Winkel, die immer gleich sind, werden aufgerufen. Erweitert, stumpf, vertikal und nicht erweitert: Arten von Ecken der Geometrie

Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus zwei verschiedenen Strahlen besteht, die von einem Punkt ausgehen. In diesem Fall werden diese Strahlen die Seiten des Winkels genannt. Der Punkt, an dem die Strahlen beginnen, heißt Scheitelpunkt des Winkels. Auf dem Bild sieht man die Ecke mit dem Scheitelpunkt an der Spitze Ö, und die Parteien k und m.

An den Seiten der Ecke sind die Punkte A und C markiert.Diese Ecke kann als Winkel AOC bezeichnet werden. In der Mitte muss der Name des Punktes stehen, an dem sich der Eckpunkt befindet. Es gibt auch andere Bezeichnungen, den Winkel O oder den Winkel km. In der Geometrie wird anstelle des Wortes Winkel oft ein spezielles Symbol geschrieben.

Gedrehter und nicht gedrehter Winkel

Liegen beide Seiten eines Winkels auf derselben Geraden, so nennt man einen solchen Winkel eingesetzt Winkel. Das heißt, eine Seite der Ecke ist eine Fortsetzung der anderen Seite der Ecke. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel O.

Es sollte beachtet werden, dass jeder Winkel die Ebene in zwei Teile teilt. Wenn die Ecke nicht erweitert wird, wird einer der Teile als innerer Bereich der Ecke und der andere als äußerer Bereich dieser Ecke bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt eine nicht abgeflachte Ecke und markiert die äußeren und inneren Bereiche dieser Ecke.

Im Fall eines entwickelten Winkels kann jeder der beiden Teile, in die er die Ebene teilt, als äußerer Bereich des Winkels betrachtet werden. Wir können über die Position eines Punktes relativ zu einem Winkel sprechen. Der Punkt kann außerhalb der Ecke liegen (im äußeren Bereich), kann auf einer ihrer Seiten liegen oder kann innerhalb der Ecke liegen (im inneren Bereich).

In der Abbildung unten liegt Punkt A außerhalb von Ecke O, Punkt B liegt auf einer Seite der Ecke und Punkt C liegt innerhalb der Ecke.

Winkelmessung

Um Winkel zu messen, gibt es ein Gerät namens Winkelmesser. Die Winkeleinheit ist Grad. Es ist zu beachten, dass jeder Winkel ein bestimmtes Gradmaß hat, das größer als Null ist.

Abhängig von Grad messen Ecken sind in mehrere Gruppen unterteilt.

Die Studierenden sind mit dem Konzept des Winkels vertraut Grundschule. Aber als geometrische Figur mit bestimmten Eigenschaften lernen sie es ab der 7. Klasse in Geometrie. Scheint, ziemlich schlichte Form was man über sie sagen kann. Aber wenn sie neues Wissen erwerben, verstehen Schulkinder immer mehr, dass Sie ziemlich interessante Fakten über sie erfahren können.

In Kontakt mit

Wann wird studiert

Der Schulgeometriekurs gliedert sich in zwei Bereiche: Planimetrie und Festkörpergeometrie. Jeder von ihnen hat viel Aufmerksamkeit. an die Ecken gegeben:

• In der Planimetrie ist ihr Grundkonzept gegeben, es findet eine Bekanntschaft mit ihren Größentypen statt. Die Eigenschaften jeder Art von Dreiecken werden genauer untersucht. Neue Definitionen für Schüler erscheinen - dies sind geometrische Formen, die am Schnittpunkt zweier Linien miteinander und am Schnittpunkt mehrerer Linien einer Sekante gebildet werden.
• In der Stereometrie werden Raumwinkel untersucht - Dieder und Trieder.

Beachtung! Dieser Artikel behandelt alle Arten und Eigenschaften von Winkeln in der Planimetrie.

Definition und Messung

Beginnen Sie zu studieren, bestimmen Sie zuerst, was ist ein winkel in der Planimetrie.

Wenn wir einen bestimmten Punkt in der Ebene nehmen und daraus zwei beliebige Strahlen zeichnen, erhalten wir eine geometrische Figur - einen Winkel, der aus folgenden Elementen besteht:

• Scheitelpunkt - der Punkt, von dem aus die Strahlen gezeichnet wurden, bezeichnet Großbuchstabe Lateinisches Alphabet;
• die Seiten sind Halblinien von oben gezeichnet.

Alle Elemente, die die Figur bilden, die wir betrachten, unterteilen die Ebene zwei Teile:

• intern - in der Planimetrie überschreitet 180 Grad nicht;
• extern.

Das Prinzip der Winkelmessung in der Planimetrie intuitiv erklärt. Zunächst werden die Schüler in das Konzept des entwickelten Winkels eingeführt.

Wichtig! Ein Winkel ist entwickelt, wenn die von seinem Scheitelpunkt ausgehenden Halblinien eine Gerade bilden. In allen anderen Fällen handelt es sich um einen ungefalteten Winkel.

Wenn es in 180 gleiche Teile geteilt wird, ist es üblich, das Maß eines Teils gleich 10 zu betrachten. In diesem Fall sagen sie, dass die Messung in Grad erfolgt und das Gradmaß einer solchen Figur 180 Grad beträgt.

Haupttypen

Arten von Winkeln werden nach Kriterien wie Gradmaß, Art ihrer Bildung und den folgenden Kategorien unterteilt.

Nach Größe

Angesichts der Größe werden die Winkel unterteilt in:

• eingesetzt;
• gerade;
• unverblümt;
• würzig.

Welcher Winkel als eingesetzt bezeichnet wird, wurde oben dargestellt. Lassen Sie uns das Konzept einer geraden Linie definieren.

