Matematika profil darajasida FOYDALANISH

Ish 19 ta vazifadan iborat.
1-qism:
Asosiy murakkablik darajasining qisqa javobi bilan 8 ta vazifa.
2-qism:
Qisqa javob bilan 4 ta vazifa
Yuqori darajadagi murakkablikdagi batafsil javobga ega 7 ta vazifa.

Ish vaqti - 3 soat 55 daqiqa.

USE topshiriqlariga misollar

Matematikadan USE vazifalarini yechish.

Mustaqil yechim uchun:

1 kilovatt-soat elektr energiyasi 1 rubl 80 tiyin turadi.
Elektr hisoblagichi 1-noyabrda 12625 kilovatt-soatni, 1-dekabrda esa 12802 kilovatt-soatni ko‘rsatdi.
Noyabr oyida elektr energiyasi uchun qancha to'lash kerak?
Javobingizni rublda bering.

Yechim bilan bog'liq muammo:

ABC asosli oddiy uchburchakli ABCS piramidasida qirralar ma'lum: AB \u003d 3 tadan 5 ta ildiz, SC \u003d 13.
Asos tekisligi va AS va BC qirralarning oʻrta nuqtasidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq hosil qilgan burchakni toping.

Yechim:

1. SABC muntazam piramida bo'lgani uchun, ABC teng tomonli uchburchak, qolgan yuzlari esa teng yonli uchburchaklardir.
Ya'ni, poydevorning barcha tomonlari 5 sqrt(3), barcha yon qirralari esa 13 ga teng.

2. D - BC ning o'rta nuqtasi, E - AS ning o'rtasi, SH - S nuqtadan piramida poydevorigacha, EP - E nuqtadan piramida poydevorigacha bo'lgan balandlik.

3. Pifagor teoremasi yordamida SAPR to‘g‘ri burchakli uchburchakdan AD ni toping. Siz 15/2 = 7,5 olasiz.

4. Piramida muntazam bo'lgani uchun H nuqtasi ABC uchburchakning balandliklari / medianalari / bissektrisalarining kesishish nuqtasidir, ya'ni u ADni 2: 1 nisbatda (AH = 2 AD) bo'ladi.

5. ASH to‘g‘ri burchakli uchburchakdan SH ni toping. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, Pifagor teoremasi bo'yicha SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. AEP va ASH uchburchaklari ikkalasi ham to'g'ri burchakli va umumiy A burchagiga ega, shuning uchun o'xshash. Taxminlarga ko'ra, AE = AS/2, shuning uchun ham AP = AH/2, ham EP = SH/2.

7. EDP to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqish qoladi (bizni faqat EDP burchagi qiziqtiradi).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Burchak tangensi EDP = EP/DP = 6/5,
EDP ​​burchagi = arctg(6/5)

Javob:

17-topshiriq yechimi bilan matematikadan 2019-dan FOYDALANISH

Matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining demo versiyasi 2019

Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoni 2019 pdf formatda Asosiy daraja | Profil darajasi

Matematikadan imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun vazifalar: javoblar va echimlar bilan asosiy va profil darajasi.

Matematika bo'yicha imtihonning profil darajasining 17 topshirig'i moliya bilan bog'liq vazifadir, ya'ni bu vazifa foizlar, qarzlarning bir qismi va boshqalar uchun bo'lishi mumkin. Qiyinchilik shundaki, foizlarni yoki bir qismini hisoblash kerak. uzoq muddat, shuning uchun bu vazifa foizlar bilan standart muammolarning to'g'ridan-to'g'ri o'xshashligi emas. General haqida gapirmaslik uchun to'g'ridan-to'g'ri odatiy vazifani tahlil qilishga o'taylik.

Profil darajasida matematika bo'yicha 17-sonli USE topshiriqlarining tipik variantlarini tahlil qilish

Vazifaning birinchi versiyasi (demo versiyasi 2018)

Uni qaytarish shartlari quyidagilardan iborat:

• Har oyning 1-kunida qarz oldingi oyning oxiriga nisbatan r foizga oshadi, bu erda r - butun son;
• har oyning 2-dan 14-kuniga qadar qarzning bir qismi to'lanishi kerak;
• Har oyning 15-kunida qarz quyidagi jadvalga muvofiq ma'lum miqdorda bo'lishi kerak.

To'lovlarning umumiy miqdori 1,2 million rubldan kam bo'lgan r ning eng katta qiymatini toping.

