x. La longitud del segmento A x B x en el eje OX - esto es proyección del vector de desplazamiento en el eje x, es decir

Sx = AxBx

¡IMPORTANTE!
Un recordatorio para aquellos que no conocen muy bien las matemáticas: no confundan un vector con la proyección de un vector sobre cualquier eje (por ejemplo, S x). Un vector siempre se denota con una letra o varias letras con una flecha encima. En algunos documentos electrónicos no se pone la flecha, ya que esto puede causar dificultades a la hora de crear documento electronico. En tales casos, guíese por el contenido del artículo, donde se puede escribir la palabra “vector” al lado de la letra, o de alguna otra manera le indican que se trata de un vector, y no solo de un segmento.

Arroz. 1.3. Proyección del vector desplazamiento.

La proyección del vector desplazamiento sobre el eje OX es igual a la diferencia entre las coordenadas del final y el comienzo del vector, es decir

S x \u003d x - x 0

Las proyecciones del vector desplazamiento sobre los ejes OY y OZ se definen y escriben de la misma forma:

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Aquí x 0 , y 0 , z 0 son las coordenadas iniciales, o las coordenadas de la posición inicial del cuerpo (punto material); x, y, z: coordenadas finales o coordenadas de la posición posterior del cuerpo (punto material).

La proyección del vector de desplazamiento se considera positiva si la dirección del vector y la dirección del eje de coordenadas coinciden (como en la figura 1.3). Si la dirección del vector y la dirección del eje de coordenadas no coinciden (opuestas), entonces la proyección del vector es negativa (Fig. 1.4).

Si el vector de desplazamiento es paralelo al eje, entonces el módulo de su proyección es igual al módulo del propio Vector. Si el vector de desplazamiento es perpendicular al eje, entonces el módulo de su proyección es cero (Fig. 1.4).

Arroz. 1.4. Módulos de proyección de vectores de desplazamiento.

La diferencia entre los valores posteriores e iniciales de una cantidad se denomina cambio en esa cantidad. Es decir, la proyección del vector de desplazamiento sobre el eje de coordenadas es igual al cambio en la coordenada correspondiente. Por ejemplo, para el caso en que el cuerpo se mueve perpendicularmente al eje X (Fig. 1.4), resulta que el cuerpo NO SE MUEVE con respecto al eje X. Es decir, el desplazamiento del cuerpo a lo largo del eje X es cero.

Considere un ejemplo del movimiento de un cuerpo en un plano. La posición inicial del cuerpo es el punto A con coordenadas x 0 e y 0, es decir, A (x 0, y 0). La posición final del cuerpo es el punto B con coordenadas x e y, es decir, B (x, y). Encuentre el módulo de desplazamiento del cuerpo.

Desde los puntos A y B bajamos las perpendiculares sobre los ejes de coordenadas OX y OY (Fig. 1.5).

Arroz. 1.5. Movimiento de un cuerpo sobre un plano.

Definamos las proyecciones del vector desplazamiento sobre los ejes OX y OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

En la fig. 1.5 se puede ver que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. De esto se deduce que al resolver el problema, uno puede usar Teorema de pitágoras, con el que se puede encontrar el módulo del vector desplazamiento, ya que

CA = s x CB = s y

Según el teorema de Pitágoras

S 2 \u003d S x 2 + S y 2

¿Dónde puedes encontrar el módulo del vector de desplazamiento, es decir, la longitud del camino del cuerpo desde el punto A hasta el punto B:

Y finalmente, le sugiero que consolide sus conocimientos y calcule algunos ejemplos a su discreción. Para hacer esto, ingrese cualquier número en los campos de coordenadas y haga clic en el botón CALCULAR. Su navegador debe admitir la ejecución de scripts (scripts) JavaScript y la ejecución de scripts debe permitirse en la configuración de su navegador, de lo contrario, no se realizará el cálculo. En números reales, las partes enteras y fraccionarias deben estar separadas por un punto, por ejemplo, 10,5.