Es kann erhalten werden, indem der Einsatz in zwei gleiche Teile geteilt wird. In diesem Fall ist die Frage leicht zu beantworten: ein rechter Winkel, wie viel Grad hat er?

Teilen Sie 180 Grad durch 2, um zu erhalten rechter Winkel ist 90 Grad. Dies ist eine wunderbare Figur, da viele Tatsachen in der Geometrie damit verbunden sind.

Es hat auch seine eigenen Merkmale in der Bezeichnung. Um einen rechten Winkel in der Figur darzustellen, wird er nicht durch einen Bogen, sondern durch ein Quadrat angezeigt.

Die Winkel, die man durch Teilung eines beliebigen Strahls durch eine Gerade erhält, nennt man spitz. Nach der Logik der Dinge folgt daraus, dass ein spitzer Winkel kleiner als ein rechter Winkel ist, aber sein Maß von 0 Grad verschieden ist. Das heißt, es hat einen Wert von 0 bis 90 Grad.

Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gerader Winkel. Sein Gradmaß variiert von 90 bis 180 Grad.

Dieses Element kann zerlegt werden in verschiedene Typen betrachtete Zahlen, mit Ausnahme der erweiterten.

Unabhängig davon, wie der nicht gedrehte Winkel gebrochen wird, wird immer das grundlegende Axiom der Planimetrie verwendet - „die Haupteigenschaft der Messung“.

Beim Teilen des Winkels mit einem Strahl oder mehrere, das Gradmaß einer gegebenen Figur ist gleich der Summe der Maße der Winkel, in die es unterteilt ist.

Auf der Ebene der 7. Klasse enden dort die Winkelarten in ihrer Größenordnung. Aber um die Gelehrsamkeit zu erhöhen, kann hinzugefügt werden, dass es andere Varietäten gibt, die ein Gradmaß von mehr als 180 Grad haben und konvex genannt werden.

Figuren am Schnittpunkt von Linien

Die nächsten Arten von Winkeln, die den Schülern vorgestellt werden, sind die Elemente, die entstehen, wenn sich zwei Linien schneiden. Figuren, die einander gegenüber stehen, werden als vertikal bezeichnet. Sie Unterscheidungsmerkmal- Sie sind gleich.

Elemente, die an dieselbe Linie angrenzen, heißen benachbart. Das besagt der Satz, der ihre Eigenschaft abbildet Benachbarte Winkel addieren sich zu 180 Grad.

Elemente in einem Dreieck

Wenn wir die Figur als Element in einem Dreieck betrachten, werden die Winkel in Innen- und Außenwinkel unterteilt. Das Dreieck wird von drei Segmenten begrenzt und besteht aus drei Spitzen. Die Winkel innerhalb des Dreiecks an jeder Ecke, intern genannt.

Wenn wir ein beliebiges inneres Element an einem beliebigen Scheitelpunkt nehmen und eine beliebige Seite verlängern, wird der Winkel, der gebildet wird und an den inneren angrenzt, als äußerer Winkel bezeichnet. Dieses Elementpaar hat die folgende Eigenschaft: Ihre Summe beträgt 180 Grad.

Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt der Linie

Wenn sich zwei Geraden schneiden, werden auch Winkel gebildet, die normalerweise paarweise verteilt sind. Jedes Elementpaar hat einen eigenen Namen. Es sieht aus wie das:

• innen gekreuzt: ∟4 und ∟6, ∟3 und ∟5;
• innen einseitig: ∟4 und ∟5, ∟3 und ∟6;
• entsprechend: ∟1 und ∟5, ∟2 und ∟6, ∟4 und ∟8, ∟3 und ∟7.

Wenn eine Sekante zwei schneidet

In diesem Artikel werden wir eine der wichtigsten geometrischen Formen - den Winkel - umfassend analysieren. Beginnen wir mit Hilfsbegriffen und Definitionen, die uns zur Definition eines Winkels führen. Danach geben wir die akzeptierten Methoden zur Bezeichnung von Winkeln an. Als nächstes werden wir uns ausführlich mit dem Prozess der Winkelmessung befassen. Abschließend zeigen wir, wie Sie die Ecken in der Zeichnung markieren können. Wir haben die gesamte Theorie mit den notwendigen Zeichnungen und grafischen Illustrationen zum besseren Einprägen des Materials versehen.

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Winkeldefinition.

Winkel ist eine der wichtigsten Figuren in der Geometrie. Die Definition eines Winkels ist durch die Definition eines Strahls gegeben. Die Idee eines Strahls kann wiederum nicht ohne Kenntnis von geometrischen Figuren wie einem Punkt, einer geraden Linie und einer Ebene gewonnen werden. Bevor Sie sich mit der Definition des Winkels vertraut machen, empfehlen wir daher, die Theorie aus den Abschnitten und aufzufrischen.

Wir gehen also von den Konzepten eines Punktes, einer geraden Linie auf einer Ebene und einer Ebene aus.

Lassen Sie uns zuerst die Definition eines Strahls geben.

Lassen Sie uns eine gerade Linie in der Ebene geben. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben a. Sei O irgendein Punkt der Geraden a . Der Punkt O teilt die Linie a in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird zusammen mit dem Punkt O bezeichnet Strahl, und der Punkt O wird aufgerufen Beginn des Balkens. Sie können auch hören, dass der Strahl gerufen wird halbdirekt.