Yechim algoritmi:

1. Biz oylik kredit bo'yicha to'lovlar miqdori qancha ekanligini ko'rib chiqamiz.
2. Biz har oy uchun qarzni aniqlaymiz.
3. Kerakli foizni toping.
4. Biz butun davr uchun to'lovlar miqdorini aniqlaymiz.
5. Qarz to'lovlari miqdorining r foizini hisoblaymiz.
6. Javobni yozamiz.

Yechim:

1. Shartga ko‘ra, bank oldidagi qarzdorlik har oy quyidagi tartibda kamayishi kerak:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. K = 1 + r / 100 bo'lsin, u holda har oylik qarz:

k; 0,6 ming; 0,4 ming; 0,3 ming; 0,2k; 0,1 ming.

3. Shunday qilib, oylik 2-dan 14-gacha bo'lgan to'lovlar:

k - 0,6; 0,6k - 0,4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0,1 ming

4. To'lovlarning umumiy miqdori quyidagilarga teng:

Shartga ko'ra, to'lovlarning umumiy miqdori 1,2 million rubldan kam, shuning uchun

Hosil boʻlgan tengsizlikning eng katta butun yechimi 7 ga teng boʻladi. U holda u zarur boʻladi - 7.

Ikkinchi variant (Yaschenkodan, №1)

2020 yil iyul oyida bankdan 300 000 rubl miqdorida kredit olish rejalashtirilgan. Uni qaytarish shartlari quyidagilardan iborat:

• har yanvarda qarz oldingi yil oxiriga nisbatan r% ga oshadi;
• Har yili fevraldan iyungacha qarzning bir qismi bir to'lovda to'lanishi kerak.

Agar kredit ikki yil ichida to'liq to'lanishi ma'lum bo'lsa, r ni toping va birinchi yilda 160 000 rubl, ikkinchi yilda esa 240 000 rubl to'lanadi.

Muammoni hal qilish algoritmi:

1. Qarz miqdorini aniqlang.
2. Biz birinchi to'lovdan keyin qarz miqdorini hisoblaymiz.
3. Ikkinchi to'lovdan keyin qarz miqdorini topish
4. Kerakli foizni toping.
5. Javobni yozamiz.

Yechim:

1. 300 000 rubl qarz olindi. Shartga ko'ra, to'lanishi kerak bo'lgan qarz miqdori r% ga oshadi, bu martalarni bildiradi. Qarzni to'lash uchun siz bankka 300 000∙k berishingiz kerak.

2. 160 000 rublga teng to'lovni amalga oshirgandan so'ng. Qarzning qoldig'i

Bugun biz standart logarifmlar, integrallar, trigonometriya va boshqalardan biroz chetga chiqamiz va birgalikda matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining qoloq Rossiya resurslariga asoslangan iqtisodiyotimiz bilan bevosita bog'liq bo'lgan muhimroq vazifasini ko'rib chiqamiz. Aniqrog‘i, depozitlar, foizlar va kreditlar muammosini ko‘rib chiqamiz. Chunki yaqinda matematikadan yagona davlat imtihonining ikkinchi qismiga foizli topshiriqlar qo‘shilgan. Men darhol qayd qilamanki, USE spetsifikatsiyasiga ko'ra, ushbu muammoni hal qilish uchun bir vaqtning o'zida uchta asosiy nuqta taklif etiladi, ya'ni imtihonchilar bu vazifani eng qiyinlaridan biri deb bilishadi.

Shu bilan birga, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonidagi ushbu vazifalarning har qandayini hal qilish uchun siz faqat ikkita formulani bilishingiz kerak, ularning har biri har qanday maktab bitiruvchisi uchun ochiqdir, ammo men tushunmagan sabablarga ko'ra bu formulalar maktab o'qituvchilari va imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun turli xil vazifalarni tuzuvchilar tomonidan butunlay e'tiborga olinmaydi. Shuning uchun, bugun men sizga nafaqat bu formulalar nima ekanligini va ularni qanday qo'llashni aytib bermayman, balki matematika bo'yicha ochiq USE bankidan asosiy vazifalarni olib, ushbu formulalarning har birini tom ma'noda sizning ko'zingiz oldida chiqaraman.

Shunday qilib, dars juda katta hajmli, juda mazmunli bo'lib chiqdi, shuning uchun o'zingizni qulay his eting va biz boshlaymiz.

Bankka pul qo'yish

Avvalo, moliya, banklar, kreditlar va depozitlar bilan bog'liq kichik lirik chekinishni istardim, uning asosida biz ushbu muammoni hal qilishda foydalanadigan formulalarni olamiz. Shunday qilib, keling, imtihonlardan, maktab muammolaridan biroz chetga chiqib, kelajakka nazar tashlaylik.

