Matrix-Methode SLAU-Lösungen zur Lösung von Gleichungssystemen, bei denen die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten entspricht. Die Methode eignet sich am besten zum Lösen von Systemen niedriger Ordnung. Das Matrixverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme basiert auf der Anwendung der Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.

Mit anderen Worten, auf diese Weise inverse Matrixmethode, so genannt, da die Lösung auf die übliche Matrixgleichung reduziert wird, für deren Lösung Sie die inverse Matrix finden müssen.

Matrixlösungsverfahren Ein SLAE mit einer Determinante größer oder kleiner als Null lautet wie folgt:

Angenommen, es gibt ein SLE (System linearer Gleichungen) mit n unbekannt (über einem beliebigen Feld):

Es ist also einfach, es in eine Matrixform zu übersetzen:

AX=B, wo EIN ist die Hauptmatrix des Systems, B und X- Spalten mit freien Mitgliedern bzw. Lösungen des Systems:

Multipliziere diese Matrixgleichung links mit A-1- Inverse Matrix zu Matrix A: A −1 (AX)=A −1 B.

Da A – 1 A = E, meint, X=A −1 B. Die rechte Seite der Gleichung gibt eine Spalte mit Lösungen für das Ausgangssystem. Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Matrixmethode ist die Nichtentartung der Matrix EIN. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass die Determinante der Matrix EIN:

detA≠0.

Zum homogenes System linearer Gleichungen, d.h. wenn Vektor B=0, gilt die gegenteilige Regel: das System AX=0 ist nur dann eine nicht-triviale (d. h. nicht gleich Null) Lösung, wenn detA=0. Diesen Zusammenhang zwischen den Lösungen homogener und inhomogener linearer Gleichungssysteme nennt man Alternative zu Fredholm.

Somit erfolgt die Lösung des SLAE nach der Matrixmethode gemäß der Formel . Oder die SLAE-Lösung wird mit gefunden inverse Matrix A-1.

Es ist bekannt, dass eine quadratische Matrix ABER bestellen n auf der n Es gibt eine inverse Matrix A-1 nur wenn seine Determinante nicht Null ist. So das System n lineare algebraische Gleichungen mit n Unbekannte werden nur dann nach der Matrixmethode gelöst, wenn die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist.

Trotz der Tatsache, dass die Möglichkeit der Verwendung eines solchen Verfahrens begrenzt ist und Rechenschwierigkeiten für große Werte der Koeffizienten und Systeme höherer Ordnung bestehen, kann das Verfahren leicht auf einem Computer implementiert werden.

Ein Beispiel für die Lösung eines inhomogenen SLAE.

Prüfen wir zunächst, ob die Determinante der Koeffizientenmatrix für unbekannte SLAEs ungleich Null ist.

Jetzt finden wir Allianz Matrix, transponiere sie und setze sie in die Formel zur Bestimmung der inversen Matrix ein.

Wir ersetzen die Variablen in der Formel:

Jetzt finden wir die Unbekannten, indem wir die inverse Matrix und die Spalte der freien Terme multiplizieren.

So, x=2; y=1; z=4.

Wenn Sie von der üblichen Form von SLAE zur Matrixform wechseln, achten Sie auf die Reihenfolge der unbekannten Variablen in den Systemgleichungen. Zum Beispiel:

Schreiben Sie NICHT als:

Es ist zunächst notwendig, die unbekannten Variablen in jeder Gleichung des Systems zu ordnen und erst danach mit der Matrixnotation fortzufahren:

Außerdem müssen Sie mit der Bezeichnung unbekannter Variablen vorsichtig sein, statt x 1 , x 2 , …, x n Es können andere Buchstaben sein. Z.B:

in Matrixform schreiben wir:

Mit der Matrixmethode ist es besser, lineare Gleichungssysteme zu lösen, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist. Wenn das System mehr als 3 Gleichungen enthält, wird es mehr Rechenaufwand erfordern, um die inverse Matrix zu finden, daher ist es in diesem Fall ratsam, die Gauß-Methode zur Lösung zu verwenden.

Das Gauß-Verfahren, auch Verfahren der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten genannt, besteht aus Folgendem. Mit elementaren Transformationen wird das lineare Gleichungssystem in eine solche Form gebracht, dass sich seine Koeffizientenmatrix als ergibt trapezförmig (wie dreieckig oder gestuft) oder fast trapezförmig (also der direkte Verlauf der Gauß-Methode - nur eine direkte Bewegung). Ein Beispiel für ein solches System und seine Lösung ist in der obigen Abbildung dargestellt.

In einem solchen System enthält die letzte Gleichung nur eine Variable und ihr Wert kann eindeutig gefunden werden. Dann wird der Wert dieser Variablen in die vorherige Gleichung eingesetzt ( Gaußsche Umkehrung , dann - nur eine Rückwärtsbewegung), aus der die vorherige Variable gefunden wird, und so weiter.

In einem trapezförmigen (dreieckigen) System enthält die dritte Gleichung, wie wir sehen, keine Variablen mehr j und x, und die zweite Gleichung - Variable x .

Nachdem die Matrix des Systems eine Trapezform angenommen hat, ist es nicht mehr schwierig, die Frage nach der Kompatibilität des Systems zu klären, die Anzahl der Lösungen zu bestimmen und die Lösungen selbst zu finden.