Der Kürze und Bequemlichkeit halber wurde die folgende Notation für Strahlen eingeführt: Ein Strahl wird entweder durch einen kleinen lateinischen Buchstaben (z. B. Strahl p oder Strahl k) oder durch zwei große Buchstaben bezeichnet mit lateinischen Buchstaben, wobei der erste dem Beginn des Strahls entspricht und der zweite einen Punkt dieses Strahls bezeichnet (z. B. den Strahl OA oder den Strahl CD ). Lassen Sie uns das Bild und die Bezeichnung der Strahlen in der Zeichnung zeigen.

Jetzt können wir die erste Definition eines Winkels geben.

Definition.

Injektion- Dies ist eine flache geometrische Figur (dh vollständig in einer bestimmten Ebene liegend), die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Jeder der Strahlen wird aufgerufen Eckseite, wird der gemeinsame Anfang der Seiten des Winkels genannt obere Ecke.

Es ist möglich, dass die Seiten eines Winkels eine gerade Linie bilden. Dieser Winkel hat einen eigenen Namen.

Definition.

Liegen beide Seiten eines Winkels auf derselben Linie, so heißt der Winkel eingesetzt.

Wir machen Sie auf eine grafische Darstellung eines entwickelten Winkels aufmerksam.

Ein Winkelsymbol wird verwendet, um einen Winkel zu bezeichnen. Wenn die Seiten des Winkels in kleinen lateinischen Buchstaben angegeben sind (z. B. ist eine Seite des Winkels k und die andere h), werden zur Bezeichnung dieses Winkels nach dem Winkelsymbol Buchstaben geschrieben, die den Seiten entsprechen einer Zeile, und die Reihenfolge der Aufzeichnung spielt keine Rolle (dh oder). Wenn die Seiten des Winkels durch zwei große lateinische Buchstaben angegeben werden (z. B. eine Seite des Winkels OA und die zweite Seite des Winkels OB), wird der Winkel wie folgt angegeben: Nach dem Winkelzeichen stehen drei Buchstaben geschrieben, die an der Bezeichnung der Seiten des Winkels beteiligt sind, und der Buchstabe, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht, der sich in der Mitte befindet (in unserem Fall wird der Winkel als oder angegeben). Wenn der Scheitelpunkt eines Winkels nicht der Scheitelpunkt eines anderen Winkels ist, kann ein solcher Winkel mit dem Buchstaben bezeichnet werden, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht (z. B. ). Manchmal können Sie sehen, dass die Ecken in den Zeichnungen mit Zahlen (1, 2 usw.) gekennzeichnet sind, diese Ecken werden als bezeichnet und so weiter. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Abbildung, in der die Ecken gezeigt und angegeben sind.

Jeder Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht entwickelt wird, wird außerdem ein Teil der Ebene aufgerufen inneren Eckbereich, und der andere äußeren Eckbereich. Das folgende Bild erklärt, welcher Teil der Ebene der Innenseite der Ecke entspricht und welcher Teil der Außenseite.

Jeder der zwei Teile, in die ein abgeflachter Winkel eine Ebene teilt, kann als Innenbereich des abgeflachten Winkels betrachtet werden.

Die Definition des Inneren eines Winkels führt uns zur zweiten Definition eines Winkels.

Definition.

Injektion- Dies ist eine geometrische Figur, die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung und dem entsprechenden inneren Bereich des Winkels besteht.

Es sollte beachtet werden, dass die zweite Definition des Winkels strenger ist als die erste, da sie mehr Bedingungen enthält. Man sollte jedoch die erste Definition des Winkels nicht verwerfen, noch sollte man die erste und zweite Definition des Winkels getrennt betrachten. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären. Wann wir redenüber einen Winkel als geometrische Figur, so wird unter einem Winkel eine Figur verstanden, die aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung zusammengesetzt ist. Wenn es notwendig wird, irgendwelche Aktionen mit diesem Winkel durchzuführen (z. B. einen Winkel zu messen), dann sollte ein Winkel bereits als zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und einem inneren Bereich verstanden werden (andernfalls würde eine doppelte Situation entstehen aufgrund das Vorhandensein sowohl eines inneren als auch eines äußeren Bereichs des Winkels ).

Lassen Sie uns weitere Definitionen von angrenzenden und vertikalen Winkeln geben.

Definition.

Angrenzende Ecken- Dies sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden einen geraden Winkel bilden.

Aus der Definition folgt, dass sich benachbarte Winkel bis zu einem geraden Winkel ergänzen.

Definition.

Vertikale Winkel sind zwei Winkel, bei denen die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen sind.

Die Abbildung zeigt vertikale Winkel.

Offensichtlich bilden zwei sich schneidende Linien vier Paare benachbarter Winkel und zwei Paare vertikaler Winkel.

Winkelvergleich.

In diesem Absatz des Artikels gehen wir auf die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln ein und erklären auch bei ungleichen Winkeln, welcher Winkel als groß und welcher kleiner gilt.

Denken Sie daran, dass zwei geometrische Figuren gleich genannt werden, wenn sie überlagert werden können.

Gegeben seien zwei Winkel. Lassen Sie uns Argumente anführen, die uns helfen, eine Antwort auf die Frage zu erhalten: „Sind diese beiden Winkel gleich oder nicht?“

Offensichtlich können wir immer die Scheitelpunkte von zwei Ecken sowie eine Seite der ersten Ecke mit einer der Seiten der zweiten Ecke abgleichen. Kombinieren wir die Seite der ersten Ecke mit der Seite der zweiten Ecke, sodass die verbleibenden Seiten der Ecken auf derselben Seite der geraden Linie liegen, auf der die kombinierten Seiten der Ecken liegen. Wenn dann die anderen beiden Seiten der Ecken ausgerichtet sind, werden die Ecken aufgerufen gleich.