Aytaylik, siz katta bo'ldingiz va kvartira sotib olmoqchisiz. Aytaylik, siz chekkadan yomon kvartira emas, balki 20 million rublga sifatli kvartira sotib olmoqchisiz. Shu bilan birga, siz ko'proq yoki kamroq oddiy ish topdingiz va oyiga 300 ming rubl ishlab olasiz deb faraz qilaylik. Bunday holda, yil davomida siz taxminan uch million rublni tejashingiz mumkin. Albatta, oyiga 300 ming rubl ishlab, yil davomida siz biroz kattaroq miqdorga ega bo'lasiz - 3 600 000 - lekin bu 600 000 oziq-ovqat, kiyim-kechak va boshqa kundalik uy quvonchlariga sarflansin. Jami kirish ma'lumotlari quyidagicha: yigirma million rubl olish kerak, bizda yiliga atigi uch million rubl bor. Tabiiy savol tug'iladi: o'sha yigirma millionni olish uchun biz uch millionni necha yil chetga surishimiz kerak? Bu elementar hisoblanadi:

\[\frac(20)(3)=6,....\dan 7gacha\]

Biroq, yuqorida aytib o'tganimizdek, siz oyiga 300 ming rubl ishlab olasiz, bu siz aqlli odamlarsiz va pulni "yostiq ostida" saqlamaysiz, balki uni bankka olib ketasiz. Va shuning uchun har yili siz bankka kiritgan omonatlaringiz bo'yicha foizlar olinadi. Aytaylik, siz ishonchli, lekin ayni paytda ko'p yoki kamroq foydali bankni tanladingiz va shuning uchun depozitlaringiz yiliga 15% ga o'sadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, sizning hisoblaringizdagi mablag' har yili 1,15 baravar ko'payadi, deb aytishimiz mumkin. Sizga formulani eslatib o'taman:

Keling, har yili hisobingizga qancha pul tushishini hisoblaylik:

Birinchi yilda, siz endigina pul yig'ishni boshlaganingizda, foizlar yig'ilmaydi, ya'ni yil oxirida siz uch million rublni tejaysiz:

Ikkinchi yil oxirida, birinchi yildan qolgan uch million rublga foizlar allaqachon hisoblab chiqiladi, ya'ni. biz 1,15 ga ko'paytirishimiz kerak. Biroq, ikkinchi yil davomida siz yana uch million rubl haqida xabar berdingiz. Albatta, bu uch millionga hali foizlar hisoblanmadi, chunki ikkinchi yil oxiriga kelib bu uch million faqat hisobda paydo bo'ldi:

Shunday qilib, uchinchi yil. Uchinchi yil oxirida ushbu summaga foizlar hisoblab chiqiladi, ya'ni bu miqdorni 1,15 ga ko'paytirish kerak. Va yana, yil davomida siz ko'p ishladingiz va uch million rubl ajratdingiz:

\[\chap(3m\cdot 1,15+3m \o'ng)\cdot 1,15+3m\]

Keling, yana to'rtinchi yilni hisoblaymiz. Shunga qaramay, uchinchi yil oxirida bizda bo'lgan barcha miqdor 1,15 ga ko'paytiriladi, ya'ni. Barcha summadan foizlar undiriladi. Bu foizlar bo'yicha foizlarni o'z ichiga oladi. Va bu miqdorga yana uch million qo'shiladi, chunki to'rtinchi yil davomida siz ham ishlagansiz va pulni ham tejagansiz:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \o'ng)\cdot 1,15+3m \o'ng)\cdot 1,15+3m\]

Keling, qavslarni ochib, pulni tejashning to'rtinchi yili oxiriga kelib qancha miqdorga ega bo'lishini bilib olaylik:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \o'ng)\cdot 1,15+3m \o'ng)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \o‘ng)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3) ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\chap(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \o'ng)= \\& =3m\chap(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \o'ng) \\\end(tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, qavs ichida bizda geometrik progressiyaning elementlari mavjud, ya'ni bizda geometrik progressiyaning elementlari yig'indisi mavjud.

Eslatib o‘tamiz, agar geometrik progressiya $((b)_(1))$ elementi bilan bir qatorda $q$ maxraji bilan berilgan bo‘lsa, elementlar yig‘indisi quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

Ushbu formula ma'lum va aniq qo'llanilishi kerak.