Vorteile der Methode:

1. Beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit mehr als drei Gleichungen und Unbekannten ist das Gauß-Verfahren nicht so umständlich wie das Cramer-Verfahren, da beim Lösen des Gauß-Verfahrens weniger Berechnungen erforderlich sind.
2. Mit der Gauß-Methode können Sie unbestimmte lineare Gleichungssysteme lösen, dh eine gemeinsame Lösung haben (und wir werden sie in dieser Lektion analysieren), und mit der Cramer-Methode können Sie nur sagen, dass das System unsicher ist.
3. Sie können lineare Gleichungssysteme lösen, in denen die Anzahl der Unbekannten nicht gleich der Anzahl der Gleichungen ist (wir werden sie auch in dieser Lektion analysieren);
4. Die Methode basiert auf elementaren (Schul-) Methoden - der Methode der Substitution von Unbekannten und der Methode des Hinzufügens von Gleichungen, die wir im entsprechenden Artikel angesprochen haben.

Damit jeder von der Einfachheit durchdrungen ist, mit der trapezförmige (dreieckige, stufenförmige) Systeme linearer Gleichungen gelöst werden, stellen wir die Lösung eines solchen Systems mit dem umgekehrten Strich vor. Eine schnelle Lösung für dieses System wurde im Bild zu Beginn der Lektion gezeigt.

Beispiel 1 Lösen Sie ein System linearer Gleichungen mit dem umgekehrten Zug:

Lösung. In diesem Trapezsystem ist die Variable z wird eindeutig aus der dritten Gleichung gefunden. Wir setzen seinen Wert in die zweite Gleichung ein und erhalten den Wert der Variablen j:

Jetzt kennen wir die Werte von zwei Variablen - z und j. Wir setzen sie in die erste Gleichung ein und erhalten den Wert der Variablen x:

Aus den vorherigen Schritten schreiben wir die Lösung des Gleichungssystems aus:

Um ein solches trapezförmiges lineares Gleichungssystem zu erhalten, das wir sehr einfach gelöst haben, ist es erforderlich, eine direkte Bewegung anzuwenden, die mit elementaren Transformationen des linearen Gleichungssystems verbunden ist. Es ist auch nicht sehr schwierig.

Elementare Transformationen eines linearen Gleichungssystems

Wir wiederholten die Schulmethode der algebraischen Addition der Gleichungen des Systems und fanden heraus, dass eine andere Gleichung des Systems zu einer der Gleichungen des Systems hinzugefügt werden kann und jede der Gleichungen mit einigen Zahlen multipliziert werden kann. Als Ergebnis erhalten wir ein lineares Gleichungssystem, das dem gegebenen entspricht. Darin enthielt eine Gleichung bereits nur eine Variable, deren Wert wir in andere Gleichungen einsetzen, um zu einer Lösung zu kommen. Eine solche Addition ist eine der Arten der elementaren Transformation des Systems. Bei der Verwendung der Gauß-Methode können wir verschiedene Arten von Transformationen verwenden.

Die obige Animation zeigt, wie sich das Gleichungssystem allmählich in ein trapezförmiges System verwandelt. Das heißt, die, die Sie bei der allerersten Animation gesehen und sichergestellt haben, dass es einfach ist, die Werte aller Unbekannten daraus zu finden. Wie man eine solche Transformation durchführt und natürlich Beispiele, wird weiter diskutiert.

Beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit beliebig vielen Gleichungen und Unbekannten im Gleichungssystem und in der erweiterten Matrix des Systems kann:

1. Swap-Linien (dies wurde ganz am Anfang dieses Artikels erwähnt);
2. Wenn als Ergebnis anderer Transformationen gleiche oder proportionale Linien erschienen, können sie bis auf eine gelöscht werden.
3. "Null"-Zeilen löschen, wo alle Koeffizienten gleich Null sind;
4. multiplizieren oder dividieren Sie eine beliebige Zeichenfolge mit einer Zahl;
5. Fügen Sie zu jeder Zeile eine weitere Zeile hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird.

Als Ergebnis der Transformationen erhalten wir ein lineares Gleichungssystem, das dem gegebenen äquivalent ist.

Algorithmus und Beispiele zum Lösen eines Systems linearer Gleichungen mit einer quadratischen Matrix des Systems nach der Gauß-Methode

Betrachten Sie zunächst die Lösung linearer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Gleichungen ist. Die Matrix eines solchen Systems ist quadratisch, dh die Anzahl der Zeilen darin ist gleich der Anzahl der Spalten.

Beispiel 2 Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit Schulmethoden multiplizierten wir Glied für Glied eine der Gleichungen mit einer bestimmten Zahl, sodass die Koeffizienten der ersten Variablen in den beiden Gleichungen entgegengesetzte Zahlen waren. Beim Hinzufügen von Gleichungen wird diese Variable eliminiert. Die Gauß-Methode funktioniert ähnlich.

Um das Erscheinungsbild der Lösung zu vereinfachen bilden die erweiterte Matrix des Systems:

In dieser Matrix befinden sich die Koeffizienten der Unbekannten links vor dem senkrechten Balken und die freien Stäbe rechts nach dem senkrechten Balken.