Wenn die anderen beiden Seiten der Winkel nicht übereinstimmen, werden die Winkel aufgerufen ungleich, und kleiner der Winkel wird als Teil eines anderen angesehen ( groß ist der Winkel, der einen anderen Winkel vollständig enthält).

Offensichtlich sind die beiden geraden Winkel gleich. Es ist auch offensichtlich, dass ein entwickelter Winkel größer ist als jeder nicht entwickelte Winkel.

Winkelmessung.

Die Winkelmessung basiert auf dem Vergleich des gemessenen Winkels mit dem Winkel, der als Maßeinheit verwendet wird. Der Prozess der Winkelmessung sieht folgendermaßen aus: Von einer Seite des gemessenen Winkels ausgehend, wird sein innerer Bereich nacheinander mit einzelnen Winkeln gefüllt und dicht übereinander gestapelt. Gleichzeitig wird die Anzahl der gestapelten Ecken gespeichert, die das Maß für den gemessenen Winkel ergibt.

Tatsächlich kann jeder beliebige Winkel als Maßeinheit für Winkel genommen werden. Es gibt jedoch viele allgemein akzeptierte Einheiten zum Messen von Winkeln in Bezug auf verschiedene Bereiche der Wissenschaft und Technologie, die spezielle Namen erhalten haben.

Eine der Einheiten zum Messen von Winkeln ist Grad.

Definition.

ein Grad ist ein Winkel gleich einhundertachtzigstel eines begradigten Winkels.

Ein Grad wird durch das Symbol "" bezeichnet, daher wird ein Grad als bezeichnet.

Somit können wir in einem entwickelten Winkel 180 Winkel in einen Grad einpassen. Es wird wie ein halber runder Kuchen aussehen, der in 180 gleiche Stücke geschnitten wird. Sehr wichtig: Die "Stücke des Kuchens" passen eng zusammen (d. h. die Seiten der Ecken sind ausgerichtet), wobei die Seite der ersten Ecke mit einer Seite der abgeflachten Ecke und der Seite der letzten Einheitsecke ausgerichtet ist fiel mit der anderen Seite der abgeflachten Ecke zusammen.

Beim Messen von Winkeln wird ermittelt, wie oft ein Grad (oder eine andere Maßeinheit von Winkeln) in den gemessenen Winkel passt, bis der innere Bereich des gemessenen Winkels vollständig abgedeckt ist. Wie wir bereits gesehen haben, passt der Grad in einem entwickelten Winkel genau 180-mal. Unten sind Beispiele für Winkel, in denen ein Winkel von einem Grad genau 30 Mal (ein solcher Winkel ist ein Sechstel eines geraden Winkels) und genau 90 Mal (ein halber gerader Winkel) passt.

Um Winkel kleiner als ein Grad (oder eine andere Maßeinheit für Winkel) zu messen und in Fällen, in denen der Winkel nicht durch eine ganze Zahl von Grad gemessen werden kann (Maßeinheiten für Takes), müssen Sie Teile eines Grades (Teile von Takes) verwenden Maßeinheiten). Bestimmte Teile des Studiums erhielten besondere Namen. Am gebräuchlichsten sind die sogenannten Minuten und Sekunden.

Definition.

Minute ist ein Sechzigstel eines Grades.

Definition.

Zweite ist eine sechzigstel Minute.

Mit anderen Worten, eine Minute hat sechzig Sekunden und ein Grad sechzig Minuten (3600 Sekunden). Das Symbol "" wird verwendet, um Minuten zu bezeichnen, und das Symbol "" wird verwendet, um Sekunden zu bezeichnen (nicht mit den Vorzeichen der Ableitung und der zweiten Ableitung verwechseln). Dann haben wir mit den eingeführten Definitionen und Notationen , und der Winkel, in den 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden passen, kann als bezeichnet werden.

Definition.

Grad Maß für einen Winkel wird eine positive Zahl genannt, die angibt, wie oft ein Grad und seine Teile in einen bestimmten Winkel passen.

Zum Beispiel ist das Gradmaß eines begradigten Winkels einhundertachtzig und das Gradmaß eines Winkels ist .

Um Winkel zu messen, gibt es spezielle Messgeräte, das bekannteste davon ist ein Winkelmesser.

Wenn sowohl die Bezeichnung des Winkels (z. B.) als auch sein Gradmaß (z. B. 110) bekannt sind, verwenden Sie eine kurze Schreibweise der Form und sagen: "Der Winkel AOB ist einhundertzehn Grad."

Aus den Definitionen des Winkels und des Gradmaßes des Winkels folgt, dass in der Geometrie das Maß des Winkels in Grad durch eine reelle Zahl aus dem Intervall (0, 180) ausgedrückt wird (in der Trigonometrie Winkel mit beliebigem Gradmaß werden betrachtet, sie werden genannt.) Ein Winkel von neunzig Grad hat einen besonderen Namen, er heißt rechter Winkel. Ein Winkel kleiner als 90 Grad wird genannt spitzer Winkel. Ein Winkel größer als neunzig Grad wird genannt stumpfer Winkel. Das Maß eines spitzen Winkels in Grad wird also durch eine Zahl aus dem Intervall (0, 90) ausgedrückt, das Maß eines stumpfen Winkels - durch eine Zahl aus dem Intervall (90, 180), ein rechter Winkel ist gleich neunzig Grad. Wir geben Illustrationen eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels und rechter Winkel.

Aus dem Prinzip der Winkelmessung folgt, dass die Gradmaße gleicher Winkel gleich sind, das Gradmaß eines größeren Winkels größer ist als das Gradmaß eines kleineren und das Gradmaß eines Winkels, der aus mehreren Winkeln besteht gleich der Summe der Gradmaße der Komponentenwinkel ist. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel AOB, der sich aus den Winkeln AOC, COD und DOB zusammensetzt, während .