Iltimos, diqqat qiling: formula n th elementi shunday eshitiladi:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Ushbu daraja tufayli ko'plab talabalar sarosimaga tushishadi. Umuman olganda, bizda shunchaki n miqdori uchun n- elementlar va n-chi element $n-1$ darajaga ega. Boshqacha qilib aytganda, agar biz geometrik progressiyaning yig'indisini hisoblashga harakat qilsak, unda quyidagilarni hisobga olishimiz kerak:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Numeratorni alohida hisoblab chiqamiz:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \o'ng))^(2))=((\left(1,3225 \o'ng) ))^(2))=1,74900625\taxminan 1,75\]

Hammasi bo'lib, geometrik progressiyaning yig'indisiga qaytsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1,75-1)(0,15)=\frac(0,75)(0,15)=\frac(75)(15 )=5\]

Natijada to‘rt yillik jamg‘armamizda dastlabki mablag‘imiz bankka pul qo‘ymagandek to‘rt barobar emas, besh barobar, ya’ni o‘n besh millionga ko‘paymasligini olamiz. Keling, alohida yozamiz:

4 yil → 5 marta

Oldinga qarab, shuni aytamanki, agar biz to'rt yil emas, balki besh yil davomida jamg'arganimizda, natijada jamg'armalarimiz miqdori 6,7 barobarga oshgan bo'lar edi:

5 yil → 6,7 marta

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, beshinchi yil oxiriga kelib, biz hisobda quyidagi miqdorga ega bo'lamiz:

Ya'ni, jamg'armaning beshinchi yilining oxiriga kelib, depozit bo'yicha foizlarni hisobga olgan holda, biz allaqachon yigirma million rubldan ortiq mablag' olgan bo'lardik. Shunday qilib, bank foizlaridan jami jamg'arma hisobi deyarli etti yildan besh yilgacha, ya'ni deyarli ikki yilga qisqaradi.

Shunday qilib, bank bizning omonatlarimiz bo'yicha ancha past foiz (15%) olishiga qaramay, besh yil o'tgach, xuddi shu 15% bizning yillik daromadimizdan sezilarli darajada oshib ketadigan o'sishni beradi. Shu bilan birga, asosiy multiplikator effekti so'nggi yillarda va hatto, to'g'rirog'i, tejashning oxirgi yilida sodir bo'ladi.

Bularning hammasini nega yozdim? Albatta, sizni bankka pul olib borishga undash uchun emas. Chunki agar siz haqiqatan ham jamg'armalaringizni ko'paytirishni istasangiz, ularni bankka emas, balki haqiqiy biznesga investitsiya qilishingiz kerak, bu erda xuddi shu foizlar, ya'ni Rossiya iqtisodiyoti sharoitida rentabellik kamdan-kam hollarda 30% dan pastga tushadi, ya'ni. shuncha bank depozitlari.

Ammo bu barcha mulohazalarda haqiqatan ham foydali bo'lgan narsa bu bizga yillik to'lovlar miqdori, shuningdek, bank tomonidan olinadigan foizlar orqali depozitning yakuniy miqdorini topishga imkon beruvchi formuladir. Shunday qilib, yozamiz:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

O'z-o'zidan% quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Ushbu formula ham ma'lum bo'lishi kerak, shuningdek, hissa miqdorining asosiy formulasi. Va, o'z navbatida, asosiy formula hissani hisoblash uchun zarur bo'lgan foizlar bilan ushbu muammolardagi hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirishi mumkin.

Nima uchun jadvallar o'rniga formulalardan foydalanish kerak?

Ko'pchilikda savol tug'ilishi mumkin, nima uchun bu barcha qiyinchiliklar, ko'plab darsliklarda bo'lgani kabi, har yili planshetda oddiygina yozish, har yili alohida hisoblab chiqish va keyin hissaning umumiy miqdorini hisoblash mumkinmi? Albatta, siz odatda geometrik progressiyaning yig'indisini unutishingiz va klassik planshetlar yordamida hamma narsani hisoblashingiz mumkin - bu imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun ko'pchilik to'plamlarda amalga oshiriladi. Biroq, birinchidan, hisob-kitoblar hajmi keskin oshadi, ikkinchidan, natijada xato qilish ehtimoli ortadi.

Va umuman olganda, bu ajoyib formula o'rniga jadvallardan foydalanish, yaqin atrofda turgan va to'liq ishlaydigan ekskavatorni ishlatish o'rniga, qurilish maydonchasida qo'llaringiz bilan xandaklar qazish bilan bir xil.

Xo'sh, yoki ko'paytirish jadvalidan foydalanmasdan beshni o'nga ko'paytirish bilan bir xil narsa, lekin ketma-ket o'n marta o'ziga besh qo'shish. Biroq, men allaqachon chetlab o'tdim, shuning uchun men eng muhim fikrni yana bir bor takrorlayman: agar hisob-kitoblarni soddalashtirish va qisqartirishning qandaydir usuli bo'lsa, unda bu usuldan foydalanish.