Zur Vereinfachung der Division der Koeffizienten der Variablen (um eine Division durch eins zu erhalten) Vertauschen Sie die erste und zweite Zeile der Systemmatrix. Wir erhalten ein dem gegebenen äquivalentes System, da man im linearen Gleichungssystem die Gleichungen umstellen kann:

Mit der neuen ersten Gleichung die Variable eliminieren x aus der zweiten und allen folgenden Gleichungen. Dazu addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit (in unserem Fall mit ) zur zweiten Zeile der Matrix und die erste Zeile multipliziert mit (in unserem Fall mit ) zur dritten Zeile.

Dies ist möglich, weil

Wenn es in unserem System mehr als drei Gleichungen gab, sollte die erste Zeile zu allen nachfolgenden Gleichungen hinzugefügt werden, multipliziert mit dem Verhältnis der entsprechenden Koeffizienten, genommen mit einem Minuszeichen.

Als Ergebnis erhalten wir eine Matrix, die dem gegebenen System eines neuen Gleichungssystems entspricht, in dem alle Gleichungen beginnend mit der zweiten keine Variable enthalten x :

Um die zweite Zeile des resultierenden Systems zu vereinfachen, multiplizieren wir es mit und erhalten wieder die Matrix des zu diesem System äquivalenten Gleichungssystems:

Wenn Sie nun die erste Gleichung des resultierenden Systems unverändert lassen, Mit der zweiten Gleichung eliminieren wir die Variable j aus allen nachfolgenden Gleichungen. Dazu addieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit (in unserem Fall mit ) zur dritten Zeile der Systemmatrix.

Wenn es in unserem System mehr als drei Gleichungen gab, sollte die zweite Zeile zu allen nachfolgenden Gleichungen hinzugefügt werden, multipliziert mit dem Verhältnis der entsprechenden Koeffizienten, genommen mit einem Minuszeichen.

Als Ergebnis erhalten wir wieder die Matrix des zu dem gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalenten Systems:

Wir haben ein trapezförmiges lineares Gleichungssystem erhalten, das dem gegebenen äquivalent ist:

Wenn die Anzahl der Gleichungen und Variablen größer ist als in unserem Beispiel, wird der Prozess der sequentiellen Eliminierung von Variablen fortgesetzt, bis die Systemmatrix wie in unserem Demo-Beispiel trapezförmig wird.

Wir finden die Lösung "vom Ende her" - umgekehrt. Dafür aus der letzten Gleichung bestimmen wir z:
.
Setzen Sie diesen Wert in die vorherige Gleichung ein, finden j:

Aus der ersten Gleichung finden x:

Antwort: die Lösung dieses Gleichungssystems - .

: In diesem Fall wird die gleiche Antwort gegeben, wenn das System eine eindeutige Lösung hat. Wenn das System unendlich viele Lösungen hat, dann wird dies auch die Antwort sein, und das ist das Thema des fünften Teils dieser Lektion.

Löse selbst ein lineares Gleichungssystem nach der Gauß-Methode und schaue dir dann die Lösung an

Vor uns liegt wieder ein Beispiel eines konsistenten und bestimmten Systems linearer Gleichungen, in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist. Der Unterschied zu unserem Demo-Beispiel aus dem Algorithmus besteht darin, dass bereits vier Gleichungen und vier Unbekannte vorhanden sind.

Beispiel 4 Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Jetzt müssen Sie die zweite Gleichung verwenden, um die Variable aus den nachfolgenden Gleichungen auszuschließen. Lassen Sie uns etwas Vorarbeit leisten. Um das Verhältnis der Koeffizienten bequemer zu machen, müssen Sie eine Einheit in der zweiten Spalte der zweiten Zeile erhalten. Subtrahieren Sie dazu die dritte Zeile von der zweiten Zeile und multiplizieren Sie die resultierende zweite Zeile mit -1.

Führen wir nun die eigentliche Eliminierung der Variablen aus der dritten und vierten Gleichung durch. Addieren Sie dazu die zweite, multipliziert mit , zur dritten Zeile und die zweite, multipliziert mit , zur vierten.

Unter Verwendung der dritten Gleichung eliminieren wir nun die Variable aus der vierten Gleichung. Dazu addieren Sie zur vierten Zeile die dritte, multipliziert mit . Wir erhalten eine erweiterte Matrix in Trapezform.

Wir haben ein Gleichungssystem erhalten, das dem gegebenen System entspricht:

Daher sind die resultierenden und gegebenen Systeme konsistent und eindeutig. Wir finden die endgültige Lösung „vom Ende her“. Aus der vierten Gleichung können wir den Wert der Variablen „x vierte“ direkt ausdrücken:

Wir setzen diesen Wert in die dritte Gleichung des Systems ein und erhalten

,

,

Schließlich Wertsubstitution

In der ersten Gleichung gibt

,

wo wir "x first" finden:

Antwort: Dieses Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung. .

Sie können die Lösung des Systems auch auf einem Taschenrechner überprüfen, der nach der Cramer-Methode löst: In diesem Fall wird die gleiche Antwort gegeben, wenn das System eine eindeutige Lösung hat.