Auf diese Weise, Die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad, da sie einen geraden Winkel bilden.

Aus dieser Behauptung folgt, dass. Wenn nämlich die Winkel AOB und COD vertikal sind, dann sind die Winkel AOB und BOC benachbart und die Winkel COD und BOC sind auch benachbart, daher gelten die Gleichheiten und , woraus die Gleichheit folgt.

Zusammen mit dem Grad wird eine praktische Einheit zum Messen von Winkeln genannt Bogenmaß. Das Bogenmaß ist in der Trigonometrie weit verbreitet. Lassen Sie uns ein Radiant definieren.

Definition.

Ein Bogenmaß- Das zentrale Ecke, die der Länge des Bogens entspricht, gleich der Länge des Radius des entsprechenden Kreises.

Lassen Sie uns einen Winkel von einem Bogenmaß grafisch veranschaulichen. In der Zeichnung ist die Länge des Radius OA (sowie der Radius OB ) gleich der Länge des Bogens AB , daher ist der Winkel AOB per Definition gleich einem Bogenmaß.

Die Abkürzung "rad" wird verwendet, um Radianten zu bezeichnen. Wenn Sie beispielsweise 5 Rad schreiben, bedeutet dies 5 Radiant. Schriftlich wird jedoch häufig auf die Bezeichnung „rad“ verzichtet. Wenn zum Beispiel geschrieben steht, dass der Winkel gleich pi ist, bedeutet das pi rad.

Es sollte gesondert darauf hingewiesen werden, dass der Wert des Winkels, ausgedrückt in Bogenmaß, nicht von der Länge des Radius des Kreises abhängt. Dies liegt an der Tatsache, dass die Figuren, die durch einen bestimmten Winkel begrenzt sind, und ein Kreisbogen, der an der Spitze eines bestimmten Winkels zentriert ist, einander ähnlich sind.

Das Messen von Winkeln im Bogenmaß kann genauso erfolgen wie das Messen von Winkeln in Grad: Finden Sie heraus, wie oft ein Winkel von einem Bogenmaß (und seinen Teilen) in einen bestimmten Winkel passt. Und Sie können die Länge des Bogens des entsprechenden berechnen zentrale Ecke, dann teilen Sie es durch die Länge des Radius.

Für die Belange der Praxis ist es hilfreich zu wissen, wie Grad- und Bogenmaße zueinander in Beziehung stehen, da ein ziemlicher Teil durchgeführt werden muss. In diesem Artikel wird eine Beziehung zwischen Grad und Bogenmaß eines Winkels hergestellt, und es werden Beispiele für die Umwandlung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt gegeben.

Bezeichnung der Ecken in der Zeichnung.

In den Zeichnungen können zur Bequemlichkeit und Klarheit Ecken mit Bögen markiert werden, die gewöhnlich im Innenbereich der Ecke von einer Seite der Ecke zur anderen gezeichnet werden. Gleiche Winkel Markierung mit gleicher Bogenzahl, ungleiche Winkel - unterschiedlicher Betrag Bögen. Rechte Winkel in der Zeichnung sind durch ein Symbol der Form "" gekennzeichnet, das im inneren Bereich des rechten Winkels von einer Seite der Ecke zur anderen dargestellt ist.

Wenn Sie viele verschiedene Winkel in der Zeichnung markieren müssen (normalerweise mehr als drei), ist es beim Bestimmen von Winkeln zusätzlich zu gewöhnlichen Bögen zulässig, Bögen eines speziellen Typs zu verwenden. Beispielsweise können Sie gezackte Bögen oder ähnliches darstellen.

Es ist zu beachten, dass Sie sich nicht von der Bezeichnung von Winkeln in den Zeichnungen mitreißen lassen und die Zeichnungen nicht überladen sollten. Wir empfehlen, nur die Winkel zu markieren, die für den Lösungs- oder Beweisprozess notwendig sind.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.

Beginnen wir damit, zu definieren, was ein Winkel ist. Erstens ist es Zweitens wird es von zwei Strahlen gebildet, die als Seiten des Winkels bezeichnet werden. Drittens kommen letztere aus einem Punkt heraus, der als Scheitelpunkt der Ecke bezeichnet wird. Anhand dieser Zeichen können wir eine Definition treffen: Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus zwei Strahlen (Seiten) besteht, die von einem Punkt (Scheitel) ausgehen.

Sie sind nach Grad, nach Ort relativ zueinander und relativ zum Kreis klassifiziert. Beginnen wir mit den Arten von Winkeln nach ihrer Größe.

Es gibt mehrere Sorten davon. Schauen wir uns jeden Typ genauer an.

Es gibt nur vier Haupttypen von Winkeln - rechter, stumpfer, spitzer und entwickelter Winkel.

Gerade

Es sieht aus wie das:

Sein Gradmaß ist immer 90 o, d. h. ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90 Grad. Nur solche Vierecke wie ein Quadrat und ein Rechteck haben sie.

Unverblümt

Es sieht aus wie das:

Das Gradmaß ist immer größer als 90 Grad, aber kleiner als 180 Grad. Es kann in solchen Vierecken wie einer Raute, einem beliebigen Parallelogramm, in Polygonen vorkommen.

Würzig

Es sieht aus wie das:

Das Gradmaß eines spitzen Winkels ist immer kleiner als 90°. Es kommt in allen Vierecken vor, mit Ausnahme eines Quadrats und eines beliebigen Parallelogramms.

eingesetzt

Der erweiterte Winkel sieht so aus:

Es kommt nicht in Polygonen vor, ist aber nicht weniger wichtig als alle anderen. Ein gerader Winkel ist eine geometrische Figur, deren Gradmaß immer 180º beträgt. Sie können darauf aufbauen, indem Sie einen oder mehrere Strahlen von seinem Scheitelpunkt in eine beliebige Richtung zeichnen.