Kreditlar bo'yicha foizlar

Biz depozitlarni aniqladik, shuning uchun biz keyingi mavzuga, ya'ni kreditlar bo'yicha foizlarga o'tamiz.

Shunday qilib, siz pulni tejash, byudjetni puxta rejalashtirish, kelajakdagi kvartirangiz haqida o'ylab, sinfdoshingiz va hozirda oddiy ishsiz, bugungi kun uchun yashashga qaror qildi va faqat kredit oldi. Shu bilan birga, u hali ham sizni masxara qiladi va kuladi, deyishadi, uning kredit telefoni va eski mashinasi bor, kreditga olingan va siz hali ham metroda yurasiz va eski tugmachali telefondan foydalanasiz. Albatta, bu arzon “ko‘z-ko‘z”lar uchun sobiq sinfdoshingiz juda qimmat to‘lashga majbur bo‘ladi. Qanday qimmat - bu biz hozir hisoblab chiqamiz.

Birinchidan, qisqacha kirish. Aytaylik, sizning sobiq sinfdoshingiz ikki million rublni kreditga oldi. Shu bilan birga, shartnomaga ko'ra, u oyiga x rubl to'lashi kerak. Aytaylik, u yillik 20% stavkada kredit oldi, hozirgi sharoitda bu juda munosib ko'rinadi. Bundan tashqari, kredit muddati faqat uch oy deb hisoblang. Keling, bu miqdorlarning barchasini bitta formulada bog'lashga harakat qilaylik.

Xullas, boshida sizning sobiq sinfdoshingiz bankdan ketishi bilan uning cho'ntagida ikki million bor, bu uning qarzi. Shu bilan birga, bir yil ham, bir oy ham emas, lekin bu faqat boshlanishi:

Keyin, bir oydan so'ng, qarz miqdori bo'yicha foizlar hisoblanadi. Biz allaqachon bilganimizdek, foizlarni hisoblash uchun dastlabki qarzni quyidagi formula bo'yicha hisoblab chiqiladigan koeffitsientga ko'paytirish kifoya:

Bizning holatda, biz yiliga 20% stavka haqida gapiramiz, ya'ni biz yozishimiz mumkin:

Bu yiliga olinadigan miqdorning nisbati. Lekin sinfdoshimiz unchalik aqlli emas va shartnomani o'qimagan, aslida unga yiliga 20% emas, oyiga 20% bilan kredit berilgan. Va birinchi oyning oxiriga kelib, bu summaga foizlar hisoblab chiqiladi va u 1,2 baravarga oshadi. Shundan so'ng darhol odam kelishilgan miqdorni to'lashi kerak, ya'ni oyiga x rubl:

\[\chap(2m\cdot 1,2-x\o'ng)\cdot 1,2-x\]

Va yana o'g'limiz $x$ rubl miqdorida to'lovni amalga oshiradi.

Keyin, uchinchi oyning oxiriga kelib, uning qarzi miqdori yana 20% ga oshadi:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Va uch oylik shartga ko'ra, u to'liq to'lashi kerak, ya'ni oxirgi uchinchi to'lovni amalga oshirgandan so'ng, uning qarz miqdori nolga teng bo'lishi kerak. Bu tenglamani yozishimiz mumkin:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Keling, qaror qilaylik:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\chap((( 1,2)^(2))+1,2+1 \o'ng) \\\end(tekislash)\]

Bizning oldimizda yana geometrik progressiya, aniqrog'i, geometrik progressiyaning uchta elementining yig'indisi. Keling, uni elementlarning o'sish tartibida qayta yozamiz:

Endi biz geometrik progressiyaning uchta elementining yig'indisini topishimiz kerak. Keling, yozamiz:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(tekislash)\]

Endi geometrik progressiya yig‘indisini topamiz:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Eslatib o'tamiz, $\left(((b)_(1));q \right)$ parametrlari bilan geometrik progressiyaning yig'indisi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Bu biz hozir foydalangan formula. Ushbu formulani bizning ifodamizga almashtiring:

Keyingi hisob-kitoblar uchun $((1,2)^(3))$ nimaga teng ekanligini aniqlashimiz kerak. Afsuski, bu holda, biz endi oxirgi marta qo'sh kvadrat shaklida bo'yashimiz mumkin emas, lekin biz shunday hisoblashimiz mumkin:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(tuzalash)\]

Biz ifodamizni qayta yozamiz:

Bu klassik chiziqli ifodadir. Keling, keyingi formulaga qaytaylik:

Aslida, agar biz uni umumlashtirsak, foizlar, kreditlar, to'lovlar va muddatlarni bog'lovchi formulaga ega bo'lamiz. Formula quyidagicha bo'ladi:

Mana, bugungi video darsning eng muhim formulasi, uning yordamida ikkinchi qismda matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonidagi barcha iqtisodiy vazifalarning kamida 80 foizi ko'rib chiqiladi.