Lösung von angewandten Problemen nach der Gauß-Methode am Beispiel eines Problems für Legierungen

Lineare Gleichungssysteme werden verwendet, um reale Objekte der physikalischen Welt zu modellieren. Lassen Sie uns eines dieser Probleme lösen - für Legierungen. Ähnliche Aufgaben - Aufgaben für Mischungen, die Kosten oder das spezifische Gewicht einzelner Waren in einer Warengruppe und dergleichen.

Beispiel 5 Drei Legierungsstücke haben eine Gesamtmasse von 150 kg. Die erste Legierung enthält 60 % Kupfer, die zweite 30 %, die dritte 10 %. Gleichzeitig ist Kupfer in der zweiten und dritten Legierung zusammengenommen 28,4 kg weniger als in der ersten Legierung, und in der dritten Legierung ist Kupfer 6,2 kg weniger als in der zweiten Legierung. Finden Sie die Masse jedes Legierungsstücks.

Lösung. Wir stellen ein System linearer Gleichungen auf:

Wenn wir die zweite und dritte Gleichung mit 10 multiplizieren, erhalten wir ein äquivalentes System linearer Gleichungen:

Wir stellen die erweiterte Matrix des Systems zusammen:

Achtung, direkter Zug. Durch Hinzufügen (in unserem Fall Subtrahieren) einer Zeile, multipliziert mit einer Zahl (wir wenden sie zweimal an), treten mit der erweiterten Matrix des Systems die folgenden Transformationen auf:

Der Geradeauslauf ist vorbei. Wir haben eine erweiterte Matrix mit Trapezform.

Verwenden wir die Umkehrung. Wir finden eine Lösung vom Ende. Wir sehen das .

Aus der zweiten Gleichung finden wir

Aus der dritten Gleichung -

Sie können die Lösung des Systems auch auf einem Taschenrechner überprüfen, der nach der Cramer-Methode löst: In diesem Fall wird die gleiche Antwort gegeben, wenn das System eine eindeutige Lösung hat.

Die Einfachheit der Gauß-Methode wird durch die Tatsache belegt, dass der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß nur 15 Minuten brauchte, um sie zu erfinden. Neben der Methode seines Namens aus dem Werk von Gauß ist das Diktum „Wir sollten das, was uns unglaublich und unnatürlich erscheint, nicht mit dem absolut Unmöglichen verwechseln“ eine Art kurze Anleitung zum Entdecken.

In vielen Anwendungsproblemen gibt es möglicherweise keine dritte Einschränkung, dh keine dritte Gleichung, dann muss ein System aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten nach dem Gauß-Verfahren gelöst werden, oder es gibt umgekehrt weniger Unbekannte als Gleichungen. Wir beginnen nun damit, solche Gleichungssysteme zu lösen.

Mit der Gauß-Methode können Sie feststellen, ob ein System konsistent oder inkonsistent ist n lineare Gleichungen mit n Variablen.

Gauß-Verfahren und lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

Das nächste Beispiel ist ein konsistentes, aber unbestimmtes System linearer Gleichungen, das heißt, es hat unendlich viele Lösungen.

Nach dem Durchführen von Transformationen in der erweiterten Matrix des Systems (Permutieren von Zeilen, Multiplizieren und Dividieren von Zeilen mit einer bestimmten Zahl, Hinzufügen einer Zeile zu einer anderen) werden Zeilen des Formulars

Wenn in allen Gleichungen die Form haben

Die freien Glieder sind gleich Null, das heißt, das System ist indefinit, hat also unendlich viele Lösungen, und Gleichungen dieser Art sind „überflüssig“ und werden aus dem System ausgeschlossen.

Beispiel 6

Lösung. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems zusammenstellen. Dann eliminieren wir unter Verwendung der ersten Gleichung die Variable aus den nachfolgenden Gleichungen. Dazu addieren Sie zur zweiten, dritten und vierten Zeile jeweils die erste, multipliziert mit :

Jetzt fügen wir die zweite Reihe zur dritten und vierten hinzu.

Als Ergebnis kommen wir zum System

Die letzten beiden Gleichungen sind zu Gleichungen der Form geworden. Diese Gleichungen sind für beliebige Werte der Unbekannten erfüllt und können verworfen werden.

Um die zweite Gleichung zu erfüllen, können wir beliebige Werte für und wählen, dann wird der Wert für eindeutig bestimmt: . Aus der ersten Gleichung ergibt sich auch eindeutig der Wert für: .

Sowohl das gegebene als auch das letzte System sind kompatibel, aber unbestimmt, und die Formeln

für beliebig und geben uns alle Lösungen des gegebenen Systems.

Gauß-Verfahren und Systeme linearer Gleichungen, die keine Lösungen haben

Das folgende Beispiel ist ein inkonsistentes System linearer Gleichungen, das heißt, es hat keine Lösungen. Die Antwort auf solche Probleme ist wie folgt formuliert: Das System hat keine Lösungen.

Wie bereits im Zusammenhang mit dem ersten Beispiel erwähnt, werden nach Durchführung von Transformationen in der erweiterten Matrix des Systems Linien der Form

entsprechend einer Gleichung der Form

Wenn es unter ihnen mindestens eine Gleichung mit einem freien Term ungleich Null gibt (dh ), ist dieses Gleichungssystem inkonsistent, dh es hat keine Lösungen, und dies vervollständigt seine Lösung.