Es gibt mehrere andere sekundäre Arten von Winkeln. Sie werden nicht in Schulen studiert, aber es ist notwendig, zumindest über ihre Existenz Bescheid zu wissen. Es gibt nur fünf sekundäre Arten von Winkeln:

1. Null

Es sieht aus wie das:

Der Name des Winkels spricht bereits von seiner Größe. Seine Innenfläche ist 0 o, und die Seiten liegen wie in der Abbildung gezeigt übereinander.

2. Schräg

Schräg kann ein gerader und ein stumpfer und ein spitzer und entwickelter Winkel sein. Seine Hauptbedingung ist, dass er nicht gleich 0 o, 90 o, 180 o, 270 o sein darf.

3. Konvex

Konvex sind null, rechte, stumpfe, spitze und entwickelte Winkel. Wie Sie bereits verstanden haben, reicht das Gradmaß eines konvexen Winkels von 0 ° bis 180 °.

4. Nicht konvex

Nicht konvex sind Winkel mit einem Gradmaß von 181 o bis einschließlich 359 o.

5. Voll

Ein vollständiger Winkel beträgt 360 Grad.

Dies sind alle Arten von Winkeln entsprechend ihrer Größe. Betrachten Sie nun ihre Typen nach Position auf der Ebene relativ zueinander.

1. Zusätzlich

Das sind zwei spitze Winkel, die eine Gerade bilden, also ihre Summe ist 90 o.

2. Verwandte

Benachbarte Winkel werden gebildet, wenn ein Strahl in beliebiger Richtung durch einen Einsatz gezogen wird, genauer gesagt durch seine Oberseite. Ihre Summe beträgt 180 o.

3. Vertikal

Vertikale Winkel werden gebildet, wenn sich zwei Geraden schneiden. Ihre Gradmaße sind gleich.

Kommen wir nun zu den Winkeltypen, die sich relativ zum Kreis befinden. Es gibt nur zwei davon: zentral und eingeschrieben.

1. Zentral

Der Mittelpunktswinkel ist derjenige, bei dem der Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises liegt. Sein Gradmaß ist gleich dem Gradmaß des kleineren Bogens, der von den Seiten begrenzt wird.

2. Eingeschrieben

Ein einbeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Seiten ihn schneiden. Sein Gradmaß entspricht der Hälfte des Bogens, auf dem es ruht.

Es dreht sich alles um die Ecken. Jetzt wissen Sie, dass es neben den berühmtesten - scharf, stumpf, gerade und eingesetzt - in der Geometrie viele andere Arten von ihnen gibt.

Der Winkel ist die wichtigste geometrische Figur, die wir im gesamten Thema analysieren werden. Definitionen, Methoden der Einstellung, Notation und Messung des Winkels. Lassen Sie uns die Prinzipien der Auswahl von Ecken in den Zeichnungen analysieren. Die ganze Theorie ist illustriert und hat große Menge visuelle Zeichnungen.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Injektion- eine einfache wichtige Figur in der Geometrie. Der Winkel hängt direkt von der Definition eines Strahls ab, der wiederum aus den Grundbegriffen eines Punktes, einer Linie und einer Ebene besteht. Für ein gründliches Studium müssen Sie sich in die Themen vertiefen gerade Linie in einer Ebene - notwendige Informationen und Flugzeug - notwendige Informationen.

Das Konzept eines Winkels beginnt mit den Konzepten eines Punktes, einer Ebene und einer auf dieser Ebene abgebildeten geraden Linie.

Bestimmung 2

Gegeben sei eine Linie a in einem Flugzeug. Bezeichnen Sie einen Punkt O darauf. Die Linie wird durch einen Punkt in zwei Teile geteilt, die jeweils einen Namen haben Strahl, und der Punkt O ist Balkenstart.

Mit anderen Worten, ein Balken bzw halbe Linie - Es ist ein Teil einer Linie, die aus Punkten einer bestimmten Linie besteht, die sich relativ zum Ausgangspunkt, dh dem Punkt O, auf derselben Seite befinden.

Die Bezeichnung des Balkens ist in zwei Varianten zulässig: ein Kleinbuchstabe oder zwei Großbuchstaben des lateinischen Alphabets. Wenn er mit zwei Buchstaben bezeichnet wird, hat der Strahl einen Namen, der aus zwei Buchstaben besteht. Schauen wir uns die Zeichnung genauer an.

Kommen wir zum Konzept der Definition eines Winkels.

Bestimmung 3

Injektion- Dies ist eine Figur, die sich in einer bestimmten Ebene befindet und aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen besteht, die einen gemeinsamen Ursprung haben. seitliche Ecke ist ein Strahl Scheitel- der gemeinsame Beginn der Parteien.

Es gibt einen Fall, in dem die Seiten eines Winkels als gerade Linie wirken können.

Bestimmung 4

Wenn beide Seiten eines Winkels auf derselben Geraden liegen oder seine Seiten als zusätzliche Halblinien einer Geraden dienen, wird ein solcher Winkel genannt eingesetzt.

Die folgende Abbildung zeigt eine abgeflachte Ecke.

Ein Punkt auf einer Geraden ist der Scheitelpunkt des Winkels. Meistens wird es mit dem Punkt O bezeichnet.

Ein Winkel wird in der Mathematik mit dem Zeichen „∠“ bezeichnet. Wenn die Seiten eines Winkels mit kleinem Latein bezeichnet werden, werden zur korrekten Definition des Winkels Buchstaben entsprechend den Seiten hintereinander geschrieben. Wenn zwei Seiten mit k und h bezeichnet werden, dann wird der Winkel mit ∠ k h oder ∠ h k bezeichnet.