Ko'pincha, haqiqiy vazifalarda sizdan to'lov so'raladi yoki kamroq tez-tez kredit uchun, ya'ni bizning sinfdoshimiz to'lovlarning boshida bo'lgan qarzning umumiy miqdori. Murakkabroq vazifalarda sizdan foizni topishingiz so'raladi, lekin biz alohida video darsda tahlil qiladigan juda murakkab bo'lganlar uchun sizdan berilgan kredit va to'lov parametrlari bilan vaqt oralig'ini topishingiz so'raladi. ishsiz kursdoshimiz bankni to'liq to'lashi mumkin bo'ladi.

Ehtimol, kimdir meni kreditlar, moliya va umuman bank tizimining ashaddiy raqibiman, deb o'ylar. Xo'sh, shunga o'xshash narsa yo'q! Aksincha, kredit vositalari iqtisodiyotimiz uchun juda foydali va zarur, deb hisoblayman, faqat kredit tadbirkorlikni rivojlantirish uchun olinishi sharti bilan. Haddan tashqari holatlarda siz uy sotib olish, ya'ni ipoteka yoki shoshilinch tibbiy yordam uchun kredit olishingiz mumkin - tamom, kredit olish uchun boshqa sabablar yo'q. Har xil ishsizlar esa “ko‘z-ko‘z” sotib olish uchun kredit olib, shu bilan birga oxir-oqibat oqibati haqida umuman o‘ylamay, iqtisodiyotimizdagi inqiroz va muammolar sababchisiga aylanib qolmoqda.

Bugungi dars mavzusiga qaytsak, shuni ta'kidlashni istardimki, kreditlar, to'lovlar va foizlarni, shuningdek, geometrik progressiya miqdorini bog'laydigan ushbu formulani bilish ham zarur. Aynan shu formulalar yordamida matematikadan Yagona davlat imtihonidan olingan real iqtisodiy masalalar hal qilinadi. Xo'sh, endi siz bularning barchasini juda yaxshi bilganingizdan so'ng, kredit nima ekanligini va nima uchun uni olmaslik kerakligini tushunganingizda, keling, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonidan real iqtisodiy muammolarni hal qilishga o'taylik.

Biz matematikadan imtihondan haqiqiy muammolarni hal qilamiz

№1 misol

Shunday qilib, birinchi vazifa:

2014-yil 31-dekabrda Aleksey bankdan yillik 10% bilan 9282000 rubl miqdorida kredit oldi. Kreditni to'lash sxemasi quyidagicha: har bir keyingi yilning 31 dekabrida bank qarzning qolgan miqdori bo'yicha foizlarni hisoblab chiqadi (ya'ni qarzni 10% ga oshiradi), keyin Aleksey X rublni bankka o'tkazadi. Alekseyga to'rtta teng to'lovda (ya'ni to'rt yil davomida) qarzni to'lash uchun X miqdori qancha bo'lishi kerak?

Shunday qilib, bu kredit bilan bog'liq muammo, shuning uchun biz darhol formulamizni yozamiz:

Biz kreditni bilamiz - 9 282 000 rubl.

Endi biz foizlar bilan shug'ullanamiz. Biz muammoning 10% haqida gapiryapmiz. Shuning uchun biz ularni tarjima qilishimiz mumkin:

Biz tenglama tuzishimiz mumkin:

Biz $x$ ga nisbatan oddiy chiziqli tenglamani oldik, garchi juda katta koeffitsientlarga ega bo'lsa ham. Keling, buni hal qilishga harakat qilaylik. Birinchidan, $((1,1)^(4))$ ifodasini topamiz:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \o'ng))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Endi tenglamani qayta yozamiz:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Mana, foiz bilan bog‘liq muammomiz hal bo‘ldi.

Albatta, bu matematika bo'yicha yagona davlat imtihonidan olingan foizlar bilan eng oddiy vazifa edi. Haqiqiy imtihonda, ehtimol, bunday vazifa bo'lmaydi. Va agar shunday bo'lsa, o'zingizni juda omadli deb hisoblang. Xo'sh, hisoblashni yaxshi ko'radigan va tavakkal qilishni yoqtirmaydiganlar uchun keling, keyingi qiyinroq vazifalarga o'tamiz.