Beispiel 7 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Lösung. Wir stellen die erweiterte Matrix des Systems zusammen. Mit der ersten Gleichung schließen wir die Variable aus den nachfolgenden Gleichungen aus. Dazu addierst du die erste multipliziert mit der zweiten Reihe, die erste multipliziert mit der dritten Reihe und die erste multipliziert mit der vierten Reihe.

Jetzt müssen Sie die zweite Gleichung verwenden, um die Variable aus den nachfolgenden Gleichungen auszuschließen. Um ganzzahlige Verhältnisse der Koeffizienten zu erhalten, vertauschen wir die zweite und dritte Zeile der erweiterten Matrix des Systems.

Um sie aus der dritten und vierten Gleichung auszuschließen, addieren Sie die zweite, multipliziert mit , zur dritten Zeile und die zweite, multipliziert mit , zur vierten.

Unter Verwendung der dritten Gleichung eliminieren wir nun die Variable aus der vierten Gleichung. Dazu addieren Sie zur vierten Zeile die dritte, multipliziert mit .

Das gegebene System ist also äquivalent zu:

Das resultierende System ist inkonsistent, da seine letzte Gleichung durch keine Werte der Unbekannten erfüllt werden kann. Daher hat dieses System keine Lösungen.

wo x* - eine der Lösungen des inhomogenen Systems (2) (zum Beispiel (4)), (E-A + A) bildet den Kern (Nullraum) der Matrix EIN.

Machen wir eine skelettartige Zerlegung der Matrix (E-A + A):

E−A + A=Q S

wo Q n×n−r- Rangmatrix (Q)=n−r, S n−r×n-Rangmatrix (S)=n−r.

Dann kann (13) in folgender Form geschrieben werden:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

wo k=Gr.

So, Allgemeines Lösungsverfahren Systeme linearer Gleichungen mit einer pseudoinversen Matrix können in folgender Form dargestellt werden:

1. Berechnen Sie die pseudoinverse Matrix EIN + .
2. Wir berechnen eine spezielle Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems (2): x*=EIN + b.
3. Wir prüfen die Kompatibilität des Systems. Dafür berechnen wir AA + b. Wenn ein AA + b≠b, dann ist das System inkonsistent. Andernfalls setzen wir das Verfahren fort.
4. vyssylyaem E-A+A.
5. Eine Skelettzerlegung durchführen E−A + A=Q·S.
6. Aufbau einer Lösung

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Ein lineares Gleichungssystem online lösen

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Anweisung

Substitutions- oder sukzessives Eliminationsverfahren Substitution wird in einem System mit einer kleinen Anzahl von Unbekannten verwendet. Dies ist die einfachste Lösungsmethode für simple . Zuerst drücken wir aus der ersten Gleichung eine Unbekannte durch die anderen aus und setzen diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein. Wir drücken die zweite Unbekannte aus der transformierten zweiten Gleichung aus, setzen das erhaltene Ergebnis in die dritte Gleichung ein und so weiter. bis wir die letzte Unbekannte berechnen. Dann setzen wir seinen Wert in die vorherige Gleichung ein und ermitteln die vorletzte Unbekannte usw. Betrachten Sie mit Unbekannten. x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Drücken Sie aus der ersten Gleichung x aus: x = 3 - y. Setzen Sie in die zweite Gleichung ein: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y=1
Setze in die erste Gleichung ein Systeme(oder in einen Ausdruck für x, der derselbe ist): x + 1 - 3 = 0. Wir erhalten, dass x = 2.

Termweise Subtraktion (oder Addition) Diese Methode verkürzt oft Lösungen Systeme und Berechnungen vereinfachen. Es besteht darin, nach Unbekannten zu suchen, um die Gleichungen zu addieren (oder zu subtrahieren). Systeme um einige der Unbekannten aus der Gleichung zu eliminieren. Betrachten Sie ein Beispiel, nehmen Sie das gleiche System wie bei der ersten Methode.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Es ist leicht zu erkennen, dass bei y die Koeffizienten im Absolutwert identisch sind, jedoch mit einem Vorzeichen. Wenn wir also zwei Gleichungen Term für Term addieren, kann y y ausschließen. Fügen wir hinzu: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 oder 3x - 6 = 0. Somit ist x = 2. Wenn wir diesen Wert in eine beliebige Gleichung einsetzen, finden wir y.
Alternativ kann x ausgeschlossen werden. Die Koeffizienten bei x haben das gleiche Vorzeichen, also subtrahieren wir eine Gleichung von der anderen. Aber in der ersten Gleichung ist der Koeffizient bei x 1 und in der zweiten 2, also kannst du x einfach nicht eliminieren. Wenn wir die erste Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten wir das folgende System:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Subtrahieren Sie nun Term für Term den zweiten von der ersten Gleichung: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 oder, indem Sie ähnliche geben, 3y - 3 = 0. Somit ist y = 1. Durch Einsetzen in eine beliebige Gleichung finden wir x.