Wenn eine Bezeichnung in Großbuchstaben vorhanden ist, haben die Seiten der Ecke jeweils die Namen O A und O B. In diesem Fall hat der Winkel einen Namen aus drei Buchstaben des lateinischen Alphabets, die in einer Reihe in der Mitte mit einem Scheitelpunkt geschrieben sind - ∠ A O B und ∠ B O A . Es gibt eine Bezeichnung in Form von Zahlen, wenn die Ecken keine Namen oder Buchstaben haben. Unten ist ein Bild, wo verschiedene Wege Ecken sind markiert.

Ein Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht entwickelt ist, hat ein Teil der Ebene den Namen inneren Eckbereich, das andere - äußeren Eckbereich. Unten ist ein Bild, das erklärt, welche Teile der Ebene extern und welche intern sind.

Wenn es durch einen geraden Winkel auf einer Ebene geteilt wird, wird jeder seiner Teile als das Innere des geraden Winkels angesehen.

Der Innenbereich der Ecke ist ein Element, das zur zweiten Definition der Ecke dient.

Bestimmung 5

Ecke wird eine geometrische Figur genannt, die aus zwei nicht zusammenfallenden Strahlen besteht, die einen gemeinsamen Ursprung und einen entsprechenden Innenbereich des Winkels haben.

Diese Definition ist strenger als die vorherige, da sie mehr Bedingungen hat. Es ist nicht ratsam, beide Definitionen getrennt zu betrachten, da ein Winkel eine geometrische Figur ist, die durch zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen transformiert wird. Wenn es notwendig ist, Aktionen mit einem Winkel auszuführen, bedeutet die Definition das Vorhandensein von zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und einem inneren Bereich.

Bestimmung 6

Die beiden Ecken werden aufgerufen verbunden, wenn es eine gemeinsame Seite gibt und die anderen beiden komplementäre Halblinien sind oder einen geraden Winkel bilden.

Die Abbildung zeigt, dass benachbarte Ecken einander ergänzen, da sie eine Fortsetzung voneinander sind.

Bestimmung 7

Die beiden Ecken werden aufgerufen vertikal, wenn die Seiten der einen komplementäre Halblinien der anderen oder Verlängerungen der Seiten der anderen sind. Die folgende Abbildung zeigt ein Bild der vertikalen Ecken.

Beim Kreuzen von Linien werden 4 Paare benachbarter und 2 Paare vertikaler Winkel erhalten. Unten ist auf dem Bild zu sehen.

Der Artikel zeigt die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln. Wir werden analysieren, welcher Winkel als groß angesehen wird, welcher kleiner ist, und andere Eigenschaften des Winkels. Zwei Figuren gelten als gleich, wenn sie bei der Überlagerung vollständig übereinstimmen. Die gleiche Eigenschaft gilt für den Vergleich von Winkeln.

Gegeben zwei Winkel. Es ist notwendig, zu dem Schluss zu kommen, ob diese Winkel gleich sind oder nicht.

Es ist bekannt, dass sich die Scheitel zweier Ecken und die Seite der ersten Ecke mit jeder anderen Seite der zweiten Ecke überlappen. Das heißt, im Falle einer vollständigen Übereinstimmung, wenn die Winkel überlagert werden, stimmen die Seiten der angegebenen Winkel vollständig überein, die Winkel gleich.

Es kann sein, dass beim Übereinanderlegen die Seiten nicht kombiniert werden dürfen, dann die Ecken ungleich, kleiner davon besteht aus einem anderen, und mehr enthält einen völlig anderen Blickwinkel. Unten sind ungleiche Winkel, die bei Überlagerung nicht ausgerichtet sind.

Die Abwicklungswinkel sind gleich.

Die Messung von Winkeln beginnt mit der Messung der Seite des gemessenen Winkels und seines inneren Bereichs, der mit Einheitswinkeln gefüllt wird, die sie aufeinander anwenden. Es ist notwendig, die Anzahl der gestapelten Ecken zu zählen, sie bestimmen das Maß des gemessenen Winkels.

Eine Winkeleinheit kann in jedem messbaren Winkel ausgedrückt werden. Es gibt allgemein anerkannte Maßeinheiten, die in Wissenschaft und Technik verwendet werden. Sie sind auf andere Titel spezialisiert.

Das am häufigsten verwendete Konzept Grad.

Bestimmung 8

ein Grad wird ein Winkel genannt, der ein Hundertachtzigstel eines begradigten Winkels hat.

Die Standardnotation für einen Grad ist "°", dann ist ein Grad 1°. Daher besteht ein gerader Winkel aus 180 solchen Winkeln, die aus einem Grad bestehen. Alle verfügbaren Ecken sind eng aneinander gestapelt und die Seiten der vorherigen sind an der nächsten ausgerichtet.

Es ist bekannt, dass die Gradzahl eines Winkels dasselbe Maß für den Winkel ist. Die entwickelte Ecke hat 180 gestapelte Ecken in ihrer Zusammensetzung. Die folgende Abbildung zeigt Beispiele, bei denen der Winkel 30-mal gelegt wird, dh ein Sechstel der Erweiterung, und 90-mal, dh die Hälfte.

Minuten und Sekunden werden verwendet, um Winkelmessungen genau zu bestimmen. Sie werden verwendet, wenn der Winkelwert keine ganzzahlige Gradangabe ist. Mit solchen Teilen eines Grades können Sie genauere Berechnungen durchführen.

Bestimmung 9

Minute ein sechzigstel Grad genannt.