№2 misol

2014 yil 31 dekabrda Stepan bankdan yillik 20% stavkada 4 004 000 rubl qarz oldi. Kreditni to'lash sxemasi quyidagicha: har bir keyingi yilning 31 dekabrida bank qarzning qolgan miqdori bo'yicha foizlarni hisoblab chiqadi (ya'ni, qarzni 20% ga oshiradi), keyin Stepan bankka to'lovni amalga oshiradi. Stepan butun qarzni 3 ta teng to'lovda to'ladi. Qarzni 2 ta teng toʻlovda toʻlay olsa, bankka qancha rubl kam berardi.

Oldimizda kreditlar muammosi bor, shuning uchun biz formulamizni yozamiz:

\[\]\

Biz nimani bilamiz? Birinchidan, biz umumiy kreditni bilamiz. Biz foizlarni ham bilamiz. Keling, nisbatni topamiz:

$n$ ga kelsak, muammoning holatini diqqat bilan o'qib chiqishingiz kerak. Ya'ni, birinchi navbatda u uch yil davomida qancha pul to'laganini hisoblashimiz kerak, ya'ni $ n = 3 $, keyin yana bir xil amallarni bajaring, lekin ikki yil davomida to'lovlarni hisoblang. To'lov uch yil davomida to'langan holat uchun tenglama yozamiz:

Keling, bu tenglamani yechamiz. Lekin avval $((1,2)^(3))$ ifodasini topamiz:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(tuzalash)\]

Biz ifodamizni qayta yozamiz:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Hammasi bo'lib bizning to'lovimiz 1900800 rublni tashkil qiladi. Biroq, e'tibor bering: vazifada bizdan oylik to'lovni emas, balki Stepan uchta teng to'lov uchun, ya'ni kreditdan foydalanishning butun davri uchun jami qancha to'lashini topishimiz kerak edi. Shuning uchun, natijada olingan qiymat yana uchga ko'paytirilishi kerak. Keling, hisoblaymiz:

Hammasi bo'lib, Stepan uchta teng to'lov uchun 5 702 400 rubl to'laydi. Kreditdan uch yil foydalanish uchun shuncha pul ketadi.

Endi ikkinchi vaziyatni ko'rib chiqing, Stepan o'zini yig'ib, tayyor bo'lib, butun kreditni uchta emas, balki ikkita teng to'lovda to'lagan. Xuddi shu formulani yozamiz:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Ammo bu hammasi emas, chunki hozir biz ikkita to'lovdan faqat bittasini hisoblab chiqdik, shuning uchun Stepan jami ikki baravar ko'p to'laydi:

Ajoyib, endi biz yakuniy javobga yaqinmiz. Lekin e'tibor bering: hech qanday holatda biz hali yakuniy javob olmadik, chunki uch yillik to'lovlar uchun Stepan 5 702 400 rubl, ikki yillik to'lovlar uchun esa 5 241 600 rubl, ya'ni biroz kamroq to'laydi. Qancha kamroq? Buni bilish uchun siz birinchi to'lov miqdoridan ikkinchi to'lov miqdorini ayirishingiz kerak:

Umumiy yakuniy javob 460 800 rublni tashkil qiladi. Stepan uch yil emas, ikki yil to'lasa, aniq qancha tejaydi.

Ko'rib turganingizdek, foizlar, shartlar va to'lovlarni bog'laydigan formula klassik jadvallar bilan solishtirganda hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi va, afsuski, noma'lum sabablarga ko'ra, jadvallar hali ham muammoli to'plamlarning ko'pchiligida qo'llaniladi.

Alohida e'tiboringizni kredit qaysi muddatga olinganligi va oylik to'lovlar miqdoriga qaratmoqchiman. Gap shundaki, bu bog'liqlik biz yozgan formulalardan bevosita ko'rinmaydi, lekin uni tushunish imtihondagi haqiqiy muammolarni tez va samarali hal qilish uchun zarurdir. Aslida, bu bog'liqlik juda oddiy: kredit qancha uzoq davom etsa, oylik to'lovlarda shunchalik kichik miqdor bo'ladi, lekin kreditdan foydalanishning butun davri davomida qanchalik katta miqdorda to'planadi. Va aksincha: muddat qanchalik qisqa bo'lsa, oylik to'lov shunchalik yuqori bo'ladi, lekin yakuniy ortiqcha to'lov qanchalik past bo'lsa va kreditning umumiy qiymati past bo'ladi.