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Tipp 2: Wie man die Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems beweist

Eine der Aufgaben der höheren Mathematik ist der Nachweis der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems. Der Beweis muss nach dem Satz von Kroncker-Capelli geführt werden, wonach das System konsistent ist, wenn der Rang seiner Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

Anweisung

Schreiben Sie die Hauptmatrix des Systems auf. Bringen Sie dazu die Gleichungen in eine einheitliche Form (dh bringen Sie alle Koeffizienten in die gleiche Reihenfolge, falls einer fehlt, schreiben Sie sie auf, einfach mit dem numerischen Koeffizienten "0"). Schreiben Sie alle Koeffizienten in Form einer Tabelle auf, schließen Sie sie in Klammern ein (berücksichtigen Sie keine auf die rechte Seite übertragenen freien Terme).

Notieren Sie auf die gleiche Weise die erweiterte Matrix des Systems, setzen Sie in diesem Fall jedoch einen vertikalen Balken rechts und notieren Sie die Spalte der freien Mitglieder.

Berechnen Sie den Rang der Hauptmatrix, dies ist die größte Nebenzahl ungleich Null. Ein Minor erster Ordnung ist eine beliebige Ziffer der Matrix, es ist offensichtlich, dass sie nicht gleich Null ist. Um den Minor zweiter Ordnung zu berechnen, nehmen Sie zwei beliebige Zeilen und zwei beliebige Spalten (Sie erhalten vier Ziffern). Berechnen Sie die Determinante, multiplizieren Sie die Zahl oben links mit der Zahl unten rechts, subtrahieren Sie das Produkt der Zahl unten links und oben rechts von der resultierenden Zahl. Sie haben einen Minderjährigen zweiter Ordnung.

Schwieriger ist es, den Moll dritter Ordnung zu berechnen. Nehmen Sie dazu drei beliebige Zeilen und drei Spalten, Sie erhalten eine Tabelle mit neun Zahlen. Berechnen Sie die Determinante mit der Formel: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (die erste Ziffer des Koeffizienten ist die Zeilennummer, die zweite Ziffer ist die Spaltennummer). Sie haben einen Minderjährigen der dritten Ordnung erhalten.

Finden Sie auf ähnliche Weise den Rang der erweiterten Matrix. Beachten Sie, dass es keinen Sinn macht, den Rang der erweiterten Matrix zu berechnen, wenn die Anzahl der Gleichungen in Ihrem System mit dem Rang übereinstimmt (z. B. drei Gleichungen und der Rang 3 ist). Offensichtlich ist er auch gleich dieser Zahl . In diesem Fall können wir sicher schlussfolgern, dass das lineare Gleichungssystem kompatibel ist.

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Die gestellte Frage deckt das Hauptziel des gesamten Kurses "Lineare Algebra" vollständig ab. Daher kann die Antwort nur in komprimierter Form gegeben werden, ohne detaillierte Berechnungen und Erläuterungen. Im Allgemeinen sind lineare Gleichungen interessant, weil sie mit rein algorithmischen Methoden gelöst werden können.

Anweisung

Das System von m linearen algebraischen Gleichungen mit n Unbekannten hat die Form (siehe Abb. 1).
Darin sind aij Systemkoeffizienten, xj Unbekannte, bi freie Mitglieder (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Praktische Bedeutung hat ein solches System dann, wenn die Zahl seiner Gleichungen die Zahl der Unbekannten nicht übersteigt, also m≤n. Tatsache ist, dass ansonsten die "zusätzlichen" Gleichungen eine Linearkombination der übrigen sein müssen. Es ist so, dass sie sie einfach wiederholen. Wenn nicht, dann existiert die Lösung nicht (das System ist nicht konsistent).

Ein solches System kann kompakt in der Matrixform AX=B geschrieben werden. Dabei sind A die Koeffizienten des Systems, X die Spaltenmatrix der Unbekannten, B die Spaltenmatrix der freien Mitglieder (siehe Abb. 2). Wenn m=n, d.h. die Anzahl der Unbekannten und die Anzahl der Gleichungen gleich ist, dann ist die Matrix A quadratisch. Daher ist für sie der Begriff der Determinante der Matrix ∆=|A| Für |A|≠0 gibt es eine inverse Matrix A⁻¹. Sie basiert auf der Gleichheit AA⁻¹= A⁻¹A=E (E ist die Identitätsmatrix). Die Berechnungsformel ist auch in Abbildung 2 dargestellt. Es sollte nur hinzugefügt werden, dass die Elemente Aij Г, die algebraischen Komplemente der Elemente aij der Matrix A genannt werden, wie folgt berechnet werden. Nimm die Determinante |A| und lösche daraus die Zeile und Spalte, die das Element aij enthalten. Schreiben Sie die restlichen Koeffizienten als Determinante, die Sie mit (-1) multiplizieren, wenn i+j nicht gerade ist. Die entsprechende Nummer ist Aij. Algebraische Additionen werden über die Spalten der zugehörigen Matrix geschrieben.

Finden Sie die Lösung des Systems in einer Matrixweise. Multipliziere dazu beide Teile des Systems AX=B mit A⁻¹ auf der linken Seite. Erhalte (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B oder X=A⁻¹B. Alle Details sind in Abb. 3. Die gleiche Abbildung zeigt

In dieser Lektion werden wir Methoden zum Lösen eines Systems linearer Gleichungen betrachten. Im Rahmen der höheren Mathematik müssen lineare Gleichungssysteme sowohl in Form von Einzelaufgaben gelöst werden, z. B. „Löse das System mit den Formeln von Cramer“, als auch im Zuge der Lösung anderer Probleme. In fast allen Zweigen der höheren Mathematik hat man mit linearen Gleichungssystemen zu tun.