Bestimmung 10

zweite eine sechzigstel Minute genannt.

Ein Grad enthält 3600 Sekunden. Minuten bezeichnen """ und Sekunden """". Die Bezeichnung erfolgt:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

und die Notation für den Winkel 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden ist 17° 3 "59"".

Bestimmung 11

Geben wir ein Beispiel für die Notation des Gradmaßes eines Winkels gleich 17 ° 3 "59" ". Der Eintrag hat eine andere Form 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Verwenden Sie dies, um Winkel genau zu messen Messgerät wie ein Winkelmesser. Bei der Bezeichnung des Winkels ∠ A O B und seines Gradmaßes von 110 Grad wird eine bequemere Notation verwendet ∠ A O B \u003d 110 °, die lautet "Winkel A O B ist gleich 110 Grad."

In der Geometrie wird ein Winkelmaß aus dem Intervall (0 , 180 ] verwendet, und in der Trigonometrie wird ein beliebiges Gradmaß genannt Drehwinkel. Der Wert der Winkel wird immer als reelle Zahl ausgedrückt. Rechter Winkel ist ein Winkel, der 90 Grad hat. Scharfe Ecke ein Winkel ist, der kleiner als 90 Grad ist, und unverblümt- mehr.

Ein spitzer Winkel wird im Intervall (0, 90) gemessen und ein stumpfer Winkel - (90, 180) . Drei Arten von Winkeln sind unten deutlich dargestellt.

Jedes Gradmaß für jeden Winkel hat den gleichen Wert. Ein größerer Winkel hat jeweils ein größeres Gradmaß als ein kleinerer. Das Gradmaß eines Winkels ist die Summe aller verfügbaren Gradmaße von Innenwinkeln. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel AOB, bestehend aus den Winkeln AOC, COD und DOB. Im Detail sieht das so aus: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Daraus lässt sich schließen, dass Summe alles benachbarte Winkel beträgt 180 Grad weil sie alle einen erweiterten Winkel bilden.

Daraus folgt, dass evtl Vertikalwinkel sind gleich. Wenn wir dies anhand eines Beispiels betrachten, erhalten wir, dass die Winkel A O B und C O D vertikal sind (in der Zeichnung), dann werden die Winkelpaare A O B und B O C, C O D und B O C als benachbart betrachtet. In einem solchen Fall gilt die Gleichheit ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° zusammen mit ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° als eindeutig wahr. Also gilt ∠ A O B = ∠ C O D . Unten ist ein Beispiel für das Bild und die Bezeichnung von vertikalen Fängen.

Neben Grad, Minuten und Sekunden wird eine weitere Maßeinheit verwendet. Es wird genannt Bogenmaß. Am häufigsten ist es in der Trigonometrie zu finden, wenn die Winkel von Polygonen bezeichnet werden. Was heißt Radiant.

Bestimmung 12

Ein Bogenmaß der Mittelpunktswinkel genannt wird, der einen Kreisradius hat, der gleich der Länge des Bogens ist.

In der Abbildung ist das Bogenmaß als Kreis dargestellt, wobei es einen Mittelpunkt gibt, der durch einen Punkt angezeigt wird, wobei zwei Punkte auf dem Kreis verbunden und in die Radien O A und O B umgewandelt werden. Per Definition ist dieses Dreieck A O B gleichseitig, was bedeutet dass die Länge des Bogens A B gleich der Länge der Radien O B und Oh A ist.

Die Bezeichnung des Winkels wird mit „rad“ übernommen. Das heißt, eine Eingabe in 5 Radian wird als 5 rad abgekürzt. Manchmal findet man eine Bezeichnung mit dem Namen pi. Das Bogenmaß hängt nicht von der Länge eines bestimmten Kreises ab, da die Figuren mit Hilfe eines Winkels und seines Bogens mit einem Mittelpunkt, der sich am Scheitelpunkt eines bestimmten Winkels befindet, eine Art Einschränkung aufweisen. Sie gelten als ähnlich.

Radianten haben die gleiche Bedeutung wie Grade, nur der Unterschied liegt in ihrer Größe. Um dies zu bestimmen, ist es notwendig, die berechnete Länge des Bogens des Zentriwinkels durch die Länge seines Radius zu teilen.

In der Praxis verwenden sie Konvertieren Sie Grad in Radiant und Radiant in Grad zur einfacheren Problemlösung. Der angegebene Artikel enthält Informationen über die Verbindung zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß, in dem Sie die Übersetzungen von Grad zu Bogenmaß und umgekehrt im Detail studieren können.

Zur visuellen und bequemen Darstellung von Bögen, Winkeln und Zeichnungen werden verwendet. Es ist nicht immer möglich, einen bestimmten Winkel, Bogen oder Namen korrekt darzustellen und zu markieren. Gleiche Winkel haben die Bezeichnung in Form der gleichen Anzahl von Bögen und ungleiche in Form von unterschiedlichen. Die Zeichnung zeigt die korrekte Bezeichnung von spitzen, gleichen und ungleichen Winkeln.

Wenn mehr als 3 Ecken markiert werden müssen, werden spezielle Bogenbezeichnungen verwendet, wie z. B. wellig oder gezackt. Es ist nicht so wichtig. Die folgende Abbildung zeigt ihre Bezeichnung.

Die Bezeichnung der Winkel sollte einfach sein, um andere Werte nicht zu stören. Bei der Lösung eines Problems wird empfohlen, nur die für die Lösung erforderlichen Ecken auszuwählen, um die gesamte Zeichnung nicht zu überladen. Dies beeinträchtigt die Lösung und den Beweis nicht und verleiht der Zeichnung auch ein ästhetisches Aussehen.

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