Albatta, bu barcha bayonotlar faqat kredit miqdori va har ikkala holatda ham foiz stavkasi bir xil bo'lishi sharti bilan teng bo'ladi. Umuman olganda, hozircha, bu haqiqatni eslang - u ushbu mavzu bo'yicha eng qiyin muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi, ammo hozircha biz oddiyroq muammoni tahlil qilamiz, bu erda siz faqat dastlabki kreditning umumiy miqdorini topishingiz kerak.

№3 misol

Shunday qilib, kredit uchun yana bitta vazifa va birgalikda bugungi video darsdagi oxirgi vazifa.

2014 yil 31 dekabrda Vasiliy bankdan ma'lum miqdorni yillik 13% bilan kreditga oldi. Kreditni to'lash sxemasi quyidagicha: har bir keyingi yilning 31 dekabrida bank qarzning qolgan miqdori bo'yicha foizlarni hisoblab chiqadi (ya'ni qarzni 13% ga oshiradi), keyin Vasiliy bankka 5 107 600 rubl o'tkazadi. Vasiliy qarzni ikki teng qismga (ikki yilga) to'lagan bo'lsa, bankdan qancha qarz oldi?

Shunday qilib, birinchi navbatda, bu muammo yana kreditlar bilan bog'liq, shuning uchun biz ajoyib formulamizni yozamiz:

Keling, muammoning holatidan nimani bilishimizni ko'rib chiqaylik. Birinchidan, to'lov - bu yiliga 5 107 600 rublga teng. Ikkinchidan, foizlar, shuning uchun nisbatni topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, muammoning shartiga ko'ra, Vasiliy ikki yil davomida bankdan kredit oldi, ya'ni. ikki teng boʻlib toʻlanadi, shuning uchun $n=2$. Keling, hamma narsani almashtiramiz va shuningdek, kredit bizga noma'lum ekanligini ta'kidlaymiz, ya'ni. u olgan miqdor va uni $x$ deb belgilaymiz. Biz olamiz:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda tenglamamizni qayta yozamiz:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)\(12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(tuzalash)\]

Mana, bu yakuniy javob. Aynan shu miqdor Vasiliy boshidanoq kredit olgan edi.

Endi nima uchun bu muammoda bizdan atigi ikki yilga kredit olishni so'rashi aniq, chunki bu erda ikki xonali foiz stavkalari paydo bo'ladi, ya'ni 13%, bu kvadratda allaqachon juda "shafqatsiz" raqamni beradi. Ammo bu chegara emas - keyingi alohida darsda biz qarz muddatini topish talab qilinadigan murakkabroq vazifalarni ko'rib chiqamiz va stavka bir, ikki yoki uch foizni tashkil qiladi.

Umuman olganda, omonat va kreditlar bo'yicha muammolarni hal qilishni o'rganing, imtihonlarga tayyorgarlik ko'ring va ularni "a'lo" topshiring. Va agar bugungi video dars materiallarida biror narsa aniq bo'lmasa, ikkilanmang - yozing, qo'ng'iroq qiling va men sizga yordam berishga harakat qilaman.

moliyaviy matematika

Xatolarsiz to'g'ri bajarilgan vazifa uchun siz olasiz 3 ball.

Taxminan 35 daqiqa.

Profil darajasidagi matematikadan 17-topshiriqni hal qilish uchun quyidagilarni bilishingiz kerak:

1. Vazifa bir necha turlarga bo'linadi:
   • banklar, depozitlar va kreditlar bilan bog'liq vazifalar;
   • optimal tanlash uchun vazifalar.
2. Oylik to'lovni hisoblash formulasi: S kredit = S/12t
3. Oddiy foizlarni hisoblash formulasi: S=α (1 + tp/m)
4. Murakkab foizlarni hisoblash formulasi: C \u003d x (1 + a%)n

Foiz - qiymatning yuzdan bir qismidir.

• x*(1 + p/100) - qiymat x ga ortdi p%
• x*(1 - k/100) - qiymat x tomonidan kamaydi k%
• x*(1 + p/100) k - qiymat x ga ortdi p% k bir marta
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – qiymat X birinchi marta ortdi p%, keyin esa kamaydi k%

Kreditni teng qismlarda to'lash bo'yicha vazifalar:

Kredit miqdori sifatida qabul qilinadi X. Bank foizlari - a. Kreditni to'lash - S.

Foizlar hisoblangandan va summani to'laganidan keyin bir yil o'tgach S qarz - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• 2 yildan keyin qarz: (xp-S)p-S
• 3 yildan keyin qarz: ((xp - S)p - S)p - S
• O'tgan qarz miqdori n yillar: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)