Zunächst ein wenig Theorie. Was bedeutet in diesem Fall das mathematische Wort „linear“? Dies bedeutet, dass in den Gleichungen des Systems alle Variablen enthalten sind im ersten Grad: keine ausgefallenen Sachen wie etc., von denen nur Teilnehmer von Mathematik-Olympiaden begeistert sind.

In der höheren Mathematik werden nicht nur aus der Kindheit bekannte Buchstaben zur Bezeichnung von Variablen verwendet.
Eine ziemlich beliebte Option sind Variablen mit Indizes: .
Oder die Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets, klein und groß:
Griechische Buchstaben findet man gar nicht so selten: - vielen bekannt „Alpha, Beta, Gamma“. Und auch ein Satz mit Indizes, sagen wir, mit dem Buchstaben "mu":

Die Verwendung des einen oder anderen Buchstabensatzes hängt von dem Zweig der höheren Mathematik ab, in dem wir mit einem System linearer Gleichungen konfrontiert sind. So ist es beispielsweise in Systemen linearer Gleichungen, die beim Lösen von Integralen und Differentialgleichungen auftreten, traditionell üblich, die Notation zu verwenden

Aber egal wie die Variablen bezeichnet werden, die Prinzipien, Methoden und Methoden zum Lösen eines linearen Gleichungssystems ändern sich hiervon nicht. Also, wenn Sie auf so etwas Schreckliches stoßen, beeilen Sie sich nicht, das Problembuch vor Angst zu schließen, stattdessen können Sie stattdessen die Sonne zeichnen - einen Vogel und stattdessen - ein Gesicht (eines Lehrers). Und seltsamerweise kann auch ein lineares Gleichungssystem mit diesen Notationen gelöst werden.

Etwas habe ich so eine Vorahnung, dass der Artikel recht lang werden wird, also ein kleines Inhaltsverzeichnis. Die sequentielle „Nachbesprechung“ wird also wie folgt aussehen:

– Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode („Schulmethode“);
– Lösung des Systems durch die Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems;
– Lösung des Systems durch Cramersche Formeln;
– Lösung des Systems mit der inversen Matrix;
– Lösung des Systems nach dem Gauß-Verfahren.

Lineare Gleichungssysteme kennt jeder aus dem Schulmathematikunterricht. Tatsächlich beginnen wir mit der Wiederholung.

Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

Diese Methode kann auch als „Schulmethode“ oder Methode der Unbekannten bezeichnet werden. Bildlich gesprochen kann man es auch als „halbfertiges Gauß-Verfahren“ bezeichnen.

Beispiel 1

Hier haben wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Beachten Sie, dass sich die freien Terme (Nummer 5 und 7) auf der linken Seite der Gleichung befinden. Im Allgemeinen spielt es keine Rolle, wo sie sich befinden, links oder rechts, nur dass sie bei Problemen in der höheren Mathematik oft so angeordnet sind. Und so ein Satz sollte nicht verwirren, notfalls kann das System immer „wie gewohnt“ geschrieben werden:. Vergessen Sie nicht, dass Sie beim Übertragen eines Begriffs von Teil zu Teil sein Vorzeichen ändern müssen.

Was bedeutet es, ein lineares Gleichungssystem zu lösen? Das Lösen eines Gleichungssystems bedeutet, die Menge seiner Lösungen zu finden. Die Lösung des Systems ist eine Reihe von Werten aller darin enthaltenen Variablen, die JEDE Gleichung des Systems in eine wahre Gleichheit verwandelt. Darüber hinaus kann das System sein unvereinbar (habe keine Lösungen).Seien Sie nicht schüchtern, dies ist eine allgemeine Definition =) Wir werden nur einen Wert von "x" und einen Wert von "y" haben, die jede Gleichung mit-wir erfüllen.

Es gibt eine grafische Methode zum Lösen des Systems, die in der Lektion zu finden ist. Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie. Da habe ich geredet geometrischen Sinn Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Aber jetzt im Hof ​​​​ist die Ära der Algebra und Zahlen-Zahlen, Aktionen-Aktionen.

Wir entscheiden: aus der ersten Gleichung drücken wir aus:
Wir setzen den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung ein:

Wir öffnen die Klammern, geben gleiche Terme an und finden den Wert:

Als nächstes erinnern wir uns, woraus sie getanzt haben:
Wir kennen den Wert bereits, es bleibt zu finden:

Antworten:

Nachdem JEDES Gleichungssystem auf IRGENDEINE Weise gelöst wurde, empfehle ich dringend, es zu überprüfen (mündlich, auf einem Entwurf oder Taschenrechner). Glücklicherweise ist dies schnell und einfach erledigt.

1) Setzen Sie die gefundene Antwort in die erste Gleichung ein:

- die richtige Gleichheit erreicht wird.

2) Wir ersetzen die gefundene Antwort in der zweiten Gleichung:

- die richtige Gleichheit erreicht wird.

Oder einfacher gesagt: „Alles passt zusammen“

Die betrachtete Lösungsmethode ist nicht die einzige; aus der ersten Gleichung konnte ausgedrückt werden, aber nicht .
Sie können umgekehrt etwas aus der zweiten Gleichung ausdrücken und es in die erste Gleichung einsetzen. Beachten Sie übrigens, dass die nachteiligste der vier Möglichkeiten darin besteht, aus der zweiten Gleichung auszudrücken:

Brüche werden erhalten, aber warum? Es gibt eine rationalere Lösung.

In einigen Fällen sind Brüche jedoch immer noch unverzichtbar. In diesem Zusammenhang lenke ich Ihre Aufmerksamkeit darauf, WIE ich den Ausdruck geschrieben habe. Nicht so: und auf keinen Fall so: .

Wenn Sie es in der höheren Mathematik mit Bruchzahlen zu tun haben, dann versuchen Sie, alle Rechnungen in gewöhnlichen unechten Brüchen durchzuführen.

Genau, nicht oder!

Das Komma kann nur gelegentlich verwendet werden, insbesondere wenn - dies die endgültige Lösung eines Problems ist und mit dieser Nummer keine weiteren Aktionen ausgeführt werden müssen.

Viele Leser dachten wahrscheinlich „warum so eine ausführliche Erklärung, wie für eine Korrekturklasse, und alles ist klar“. Nichts dergleichen, es scheint so ein einfaches Schulbeispiel zu sein, aber wie viele SEHR wichtige Schlussfolgerungen! Hier ist ein anderes:

Jede Aufgabe sollte so rational wie möglich erledigt werden.. Schon allein, weil es Zeit und Nerven spart und zudem die Fehlerwahrscheinlichkeit verringert.

Wenn Sie bei einer Aufgabe in der höheren Mathematik auf ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten stoßen, können Sie immer die Substitutionsmethode verwenden (es sei denn, es wird angezeigt, dass das System durch eine andere Methode gelöst werden muss).
Darüber hinaus ist es in einigen Fällen ratsam, die Substitutionsmethode mit einer größeren Anzahl von Variablen zu verwenden.

Beispiel 2

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Ein ähnliches Gleichungssystem entsteht oft bei der Anwendung der sogenannten Methode der unbestimmten Koeffizienten, wenn wir das Integral einer rationalen Bruchfunktion finden. Das betreffende System wurde von mir von dort übernommen.

Beim Finden des Integrals - das Ziel schnell Finden Sie die Werte der Koeffizienten und seien Sie nicht mit Cramers Formeln, der inversen Matrixmethode usw. Daher ist in diesem Fall die Substitutionsmethode geeignet.

Wenn ein Gleichungssystem gegeben ist, ist es zunächst wünschenswert, es herauszufinden, aber ist es möglich, es SOFORT irgendwie zu vereinfachen? Wenn wir die Gleichungen des Systems analysieren, stellen wir fest, dass die zweite Gleichung des Systems durch 2 geteilt werden kann, was wir tun:

Bezug: ein mathematisches Symbol bedeutet „daraus folgt dies“, es wird oft im Zuge von Problemlösungen verwendet.

Jetzt analysieren wir die Gleichungen, wir müssen eine Variable durch den Rest ausdrücken. Welche Gleichung wählen? Sie haben wahrscheinlich schon erraten, dass der einfachste Weg zu diesem Zweck darin besteht, die erste Gleichung des Systems zu nehmen:

Dabei spielt es keine Rolle, welche Variable ausgedrückt werden soll, man könnte genauso gut oder ausdrücken.

Als nächstes setzen wir den Ausdruck für in die zweite und dritte Gleichung des Systems ein:

Öffnen Sie die Klammern und fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu:

Wir teilen die dritte Gleichung durch 2:

Aus der zweiten Gleichung drücken wir aus und setzen sie in die dritte Gleichung ein:

Fast alles ist fertig, aus der dritten Gleichung finden wir:
Aus der zweiten Gleichung:
Aus der ersten Gleichung:

Überprüfung: Ersetzen Sie die gefundenen Werte der Variablen auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems:

1)
2)
3)

Die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen werden erhalten, sodass die Lösung korrekt gefunden wird.

Beispiel 3

Löse ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Lösung des Systems durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems

Beim Lösen von Systemen linearer Gleichungen sollte man versuchen, nicht die „Schulmethode“ zu verwenden, sondern die Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems. Wieso den? Das spart Zeit und vereinfacht Berechnungen, wird aber jetzt übersichtlicher.

Beispiel 4

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Ich habe das gleiche System wie im ersten Beispiel genommen.
Bei der Analyse des Gleichungssystems stellen wir fest, dass die Koeffizienten der Variablen im Betrag identisch und im Vorzeichen entgegengesetzt sind (–1 und 1). In dieser Situation können die Gleichungen Term für Term hinzugefügt werden:

Rot eingekreiste Aktionen werden GEISTIG ausgeführt.
Wie Sie sehen können, haben wir als Ergebnis der termweisen Addition die Variable verloren. Dies ist in der Tat so Die Essenz der Methode besteht darin, eine der Variablen loszuwerden.